Kaedra eoreické a fyzikální chemie, Přírodovědecká fakula MU, rno Nelineární regrese v chemické kineice Miroslav Holík F 457/999
Obsah Úvod Čás - Regresní rovnice. Lineární regrese. Vícerozměrná lineární regrese 3. Nelineární regrese 4. Saisické esování regresních paramerů Čás Inegrované kineické rovnice. Unimolekulární vraná reakce. imolekulární reakce 3. Enzymově kaalyzovaná reakce Čás 3 Výpočové programy. Nelin: exponenciální regrese s Taylorovým rozvojem. Simpl: exponenciální regrese s modifikovaným simplexem 3. Rada: nelineární regrese s Taylorovým rozvojem 4. Michme: nelineární regrese s Taylorovým rozvojem 3
Úvod V chemické kineice se časo sekáváme s rovnicemi, keré, pokud jsou použiy pro regresní odhad paramerů, jsou vzhledem k ěmo paramerům nelineární a nelze edy na ně aplikova posupy lineární regrese. Nejčasější řešení spočívá v ransformaci ěcho rovnic na lineární var buď jejich inverzí nebo zlogarimováním. To ovšem s sebou přináší problémy, keré si běžný uživael akové zlinearizované rovnice řeba vůbec neuvědomuje. Obecně lze regresní rovnici napsa ako: () y f(x,β) + ε kde y jsou naměřené hodnoy zv. vysvělované neboli závislé promměnné, x jsou nasavené (zvolené) hodnoy vysvělující neboli nezávislé proměnné, β jsou neznámé paramenry (koeficieny úměrnosi), keré pomocí regrese odhadujeme ak, aby souče druhých mocnin reziduálů ε byl co nejmenší. Reziduály předsavují náhodné chyby při měření hodno veličiny y a předpokládá se o nich, že mají konsanní rozpyl a nulovou sřední hodnou. () E( ε ) σ E( ε ) Každá nelineární ransformace ransformuje aké yo reziduály, což vede k omu, že předpoklady pro regresi (.j. rovnice ) nejsou splněny. To se může projevi na výsledných hodnoách odhadů paramerů β, keré nejsou z hlediska původní nelineární regrese opimální a hodnoy y calc, vypočíané z hodno x a ěcho odhadů β, se mohou značně liši od hodno y exp získaných měřením. Proo je vhodnější voli pro odhad paramerů β raději někerou z meod nelineární regrese. Někeré z časěji používaných kineických rovnic jsou uvedeny v omo spisku. 4
ČÁST. REGRESNÍ ROVNICE. Lineární regrese V praxi se časo sekáváme s případy, kdy měřená veličina je lineární funkcí jedné nebo více nasavielných veličin; nejjednodušší případ nasane ehdy, je-li měřená veličina závislá na jedné veličině nezávislé a úkolem je sanovi míru éo závislosi. (3) y i a + bx i + ε i Experimenálně edy naměříme pro řadu hodno x (i až n) řadu závislých proměnných y (i až n) a výpočem určíme opimální hodnoy paramerů a a b ak, aby souče druhých mocnin reziduálů ε i byl minimální. Vzhledem k omu, že jednolivá měření jsou zaížena chybou, je řeba vyhodnoi věší poče dvojic měření a o minimálně ři na jeden opimalizovaný paramer. Posup výpoču: - pro hodnoy x i a y i vypočíáme arimeické průměry x p a y p (nezaokrouhlujeme!). - hodnoy x i a y i cenrujeme, zn. od každé odečeme odpovídající průměr x ic x i - x p, y ic y i - y p. - vypočíáme součy součinů cenrovaných hodno Σ (x ic ), Σ (y ic ) a Σ (y ic *x ic ) - paramery a a b pak počíáme dle ěcho vzahů: (4) b Σ (y ic *x ic ) / Σ (x ic ) (5) a y p - b*x p - z paramerů a a b a nezávisle proměnných hodno x i vypočíáme vyrovnané hodnoy Y i a reziduály ε i jako rozdíly y-hodno naměřených a vypočených (6) Y i a + b*x i ε i y i - Y i - úspěšnos regresního modelu se esuje pomocí směrodané odchylky regrese (sandard error of esimae) s e a pomocí korelačního koeficienu r; regrese je ím lepší, čím bližší je korelační koeficien číslu ( resp. ). (7) s e [ (y i - Y i ) / (n - )] (8) r Σ (y ic *x ic )/ [Σ (x ic ) * Σ (y ic ) ] - r 5
nebo r Σ (y ic *Y ic )/ [Σ (y ic ) * Σ (Y ic ) ] r (9) [ r (n - ) / ( -r )] Korelační koeficien se musí esova ve vzahu k poču experimenálních da.obvykle očekáváme, že bude významný alespoň na.%-ní hladině spolehlivosi,.j. α.. Je-li hodnoa vypočíaná z r věší než kriická hodnoa -rozdělení pro odpovídající poče supňů volnosi,.j. ν n-, lze z 99.9%-ní pravděpodobnosí usoudi, že odpovídající lineární závislos nevznikla náhodou. - ze směrodarné odchylky regrese vypočíáme směrodané odchylky paramerů a a b () s a s E * [ (/n) + x p / Σ (x ic ) ] () s b s E * [ / Σ (x ic ) ] a esujeme podíly a/s a a b/s b pomocí kriických hodno -rozdělení. Je-li vypočená hodnoa věší než abelovaná pro α.5 a odpovídající poče supňů volnosi,.j. ν n-, pak se odpovídající paramer významně liší od nuly. Tabulka kriických hodno -rozdělení ------------------------------------------------------------------------------------------------ ν α.5 α. ν α.5 α. 4.33.36.79 3.93 3 3.8.3 3.6 3.85 4.776 7.73 4.45 3.787 5.57 5.893 5.3 3.733 6.447 5.8 6. 3.686 7.369 4.785 7. 3.646 8.36 4.5 8. 3.6 9.6 4.97 9.93 3.579.8 4.44.86 3.55. 4.5.96 3.9 ------------------------------------------------------------------------------------------------ ν poče supňů volnosi, α hladina pravděpodobnosi 6
. Vícerozměrná lineární regrese Pokud je vysvělovaná proměnná y lineárně závislá na více vysvělujících proměnných x, např. () y b + b x + b x +... + b p- x p- + ε pak se eno vzah nazývá vícerozměrná lineární regrese. Obecně lze uo regresi vyjádři v maicovém zápisu ako (3) Y mn X mp. pn + Ε mn kde m je poče měření.j. regresních vzahů mezi závisle proměnnou y a nezávisle proměnnými x), p je poče hledaných paramerů b regresní rovnice (.j. poče vysvělujících proměnných x zvěšených o jednu pro konsanní neboli lokalizační člen), n je poče vysvělovaných proměnných Y (běžně je n, ale regresi několika závislých proměnných vysvělovaných sejnými nezávislými proměnnými lze spoji v jednu rovnici,.j. n>) a E je maice reziduálů.j. odchylek naměřených y hodno od hodno vysvělených regresní závislosí y calc. Paramery b se v meodě nejmenších čverců odhadnou pomocí generalizované inverze maice X (4) (X'X) - X'Y V případě silné korelace mezi jednolivými vysvělujícími proměnnými x, mohou při výpoču nasa problémy s inverzí maice X'X, kerá v akovém případě bude kvazisingulární a výsledek může bý zaížen velkou chybou. Poom je lépe počía pomocí.zv. pseudoinverze maice X. Každou maici (např. X) lze rozloži singulárním rozkladem na ři maice charakerisických vlasnosí: (5) X mp U mp. S pp. (V pp )' kde U a V jsou orhonormální maice, pro keré plaí VV'V'VI a U'UI a S je diagonální maice singulárních hodno uspořádaných ak, že s > s >... > s pp. Pseudoinverze X je pak rovna (6) (X mp ) + V pp. (S pp ) -. (U mp )' V případě korelace mezi vekory maice X se maice S upraví před inverzí ak, že se z ní vypusí velmi malé singulární hodnoy, keré by po inverzi dávaly 7
příliš velkou váhu málovýznamným vekorům maic U a V. Sejným způsobem se zmenší i odpovídající rozměr u maic U a V. (7) (X mp) + V pq.(s qq ) -.(U mq )' q < p Poom se odhad maice paramerů vypoče podle rovnice (8) pn (X mp)+.y mn q < p Maici paramerů, získanou z da Y a X (.zv. réninkový soubor), lze použí k předpovědi da Y z nových da X nezahrnuých do X, (.zv. esovaný soubor). (9) Y X. Pro zjišění vhodnosi modelu daného maicí X k vysvělení experimenálních hodno Y,.j. k vypočení eoreických hodno Y calc není řeba paramery počía. Sačí použí.zv. 'ha' maici H ke ransformaci Y na Y calc. () Y calc X (X'X) - X'.Y H.Y nebo Y calc X.X +.Y H.Y nebo po dosazení za X ze singulárního rozkladu dosaneme () Y calc U.S.V'.(V.S.U'.U.S.V').V.S.U'.Y U.S.V'. (V.S -.V' ).V.S.U'.Y U.U'.Y nebo Y calc X.X +.Y U.S.V'. V.S -.U'.Y U.U'.Y Ke sejnému výsledku lze dospě i ehdy, když se do regrese použijí míso korelovaných proměnných X orhogonální proměnné U (eno posup je podsaou.zv. regrese s hlavními komponenami (PCR principal componen regression). () Y calc U (U'U) - U'.Y U.U'.Y Vypočíané hodnoy závisle proměnné Y calc lze edy získa projekcí experimenálních hodno Y pomocí projekční maice vyvořené z orhogonálních vekorů po singulárním rozkladu maice X. Přiom se může použí maice U mp celá nebo podobně zredukovaná v rozměru p na q jako při výpoču pseudoinverze X (rovnice 7). 8
Při meodě PCR se počíá regrese hodno Y na hlavních komponenách (skórech) C, keré jsou orhogonální, ale nejsou normované (normou je odpovídající singulární hodnoa) a jsou zredukované v rozměru p na q. (3) Y calc X mp. pn U mp.s pp.(v pp )'. pn C mq.(v pq )'. pn C mq. qn Z rovnosi (V pq )'. pn qn plyne, že odhad paramerů neovlivněných korelací mezi proměnnými X se získá jako (4) pn V pq.(v pq )'. pn V pq. qn Projekční maice V pq.(v pq )' převádí maici nesabilních regresních koeficienů pn v maici sabilných (ale vychýlených) regresních koeficienů pn. Z rovnice 3 aké plyne, že paramery regrese X na C (.j. V) a Y na C (.j. ) jsou součásí paramerů regrese Y na X (.j. ). Jak úspěšně lze maici Y vysvěli proměnnými maice X je možno esova pomocí souču čverců rezidulálů (SSR) (5) SSR (Y - UU'Y)'.(Y - UU'Y) respekive pomocí odpovídající reziduální sandardní odchylky (RSD) (6) RSD [ SSR / (n (m-q))] q < p 9
3. Nelineární regrese Jak již bylo uvedeno, v regresní rovnici je závisle proměnná y funkcí nezávisle proměnných veličin x a paramerů β: () y n, f( x n,p, β p, ) + ε n, kde n je poče měření a p je poče paramerů β. Je-li alespoň jedna parciální derivace éo funkce podle někerého parameru b, b, b 3,...b p nekonsanní,.j. závislá na jiném b, pak je regresní funkce nelineární. např. pro (7) y b + b. exp(b 3.x) jsou parciální derivace g rovny: g y/ b g y/ b exp(b 3.x) g 3 y/ b 3 b.x.exp(b 3.x) Proože g a g 3 jsou nekonsanní je uvedená rovnice nelineární. Pro jinou funkci, např. y b + b.x + b 3.x g, g x a g 3 x jsou parciální derivace nezávislé na paramerech b a ao rovnice je z hlediska paramerů lineární. V nelineární regresi nelze vypočía paramery b přímo,ale jejich opimální hodnoy se hledají ieraivně,.j. posupným vylepšováním původních odhadù b, b, b 3,...b p. Jedna z časo používaných ieraivních meod využívá linearizaci Taylorovým rozvojem; další, časo používaná meoda se nazývá simplex. LINERIZCE TYLOROVÝM ROZVOJEM První krok: navrhne se model y f(x,b), např. rovnice y b + b. exp(b 3.x), a původní odhad paramerů b i,.j. b, b,... b p, získaný řeba výpočem ze zlogarimovaného modelu. Druhý krok:
z derivací g i (i,,..p) funkce y kolem původního odhadu jednolivých paramerů b i se sesaví Jakobiho maice J. (8) [ y/ b i ] bbo n [ g g...g p ] J (n,p), Třeí krok: funkce y se rozvine do Taylorovy řady s ím, že se expanse omezí jen na první derivaci: (9) y y + J. (b - b ).j. z původních odhadů paramerů b a modelové rovnice (7) se vypočíá y a dosadí se jako y do rovnice (9); améž se za y dosadí experimenální hodnoy. Čvrý krok: neznámý vekor paramerů b se vypočíá pomocí pseudo-inverze Jakobiho maice jako první zlepšení pùvodního odhadu paramerů b. (3) b - b ( J'.J ) -.J'.( y - y ) Páý krok: oo první zlepšení paramerù b se nyní označí jako b, vypoče se s jeho pomocí podle rovnice (7) nové y a nové jednolivé vekory g i maice J a podle rovnice (3) se získá druhý zlepšený odhad b. Tyo dva kroky se opakují ak dlouho, pokud se nový odhad liší od předcházejícího o více než předem definovanou hodnou. Jako ao mezní hodnoa se může např. zvoli norma vekoru b - b.. Výpoče inverse maice J'.J může skonči neúspěchem, pokud budou vekory g na sobě lineárně závislé. Proo je vhodné vloži mezi řeí a čvrý krok.zv. vyšeření podmíněnosi maice J a) od Jakobiho maice se vypočíá korelační maice bez cenrování da,.j. čvercová maice L, jejíž prvky jsou: (g i )'.g j (3) L i,j -------------------- [(g i )'.g i ]. [(g j )'.g j ] b) je-li deerminan maice L <. je maice J španě podmíněná. Důvodem pro španou podmíněnos maice J může bý přeurčený model,.j. v rovnici y f(x,b) je příliš mnoho paramerù, keré nelze samosaně opimalizova. ude-li v rovnici (3) alespoň jedno v i rùzné od nuly, je regresní model přeurčený. (3) p Σ i g i.v i
např. pro rovnici (3) y b.exp( b + b 3.x ) jsou parciální derivace g rovny: g y/ b exp( b + b 3.x ) g y/ b b.exp( b + b 3.x ) g 3 y/ b 3 b.x.exp( b + b 3.x) a rovnice Σ g i.v i ( v + v b + v 3 b x ).exp( b + b 3.x ) je splněna např. když v -b, v, v 3 a model (3) je přeurčený. Přeučenos modelu je možno někdy omezi reparamerizací. Např. rovnici (3)] je možno přepsa jako (33) y exp( a + a.x ) kde a ln b + b, a b 3. pak Σ g i.v i ( v + v x ).exp( a + a.x ) neni splněna pro nenulová v a v. Nebo při jiné reparamerizaci (34) y a.exp( a.x ) kde a b.exp( b ), a b 3. Pak rovnos Σ g i v i ( v + v a x ).exp( a.x ) plaí jen jsou-li v i v rovny nule a model není přeurčený. V případě, že se reparamerizací modelu španá podmíněnos maice J'.J nezlepší, je možno maici J'.J upravi podobně jako při zv. hřebenové (ridge) regresi a počía inversi maice (J'.J + αi), kde α se volí podle supně podmíněnosi maice J'.J. Španá podmíněnos může nasa aké v případě, když průměr nezávisle proměnné hodnoy je daleko od nuly. Jednoduchá ransformace - cenrování - ěcho hodno může podmíněnos značně zlepši. To znamená, že rovnici ypu (34) je možno počía v alernaivní formě (35) a hledaná hodnoa parameru a se pak vypoče z a, a a známé prùměrné hodnoy x p (rovnice 36). (35) y a.exp( a ( x-x p )) (36) a a / exp( a.x p ).
OPTIMLIZCE SIMPLEXEM Simplex je prosorový úvar, kerý má pro p opimalizovaných paramenrů p+ vrcholů pravidelného mnohosěnu; pro dva paramery je o rovnosranný rojúhelník, pro ři paramery je o pravidelný čyřsěn ad. Souřadnice vrcholů simplexu předsavují odhady opimalizovaných paramenrů. Ze všech p+ odhadů se vypočíají odpovídající hodnoy y calc a zjisí se nejhorší shoda s y exp, např. pomocí sandardní odchylky. Nejhorší případ se vyřadí a nový vrchol simplexu se vypočíá z odhadů paramerů získaných reflexí rovinou zbývajících p bodů. Znovu se posoudí všechny y calc a nejhorší výsledek se opě vyřadí. Teno posup se opakuje ak dlouho,až se nový vrchol simplexu neliší od předcházejícího o více než zadanou oleranci. V případě dvou paramerů se edy sesrojí rojúhelníkový simplex ako: jako první vrchol se umísí do počáku souřadné sousavy,.j. bod, odhad paramerů získaný např. z odpovídající ineární regrese. další vrcholy simplexu se získají vynásobením vhodně zvoleného kroku číslem uvedeným v následující abulce. Vrchol Poče fakorů simplexu 3 4 5 -----------------------------------------------------.......... 3.5.866... 4.5.89.87.. 5.5.89.4.79. 6.5.89.4.58.775 ----------------------------------------------------- Trojúhelníkový simplex vypadá edy např. ako: 3
Je-li nejhorší shoda vypočených a naměřených hodno y při paramerech, provede se nový výpoče za podmínek D; v případě nejhoršího výsledku při paramerech je nový výpoče nasměrován do polohy D. Jesliže se přesáhne reálný rozsah opimalizovaného parameru, může se vzdálenos bodu po reflexi zmenši. Zkracování, prodlužování nebo zkracování s inverzí vzdálenosi po reflexi (.j. modifikovaných simplex) se používají k rychlejšímu získání opimalizovaných hodno paramerů. 4
4. Saisické esování regresních paramerů Pro posouzení kvaliy proložení vypočíáné funkce eperimenálními body (goodnes of fi) se používá korelační koeficien, r, a sandardní odchylka regrese (sandard error of esimae), s e. Jinou, důležiou charakerisikou při regresi je sandardní odchylka měřených da,.j. s y. Jednak umožňuje posoudi, jak jsou daa rozpýlena od průměru (lze předpokláda, že regrese založená na věším rozsahu experimenálních da bude významnější než a, kerá využívá jen da velmi blízkých průměru) a jednak napomáhá při rozhodování, zda někerou experimenální hodnou lze považova za vychýlenou nebo ne. Známe-li kerékoliv dvě z ěcho ří hodno, u řeí lze snadno dopočía ze vzahu (37) pro korelační koeficien (samozřejmě je řeba zná i poče měření, n, a opimalizovaných paramerů, p). (37) r se n p s n y SR SY Při hodnocení korelačního koeficienu (.j. jeho saisické odlišnosi od nuly) se počíá jeho F es (38), kerý se někdy považuje za es spolehlivosi regrese jako akové; o nemusí bý pravda pro malé směrnice regrese,.j. při malé hodnoě s y. r n p SY SR n p (38) F F (.5, p, n p) r p SR p Ke zjišění saisické významnosi jednolivých paramenrů b ve více-rozměrné lineární nebo nelineární regresi je řeba zná jejich sandardní odchylky s b. Ty se vypočíají ze sandardní odchylky regrese, s e, a z odmocniny odpovídajících diagonálních elemenů maice V. (39) V (Z' Z) - kde Z [ g g g 3...g p ] a g jsou derivace funkce y podle jednolivých paramenrů b. Pro lineární regresi se maice Z rovná maici X. (4) s b s e ( diag (V)) Saisická významnos se pak zjisí Sudenovým -esem ak, že se vypočená hodnoa (4) porovná s hodnoou kriickou, abelovanou (viz kapiola ) pro hladinu spolehlivosi (věšinou.5,.j. 95%) a poče supňů volnosi (n-p): je-li splněna nerovnos (4), pak esovaný rozdíl (b - β) je saisicky významný. 5
b β (4) (.5, n p) sb Je-li β, pak se esuje saisická významnos odpovídající proměnné (resp. odchylka příslušného paramenru od nuly), v případě, že β, lze ako esova významnos odchylky odpovídající směrnice od jedné. Saisická významnos přidání další proměnné do regresní závislosi se dá aké esova pomocí parciálního F-esu (4). F SR SR p p+ n p F, SRp+ (4) ( ) (.5, n p) kde SR p je souče čverců reziduálů z regrese s p paramenry a SR p+ je oéž pro regresi s p+ paramery. Vypočíaná hodnoa F se srovnává s kriickou hodnoou abelovanou pro zvolenou hladinu saisické významnosi a odpovídající poče supňů volnosi: je-li splněna nerovnos (4), pak přidání další proměnné je saisicky významné. Jiným esem pro ocenění kvaliy v případě lineárního regresního modelu je analýza reziduálů, ε y exp -y calc. K zvýraznění reziduálů, keré mohou paři podezřelému odlehlému měření, se reziduály převádějí na.zv. 'jackknife' reziduály (43). Teno přepoče simuluje výpoče reziduálů s vynecháním konkreního měření,.j. jisé měření y exp se vynechá, regresní paramery se vypočíají ze zbylých měření y, z ěcho paramerů a z odpovídajících hodno vysvělujících proměnných, x, se vypočíá y calc a porovná s experimenální hodnoou: ε jk y exp y calc. (43) n p ε jk εn kde n p ε n ε n s h e ε i a h i je odpovídající diagonální elemen ransformační maice HX(X'X) - X'. Jeli ε jk >. (n-p), pak se y i považuje za měření podezřelé z odlehlosi a regrese by se měla zopakova bez něho. Zjisí-li se, že nové paramenry se neliší od dřívějších o více než jednu sandardní odchylku s b, nebo že se při nové regresi zvýšila sandardní odchylka experimenálních da od průměru, s y (.j. v důsledku snížení poču supňů volnosi ve jmenovaeli), pak můžeme podezření z odlehlosi opusi. 6
ČÁST. INTEGROVNÉ RYCHLOSTNÍ ROVNICE. Unimolekulární vraná reakce k k Rychlos éo reakce υ je možno vyjádři např. jako úbyek reakanu s časem: υ d d k + k Z výpočeních důvodů je vhodné, nahradi dvě proměnné veličiny, a,.j. koncenrace reakanu a reakanu v čase jednou pomocnou proměnnou x, kerá předsavuje zreagované množsví v čase a nazývá se rozsah reakce (angl. conversion variable) d dx d x - - poom ( k + k ) x + k k kx + m d x dx d ln m kx m kx m k nechť m F k poom po odlogarimování F x exp( k F ) a po dosazení za x dosaneme rovnice pro pokles koncenrace a nárus koncenrace s časem. F + Fexp( k ) () + F Fexp( k ) Rovnovážná konsana reakce je (čas dosažení rovnováhy je označen ): () K k k + F F proože F K K + 7
Variana : Pro případ, že K, což nasane např. při racemizaci: a rovnice () se změní ako: F (3) + + + exp( k ) exp( k ) Jesliže se racemizace sleduje polarimericky, pak naměřená opická oáčivos je úměrná rozdílu koncenrací složek a,.j. : (4) α ( ) α exp( k ) exp( k ) Pro nelineární regresi je vhodné doplni rovnici (4) o konsanní paramer a, kerý předsavuje sysemaickou chybu měření (nepřesné vynulování přísroje) a o ε, což je reziduál neboli náhodná chyba měření. (5) α a + α exp( k ) + ε Variana : Pro případ, kdy počáeční koncenrace reagenu je nulová,,.j. vychází se z čisého reagenu, není řeba zavádě do výpoču pomocnou proměnnou x. d d k + k Pak se za dosadí z rovnice + - d d ( k + k ) + k k + m 8
m k po odlogarimování F exp( k F ) pro F Po dosazení z rovnice - (6) F ( F F + ( F )exp( k ) )exp( k ) proože F k je rovnovážná konsana k + k K + K F F Je-li v omo případě + K pak exp( k ) F exp( k ) a podobně jako v předcházející varianě exp( k ) resp. α α exp( k ) Variana 3: Jiný případ nasane, když rychlosní konsana zpěné reakce,.j. k, je nulová, nebo vzhledem ke k zanedbaelně malá. Poom reakční rychlos υ je dána d dx υ k k ( x ) d d.j. d k d ln ln k (7) exp( k ) resp. x ( exp( k )) kde x je přírusek koncenrace produku (.j. ) a rovnice (7) jsou shodné s rovnicemi (6) pro F. 9
. imolekulární reakce Při éo reakci se mohou výchozí koncenrace a liši, nebo mohou bý sejné; podle oho dosáváme odpovídající kineické rovnice. Variana : Pro > a x, x ( )( ) x x k k d dx ( )( ) x x x M kde d k x M x M x x dx ; po inegraci: k x x + ln ln ( )k x x. ln nechť V ( ) ( ) E k x x V exp pak ( ) ( ) E E V x E x E V x V (8) ( ) ( ) + + k E V V x exp + P
Variana : Pro P po inegraci d d k d kd k + k (9) + k a + a + a Je vhodné rozšíři rovnici o člen a a po výpoču esova jeho saisickou významnos. 3. Enzymově kaalyzovaná reakce E + k M k P + E k - Rychlos reakce,.j. rychlos vzniku produku P závisí na koncenraci meziproduku M a rychlosní konsaně k. υ dp d k M Koncenrace meziproduku v čase je dána dm d k E k M k M
Předpokládá se, že v usáleném savu je koncenrace meziproduku malá a prakicky s časem neměnná; proo je možno položi dm /d. Celková (.j. původní) koncenrace enzymu je v čase rozdělena mezi enzym volný E a enzym v meziproduku M. M E E + Poslední dvě rovnice se vyjádří maicově ako: ( ) + E M E k k k Koncenraci meziproduku M pořebnou pro výpoče reakční rychlosi vypočíáme pomocí inverze čvercové maice: Její deerminan ( ) k k k D + ( ) + E k k k D M E ( ) k k k E k k D E k M + + υ Po dosazení K M (k - +k )/k a V M k E dosaneme rovnici Michaelisovu- Menenové: M M K V + υ kde V M je maximální rychlos reakce a K M je Michaelisova konsana (.j. koncenrace subsráu, při níž dosahuje reakční rychlos polovinu rychlosi maximální). Pro nelineární regresi je vhodné uo rovnici upravi do varu: x a x a a y + +
ČÁST 3. VÝPOČTOVÉ PROGRMY. Nelin: exponenciální regrese s Taylorovým rozvojem % nelin.m clc disp('program nelin.m verze 7.6.999') if exis('h'), clear h; if exis('x'), clear x; if exis('y'), clear y; disp('pro vypoce parameru nelinearni regrese') disp('.model: y b*exp(b*x) ') disp('.model: y b + b*exp(b3*x) ') wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved sloupcovy vekor x '); yinpu('zaved vekor ampliud y '); unones(size(y)); mdlengh(x); X[un x]; if y()<y(md) cceil(y(md)); if cy(md) cc+e-6; yec-y; else yey; ainv(x'*x)*x'*log(ye); aexp(a()); aa(); if y()<y(md) yya*(-exp(a*x)); else yya*exp(a*x); RSSa(ye-yy)'*(ye-yy); RSSRSSa; figure() plo(x,ye,'ko',x,yy),grid,pure,ile(['rssa ' numsr(rssa)]); pause(e-6) if wm b[a a]'; 3
bb; if y()<y(md) gexp(b()*x); g-g; g-b()*(x.*g); else gexp(b()*x); gb()*(x.*g); Z[g g]; yb()*g; nymd-; elseif wm if y()<y(md) b[a -a a]'; else b[ a a]'; bb; gun; gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); Z[g g g3]; yb()+b()*g; nymd-3; % vyšeření podmíněnosi původní maice pod.; LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['puvodni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['puvodni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) n; h; while n>. hh+; disp(h) if h>; break; figure() plo(x,y,'k*',x,y),grid,pure,ile(['rss ' numsr(rss)]); 4
pause(e-6) if wm if y()<y(md) gexp(b()*x); g-g; g-b()*(x.*g); else gexp(b()*x); gb()*(x.*g); Z[g g]; yb()*g; nymd-; elseif wm gun; gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); [u s v]svd(z,); izv*inv(s)*u'; iz*(y-y); nnorm(); h(h,:)[' b']; bb+; if wm if y()<y(md) gexp(b()*x); g-g; g-b()*(x.*g); else gexp(b()*x); gb()*(x.*g); Z[g g]; yb()*g; elseif wm gun; gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); 5
Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); disp([' linearni odhad a ' numsr(a)]); disp([' linearni odhad a ' numsr(a) '; RSS ' numsr(rssa)]); if wm disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b())]); disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b()) '; RSS ' numsr(rss)]); elseif wm disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b())]); disp(['nelinearni odhad b ' numsr(b())]); disp(['nelinearni odhad b3 ' numsr(b(3)) '; RSS ' numsr(rss)]); % vyšeření podmíněnosi poslední maice LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['posledni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['posledni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) serss/ny; sesqr(se); disp(['se ' numsr(se)]) FIIiZ*iZ'; sbsqr(se*diag(fii)); bsbabs(b./sb); disp(' b sb bsb'); forma long disp([b sb bsb]); forma shor ssuden(ny); disp(['je-li bsb vesi nez ' numsr(s) ', zamia se nulova hypoeza']); % funcion y korr(x) [m,n] size(x); if (m ) m n; x x.'; c x' * x / m; 6
d diag(c); y c./sqr(d*d'); funcion y suden(x) z44.549/x; z3(.6+z4)/x; z(3.6+z3)/x; z(.35+z)/x; y.96+z; 7
Prookol z výpoču programem Nelin.m Daa uložená pod názvem "bradam" pocházejí z polarimerického sledování roační enaniomerace 3-brom-,4,6-rimehylfenyladamanyl keonu (dosud nepublikováno). /s α/mdeg /s α/mdeg /s α/mdeg ----------------------------------------------------------- 464 74 67 46 5 444 98 47 46 3 4 45 3 498 36 4 46 534 93 48 395 7 57 84 66 375 94 86 66 77 9 357 38 7 64 68 6 3 354 55 678 6 5 88 39 39 ----------------------------------------------------- Program nelin.m verze z 7.6.999 pro vypoce parameru nelinearni regrese.model: y b*exp(b*x).model: y b + b*exp(b3*x) vyber model wm zaved sloupcovy vekor x zaved vekor ampliud y alfa puvodni model neni spane podmineny: de(ll).556 linearni odhad a 45.59 linearni odhad a -.973; RSS 488.58 nelinearni odhad b 3.75 nelinearni odhad b 448.398 nelinearni odhad b3 -.363; RSS 6.667 posledni model neni spane podmineny: de(ll).637 se.474 b sb bsb ----------------------------------- 3.75.639 5.989 448.398.346 9.55 -.3. 7.4645 je-li bsb vesi nez.683, zamia se nulova hypoeza program nelin.m verze z 7.6.999 pro vypoce parameru nelinearni regrese.model: y b*exp(b*x).model: y b + b*exp(b3*x) vyber model wm 8
zaved sloupcovy vekor x zaved vekor ampliud y alfa puvodni model neni spane podmineny: de(ll).56568 linearni odhad a 45.59 linearni odhad a -.973; RSS 488.58 nelinearni odhad b 459.456 nelinearni odhad b -.354; RSS 38.733 posledni model neni spane podmineny: de(ll).56844 se 3.539 b sb bsb ---------------------------------------- 459.456.47 3.95 -.3. 6.68 je-li bsb vesi nez.636, zamia se nulova hypoeza ------------------------------------------------------------------------------------------------- lineární odhad ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- nelineární odhad 9
. Simpl: exponenciální regrese s modifikovaným simplexem % simpl.m clc disp('program simpl.m verse 4.3.999') if exis('b'),clear b; global x y md ny wm b RSS smo disp('simplex (NELDER.M) na exponencialni rovnici ') disp('.model: yexp(b+b*x)') disp('.model: yb+exp(b+b3*x)') wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved vekor x '); yinpu('zaved vekor y '); [md nd]size(x); unones(md,); X[un x]; ainv(x'*x)*x'*log(y); if wm ba; bb; yexp(b()+b()*x); elseif wm b[;a]; bb; yb()+exp(b()+b(3)*x); plo(x,y,'ko',x,y,'k-') wkb; wknelder('simpla',wk,.); disp(' '); disp(b') disp(b') disp(['rss ' numsr(rss)]) disp(['smo ' numsr(smo)]) funcion fnsimpla(wk) global x y md ny wm b RSS smo bwk; if wm yyexp(b()+b()*x); nymd-; elseif wm yyb()+exp(b()+b(3)*x); 3
nymd-3; RSS(y-yy)'*(y-yy); smosqr(rss/ny); plo(x,y,'ko',x,yy,'k-'),ile(['rss ' numsr(rss)]) pause(.) fnsmo; funcion x nelder('simpla',x,ol) % Nelderův-Meadův simplexový algorimus pro minimalizaci % nelineární funkce několika proměnných. % 'simpla' je jméno funkce, kerá má bý minimalizována, % x je vekor, kerý se opimalizuje na nový vekor % minimalizující funkci 'simpla'. % ol je olerance na zasavení opimalizace (normálně.) [n,m] size(x); if m > n x x'; n m; if nargin < 3, ol.e-3; v.9*x; f feval(f,v); for j :n y x; if y(j) ~ y(j).*y(j); else y(j).; v [v y]; f [f feval(f,y)]; [f,j] sor(f); v v(:,j); while es ; for j :n+, es max(es,norm(v(:,j)-v(:,),)); if es < ol, break, [v,f,how] neldsep(f,v,f); x v(:,); 3
funcion [v,f,how] neldsep(f,v,f) % funkce používaná simplexovým algorimem NELDER; % v je simplex (je o n,n+ maice); hodnoy funkce jsou: % f(j) fun(v(:,j)), j :n+, wih f() <... < f(n+) % F 'simpla'; výsledkem je nový simplex v % how popisuje krok, kerý se právě koná alpha ; bea /; gamma ; [n,np] size(v); vbar mean(v(:,:n)')'; vr ( + alpha)*vbar - alpha*v(:,n+); fr feval(f,vr); vk vr; fk fr; how 'reflec '; if fr < f(n) if fr < f() ve gamma*vr + (-gamma)*vbar; fe feval(f,ve); if fe < f() vk ve; fk fe; how 'expand '; else v v(:,n+); f f(n+); if fr < f v vr; f fr; vc bea*v + (-bea)*vbar; fc feval(f,vc); if fc < f(n) vk vc; fk fc; how 'conrac'; else for j :n v(:,j) (v(:,) + v(:,j))/; f(:,j) feval(f,v(:,j)); vk (v(:,) + v(:,n+))/; fk feval(f,vk); how 'shrink '; v(:,n+) vk; f(:,n+) fk; [f,j] sor(f); v v(:,j); 3
% konfi.m verze 4.7.999 clc disp('program konfi.m-pocia inerval spolehlivosi,.j. ± c') disp('pro paramery nelinearni rovnice') disp('.model: y b + b*exp(b3*x)') disp('.model: y b + exp(b+b3*x)') wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved vekor promennych x '); binpu('zaved vekor parameru [b] '); smoinpu('zaved res.smer.odchylku smo '); xx(:); mdlengh(x); gones(size(x)); if wm gexp(b(3)*x); g3b()*(x.*g); elseif wm gexp(b()+b(3)*x); g3x.*exp(b()+b(3)*x); Z[g g g3]; IZinv(Z'*Z); VV(diag(IZ)*(smo^)); sbvv.^(/); krisuden(md-3); ckri*sb; disp(' ') disp(' b sb b /sb ± c ') disp('------------------------------------------') disp([b sb abs(b)./sb c]); disp(['kri ' numsr(kri)]); % 33
Prookol z výpoču programem Simpl.m Daa pro závislos rychlosní konsany na eploě: J.Sandsröm, Dynamic NMR Specroscopy, cademic Press, 98, sr. 55. ka/s - T/K it/ -3 K - ----------------------------------------------------------- 7.3 3.55 3.36.5 36.5 3.664 9.5 3.55 3.98 8.5 35.95 3.65 48. 3.5 3.38 7. 37.95 3.49 5. 333.95.9945 45. 336.35.973 3. 34.95.944 6. 344.75.97 355. 347.95.874 43. 35.75.849 55. 354.35.8 6. 355.55.85 95. 36.5.763 3. 367.35.7 7. 37.75.688 3. 377.75.6473 ----------------------------------------------------------- Program simpl.m verse.8.999 simplex (NELDER.M) na exponencialni rovnici.model: yexp(b+b*x).model: yb+exp(b+b3*x) vyber model wm zaved vekor x it zaved vekor y ka linearni odhad b a b: 3.6-863.7 nelinearni odhad b a b: 9.6-84.8 RSS 8497.59 smo 3.449 Program simpl.m verse.8.999 simplex (NELDER.M) na exponencialni rovnici.model: yexp(b+b*x).model: yb+exp(b+b3*x) vyber model wm zaved vekor x it zaved vekor y ka 34
linearni odhad b a b3: 3.6-863.7 nelinearni odhad b, b a b3: -.9 9. -8.9 RSS 767.5379 smo.635 program konfi.m - pocia inerval spolehlivosi,.j. +-c pro paramery nelinearni rovnice.model: y b + b*exp(b3*x).model: y b + exp(b+b3*x) vyber model wm zaved vekor promennych x it zaved vekor parameru [b] b zaved res.smer.odchylku smo smo b sb b /sb +-c ------------------------------------------.e+3 * -.9.3.3..9.4.75.9-8.9.57.534.33 kri.33 Hodnocení: paramer b není saisicky významný ------------------------------------------------------------------------------------------ Model, bez konsanního členu 35
3. Rada: nelineární regrese s Taylorovým rozvojem % rada.m clc % verse 7.9.999 if exis('h'), clear h; if exis('x'), clear x; if exis('y'), clear y; disp('program rada.m pro reseni rovnice (/)(/o)+k') disp('jako nelinearni rovnice a+(a+a3*)^(-)'); inpu('zaved casy mereni '); inpu('zaved odezvy v case '); x; y; mdlengh(x); unones(size(y)); yaun./y; X[un x]; ainv(x'*x)*x'*ya; disp(['linearni odhad ' numsr(/a())]); disp(['linearni odhad ka ' numsr(a()/)]); b[; a(); a()]; bb; gun; gub()+b(3)*x; g(-)*gu.^(-); g3g.*; Z[g g g3]; yb()+gu.^(-); RSSa(y-y)'*(y-y); pod.; LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['puvodni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['puvodni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) n; h; RSSRSSa; while n>. hh+; disp(h) 36
if h>; break; figure() plo(x,y,'ko',x,y),grid,pure,ile(['rss ' numsr(rss)]); pause(e-6) gun; gub()+b(3)*x; g(-)*gu.^(-); g3g.*; Z[g g g3]; yb()+gu.^(-); RSS(y-y)'*(y-y); [u s v]svd(z,); izv*inv(s)*u'; iz*(y-y); nnorm(); h(h,:)[' b']; bb+; gun; gub()+b(3)*x; g(-)*gu.^(-); g3g.*; Z[g g g3]; yb()+gu.^(-); RSS(y-y)'*(y-y); bb(); b3b(3); disp(['nelinearni odhad ' numsr(/b)]); disp(['nelinearni odhad ka ' numsr(b3/) '; RSS ' numsr(rss)]); LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['posledni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['posledni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) serss/(md-3); sesqr(se); disp(['se ' numsr(se)]) FIIiZ*iZ'; sbsqr(se*diag(fii)); bsbabs(b./sb); disp(' b sb bsb'); 37
forma long disp([b sb bsb]); forma shor ssuden(md-3); disp(['je-li bsb vesi nez ' numsr(s) ', zamia se nulova hypoeza']); % 38
Prookol z výpoču programem Rada.m Daa pro závislos vodivosi vodného rozoku NaOH na posupu hydrolýzy ocanu ehylnaého: E..Guggenheim, J.E.Prue, Physicochemical Calculaions, Inerscience Publishers Inc., New York, 955, sr.43 (ruský překlad 958). /s κ(rel) --------------------------------------------------.56 5.35 7.47 9.93.46 3.7 5.64 8..994 5.945 7.93 -------------------------------------------------- Program rada.m pro reseni rovnice (/)(/o)+k jako nelinearni rovnice a+(a+a3*)^(-) zaved casy mereni zaved odezvy v case kp linearni odhad.465 linearni odhad ka.7885 puvodni model je spane podmineny: de(ll).864 nelinearni odhad. nelinearni odhad ka.345; RSS 5.45e-5 posledni model neni spane podmineny: de(ll).4689 se.5 b sb bsb -------------------------------------------.5589.85 65.79.999.79 7..645.7 36.944 je-li bsb vesi nez.365, zamia se nulova hypoeza 39
4. Michme: nelineární regrese Taylorovým rozvojem % michme.m verze 6..999 clc if exis('x'), clear x; if exis('y'), clear y; if exis('h'), clear h; disp('program michme.m') disp('nelinearni vypoce parameru rovnice Michaelisovy-Menenove') disp('.model: y b*x/(b+x) '); disp('.model: y b + b*x/(b3+x) '); wminpu('vyber model wm '); xinpu('zaved sloupcovy vekor x '); yinpu('zaved vekor ampliud y '); [md nd]size(x); unones(md,); ivun./y; isun./x; X[un is]; ainv(x'*x)*x'*iv; yyx*a; rracorr([iv yy]); rarra(,); RSSa(iv-yy)'*(iv-yy); RSSRSSa; figure() plo(is,iv,'k*',is,yy) ile(['rssa ' numsr(rssa)]); xlabel('linearni prolozeni') pause figure() plo(x,y,'*',x,un./yy) ile(['rssa ' numsr(rssa)]); xlabel('nelinearni prolozeni') pause aa(); aa(); if wm b[/a a/a]'; bb; gx./(b()+x); g-(b()*x)./((b()+x).^); Z[g g]; 4
yb()*g; elseif wm b[ /a a/a]'; bb; gun; gx./(b(3)+x); g3-(b()*x)./((b(3)+x).^); Z[g g g3]; yb()+b()*g; % vysereni podminenosi puvodni maice pod.; LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['puvodni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['puvodni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) n; h; while n>. hh+; figure(3) plo(x,y,'k*',x,y,x,un./yy,'o') ile(['rss ' numsr(rss)]); if wm gx./(b()+x); g-(b()*x)./((b()+x).^); Z[g g]; yb()*g; elseif wm gun; gx./(b(3)+x); g3-(b()*x)./((b(3)+x).^); Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); inv(z'*z)*z'*(y-y); nnorm(); h(h,:)[' b']; bb+; 4
if wm gx./(b()+x); g-(b()*x)./((b()+x).^); Z[g g]; yb()*g; elseif wm gun; gx./(b(3)+x); g3-(b()*x)./((b(3)+x).^); Z[g g g3]; yb()+b()*g; RSS(y-y)'*(y-y); rrbcorr([y y]); rbrrb(,); disp(['linearni odhad V (/a) ' numsr(/a) '; ra ' numsr(ra)]); disp(['linearni odhad K (a/a) ' numsr(a/a) '; RSS 'numsr(rssa)]); if wm disp(['nelinearni odhad V (b) ' numsr(b()) '; rb ' numsr(rb)]); disp(['nelinearni odhad K (b) ' numsr(b()) '; RSS ' numsr(rss)]); nymd-; elseif wm disp(['nelinearni odhad (b) ' numsr(b()) '; rb ' numsr(rb)]); disp(['nelinearni odhad V (b) ' numsr(b()) '; rb ' numsr(rb)]); disp(['nelinearni odhad K (b3) ' numsr(b(3)) '; RSS ' numsr(rss)]); nymd-3; % vysereni podminenosi posledni maice LLkorr(Z); delde(ll); if del<pod disp(['posledni model je spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) else disp(['posledni model neni spane podmineny: de(ll) ' numsr(del)]) serss/ny; sesqr(se); disp(['se ' numsr(se)]) izzinv(z'*z); sbsqr(se*diag(izz)); bsbabs(b./sb); disp(' b sb bsb'); 4
forma long disp([b sb bsb]); forma shor ssuden(ny); disp(['je-li bsb vesi nez ' numsr(s) ', zamia se nulova hypoeza']); 43
Prookol z výpoču programem Michme.m Daa nasimulovaná a zaížená náhodnou chybou. program michme.m nelinearni vypoce parameru rovnice Michaelisovy-Menenove.model: y b*x/(b+x).model: y b + b*x/(b3+x) vyber model wm zaved sloupcovy vekor x xi zaved vekor ampliud y yr xi yr xi yr --------------------------------------------------..49..3334.4.68.4.348.6.53.6.3537.8.795.8.347..95 3..3556..36 4..3663.4.377 5..3665.6.334 6..3638.8.336 7..379..347 8..3833 -------------------------------------------------- puvodni model je spane podmineny: de(ll).985 linearni odhad V (/a).393; ra.9993 linearni odhad K (a/a).354; RSS.3584 nelinearni odhad (b) -.794; rb.9967 nelinearni odhad V (b).3989; rb.9967 nelinearni odhad K (b3).395; RSS.49 posledni model je spane podmineny: de(ll).89643 se.49759 b sb bsb ----------------------------- -.79..359.3989.3 9.6366.395.347 8.943 ---------------------------------------------------- je-li bsb vesi nez.96, zamia se nulova hypoeza 44
program michme.m nelinearni vypoce parameru rovnice Michaelisovy-Menenove.model: y b*x/(b+x).model: y b + b*x/(b3+x) vyber model wm zaved sloupcovy vekor x xi zaved vekor ampliud y yr puvodni model neni spane podmineny: de(ll).3443 linearni odhad V (/a).393; ra.9993 linearni odhad K (a/a).354; RSS.3584 nelinearni odhad V (b).3966; rb.99669 nelinearni odhad K (b).38; RSS.449 posledni model neni spane podmineny: de(ll).34585 se.4855 b sb bsb ----------------------------------.397. 76.3955.38.6 3.38 ------------------------------------------------------------- je-li bsb vesi nez.7, zamia se nulova hypoeza 45