Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 1 Příklad 2. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných k do nepravidelně rozděleného počtu všech možných n celku. Volíme podobně jako v příkladu č.1 často používaný model loterní hry 6 losovaných z celku 49. Pro účel demonstrace rozdělíme 49 na 3 nestejné skupinky, které znázorňují členění systému. Členění reprezentuje různé vlastnosti. Každá podmnožina představuje například navzájem vylučující se varianty. Určujeme n 1 = 3p, n 2 = 14p, n 3 = 32p, Nejprve provedeme výpočet, a pak provedeme statistické vyhodnocení jednotlivých k-tic, pro k (0, 1,..6). Na závěr provedeme srovnání a vysvětlení některých pojmů. Řešení: Oproti prvnímu příkladu máme ztížené zadání. Zatímco všechny modifikace k v 1. příkladu mohly existovat v modifikacích n, nyní tomu tak není. Musíme proto na M K nahlížet jako na množinu kvalitativně různou od množiny M N. Množina všech možných se stává nadsystémem, což je pojem, který je objasněn v kapitolách vzorových řešení. Zatímco v prvém příkladu jsme záležitost asociovali jako : 7(7p c m n ) _ M N při: M K (6x 1 ) 4 M N-K (43x 0 ) v rámci existující současnosti, je tento příklad dán takto: (n 1 u 3p N ) 4 (n 2 u 14p N ) 4 (n 3 u 32p N ) _ M N u 49p 0 naproti tomu existuje množina M K s 11-ti podobami (modifikacemi k) Proto M K 3 M N variantnost asociace je veliká, například také M K 5 M N, nebo M K ` M N Poněkud obtížnější je představa sjednocení prvků při interakci, tedy představa, že se prázdný prvek stane plným prvkem ale je to dáno bez komentáře takto: (p 0 + p 1 )(dt) 1 w (p 0 * p 1 )(dt) 0 = 1 Zatímco M N je konstantní s jedinou podobou modifikace, má M K modifikací hned 11. Ne všechny modifikace k je možné variačně kombinovat s nadsystémem. Tam, kde je počet podmnožin k větší než počet podmnožin n, nebo 1 podmnožina k větší od podmnožiny n, dochází k vyloučení v predikci (totální vyloučení existence). Každá modifikace pak má váhu 1 celá. Můžeme proto váhu základního výpočtu zanedbat. Pro úplnost si ukážeme modifikace M K. Pojem množina k 2. příklad Modifikace M systému k=6p. 6 1.M =1n Pro n2, n3 (>6) 5 1 2.M =2n Pro n2, n3 (>6) 4 2 3.M =2n Pro n2, n3 (>6) 4 1 1 4.M =3n Pro n2, n3 (>6) 3 3 5.M =2n bez vyloučení 3 2 1 6.M =3n bez vyloučení 3 1 1 1 7.M =4n 2 2 2 8.M =3n bez vyloučení 2 2 1 1 9.M =4n 2 1 1 1 1 10.M =5n 1 1 1 1 1 1 11.M =6n Celkem 11 modifikací M Celkem 6 druhů n (1, 2,..6) Tabulka 1: Numerické výpočty příklad 2 Pojem množina k Z toho plyne vyloučení. Například pro (n 1 u 3p N ) < 6p k, proto existuje jen možnost interakce mezi (n 2 u 14p N ) a (n 3 u 32p N ) > 6p k. Pro první M systému k. Vyloučeny jsou také modifikace č. 7., 9., 10. a 11. Počet jejich podmnožin je větší než počet podmnožin nadsystému. Přes to platí stejný výpočet jako v příkladu prvním.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 2 Výpočtem dokazujeme zejména platnost kvantifikací různě uspořádaných systémů. Mimo toho dokazujeme výroky o vyloučení stavu množiny. Modifikace systému k nemají plnou kombinaci v systému n, a přes to dávají zbylé správný výsledek po kvantifikaci. Je to také důkaz, že vyloučením jediného prvku systému k zanikne logická existence celého stavu množiny. Názorné řešení ukazuje tabulka. Postup je podrobně rozebrán v prvém numerickém příkladu. Proto zde již nevyjadřujeme součin mezi kvantifikovanými podmnožinami a váhu zanedbáváme, protože je rovna 1 celá pro každou modifikaci. Váha základního výpočtu sehrává úlohu až když má nadsystém alespoň 2 stejné podmnožiny. Toto se v řešeném příkladu neobjevuje. Tabulka zadání a řešení příkladu číslo 2 (numerické příklady) Obraz a popis podmnožin Výpočet Pořadové číslo n1 n2 n3 Pořadí M Symbolické a numerické vyjádření Výsledek a existence 3 14 32 typ M Vzorec výpočtu s vahou = 1. Kvantifikace řádku 6 1.M =1n Vyloučeno velikostí podmnožiny 1 6 1.M =1n C(0 z 3) C(6 ze 14) C(0 z 32) 1 3003 1 3003 2 6 1.M =1n C(0 z 3) C(0 ze 14) C(6 z 32) 1 1 906192 906192 5 1 2.M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny 5 1 2.M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny 3 1 5 2.M =2n C(1 z 3) C(5 ze 14) C(0 z 32) 3 2002 1 6006 4 5 1 2.M =2n C(0 z 3) C(5 ze 14) C(1 z 32) 1 2002 32 64064 5 1 5 2.M =2n C(1 z 3) C(0 ze 14) C(5 z 32) 3 1 201376 604128 6 1 5 2.M =2n C(0 z 3) C(1 ze 14) C(5 z 32) 1 14 201376 2819264 4 2 3.M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny 4 2 3.M =2n Vyloučeno velikostí podmnožiny 7 2 4 3.M =2n C(2 z 3) C(4 ze 14) C(0 z 32) 3 1001 1 3003 8 4 2 3.M =2n C(0 z 3) C(4 ze 14) C(2 z 32) 1 1001 496 496496 9 2 4 3.M =2n C(2 z 3) C(0 ze 14) C(4 z 32) 3 1 35960 107880 10 2 4 3.M =2n C(0 z 3) C(2 ze 14) C(4 z 32) 1 91 35960 3272360 4 1 1 4.M =3n Vyloučeno velikostí podmnožiny 11 1 4 1 4.M =3n C(1 z 3) C(4 ze 14) C(1 z 32) 3 1001 32 96096 12 1 1 4 4.M =3n C(1 z 3) C(1 ze 14) C(4 z 32) 3 14 35960 1510320 13 3 3 5.M =2n C(3 z 3) C(3 ze 14) C(0 z 32) 1 364 1 364 14 3 3 5.M =2n C(3 z 3) C(0 ze 14) C(3 z 32) 1 1 4960 4960 15 3 3 5.M =2n C(0 z 3) C(3 ze 14) C(3 z 32) 1 364 4960 1805440 16 3 2 1 6.M =3n C(3 z 3) C(2 ze 14) C(1 z 32) 1 91 32 2912 17 3 1 2 6.M =3n C(3 z 3) C(1 ze 14) C(2 z 32) 1 14 496 6944 18 2 3 1 6.M =3n C(2 z 3) C(3 ze 14) C(1 z 32) 3 364 32 34944 19 1 3 2 6.M =3n C(1 z 3) C(3 ze 14) C(2 z 32) 3 364 496 541632 20 2 1 3 6.M =3n C(2 z 3) C(1 ze 14) C(3 z 32) 3 14 4960 208320 21 1 2 3 6.M =3n C(1 z 3) C(2 ze 14) C(3 z 32) 3 91 4960 1354080 7.M =4n Vyloučeno počtem podmnožin 22 2 2 2 8.M =3n C(2 z 3) C(2 ze 14) C(2 z 32) 3 91 496 135408 9.M =4n Vyloučeno počtem podmnožin 10.M =5n Vyloučeno počtem podmnožin 11.M =6n Vyloučeno počtem podmnožin Celkem 22 existujících modifikací systému k v n, dává po kvantifikaci počet kombinací 6. třídy z celku 49 13983816 Tabulka 2: Numerické výpočty příklad 2 Tabulka zadání a řešení 2. příkladu Součet kvantifikace všech existujících modifikací je roven počtu kombinací 6. třídy ze 49. Nyní již zbývá zpracovat speciální rozbory. Mimo rámec příkladu číslo 1 zde můžeme také vyjádřit pravděpodobnost jednotlivé k-tice v určité n-tici. To příklad první dost názorně neumožňoval vzhledem ke stejným velikostem podmnožin M N. Z prvého příkladu už známe skutečnost, že každý jednotlivý sloupec (podmnožiny n) dává součet stejný jako celý systém, protože nutně existuje v každém stavu nějaký tvar podmnožiny.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 3 Mimo rozboru podle podmnožiny nadsystému se nabízí také možnost vyhodnotit pravděpodobnost uhodnutí určitého druhu k-tice bez ohledu na podmnožinu nadsystému. Tento rozbor je srovnatelný s rozborem příkladu číslo 1 (numerické příklady), což si také uděláme. Účelem je dokázat, že počet k-tic stejného druhu se liší podle rozdělení nadsystému. Toto poznání nám dává jedinečnou možnost nahlédnout hluboko do podstaty Bernoulliho schematu výpočtu. Abychom toto poznání uměli akceptovat v plném rozsahu, byl zpracován ještě příklad 3. a také 4. se všemi podmnožinami menšími, nežli 6p. Tabulka speciálního rozboru příkladu číslo 2 (numerické příklady) Obraz, popis a kvantifikace podmnožin Váha k - tic Výpočet Pořadové n1 n2 n3 Pořadí M Základní Součet k-tic z řádku M Vynásobení váhy a základního výpočtu číslo 3 14 32 typ M výpočet 0p 1p 2p 3p 4p 5p 6p 0p 1p 2p 3p 4p 5p 6p 1 6 1.M =1n 3003 2 1 6006 0 0 0 0 0 3003 2 6 1.M =1n 906192 2 1 1812384 0 0 0 0 0 906192 3 1 5 2.M =2n 6006 1 1 1 6006 6006 0 0 0 6006 0 4 5 1 2.M =2n 64064 1 1 1 64064 64064 0 0 0 64064 0 5 1 5 2.M =2n 604128 1 1 1 604128 604128 0 0 0 604128 0 6 1 5 2.M =2n 2819264 1 1 1 2819264 2819264 0 0 0 2819264 0 7 2 4 3.M =2n 3003 1 1 1 3003 0 3003 0 3003 0 0 8 4 2 3.M =2n 496496 1 1 1 496496 0 496496 0 496496 0 0 9 2 4 3.M =2n 107880 1 1 1 107880 0 107880 0 107880 0 0 10 2 4 3.M =2n 3272360 1 1 1 3272360 0 3272360 0 3272360 0 0 11 1 4 1 4.M =3n 96096 2 1 0 192192 0 0 96096 0 0 12 1 1 4 4.M =3n 1510320 2 1 0 3020640 0 0 1510320 0 0 13 3 3 5.M =2n 364 1 2 364 0 0 728 0 0 0 14 3 3 5.M =2n 4960 1 2 4960 0 0 9920 0 0 0 15 3 3 5.M =2n 1805440 1 2 1805440 0 0 3610880 0 0 0 16 3 2 1 6.M =3n 2912 1 1 1 0 2912 2912 2912 0 0 0 17 3 1 2 6.M =3n 6944 1 1 1 0 6944 6944 6944 0 0 0 18 2 3 1 6.M =3n 34944 1 1 1 0 34944 34944 34944 0 0 0 19 1 3 2 6.M =3n 541632 1 1 1 0 541632 541632 541632 0 0 0 20 2 1 3 6.M =3n 208320 1 1 1 0 208320 208320 208320 0 0 0 21 1 2 3 6.M =3n 1354080 1 1 1 0 1354080 1354080 1354080 0 0 0 22 2 2 2 8.M =3n 135408 1 1 1 0 135408 135408 135408 0 0 0 Celkem 22 existujících M 13983816 Součet sloupců 11002355 8990534 6163979 5905768 5486155 3493462 909195 Součet podílů sloupců (součet sloupce / 13983816) = 3 (Σn) 0,7868 0,6429 0,4408 0,4223 0,3923 0,2498 0,0650 Jednotlivé podíly sloupců jsou absolutními velikostmi pravděpodobností (s váhou) k-tic bez ohledu na příslušnost k n-tici. Definičně jsou nesoučasné. Relativní četnost jako vyjádření pravděpodobnost k-tice/3 je pravděpodobností v systému ale zase s váhou na to pozor. Výsledky výpočtu slouží zejména ke kontrole která se pohybuje ve striktních rozměrech bez varianty. Tabulka 3: Numerické výpočty příklad 2 Speciální rozbor Poznámka k tabulce: Teprve po zpracování speciálního rozboru můžeme vyjádřit správně pravděpodobnosti podle potřeby buď podle sloupce, nebo podle váhy výskytu a podobně. Celkově budeme hovořit o objektu s tělesech pravděpodobnosti v souvislosti s operacemi v SPP. Pravděpodobnost v systému je zase záležitostí porovnávání mezi různě definovanými systémy, zejména v rozdělení nadsystému. Je to otázka etalonu. Pro reálnou předpověď je nutné použít nevážené pravděpodobnosti. Tato pravděpodobnost nezatížená váhou má logickou existenční podstatu a je podložena existenčním výrokem, nebo lépe vyjádřeno odpovědí na dotaz: Existuje v daném čase modifikace s podobou XYZ? Pak je v celku jedno kolikrát se opakuje například prázdná podmnožina. Když se budeme tázat na konkrétní n-tici a k-tici, tak to pochopíme ještě lépe. Bez vážených pravděpodobností se zase nedopracujeme ke kontrole výpočtu, který má nesmírnou analytickou hodnotu. Umožňuje totiž poměřovat i zdánlivě nesouměřitelné systémy. To si ukážeme hned v následujícím příkladu, kde například systém neumožní vytvořit k=6, a přes to půjde o kombinace 6. tří-
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 4 dy z celku 49. To už by nyní mělo být zřejmé. Jedna část tohoto námi prověřovaného nadsystému (3+14+32) taková je, a přes to je výsledek správně, což je kontrolováno perfektním účetnickým způsobem, tedy bezchybně s tolerancí +/- 0 na řádu milionů variant. Poslední součástí důkazů tohoto příkladu je porovnání pravděpodobností stejných k-tic různě rozdělených nadsystémů. To provedeme pomocí speciálních rozborů na úrovni systémových pravděpodobností. Příklad první byl formován 7 shodnými podmnožinami nadsystému, zatímco příklad druhý byl utvořen třemi nestejnými podmnožinami. Navíc měl mnoho vyloučených variant kombinace mezi modifikacemi k a n. To je velice zásadní poznatek. Praktická šetření vychází téměř výlučně z analýz referenčních systémů prvků nebo podmnožin. Analýza najde jako součet prvky a podmnožiny, které naznačují, že se nemohly sloučit do maximální velikosti. Nyní už víme proč. Byl zřejmě rozčleněn nadsystém. Toto dříve nebylo možné vyjádřit. Tabulka porovnání různě rozdělených nadsystémů modelu kombinací 6 ze 49 Výsledek speciálního rozboru 1. příklad. 36720502 41682732 16453710 2812600 210945 6174 49 Σ řádek 97886712 2,625929 2,980784 1,176625 0,201133 0,015085 0,000442 0,000004 Σ řádek 7 Výsledek speciálního rozboru 2. příklad. 11002355 8990534 6163979 5905768 5486155 3493462 909195 Σ řádek 41951448 0,7868 0,6429 0,4408 0,4223 0,3923 0,2498 0,0650 Σ řádek 3 Kontrolou zjistíme zda je možné porovnat výpočty 1. příklad 97886712 / 7 = 13983816 Kombinace 6. třídy ze 49 2. příklad 41951448 / 3 = 13983816 Kombinace 6. třídy ze 49 Kontrolou potvrzujeme, že jednotlivé součty sloupců můžeme vydělit počtem podmnožin. Výsledky speciálního rozboru 1. příkladu vydělené počtem podmnožin = 7 5245786 5954676 2350530 401800 30135 882 7 Σ řádek 13983816 0,375133 0,425826 0,168089 0,028733 0,002155 0,000063 0,000001 Σ řádek 1 Výsledky speciálního rozboru 2. příkladu vydělené počtem podmnožin = 3 3667451,67 2996844,67 2054659,67 1968589,33 1828718,33 1164487,33 303065 Σ řádek 13983816 0,26 0,21 0,15 0,14 0,13 0,08 0,02 Σ řádek 0,99 Bilance jednotlivých příkladů navzájem o rozdíl počtu k-tic sloupcem daného druhu 1578334 2957831 295870 0 0 0 0 < 1. příklad o rozdíl 0 0 0 1566789 1798583 1163605 303058 < 2. příklad o rozdíl Tabulka 4: Numerické výpočty příklad 2 Porovnání různě rozdělených nadsystémů Porovnávací tabulka asi může zůstat bez většího komentáře. Jenom asi tolik, že 2. příklad obsahuje neceločíselné podíly, a bilanční rozdíl už je zaokrouhlen. Taktéž celková systémová pravděpodobnost 2. příkladu dává dík tomuto součet přibližně 1 celá. To je záměrně. Mohl jsem zvolit některý model celočíselně dělitelný. Předpokládám však, že mnou uváděné příklady budou prověřovány na různých příkladech, takže tou nejsnadnější kontrolou by bylo přepočítání právě uváděných případů rozložení nadsystémů. Chci tím ukázat mimo jiné, že nejde o hru celočíselných násobků. V rámci absolutních hodnot to vypadá opravdu hrozivě. Součet rozdílů v absolutních hodnotách činí 9664070. Je to 69% počtu všech možných. Jiné je to už s relací vnitřních systémových pravděpodobností. Častěji se vyskytuje nula na systému 1. příkladu, zatímco šestice je zase častější ve druhém příkladu.
Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 2. Stránka v kapitole 5 Oba příklady (tedy 1. a 2.) jsou souměřitelné pouze na úrovni vnitřních systémových pravděpodobností, které jsou určitým typem relativní hodnoty. Na dalším příkladu si ukážeme už také systém, který nemá všechny k-tice a přes to jde o kombinace stejného typu. Přišel vhodný čas zamyslet se nad tím, co to jsou vlastně kombinace, kombinatorický model, kombinování a nebo kombinatorický princip. To je samozřejmě už problematika více filozofická, a je proto rozvedena v rámci Komentáře vzorových příkladů řešení.