Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1

Transkript

1 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 1 Příklad 1. Výpočet pomocí rozšířeného Bernoulliho schematu. Příklad řeší výpočtem rozložení prvků losovaných k do pravidelně rozděleného počtu všech možných n celku. Volíme často používaný model loterní hry 6 losovaných z celku 49. Pro účel demonstrace rozdělíme 49 na 7 stejných skupinek, které znázorňují členění systému. Členění reprezentuje různé vlastnosti. Každá podmnožina 7p představuje například navzájem vylučující se varianty. Nejprve provedeme vlastní výpočet, a následně provedeme statistické vyhodnocení jednotlivých k-tic, pro k (0, 1,..6). Na závěr provedeme stručný komentář. Řešení: Nejprve určíme pomocí tabulky všechny různé typy rozložení 6 losovaných do sedmi skupin po 7p. Těmto podobám budeme říkat modifikace M (modifikace rozložení k losovaných do rozděleného systému všech možných n) 7(7p c m n ) _ M N při: M K (6x 1 ) 4 M N-K (43x 0 ) v rámci existující současnosti Každý stav množiny v jediném okamžiku M N (dt) 0 při (dt) 0 historická existenční hodnota má 6p = 1 (hodnota), při Σp = 6 (velikost 6*1 p + 43*0 p ) Pro kombinace 6. třídy z celku 49 existuje různých historických stavů. Tabulka výpočtu příkladu číslo 1 rozšířené Bernoulliho schema Schema výpočtu P.č. N = 7 podmožin po 7 prvcích Váha variance Základní výpočet objemu modidfikací M Celkem M 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p Podle vzorce 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p Základ počtu součin n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 k-tic v n-ticích n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 součin řádek váha*základ 1 6 Kombinace C (1 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Variace V(2 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Variace V(2 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku C(1 ze 7) * C(2 ze 6) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Kombinace C(2 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Variace V(3 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku C(1 ze 7) * C(3 ze 6) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Kombinace C(3 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku C(2 ze 7) * C(2 ze 5) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku C(1 ze 7) * C(2 ze 6) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Kombinace C (1 ze 7) C(6 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) C(0 ze 7) Π C řádek váha*zákl. z řádku Vlastní výpočet (kvantifikace modelu podle schematu) P.č. N = 7 podmožin po 7 prvcích Váha Základní výpočet objemu modidfikací M Celkem M 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p k-tic v n-ticích 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p Základ počtu součin n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 Velikost variance n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 součin řádek váha*základ Celkem 11 modifikací obsahuje všech různých stavů systému kombinací 6 ze 49, což dokazuje součet Tabulka 1: Numerický příklad 1 Rozšířené Bernoulliho schema Tabulka příkladu nám ukazuje rozšířené Bernoulliho schema pro hypergeometrické rozdělení jevu pravděpodobnosti. Rozšíření spočívá v několika skutečnostech.

2 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 2 Rozšíření kombinatorických pojmů : Rozšiřujeme kombinatorické pojmy o výraz modifikace značka M. Jde o množiny různých stavů všech současných prvků M N, které jsou si podobné příslušností prvků K do podmnožin N. V souvislosti s velikostí jednotlivých modifikací zavádíme statistický pojem váhy jako součást výpočtu, kterému budeme říkat kvantifikace základního modelu. Vyjadřuje varianci podmnožin K vně podmnožin N. Tato váha se vztahuje pouze k určité jedné podobě uspořádání. Váhu vyjadřujeme jen pro případy shodně objemných podmnožin N. V ostatních případech je váha rovna 1 celá. Váha je jakýmsi vnějším rozměrem modifikace, zatímco vlastní velikost je vnitřním rozměrem této. Přes to je celý výpočet jen vahou počtu různých a podobných stavů a tedy kvantifikací. Kvantifikací rozumíme plný výpočet. Model systému je dán schematem, který je obecně kombinatorický, a nejčastěji je také modelem kombinací. To znamená že vyjadřuje počet všech různých kombinací k-té třídy z celku n. Model variací stejného základu určujeme také jako stejný model kombinací, protože variace se od kombinací liší pouze počtem variace v M K. (Variace k z n) = k! (Kombinace k z n). Rozšíření pojmů existenčních logických hodnot : Existenční hodnoty rozšiřujeme o pojem času aplikovaného do formálního vyjádření. Zde na úrovni příklad číslo 1 rozšiřujeme pouze o výraz : M N (dt) 0 při (dt) 0 historická existenční hodnota jediného stavu množiny s hodnotou 1 a velikostí k. Proč tomu tak je popisujeme zejména v kapitole Vzorové příklady řešení př. 1, 2., a 3. Motem existence v historii je skutečnost, že stav popisovaný už vlastně neexistuje, a jeho podoba je zakonzervovaná. Všechny prvky mají nějakou podobu, kterou jim dala existující současnost. V současnosti (když byl stav aktuální) měly prvky vylosované svou vlastní velikost danou jako x 1 a prvky nevylosované x 0. To platí pro současnost obecně, i když velikost prvků není shodná. Prvky výběru k jsou jakoby vidět (jsou viditelným povrchem), a prvky n-k vidět nejsou. Z toho plyne že prvky viditelné mají také velikost, a ty neviditelné jen hodnotu existence = 1. Což je názorné připodobnění nejlépe k povrchu tělesa. Poplatností pro jiné druhy množin se zabýváme v ostatních příkladech. Když se změní stav byť jediné součásti systému, jde o stav nový a ten původní se stává historickou skutečností. Tento přechod popisujeme jako derivaci vlastní původně současné velikosti, a proces znehodnotí velikost x 1 na velikost hodnoty 1, a velikost x 0 na 0. Toto popisujeme i přes důkaz, že jde o derivaci jako změnu takto: x 1 d 1 x, a podobně x 0 d 0 x. Mimo toho se zabýváme existencí v současnosti i budoucnosti, ale to se netýká tohoto zadání, takže přiblížení pojmů na tomto místě vynechávám. Mezi existenční pojmy patří hodnota jako součin a velikost jako součet. Takže součin všech existenčních veličin jednotlivých prvků je také hodnotou celého systému v jediném okamžiku. Hodnota historického stavu = součin všech prvků p(1 x ) 1 p(0 x ) 1...p n (0 x,1 x ) 1 Historický stav množiny jako pozitivní existenci vyjadřujeme jednicí. Počet různých stavů a nepřímo i tedy odlišných časů je vyjádřen binomickým koeficientem, v našem případě kombinačním vzorcem. Tyto binomické koeficienty jsou pak kvantifikátory kombinatorických modelů. Řešení dále pokračuje statistickým zpracováním podle zadání. Opět tabulkou provedeme vyhodnocení různých k-tic. Za tím účelem rozšíříme původní tabulku o výpis četností. Protože k tomu už postup nepotřebujeme, použijeme jen obraz a celkový počet za modifikace.

3 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 3 Vlastní vyhodnocení provedeme ve sloupcích s nadpisem 0...6, což jsou skutečné podoby uspořádání losovaných prvků. (To by šlo samozřejmě i za pomoci klasických metod, ale ty už by si jen obtížně poradili s četností k=0, a navíc sledujeme jiný účel.) Tuto tabulku nazveme Speciální rozbor, a hodnoty budeme zadávat absolutní, tedy zatím žádné relativní a poměrné hodnoty. Na závěr však relativní hodnoty ukážeme, protože porovnáním toho, co nám dává původní Bernoulliho schema a naše upravené, by mělo souhlasit. Tím nepotvrzujeme jen podivným samoúčelným způsobem správnost výpočtu, ale ukazujeme kategorii výsledků původního schematu. V minulosti byl ne vždy správně výsledek aplikován. Vůbec celé Bernoulliho schema jako by zakrývalo tu část matematiky, o které se sice vědělo, ale která se už celé století postrádá zejména ve fyzice. Tabulka speciálního rozboru příkladu 1 numerických výpočtů. P.č. N = 7 podmožin po 7 prvcích Četnost M Celkem sečtené ktice druhy Speciální rozbor k-tic podle druhu k-tice podle druhu M 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p součin Sloupce násobků Sloupce výsledků (násobek x četnost M) n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 z řádku p 1p 2p 3p 4p 5p 6p Celkem 11 modifikací Součty sloupců Rel. četn. zatížená vahou (sloupec / ) v součtu = počet sloupců Tabulka 2: Numerický příklad 1 Speciální rozbor 2, , , , , , , Tabulka speciálního rozboru vyčísluje v absolutních hodnotách četnosti k-tic na etalonu všech kombinací 6. třídy z celku 49. Je samozřejmě logické, že dochází k vynásobení mezi sloupcem četnosti, který je převzat z vlastního výpočtu podle rozšířeného Bernoulliho schematu, a sloupci násobků druhů k-tic. Dostáváme tak také počet prázdných podmnožin. Speciální rozbor nám po přepočítání na relativní hodnoty udává skutečnou pravděpodobnost uhodnutí některého druhu k-tice do jednotlivé podmnožiny o sedmi prvcích. K tomu bychom použili některý známý statistický nástroj výpočtu. Co zjistíme zajímavého z tohoto speciálního rozboru? Samozřejmě mimo statistických výpočtů četností a pravděpodobnosti nalézáme jako výsledek kvantifikované těleso k-tic se souřadnicí 7p, tedy lépe vyjádřeno 6+1 losovaných. Tato skutečnost samo o sobě upozorňuje na to, že se asi pohybujeme v oblasti teoretické podobně jako je tomu u vzorových příkladů řešení č. 1, 2., a další. Znamená to, že každý případ výběru, nebo lépe losování musí skončit úspěchem za předpokladů, že systém existuje a funguje (koná). Jedná se o etalon, tedy výpis všech různých druhů, což je samo o sobě pouze predikcí možných budoucích vývojů reálného systému. Předpovědi na reálném systému se musí zakládat na vzájemném poměru jednotlivých k-tic. Takže pozor na vyjádření v rámci etalonu. Ten udává absolutně relativní četnosti. Pro předpověď je nutné vypočítat vzájemné relace vhodným způsobem. Například nejmenší počet > 0 = 1. Takže přepočítáme pravděpodobnost na 1 šestici v některé podmnožině 7p. Jde také o to, že vlastně všechny počty jsou jakoby 49 x větší nežli je počet na jeden tvar. Což vychází z toho, že systém analyzujeme jako 49x objemnější množi-

4 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 4 nu nežli je losovaná 6p. Poměrnou četnost si vyjádříme opět tabulkou. Navíc si ukážeme těleso pravděpodobností v nástroji SPP. Tabulka speciálního rozboru příkladu 1 numerických výpočtů, poměrná četnost k tic v systému 7x7p. Četnost M Speciální rozbor k-tic podle druhu P.č. N = 7 podmožin po 7 prvcích Převzatý sečtené ktice druhy k-tice podle druhu poměrná absolutní četnost poměrem x/49 M 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p součin Sloupce násobků Sloupce výsledků (násobek x četnost M/49) n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 z řádku p 1p 2p 3p 4p 5p 6p Celkem 11 modifikací Součty sloupců Poměrná absolutní četnost systémů M P.č. N = 7 podmožin po 7 prvcích Přepočet M 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 Součinu z řádku / Zobrazení výsledků v nástrojispp pravděpodobnost Poměrné a relativní četnosti mezi různými druhy k-tic. Funkce SPP Nad souřadnicí vzájemný poměr minor/major v procentech ,514% 44,8080% 7,65948% 0,57446% 0,01681% 0,00013% , ,4737% 6,74764% 0,50607% 0,01481% 0,00012% ,23 2, ,0940% 1,28205% 0,03752% 0,00030% ,06 14,82 5, ,50000% 0,21951% 0,00174% ,08 197,60 78,00 13, ,92683% 0,02323% , , ,00 455,56 34, ,79365% Celkem 11 modifikací Pod souřadnicí vzájemný poměr major/mi nor = 1:x Tabulka 3: Numerický příklad 1 Poměrná četnost k-tic systému 7x7 Musíme se pozastavit nad přepočtem absolutního množství. Kombinace 6. třídy z celku 49 čítají různých šestic. To nám ukazuje vlastní výsledek kvantifikace. Rozdělený nadsystém však existuje také jako podoba 7 nezávislých podmnožin, takže každá podmnožina má existenci v každém jednotlivém stavu množiny všech prvků. Ve speciálních rozborech se toto projeví jako násobek počtu podmnožin. Zde je to celkem pochopitelné, protože podmnožiny jsou netotožně shodné. Platí to ale také pro nestejně velké podmnožiny. A to už úplně logické není. Neobejdeme se bez výroků existence, hodnoty a velikosti (takto jsou také dokázány). Bernoulliho schema umí pouze vyjádřit v klasickém podání 2 podmnožiny (x; n-x), navíc s podílem, který vyjádří relativní četnost. Takže například k výše uvedeným schematům bychom se dopracovali pomocí klasického vyjádření postupným členěním na 2 podmnožiny. Rozšířené schema pracuje naráz se všemi danými podmnožinami. Základní Bernoulliho schema není schopné vyjádřit celý systém naráz, což nám ukazuje tabulka vedle SPP. Modifikace jako podoby systému mají 11 variant výskytu, a celkově případů. Takže uhodnutí do členěného systému 7x7 má pravděpodobnost 1/ = 0, pro tvar první modifikace. Samozřejmě je to 49x více nežli 1/ (Na maličkost musíme upozornit poznámkou. Když vsadíme jakýchkoliv 49 šestičísel, nedosáhneme velikosti pravděpodobnosti 1/ Šestice musí mít vlastnost obsahu všech různých k-tic stejně krát pokud tam jsou všechny. Přípustnou odchylkou je +/-1.

5 Základy teorie pravděpodobnosti Kapitola: Numerické výpočty příklad 1. Stránka v kapitole 5 Samozřejmě 49/6 je neceločíselně dělitelnou záležitostí, proto 8*6 = 48, a nedosáhneme na vlastnost systémů sedmic. Navíc systém 49 samostatných šestic 6x přikrývá všechny jednice a je tedy skutečně šestinásobně vrstvený, což je neviditelný problém z hlediska aritmetických výpočtů. Teoreticky totiž takový systém zaručuje uhodnutí jedné trojice losovaných. Výpočtem zjistíme že C(3 ze 49) všech možných trojic se vejde do 921,2 šestic, protože každá šestice obsahuje 20 trojic. Takže na uhodnutí jedné trojice ze 20 vylosovaných by postačovalo 46,06 tipů šestic < 49. Ale takový systém nelze sestrojit. To už souvisí s teorii stavby rozpisu, která bude zveřejněna samostatně jako součást publikace Kombinatorické konstrukce. Obecně analytické prostředky selhávají tím způsobem, že vydají například řešení jako celočíselnou dělitelnost a ono to nelze realizovat. Nejčastěji se jedná o nesplnění podmínky celočíselné dělitelnosti všech obsažených menších k-tic, ale jsou i jiné mnohem méně pochopitelné problémy.) Tabulka speciálního rozboru pravděpodobnost systémů a složek. P.č. N = 7 podmožin po 7 prvcích Přepočet sečtené ktice druh k-tice podle druhu poměrná absolutní četnost s relativní hodnotou M 7p 7p 7p 7p 7p 7p 7p pravděpodob. Sloupce násobků Sloupce výsledků četnost k-tic (rozpad pravděpodobností) n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 modifikací p 1p 2p 3p 4p 5p 6p , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Celkem 11 modifikací 1, Součty sloupců 2, , , , , , , Váha existující velikost > 0 = 1 Váha Váha Váha Váha Váha Váha Váha Systémy modifikací 30 Počet hodnot Systémy modifikací 7,0000 součet velikostí 2, , , , , , , Aplikace současnosti na systému všech prvků jako Kombinační princip Tabulka 4: Numerický příklad 1 Speciální rozbor systémů a složek Součet velikostí pravděpodobností ukazuje závažnou skutečnost. Šedivý podklad vlastně vyjadřuje neexistenci velikosti. Existující velikosti pak dávají v různých sloupcích různé součty. Celkem součet všech sloupců dává počet 7, což je násobek pravděpodobnosti a počtu sloupců. Jednotlivé k-tice se vyskytují potenciálně ve všech sloupcích rozděleného n. Ostatní příklady ukáží, že tyto sloupce jsou různé velikostí. Přes to je skalární součet dán počtem podmnožin n. Je to logické, protože náš speciální rozbor je jen jinak přetříděným rozborem do podmnožin n. Tato skutečnost nás přivede na možnost vyjádřit počet existujících podmnožin bez toho, aby podmnožina měla nějakou aktuální velikost pravděpodobnosti. To je praktická záležitost pro statistiku. Libovolně rozdělíme sledovaný systém, a na dostupném intervalu najdeme různé druhy uspořádání signatur sledovaného jevu. Vyjádříme ho jako etalon a provedeme kvantifikaci spolu s tím také speciální rozbor a rozpad systémů plus složek v podobě pravděpodobnost * váha. Je-li součet celočíselný, můžeme téměř s jistotou tvrdit, že známe celý systém. Není-li tomu tak, musíme předpokládat jevy, které se nestaly. Dokonce někdy můžeme i určit o jaké jevy jde. V dalším příkladu numerických výpočtů si tutéž skutečnost ukážeme na nepravidelně členěném systému.