10. Soustava lineárních rovnic - substituční metoda

Transkript

1 @ Soustava lineárních rovnic - substituční metoda Jedna z metod, která se používá při řešení soustavy lineárních rovnic, se nazývá substituční. Nejlépe si metodu ukážeme na příkladech. Příklad: Řešte soustavu rovnic v R (1) 2x - y = 1 (2) x + 2y = 3 Postup: vybereme si jednu z rovnic a vypočteme jednu proměnnou (na druhou se budeme dívat jako na parametr) a získanou formuli vložíme do druhé rovnice. Kterou rovnici si zvolíme jako první, záleží výhradně na naší představivosti: snažíme se odhadnout, která nám umožní snazší práci. rozbor V našem případě je snadné vypočítat neznámou y z první rovnice (*) y = 2x - 1 Do druhé rovnice vložíme tento výsledek a dostaneme jednu rovnici pro jednu neznámou. a řešíme ji x + 2(2x - 1) = 3 5x - 2 = 3 5x = 5 x = 1 Po dosazení zpět do výrazu (*) vypočteme druhou neznámou y = = 1 kandidát řešení Přísně logicky uspořádaná dvojice [1; 1] je podezřelá z toho, že je řešením původní soustavy lineárních rovnic. Důkaz bude proveden teprve zkouškou. zkouška rovnice (1) L 1 = = 1 P 1 = 1 L 1 = P 1 rovnice (2) L 2 = = 3 P 2 = 3 L 2 = P 2 Úkol: Řešte soustavu rovnic 2x + 3y = 7 x - 2y = 0 pokračování výsledek

2

3 @115 Bohužel Pouhým dosazením zpaměti zjistíme, že trojice [3, 0, -5] vyhovuje druhé a třetí rovnici, ale první rovnici nevyhovuje. L 1 (3,0,-5) = (-5) = 6-15 = -9 P 1 znovu spočítejte

4 @118 zpět Prozkoumali jsme případ, kdy soustava lineárních rovnic má jediné řešení. Jak vypadá případ, kdy soustava nemá žádné řešení? Příklad: Řešte soustavu rovnic (1) x - z = 2 (2) y + z = 1 (3) x + y = 4 Řešení: rozbor (*) z první rovnice x = 2 + z (3)+(*) 2 + z + y = 4 (4) y + z = 2 (2) opsáno y + z = 1 Závěr: Není možné, aby součet čísel y a z jednou dával výsledek 1 (2. rovnice) a podruhé výsledek 2 (4. rovnice). Toto je ve sporu a proto zadaná sestava nemá řešení. Poznámka: Dostaneme-li během výpočtu soustavy rovnic nepravdivý výrok nebo spor podobný předchozího příkladu, je to důkazem, že soustava nemá řešení. Kdo potřebuje vidět nepravdivý výrok, zde je: z (4) y = 2 - z dosadit do (2) 2 z + z = 1 2 = 1 pokračování

5 @121 Bohužel znovu propočítejte

6 @124 zpět V předchozích příkladech jsme viděli, že v případě neexistence řešení soustavy rovnic se dopracujeme postupně k nepravdivému výroku. Podobně, při nekonečně mnoha řešeních, jsme se dopracovali ke vždy pravdivému výroku. Jen v případě jediného řešení jsme dostali jednu podezřelou trojici (kandidáta řešení), která se nakonec vždycky ukázala být řešením. Slovo podezřelou jsem záměrně zdůraznil. V souvislosti s řešením rovnic se často mluví o ekvivalentních úpravách a vyvozuje se z toho, že zkouška je zbytečná, že stejně vyjde. Tento příklad ukazuje, že zkouška je nutná, aby nás ochránila nikoli před chybou metody, ale před našimi vlastními chybami. Úkol: Kde je v postupu chyba? Původní soustava rovnic (1) 2x - 4y + z = -14 (2) x - 2y + 2z = 5 (3) -2x + y = 1 a řešení proběhlo takto (a) (*) ze (3) y = 1 + 2x (b) (2)+(*) x 2(1 + 2x) + 2z = 5 (c) x - 2-4x + 2z = 5 (d) -3x + 2z = 7 (e) 2z = 7 + 3x (f) (**) z = (7+3x)/2 (g) (1)+(*)+(**) 2x - 4(1 + 2x) + (7 + 3x)/2 = -14 (h) 4x - 8-8x x = -28 (i) -x = -27 (j) x = 27 (k) z (*) y = 55 (l) z (**) z = 44 Úkol: Kde je v postupu chyba? chyba je v přechodu z řádku (b) na řádek (c) chyba je v přechodu z řádku (g) na řádek (h) chyba je v přechodu z řádku (f) na řádek (l)

7 @113 zpět Řešte soustavu rovnic (1) 2x + 3y = 7 (2) x - 2y = 0 rozbor Výhodné je z druhé rovnice vypočítat neznámou x a výsledek dosadit do první rovnice. (*) x - 2y = 0 => x = 2y 2x + 3y = 7 => 2(2y) + 3y = 7 7y = 7 y = 1 dosazení výsledku do (*) x = 2.1 = 2 Kandidátem řešením je asi uspořádaná dvojice [2, 1] zkouška: L 1 = = 7 P 1 = 7 L 1 = P 1 L 2 = = 0 P 2 = 0 L 2 = P 2 pokračování

8 @116 Bohužel Pouhým dosazením zpaměti zjistíme, že trojice [0, 3, 0] vyhovuje pouze první rovnici, zatímco druhé a třetí rovnici nevyhovuje. L 2 (0,3,0) = = P 2 L 3 (0,3,0) = = P 3 znovu spočítejte

9 @119 zpět Jak vypadá případ, kdy soustava má nekonečně mnoho řešení? Příklad: Řešte soustavu rovnic (1) x - z = 2 (2) y + z = 1 (3) x + y = 3 Řešení: rozbor (*) z první rovnice x = 2 + z (3)+(*) 2 + z + y = 3 (4) y + z = 1 (2) opsáno y + z = 1 Z rovnice (1) a (3) jsme dostali rovnici (2). To je známkou toho, že existuje nekonečně mnoho řešení zadané soustavy rovnic. Hodnota jedné neznámé může být libovolné reálné číslo a zbývající dvě neznámé se musí dopočítat. Volme například z jako volnou proměnnou (budeme ji pokládat za parametr řešení). Z (2) vypočteme y (**) y = 1 z a spolu s (*) můžeme formulovat kandidáta řešení uspořádanou trojici [2+z,1-z,z] Zkouška: L 1 = (2+z) - z = 2 P 1 = 2 L 1 = P 1 L 2 = (1-z) + z = 1 P 2 = 1 L 2 = P 2 L 3 = (2+z) + (1-z) = 3 P 3 = 3 L 3 = P 3 Poznámka: Zkouška vyšla, vyhovuje všem třem rovnicím a proto soustava má nekonečně mnoho řešení; jsou to všechny uspořádané trojice [2+z, 1-z, z], kde z R Například tyto: [2; 1; 0], [3; 0; 1], [0; 3; -2], a další Tomuto postupu se říká parametrizace řešení. pokračování

10 @122 zpět Správně. Řešením soustavy rovnic x + y + z = 6 x - 2y + 2z = 3 x + 2y - 2z = -1 je uspořádaná trojice [1; 2; 3], jak dokazuje zkouška L 1 = = 6 P 1 = 6 L 1 = P 1 L 2 = = 3 P 2 = 3 L 2 = P 2 L 3 = = -1 P 3 = -1 L 3 = P 3 Příklad: Řešte soustavu rovnic (1) 2x - 4y + z = -14 (2) x - 2y + 2z = 5 (3) -2x + y = 1 Řešení: rozbor (*) ze (3) y = 1 + 2x (2)+(*) x 2(1 + 2x) + 2z = 5 x - 2-4x + 2z = 5-3x + 2z = 7 2z = 7 + 3x (**) z = (7+3x)/2 (1)+(*)+(**) 2x - 4(1 + 2x) + (7 + 3x)/2 = -14 4x - 8-8x x = -28 -x = -27 x = 27 z (*) y = = 55 z (**) z = ( )/2 = 44 Uspořádaná trojice [27; 55; 44] je kandidátem řešením soustavy zadaných rovnic. Zkouška: L 1 = = -122 P 1 = -14 L 1 P 1 L 2 = = 5 P 2 = 5 L 2 = P 2 L 3 = = 1 P 3 = 1 L 3 = P 3 Úkol: Výsledek předchozí zkoušky znamená, že někde jsme udělali v postupu chybu původní soustava lineárních rovnic nemá žádné řešení

11 @125 zpět Ovšemže je chyba v přechodu z řádku (g) na řádek (h) (g) 2x - 4(1 + 2x) + (7 + 3x)/2 = -14 (h) 4x - 8-8x x = -28 správně má být 4x x x = -28 Úkol: Jaké je řešení studované soustavy rovnic (1) 2x - 4y + z = -14 (2) x - 2y + 2z = 5 (3) -2x + y = 1 soustava rovnic nemá žádné řešení jediným řešením je uspořádaná trojice [1, 3, 5] jediným řešením je uspořádaná trojice [3, 7, 8]

12 @114 zpět Příklad: Řešte soustavu rovnic (1) 2x - 3y + z = -10 (2) x + y - z = 1 (3) 7x + 2y + z = 0 Řešení: poznámka: Při řešení soustavy 3 rovnic pro 3 neznámé substituční metodou si musíme dát pozor, abychom se nezapletli (častá chyba z nepozornosti)! Nejlépe z jedné vybrané rovnice vypočítat vhodnou neznámou a dosadit výsledek do obou zbývajících rovnic. Tak dostaneme 2 nové rovnice pro 2 neznámé a s nimi si již umíme poradit. Pozor zkouška se musí provést do rovnic zadaných na začátku. rozbor Třeba z rovnice (3) vypočteme neznámou z (*) z = -7x - 2y a dosadíme (1)+(*) 2x - 3y + (-7x - 2y) = -10 (4) -5x 5y = -10 (2)+(*) x + y - (-7x - 2y) = 0 (5) 8x + 3y = 1 Nyní řešíme soustavu rovnic (4) a (5). Z rovnice (4) vypočítáme y (**) y = 2 x a dosadíme do (5) 8x + 3(2 x) = 1 5x +6 = 1 x = -1 dosazením do (**) dostaneme y = 3 a dosazením do (*) z = 1 kandidát řešení původní soustavy rovnic je uspořádanou trojice [-1, 3, 1] zkouška L 1 = 2(-1) = = -10 P 1 = -10 L 1 = P 1 L 2 = (-1) = = -1 P 2 = -1 L 2 = P 2 L 3 = 7(-1) = = 0 P 3 = 0 L 3 = P 3 Úkol: Řešte soustavu rovnic 2x - y + 3z = -3 x - 2y = 3 3x + 2z = -1

13 Řešením je uspořádaná trojice [3; 0; -5] [0; 3; 0] [1; -1; -2]

14 @117 zpět Správně. Řešte soustavu rovnic (1) 2x - y + 3z = -3 (2) x - 2y = 3 (3) 3x + 2z = -1 rozbor Například tento postup z (2) rovnice vypočteme x (*) x = 3 + 2y (1)+(*) 2(3 + 2y) - y + 3z = -3 3y + 3z = -9 (4) y + z = - 3 (3)+(*) 3(3 + 2y) + 2z = -1 6y + 2z = -10 (5) 3y + z = - 5 (**) ze (4) y = -3 z (5)+(**) 3(-3 - z) + z = z + z = -5-2z = 4 z = - 2 z (**) y = -1 z (*) x = 1 kandidát řešení [1; -1; -2] zkouška L 1 = (-1) + 3(-2) = -3 P 1 = -3 L 1 = P 1 L 2 = 1 2.(-1) = 3 P 2 = 3 L 2 = P 2 L 3 = (-2) = -1 P 3 = -1 L 3 = P 3 Odpověď Řešením je tedy skutečně uspořádaná trojice [1; -1; -2]. pokračování

15 @120 zpět Parametrizace řešení je metoda, která se použije i v případě, že počet rovnic systému rovnic bude menší než počet neznámých. To si ale necháme do další lekce, kdy se budeme zabývat jinou metodou řešení. Úkol: Řešte soustavu lineárních rovnic x + y + z = 6 x - 2y + 2z = 3 x + 2y - 2z = -1 soustava nemá žádné řešení soustava má jediné řešení soustava má nekonečně mnoho řešení

16 @123 Bohužel. Neúspěšná zkouška pouze ukazuje, že trojice [27, 55, 44] není řešením. Kdyby soustava neměla mít žádné řešení, museli bychom při výpočtu dostat nepravdivý výrok, jak jsme si uvedli, a to jsme nedostali. pokračování

17 @126 Bohužel znovu propočítejte

18 @028 Správně. Dokazuje to i zkouška. L 1 = = -14 P 1 = -14 L 1 = P 1 L 2 = = 5 P 2 = 5 L 2 = P 2 L 3 = = 1 P 3 = 1 L 3 = P 3 KONEC LEKCE