Pravděpodobnostní model volejbalového zápasu Mgr. Jan Šustek 3. 0. 008 Opakování Věta o celkové pravděpodobnosti Věta Pro jevy B, B Ω, které se navzájem vylučují, přičemž jeden z nich nutně nastává, tj. B B = a B B = Ω, a pro libovolný jev A platí P(A) = P(B ) P(A B ) + P(B ) P(A B ). Příklad V populaci je 30 % dětí a 70 % dospělých. Určitou nemoc má 0 % dětí a 3 % dospělých. Náhodně vybraný člověk tuto nemoc má s pravděpodobností Funkce P(nemocný) = P(dítě) P(nemocný dítě) + P(dospělý) P(nemocný dospělý) = 0.30 0.0 + 0.70 0.03 = 5. %. Definice Funkce f (jedné proměnné) na množině A R je předpis, který každému číslu x A přiřazuje právě jedno číslo f(x) R. Definice Funkce f (dvou proměnných) na množině A R R je předpis, který každé dvojici čísel (x, y) A přiřazuje právě jedno číslo f(x, y) R. Příklady objem válce: V (r, v) = πr v povrch válce: S(r, v) = πr(r + v) U funkcí více proměnných záleží na pořadí proměnných. Obecně neplatí f(x, y) = f(y, x).
Model setu Popis modelu Vstupy Pravděpodobnosti, že týmy při svém podání získají bod (breakpoints) Výstupy Pravděpodobnosti výhry týmů v zápasu Zjednodušení Pro jednoduchost do modelu nezahrneme následující skutečnosti rotace hráčů únava, psychika a další časově závislé věci umístění fanoušků a vliv strany hřiště Příklad V zápasu VK DHL Ostrava SKV Ústí nad Labem jsou úspěšnosti podání následující: Ostrava při 35 % svých podání získá bod Ústí nad Labem při 3 % svých podání získá bod (Tyto údaje byly zjištěny empiricky z posledních domácích zápasů Ostrava Ústí.) Který tým má větší pravděpodobnost výhry v zápasu? Model setu Značení na začátku setu podává tým m:n i stav setu je m:n a podává tým i p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým q = p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým q = p pravděpodobnost, že při podání týmu uhraje bod tým
Model setu Vývoj setu Vývoj skóre na začátku setu lze znázornit následujícím grafem. p 0:0 q p :0 0: q q p p :0 : q : 0: q p q p q p 3:0 : : : : 0:3 Celý graf se skládá z následujících částí m+:0 V 4: m:0 m:n m:n q p q q 0:n q p p p m: V m+:n 4:n+ m:n+ :n 0:n+ 4:0 4:n 4:n q p q q m:4 q q m:4 0:4 q p p p p p m+:4 Protože vítěz setu musí vyhrát o dva body, jsou pro vítězství v setu ekvivalentní následující stavy: 3:3, 4:4, 5:5, 6:6,... 4:3, 5:4, 6:5, 7:6,... 3:4, 4:5, 5:6, 6:7,... Spodní část grafu bude vypadat takto. V :4 V 4: 4: 3:3 q q q p p q 3:3 p p :4 q q :4 p p p p V p p q 4:3 q 4:3 3:4 q q 3:4 V 3
Model setu Výpočet pravděpodobností Hledáme pravděpodobnost F 5 (p, p ) výhry týmu v setu. Označme a i m:n pravděpodobnost výhry týmu v setu za stavu m:n při podání týmu i. K nalezení F 5 (p, p ) = a 0:0 potřebujeme najít všechny a i m:n. Dostáváme celkem 99 neznámých. Výpočet a 7:0: Z grafu 7:0 p q plyne 8:0 7: a 7:0 = P ( výhra při 7:0 () ) Výpočet a 4:5: Z grafu = P ( bod ) P ( výhra při 7:0 () bod ) + P ( bod ) P ( výhra při 7:0 () bod ) = p P ( výhra při 8:0 () ) + q P ( výhra při 7: () ) = p a 8:0 + q a 7: 4:5 q p plyne V 4:6 a 4:5 = P ( výhra při 4:5 () ) = P ( bod ) P ( výhra při 4:5 () bod ) + P ( bod ) P ( výhra při 4:5 () bod ) = q + p P ( výhra při 4:6 () ) = q + p a 4:6 Výpočet a 8:4: a 8:4 = q a 9:4 Rovnice pro pravděpodobnosti a m:n = p a m+:n + q a m:n+ m {,..., 3}, n {0,..., 3}; m = n = 0 a m:n = p a m:n+ + q a m+:n m {0,..., 3}, n {,..., 3} a 4:n = p + q a 4:n+ n {0,..., } a 4:n = q + p a 4:n+ n {,..., } a m:4 = p a m+:4 m {,..., } a m:4 = q a m+:4 m {0,..., } a 4:3 = p + q a 3:3 a 4:3 = p a 3:3 + q a 3:4 = p a 3:3 a 3:4 = q a 3:3 Toto je soustava 99 rovnic pro uvedených 99 neznámých a i m:n. 4
Model setu Řešení soustavy F 5 (p, p ) = a p 0:0 = `7890373950 p p p 3 p +p p p p p p5 98458097550 p p5 + 57664598690 p p5 06030668370 p 0 p 5 + 5378548034700 p 9 p 5 00333653400 p 8 p 5 + 4905883073000 p 7 p 5 76098698947040 p 6 p 5 + 58303969740 p 5 p 5 7696686800300 p 4 p 5 + 780064380400 p 3 p 5 349636360800 p p5 + 396046873479440 p p5 45085998840 p0 p5 + 689844700 p9 p5 40675885600 p8 p5 + + 3874884385 p 7 p5 477805873545 p 6 p5 + 4385743360 p 5 p5 88077300 p 4 p5 + 7777650 p 3 p5 3504050 p p5 + 50876 p p 5 76 p5 + 7890373950 p4 p4 855937000 p3 p4 + 68757885467080 p p4 + 87850907456780 p p4 + + 304354389800 p 0 p 4 7584597087340400 p 9 p 4 + 48099834378800 p 8 p 4 0907056947960 p 7 p 4 + + 430539605908600 p 6 p 4 7390366500 p 5 p 4 + 758363505883600 p 4 p 4 06857739994700 p 3 p 4 + + 5346636356990560 p p4 8957868669760 p + 76686049860800 p0 93758593400 p9 p4 + 4063539675 p8 p4 68300064580 p 7 p4 + 870400769380 p6 p4 868805400 p5 p4 + 56843800 p4 p4 5908600 p3 p4 + 7390564 p p4 754 p p 4 + 635 p4 94684453367400 p4 p3 + 64748006090 p3 p3 30806088535640 p p3 + 6773003484590 p p3 084780399800800 p 0 p 3 + 50903863678800 p 9 p 3 9509379787540 p 8 p 3 + 3948065096780 p 7 p 3 6344539569756040 p 6 p3 + 54764484704300 p 5 p3 96949740368500 p 4 p3 + 750883586850640 p 3 p3 38638439973399680 p p 3 + 6740968445440 p p 3 559933677800 p 0 p 3 + 5830038800 p 9 p3 33409693360 p 8 p3 + 56996900643040 p 7 p3 753877640 p 6 p3 + 73959769300 p 5 p3 54577500 p 4 p3 + + 50830976 p 3 p3 7460385 p p3 + 7476 p p 3 69300 p 3 + 53337037860 p 4 p 89754634980 p 3 p + + 60908698347488940 p p 797635473980 p p + 90067635448400 p 0 p 60668085376660 p 9 p + + 400589368453769480 p 8 p 587745444898055680 p 7 p + 6939364656097760 p 6 p 664045643460600 p 5 p + + 59857930673760 p 4 p 333608369585855680 p 3 p + 75560484067970880 p p 755387784594660 p p + + 64558654359900 p 0 p 74799498763480 p9 p + 688838700540 p8 p 994758853790 p7 p + 408749759430 p6 p 473088580600 p 5 p + 3063356547944 p 4 p 56766994 p 3 p + 478586 p p 779534 p p + 483000 p 8637963374060 p 4 p + 767076080950 p 3 p 95373888459780 p p + 8709360044566430 p p 745687399969854340 p 0 p + 6499465784956760 p 9 p 97483806068340 p 8 p + 75674445044934560 p 7 p 083586775058640 p 6 p + 0607704940997440 p 5 p 60955760587960 p 4 p + 04648346609663040 p 3 p 56504987687860 p p + 480440340459840 p p 8946376700 p 0 p + 59863963305380 p 9 p 605374475603370 p 8 p + 05494798080 p7 p 57608934470 p6 p + 66600390496 p5 p 764669774 p4 p + + 66397056 p 3 p 40666054 p p + 36959776 p p 403500 p + 45496468370400 p4 p0 669750098000 p3 p0 + + 4589466954737400 p p0 0348368085640 p p0 + 668534966095600 p 0 p0 474846837040600 p 9 p0 + + 69950637443400600 p 8 p0 396335533474633800 p 7 p0 + 4707368908880 p 6 p0 46097334574070000 p 5 p0 + + 3709896396535600 p 4 p0 465796900070688600 p 3 p0 + 3595790656800 p p0 609009048798740 p p0 + + 5745666703800 p 0 p 0 67694759494973800 p 9 p0 + 6854799655050 p 8 p0 309598733989900 p 7 p0 + + 4537768557464 p 6 p0 50034090776500 p 5 p0 + 3989648440 p 4 p0 607438940 p 3 p0 + 7357830 p p0 37407004 p p 0 + 908530 p 0 8365489559800 p 4 p9 + 95566966476000 p 3 p9 89000033974960 p p9 + + 3585606606098560 p p9 0598954638695600 p 0 p9 + 59743689650800 p 9 p9 475983400035600 p 8 p9 + + 699475605094880 p 7 p9 83743706679469880 p 6 p9 + 846783938580033600 p 5 p9 67706730456903800 p 4 p9 + + 45353553484390600 p 3 p9 53703698868960 p p9 + 70374968457360 p p9 444568643300466800 p 0 p9 + + 377009656400 p 9 p9 34095764359634300 p 8 p9 + 6704748687785936 p 7 p9 086305086 p 6 p9 + + 795446840 p 5 p9 97464400690 p 4 p9 + 55363073040 p 3 p9 96800348976 p p9 + 375998096 p p 9 7096300 p 9 + 4453978794600 p4 p8 66573849379090 p3 p8 + 5754768730 p p8 50345670607446840 p p8 + + 568455658800600 p 0 p8 365804070958800 p 9 p8 + 676405089586656000 p 8 p8 9905470638870540 p 7 p8 + + 938945738398950 p 6 p8 8376806676744975 p5 p8 + 9749905066098975 p4 p8 66789435454385440 p3 p8 + + 38043338737708984680 p p8 796083493807845340 p p8 + 69874589395830300 p 0 p8 06079737489800 p 9 p8 + + 569594756534964 p 8 p8 604889388657473 p7 p8 + 837983777369 p6 p8 990956655940 p5 p8 + 9043946840 p4 p8 37737634 p 3 p8 +45305833678 p p8 85534404 p p 8 +6537500 p8 508847894670 p4 p7 +8405979908484390 p3 p7 8485004765080 p p7 + 566765530489560 p p7 7697544808403300 p 0 p7 + 4694797964049980 p 9 p7 77003585070977840 p 8 p7 + 4506608807554340 p7 p7 3848340763736906055 p6 p7 + 386433587733508345 p5 p7 546689590547880 p 4 p7 + 8044046596593480 p 3 p7 464393660577495980 p p7 + 3696483977793860 p p7 895940659586400 p 0 p 7 + 94048555835576 p 9 p7 7767886640997553 p 8 p7 + 690634659583 p 7 p7 6839708540466 p 6 p7 + 335036578486300 p 5 p7 3047459334306 p 4 p7 + 90699966698 p 3 p7 755598968 p p7 + + 59900796 p p 7 9789000 p 7 + 090457086700 p 4 p6 69636655877440 p 3 p6 + 540788550777760 p p6 55336884059048640 p p6 + 69383668789990 p 0 p6 3880984760758480 p 9 p6 + 7376485499940350 p 8 p6 08374663937854765880 p 7 p6 + 355759899353595 p6 p6 339933507775409840 p5 p6 + 767388669839047760 p4 p6 7933900689838640 p 3 p6 + 466749466899559060 p p6 9765934640 p p6 + 93474738973904 p 0 p6 33857905977806 p 9 p6 + 8574439389895754 p 8 p6 87539574936674576 p 7 p6 + 338678887664 p 6 p6 490768797984 p 5 p6 + 3999895043706 p 4 p6 6350706944 p 3 p6 + 09789088736 p p6 47948504 p p 6 + + 45375 p 6 76533040874400 p4 p5 + 6538477484000 p3 p5 8403086060045600 p p5 + 38775436835840 p p5 6600687830700 p 0 p5 + 96469585695465600 p 9 p5 5604947476590644600 p 8 p5 + 84994399048596800 p 7 p5 050464833673940 p 6 p5 + 075796397886848000 p5 p5 96708073878900 p4 p5 + 659453878638700 p3 p5 389959388565600 p p5 + 94939504978366 p p5 8099764843990 p 0 p5 + 79684589756590 p 9 p5 7873884956990 p 8 p5 + 78349035768960 p7 p5 379760653947 p6 p5 + 433645095748480 p5 p5 43458985350 p4 p5 + + 307505630 p 3 p5 334997540360 p p5 + 375856 p p 5 9745760 p 5 + 43434554500 p 4 p 4 6758495856000 p 3 p 4 + 4977067808936560 p p 4 3074708356087360 p p 4 + 75599396090609600 p 0 p 4 86887465843347300 p 9 p4 + 358086084467069400 p 8 p4 5508586657960 p 7 p4 + 6938503068469696460 p 6 p4 797996595484800 p 5 p4 + 6466904433600 p 4 p4 449059436649730700 p 3 p4 + 7773959374784 p p4 383790055536904 p p 4 + 5879454787337830 p 0 p 4 073445330904860 p 9 p4 + 600553738875670 p 8 p4 5
Model setu 4067364479833368 p 7 p4 + 608944986865068 p6 p4 377489953550 p5 p4 + 39364045060 p4 p4 886303475900 p3 p4 + + 35646090684 p p4 3489650944 p p 4 + 34767700 p 4 9963859948400 p 4 p 3 + 380903959679640 p 3 p 3 3983344306596080 p p3 + 380656963959040 p p3 383976463458000 p 0 p3 + 9603033746779600 p 9 p3 886937956964940 p 8 p3 + 96749488783868880 p 7 p3 379978378555064640 p 6 p3 + 404696730608700 p 5 p3 353763764793600 p 4 p3 + 584934867355939486 p 3 p3 597009033947549 p p3 + 86037884003056 p p3 3560469855799430 p 0 p 3 + 8357804938750 p 9 p3 385805786475803 p 8 p3 + 976330388706464 p 7 p3 777968396387 p 6 p3 + 65756680890 p 5 p3 9450366760 p 4 p3 + 968333083696 p 3 p3 58000947 p p3 + + 38444056 p p 3 3439800 p 3 + 74474336950 p 4 p 088563840 p 3 p + 937809887390880 p p 45659404690600360 p p + 569680594490808800 p 0 p 405708304764360 p 9 p + 8609809053087880 p 8 p 340860898493480 p 7 p + 7884896665660 p 6 p 856437307407600 p 5 p + 665908835547664 p 4 p 4344874394453 p 3 p + 7798977758845 p p 4097757767744344 p p + 805704380578560 p 0 p 6640900545059488 p 9 p +0590697404344 p8 p 503650883764 p7 p +0068348399568 p6 p 5684653099760 p5 p + + 83440648904 p 4 p 597740705 p3 p + 863073967 p p 4370944 p p + 8606500 p 48780350 p4 p + + 370569000903040 p 3 p 959786478760 p p + 4845490366999840 p p 5374707993507440 p 0 p + + 39054539644030560 p 9 p 87874475687769840 p 8 p + 476344860655360 p 7 p 64065667873309640 p 6 p + + 7087367377988753856 p 5 p 65079645894064 p 4 p + 49734505860987456 p 3 p 388359863744 p p + + 706607304687966 p p 766307388937939 p 0 p + 8737737357448 p 9 p 89439086959755 p 8 p + + 8593958409808 p 7 p 47945060073687 p 6 p + 766955688474976 p 5 p 94430588504 p 4 p + 838964896 p 3 p 48046980384 p p +557760656 p p 00583000 p +578757405600 p4 p0 98339466750 p3 p0 +746873863736750 p p0 3855439769650 p p 0 + 40384905747400 p 0 p 0 3847349590985300 p 9 p 0 + 80880490766300 p 8 p 0 39939064088689400 p 7 p0 + 93993499595664 p 6 p0 0483456005090 p 5 p0 + 08654500503800 p 4 p0 639903789590 p 3 p 0 + 0763674654977760 p p 0 5907475467487 p p 0 + 709636533955600 p 0 p 0 03667889940440 p 9 p0 + 396789074505040 p8 p0 8636843770 p7 p0 + 830075570838 p6 p0 3087780805440 p5 p0 + + 3996553400 p 4 p0 37433986640 p3 p0 + 330499760 p p0 85496504 p p 0 + 7675360 p0 988476703550 p4 p9 + + 764375399375 p 3 p9 48940748705 p p9 + 79898968540580 p p9 984344896800 p0 p9 + 84453354660650 p9 p9 8634055940477550 p 8 p 9 + 3879936733465436 p 7 p 9 47507666836576 p 6 p 9 + 5556704796899370 p 5 p 9 54037650940 p 4 p 9 + 440073505697350 p 3 p 9 978495700760368 p p 9 + 68734486935608 p p 9 7963890585476840 p 0 p9 + 30996047738070 p9 p9 0055658033490 p8 p9 + 686058880763 p7 p9 5845999873833 p6 p9 + + 08086754380 p 5 p9 3754608960 p4 p9 + 36888559470 p3 p9 905596386 p p9 + 358656596 p p 9 5703300 p9 + + 4348855345 p 4 p8 64097700 p3 p8 + 3054959836340 p p8 6940976680 p p8 + 49449650873300 p0 p8 4490596954479800 p 9 p8 +3356497593464 p8 6069458654389988 p7 +90347580995359 p6 056907004970 p5 + +046870303770 p 4 p8 944453097470 p3 +667574855704 p 3875987087935 p +88450487853040 p0 759448989447640 p 9 p8 + 563008385387 p8 p8 6895886588044 p7 p8 + 530639377 p6 p8 73406495730 p5 p8 + + 386345360 p 4 p8 4065749944 p3 p8 + 953608968 p p8 564504 p p 8 + 73075 p8 57556058660 p4 p7 + + 9977386350 p 3 p7 7079708540 p p7 + 54449436078080 p p7 639083778400 p0 p7 + 897997480656 p9 p7 45347675579868 p 8 p7 + 8596894808 p7 p7 336988568354076 p6 p7 + 7007760060 p5 p7 797563408048 p4 p7 + + 5809457360644 p 3 p7 5893609804 p p7 + 70639095808 p p7 3576968680 p0 p7 + 496840880768 p9 p7 54366055764 p 8 p7 + 443587973984 p7 p7 37333350508 p6 p7 + 59497039360 p5 p7 854093896 p4 p7 + 936847968 p3 p7 7470548 p p7 +3467996 p p 7 70500 p7 +6769460 p4 p6 49686507070 p3 p6 +337589884630 p p6 38344050 p p6 + + 58063564984 p 0 p6 83764849754486 p9 p6 + 455730790894 p8 p6 90466054976 p7 p6 + 46546949565664 p6 p6 956434385545 p 5 p6 + 6748359948 p4 p6 0000795567565 p3 p6 + 5390507777568 p p6 98695966637 p p6 + + 545340484945 p 0 p 6 3080048078 p9 p6 + 869954530037 p8 p6 409466694758 p7 p6 + 56897693558 p6 p6 04686984 p 5 p6 + 5663956 p4 p6 685533934 p3 p6 + 3776756 p p6 7830604 p p 6 + 77000 p6 7486450 p4 p5 + + 459658000 p 3 p5 4850635850 p p5 + 876599776 p p5 38500857550 p0 p5 + 580390308640 p9 p5 + 676676574630 p 7 p5 489608773704 p6 p5 + 6095567358880 p5 p5 87803656450 p4 p5 3549953333590 p8 p5 + + 87800730 p3 p5 4868485665660 p p5 + 008384537456 p p5 5685640774840 p0 p5 + 6467889450 p9 p5 00775640870 p8 p5 + + 3099484763760 p 7 p5 758376554 p6 p5 + 450903840 p5 p5 96434390 p4 p5 + 36577640 p3 p5 95070 p p5 + 079376 p p 5 38780 p 5 + 6476450 p4 p4 5680500 p3 p4 + 567744 p p4 363869004 p p4 + 655503740 p0 p4 5708053780 p9 + 5466683940 p 8 p 4 3374543776 p7 p 4 + 60049568586 p6 p 4 88976597650 p5 p 4 p4 + + 0963489683960 p4 p 4 30797530 p 3 p4 + 97755674784 p p4 70775787684 p p4 + 46647380850 p0 p4 36943560 p9 p4 + 8768784470 p8 p4 888600736 p 7 p4 + 75835558876 p6 p4 5404405940 p5 p4 + 3478500 p4 p4 59876540 p3 p4 + 0459604 p p4 4054 p p 4 + + 37950 p 4 4407647584 p 8 p3 58900 p4 p3 + 87376 p3 p3 3498387 p p3 + 90084656 p p3 49656840 p0 p3 + 554385040 p9 + 00843888 p7 p3 9060760644 p6 p3 + 980938670 p5 p3 3897407930 p4 p3 3958703 p p3 + 307609809696 p p3 5076784 p 6 p3 +4378640 p5 p3 90630440 p4 p3 +5856 p3 p3 67587 p p3 +7676 p p 3 300 p3 p3 + 4873564896 p3 p3 00834670 p0 p3 + 08560570 p9 p3 4854609044 p8 p3 + 764307888 p7 p3 + 60047 p p 78804 p p + 5576900 p0 p 4046 p9 p + 6349398 p8 p 53448468 p7 p +6348 p4 p 4575 p3 p + + 305675736 p6 p 506876585 p 5 p +706633649 p4 p 830303 p3 p +8656767 p p 6949056884 p p +496467060 p0 p 9958576 p9 p + + 44904308 p 8 p 588756553 p7 p + 996740 p6 p 4967400 p5 p + 96434 p4 p 394 p3 p + 0 p p 434 p p 3 p 4 p + 55 p 3 p 634 p p + 4676 p p 4374 p 0 p + 966966 p 9 p 305304 p 8 p + 785796 p 7 p 656979 p 6 p + + 9337 p 5 p 4380384 p 4 p + 55450056 p 3 p 59699444 p p + 5470756 p p 46744 p 0 p + 8336 p 9 p 560839 p 8 p + 749 p 7 p 749604 p 6 p + 84996 p 5 p 0894 p 4 p + 3596 p 3 p 434 p p + 76 p p + 6
Model tie-breaku Příklad V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti p OV = 0.35 a p UL = 0.3. Při podání Ostravy na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r OV = F 5 (p OV, p UL ) = F 5 (0.35, 0.3) = 0.60 Ústí nad Labem r OV = 0.40 Při podání Ústí nad Labem na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r UL = 0.64 Ústí nad Labem r UL = F 5 (p UL, p OV ) = F 5 (0.3, 0.35) = 0.36 Model tie-breaku Řešením analogické soustavy 49 rovnic o 49 neznámých najdeme pravděpodobnost F 5 (p, p ) výhry týmu v tie-breaku. F 5 (p, p ) = p p p p +p p p p p `9657700 p 3 p 5 706300 p p 5 + 40877896 p p 5 47593456 p 0 p 5 + + 67546930 p 9 p5 5588330 p8 p5 + 34988840 p7 p5 56303576 p6 p5 + 49096476 p5 p5 0550540 p4 p5 + 48480 p3 p5 5580 p p5 + 555 p p 5 9 p5 + 9657700 p4 p4 30007500 p3 p4 + 6957604 p p4 07735574 p p4 + 393807440 p0 p4 50933750 p 9 p4 + 46364580 p8 p4 30688074 p7 p4 + 40406704 p6 p4 4684380 p5 p4 + 04544440 p4 p4 5545985 p3 p4 + + 40674 p p4 66339 p p 4 + 70 p 4 67603900 p 4 p3 + 6704676 p 3 p3 3040834 p p3 + 897486 p p3 540950 p 0 p3 + 935609950 p 9 p3 77543576 p 8 p3 + 844057 p 7 p3 575465756 p 6 p3 + 967305340 p 5 p3 46957405 p 4 p3 +7433 p3 p3 74437 p p3 +3638 p p 3 6930 p3 +09468 p4 p 89563356 p3 p +7947644 p p 0349596904 p p + 35666054060 p0 p 448060340 p9 p + 45774058 p8 p 805065 p7 p + 39653584 p6 p 5094430 p 5 p + 63536 p 4 p 68684 p 3 p + 957 p p 0494 p p + 505 p 386694308 p 4 p + + 337638766 p 3 p 3643583954 p p + 338767096 p p 57705587 p0 p + 777856750 p9 p 653055386 p8 p + + 447648404 p 7 p 877400546 p6 p + 855436883 p5 p 68387 p4 p + 40577366 p3 p 459084 p p + 69369 p p 645 p +4635890 p4 p0 4053790 p3 p0 +630840 p p0 400739966 p p0 +673843584 p0 p0 89336770 p9 p0 + +74508794360 p 8 p0 575969745 p7 p0 +665598 p6 p0 0963847 p5 p0 +8657860 p4 p0 546090545 p3 p0 +6558550 p p0 4877 p p 0 + 0808 p0 3788790 p4 p9 + 338796350 p3 p9 3859748474 p p9 + 3437646074 p p9 578933490 p0 p9 + + 70474750 p 9 p9 6355763945 p8 p9 + 436633477 p7 p9 870947 p6 p9 + 90397375 p5 p9 6664045 p4 p9 + 53073505 p3 p9 689893 p p9 + 4957953 p p 9 4040 p9 + 66450 p4 p8 000606 p3 p8 + 844065565 p p8 47085376 p p8 + +3684500800 p 0 p8 458873700 p9 p8 +4088443 p8 p8 874936 p7 p8 +4794687908 p6 p8 5939690 p5 p8 +76495390 p4 p8 3766487 p 3 p8 + 5936884 p p8 46 p p 8 + 3535 p8 86465808 p4 p7 + 83499056 p3 p7 36660744 p p7 + 968698304 p p7 79433760 p 0 p7 + 6883645 p9 p7 008059469 p8 p7 + 3905076 p7 p7 73370 p6 p7 + 944490 p5 p7 88376488 p4 p7 + + 95663468 p 3 p7 953484 p p7 + 6563 p p 7 9655 p7 + 389868 p4 p6 47876 p3 p6 + 6098984 p p6 30953637 p p6 + + 5757497746 p 0 p6 758300045 p9 p6 + 783974698 p8 p6 58664346 p7 p6 + 7608738 p6 p6 0535046 p5 p6 + 3366433 p4 p6 744347 p 3 p6 + 789778 p p6 5857 p p 6 + 50050 p6 44440 p4 p5 + 4730760 p3 p5 305595 p p5 + 676897 p p5 33435903 p 0 p5 + 8657475 p9 p5 889487600 p8 p5 + 4840 p7 p5 780709 p6 p5 + 38063746 p5 p5 9590095 p4 p5 + + 0885865 p 3 p5 33835 p p5 + 3535 p p 5 808 p5 + 5050 p4 p4 590350 p3 p4 + 30584099 p p4 95808804 p p4 + + 009890 p 0 p4 305550 p9 p4 + 330074745 p8 p4 655888 p7 p4 + 5664468 p6 p4 67770 p5 p4 + 065605 p4 p4 44440 p 3 p4 + 6604 p p4 6864 p p 4 + 4095 p4 35490 p4 p3 + 4870 p3 p3 376647 p p3 + 7999446 p p3 8800 p0 p3 + + 9604575 p 9 p3 3557 p8 p3 + 3075044 p7 p3 00 p6 p3 + 9564555 p5 p3 38885 p4 p3 + 766 p3 p3 9937 p p3 + 88 p p 3 455 p 3 + 83 p4 p 530 p3 p + 97 p p 33409 p p + 84460 p0 p 47005 p9 p + 937936 p8 p 90909 p7 p + + 407978 p 6 p 764335 p5 p + 9696 p4 p 7759 p3 p + 0 p p 89 p p 3 p4 p + 8 p 3 p 69 p p + 464 p p 649 p 0 p + 505 p 9 p 37037 p 8 p + 463 p 7 p 35607 p 6 p + 303 p 5 p 0 p 4 p + 373 p 3 p 89 p p + 9 p p + 7
Model zápasu Příklad V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti p OV = 0.35 a p UL = 0.3. Při podání Ostravy na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p OV, p UL ) = 0.57 Ústí nad Labem F 5 (p OV, p UL ) = 0.43 Při podání Ústí nad Labem na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p UL, p OV ) = 0.6 Ústí nad Labem F 5 (p UL, p OV ) = 0.38 Model zápasu Značení na začátku zápasu podává tým A m:n i stav zápasu je m:n na sety a na začátku (m + n + )-ho setu podává tým i r A = F 5 (p A, p B ) pravděpodobnost, že při podání týmu A na začátku setu vyhraje set tým A s A = r A pravděpodobnost, že při podání týmu A na začátku setu vyhraje set tým B r B = F 5 (p B, p A ) pravděpodobnost, že při podání týmu B na začátku setu vyhraje set tým B s B = r B pravděpodobnost, že při podání týmu B na začátku setu vyhraje set tým A Vývoj zápasu r A A 0:0 :0 B 0: B s B r B s B r B A A A :0 : 0: r A s A r A s A r A s A VA : B : B s B r B T s B s A r B VB 8
Model zápasu Výpočet pravděpodobností Hledáme pravděpodobnosti G A (r A, r B ), že tým A vyhraje zápas 3:0 nebo 3: G B (r A, r B ), že tým B vyhraje zápas 0:3 nebo :3 G T (r A, r B ), že zápas bude mít pět setů Platí G A (r A, r B ) + G B (r A, r B ) + G T (r A, r B ) =. Označme b i m:n pravděpodobnost výhry týmu i nejpozději ve čtvrtém setu, pokud je stav zápasu m:n na sety. K nalezení G A (r A, r B ) = b A 0:0 potřebujeme najít všechny b A m:n. K nalezení G B (r A, r B ) = b B 0:0 potřebujeme najít všechny b B m:n. Rovnice pro pravděpodobnosti b A 0:0 = r A b A :0 + s A b A 0: b A :0 = r B b A : + s B b A :0 b A : = r A b A : + s A b A : b A 0: = r B b A 0: + s B b A : b A :0 = r A + s A b A : b A : = s B b A : = 0 b A 0: = 0 b B 0:0 = r A b B :0 + s A b B 0: b B :0 = r B b B : + s B b B :0 b B : = r A b B : + s A b B : b B 0: = r B b B 0: + s B b B : b A :0 = 0 b A : = 0 b A : = r B b A 0: = r A b B : + s A Řešení soustavy Příklad G A (r A, r B ) = r A ( r B ) (3 r A r B r A r B + ) G B (r A, r B ) = r B ( r A ) (3 r A r B r A r B + ) G T (r A, r B ) = G A (r A, r B ) G B (r A, r B ) V zápasu Ostrava Ústí nad Labem jsou pravděpodobnosti r OV = 0.60 a r UL = 0.36. Pokud na začátku zápasu podává Ostrava, pak Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G A (r OV, r UL ) = 0.5 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G B (r OV, r UL ) = = 0.5 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r OV, r UL ) = 0.33 9
Výsledky Pokud na začátku zápasu podává Ústí nad Labem, pak Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G B (r UL, r OV ) = 0.5 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G A (r UL, r OV ) = = 0.5 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r UL, r OV ) = 0.33 Z uvedených výsledků je vidět, že vítězství v zápasu nezávisí na losu v prvním setu. Výsledky Pravděpodobnost, že zápas vyhraje Ostrava, je 0.70, nebo 0.7 Ústí nad Labem, je 0.8, nebo 0.30 v závislosti na prvním podání na začátku tie-breaku, ale nezávisle na prvním podání v prvním setu. Přesný výsledek V následující tabulce jsou uvedeny pravděpodobnosti, že zápas skončí uvedeným přesným výsledkem, v závislosti na prvním podání na začátku prvního setu a na začátku tie-breaku.. podání v. setu OV OV UL UL. podání v 5. setu OV UL OV UL výhra Ostravy 3:0 3 % 3 % 5 % 5 % výhra Ostravy 3: 8 % 8 % 7 % 7 % výhra Ostravy 3: 9 % % 9 % % výhra Ústí :3 4 % % 4 % % výhra Ústí :3 0 % 0 % 0 % 0 % výhra Ústí 0:3 6 % 6 % 5 % 5 % Přesné výsledky v setex Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 0
Skutečná data Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 7:5 :0 0: 5:7 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 7:5 :0 0: 5:7 0:5 5:5 0:5 Skutečná data Zápas DHL Ostrava Ústí nad Labem se odehrál 5. 0. 008. Skutečné hodnoty breakpoints byly následující: Ostrava při 39 % svých podání získala bod Ústí nad Labem při 6 % svých podání získalo bod Pokud tyto hodnoty vezmeme jako vstupní pravděpodobnosti modelu, dostaneme následující výstupy.
Skutečná data Pravděpodobnosti výhry v setu a v tie-breaku jsou: Při podání Ostravy na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r OV = F 5 (p OV, p UL ) = F 5 (0.39, 0.6) = 0.97 Ústí nad Labem r OV = 0.03 Při podání Ústí nad Labem na začátku setu je pravděpodobnost, že set vyhraje Ostrava r UL = 0.98 Ústí nad Labem r UL = F 5 (p UL, p OV ) = F 5 (0.6, 0.39) = 0.0 Při podání Ostravy na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p OV, p UL ) = 0.93 Ústí nad Labem F 5 (p OV, p UL ) = 0.07 Při podání Ústí nad Labem na začátku tie-breaku je pravděpodobnost, že tie-break vyhraje Ostrava F 5 (p UL, p OV ) = 0.95 Ústí nad Labem F 5 (p UL, p OV ) = 0.05 Pravděpodobnosti výhry v zápasu jsou tyto: Ostrava vyhraje zápas 3:0 nebo 3: s pravděpodobností G A (r OV, r UL ) = 0.996 Ústí nad Labem vyhraje zápas 0:3 nebo :3 s pravděpodobností G B (r OV, r UL ) = = 0.000 06 zápas se bude rozhodovat v tie-breaku s pravděpodobností G T (r OV, r UL ) = 0.004 Z předchozího dostáváme, že pravděpodobnost, že celý zápas vyhraje Ostrava, je 0.999 6, nebo 0.999 7 Ústí nad Labem, je 0.000 3, nebo 0.000 4 v závislosti na prvním podání na začátku tie-breaku, ale nezávisle na prvním podání v prvním setu. Pravděpodobnosti jednotlivých přesných výsledků jsou v tabulce.. podání v. setu OV OV UL UL. podání v 5. setu OV UL OV UL výhra Ostravy 3:0 9 % 9 % 93 % 93 % výhra Ostravy 3: 8 % 8 % 7 % 7 % výhra Ostravy 3: 0,4 % 0,4 % 0,4 % 0,4 % výhra Ústí :3 0,03 % 0,0 % 0,03 % 0,0 % výhra Ústí :3 0,004 % 0,004 % 0,005 % 0,005 % výhra Ústí 0:3 0,00 % 0,00 % 0,00 % 0,00 %
Skutečná data Ve skutečnosti zápas skončil výhrou Ostravy 3:0, tedy nejpravděpodobnějším výsledkem. Při setu do 5 bodů a podání Ostravy na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Při setu do 5 bodů a podání Ústí na začátku setu jsou pravděpodobnosti přesných výsledků 0.0% 7.5% 5.0%.5% 5:0 5:5 5:0 5:5 5:0 7:5 3:30 30:3 5:7 0:5 5:5 0:5 5:5 0:5 Skutečné výsledky v setex byly 5:6, 5:0 a 5:3. Tyto výsledky jsou na výše uvedených grafech zvýrazněny. Poděkování Bc. Juraj Zaťko (kapitán VK DHL Ostrava, reprezentační tým SR) konzultace Tomáš Krempaský (statistik VK DHL Ostrava) zpracování vstupních dat 3