Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipa.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden 20.09.-24.09. Data, tp dat, variabilita, frekvenční analýza histogram, četnosti absolutní, relativní, prosté, kumulativní, základní statistické charakteristik průměr, výběr.rozptl, minimum, maimum, medián, kvartil, boplot, sešikmenná rozdělení vzájemná poloha mediánu a střední hodnot, chvost, kvantil 2. týden 27.09.-01.10. Princip statistické indukce, výběr, vlastnosti výběru, eperiment. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a jeho souvislost s histogramem. Pravděpodobnost, pravidla pro počítání s pravděpodobností, podmíněná pravděpodobnost, závislost náhodných veličin. 3.týden 04.10.-08.10. Vužití závislosti při stanovení pravděpodobnosti - věta o úplné pravděpodobnosti a Baesova věta 4.týden 11.10.-15.10. Rozdělení chb měření - normální rozdělení a počítání s ním. Odhad parametrů normálního rozdělení. Interval spolehlivosti pro normální data. Jednovýběrové test o střední hodnotě 5.týden 18.10.-24.10. Výběrový poměr jako odhad pravděpodobnosti sledovaného jevu. Alternativní rozdělení, binomické rozdělení. Intervalový odhad výběrového poměru. Výběr s vracením a bez vracení binomické a hpergeometrické rozdělení 6.týden 25.10.-29.10. odpadá 7.týden 01.11.-05.11. Poruch v čase Poissonův proces. Poissonovo rozdělení, eponenciální rozdělení, jeho výhod a nevýhod, modelování dob do poruch pomocí Weibullova rozdělení, lognormálního rozdělení, případně useknuté normální rozdělení. 8.týden 08.11.-12.11. Test dobré shod, Q-Q graf pouze vsvětlení, test normalit. Některé neparametrické test 9.týden 15.11.-19.11. Dvě náhodné veličin - srovnání dvou výběrů dvouvýběrové test 10. týden 22.11.-26.11. Dvě náhodné veličin. Dvourozměrné četnosti jako odhad dvourozměrného rozdělení, frekvenční tabulka. Marginální rozdělení vše pouze diskrétně s tabulkou 11. týden 29.11.-03.12. Závislost náhodných veličin, mír závislosti kovariance, korelace, test významnosti korelačního koeficientu 12. týden 06.12.-10.12. Regrese, lineární regresní model přímková, kvadratická, polnomická regrese, analýza reziduí, pás spolehlivosti 13. týden 13.12.-17.12. Více výběrů, jednoduché třídění, ANOVA. 14. týden 20.12.-22.12. Rezerva, opakování, test normalit náhrada za 28.10.
Náhodné události v čase * * * * ** * * * čas
Náhodné události v čase ** * * ** * * * čas
Náhodné události v čase počet událostí v čase t: Nt diskrétní náhodná veličina N = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * * * * ** * * * T = t1 t2 t3 t4 t5t6 t7 t8 t9 čas čas výsktu i-té události: Ti spojitá náhodná veličina
Náhodné události v čase počet událostí v čase t: Nt N = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * * * * ** * * * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 diskrétní náhodná veličina čas dob mezi událostmi: i = t i t i 1 spojitá náhodná veličina t = Nt t T i = t i i t!1 t!1 = lim t!1 Nt t střední počet událostí za jednotku času t T = lim t!1 Nt = 1 střední doba mezi událostmi je intenzita poruch, 1/ je střední doba mezi poruchami
Poissonovo rozdělení počet událostí v čase t: Nt N = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 * * * * ** * * * čas Jaká je pravděpodobnost, že za jednotku času nastane k událostí? P N = k =? P N = k = k k! e, k =0, 1,... EN =, VarN = Jaká je pravděpodobnost, že za dobu t nastane k událostí? P Nt =k =? P Nt =k = tk e t, k =0, 1,... k! ENt = VarNt = t
Poissonovo rozdělení P N = k = k k! e, k =0, 1,... EN =, VarN =
Poissonovo rozdělení P N = k = k k! e, k =0, 1,... EN =, VarN =
Eponenciální rozdělení Poissonův proces {Nt,t 0} * * * * ** * * * 1 2 3 4 5 6 7 8 9 čas dob mezi událostmi: i = t i t i 1 Jaká je pravděpodobnost, že doba mezi událostmi nepřekročí hodnotu t? P apple t =? P apple t =1 e t, t 0 E =, Var = 2 F t =1 e t ft = df dt = 1 e t, t 0
Eponenciální rozdělení ft = 0, t < 0 1 e t, t 0 F t = 0, t < 0 1 e t, t 0
Eponenciální rozdělení ft = 0, t < 0 1 e t, t 0 F t = 0, t < 0 1 e t, t 0 1 = ft = 0, t < 0 e t, t 0 F t = 0, t < 0 1 e t, t 0 Eponenciální rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličin, která popisuje dobu mezi nezávislými, náhodně se vsktujícími událostmi v čase. Přitom střední doba mezi těmito událostmi je rovna střední počet těchto událostí za jednotku času je. a
Eponenciální rozdělení P t + s s = P apple t + s & s P s = P 2hs, t + si P s = F t + s F s 1 F s = 1 e t+s e s 1+e s = e s e e s t e s =1 e t = F t =P apple t Eponenciální rozdělení nemá paměť!
Weibullovo rozdělení F t =1 e t, t 0 t 1 ft = e t, t 0 ET = apple 1 +1, VarT = 2 2 +1 1 +1 2
Intenzita poruch t = ft 1 F t, t 2 R Pravděpodobnost, že se zařízení porouchá v čase t+ M, kdž víme, že se do dob t neporouchalo pro hodně malá M je rovna přibližně M t. Weibull s > 1 Eponenciální Weibull s =1 Weibull s < 1
Logaritmicko-normální rozdělení, 0, < 0. f = - 1 % ln $ µ2. ep ' $ *, + 0 / 2# & 2 2 # EX = ep µ + 2 & %, VarX = ep 2µ + 2. ep 2 1 $ 2 ' Y s N/µ, 2 X =epy X s LNµ, 2
Charakteristik dob života Edmont Halle 1656-1742
Charakteristik dob života Edmont Halle 1656-1742 Tabulka délk života lidí Halle, 1693
Charakteristik dob života
Charakteristik dob života
Charakteristik dob života Data from Edmond Halle's table p.600 and Durchschnittliche Lebenserwartung im Alter in Jahren e Deutschland, nach Geschlecht, Sterbetafel 1997/99 made available b Statistisches Informationssstem GeroStat.
Charakteristik dob života Příklad: entilátoru dieselového motoru můžeme popsat pomocí eponenciálního rozdělení se střední dobou θ = 28.700 hod. 1. S jakou pravděpodobností se ventilátor porouchá během prvních 100 hodin? PX 100 = $ 100 0 100 1 28700 ep# 28700 d =1# e# = 0,003478 28700 2. Jaká je pravděpodobnost, že ventilátor vdrží bez poruch záruční dobu 8.000 hodin? PX > 8000 = 8000 3. Jaká je intenzita poruch? $ # 8000 1 28700 ep 28700 d = e = 0,76 28700 Intenzita poruch je potom λ=1/ θ=1/28.700=34,8 ppm. PX 100 # $.100 = 100.0,00003484 = 0,003484
Charakteristik dob života Příklad: entilátoru dieselového motoru můžeme popsat pomocí eponenciálního rozdělení se střední dobou θ = 28.700 hod. 4. Jaká je tpická délka života ventilátoru? median = 0,5 = 28.700ln1 0.5 =19.900 5. Jaká je střední doba života ventilátoru? EX = = 28.700 6. Do jaké dob se porouchá v průměru 90% všech ventilátorů? 0,9 = 28.700ln1 0.9 = 66.084
Charakteristik dob života Posunutá rozdělení Weibullovo rozdělení 1. 1 1 './ $ 1 ' $ f % -./ * = % ep.! & # +, / 0 0 &, 0 # Logaritmicko-normální rozdělení 1 & ln # µ2 f = ep +, #$ 2% ' 2$ 2 * #,
Charakteristik dob života Podmíněná rozdělení rozdělení délk života víme-li, že se zařízení dožilo dob R f f! =, R F F F! # =, R R R! =,
Charakteristik dob života Zbývající doba života Z h h! =, d f R X E! = # $, 1 z R F z F z G! # + = 0, z R z f z g! + = 0, z z h z h! + = 0,