Základní pojmy teorie mnoºin.

Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající pevnou vzdálenost od zadaného bodu. Mnoºina je abstraktní pojem, není to objekt z reálného sv ta, je to produkt lidské mysli. Systematické zkoumání mnoºin za alo aº koncem 19. století prací n meckého matematika G. Cantora (Georg Cantor, 1845-1918, zakladatel teorie mnoºin). Bez jeho teorie by v t²ina matematiky 20. století v bec nemohla vzniknout. Jeden z nejd leºit j²ích pojm spojeným se jménem Georga Cantora je pojem mohutnosti mnoºiny nebo p esn ji mohutnosti nekone né mnoºiny. Díky rigorózní teorii nekone ných mnoºin m ºeme nap. porovnávat r zné nekone né mnoºiny co do velikosti. Také samotný pojem mnoºiny se z intuitivní p edstavy musel zm nit na p esn denovaný matematický objekt. Obecná p edstava mnoºiny je jakýkoli soubor objekt, které se nazývají prvky mnoºiny. Jak uº bylo e eno, existuje p esná matematická denice pojmu mnoºina. My si ale na za átek vysta íme s intuitivní p edstavou. V záv ru kapitoly si ukáºeme, ºe tato intuitivní p edstava má své omezení a ºe ne kaºdý soubor objekt lze povaºovat za mnoºinu. Zna ení a operace. P ipomeneme si standardní a obvyklé zna ení. prázdná mnoºina, N = {1, 2,... } p irozená ísla, Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } celá ísla, Q = {x R x = m/n, kde m Z a n N} R = (, ) reálná ísla. racionální ísla, Je-li A mnoºina a V n jaká vlastnost, pak symbol {x A x má vlastnost V } ozna uje mnoºinu v²ech prvk z A, které mají vlastnost V. P íklad 1. {n N n není d litelné ºádným p irozeným íslem} =. Prázdnou mnoºinu m ºeme jednodu²eji zapsat i jako {x A x x}. Jiný p íklad je mnoºina P = {m N m je d litelné práv dv ma z ísel 1, 2,..., m}, coº je mnoºina v²ech prvo ísel. 1

Dále si p ipomeneme základní mnoºinové vztahy a operace. B A, inkluze. ƒteme: B je podmnoºina mnoºiny A. Ov ení inkluze spo ívá v tom, ºe dokáºeme o kaºdém prvku z B, ºe náleºí i do A. Vºdy platí A A a A. Pokud chceme zd raznit, ºe B A, ale B A, pí²eme B A a ekneme, ºe B je vlastní podmnoºina mnoºiny A. Rovnost dvou mnoºin A = B je denována jako sou asné spln ní dvou podmínek: A B a B A, tj. prvek pat í do mnoºiny A práv, kdyº pat í do mnoºiny B. Nap. Mnoºina {a} je jednoprvková mnoºina obsahující prvek a. Ale {a, a} je ta samá mnoºina: Sta í ov it rovnost {a, a} = {a} podle denice. A 1 A 2 = {x x A 1 nebo x A 2 }, sjednocení mnoºin A 1 a A 2. Pro sjednocení v t²ího po tu mnoºin uºíváme zna ení analogické sumaci m A k = A 1 A m, A k = A 1 A 2.... Nap. ( k, k) = R, 2 k, k = (0, ). A 1 A 2 = {x x A 1 a x A 2 }, pr nik mnoºin A 1 a A 2. Pro pr nik v t²ího po tu mnoºin uºíváme podobn m A k = A 1 A m, A k = A 1 A 2.... Nap. (0, 1 k ) =, 0, k 2 ) = {0}. Mnoºiny A a B se nazývají disjunktní, jestliºe A B =. A \ B = {x A x / B}, mnoºinový rozdíl. A B = {(a, b) a A, b B}, kartézský sou in mnoºin A a B. Pro sou in více mnoºin pí²eme m A k = A 1 A m, A k = A 1 A 2.... Jsou-li v²echny mnoºiny stejné, A 1 = A 2 = = A, pak sou in budeme zkracovat symbolickým zápisem A m v p ípad sou inu m mnoºin a A N v p ípad nekone ného sou inu. Jako p íklady si uve me 0, 1 2 = 0, 1 0, 1 = {(x, y) x, y 0, 1 }, coº je jednotkový tverec v rovin. Podobn 0, 1 3 je jednotková krychle a 0, 1 4 je zápis ty rozm rné jednotkové krychle. Mnoºina R n je mnoºina v²ech n-tic reálných ísel, tj. n-rozm rných vektor, a nazývá se n-rozm rný euklidovský prostor. Dále, A k = { (a 1, a 2,... ) a k A k, k 1 } 2

je mnoºina v²ech posloupností takových, ºe na k-tém míst stojí prvek z mnoºiny A k. Specieln {0, 1} N je mnoºina v²ech posloupností vytvo ených z nul a jedni ek. Podobn N N je mnoºina v²ech posloupností p irozených ísel. Mnoºinu v²ech podmnoºin dané mnoºiny A nazýváme poten ní mnoºinou mnoºiny A a zna íme P(A) = {B B A}. Je-li mnoºina A n-prvková, pak P(A) má 2 n prvk. M jme A = {a} a B = {, { }}. Co je P(A) a P(B)? P(A) = {, {a}}, P(B) = {, { }, {{ }}, {, { }} }. P íklad 2. Uvaºujme následující t i mnoºiny: A = { {0}, {{0}} }, B = { {{0}}, {0} } a C = { {{0}}, {0}, {{0}} }. Jsou v²echny t i mnoºiny navzájem r zné? Který z následujících vztah platí: 0 A, 0 A, {0} A nebo {0} A? Mnoºiny A, B, C jsou totoºné, nebo obsahují stejné prvky. Ze ty uvedených moºností platí pouze {0} A. Obrátíme pozornost k základním vztah m mezi mnoºinovými operacemi. V ta 3. (de Morganova pravidla) M jme mnoºiny B, A 1, A 2,.... Pak platí (i) B \ A k = (B \ A k), (ii) B \ A k = (B \ A k). D kaz. Ukáºeme pouze první bod. Druhý je zcela stejný, jen se navzájem prohodí symboly a. M jme x B \ A k. To je ekvivalentní tomu, ºe x B a x / A k. Coº je op t to samé jako, ºe existuje index k 0, ºe x B a x / A k0, tj. existuje index k 0, ºe x B \A k0. Jinými slovy, x (B \ A k). Mohutnost mnoºin. Chceme nalézt zp sob, jak porovnávat velikosti obecných mnoºin. V p ípad kone ných mnoºin porovnáme po et jejich prvk. Pojem po et prvk je v²ak zcela nevhodný pro srovnávání nekone ných mnoºin. Máme-li nap. mnoºiny A = N a B = {2n n N}, kterou z nich prohlásíme za v t²í? Jeden argument by mohl být, ºe B obsahuje pouze sudá ísla, a proto je men²í neº A, nebo je to jen polovina mnoºiny A. Na druhou stranu, prvky mnoºiny B jsou popsány tvarem 2n, kde parametr n probíhá celou mnoºinu A, a tak musí mít A i B stejný po et prvk. Na stejný problém bychom narazili nap. i p i porovnávání mnoºin racionálních a iracionálních ísel: Základní vlastností obou mnoºin je, ºe mezi kaºdými dv ma racionálními ísly leºí 3

íslo iracionální a mezi kaºdými dv ma iracionálními ísly leºí racionální. Ze symetrie t chto vlastností bychom mohli usuzovat, ºe ob mnoºiny jsou stejn velké. Jak uvidíme pozd ji, byl by to chybný záv r. K porovnávání velikostí obecných mnoºin pouºijeme speciální typ zobrazení nazvaný bijekce. Denice 4. M jme zobrazení f : A B. ekneme, ºe (i) f je prosté (injektivní), jestliºe f(a 1 ) f(a 2 ), kdykoli a 1, a 2 A a a 1 a 2 ; (ii) f je na mnoºinu B (surjektivní), je-li obor hodnot roven mnoºin B, f(a) = B; (iii) f je bijekce, je-li prosté a na mnoºinu B. Protoºe bijekce je specieln prosté zobrazení, existuje inverzní a platí, ºe f : A B je bijekce práv, kdyº inverzní f 1 : B A je rovn º bijekce. M ºeme si p edstavovat, ºe bijekce zprost edkovává kopírování jedné mnoºiny na druhou. Existuje-li mezi mnoºinami A a B bijekce, je jedna mnoºina kopií druhé. Jsou-li navíc ob mnoºiny kone né, mají stejný po et prvk. Výhodou takového porovnání je, ºe nemusíme v d t kolik mají p íslu²né mnoºiny prvk, abychom je prohlásili za stejn velké. Proto se tento zp sob hodí i pro porovnávání velikostí obecných mnoºin, nejen kone ných. Denice 5. Mnoºiny A a B mají stejnou mohutnost, existuje-li bijekce f : A B mno- ºiny A na mnoºinu B. Zápis je A = B. Existuje-li bijekce mnoºiny A na n jakou podmnoºinu C B, f : A C, pak budeme tento fakt zna it A B. Místo názvu mohutnost se také asto pouºívá slovo kardinalita. V p ípad kone né mnoºiny ozna uje symbol A skute n po et prvk mnoºiny A. Pro nekone né mnoºiny to je zatím jen zna ka, kterou m ºeme íst mohutnost mnoºiny. Pozd ji se o ní dovíme více. Nastane-li p ípad, ºe A B a p itom neplatí A = B, budeme psát A < B. Slovy to znamená, ºe sice existuje bijekce mnoºiny A na n jakou podmnoºinu mnoºiny B, ale neexistuje ºádná bijekce mnoºiny A na celou B. P íklad 6. Mnoºiny N a N \ {1} mají stejnou mohutnost. D vodem je existence bijekce f : N (N \ {1}) daná f(n) = n + 1. Podobný argument íká, ºe N a N \ {1, 2,..., k} mají stejnou mohutnost. Zde je bijekce f(n) = n + k. Odebereme-li od N jakoukoli kone nou mnoºinu, mohutnost se nezm ní. Bijekce f(n) = 2n mnoºiny N na mnoºinu sudých p irozených ísel ukazuje, ºe mají stejnou mnohutnost, N = {2n n N}. V²echny neprázdné otev ené intervaly (a, b) R mají navzájem stejnou mohutnost: K tomu sta í ukázat, ºe (a, b) = (0, 1) pro kaºdý interval (a, b). Za bijekci nám poslouºí nap. lineární funkce f(x) = (b a)x + a. Je to rostoucí funkce (a tedy prostá) a zobrazí interval (0, 1) na interval (a, b). Platí dokonce i více. Funkce tg(x) je bijekce intervalu ( 1 2 π, 1 2 π) na R, proto ( 1 2 π, 1 2π) = R. Spolu s p edchozím máme (0, 1) = (a, b) = R. 4

Následující d leºité tvrzení, tzv. Schröder-Bernsteinova v ta, nám umoº uje ukázat, ºe dv mnoºiny mají stejnou mohutnost, aniº bychom museli explicitn sestrojit p íslu²nou bijekci. V ta 7. M jme mnoºiny A a B takové, ºe existuje prosté zobrazení mnoºiny A do mnoºiny B a také prosté zobrazení mnoºiny B do mnoºiny A. Pak A a B mají stejnou mohutnost. D kaz. Ozna me si p íslu²ná prostá zobrazení jako f : A B a g : B A. Protoºe g(b) je kopie mnoºiny B a g(b) A, m ºeme bez újmy na obecnosti p edpokládat, ºe B A. Poloºíme C = A \ B a vytvo íme mnoºiny C, f(c), f 2 (C)..., f n (C),... Zde f n ozna uje n-násobné sloºení zobrazení f, f n = h: A B, f(x) h(x) = x pro x n=0 f n (C) pro x A \ n=0 f n (C) n-krát {}}{ f f f. Denujme zobrazení Zbývá ukázat, ºe h je bijekce A na B. Ov íme nejprve, ºe h je prosté zobrazení. M jme dva r zné prvky a, a A a dokáºeme, ºe h(a) h(a ). Jsou-li a, a n=0 f n (C), je h(a) = f(a) a h(a ) = f(a ). Protoºe f je prosté, dostáváme h(a) h(a ). Podobn je to s p ípadem, kdy ani a ani a není ve sjednocení n=0 f n (C), tam p ímo h(a) = a a h(a ) = a. Poslední moºnost nastává, kdyº a n=0 f n (C), ale a nikoli. Pak h(a) = f(a) a h(a ) = a. Protoºe a n=0 f n (C), existuje n, ºe a f n (C). Tím ale f(a) f n+1 (C) n=0 f n (C). Jelikoº a neleºí v tomto sjednocení, nem ºe se rovnat prvku h(a). Nyní ov íme, ºe h(a) = B. Zvolíme si libovolné b B. Leºí-li b mimo sjednocení n=0 f n (C), pak jeho vzor je samo b, h(b) = b. Je-li naopak b prvkem sjednocení n=0 f n (C), nejprve si v²imneme, ºe nem ºe náleºet do první mnoºiny ve sjednocení, nebo f 0 (C) = C = A \ B. Musí proto existovat index n 1, ºe b f n (C). To ale znamená, ºe b = f(a) pro n jaké a f n 1 (C). Tím je d kaz dokon en. V ozna ení, které jsme si zavedli v Denici 5, je formulace V ty 7 p irozená: Je-li A B a B A, pak A = B. Jako ilustraci Schröder-Bernsteinovy v ty uvedeme následující p íklad. P íklad 8. Jednotkový interval (0, 1) a jednotkový tverec (0, 1) 2 mají stejnou mohutnost. Sestrojíme dv prostá zobrazení f : (0, 1) (0, 1) 2 a g : (0, 1) 2 (0, 1). První je jednoduché, nap. f(x) = (x, 1 2 ), (nebo f(x) = (x, x),...). Druhé je o n co sloºit j²í. Kaºdé íslo x (0, 1) zapí²eme v jeho desetinném rozvoji x = 0. x 1 x 2 x 3 x 4 x 5..., kde x n jsou íslice 0, 1,..., 9. Pokud by rozvoj byl kone ný, doplníme ho nulami. Rovn º vylu ujeme takové nekone né zápisy, které mají od jistého desetiného místa samé 9. (To 5

je z d vodu jednozna nosti vyjád ení, nebo nap. 0.279999 = 0.28.) Bodu ve tverci o sou adnicích (x, y) = (0. x 1 x 2 x 3..., 0. y 1 y 2 y 3... ) p i adíme íslo g(x, y) = 0.x 1 y 1 x 2 y 2... Toto p i azení je prosté zobrazení tverce (0, 1) 2 do intervalu (0, 1). (Není na celý interval nebo nap. na íslo 0.898989... se nezobrazí ºádný bod tverce.) Podle V ty 7 existuje bijekce intervalu (0, 1) na (0, 1) 2, tedy ob mnoºiny mají stejnou mohutnost. Abychom mohli korektn pracovat s nekone nými mnoºinami, pot ebujeme si vyjasnit, co znamená, ºe mnoºina je nekone ná. Návrhy pro denici nekone né mnoºiny typu, ºe má nekone n mnoho prvk nic ne e²í, nebo jsme jeden nevyjasn ný pojem pouze nahradili jiným pojmem stejn vágním. Musíme najít vlastnost, která jasn odli²uje kone né a nekone né mnoºiny. U kone ných mnoºin je z ejmé, ºe jejich vlastní podmnoºiny mají mén prvk neº celá mnoºina. V e i bijekce to znamená, ºe neexistuje bijekce celé mnoºiny na svoji vlastní podmnoºinu. Negací této vlastnosti dostaneme to, co charakterizuje mnoºiny nekone né. Denice 9. Mnoºina A je nekone ná, jestliºe existuje bijekce na její vlastní podmnoºinu. Je na míst ov it, ºe pojem nekone ná mnoºina zavedený v denici opravdu koresponduje s tím, co za nekone né mnoºiny obvykle povaºujeme. Mnoºina N je podle vý²e uvedené denice nekone ná, nebo nap. zobrazení f : N N dané f(n) = n+1 je bijekce celé mnoºiny N na vlastní podmnoºinu {2, 3,... }. Rovn º bijekce f(n) = 2n p irozených ísel na mnoºinu sudých ísel op t ukazuje, ºe mnoºina N je nekone ná. Stejn tak kaºdý neprázdný interval (a, b) R spl uje poºadavky kladené na nekone nou mnoºinu: Pro jakýkoli jeho neprázdný podinterval (c, d) (a, b) platí, ºe (c, d) = (a, b), tj. existuje bijekce (a, b) na (c, d). Spo etné mnoºiny. Mnoºina N p irozeých ísel má v teorii mnoºin privilegované postavení. Proto její více i mén skryté kopie si zaslouºí vlastní pojmenování. Denice 10. Mnoºina A se nazývá spo etná, má-li stejnou mohutnost jako mnoºina p irozených ísel, A = N. Vý²e vedené p íklady ukazují, ºe {2, 3,... } i mnoºina sudých ísel jsou spo etné. Následující v ta obsahuje prost edek výhodný pro dokazování spo etnosti. V ta 11. Mnoºina A je spo etná práv, kdyº se v²echny její prvky dají se adit do prosté posloupnosti. Specieln, nekone ná podmnoºina spo etné mnoºiny je rovn º spo etná. D kaz. Tvrzení je ve tvaru ekvivalence, proto je t eba ov it dv implikace. V té první p edpokládáme, ºe mnoºina A je spo etná. To znamená, ºe existuje bijekce f : N A, která nám tak umoºní vytvo it posloupnost f(1), f(2), f(3),... 6

prvk z A. Tato posloupnost obsahuje v²echny prvky mnoºiny A a navíc je prostá, nebo f je prosté zobrazení. Pro druhou implikaci p edpokládáme, ºe mnoºinu A lze uspo ádat do prosté posloupnosti a 1, a 2, a 3,... Budeme denovat zobrazení f : N A následovn f(1) = a 1, f(2) = a 2,. f(n) = a n,. Protoºe posloupnost je prostá, je i zobrazení f prosté. Protoºe v posloupnosti jsou obsaºeny v²echny prvky mnoºiny A je obor hodnot f celá mnoºina A. Jinými slovy, f je bijekce p irozených ísel na mnoºinu A, a tedy A je spo etná. Pro dodate né tvrzení si sta í se adit danou spo etnou mnoºinu do posloupnosti a její nekone ná podmnoºina se stane vybranou podposloupností. V ta 12. Je-li f : A B zobrazení spo etné mnoºiny A na mnoºinu B, pak je B kone ná nebo spo etná. D kaz. P edpokládejme, ºe B není kone ná. Ze vzoru f 1 (b) kaºdého bodu b B vezmeme jeden prvek. Ty vytvo í nekone nou podmnoºinu A 0 A. Protoºe A je spo etná, je podle V ty 11 mnoºina A 0 rovn º spo etná. Na ní je zobrazení f prosté, tj. f je bijekce mnoºiny A 0 na mnoºinu B. Následující v ta íká, ºe spo etné mnoºiny jsou nekone né mnoºiny s nejmen²í mohutností. V ta 13. Kaºdá nekone ná mnoºina obsahuje spo etnou podmnoºinu. D kaz. M jme nekone nou mnoºinu A a volme si a 1 A libovoln. Protoºe A je nekone ná, je mnoºina A \ {a 1 } neprázdná. Zvolíme si v ní prvek a 2 A \ {a 1 }. Rovn º mnoºina A\{a 1, a 2 } je neprázdná, a tedy obsahuje n jaký prvek a 3 A\{a 1, a 2 }. Tak pokra ujeme dále a prvek a n volíme z mnoºiny a n A \ {a 1, a 2,..., a n 1 }. Protoºe v kaºdém kroku od nekone né mnoºiny A odebíráme pouze kone n mnoho prvk, m ºe tento jednoduchý výb rový algoritmus stále pokra ovat. Tím vygeneruje nekone nou prostou posloupnost. Ozna íme-li si ji jako B = (a 1, a 2, a 3,... ), pak její leny tvo í podle V ty 11 spo etnou podmnoºinu mnoºiny A. V této chvíli je na míst otázka, zda existují také mnoºiny, které jsou v t²í neº spo etné. Podíváme se mnoºiny, které vypadají na pohled v t²í neº mnoºina N. 7

P íklad 14. Mnoºina Z celých ísel. Tuto mnoºinu m ºeme se adit do prosté posloupnosti nap. následujícím zp sobem: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,... Podle V ty 11 je mnoºina Z spo etná. Kdybychom cht li najít vzorec pro odpovídající bijekci mnoºiny N na mnoºinu Z, tak má tvar f(n) = ( 1) n[ n ], 2 kde [x] zna í celou ást (reálného) ísla x. M ºeme si pro zajímavost uvést i vztah pro inverzní zobrazení { f 1 : Z N, f 1 2m, m > 0; (m) = 2m + 1, m 0. P íklad 15. Mnoºina N N je rovn º spo etná, nebo ji m ºeme vypsat do prosté posloupnosti podle pravidla nazna eného na obrázku. 4 3 2 1 1 2 3 4 Tzn. N N = { (1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), }. Krom kritéria z V ty 11 m ºeme dokázat spo etnost mnoºiny N N i aplikací V ty 7. K tomu sta í nalézt dv prostá zobrazení f : N N N a g : N N N. P íkladem takových zobrazení mohou být f(n) = (n, n) a g(m, n) = 2 m 3 n. 8

Zobrazení f je z ejm prosté. Abychom ov ili, ºe i g je prosté, musíme ho trochu prozkoumat. P edpokládejme, ºe ve dvou bodech (m, n) a (m, n ) má g stejnou hodnotu, g(m, n) = g(m, n ). Tj. 2 m 3 n = 2 m 3 n. Bez újmy na obecnosti lze p edpokládat, ºe m m. Rovnici vyd líme íslem 2 m : 3 n = 2 m m 3 n. Na levé stran je liché íslo, proto musí být i na pravé, coº znamená, ºe m m = 0. V tom p ípad uº nezbývá neº, ºe i n = n. Tím jsme ov ili prostotu zobrazení g. Nakonec lze uvést i p ímou formuli pro bijekci f : N N N, f(k, n) = 2 k 1 (2n 1). Ov ení, ºe f je bijekce necháme na (zvídavém?) tená i. P edchozí p íklad nás inspiruje k odhadu, ºe by spo etné mnoºiny mohly být stabilní vzhedem k operacím kartézský sou in a sjednocení. Mnoºina N N je kartézský sou in spo etných mnoºin. Krom toho si ji m ºeme p edstavit jako sjednocení vodorovných ez, N N = {(1, 1), (2, 1), (3, 1),... } {(1, 2), (2, 2), (3, 2),... } = {(n, k) n N}. Kaºdý vodorovný ez {(n, k) n N} je kopie mnoºiny N. Sjednocení spo etn mnoha t chto ez z stává op t spo etnou mnoºinou. Následující v ta ukazuje, ºe ná² odhad je správný. V ta 16. M jme spo etné mnoºiny A 1, A 2,.... Pak (i) A k je op t spo etná mnoºina. (ii) Kartézský sou in n A k je spo etná mnoºina pro kaºdé n N. D kaz. (i) Prvky kaºdé ze spo etných mnoºin A 1, A 2,... se adíme do prosté posloupnosti A 1 = {a 11, a 12,... }, A 2 = {a 21, a 22,... }, Denujeme zobrazení f : N N A k p edpisem. f(m, n) = a mn. To je zobrazení mnoºiny N N na celou mnoºinu A k. Protoºe uº víme, ºe N N je spo etná, m ºeme aplikovat V tu 12. Ta íká, ºe obor hodnot zobrazení f je bu kone ná nebo spo etná mnoºina. Protoºe A k není kone ná mnoºina, musí být spo etná. (ii) D kaz provedeme matematickou indukcí. 9

Krok 1. Tvrzení je z ejmé pro n = 1. Krok 2. P edpokládáme, ºe sou in n mnoºin n A k je spo etný. Chceme ukázat, ºe i sou in (n + 1) mnoºin z stane spo etný. n+1 Ozna íme si B = n A k. Nyní ( n ) A k = A k A n+1. n+1 A k = B A n+1. Protoºe víme, ºe B a A n+1 jsou spo etné mnoºiny, lze si podle V ty 11 vypsat prvky obou mnoºin do posloupností, B = {b 1, b 2,... }, A n+1 = {a 1, a 2,... }. Denujeme zobrazení f : N N B A n+1 f(m, n) = (b m, a n ). Op t pouºijeme V tu 12 a dostáváme, ºe obor hodnot zobrazení f spo etná mnoºina. Tím je d kaz ukon en. P ímá aplikace V ty 16(i) o spo etném sjednocení spo etných mnoºin ukazuje, ºe mno- ºina Q racionálních ísel je spo etná. Pi²me { m Q = n } m Z, n N = kde A n je mnoºina v²ech zlomk se jmenovatelem n, tj. A n = A n, {..., 2 n, 1 n, 0 n, 1 n, 2 n,... }. Protoºe mnoºiny A n jsou spo etné (mají stejnou mohutnost jako Z), je mnoºina Q spo- etná. D sledek V ty 16(i) je následující pozorování: M jme spo etné mnoºiny A 1, A 2,... a jejich kone né podmnoºiny K 1 A 1, K 2 A 2,.... Pak z ejm K n A n. Odtud plyne, ºe sjednocení K n je bu kone ná mnoºina nebo, je-li nekone ná, pak je op t jen spo etná. Jiným d sledkem V ty 16 je tvrzení o po tu kone ných podmnoºin spo etné mnoºiny. V ta 17. Kone ných podmnoºin spo etné mnoºiny A je spo etn mnoho. 10

D kaz. Ozna me si B = A A 2 A 3 = A k, coº je mnoºina v²ech uspo ádanch k-tic, k N, vytvo ených prvky z A. Z V ty 16 víme, ºe v²echnya k jsou spo etné mnoºiny a rovn º víme, ºe jejich sjednocení, tj. B, je spo etná mnoºina. Uvaºujme zobrazení f z B do mnoºiny v²ech kone ných podmnoºin mnoºiny A, které uspo ádané k-tici p i adí k-prvkovou podmnoºinu skládající se z prvk této k-tice: f(a 1, a 2,..., a k ) = {a 1, a 2,..., a k }. Je to zobrazení ze spo etné mnoºiny na mnoºinu v²ech kone ných podmnoºin mnoºiny A. Podle V ty 12 je obor hodnot zobrazení f bu kone ná nebo spo etná mnoºina. Obor hodnot nem ºe být kone ná mnoºina, nebo uº jen jednoprvkových podmnoºin je nekone n mnoho. Proto obor hodnot je mnoºina spo etná. P íklad 18. P edstavme si, ºe zajíc se pohybuje po bodech mnoºiny Z Z identickými skoky, které uskute uje kaºdou minutu. Neznáme ani typ t chto skok ani místo odkud v ase T = 0 své skákání za al. Máme ale povoleno na konci kaºdé hodiny poloºit do libovolného bodu mnoºiny Z Z past. Sko í-li zajíc do bodu, kde je umíst na past, je chycen. Existuje strategie, jak pokládat pasti, abychom nakonec zajíce chytili? Ozna íme (a, b) polohu zajíce v ase T = 0 a vektor (u, v) bude sm rový vektor skoku, tj. zajíc sko í z bodu (a, b) do bodu (a+u, b+v), pak do bodu (a+2u, b+2v) atd. Mnoºina v²ech mnoºných výb r tve ic (a, b, u, v), které ur ují pohyb zajíce je Z 4, tedy spo etná mnoºina podle V ty 16(ii). Její prvky m ºeme se adit do posloupnosti (a 1, b 1, u 1, v 1 ), (a 2, b 2, u 2, v 2 ),.... Pasti pokládáme tak, ºe na konci i-té hodiny dáme past do bodu (a i + (60i + 1)u i, b i + (60i + 1)v i ). Je-li (a i, b i, u i, v i ) tve ice ur ující pohyb zajíce, pak na konci i-té hodiny bude zajíc v bod (a i + 60i u i, b i + 60i v i ). Následujícím skokem sko í do bodu, kam jsme poloºili past. Nespo etné mnoºiny. Zatím to vypadá, ºe kaºdá nekone ná mnoºina, kterou jsme aº dosud zkoumali, je spo etná. Jsou snad v²echny nekone né mnoºiny spo etné? Pokud by tomu tak bylo, tento text by kon il p edcházející sekcí. Velkým objevem Georga Cantora je, ºe nespo etné mnoºiny opravdu existují. Tento objev byl mohutným impulsem pro rozvoj teorie mnoºin, pro její hloubku a rozmanitost. V ta 19. Mnoºina reálných ísel v intervalu (0, 1) není spo etná. 11

D kaz. P edpokládejme pro spor, ºe mnoºina (0, 1) spo etná je. Podle V ty 11 je moºné v²echna ísla z (0, 1) vypsat jako leny prosté posloupnosti. Pi²me si leny této posloupnosti pod sebe: x 1 = 0. a 11 a 21 a 31, x 2 = 0. a 12 a 22 a 32, x 3 = 0. a 13 a 23 a 33,. kde a ij {0, 1,..., 9} ozna ují íslice v desítkovém rozvoji. M ºeme p edpokládat, ºe rozvoj je nekone ný, nebo ho lze vºdy doplnit nulami. Z d vodu jednozna nosti rovn º vylu ujeme zápisy mající od jistého místa samé 9. Vytvo íme íslo y (0, 1), jehoº desetiný rozvoj y = 0. y 1 y 2 y 3 spl uje následující poºadavky: { 2 je-li akk = 1, y k = 1 je-li a kk 1. ƒíslo y není rovno ºádnému z ísel x 1, x 2,..., nebo se od x 1 li²í na prvním desetiném míst, od x 2 na druhém desetiném míst a obecn od x k na k-tém desetiném míst. To je spor s p edpokladem, ºe vý²e napsaná posloupnost obsahuje v²echna ísla v (0, 1). Mohutnost intervalu (0, 1) není rovna mohutnosti N. Protoºe spo etné mnoºiny jsou nekone né mnoºiny s nejmen²í mohutností, musí být mohutnost (0, 1) ost e v t²í neº mohutnost N, N < (0, 1). Velmi voln e eno, nekone no reprezentované mnoºinou (0, 1) je neporovnateln v t²í neº nekone no reprezentované mnoºinou N. Nekone né mnoºiny, které nejsou spo etné budeme nazývat nespo etné. Protoºe (0, 1) = R, je i mnoºina reálných ísel nespo etná. Navíc, R = Q (R \ Q), kde Q je mnoºina racionálních ísel, která je spo etná. Proto mnoºina iracionálních ísel R\ Q musí být nespo etná: V opa ném p ípad by totiº R bylo sjednocení dvou spo etných mnoºin, a tedy spo etná mnoºina. Z V ty 13 víme, ºe spo etné mnoºiny jsou nekone né mnoºiny s nejmen²í mohutností. Tato vlastnost se projevuje i v jiném aspektu neº jen v porovnání mnohutností. P íklad 20. Ukáºeme, ºe ºádný spo etný system p ímek nepokryje celou rovinu R 2. M jme spo etný system L p ímek v rovin. Podle V ty 11 si p ímky v L m ºeme vypsat do prosté posloupnosti L = {l 1, l 2,... }. Ozna íme si α i 0, π) úhel, který svírá p ímka l i s vodorovným sm rem. Protoºe mnoºina 0, π) je nespo etná, existuje úhel α 0, π) r zný od v²ech úhl α i, i N. Uvaºujme nyní p ímku l svírající s vodorovným sm rem úhel α. šádná z p ímek v L není rovnob ºná s l, proto protínají p ímku l v práv jednom bod. Bod na p ímce l je nespo etn, ale p ímek v L jen spo etn mnoho. Nemohou proto pokrýt v²echny body na p ímce l. Tento argument ukazuje nejen, ºe ºádný spo etný system p ímek nepokryje R 2, ale navíc ºe mnoºina nepokrytých bod je nespo etná. 12

Vra me se je²t na okamºik k d kazu V ty 19. Hlavní nápad celého argumentu, tzv. diagonální metoda, je²t lépe vynikne v následujícím tvrzení. V ta 21. Mnoºina P(N) v²ech podmnoºin p irozených ísel není spo etná. D kaz. D kaz provedeme sporem. P edpokládejme, ºe P(N) je spo etná. Podle V ty 11 je moºné v²echny prvky mnoºiny vypsat do posloupnosti P(N) = {A 1, A 2,..., }. Nyní utvo íme speciální podmnoºinu S p irozených ísel tak, ºe budeme procházet postupn ísla 1, 2, 3,... a u kaºdého z nich se rozhodneme, zda-li ho dáme do mnoºiny S nebo nikoli. Rozhodování se ídí podle následujícího algoritmu: Pokud 1 / A 1, dáme íslo 1 do mnoºiny S. Jinak posloupíme k íslu 2. Pokud 2 / A 2, dáme íslo 2 do mnoºiny S. Jinak posloupíme k íslu 3. Pokud 3 / A 3, dáme íslo 3 do mnoºiny S. Jinak posloupíme k íslu 4.. Zápis mnoºiny S je tedy S = {n N n / A n }. Protoºe v seznamu {A 1, A 2,..., } jsou zapsány v²echny podmnoºiny mnoºiny N, je tam n kde i mnoºina S, tj. existuje index m, ºe S = A m. Potíºe nastanou, kdyº budeme chtít zjistit, zda mnoºina S obsahuje íslo m i nikoliv. Kdyby m S = {n N n / A n }, tak m / A m = S. Kdyby m / S = A m, tak m S. - spor. - spor. Jiná moºnost uº není, takºe samotná existence mnoºiny S vede ke sporu. Protoºe existence S vyplývala z moºnosti zapsat mnoºinu P(N) do posloupnosti, není moºné P(N) takto vyjád it, a tedy P(N) není spo etná. Tvrzení V ty 21 lze krátce zapsat ve tvaru N < P(N). Z této v ty také vyplývá, ºe nekone ných podmnoºin p irozených ísel je nespo etn mnoho. Zjistili jsme totiº ve V t 17, ºe kone ných podmnoºin p irozených ísel je spo etn mnoho. Protoºe P(N) = {kone né podmnoºiny} {nekone né podmnoºiny}, a P(N) je nespo etná, musí být systém nekone ných podmnoºin také nepo etný. Tento výsledek m ºeme je²t zesílit: System nekone ných podmnoºin, které mají kone ný dopln k, má stejnou mohutnost jako system kone ných podmnoºin, tj. je spo etný. (Kaºdé takové podmnoºin p i adíme její dopln k a dostaneme bijekci na system v²ech kone ných podmnoºin.) Podobn jako vý²e m ºeme psát P(N) = {kone né podmnoºiny} {nekone né podmnoºiny s kone ným dopl kem} {nekone né podmnoºiny s nekone ným dopl kem}. Odtud plyne, ºe i nekone ných podmnoºin s nekone ným dopl kem je nespo etn. Víme, ºe mnoºiny (0, 1) a P(N) jsou nespo etné, ale nemáme ºádnou relaci mezi jejich mohutnostmi. To, i n co navíc, odhalí následující v ta. 13

V ta 22. P(N) = {0, 1} N = (0, 1). D kaz. Ukáºeme první rovnost. Mnoºina {0, 1} N jsou v²echny nekone né 0-1 posloupnosti. Sestrojíme bijekci f : P(N) {0, 1} N následovn. Chceme kaºdé podmnoºin A p irozených ísel p i adit n jakým vhodným zp sobem posloupnost (a A n ) = (a A 1, aa 2... ) vytvo enou z nul a jedni ek: Pro mnoºinu A N denujeme posloupnost (a A n ) { a A 1 n A; n = 0 n / A. Poloºíme f(a) = (a A n ). Nap. f( ) = (0, 0,... ), f(n) = (1, 1,... ) nebo f({lichá ísla}) = (1, 0, 1, 0,... ). Takto denované zobrazení f je prosté a obor hodnot jsou v²echny posloupnosti nul a jedni ek. Je to bijekce mnoºiny P(N) na {0, 1} N, a tedy P(N) = {0, 1} N. Zbývá ukázat druhou rovnost. K tomu uºijeme V tu 7, která íká, ºe sta í nalezt dv prostá zobrazení f : {0, 1} N (0, 1) a g : (0, 1) {0, 1} N. Pro 0-1 posloupnost (a 1, a 2,... ) {0, 1} N denujeme f(a 1, a 2,... ) = 0.5 + 0.a 1 a 2..., kde druhý s ítanec je reálné íslo s desetiným rozvojem daným posloupností (a 1, a 2,... ). První s ítanec zaru uje, ºe obraz nulové posloupnosti bude v intervalu (0, 1). Zobrazení f je prosté (ale není to bijekce). M jme nyní reálné íslo x (0, 1) a napi²me si ho v dvojkovém rozvoji, x = 0.a 1 a 2..., kde posloupnost (a 1, a 2... ) {0, 1} N. (Op t rozvoj dopl ujeme na konci nulami, je-li t eba a vylu ujeme zápisy mající od jistého místa samé jedni ky.) Zobrazení g je dáno g(0.a 1 a 2... ) = (a 1, a 2,... ). I g je prosté (op t to není bijekce) a podle V ty 7 platí {0, 1} N = (0, 1). Na záv r dokáºeme slavnou Cantorovu v tu o mohutnostech. Tato v ta íká, ºe ke kaºdé mnoºin A existuje jiná mnoºina, která má mohutnost v t²í neº A. V ta 23. Pro kaºdou mnoºinu A platí, ºe A < P(A). D kaz. Vºdy platí A P(A), nebo nap. zobrazení f : A P(A) dané f(a) = {a} je bijekce A na podmnoºinu poten ní mnoºiny. Sta í nám proto dokázat, ºe A P(A). P edpokládejme, ºe A = P(A). Existuje tedy bijekce f : A P(A), 14

která kaºdému prvku a A p i adí n jakou podmnoºinu f(a) mnoºiny A, f(a) A. M ºe se stát, ºe prvek a leºí ve své p i azené podmnoºin, a f(a), nebo se m ºe stát, ºe a ve své p i azené mnoºin neleºí, a / f(a). Uvaºujme mnoºinu S t ch prvk a, pro které nastává druhá moºnost, S = {a A a / f(a)}. Protoºe zobrazení f je bijekce, obor hodnot jsou v²echny podmnoºiny mnoºiny A. Existuje tedy speciální prvek a 0 A takový, ºe f(a 0 ) = S. Hledaný spor nastane, budeme-li se pokou²et zjistit, zda a 0 leºí i neleºí v mnoºin S. Kdyby a 0 S = {a A a / f(a)}, tak a 0 / f(a 0 ) = S. Kdyby a 0 / S = f(a 0 ), tak a 0 S. - spor. - spor. Jiná moºnost uº není, takºe samotná existence mnoºiny S vede ke sporu. Protoºe existence S vyplývala z p edpokladu A = P(A), tato rovnost neplatí. Pro kone né mnoºiny je tvrzení Cantorovy v ty pro nás jiº známá v c: Je-li A = n, pak P(A) = 2 n. Pro nekone né mnoºiny dostáváme z Cantorovy v ty existenci neomezené hierarchie mohutností mnoºin, N < P(N) < P(P(N)) < Uvedeme si je²t jeden d sledek Cantorovy v ty, kterým je asto zmi ované tvrzení, ºe mnoºina v²ech mnoºin je nesmyslný pojem vedoucí ke sporu. Pouºívá se jako argument k tomu, ºe ne kaºdý soubor objekt je mnoºina; nap. práv soubor v²ech mnoºin nem ºe být mnoºinou. Uvaºujme A = {B B je mnoºina}, coº je soubor v²ech mnoºin. Kdyby i A byla mnoºina, m ºeme aplikovat Cantorovu v tu a dostaneme, ºe P(A) > A. Na druhou stranu, kaºdý prvek P(A) je podmnoºina A, specieln je to mnoºina, a tedy pat í do A. Pat í-li kaºdý prvek z P(A) do A, je P(A) A. Pak ale P(A) nem ºe mít v t²í mohutnost neº A. Jiný argument pro to, ºe soubor v²ech mnoºin není mnoºina, m ºe být i takový, ºe mnoºina v²ech mnoºin by m la nejv t²í moºnou mohutnost. To podle Cantorovy v ty nem ºe nastat. Mnohem znám j²í je argument nazývaný Russell v paradox, který nepot ebuje Cantorovu v tu. Uvaºujme soubor M obsahující v²echny mnoºiny A s vlastností A / A, M = {A A je mnoºina a A / A}. Je snadné uvést p íklady mnoºin A, které nejsou svým prvkem, nap. N / N nebo / atd. Spí²e je nejasné, jaká mnoºina by tuto vlastnost nem la, ale to není pro nás v bec d leºité. P edpokládejme, ºe soubor M je také mnoºina. Denice íká, ºe A M práv, kdyº A / A. Aplikujeme-li to na A = M, dostaneme, ºe M M práv, kdyº M / M. Tento spor znamená, ºe ná² p edpoklad je chybný a soubor M není mnoºina. Jaké si m ºeme vzít pou ení z Russellova paradoxu? Soubor M byl denován vlastností, kterou mají mít jeho prvky. Vidíme, ºe existují vlastnosti, které nedenují mnoºinu, tj. soubor objekt, které tuto vlastnost mají, netvo í mnoºinu. Jsme tak vedeni k úloze charakterizovat vlastnosti, které naopak mnoºiny denují. Bohuºel, není znám zp sob jak 15

toho dosáhnout a dokonce n které výsledky matematické logiky (tzv. V ty o neúplnosti Kurta Gödela) nazna ují, ºe úplná odpov nemusí existovat. Místo toho jsme formulovali jednoduché vlastnosti mnoºin uºívané v matematice, tzv. axiomy. Z nich se logicky korektním zp sobem odvozují dal²í a sloºit j²í vlastnosti. Zku- ²enost ukazuje, ºe v²echny pojmy sou asné matematiky mohou být denovány a jejich vlastnosti odvozeny v tomto axiomatickém systému. M ºeme tak íci, ºe axiomatická teorie mnoºin tvo í posta ující základ pro ostatní odv tví matematiky. Cvi ení. (1) Pomocí Vennova diagramu ov te, ºe pro mnoºiny A, B jsou následující podmínky ekvivalentní: (a) B A; (b) B \ A = ; (c) A B = A; (d) A B = B. (2) M jme dána ísla i, j, k Z. Platí A = B pro mnoºiny A = {i + nk n Z} a B = {i + (n + j)k n Z}? (3) Uvaºujme podmnoºiny mnoºiny X a denujme pro n operaci A B := X \ (A B). Vyjád ete operace, a \ pomocí operace. (4) Dokaºte, ºe pro kaºdé dv mnoºiny A a B platí (a) P(A B) = P(A) P(B); (b) P(A) P(B) P(A B), zde ale rovnost obecn neplatí. (5) Pro mnoºinu A = { {{1, 2}, {3, 4}}, {1, 2} } rozhodn te, zda platí (a) {1, 2} A? (b) {1, 2} A? (c) {3, 4} A? (d) {3, 4} A? (6) M jme A = {1, {2}, }. Který z následujících vztah je pravdivý? (a) 1 A, 1 A, {1} A, {1} A. (b) 1 P(A), {1} P(A), {1} P(A). (c) A, A, P(A), P(A), { } P(A). (d) 2 A, {2} A, {2} A, 2 A. (e) P(A), A P(A), A P(A). (f) A P(P(A)), A P(P(A)), {A} P(P(A)), {A} P(P(A)). 16

(7) M jme mnoºiny A = {w, {x, y}}, B = {w, y, {y}} a C = {w, x, y}. Vypi²te prvky následujících mnoºin: (a) A C; (b) C \ B; (c) B P(B); (d) (A B) (B C) (A C). (8) M jme mnoºiny S n = 1 + 1 2n, 1 + 1 2n). Zjist te, co jsou mnoºiny (a) S 1, S 2 a S 3 ; (b) n N S n; (c) n N S n; (d) n N (R \ S n); (e) n N (R \ S n). (9) Nalezn te Q n a Q n pro následující výb ry mnoºin Q n. (a) Q n = n, 2n ; (b) Q n = 1 n, 1 + n) 1 ; (c) Q n = 1 n, n ; { m } (d) Q n = m Z ; 12n (e) Q n = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1/n 2 }; (f) Q n = {(x, y) R 2 0 x 1, 0 y x 2 /n}. (10) Nalezn te posloupnost A 1, A 2, A 3,... navzájem r zných podmnoºin R takovou, ºe (a) (b) (c) (d) (e) A n = ( 1, 1) a A n = 2, 2 ; A n = {1} a A n = a A n = Z a A n = A n = 0, ); A n = R; A n. A n = R; (11) Ozna me A n = {n, 2n, 3n,... } mnoºinu tvo enou násobky ísla n N. (a) Zjist te, co jsou mnoºiny A 2 A 7, A 6 A 8, A 3 A 12 a A 3 A 12. 17

(b) Ukaºte, ºe n B A n = pro kaºdou nekone nou podmnoºinu index B N. (12) Je-li A 1, A 2,... libovolná posloupnost mnoºin, pak existují disjunktní mnoºiny B k, B k A k, s vlastností k N B k = k N A k. (13) Pro kterou z následujících t í mnoºin A = {1, {1, 2}}, A = {, { }, {, { }} }, A = {, {1}, {, 1}} platí, ºe je-li a A, pak také a A. (14) M jme kone nou mnoºinu A a zobrazení f : A A. Které z následujích tvrzení je pravdivé? (a) Je-li A \ f(a) =, pak f je prosté. (b) Je-li A \ f(a), pak f není prosté. Které z t chto tvrzení bude platit v p ípad, ºe mnoºina A je nekone ná? (15) M jme nekone nou mnoºinu A a prvek x 0 A. Ukaºte, ºe mnoºiny A\{x 0 } a A mají stejnou mohutnost, tj. A \ {x 0 } = A. Platí, ºe A \ K = A pro kaºdou kone nou podmnoºinu K A? (16) M jme mnoºinu A. Ukaºte, ºe mnoºiny A {0} a A {1} jsou disjunktní. Nalezn te bijekci mezi mnoºinami A {0} a A {1}. (17) Dokaºte, ºe mnoºina N Z je spo etná. (18) Mnoºina N N je mnoºina v²ech posloupností tvo ených p irozenými ísly. Uvaºujme dv její podmnoºiny: A = {aritmetické posloupnosti} a B = {periodické posloupnosti}. Ukaºte, ºe (a) N N je nespo etná mnoºina; (b) Mnoºiny A i B jsou spo etné. (19) Ukaºte, ºe mnoºina v²ech polynom s celo íselnými koecienty je spo etná. Reálný ko en polynomu s celo íselnými koecienty se nazývá algebraické íslo. Ukaºte, ºe mnoºina algebraických ísel je spo etná. (20) Ukaºte, ºe intervaly (0, 1) a (0, ) mají stejnou mohutnost jako R. (21) Mnoºina A (0, 1) je tvo ena ísly majícími ve svém desetiném rozvoji nekone n mnoho 7. Pomocí Schröder-Bernsteinovy v ty (V ta 7) ukaºte, ºe A = (0, 1). (22) Nalezn te bijekci intervalu 0, 1) na interval (0, 1). (23) Nalezn te bijekci f : ( 1, 1) R takovou, ºe f(q ( 1, 1)) = Q, tj. mnoºina racioálních ísel v intervalu ( 1, 1) se navíc zobrazí na celou mnoºinu Q. (24) Je mnoºina iracionálních ísel v intervalu (0, 1) spo etná nebo nespo etná? (25) Existuje mnoºina s nejv t²í mohutností? 18

e²ení. (2) Ob mnoºiny jsou stejné, jsou to k-náslobky celých ísel posunuté o i. (3) A A = X \ A, (A B) (A B) = A B, (A A) (B B) = A B. (4a) Mnoºina C A B práv, kdyº C A a C B. (4b) Je-li C A nebo C B, pak platí, ºe C A B. Obecn rovnost neplatí: Je-li a A \ B a b B \ A, pak mnoºina C = {a, b} P(A B), ale C nepat í ani do P(A) ani do P(B). (5) Platí pouze p ípad (a). (6a) Platí pouze 1 A a {1} A. (6b) Platí pouze {1} P(A). (6c) Platí v²e. (6d) Platí pouze {2} A. (6e) Platí v²e krom posledního A P(A). (6f) Platí pouze {A} P(P(A)). (7a) A C = {w, x, y, {x, y}}. (7b) C \ B = {x}. (7c) B P(B) = {{y}}. (7d) (A B) (B C) (A C) = {w, y}. (8a) S 1 = 1 2, 3 2 ), S 2 = 3 4, 5 4 ), S 3 = 5 6, 7 6 ). (8b) n N S n = ( 1, 3 2 ). (8c) n N S n = 1 2, 1. (8d) n N (R \ S n) = (, 1 3 2, ). (8e) n N (R \ S n) = (, 1 2 ) (1, ). (9a) Q n = 1, ), Q n = ; (9b) Q n = (0, 2), Q n = {1}; (9c) Q n = 1, ), Q n = 0, 1 ; (9d) Q n = Q, Q n = {m/12 m Z}; (9e) Q n je uzav ený kruh se st edem v po átku a polom rem 1, (9f) Q n = Q 1, Q n = 0, 1 {0}. Q n = {0, 0}; 19

(10a) Nap. A 1 = ( 1, 1), A 2 = 2, 2 a zbylé A n n 3 jsou jakékoli navzájem r zné podmnoºiny A 2 obsahující A 1. (10b) Nap. A 1 = {1}, A n = 0, k) pro n 2. (10c) Nap. A n = (1 n, n 1). (10d) Nap. A n = Z (1 n, n 1). (10e) Takové navzájem r zné mnoºiny neexistují. (11a) A 2 A 7 = A 14, A 6 A 8 = A 24, A 3 A 12 = A 12 a A 3 A 12 = A 3. (11b) Protoºe A n n, ), neleºí ºádný prvek v nekone n mnoha mnoºinách A n. (12) Poloºíme B k = A k \ i<k A i. (13) Pouze pro druhou z mnoºin. (14) Ob tvrzení jsou pravdivá. Pro nekone nou mnoºinu A ºádné z nich neplatí: V p ípad (a) je protip íkladem nap. f : N N daná f(1) = 1 a f(n) = n 1 pro n 2. Pro (b) je to nap. f(n) = n + 1, n N. (15) Mnoºina A \ {x 0 } je nekone ná a podle V ty 13 obsahuje spo etnou podmnoºinu {x 1, x 2,... }. Bijekce f mnoºiny A na mnoºinu A \ {x 0 } je denována f(x) = { x, x A \ {x 0, x 1, x 2,... }; x k+1, x = x k, k = 0, 1, 2,... To samé platí i pro kone nou podmnoºinu K A. P edpokládejme, ºe K má n prvk K = {x 0, x 1,..., x n 1 }. V nekone né mnoºin A \ K existuje spo etná podmnoºina s prvky {x n, x n+1,... }. Bijekce f mnoºiny A \ K na mnoºinu A je denována f(x) = { x, x A \ {x 0, x 1, x 2,..., x n,... }; x n+k, x = x k, k = 0, 1, 2,... (16) Prvky mnoºiny A {0} jsou typu (a, 0) a prvky mnoºiny A {1} typu (a, 1), a A. Díky druhé sloºce nemouhou být nikdy totoºné. Nejjednodu²²í bijekce f : A {0} A {1} je f(a, 0) = (a, 1). (17) M ºeme pouºít V tu 16 (ii) o sou inu spo etných mnoºin. Pokud bychom cht li najít explicitn n jakou bijekci mnoºiny Z N na N, vyuºijeme P íklady 14 a 15. V prvním máme bijekci f 1 : Z N a ve druhém bijekci f 2 : N N N, { 2m, m > 0; f 1 (m) = f 2 (k, n) = 2 k 1 (2n 1). 2m + 1, m 0, Jejich kombinací vznikne hledná bijekce f(m, n) = f 2 (f 1 (m), n) = 2 f 1(m) 1 (2n 1). 20

(18a) Uºijeme poznatku z V ty 22, ºe {0, 1} N je nespo etná. Zobrazení f : {0, 1} N N N dané f(a 1, a 2,... ) = (a 1 +1, a 2 +1,... ) je bijekce na podmnoºinu mnoºiny N N. Proto {0, 1} N N N, a tedy N N je nespo etná. (18b) Aritmetická posloupnost je typu (a 0, a 0 + d, a 0 + 2d,... ), tedy je ur ena dv ma parametry: po áte ním lenem a 0 a diferencí d. Mnoºina v²ech dvojic (a 0, d) je rovna N (N {0}), coº je spo etná mnoºina podle V ty 16(ii). Periodická posloupnost je jednozna n ur ena svou periodou, tj. posloupností (a 1, a 2,..., a k ) N k tvo ící periodu, (a k+1 = a 1 ). Podle V ty 16(ii) je takových posloupností délky k spo etn mnoho a jejich sjednocení p es v²echny hodnoty k N je op t spo etná mnoºina, (V ta 16(i)). (19) Polynom p(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n je ur en kone nou posloupností (a 0, a 1,..., a n ) svých koecient. Tato posloupnost je prvek mnoºiny Z n+1 pro n jaké n. Podle V ty 16(ii) je tato mnoºina spo etná. Sjednocením mnoºin Z n+1 p es v²echny moºné stupn polynomu n = 0, 1,... dostaneme op t spo etnou mnoºinu (V ta 16(i)). Víme, ºe polynom stupn n má nejvý²e n reálných ko en. Z první ásti p íkladu plyne, ºe mnoºina P polynom je spo etná, P = {p 1 (x), p 2 (x),... }. Ozna íme K i mnoºinu reálných ko en polynomu p i (x). Pak mnoºina algebraických ísel je rovna i=1 K i, coº je spo etné sjednocení kone ných mnoºin. Podle poznámky p ed V tou 17 je to op t spo etná mnoºina. (20) Pro první p ípad je bijekce nap. f(x) = tg π(x 1 2 ) a pro druhý p ípad f(x) = log x. (21) Nalezneme prostá zobrazení f : A (0, 1) a g : (0, 1) A. První je jednoduché, f(x) = x. Pro denici hodnoty g(x) napí²eme íslo x (0, 1) v desetiném rozvoji, (dopln ném nulami, je-li t eba), x = 0.x 1 x 2 x 3... Poloºíme g(x) = 0.7x 1 7x 2 7x 3... (22) Zvolme si n jakou posloupnost a 1 > a 2 > ísel z (0, 1) takovou, ºe lim n a n = 0 (nap. a n = 1/(n + 1)). Poloºíme A = {a 1, a 2,... }. Denujeme f : 0, 1) (0, 1) Zobrazení f je hledaná bijekce. (23) Nap. f(x) = x 1 x. a 1, pro x = 0; f(x) = a n+1, pro x = a n, n 1; x pro x (0, 1) \ A. (24) Nespo etná, nebo (0, 1) je nespo etná a mnoºina iracionálních ísel v (0, 1) vznikne jako (0, 1) \ Q, tj. odebráním spo etné mnoºiny. (25) Neexistuje, nebo kdyby taková mnoºina A existovala, pak by podle Cantorovy v ty (V ta 23) m la mnoºina P(A) mohutnost v t²í, coº je spor. 21