NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota: E X= p var X= p( p). Binomické rozdělení X Bi(n, p) Rozdělení indikátoru náhodného jevu, úspěch vs. neúspěch. p (0,), n N X {0,,..., n} ( ) n Hustota: P[X= j]= p j ( p) n j, j {0,,..., n} j Středníhodnota: E X= np var X= np( p).3 Geometrické rozdělení Rozdělení součtu nezávislých alternativních veličin(počtu úspěchůmezi npokusy).přesněji,jsou-li X i Alt(p)nezávislé, i=,...,n,pak n i= X i Bi(n, p). Bi(, p)jestalt(p). Jestliže n anp λ <,pakbi(n, p)konvergujek Po(λ). X Geo(p) p (0, ) MichalKulich,KPMSMFFUK,9.9.009
X {0,,,...} Hustota: P[X= j]=p( p) j, j=0,,,... Středníhodnota: E X= p p var X= p p.4 Poissonovo rozdělení Počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých pokusů. X Po(λ) λ >0 X {0,,,...} Hustota: Středníhodnota: E X= λ P[X= j]= λj j! e λ, j=0,,,... var X= λ.5 Negativně binomické rozdělení X NB(n, p) p (0,), n N X {0,,,...} ( ) n+j Hustota: P[X= j]= p n ( p) j, j=0,,,... n Středníhodnota: E X= n p p Spojitá rozdělení var X= n p p. Rovnoměrné rozdělení X R(a, b) Rozdělení počtu neúspěchů předcházejících n-tému úspěchu v posloupnosti nezávislých pokusů. NB(, p) jest Geo(p).
a, b R, a < b X (a, b) Hustota: f(x)= b a I (a,b)(x), x R Distribuční funkce: 0 x < a, x a F(x)= a < x < b, b a x > b Středníhodnota: E X= a+b (b a) var X= Rozdělení s konstantní hustotou.. Normální rozdělení X N(µ, σ ) µ R, σ >0 Hustota: X R f(x)= πσ e (x µ) /(σ ), x R ( ) x µ Distribučnífunkce: F(x)=Φ,kde σ Φ(x)= π x Středníhodnota: E X= µ e u / du var X= σ { 0 kliché Vyššímomenty: µ k = {(k )(k 3) 3 }σ k ksudé Špičatost: γ 4 =3 3
.3 Cauchyovo rozdělení X C(a, b) a R, b >0 X R Hustota: f(x)= bπ [ ( ) ] x a + b Distribučnífunkce: F(x)= + π arctg x a b Střední hodnota: E X neexistuje var X neexistuje Hustota je symetrická kolem a, momenty neexistují, E X = +..4 Exponenciální rozdělení λ >0 X Exp(λ) X (0, ) Hustota: Distribuční funkce: f(x)=λe λx I (0, ) (x) F(x)= { 0 x <0 e λx x >0 Středníhodnota: E X= λ var X= λ.5 Gama rozdělení X Γ(a, p) a >0, p >0 X (0, ) Hustota: f(x)= ap Γ(p) xp e ax I (0, ) (x), x R 4
Středníhodnota: E X= p a var X= p a Γ(a, ) jest Exp(a) Γ(a, k), k Njestsoučtem knezávislýchveličinsrozdělením ( Exp(a); toto rozdělení se též nazývá Erlangovo. Γ, r ) jest χ r -rozdělení..6 Beta rozdělení X B(α, β) α, β >0 X (0,) Hustota: f(x) = B(α, β) xα ( x) β I (0,) (x) Středníhodnota: E X= α α+β var X =.7 χ rozdělení αβ (α+β) (α+β+) Systém konstantních, lineárních a kvadratických hustot na omezenémintervalu(0,).b(,)jestr(0,). X χ r r N, stupně volnosti X (0, ) Hustota: f(x) = Středníhodnota: E X= r var X=r r/ Γ(r/) x(r )/ e x/ I (0, ) (x) SpeciálnípřípadΓ-rozdělenísparametry, r. Rozdělení součtu kvadrátů r nezávislých normovaných normálních veličin. 5
.8 Studentovo t-rozdělení X t k k N, počet stupňů volnosti X R Hustota: f(x)= Γ ( ) k+ ( ) (k+)/ Γ ( ) + x k kπ k Středníhodnota: E X=0pro k,neexistujepro k=. var X= k k pro k 3,var X= pro k=,. t jestc(0,) Jsou-li X N(0,)aZ χ k nezávislé,pak X Z/k t k.9 (Fisherovo) F-rozdělení X F m,n m, n N, stupně volnosti X (0, ) Hustota: ( m ) f(x) = B ( m/ ( m ) x m/ + m ) (m+n)/ n n n x I(0, ) (x) Středníhodnota: E X= n pro n 3,neexistujepro n=,. n var X= n (m+n ) m(n ) (n 4) pro n 5,var X= pro n 4. Jsou-li Z χ ma Z χ nnezávislé,pak Z /m Z /n F m,n Je-li Y B(m/, n/),pak n Y m Y F m,n 6
3 Mnohorozměrná diskrétní rozdělení 3. Multinomické rozdělení X Mult k (n; p) k početpřihrádek, n Npočetpokusů, p {(0,) k : k j= p j=}pravděpodobnostipřihrádek. X {{0,,..., n} k : k j= X i= n} n! Hustota: P[X = r,...,x k = r k ]= r! r k! pr pr k k I A (r), kde A= {r {0,..., n} k : k j= r j= n} Středníhodnota: E X= np var X= n[diag(p) pp T ] Rozdělení počtu koulí padlých do každé z k přihrádek při nnezávislýchpokusech. Marginálnírozdělení X j jestbi(n, p j ), j=,...,k 4 Mnohorozměrná spojitá rozdělení 4. Mnohorozměrné normální rozdělení X N k (µ,σ) µ R k středníhodnota,σ>0positivnědefinitnírozptylová matice X R k Hustota: f(x) = Středníhodnota: E X= µ (π) k/ detσ exp { } (x µ)t Σ (x µ), x R k var X=Σ ( σ Je-li k=,můžemevyjádřitσ= σ σ σ σ σ cor(x, X ).Pak f(x, x )= ),kde = { [ π (x µ ) exp σ σ ( ) σ (x µ )(x µ ) + (x ]} µ ) σ σ σ 7
5 Appendix 5. Gama funkce Definice: Γ(p) = 0 x p e x dx, Vlastnosti: Γ(k)=(k )!, k=,,3,... Γ(/)= π Γ(p+)=pΓ(p), p >0 p >0senazývágamafunkce. 5. Beta funkce Definice: B(α, β) = 0 x α ( x) β dx, Vlastnosti: B(α, β)=b(β, α)= Γ(α)Γ(β) Γ(α+β) α, β >0senazývábetafunkce. 5.3 Normované normální rozdělení Distribučnífunkce:Φ(x)= π x e u / du Vlastnosti: Φ( x)= Φ(x) Hodnoty: Kvantily: x 0 0.5.5 3 Φ(x) 0.5 0.695 0.843 0.933 0.977 0.9987 α 0.5 0.8 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 Φ (α) 0 0.846.8.645.96.36.576 8
5.4 Kvantily χ -rozdělení Definice: Prodané α (0,)ar hledáme xtakové,že r/ Γ(r/) x 0 u (r )/ e u/ du=α Tabulka: α r 0.9 0.95 0.99 0.999.706 3.84 6.635 0.88 4.605 5.99 9.0 3.86 3 6.5 7.85.345 6.66 4 7.779 9.488 3.77 8.467 5 9.36.070 5.086 0.55 6 0.645.59 6.8.458 7.07 4.067 8.475 4.3 8 3.36 5.507 0.090 6.4 9 4.684 6.99.666 7.877 0 5.987 8.307 3.09 9.588 5.307 4.996 30.578 37.697 0 8.4 3.40 37.566 45.35 30 40.56 43.773 50.89 59.703 40 5.805 55.758 63.69 73.40 50 63.67 67.505 76.54 86.66 9
Obsah Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo,nula-jedničkové)rozdělení........ Binomickérozdělení.....3 Geometrickérozdělení..............4 Poissonovorozdělení....5 Negativněbinomickérozdělení......... Spojitá rozdělení. Rovnoměrnérozdělení.............. Normálnírozdělení.... 3.3 Cauchyovorozdělení... 4.4 Exponenciálnírozdělení............ 4.5 Gamarozdělení...... 4.6 Betarozdělení....... 5.7 χ rozdělení........ 5.8 Studentovot-rozdělení............. 6.9 (Fisherovo)F-rozdělení... 6 3 Mnohorozměrná diskrétní rozdělení 7 3. Multinomickérozdělení... 7 4 Mnohorozměrná spojitá rozdělení 7 4. Mnohorozměrnénormálnírozdělení...... 7 5 Appendix 8 5. Gamafunkce....... 8 5. Betafunkce........ 8 5.3 Normovanénormálnírozdělení......... 8 5.4 Kvantily χ -rozdělení... 9 0