Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof Ing Bohumil Minařík, CSc Brno 009

Vysvětlení použitých symbolů Průvodce studiem objevuje se v úvodu a závěru modulu, zahajuje každou lekci, formuluje hlavní problémy, snaží se motivovat čtenáře, poukazuje na návaznosti v problematice Abecední rejstřík použitých pojmů v úvodní části každé lekce Rekapituluje všechny důležité odborné termíny zavedené v lekci Bleskové Σ otázky/úkoly v tetu Pokud jsou číslovány, čtenář nalezne v závěru lekce příslušné odpovědi Čtenář by se je měl snažit splnit dříve, než postoupí dál Souhrn problematiky lekce Následuje po tetu lekce Odpovědi na bleskové otázky v tetu lekce Cvičení k lekci Pokud je to účelné a možné, nalezne čtenář řešení úkolů na konci modulu Klíč ke cvičením ke všem lekcím v závěru modulu Struktura modulu titulní list, použité symboly, struktura modulu a lekcí, obsah modulu, průvodce studiem modulu úvod, jednotlivé lekce modulu, klíč ke cvičením ke všem lekcím, průvodce studiem modulu závěr Struktura lekce průvodce studiem lekce, abecední rejstřík pojmů, tet lekce proložený bleskovými otázkami a úkoly, souhrn lekce, odpovědi na bleskové otázky, cvičení k lekci 3

Obsah modulu Průvodce studiem modulu úvodní část Lekce Náhodné jevy a pravděpodobnost Náhodné jevy Klasická pravděpodobnost 3 Statistická pravděpodobnost 4 Počítání s pravděpodobnostmi 5 Opakované pokusy Lekce Diskrétní náhodná veličina Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny 3 Některé zákony rozdělení diskrétních veličin Lekce 3 Spojitá náhodná veličina 3 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 3 Charakteristiky spojité náhodné veličiny 33 Některé zákony rozdělení spojitých náhodných veličin 34 Výpočty s normálním rozdělením Klíč ke cvičením Průvodce studiem závěrečná část 5 6 6 8 8 0 5 5 7 8 4 6 9 3 35 4

V našem životě, profesním, odborném i obecně lidském, se běžně stáváme svědky i přímými ú- častníky dějů, u nichž nelze s jistotou předpovědět jejich výsledek A co víc výsledek je nejistý, i když je vše zdánlivě pečlivě připraveno a pod kontrolou Kromě jiného je to např manažerské rozhodování, které jen výjimečně probíhá za jistoty (určité rozhodnutí přinese předem známý jistý výsledek), ale mnohem častěji za rizika (očekávaný výsledek se dostaví pouze s určitou pravděpodobností) Pojem pravděpodobnost, pravděpodobný, pravděpodobně jsou běžnou součástí hovorové řeči My ovšem s tímto pojmem musíme zacházet opatrněji a kvalifikovaněji, protože pravděpodobnost je současně metodou kvantifikace možnosti nastoupení (nebo naopak nenastoupení) očekávaných jevů O pravděpodobnosti se hovoří v souvislosti s náhodnými jevy a náhodnými veličinami, jejichž pravděpodobnostním chováním se hodláme v tomto modulu zabývat Vedle několika jiných definic pravděpodobnosti (zcela eaktně tento pojem definovat nebudeme), se budeme zabývat především rozdělením pravděpodobnosti náhodných veličin Pojem rozdělení jistě připomíná pojem rozdělení četností z prvního modulu Analogie je zřejmá, což je podtrženo tím, že rozdělení četností při bodovém třídění má svůj protějšek v rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny, zatímco intervalové rozdělení četností nachází svůj protějšek v rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Tento druhý modul se ve třech lekcích věnuje náhodným jevům, jejich pravděpodobnostem a počítání s nimi, rozdělením pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny, rozdělením pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 5

Lekce Náhodné jevy a pravděpodobnost Výklad pravděpodobnosti musí začít nevyhnutelně od základních pojmů Pravděpodobnost, velmi zjednodušeně řečeno, pojednává o náhodných jevech (slovně vyjádřených výsledcích náhodných pokusů) a o náhodných veličinách (výsledcích náhodných pokusů vyjádřených číselně) Tato první lekce zůstává na úrovni náhodných jevů Vedle náhodných jevů operujeme rovněž s jevy jistými a nemožnými a také s jevy, které se svými vlastnostmi těmto jevům maimálně blíží (jev prakticky jistý, jev prakticky nemožný) Náhodné jevy se nevyskytují jednotlivě, ale minimálně ve dvojicích nebo i větších skupinách Objevuje se tedy problém vztahů mezi jevy, který přináší množství pojmů, jako např sjednocení jevů, průnik jevů, neslučitelnost, opačné jevy a jiné Klíčovým pojmem první lekce bude pojem pravděpodobnosti, jako matematické veličiny, která kvantifikuje náhodu Seznámíme se s několika speciálními případy pravděpodobnosti a jejími vlastnostmi Univerzálně ovšem pojem pravděpodobnost zavádět nebudeme Poznáme, že vedle obyčejné pravděpodobnosti, která se vztahuje k jednomu náhodnému jevu, eistují i komplikovanější případy podmíněné a úplné pravděpodobnosti, stejně jako pravděpodobnosti apriorní a aposteriorní Poznáme jeden z klíčových vztahů ve dvojici nebo větší skupině náhodných jevů nezávislost jevů Vzhledem k tomu, že náhodné pokusy nejsou unikátní, neopakovatelné (sériová výroba, hromadná obsluha), budeme hovořit také o sériích za stejných podmínek vykonávaných pokusů opakovaných pokusech V této souvislosti se zmíníme také o výběru s opakováním a výběru bez opakování, které mají řadu praktických aplikací aposteriorní pravděpodobnost; apriorní pravděpodobnost; Bayesova pravděpodobnost; Bernoulliův vzorec; čtyřpolní tabulka; důsledek; elementární jev; jistý jev; klasická pravděpodobnost; náhodný jev; náhodný pokus; nemožný jev; neslučitelnost; nezávislé pokusy; nezávislost; opačné jevy; opakované pokusy; podmíněná pravděpodobnost; prakticky jistý jev; prakticky nemožný jev; průnik; sjednocení; statistická pravděpodobnost; úplná pravděpodobnost; úplná skupina; Vennův diagram; závislé pokusy Náhodné jevy Každý děj, jehož výsledek nelze bezezbytku předpovědět (vyroben může být dobrý nebo vadný výrobek, technické měření může ale nemusí být zatíženo hrubou chybou, v určitém časovém intervalu může ale nemusí dojít k poruše zařízení atd), nazýváme náhodný pokus Slovně vyjádřené výsledky náhodných pokusů nazýváme náhodné jevy a pro jejich značení využíváme velká písmena ze začátku abecedy, tj, A, B, C, Vedle náhodných jevů je vhodné zavést pojmy jistý jev (značíme I) a nemožný jev (značíme V) Význam těchto jevů je zřejmý z jejich názvů Najděte příklady náhodných pokusů, náhodných, jistých a nemožných jevů z Vašeho dosavadního studia či prae Je-li výsledkem náhodného pokusu nastoupení jevu A, jde o případ příznivý jevu A Každému náhodném pokusu přísluší množina možných případů elementárních jevů Možné případy mají tyto vlastnosti 6

jsou neslučitelné (disjunktní) nastane-li jeden, nemůže současně nastat jiný, tvoří úplnou skupinu nemůže nastat žádný jiný případ, jsou nerozložitelné každý z nich může nastat právě jedním způsobem Každý náhodný jev je buď elementárním jevem nebo jevem složeným z elementárních jevů Ukažte elementární jevy na případu hodu hrací kostkou! Pojmenujte jevy padnutí sudého čísla, padnutí nejméně trojky apod Příklad házení kostkou volíme proto, že jde o názorný a všeobecné známý případ náhodného pokusu Pro dvojici jevů A, B můžeme formulovat tyto vztahy Platí-li, že nastane-li jev A, nastane vždy současně i jev B, říkáme, že jev A je částí jevu B (nebo že jev B je důsledkem jevu A) a píšeme A B Pokud současně platí A B, B A, jsou jevy A, B totožné Eistuje jev, spočívající v tom, že nastane alespoň jeden z jevů A, B Tento jev je sjednocením jevů A, B Píšeme A B Platí A B = B A, A A = A, A I = I, A V = A Eistuje-li jev, spočívající ve společném nastoupení jevů A, B, je tento jev průnikem jevů A, B Píšeme A B Jsou-li jevy A, B neslučitelné, je jejich průnik jevem nemožným, a tedy A B = V Platí A B = B A, A A = A, A I = A, A V = V Jev, spočívající v nenastoupení jevu A, se nazývá jevem opačným k jevu A Opačný jev k jevu A označíme A Platí A A = I, A A = V Ukažte výše uvedené vztahy mezi jevy na případu házení hrací kostkou! Operace sjednocení a průniku lze zobecnit pro n-tici jevů Příklad Pomocí výše uvedených vztahů zapíšeme, že jevy jevů To, že jevy tvoří úplnou skupinu n i j i= A,, n n, A An :, i= i= A,, A i A i, A An tvoří úplnou skupinu neslučitelných A i = I, to, že jevy jsou po dvou neslučitelné A A V pro i j = Příklad Vyjádříme nastoupení jevu A při nenastoupení jevu B (jde o rozdíl jevů A B): A B = A B Jak vyjádříme, že nastal právě jeden (libovolný) z jevů A, B? ( ) Pro grafickou prezentaci vztahů mezi jevy se využívají všeobecně známé množinové Vennovy diagramy Pomáhejte si jimi vždy, když si eventuálně s úlohou nevíte rady, např pro úkol ( ) hledáme vybarvenou část diagramu 7

Klasická pravděpodobnost Předpokládáme náhodný pokus s konečným počtem stejně možných případů n Počet případů příznivých jevu A označíme m Klasická pravděpodobnost jevu A je dána jako P ( A) = = p Vzhle- m n dem k vlastnostem m, n je 0 p Počet možných a příznivých případů je často značný Proto k jejich vyčíslení využíváme kombinatorických výpočtů Příklad 3 V krabici je 0 žárovek, z nichž tři jsou vadné Z krabice je odebráno pět žárovek Jaká je pravděpodobnost, že dvě z nich jsou vadné? 0 0! Počet způsobů, kterými lze vybrat pět žárovek z 0: = = 5504 5 (0 5)!5! Počet způsobů, kterými lze ze 7 dobrých žárovek odebrat tři a současně ze zbývajících tří vadných 7 3 7! 3! vybrat dvě: = = 680 3 = 040 3 (7 3)!3! (3 )!! 040 Pravděpodobnost jevu je tedy P ( A) = = 0, 36 5504 Jakou pravděpodobnost mají v příkladu 3 jevy, že (a) výběr bude obsahovat všechny tři vadné žárovky, (b) žádná žárovka ve výběru nebude vadná ( ) Klasická pravděpodobnost je založena na logickém rozboru možných výsledků pokusu (který není třeba vykonávat) a vyžaduje konečný počet stejně možných případů 3 Statistická pravděpodobnost Za stejných podmínek vykonáváme určitý náhodný pokus a zaznamenáváme jeho výsledky Vždy po vykonání určitého počtu pokusů vyčíslíme relativní četnost příznivých případů (např hodíme-li 0krát mincí, přičemž padlo líců a 8 rubů a příznivým případem je padnutí líce, je relativní četnost padnutí líce = 0, 6 ) Pozorujeme-li, že relativní četnost se po vykonání určitého počtu pokusů stabilizovala a další vykonané pokusy její hodnotu prakticky nemění, vyhlásíme tuto stabilizovanou rela- 0 tivní četnost za statistickou pravděpodobnost Z vlastností relativní četnosti opět plyne 0 p Příklad 4 Při kontrole jakosti byla po vyšetření 0 výrobků zjištěna nulová relativní četnost vadných výrobků Po vyšetření 50 výrobků byla zjištěna relativní četnost vadných výrobků 0,04 Po vyšetření 00 výrobků byla zjištěna relativní četnost vadných výrobků 0,03 Po vyšetření 00 a 300 výrobků byla shodně určena relativní četnost vadných výrobků 0,0 Pokus ukončíme s tím, že relativní četnost považujeme za stabilizovanou na hodnotě pravděpodobnosti P ( A) = 0, 0 Znázorněte průběh pokusu graficky Na vodorovnou osu vyneste počet pokusů a na svislou osu relativní četnost Statistická pravděpodobnost je založena na vykonání natolik početné série náhodných pokusů, která umožní stabilizovanou relativní četnost příznivých případů prohlásit za pravděpodobnost jevu 8

Vlastnosti pravděpodobnosti formulujeme zobecněním vlastností klasické a statistické pravděpodobnosti Pravděpodobnost je nezáporná a nabývá maimální hodnoty jedna, 0 P ( A) Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné, P ( I ) = Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule, P ( V ) = 0 Pravděpodobnost nastoupení alespoň jednoho z n tice neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností (aditivita): n A ) A ) i= i = n i= Jestliže jev B je důsledkem jevu A, platí A) B) Pravděpodobnost opačného jevu je doplňkem pravděpodobnosti původního jevu do jedné, A) = A) Vedle uvedené klasické a statistické pravděpodobnosti eistují další koncepty pravděpodobnosti pravděpodobnost geometrická pravděpodobnost je prezentována jako míra (délka, plocha, objem) geometrického útvaru (hodí se např při grafické prezentaci jevů pomocí Vennových diagramů) nebo pravděpodobnost subjektivní (odborně nebo laicky odhadovaná, např pravděpodobnost zvýšení pojistného v závislosti na vývoji na pojistném trhu) Nejdůležitějším případem pravděpodobnosti bude pro nás rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny v dalších lekcích Všechny tyto koncepty jsou zvláštními případy tzv aiomatické definice pravděpodobnosti, která je společně zastřešuje 4 Počítání s pravděpodobnostmi Jsou dány obecné (slučitelné) jevy A, B se známými pravděpodobnostmi P ( A), B) Pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna A B) = A) + B) A B), přičemž pravděpodobnost jejich průniku nelze z pouhé znalosti pravděpodobností P ( A), B) dovodit Pravděpodobnost průniku A B) vyplyne z rekapitulace pravděpodobností všech možných kombinací nastoupení jevů A, A, B, B ve čtyřpolní tabulce Jev B B Součet A P ( A B) A B ) P (A) A A B) A B) P (A) Součet P (B) P (B) P (I ) Všimněme si v této chvíli, že např platí A) = A B) + A B) a podobně i pro P (A), P ( B), B) Tyto vztahy za chvíli využijeme Příklad 5 Při přejímací kontrole bylo nalezeno 5 % výrobků s funkční vadou (jev A) a 8 % výrobků se vzhledovou vadou (jev B) Obě vady současně mělo % výrobků Považujme tyto podíly za stabilizované a sestavme čtyřpolní tabulku pravděpodobností Jev B B Součet A 0,0 0,03 0,05 A 0,06 0,89 0,95 Součet 0,08 0,9,00 i 9

Vyjádřete slovně jev, který má v tabulce pravděpodobnost 0,89 Najděte pravděpodobnost nalezení výrobku, který má jen vzhledovou vadu Příklad 6 Najdeme nyní pravděpodobnosti nalezení výrobku se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají/nemají funkční vadu (víme, že tato pravděpodobnost mezi všemi výrobky je rovna 0,08) Hledané pravděpodobnosti označíme P ( B A), B A) a stanovíme jako A B) 0,0 P ( B A) = = = 0,40 (hodnoty bereme z prvního řádku tabulky), A) 0,05 A B) 0,06 P ( B A) = = = 0,063 (hodnoty bereme z druhého řádku tabulky) A) 0,95 Z výsledků vyplývá, že je mnohem pravděpodobnější (0,40) najít výrobek se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají funkční vadu, než mezi výrobky, které funkční vadu nemají (0,063) Jaký vztah je mezi všemi třemi pravděpodobnostmi? B) = A B) + A B) = B A) A) + B A) A) = = 0,0 + 0,06 = 0,40 0,05 + 0,063 0,95 = 0,08 Podmíněná, úplná a aposteriorní pravděpodobnost, nezávislost A H ) Jsou dány jevy A, H ( H V ) Pravděpodobnost A H ) = se nazývá podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky H H ) Pravděpodobnost P ( A) = A H ) H ) + A H ) H ) se nazývá úplná pravděpodobnost jevu A Pravděpodobnost průniku jevů A, H stanovíme jako P ( A H ) = A H ) H ) Podmíněná pravděpodobnost A H ) se rovná úplné pravděpodobnosti P (A), pokud P ( A H ) = A) H ) Vztah mezi jevy A, H v tomto posledním případě se nazývá nezávislost A H ) Pravděpodobnost H A) = se nazývá aposteriorní (Bayesovskou) pravděpodobností jevu H A) Všechny uvedené pravděpodobnosti využijeme v následujícím příkladu Příklad 7 Odběratel odebírá součástky od dvou výrobců První výrobce dodává % vadných součástek a druhý 8 % Od prvního dodavatele pochází 60 % dodaných součástek Označíme jev H, H ) = 0, 6, že součástka pochází od prvního a H, H ) = 0, 4, že součástka pochází od druhého výrobce Podmíněná pravděpodobnost nalezení vadné součástky mezi součástkami od prvního výrobce je P ( A H ) = 0, 0, mezi součástkami druhého výrobce P ( A H ) = 0, 08 Vidíme, že zadány jsou podmíněné pravděpodobnosti Vypočteme úplnou pravděpodobnost nalezení vadné součástky bez ohledu na to, od kterého výrobce pochází P ( A) = 0,0 0,6 + 0,08 0,4 = 0, 044 0

Vypočteme pravděpodobnost, že nalezená vadná součástka (mezi všemi) pochází od prvního výrobce P ( A H ) = 0,0 0,6 = 0,0 Vypočteme, jaká by byla tato pravděpodobnost, pokud by pravděpodobnost nalezení vadné součástky nezávisela na výrobci P ( A H ) = 0,044 0,6 = 0, 064 Konečně vypočteme pravděpodobnost, že součástka pochází od prvního výrobce, pokud je vadná 0,0 P ( H A) = = 0,73 Vidíme, že po zjištění, že součástka je vadná, se původní pravděpodobnost, že pochází od prvního výrobce (0,60) snížila na 0,73 0,044 Jaká by v příkladu 5 byla pravděpodobnost, že výrobek nemá žádnou vadu/má současně obě vady, pokud by výskyt vzhledové a funkční vady byly nezávislé jevy? ( 3) Z výše uvedených vztahů upozorníme na to, že jsme našli metodu stanovení pravděpodobnosti průniku dvojice jevů ve zcela obecném případě a kromě toho jsme zavedli pojem nezávislé jevy K nezávislosti dvojice jevů stačí, aby pravděpodobnost jejich průniku byla rovna součinu jejich pravděpodobností Aposteriorní pravděpodobnost předpokládá, že původní (apriorní) pravděpodobnost jevu lze korigovat na základě známého výsledku náhodného pokusu Nezávislost můžeme zobecnit na n tici jevů A A,, A n Pokud jsou tyto jevy vzájemně nezávislé, musí (ovšem kromě jiného!) splňovat i Ai ) = Ai ) Při tom 5 Opakované pokusy n i= n i= je symbol součinu Nezávislé opakované pokusy Jsou-li výsledky opakovaných pokusů nezávislé jevy, využijeme poznatky o nezávislosti z předešlého odstavce Jev, jehož pravděpodobnost v jediném pokusu je p, má pravděpodobnost, že 3 nastane ve dvou nezávislých pokusech p p = p, ve třech p atd Principem je stanovit pravděpodobnost, že bude dosaženo určitého počtu () úspěchů (tj nastoupení jevu A) v sérii n ( n ) pokusů, je-li známa pravděpodobnost nastoupení jevu A v jediném pokusu P ( A) = p Pravděpodobnost, že jev nastane právě krát, je rovna p, pravděpodobnost, že ve zbývajících n pokusech nenastane, je rovna n n ( p) Mají-li oba jevy nastoupit společně, musí být p ( p) Nejde však o úspěch v určitých pokusech, nýbrž v libovolných pokusech, bez ohledu na pořadí Je tedy třeba ještě zjistit, kolika možnými způsoby se úspěchy a n neúspěchy mohou v daném případě prostřídat Tento počet je dán kombinačním číslem Pravděpodobnost, že mezi n nezávislými opakovanými pokusy se vyskytne právě úspěchů, je n n n; p; ) = p ( p) Tento vzorec je známý pod označením Bernoulliův vzorec Příklad 8 Kontrola vrací k opravě nebo doplnění 5 technických výkresů ze sta Určíme pravděpodobnost, že z pěti výkresů (a) nebude vrácen žádný, (b) budou vráceny dva, (c) budou vráceny všechny 5 Vrácení výkresu je jev A s pravděpodobností P ( A) = = 0,5; n = 5; = 0;; 5 00

5 0 5 5 3 a) P ( 5; 0, 5; 0) = 0, 5 0, 85 = 0, 444, b) P (5;0,5;) = 0,5 0,85 = 0, 38, 0 5 5 0 5 c) P ( 5; 0, 5; 5) = 0, 5 0, 85 = 8 0 5 Vypočtěte Zvláštní pozornost věnujme nyní výsledku c) pravděpodobnosti pro všechny zbývající v úvahu přicházející hodnoty počtu vrácených z pěti výkresů Tyto pravděpodobnosti budete později potřebovat Jevy, které sice nejsou (absolutně) nemožné/jisté, ale jejich pravděpodobnost je etrémně blízká nule/jedné, označujeme jako jevy prakticky nemožné/prakticky jisté Kalkulujeme s tím, že v jednom pokuse jev prakticky jistý nastane, zatímco jev prakticky nemožný nenastane Pravděpodobnost, že očekávaný výsledek nenastane, je nízká a nazývá se riziko Význam právě takových jevů s očekávatelným chováním už v jediném pokusu, je v mnoha úvahách zcela zásadní Závislé opakované pokusy Formulujme tuto situaci: Z konečného souboru N jednotek, z nichž M (M < N) má nějakou vlastnost, je současně (jedním tahem) odebráno n (n < N) jednotek, z nichž u předem neznámého počtu ( ma{ 0; M N + n} min{ n; M }) se rovněž objeví daná vlastnost Úkolem je určit pravděpodobnost pro zadaná N, M, n, kterou označíme jako N;M;n;) Při tom M N M n P ( N; M ; n; ) = N n Pokud jde o příklad, odkazujeme zcela na příklad 3 v odstavci Vzhledem k tomu, že v technických aplikacích opakované pokusy často souvisí s vybíráním, je třeba uvést, že zatímco výsledky výběru s opakováním (vracením) představují nezávislé opakované pokusy, jde u výběru bez opakování (vracení) o závislé opakované pokusy Rozdíl mezi oběma výběry se stírá tím více, čím menší je podíl vybíraných jednotek z jejich celkového počtu Při výběru s opakováním se každá prošetřená jednotka před dalším tahem vrací mezi ostatní Odpovězte na otázky kolikrát se určitá jednotka může objevit ve výběru, jak se změní množina ze které vybíráme po provedení např k tahů, jaký je maimální počet tahů, který lze provést a jak rozsáhlý výběr (alespoň teoreticky) lze tudíž pořídit ( 4) Na stejné otázky odpovězte, pokud vybranou jednotku nevracíme

Σ ( ) Mnoho dějů různého charakteru, které můžeme kolem sebe pozorovat, má charakter náhodných pokusů Jejich slovně vyjádřené výsledky se nazývají náhodné jevy Každý náhodný pokus má svoji množinu možných případů elementárních jevů 3 Pro dvojici (někdy i pro větší skupinu) jevů můžeme formulovat vztahy jako důsledek, sjednocení, průnik, rozdíl 4 Dva jevy, které tvoří úplnou skupinu neslučitelných jevů, se nazývají jevy opačné 5 Konečný počet stejně možných případů vede ke klasické pravděpodobnosti 6 Stabilizace relativních četností s rostoucím počtem pokusů vede ke statistické pravděpodobnosti 7 Pravděpodobnost jako matematická veličina má řadu vlastností 8 Snaha o stanovení pravděpodobnosti sjednocení a průniku jevů nás dovede k podmíněné a úplné pravděpodobnosti 9 Speciální vlastností pro dvojici nebo větší skupinu jevů je jejich (vzájemná) nezávislost 0 Aposteriorní pravděpodobnost předpokládá, že apriorní pravděpodobnost jevu lze korigovat na základě známého výsledku vykonaného pokusu Bernoulliův vzorec popisuje pravděpodobnost, že v řadě nezávislých pokusů zaznamenáme právě určitý počet úspěchů Tuto pravděpodobnost lze rovněž stanovit pro řadu závislých pokusů 3 Modelovým případem nezávislých pokusů je výběr s opakováním Modelovým případem závislých pokusů je výběr bez opakování 4 Ve výkladu jsme narazili na pojmy prakticky jistý a prakticky nemožný jev Tyto jevy společně s pojmem riziko mají v řadě aplikací klíčový význam Jde o sjednocení ( A B) ( B A) = A B A B ( ) Pro = 0 to bude 6 5 0, pro = 5 to bude 0, 399 ( 3) P ( A B) = A) B) = 0, 874; A B) = 0, 004 ( 4) Libovolněkrát, množina je identická, není omezený, nekonečně rozsáhlý Nakreslete Vennovy diagramy pro A B; A B; A B; A B; A, A Odběratel provádí při přejímce suroviny kontrolu, která označí produkt jako kvalitní, pokud skutečně takový je, s pravděpodobností 0,995 Naopak za nekvalitní označí produkt (pokud skutečně nekvalitní je) s pravděpodobností 0,98 (žádná kontrolní metoda není 00% spolehlivá!) Dodavatel je schopen dodávat produkt, který splňuje pod- 3

mínky kvality, s pravděpodobností 0,97 (žádný produkt není 00% kvalitní!) Uvozovkami rozlišujeme skutečný stav produktu (kvalitní, nekvalitní) a výsledek kontroly ( kvalitní, nekvalitní ), což jsou dvě různé kategorie Označíme-li jako jev H to, že produkt je kvalitní, je P ( H ) = 0,97( H ) = 0,03), označíme-li jev A, že produkt prošel kontrolou jako kvalitní, za podmínky, že takový skutečně byl, je P ( A H ) = 0, 995 a že nekvalitní produkt byl označen jako nekvalitní P ( A H ) = 0, 98 Naproti tomu pravděpodobnost, že výrobek projde kontrolou jako kvalitní (ať už kvalitní je nebo není) je úplná pravděpodobnost P (A) a naopak, že výrobek bez ohledu na kvalitu neprojde kontrolou, je P (A) Je zřejmé, že výsledek kontroly není stoprocentně v souladu se skutečností a eistují dva druhy chybných výsledků kontroly: Nekvalitní produkt je označen jako kvalitní Tímto výsledkem je poškozen odběratel Pravděpodobnost, že tato situace nastane, se nazývá riziko odběratele Kvalitní výrobek je označen jako nekvalitní a je odběratelem odmítnut Tímto výsledkem je poškozen dodavatel Pravděpodobnost této situace se nazývá riziko dodavatele Stanovíme obě rizika a současně pravděpodobnosti správných rozhodnutí a sestavíme je do čtyřpolní tabulky Skutečnost kvalitní nekvalitní Součet (jev H) (jev H ) kvalitní Výsledek (jev A) kontroly nekvalitní (jev A ) Součet 0,97000 0,03000,00000 3 Ve stejné tabulce jako v předchozím příkladě vyplňte pravděpodobnosti za předpokladu, že výsledek kontroly by byl nezávislý na skutečné kvalitě produktu 4 Pro příklad 7 vypočtete pravděpodobnost, že součástka pochází od prvního výrobce, pokud není vadná 5 Kolik nezávislých pokusů je třeba vykonat, aby jev, jehož pravděpodobnost v jednom pokusu je rovna p, nastal s pravděpodobností π alespoň jednou n Nápověda: Hledáme P ( X > 0 ) = X = 0) = ( p) = π 6 Vypočtěte úlohu 5 pro π = 0,99; p = 0, 5 7 Pro závislé opakované pokusy je N = 0, n =, M = 4( M = 7) Určete interval možných hodnot pro obě varianty čísla M 4

Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné veličiny Např při hodu kostkou můžeme hovořit buď o padnutí šestky nebo můžeme říci, že náhodná veličina X, kterou je počet ok na kostce, se realizovala v hodnotě = 6 Žádnou preciznější definici náhodné veličiny nebudeme uvádět Pro diskrétní náhodnou veličinu je klíčová izolovanost jejích hodnot a počet možných realizací, který je buď konečný nebo nejvýše spočetně nekonečný Na věci nic nemění, že diskrétní náhodná veličina často nabývá celočíselných hodnot, mnohdy navíc pouze nezáporných (počet poruch za jednotku času, počet požadavků na obsluhu, počet měření zatížených hrubou chybou apod) alternativní rozdělení; binomické rozdělení; diskrétní veličina; distribuční funkce; hypergeometrické rozdělení; konečnostní násobitel; kovariance; nezávislost; parametry; Poissonovo rozdělení; pravděpodobnostní funkce; rozdělení pravděpodobnosti; rozptyl; směrodatná odchylka; sdružená distribuční funkce; sdružená pravděpodobnostní funkce; střední hodnota; úroveň; variabilita; variační koeficient; zákon rozdělení Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Klíčovým pojmem pro diskrétní náhodnou veličinu je pravděpodobnostní funkce Tato funkce udává pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina X se realizuje v hodnotě, P ( ) = X = ) Funkce může být vyjádřena tabulkou hodnot, vzorcem nebo graficky Příklad Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, která se může realizovat v hodnotách =, 0,, vyjádřené pravděpodobnostní funkcí je uvedeno v tabulce Tab Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny - 0 Součet P () 0,400 0,333 0,67,000 Grafické znázornění pravděpodobnostní funkce úsečkovým (hůlkovým) grafem je na obrázku Obr Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny ) 5

Pravděpodobnostní funkci lze vyjádřit vzorcem 5 pro =, 0, P ( ) = 5 0 jinak Pravděpodobnostní funkce je nezáporná a normovaná, 0 ), ) = Další funkcí pomocí níž lze popsat rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je distribuční funkce Distribuční funkce je definována jako pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřesáhne hodnotu, F( ) = X ) Příklad pokračování Rozdělení pravděpodobnosti popíšeme pomocí distribuční funkce, kterou vyjádříme tabulkou (tab ), graficky (obr ) a vzorcem Tab Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny - 0 Součet F () 0,400 0,733,000 Obr Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny F() Distribuční funkci lze rovněž vyjádřit vzorcem 0 pro < [ ] 5 t F( ) = pro, t= 5 pro > kde [ ] je celá část čísla Zápis distribuční funkce vzorcem je poměrně obtížný, takže autoři se mu zpravidla vyhýbají Srovnejte Srovnejte, jaké hodnoty nabývá pravděpodobnostní a distribuční funkce v příkladu pro realizace náhodné veličiny = 5 ; 0, 5;, 5; 0 rozdělení relativních a kumulativních četností při bodovém třídění v Modulu a rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Zejména si všimněte pojmu četnostní funkce Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny může být popsáno pomocí pravděpodobnostní nebo distribuční funkce, které mohou být vyjádřeny tabulkou, graficky nebo vzorcem 6

Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která pro diskrétní náhodnou veličinu X je definována jako E ( X ) = ) Charakteristikou variability náhodné veličiny je rozptyl, který je pro diskrétní náhodnou veličinu X D ( X ) = E E( X ) E( X ) ) Alternativně lze rozptyl vyjádřit po definován jako [ ] = [ ] úpravě jako ( X ) E ( X ) = ) ) E Druhou odmocninou rozptylu je směrodatná odchylka D (X ) Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) = D( X ) E( X ) Srovnejte charakteristiky úrovně a variability datového souboru z Modulu a právě uvedené charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Zejména si všimněte způsobu výpočtu z relativních četností Pro diskrétní náhodnou veličinu z odstavce vypočteme hodnoty charakteristik Příklad Charakteristiky diskrétní náhodné veličiny Střední hodnota E ( X ) = 0,4 + 0 0,333 + 0,67 = 0, 33 Rozptyl (po úpravě vzorce) D ( X ) = ( 0,4 + 0 0,333 + 0,67) ( 0,33) = 0, 6493 Směrodatná odchylka D ( X ) = 0,6493 = 0, 8058 Hodnotu variačního koeficientu nebudeme v tomto případě určovat Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme pomocí střední hodnoty a rozptylu, případně od něj odvozených charakteristik směrodatné odchylky a variačního koeficientu Vlastnosti střední hodnoty a rozptylu X, Y jsou náhodné veličiny, přičemž platí Y = kx + c, kde k, c jsou konstanty Mezi středními hodnotami a rozptyly platí E ( Y ) = ke( X ) + c, D ( Y ) = k D ( X ), W = X ± Y jsou náhodné veličiny, přičemž E ( W ) = E( X ) ± E( Y ), D ( W ) = D ( X ) + + D ( Y ) ± COV ( X, Y ) Jsou-li veličiny X, Y nezávislé, je kovariance COV ( X, Y ) = 0 Nezávislost diskrétních náhodných veličin V případě dvojice diskrétních náhodných veličin X, Y je jejich společné rozdělení popsáno pravděpodobnostní a distribuční funkcí, které jsou funkcemi dvou proměnných:, y), F(, y) a nazývají se sdružené Platí-li P (, y) = ) y) a F (, y) = F( ) F( y), jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny Sdružená 5y y pravděpodobnostní funkce, y) =, kde X je náhodná veličina z Jaký 50 tvar má funkce P ( y), pokud nezávislá veličina Y se realizuje v hodnotách, 4, 5? ( ) 7

3 Některé zákony rozdělení diskrétních veličin Binomické rozdělení Diskrétní náhodná veličina X, jejíž realizace ( = 0,,,, n ) udává počet nastoupení jevu A v n nezávislých opakovaných pokusech, má binomické rozdělení Bi [ n;θ ], kde θ je pravděpodobnost jevu A v jednom pokusu Konstanty n, θ jsou parametry binomického rozdělení V hodnotách parametrů se binomicky rozdělené náhodné veličiny mohou vzájemně více či méně shodovat nebo lišit Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je pro hodnoty = 0,,,, n dána Bernoulliovým vzorcem Ze známých parametrů n, θ lze určit střední hodnotu a rozptyl binomického rozdělení E ( X ) = nθ, D ( X ) = nθ ( θ ) Použití binomického rozdělení je zřejmé z definice veličiny X Příklad 3 Vypočítáme střední hodnotu počtu správně vyřešených úkolů v testu odborné způsobilosti s 0 nezávislými úkoly, jestliže plný počet splněných úkolů mělo z 80 uchazečů pět Pro stanovení střední hodnoty potřebujeme znát n a θ, přičemž ze zadání vyplývá, že n = 0 Parametr θ určíme ze vztahu 0 0 0 5 θ ( θ ) = = 0,065, z čehož θ = 0, 758 0 80 E ( X ) = 0 0,758 = 7,6 (správných odpovědí) Mimochodem slabým místem úlohy je předpoklad, že všichni respondenti jsou stejně připraveni a všechny úkoly jsou stejně obtížné (konstantní pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu) Nejpravděpodobnější (typickou, modální) hodnotu binomického rozdělení najdeme s použitím vztahu E ( X ) ( θ ) ˆ E( X ) + θ Jakou hodnotu má modus počtu správně vyřešených úkolů v příkladu 3? ( ) Alternativní rozdělení Zvláštním případem binomického rozdělení je rozdělení pro n =, Bi [ ; θ ] Jde o rozdělení nulajedničkové náhodné veličiny a nazývá se rozdělení alternativní Po vzoru binomického rozdělení jsou jeho charakteristiky E ( X ) = θ, D ( X ) = θ ( θ ) Alternativní rozdělení je nejjednodušším myslitelným případem rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny λ e λ s pravděpodobnostní funkcí ) = pro! = 0,,, S rostoucím hodnota pravděpodobnostní funkce rychle klesá k nule, takže prakticky Poissonovo rozdělení Zvláštním případem binomického rozdělení pro n, θ 0, je-li při tom n θ = λ > 0, je rozdělení vzácných jevů Poissonovo rozdělení Po[ λ] stačí vzít v úvahu jen několik málo prvních hodnot Parametr λ má současně význam střední hodnoty i rozptylu, takže E ( X ) = D ( X ) = λ Poissonovo rozdělení má zvláštní význam a řídí se jím množství diskrétních náhodných veličin Poissonovo rozdělení má tzv Poissonovský proud jevů, kterým se modeluje např počet požadavků na obsluhu za jednotku času u mnoha obslužných zařízení (telefonní ústředny, čerpací stanice, servisní dílny, myčky vozidel apod) Je-li střední hodnota (tzv intenzita) Poissonovského proudu jevů rovna λ, má za časový interval délky t střední hodnotu t λ Součet n nezávislých náhodných veličin se stejným parametrem λ má střední hodnotu n λ 8

Příklad 4 Pobočka pojišťovny uzavírá pojistné smlouvy, přičemž očekávaná (tj střední) hodnota počtu uzavřených smluv pro běžný pracovní den je λ = 3 smlouvy Určíme pravděpodobnost, že v náhodně vybraném (a) běžném pracovním dni, (b) pětidenním pracovním týdnu, nebude uzavřena žádná smlouva 3 0 e 3 Řešení: (a) P (0) = = 0, 0498 (b) 0! P (0) = e 5 0! 5 0 = 3 0 7 S jakou pravděpodobností během běžného pracovního dne uzavřou tři pobočky pojišťovny (se stejným parametrem λ = 3 ) takový počet smluv, který právě odpovídá parametru lambda rozdělení počtu jimi společně uzavřených smluv? ( 3) Hypergeometrické rozdělení Diskrétní náhodná veličina X, jejíž realizace udává počet nastoupení jevu A v n závislých opakovaných pokusech, má tříparametrické hypergeometrické rozdělení H [ N; M ; n] Parametry opět souvisejí s charakteristikami úrovně a variability, neboť E ( X ) = n a D ( X ) = n( ) M M N n N N N N n Výraz N < je konečnostní násobitel Hypergeometrické rozdělení proto má za jinak srovnatelných podmínek menší rozptyl, než rozdělení binomické, což vyplyne z příkladu 5 Příklad 5 Zadané veličiny jsou binomická veličina s n = 3, θ = 0, 5, hypergeometrická s N = 0, M = 5, n = 3, M (tj také = 0, 5 ) a veličina s Poissonovým rozdělením s parametrem λ = 3 0,5 =, 5 N Vypočteme střední hodnoty a rozptyly těchto tří diskrétních veličin Tab 3 Přehled charakteristik tří diskrétních veličin Rozdělení Binomické Hypergeometrické Poissonovo Realizace 0,,, 3 0,,, 3 0,,, Střední hodnota,5,5,5 Rozptyl 0,75 0,5833,5 Vidíme, že střední hodnoty se zcela shodují, nejmenší rozptyl 0 3 0,75 = 0, 5833 má hypergeometrické 0 rozdělení Nápadně vyšší hodnota rozptylu Poissonova rozdělení je způsobena podstatně širším oborem možných realizací náhodné veličiny ( P ( X > 3) je větší než 0,3) Zkontrolujte (přesným výpočtem) předešlé tvrzení o P ( X > 3) Σ Diskrétní náhodná veličina se vyznačuje izolovaností hodnot, kterých je nejvýše spočetně nekonečný počet Často jde o nezáporné celočíselné hodnoty, není to však podmínkou Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny může být popsáno pomocí pravděpodobnostní funkce, která pro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví pravidlo, že se náhodná veličina realizuje 9

právě v této hodnotě 3 Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny může být rovněž popsáno pomocí distribuční funkce, která pro každou hodnotu náhodné veličiny stanoví pravidlo, že se náhodná veličina realizuje nejvýše v této hodnotě 4 Klíčovými vlastnostmi náhodné veličiny je její úroveň a variabilita 5 Úroveň náhodné veličiny měří její střední hodnota 6 Variabilitu náhodné veličiny měří rozptyl a z něj odvozené charakteristiky směrodatná odchylka a variační koeficient 7 Náhodné veličiny mohou být ve dvojici závislé nebo nezávislé 8 Poznali jsme binomické, alternativní, Poissonovo a hypergeometrické rozdělení jako příklady rozdělení diskrétních náhodných veličin 9 Každé rozdělení má určitý počet parametrů, které jsou v určitých vztazích s jeho charakteristikami ( ) y P ( y) = pro =,4, 5 0 ( ) ˆ = 8 y 9 9 9 ( 3) P (9) = = 0, 3 9! e X je náhodná veličina z příkladu 8 Popište její rozdělení pravděpodobnosti pomocí pravděpodobnostní a distribuční funkce, které vyjádříte vzorcem, tabulkou a graficky Sestavte tabulku, ve které vyjádříte P ( X = 0) pro náhodnou veličinu s Poissonovým rozdělením pro parametry λ = 0,5;;,5; ; 3; 5 Hranice prakticky nemožného jevu je stanovena na 0,0 Lze pro některé zadané hodnoty λ tvrdit, že je prakticky nemožné, aby došlo k realizaci = 0? 3 Porovnejte graficky distribuční funkce binomického a hypergeometrického rozdělení z úlohy 5 4 Pro jakou hodnotu parametru θ má veličina Bi [ ;θ ] největší rozptyl? 5 Jaká část vozidel odjíždí neobsloužena z ruční myčky za těchto podmínek: Proud požadavků má [ 3] Po hod - Kapacita myčky je vozidla hod - Pokud není myčka volná, vozidlo nečeká a odjíždí Jaká je střední hodnota počtu obsloužených vozidel za minutu (můžete pomocí ní stanovit využití kapacity linky)? 6 Podívejte se na předchozí příklad z pohledu řidiče a vypočtěte pravděpodobnost, že uspěje u myčky až na třetí pokus 7 Určete střední hodnotu, modus, rozptyl, směrodatnou odchylku a variační koeficient pro náhodnou veličinu z úlohy tohoto cvičení 8 Kterou charakteristiku binomického rozdělení lze vyjádřit jako θ nθ? 0

9 Určete střední hodnotu a rozptyl rozdílu nezávislých náhodných veličin X Y, pokud 0 Operace 5 ) = pro = ;0; 5 E ( U ), D ( U ) a y P ( y) = pro = ;4; 5 0 y X E( X ) U =, kde X je náhodná veličina, se nazývá normování Určete D( X )

Lekce 3 Spojitá náhodná veličina Případ spojité náhodné veličiny je komplikovanější, než je tomu u veličiny diskrétní Je to dáno především tím, že jednotková pravděpodobnost jistého jevu se rozkládá mezi nekonečně mnoho realizací spojité náhodné veličiny (každý interval reálné osy obsahuje nekonečně mnoho reálných čísel) To neumožňuje použít pravděpodobnostní funkci, která sloužila jako jeden z prostředků popisu rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny Pravděpodobnostní funkce byla analogií četnostní funkce při bodovém třídění datového souboru Alternativou četnostní funkce při intervalovém třídění datového souboru byla četnostní hustota V souvislosti se spojitou náhodnou veličinou budeme hovořit o hustotě pravděpodobnosti Vedle hustoty pravděpodobnosti lze k popisu rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny využít také distribuční funkci, jejíž definice je na typu náhodné veličiny nezávislá distribuční funkce; eponenciální rozdělení; Gaussova křivka; hustota pravděpodobnosti; medián; nezávislost; normální rozdělení; normované normální rozdělení; normování; p kvantil; pravděpodobnostní element; parametry; rovnoměrné rozdělení; rozdělení pravděpodobnosti; spojitá veličina; směrodatná odchylka; střední hodnota; variační koeficient; zákon rozdělení pravděpodobnosti 3 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny U spojitých náhodných veličin přejdeme od pravděpodobnosti k hustotě pravděpodobnosti, což je množství pravděpodobnosti připadající na jednu (určitou) jednotku šířky intervalu možných hodnot spojité náhodné veličiny Hustota pravděpodobnosti je ovšem spojitou veličinou, takže její jednotkovou hodnotu (příslušející jistému jevu) vyjadřujeme jako určitý integrál Hustota pravděpodobnosti nemá vlastnosti pravděpodobnosti Označíme-li hustotu pravděpodobnosti jako f (), platí f ( ) 0 (hustota tedy může nabýt i hodnoty větší než jedna, což uvidíme později) Pomocí hustoty pravděpodobnosti může být rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny vyjádřeno vzorcem nebo graficky Příklad 3 Dobu trvání výrobní operace považujeme za konstantní s délkou trvání 5 minut Pozorovatel přichází v náhodně zvoleném okamžiku Spojitou náhodnou veličinou X je doba, která uplyne od příchodu pozorovatele do skončení operace Náhodná veličina se může realizovat v intervalu (0;5) a její výskyt na celém intervalu je všude stejně možný Pravděpodobnost, připadající na jednotku intervalu čekací doby, je konstantní a je rovna 5 Hustota pravděpodobnosti pro0 < < 5 f ( ) = 5 a její grafické znázornění je na obr 3 0 jinak Všimněme si ještě hranic intervalu pro spojitou náhodnou veličinu Nezáleží na tom, zda jedna či obě krajní hodnoty do intervalu patří či nepatří, takže pro spojitou (ale výhradně pro spojitou!) náhodnou veličinu jsou zápisy X ) a P ( < X < ) naprosto ekvivalentní Co můžeme říci o náhodné veličině, pro kterou P ( X 3) > < X < 3) (3 )

Obr 3 Hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny f() Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je (analogicky jako pro diskrétní veličinu) definována jako pravděpodobnost F( ) = X ), tentokrát ovšem pro < < + Doplníme nyní příklad 3 o distribuční funkci, která (podobně jako hustota) pro spojitou náhodnou veličinu se vyskytuje v podobě vzorce nebo grafu Příklad 3 pokračování Distribuční funkce na intervalu ( 0;5) lineárně roste, zatímco pro 0 nabývá nulové hodnoty a pro 0 pro 0 5 hodnoty jedna, tj F ( ) = pro0 < < 5 5 pro 5 Obr 3 Distribuční funkce spojité náhodné veličiny F() Vlastnosti distribuční funkce (společné pro df diskrétní i spojité nv) Distribuční funkce je pravděpodobnost, z čehož plyne 0 F ( ) Distribuční funkce je neklesající (pravděpodobnost je nezáporná) a tudíž pro > je F( ) F( ) Z toho plyne užitečný vztah: P < X ) = F( ) F( ) ( V bodech plus a mínus nekonečno je distribuční funkce F ( ) = 0, F( + ) =, i když z našich příkladů vidíme, že je běžné, že těchto hodnot distribuční funkce nabývá podstatně dříve, než v nekonečnu Pokud je na nějakém intervalu náhodná veličina X spojitá, je spojitá i distribuční funkce Na grafu distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny vidíme, že do libovolných bodů na distribuční funkci lze dospět z jejich pravého (nikoli již levého) okolí Z toho plyne formulace, že distribuční funkce je vždy alespoň zprava spojitá 3

Nyní zbývá zabývat se vztahem distribuční funkce a hustoty spojité náhodné veličiny Je-li distribuční funkce F() spojitá, tudíž k ní eistuje derivace Derivací F () je hustota pravděpodobnosti df( ) f ( ) = A opačně distribuční funkce je primitivní funkcí k hustotě Mezi oběma funkcemi d je tedy vzájemně jednoznačný vztah a F ( t) = f ( ) d t Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti Hustota je derivace neklesající funkce, nemůže tedy být záporná a f ( ) 0 Shora není hodnota hustoty pravděpodobnosti nijak omezena + f ( ) d = Jde o pravděpodobnost jistého jevu, která odpovídá jednotkové ploše pod křivkou hustoty pravděpodobnosti P ( X ) = f ( ) d Pravděpodobnost realizace spojité náhodné veličiny na intervalu ( ) ; nebo ; je určitým integrálem v hranicích, Plochu pod křivkou hustoty pravděpodobnosti lze interpretovat jako součet ploch elementárních obdélníků, tzv pravděpodobnostních elementů f ( ) d f ( ), kde 0 je délka vodorovné strany obdélníku 3 Charakteristiky spojité náhodné veličiny Klíčovými vlastnostmi každé náhodné veličiny je její úroveň a variabilita Charakteristikou úrovně náhodné veličiny je střední hodnota, která pro spojitou náhodnou veličinu X je definována jako + E ( X ) = f ( ) d Charakteristikou variability náhodné veličiny je rozptyl, který je pro spojitou náhodnou veličinu X definován jako ( X ) E[ E( X )] = [ E( X )] po úpravě jako + D = f ( ) d Alternativně lze rozptyl vyjádřit + + E ( X ) E ( X ) = f ( ) d f ( ) d Druhou odmocninou rozptylu je směrodatná odchylka D (X ) Bezrozměrnou charakteristikou variability je variační koeficient V ( X ) = D( X ) E( X ) Pro spojitou náhodnou veličinu z odstavce 3 vypočteme hodnoty charakteristik Příklad 3 Charakteristiky spojité náhodné veličiny + 5 Střední hodnota E ( X ) = f ( ) d = d = =, 5 5 0 0 5 0 4

5 3 Rozptyl (po úpravě vzorce) D ( X ) = d,5 =,5 =, 0833 5 5 0 Směrodatná odchylka D ( X ) =,0833 =, 4434 Čemu je roven variační koeficient z náhodné veličiny z příkladu 3? (3 ) Úroveň a variabilitu náhodné veličiny měříme pomocí střední hodnoty a rozptylu, případně od něj odvozených charakteristik směrodatné odchylky a variačního koeficientu 5 O Vlastnosti střední hodnoty a rozptylu Tyto jsou pro spojitou náhodnou veličinu identické s vlastnostmi charakteristik diskrétní náhodné veličiny Kvantily spojitých náhodných veličin Pojem kvantilu je nám nepochybně znám (včetně pojmů jako medián, dolní kvartil, prostřední decil, horní percentil apod) Omezíme se pouze na kvantily spojitých náhodných veličin (pro diskrétní náhodné veličiny kvantily eistují také, ale my je nebudeme v žádné souvislosti používat) S kvantily některých spojitých náhodných veličin budeme naopak později pracovat zcela běžně p kvantil (nebo také 00p% kvantil) spojité náhodné veličiny X je číslo, které dělí obor možných hodnot této veličiny na dvě části, z nichž do levé padá tato veličina s pravděpodobností p a do pravé s pravděpodobností p, tj X ) = p, X ) = p Přitom pravděpodobnost p můžeme chápat jako plochu pod p p křivkou hustoty pravděpodobnosti nebo jako bod na křivce distribuční funkce Situace je znázorněna na obr 33, kde má součastně průběh hustoty pravděpodobnosti a jí odpovídající distribuční funkce reálnou podobu (my jsme se ovšem s podobným rozdělením zatím nesetkali) Obr 33 p kvantil spojité náhodné veličiny p f () F ( ) p p p p p Situaci na obr 33 můžeme současně vyjádřit: Pomocí hustoty pravděpodobnosti Pomocí distribuční funkce p P X p ) = f ( ) d ( = p p ) = F( p = X ) p 5

Příklad 33 Vypočteme libovolný p kvantil spojité náhodné veličiny z odst 3 (zatím žádnou jinou k dispozici 0, 5 nemáme) Zvolíme-li např p = 0,5 (tj určíme 5% kvantil dolní kvartil), bude d = 0,5 5 0,5 Z toho = 0, 5 a nakonec 5 0,5 =, 5 0 Pro příklad 33 určete 90% kvantil Zatímco medián ( 0, 50 ) může být vhodnou charakteristikou úrovně, tak krajní kvantily mohou sloužit k vymezení intervalu, kam náhodná veličina padá prakticky jistě (např % a 99% kvantil společně vymezí interval, kam náhodná veličina padá s pravděpodobností 0,98 pro představu si to ukažte na obr 33) Pokud je pravděpodobnost 0,98 pro daný případ stanovenou pravděpodobností prakticky jistého jevu, můžeme předpokládat, že jev padnutí náhodné veličiny mimo interval vymezený oběma kvantily je jevem prakticky nemožným a nekalkulujeme, že skutečně nastane, i když je např X +, a náhodná veličina může ve skutečnosti (ovšem velmi vzácně) nabýt jakkoli velké záporné či kladné hodnoty Tento trik s náhodnou veličinou budeme využívat později Nezávislost spojitých náhodných veličin V případě dvojice spojitých náhodných veličin X, Y je jejich společné rozdělení popsáno hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí, funkcemi dvou proměnných f (, y), F(, y), které se opět nazývají sdružené Platí-li f (, y) = f ( ) f ( y) a F (, y) = F( ) F( y), jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny 0 33 Některé zákony rozdělení spojitých náhodných veličin Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení jsme již poznali, protože nám posloužilo jako modelový případ spojité náhodné veličiny v odst 3 Nabývá-li spojitá náhodná veličina X hodnot z intervalu α; β a její výskyt na tomto intervalu je všude stejně možný, má rovnoměrné rozdělení s hustotou pravděpodobnosti proα β f ( ) = β α Čísla α, β, kterými se jednotlivé rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny vzájemně liší, jsou parametry Rovnoměrné rozdělení označíme R [ α;β ] Řekli jsme 0 jinak sice, že se používá např při stanovení doby čekání na v pravidelných intervalech se opakující jevy nebo že si jím vypomáháme za situace, kdy skutečný tvar rozdělení spojité veličiny není znám, ale jeho význam je hlavně metodický, protože je nejjednodušším spojitým rozdělením Z tohoto titulu není obtížné na něm ukázat např výpočet charakteristik pomocí integrálů (příklad 3) Tento výpočet není ovšem nutné provádět, protože jeho charakteristiky lze snadno určit z parametrů: α + β ( β α) E ( X ) =, D ( X ) = vztahu p = α + p( β α) p kvantil rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny určíme ze 6

Jaká je pravděpodobnost, že rovnoměrně rozdělená náhodná veličina R[ 0;00 ] E ( X ) ± D( X )? (3 3) padne do intervalu Eponenciální rozdělení Podobně jako Poissonovo rozdělení, má i eponenciální rozdělení význam především pro technické jevy Tak jako diskrétní Poissonovský proud jevů charakterizuje toky událostí pokud jde o četnost jejich výskytů (počet poruch za jednotku času, počet požadavků na obsluhu, počet průjezdů vozidel, počet vad na výrobcích), eponenciální rozdělení spojité náhodné veličiny X ( > 0) charakterizuje dobu (případně vzdálenost), která uplyne mezi výskyty těchto událostí (doba mezi dvěma poruchami, doba od objevení do odstranění poruchy, doba mezi průjezdy vozidel, ale také vzdálenost sousedních vad na pásu tkaniny apod) Za eponenciálně rozdělenou můžeme za jistých okolností považovat i životnost součástí a výrobků (zejména pokud k ukončení života výrobku dojde v důsledku náhodné události typicky žárovky, akumulátory automobilů a další elektrické součástky, k jejichž smrti dochází v důsledku zkratu, přepětí elektrické sítě apod) Hustota pravděpodobnosti eponenciálního rozdělení je monotónní klesající funkce ( ) = e δ f pro > 0, kde δ > 0 je jediný parametr tohoto rozdělení Jeho význam je δ 0 jinak E ( X ) = δ, D ( X ) = δ Distribuční funkcí eponenciálního rozdělení je funkce 0 pro 0 F( ) = e δ pro > 0 Příklad 34 Pojišťovna registruje při určitém typu pojištění u 50 % pojistníků, v okamžiku dosažení doby pojištění 36 měsíců, bezeškodní průběh Doba bezeškodního průběhu pojištění je náhodná veličina s eponenciálním rozdělením U jaké části pojistníků dojde k pojistné události až po uplynutí dvou let bezeškodního průběhu pojištění? Při řešení místo určitých integrálů hustoty pravděpodobnosti využijeme rovnou dosazení do vzorce distribuční funkce: 36 4 F (36) = e δ = 0,50, z čehož δ = 5 a F (4) = e 5 = 0, 6303 Hranici dvou let bezeškodního průběhu pojištění překoná jen 63 % pojistníků (37 % pojistníků zaznamená pojistnou událost před uplynutím 4 měsíců)jakou střední hodnotu by musela náhodná veličina mít, aby hranici dvou let bezeškodního průběhu překonalo 90 % pojistníků? 05 05 0 δ = 8 0 50 00 50 00 50 Obr 34 Distribuční funkce dvou eponenciálních rozdělení 4 F (4) = 0,90 = e δ F(), z čehož získáme δ = 8 měsíců, což je 9 let 075 δ = 5 Obě eponenciální rozdělení (skutečné a ideální) viz obr 34, kde je pro první rozdělení vyznačena hodnota F ( 36) = 0, 50 a pro druhé F ( 4) = 0, 0 Funkce X > ) = F( ), kde F () je distribuční funkce některé náhodné veličiny, se nazývá funkce přežití Tato funkce má značný význam při modelování procesů dožívání, ať již předmětů nebo živých organizmů, včetně lidí 7

Znázorněte graficky hustoty pravděpodobností náhodných veličin, jejichž distribuční funkce jsou na obr 34! Normální rozdělení Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení ve zcela obecném případě je dána jako funkce ( µ ) ( ) = e σ f, pro < < + Funkce má symetrický zvonovitý tvar se dvěma infleními body a jmenuje se Gaussova křivka (viz obr 35) Konstanty ve vzorci hustoty pravděpo- σ π dobnosti, tj čísla µ,σ, jsou parametry normálního rozdělení Jejich geometrický význam je patrný z obr 35 a jejich vztah k charakteristikám rozdělení je jednoduchý: Obr 35 Normální rozdělení N[ ; ], N[0;], N[;0,5 ] E ( X ) = µ, D ( X ) = σ f() F() 075 σ = µ = 075 05 05 05 05 0-7 -6-5 -4-3 - - 0 3 0-7 -6-5 -4-3 - - 0 3 První z parametrů tedy reprezentuje střední hodnotu (parametr polohy) a druhý je rozptyl Je zřejmé, že σ = D(X ) (parametr měřítka, vzdálenost souřadnice infleního bodu od souřadnice vrcholu křivky) je směrodatnou odchylkou Obecné normální rozdělení zapisujeme jako N [ µ ; σ ] Vzorec distribuční funkce (vyjadřuje plochu pod křivkou hustoty), která je pravidelnou esovitou křivkou s inflením bodem o souřadnici [µ;0,5] (viz obr 35), neuvádíme (i když tabelované hodnoty této funkce budeme často využívat) Z grafů hustot i distribučních funkcí na obr 35 vyplývá, že pravděpodobnost odlehlých hodnot je skutečně zanedbatelná a za odlehlou můžeme např prohlásit už hodnotu, která je od střední hodnoty vzdálena více než ± σ > Normované normální rozdělení Je zřejmé, že obecných normálních rozdělení je nekonečně mnoho, protože každé kombinaci parametrů µ a σ 0 vyhovuje nějaké normální rozdělení Při normování zavedeme normovanou veličinu U = =, která má (pokud veličina X má obecné normální rozdělení) normované X E( X ) X µ D( X ) σ normální rozdělení N [0; ] Prostřední z normálních rozdělení na obr 35 je současně normovaným normálním rozdělením Jeho hustotu pravděpodobnosti (kterou označujeme φ (u) ) znázorníme samostatně na obr 36 Distribuční funkci normovaného normálního rozdělení budeme označovat Φ (u) Z obr 36 znovu vyplývá, že za odlehlé (a tudíž zanedbatelné) je možno prohlásit např už i hodnoty, které se od střední hodnoty liší o více než ± (když budeme hodně přísní, tak ± 3) Smysl 8