Kmitání jednorozměrných kontinuí

Kmitání jednorozměrných kontinuí Zpracova Doc. RNDr. Zdeněk Haváč, CSc Kontinuum je fyzikání mode poddajného těesa se spojitě rozoženou hmotou. Při odvozování pohybových rovnic využíváme ibovoně maé eementy kontinua, kterým říkáme body. Přitom předpokádáme, že vastnosti eementu jsou při jeho ibovoném děení zachovány. Odezíráme tedy od moekuární(popřípadě zrnité) struktury hmoty. Proto uvedený mode hmotného těesa ze užít pouze v případech buzení, jehož ibovoná harmonická Fourierova rozkadu má dobu periody aespoň řádově větší než jsou rozměry moeku(zrn). Poohu bodů kontinua vztahujeme k souřadnicové soustavě spojené s nedeformovaným těesem v kidu. Pode počtu souřadnic potřebných pro určení poohy bodu rozděujeme kontinua na jednorozměrná(ana, hřídee, nosníky), dvojrozměrná(membrány, desky, skořepiny) a třírozměrná. U jednorozměrných kontinuí musí převažovat podéný rozměr nad rozměry příčnými. Deformace eementů se pak popisuje pouze přemístěním bodů na střednici a eventuáním natočením řezů. Poe deformací je svázáno s poem napjatosti deformačními zákony. Nejjednodušší případ je vazba Hookeovým zákonem, kdy vztahy mezi sožkami(tenzoru) napětí a deformace jsou ineární. Takovému kontinuu říkáme ineární kontinuum. Lineární kontinuum je charakterizováno materiáovými konstantami. U většiny átek vystačíme se dvěma materiáovými konstantami. Jsou to dvě z násedujících tří konstant: modupružnostivtahu E[Pa], modu pružnosti ve smyku G[Pa], bezrozměrné Poissonovo číso ϑ. Mezitěmitokonstantamipatívztah E G =(1+ϑ). Rozoženíhmotnostijecharakterizovánohustotou µ[kg/m 3 ].Vněkterýchpříkadech, kdy neuvažujeme příčné rozměry kontinua(struna), může hustota být vyjádřena iv[kg/m]nebov[kg/m ].Pokuduvažujemepřipohybukontinuadisipacienergie,jsou uvedené konstanty dopněny ještě konstantami tumení. Neuvažujeme-i tumení, vystačíme většinou se třemi konstantami, a sice hustotou µ, moduem pružnosti v tahu E a ve smyku G. Poznamenejme, že tyto veičiny mohou být v nejobecnějším případě funkcemi poohy bodu kontinua. 1 Kmitání struny Struna je těeso déky maých příčných rozměrů předepnuté předepínací siou S() v její ose. Veikost této síy může být obecně závisá na pooze bodu struny. Předpokádáme, že konce struny konají předepsané pohyby ve směru komém k ose struny v nedeformovaném stavu, pro oba konce v jedné rovině. Ve zmíněné rovině je struna zatížena k její ose v nedeformovaném stavu komým spojitým zatížením měrnou dékovousiou f(,t)závisouobecněnapooze bodustrunyinačase t.dékováhustota 1

struny µ()můžebýtrovněžzávisánapoozebodustruny.kekmitánístrunyvevýše zmíněné rovině může docházet vivem popsaného(spojitého) zatížení nebo vychýením bodů struny v uvedené rovině pode zadané funkce poohy bodu struny v počátečním čase popřípadě uděením rychosti těmto bodům. Pohyb každého bodu struny se pak děje(při maých výchykách) ve směru komém k ose struny v nedeformovaném stavu ve výše popsané rovině. 1.1 Odvození pohybové rovnice Vytkněme eement struny déky d nacházející se v pooze (obr.1). Výchyky konců y f (, t) S + ds ψ S v dd v + dv ψ + d ψ = d = Obrázek 1: eementu(vroviněpohybu y)jsou va v+dv.předepínacísíanakoncícheementu(v tečněkestřednici)je Sa S+dS,úheskonutečnypak ψa ψ+dψ.kroměpředepínacísíy působí na eement ještě budící účinek popsaný dékovou hustotou síy f(, t) a setrvačná sía dd obě směru komého na osu struny v nedeformovaném stavu(obr.1). Podmínka dynamické rovnováhy eementu ve směru komém k ose struny v nedeformovaném stavu dává Pro veikost setrvačné síy patí (S+dS)sin(ψ+dψ) Ssin ψ dd+ f(,t)d=. (1) dd=dm a=dm v v t = µd t, () kdedmjeeementhmotnostiaaje(příčné)zrychení.propochoukřivku v(,t),kterou při maých výchykách struna ve zvoeném čase t zaujímá, patí Dosazením(3)a()do(1)dostaneme sin(ψ+dψ) ψ+dψ;sin ψ ψ. (3) (S+dS)(ψ+dψ) Sψ µd v t+ f(,t)d=. Zanedbáním diferenciáně maé veičiny druhého řádu dsdψ a vyjádřením přírůstků předepínací síy a úhu skonu tečny ke křivce pomocí přírůstků nezávise proměnné a přísušných derivací jako

dostaneme ds= S ψ d; dψ= d S ψ d+ψ S d v µd t+ f(,t)d=. Krácením dékou eementu a vyjádřením skonu tečny ke křivce pro poché křivky jako ψ tgψ= vdostaneme S v S + v v µ t+ f(,t)=. Pode vztahu pro derivaci součinu přepíšeme rovnici na konečný tvar Pro konstantní předepínací síu se(4) přepíše do tvaru µ v ( S v ) = f(,t). (4) v t S v µ =1 f(,t). (5) µ Konstanta S µ mározměrkvadráturychosti,jakpyneznásedujícírozměrovéanaýzy [ ] S = N kg µ m = kgm s kg m = m s. Rovnice(5) je nehomogenní hyperboická parciání diferenciání rovnice druhého řádu (tzv.vnovárovnice).dopněnímookrajovépodmínky v(,t)=v 1 (t), v(,t)=v (t)a opočátečnípodmínky v(,)=v ()a v(,)= v t (),kde v 1, v, v a v jsouzadané funkce jedné proměnné, dostáváme tzv. okrajovou úohu, která má jednoznačné řešení. 1. Úoha vastních hodnot Označme c= S µ.potomhomogennírovnicek(5)mátvar Poznámka: Snadno ověříme, že(6) má řešení v t v c =. (6) v(,t)=φ(+ct)+ψ( ct), (7) kde Φ a Ψ jsou ibovoné dvakrát derivovatené funkce jedné proměnné. Toto řešení ze fyzikáně interpretovat jako sožení vny o tvaru daném funkcí Φ, šířící se rychostí c od =k=,svnouotvarudanémfunkcíψ,šířícísetoutéžrychostíopačným směrem. Výše definovaná rychost c je tedy rychost šíření vny ve struně. Uvedené řešení(7) se nazývá vnové řešení rovnice(6). Nás bude zajímat řešení, kterému budeme pracovně říkat kmitavé, jež ze psát v separovanémtvaru v(,t)=x()t(t),kde Xa T jsouzatímneznáméfunkcejedné proměnné.dosazenímtohotovyjádřenído(6)dostaneme d T X= c T d X,odkudpro dt d T ax pyne 3

d T dt d X d (). (8) T (t)=c X Protože evá strana této rovnosti je pouze funkcí času a pravá pouze funkcí poohy, rovnost nemůže být spněna jinak, než že obě funkce jsou(stejnou) konstantou. Tato konstanta může mít ibovonou hodnotu. Kmitavé řešení však dostaneme pouze v případě,žetatokonstantabudezáporná.prozvýrazněníjejíhosignajioznačme Ω. Pode(8) potom d T dt T = Ω d T d X d X = Ω c d X d + Obecné řešení obyčejné diferenciání rovnice(9) je a obecné řešení rovnice(1) pak dt +Ω T=, (9) ( ) Ω X=. c (1) T(t)=AcosΩt+BsinΩt X()=Ccos Ω c +DsinΩ c, kde A, B, C a D jsou ibovoné integrační konstanty. Řešením rovnice(6) je pak jejich součin (Ccos Ωc ) +DsinΩc v(,t)= (AcosΩt+BsinΩt). (11) Poznámka:Pokudbykonstanta Ω nebyazáporná,řešení(11)bymístogoniometrických funkcí obsahovao funkce hyperboické. Toto řešení nepopisuje kmitavý pohyb, pročež se jím v daším nebudeme zabývat. Struna bývá většinou na krajích upevněná(nemůže se pohybovat). Těmto okrajovým podmínkámodpovídámatematickévyjádření v(,t) azároveň v(,t).vzhedem k(11)zetytopodmínkyproibovonýčasspnitprávěkdyžpatí X()=X()=.Z podmínky X()=vzhedemktvarufunkce X()pyne C=.Funkce Xmápotom tvar X()=Dsin Ω c adruháokrajovápodmínkadává X()=Dsin Ω c =. Nyníužnezekásti D=,protožepakbyřešenípohybovérovnicebyojentriviání. Proto druhá okrajová podmínka je ekvivaentní vztahu sin Ω c = Ω c =kπ pro ibovoné ceé k. Jedná se o tzv. frekvenční rovnici struny pro uvedené triviání okrajové podmínky. Z ní dostáváme vastní frekvence Ω k = kπc 1 ;,,... (1) Vzhedem k(11) je pro každé přirozené k (frekvence jsou kadné hodnoty) řešením pohybové rovnice(6) s triviáními okrajovými podmínkami funkce 4

v k (,t)=sin Ω k c (A kcosω k t+b ksinω k t), (13) kdevastnífrekvenceω k jsoudányv(1)aa ka B kjsouibovonéintegračníkonstanty určené z počátečních podmínek úohy. Funkce X k ()=sin Ω k c =sinkπ ;,,... (14) se nazývají vastní funkce přísušející k triviáním okrajovým podmínkám a k vastním frekvencím pořadí k definovaným v(1). Je-i(13) řešením pohybové rovnice(6),jejími v(,t)= v k (,t)= sin Ω k c (A kcosω k t+b ksinω k t), (15) ovšem za předpokadu stejnoměrné konvergence vpravo uvedené funkcionání řady na množině {[,t],,,t }provhodněurčenýmaimáníčas T. Poznámky: 1. Vastních frekvencí a jim odpovídajících vastních funkcí je nekonečně mnoho. Je to obecná vastnost soustav se spojitě rozoženými parametry. Jednotivé vastní funkce prvních pěti pořadových číse jsou znázorněny na obr.. Všechny vastní funkce jsou nuové na koncích struny. Kromě toho pro vastní funkce pořadí dvě a vyššího eistují i body nuové funkční hodnoty uvnitř struny. Jsou to tzv. uzy. Jepatrné,ževastnífunkcepořadí jmá j 1uzů(obakoncestrunyzebrátjako daší dva uzy). 1 Vastni funkce vetknute struny.8.6.4. y k..4.6 k=.8 k=3 k=4 k=5 1.1..3.4.5.6.7.8.9 1 / Obrázek : 5

. Rovnice(15) vyjadřuje jakýsi rozkad řešení pohybové rovnice(6) pomocí příspěvků vastních funkcí. Koeficienty tohoto rozkadu jsou harmonické časové funkce. Je zde patrná anaogie s modání transformací soustav s konečným počtem n stupňů vonosti tvaru q(t) = v k k n (t).jednáseopětorozkadpomocí příspěvkůvastníchvektorů v k.konstantnívastnívektoryonsožkáchprosoustavy s konečným počtem stupňů vonosti nahrazují pro soustavy se spojitě rozoženými parametry vastní funkce s nekonečně mnoha funkčními hodnotami pro různé poohy bodů struny. Tvrzení: Vastní funkce(14) spňují vztahy kde δ jk jekronekerůvsymbo. Ověření: Ověříme obě části tvrzení. 1.Pro j= kmátvrzenítvar X j ()X k ()d= δ jk, (16) sin jπ d=. Odečtením zákadních goniometrických vztahů sin α+cos α=1, získáme sin α+cos α=cosα sin α= 1 cosα. Pomocí této formue upravíme evou stranu dokazovaného tvrzení na tvar sin jπ [ d=1 d První část tvrzení jest tím dokázána..pro j kmátvrzenítvar cos jπ ] d = 1 [ ] jπ sinjπ =. sin jπ sin kπ d=. Odečtením zákadních goniometrických vztahů sin αsin β+cos αcos β=cos(α β), získáme sin αsin β+cosαcosβ=cos(α+β) 6

cos(α β) cos(α+β) sin αsin β=. Pomocí této rovnice upravíme evou stranu dokazovaného tvrzení na tvar sin jπ sin kπ [ d=1 cos = 1 [ (j k)π (j k)π d cos ] (j+ k)π d = ] k)π k)π sin(j sin(j+ =, (j+ k)π protožejak j k,tak j+ kjsouceáčísa.tímjedokázánaidruháčásttvrzení. Poznámka:Vefunkcionáníanaýzezavádímeprostor L (,)jakoprostorfunkcíjedné proměnné, jejichž kvadrát je integrovatený přes interva(, ). Zavedeme-i pro dvě funkce f()ag()ztohotoprostoruskaárnísoučin (f;g)= f()g()d, můžeme muvit o ortogonaitě(komosti) funkcí v případě, že jejich skaární součin je nuový. Podmínky(16) proto také někdy nazýváme podmínkami ortogonaity vastních funkcí. 1.3 Voné kmitání V předchozím odstavci jsme dokázai, že řešení rovnice(6), jež představuje voné kmitání struny,máprostrununaoboukoncíchupevněnoutvar(15).konstanty A ka B kurčíme zpočátečníchpodmínek v(,)=v ()a v(,)= v t ().Zapředpokadustejnoměrné konvergence funkcionání řady(15) ze derivovat za sumačním znaménkem, pročež v t (,t)= sin Ω k c Ω k(b kcosω k t A ksinω k t). (17) Dosazenímdo(15)a(17)začas t=azohedněnímzadanýchpočátečníchpodmínek obdržíme v ()=v(,)= v ()= v t (,)= A ksin Ω k c, Ω k B ksin Ω k c. Násobme obě rovnice j tou vastní funkcí a integrujme(přes proměnnou ) od nuy do. Vzhedem ke stejnoměrné konvergenci řad a k vastnosti(16) vastních funkcí odtud dostáváme v ()X j ()d=a j, v ()X j ()d=ω j B j. Pro případ na obou koncích upevněné struny jsou vastní frekvence dány vztahem(1). Pro tento případ je 7

A j= v ()X j ()d, B j= v ()X j ()d. (18) jπc Voné kmitání struny popisuje řešení rovnice(6), spňující zadané okrajové a počáteční podmínky. Má tvar(15), přičemž integrační konstanty jsou dány v(18), vastní funkce v(14)avastnífrekvencev(1). Příkad:Strunadéky spředepínacísiou S=konstdékovéhustoty µ=konstjena svýchkoncíchupevněna.včase t=jevmístě =avychýenao(maou)příčnou výchyku h a puštěna z kidu. Určete její voné kmitání. Řešení: Vzhedem k okrajovým podmínkám jsou vastní frekvence dány výrazem(1), vastní funkce vztahem(14) a voné kmity pak výrazem(15). Integrační konstanty jsou dányv(18),kdefunkce v () (strunapuštěnazkidu)afunkce v ()(poohová počáteční podmínka) jest(pro a =.3 ) znázorněna na obr.3. Její anaytický popis je 1 Prubeh poohove pocatecni podminky v ()/h.5.1..3.4.5.6.7.8.9 1 / Obrázek 3: v ()= h a pro ;,a av ()= h ( )pro a;. a Pode(18),(14)a(1)je B j=provšechnapřirozená ja A j= h [ a a sin jπ d+ a a sin jπ ] d. Integrací po částech, kdy derivujeme ineární čeny a integrujeme goniometrické čeny odtud obdržíme A j= h [ jπ a cos jπ a + 1 a cos jπ a d a cos jπ a+ 1 cos jπ ]= a a d = h [ cos jπ jπ a+ jπa sin jπ a +cos jπ a+ jπ(a ) sin jπ ] a = = h ( jπa 1 j πsin a 1 ) h = a π a( a) 1 jπa sin. j Dosazením určených integračních konstant do(15) máme v(,t)= h π a( a) j=1 1 jπa jsin sin Ω j c cosω jt, (19) 8

kdeω j jedánove(1).proibovonýčas taibovonoupoohubodu nastrunějsougoniometrické funkce v absoutní hodnotě omezeny jedničkou. Absoutní hodnota j tého čenuřadyjetedyvšudeomezenavýrazem h 1 1.Řadakonst π a( a) j j=1 j jevšudečísenou majorantou k funkcionání řadě vyjadřující řešení zadaných voných kmitů. Protože 1 řada j=1 j konverguje,konvergujepopisovanáfunkcionánířadavšudestejnoměrněa všechny úpravy byy tedy korektní. Poznámka:Je-i a = (strunajevpočátečnímčasevychýenavesvémstředu),je sin jπa =sinj π,cožjeprosudá jnuaaproichá jstřídavěpusnebominusjedna. Voné kmity jsou pak popsány vztahem v(,t)= 8h π ( 1) j 1 1 j=1 (j 1) sinω j 1 cosω j 1 t, c kde přísušné vastní frekvence jsou opět ve vztahu(1). 1.4 Vynucené kmitání Řešíme tedy rovnici(5) s nenuovou pravou stranou při počátečních podmínkách v(, ) = = v 1 ()(tzv.poohovápočátečnípodmínka)a v(,)=v t ()(tzv.rychostní počáteční podmínka). Tak jako byo řešení voných kmitů v(15) vyjádřeno rozkadem pode vastních funkcí s harmonickými koeficienty, ze řešení vynuceného kmitání odhadovat ve tvaru anaogického rozkadu s obecně časově proměnnými koeficienty. Hedáme tedy řešení rovnice(5) ve tvaru v(,t)= X k ()q k (t), () kde q k (t)jsouprozatímneurčené(obecněneharmonické)funkcečasuax k ()jsouvastní funkce úohy. Za předpokadu stejnoměrné konvergence řady() patí v t = X k () d q k dt (t); v = Dosazením těchto výrazů do(5) dostaneme q k (t) d X k d (). ( ) X k () d q k dt (t) X k cd d ()q k(t) = 1 µ f(,t). Násobmetutorovnicivastnífunkcí X j ()a(zapředpokadustejnoměrnékonvergence uvedené řady) integrujme přes interva(, ) v proměnné. Vznikne [ d q k dt X k ()X j ()d c d ] X k q k (t) d X j()d = 1 f(,t)x j ()d. µ Pode(1) ae patí pro vastní funkce pročež je d X k d = Ω k c X k(), 9

[ d q k dt ] X k ()X j ()d+ω kq k (t) X k ()X j ()d = 1 f(,t)x j ()d. µ Zohedněním podmínek ortogonaity vastních funkcí(16) pak je Funkci času d q j dt jq (t)+ω j (t)= f(,t)x j ()d. (1) µ f j (t)= f(,t)x j ()d () nazýváme modání siou přísušející k j té vastní funkci a budícímu účinku f(, t). Prozatímneznáméčasovéfunkce q j (t)jsmetedyobdržeiobyčejnédiferenciánírovnice druhého řádu s pravou stranou ve tvaru modání síy. Určíme ještě počáteční podmínky pro tyto diferenciání rovnice. Časovou derivací() dostaneme(za předpokadu stejnoměrné konvergence uvedené řady) v t = X k () dq k dt. Dosadíme-idotétorovniceazároveňdo()čas t=azohedníme-izadanépočáteční podmínky, vznikne v 1 ()= X k ()q k (); v ()= X k () dq k dt (). Násobmenyníobětytorovnicevastnífunkcí X j ()avýsedek(zapředpokadustejnoměrné konvergence uvedené řady) integrujme přes interva(, ) v proměnné. Vzhedem k podmínkám ortogonaity vastních funkcí(16) dostaneme v 1 ()X j ()d= q j(); v ()X j ()d= dq j (). (3) dt Rovnici(1) nyní řešme pro určené počáteční podmínky Lapaceovou transformací. Označíme-i kompení proměnnou v Lapaceových obrazech p a obrazy řešení a modánísíypořadě Q j (p)af j (p),dostanemeprovedenímlapaceovytransformacena diferenciání rovnici(1) pode vztahu pro Lapaceův obraz druhé derivace odkud p Q j (p) pq j () dq j dt ()+Ω jq j (p)= µ F j (p), Q j (p)= Protože originá k funkci p 1 q p +Ω j ()+ j p +Ω j p p +Ω j dq j dt ()+ µ F j (p) jecosω j taoriginákfunkci 1 p +Ω j 1. p +Ω j je sinω jt Ω j,dostáváme (pode pravida pro originá k součinu obrazů) přechodem k origináům řešení rovnice (1) ve tvaru q(j)(t)=q j ()cosω j t+ dq j () dt sinω j t+ t f j (t τ)sinω j (τ)dτ. (4) Ω j µω j 1

Vynucenékmitystrunyjsoutedyřešenyřadou(),kdefunkce q j (t)jsoudányvztahem (4) a vastní funkce(pro oboustranně upevněnou strunu) jsou dány vztahem(14) a vastnífrekvencevevztahu(1).počátečnípodmínky q j ()a dq j ()jsouvevztahu(3) dt a přísušná modání sía ve vztahu(). Častým případem jsou triviání počáteční podmínky, kdy struna je před působením budících účinků v kidu v nedeformované pooze. Pak první dva čeny v(4) odpadají a řešení ze psáti ve tvaru Poznámky: v(,t)= µ j=1 X j () Ω j [ t sinω j τ f(,t τ)x j ()d ] dτ. (5) 1. Předchozí výrazy byy primárně odvozovány pro strunu na obou koncích upevněnou. Je zřejmé, že tyto výrazy zůstávají v patnosti i pro eventuáně jiné okrajové podmínky, pro něž přísušné vastní funkce jsou ortogonání. Pouze místo konstanty µ by obecně stačio dosadit konstantu L= 1 µ X j()d. Tato konstanta by(eventuáně) moha být též závisá na sčítacím indeu j.. Příkad na vynucené kmitání jednorozměrného kontinua bude obsahem posední kapitoy. Podéné kmitání prutů Prut je těeso déky maých příčných rozměrů zatížené ve směru své osy spojitým zatíženímměrnoudékovousiou f(,t)závisouobecněnapooze inačase t.konceprutu mohou konat předepsané pohyby ve směru osy prutu. Materiá prutu je charakterizován moduem pružnosti v tahu E() a(objemovou) hustotou µ(). Obě zmíněné veičiny mohou být závisé na pooze bodu prutu. Protože za uvedených předpokadů dochází pouze k jednorozměrné napjatosti, postačí pro dokonaý popis pouze uvedené dvě veičiny.rovněžpochaprůřezuprutu P()semůževomezenémířespoohouřezuměnit. Předpokádáme však, že nedochází k příčným deformacím. Výchyky jsou natoik maé, že patí Hookeův zákon(ineární kontinuum). Ke kmitání prutu může docházet vivem popsaného(spojitého) zatížení nebo vychýením bodů prutu ve směru jeho osy pode zadané funkce poohy bodu v počátečním čase popřípadě uděením patřičně směrované rychosti těmto bodům. Pohyb každého bodu prutu se pak děje ve směru osy prutu..1 Odvození pohybové rovnice Vytkněme eement prutu déky d nacházející se v pooze (obr.4). Výchyky konců eementu(vroviněpohybu)jsou uau+du.prutemjepřipohybupřenášenaosovásía S,jejížveikostnakoncícheementuje Sa S+dS.Kromětétosíypůsobínaeement ještěbudícíúčinekpopsanýdékovouhustotousíy f(,t)asetrvačnásíaddoběsměru osy prutu(obr.4). Podmínka dynamické rovnováhy eementu ve směru osy prutu dává (S+dS) S dd+ f(,t)d=. (6) 11

y S u f (, t) dd S + ds u + du A() = d = Obrázek 4: Pro veikost setrvačné síy patí dd=dm a=dm u t = µpd u t, (7) kde dm je eement hmotnosti, P pocha průřezu prutu a a je(podéné) zrychení. Vyjádřením přírůstku síy S pomocí přírůstku nezávise proměnné a přísušných derivací jakods= S dadosazením(7)do(6)dostávámepokráceníd S µp u t+ f(,t)=. (8) Pro osovou síu S vzhedem k předpokádané jednorozměrné napjatosti patí S = P σ, kde σjenormánénapětívřezu.podehookeovazákonadáeje σ= Eε=E u, kde ε je reativní deformace eementu. Dosazením do(8) máme pohybovou rovnici ve tvaru ( PE u ) µp u t+ f(,t)=. Jestiže prut je homogenní(e=konst) stáého průřezu(p =konst), dostáváme děením pochou průřezu µ u t E u = 1 P f(,t)= f(,t). (9) Konstanta E µ mározměrkvadráturychosti,jakpyneznásedujícírozměrovéanaýzy [ ] E µ = Pa kg m 3 = N m kg m 3 = kgm s m kg = m s. m 3 Rovnice(9) je opět nehomogenní hyperboická parciání diferenciání rovnice druhého řádu.dopněnímookrajovépodmínky u(,t)=u 1 (t), u(,t)=u (t)aopočáteční podmínky u(,)=u ()a u(,)= u t (),kde u 1, u, u a u jsouzadanéfunkce jedné proměnné, dostáváme tzv. okrajovou úohu, která má jednoznačné řešení. 1

. Úoha vastních hodnot Označme c 1 = E µ.potomhomogennírovnicek(9)mátvar u t u c 1 =. (3) Poznámka: Snadno ověříme, že(3) má opět vnové řešení u(,t)=φ( c 1 t)+ψ(+c 1 t), jež jest superpozicí dopředné vny tvaru funkce Φ se zpětnou vnou tvaru funkce Ψ, jež seoběšířírychostí c 1 šířenípodénévnyvprutu.prooce,kdy µ=78[kg/m 3 ] a E=.1 1 11 [Pa]tatorychostčiní c 1 =519[m/s]. Nás bude zajímat kmitavé řešení, jež ze psát v separovaném tvaru u(, t)=u()t(t), kde U a T jsou zatím neznámé funkce jedné proměnné. Dosazením tohoto vyjádření do(3) dostaneme, anaogickým postupem jako v předchozí kapitoe, pro ony funkce obyčejné diferenciání rovnice tvaru Obecné řešení obyčejné diferenciání rovnice(31) je a obecné řešení rovnice(3) pak d T dt +Ω T=, (31) d ( ) U Ω d + U=. (3) c 1 T(t)=AcosΩt+BsinΩt U()=Ccos Ω c 1 +Dsin Ω c 1, kde A, B, C a D jsou ibovoné integrační konstanty. Řešením rovnice(3) je pak jejich součin, tedy u(,t)= ( Ccos Ω c 1 +Dsin Ω c 1 Nejčastějšími okrajovými podmínkami pro prut jsou vetknutýkonec,kdy u(a,t) pro a=nebo a=, vonýkonec,kdy u (a,t). ) (AcosΩt+BsinΩt). (33) Vzhedem k(33) je identická nuovost(vzhedem k času) funkce nebo její derivace pode poohyekvivaentnínuovosti U(a)popřípadě du d (a).rozišímeprotočtyřipřípady: 1.Obakoncevetknuté,kdyje U()=U()=.Vzhedemktvarufunkce U() dostáváme(anaogickyjakovpředchozíkapitoe)zprvnípodmínky C=aze druhépodmínkypotomsin Ω c 1 =.Odtuddostávámefrekvenčnírovnici a přísušnou vastní funkci Ω k c 1 =kπ;,,... (34) 13

U k ()=sin Ω k c 1 =sinkπ ;,,.... (35).Konec =vetknutýa=voný,tedy U()=azároveň du()=.zprvní d podmínkyopětdostáváme C=.Protoževtakovémpřípadě du = Ω d c 1 Dcos Ω c 1, dávádruháokrajovápodmínkacos Ω c 1 =.Odtuddostávámeprotentopřípad frekvenční rovnici a přísušnou vastní funkci Ω k =(k 1) π ;,,... (36) c 1 U k ()=sin Ω k =sin(k 1) π ;,,.... (37) c 1 3.Konec = vonýa = vetknutý,tedyokrajovépodmínky du () = a d U()=.Zprvnípodmínkydostáváme D=.Vtompřípadězedruhépodmínky pynecos Ω c 1 =,odkuddostávámefrekvenčnírovnicivetvaru a přísušné vastní funkce Ω k =(k 1) π ;,... (38) c 1 U k ()=cos Ω k =cos(k 1) π ;,,.... (39) c 1 4.Obakoncevoné,tedy du du ()= ()=.Zprvnípodmínkyvypývá D=a d d druhápodmínkadávásin Ω c 1 =,odkuddostávámefrekvenčnírovnici a přísušné vastní funkce Ω k c 1 =kπ; k=,1,... (4) U k ()=cos Ω k c 1 =cos kπ ;k=,1,.... (41) Poznámka: Tentokráte zahrnujeme do vastních frekvencí i nuovou hodnotu, jež odpovídá posuvu prutu jako tuhého těesa. Tvrzení:Všechny výše uvedené vastní funkce spňují vztahy kde δ jk jekronekerůvsymbo. X j ()X k ()d= δ jk, (4) 14

Ověření: 1. První část tvrzení, tedy pro j k, ověříme na zákadě patných goniometrických vztahů sin αsin β+cos αcos β=cos(α β), sin αsin β+cos αcos β=cos(α+β). Jejich sečtením a násedným odečtením získáme vztahy cos(α β) cos(α+β) sin αsin β=, (43) cos(α β)+cos(α+β) cos αcos β=. (44) Nyní apikujme tyto výrazy pro vastní funkce ve čtyřech výše popsaných případech vastních funkcí. (a) Pro vastní funkce(35) dostáváme pode(43) U j ()U k ()d= 1 [ cos(j k)π d cos(k+ j)π ]= d = [ 1 π j k sin(j k)π 1 ] j+ k sin(j+ k)π = = [ ] 1 1 sin(j k)π sin(j+ k)π =. π j k j+ k (b) Pro vastní funkce(37) dostáváme opět pode(43) U j ()U k ()d= 1 [ cos(j k) π = [ 1 π = π d cos(k+ j 1) π ] d = j k sin(j k)π 1 j+ k 1 sin(j+ k 1)π [ ] 1 j k sin(j k)π 1 sin(j+ k 1)π j+ k 1 (c) Pro vastní funkce(39) dostáváme nyní pode(44) ] = =. U j ()U k ()d= 1 [ cos(j k) π = [ 1 π = π d+ cos(k+ j 1) π ] d = j k sin(j k)π + 1 j+ k 1 sin(j+ k 1)π [ ] 1 j k sin(j k)π+ 1 sin(j+ k 1)π j+ k 1 15 ] = =.

(d) Pro vastní funkce(41) dostáváme opět pode(44) U j ()U k ()d= 1 [ cos(j k)π d+ cos(k+ j)π ]= d = [ 1 π j k sin(j k)π + 1 j+ k sin(j+ k)π = π [ 1 1 sin(j k)π+ sin(j+ k)π j k j+ k ] ] = =.. Druhou část tvrzení, tedy pro j = k, ověříme na zákadě patných goniometrických vztahů sin α+cos α=1, sin α+cos α=cosα. Jejich odečtením a násedným sečtením získáme vztahy sin α= 1 cosα, (45) cos α= 1+cosα. (46) Nyní apikujme tyto výrazy pro vastní funkce ve čtyřech výše popsaných případech vastních funkcí. (a) Pro vastní funkce(35) dostáváme pode(45) Ukd= 1 [ d coskπ ] d = 1 [ ] kπ sinkπ = = 1 [ ] kπ sinkπ =. (b) Pro vastní funkce(37) dostáváme opět pode(45) = 1 [ Ukd= 1 [ d cos(k 1) π ] d = ] (k 1)π sin(k 1)π = 1 [ ] sin(k 1)π = (k 1)π. (c) Pro vastní funkce(39) dostáváme nyní pode(46) = 1 [ + Ukd= 1 [ d+ cos(k 1) π ] d = ] (k 1)π sin(k 1)π = 1 [ ] + sin(k 1)π = (k 1)π. 16

(d) Pro vastní funkce(41) dostáváme opět pode(46) Ukd= 1 [ d+ coskπ ] d = 1 [ + kπ sinkπ = 1 [ + ] kπ sinkπ =. Poznámka:Anaogickétvrzenípatíipropřípadvastnífunkce U () 1,ježpřipadá vúvahupropřípadprutunaoboukoncíchvoného.pro k totižpatípode(41) adáe U k ()U ()d= cos kπ d= [ sin kπ ] = sin kπ= kπ kπ U ()d= d=. Pode(33) je řešením rovnice(3) pro každé přirozené k funkce u k (,t)=u k ()(A k cosω k t+b k sinω k t), kdeω k jsouvastnífrekvenceau k ()knimpřísušejícívastnífunkceprojednotivé okrajové podmínky výše určené. Jestiže dáe uvedená řada stejnoměrně konverguje, je řešením(3) i u(,t)= u k (,t)= U k ()(A k cosω k t+b k sinω k t). (47) Integračníkonstanty A k a B k určíme,vzhedemkpatnostivýšepopsanéhotvrzení,z počátečních podmínek(poohové a rychostní, jež jsou obě funkcí poohy ) anaogicky jako v kapitoe o kmitání struny. Rovněž vynucené kmitání prutů řešíme podobně jako v případě kmitání struny rozkadem do vastních funkcí, kdy koeficienty tohoto rozkadu nejsou harmonické, ae obecné, zatím neznámé funkce času. Řešení rovnice(9) tedy hedáme ve tvaru u(,t)= U k ()q k (t) (48) za předpokadu stejnoměrné konvergence použité funkcionání řady. Vzhedem k patnostipředchozíhotvrzenídostanemeproneznámé(neharmonické)funkce q k (t)obyčejné diferenciání rovnice d q j dt (t)+ω jq j (t)= µp f(,t)x j ()d, které řešíme s počátečními podmínkami(3), kde modání sía jest dána výrazem(). Poznamenejme,ževýraz µpmávýznamhmotnostinosníku m n. Příkad: Kromě už uvedených okrajových podmínek ze formuovat úohu vastních hodnot i pro kombinaci zmíněných okrajových podmínek s jinými. Formuujme tedy úohu vastních hodnot pro prut na evém konci vetknutý, na jehož pravém konci se nachází tuhá hmota m(obr.5). Řešení: Víme, že řešení rovnice(3) se separovanými proměnnými má tvar 17 ] =

u (, t) A, µ, E m d u (, t) d t S (, t) m = = Obrázek 5: u(,t)=(ccos Ω c 1 +Dsin Ω c 1 )(AcosΩt+BsinΩt). (49) Okrajovápodmínkapro =je u(,t).pro =zrovnováhysipůsobícíchve vodorovném směru na hmotu m(obr.5) pyne, že sía S přenášená koncovým průřezem prutu je rovna záporně vzaté setrvačné síe působící na hmotu m. Protože zrychení jedánovztahem a= u aprosíu Spatí S= Pσ=PEε=PE u,je koncová t okrajová podmínka tvaru Apikací evé okrajové podmínky na(49) dostaneme Potom tedy PE u (,t)= m u t. (5) u(,t)=c(acosωt+bsinωt) C=. u(,t)=sin Ω c 1 (A cosωt+b sinωt), u (,t)=ω c 1 cos Ω c 1 (A cosωt+b sinωt), u t (,t)= Ω sin Ω c 1 (A cosωt+b sinωt). Zohedněním pravé okrajové podmínky(5) dostaneme PE Ω c 1 cos Ω c 1 (A cosωt+b sinωt)=mω sin Ω c 1 (A cosωt+b sinωt). Tato podmínka má patit identicky pro každý čas t. Odtud pyne PE c 1 cos Ω c 1 =mωsin Ω c 1. Rozšiřmenynípravoustranuzomkem c 1.Dostanemepodmínku ze které vypývá PE cos Ω =m c 1 Ω sin Ω, c 1 c 1 c 1 c 1 18

Ω tg Ω = PE. (51) c 1 c 1 mc 1 Tato rovnice je frekvenční rovnicí pro dané okrajové podmínky. Vastní frekvence úohy určíme jako Ω k = y k c 1, (5) kde y k (,,...)jsoukadnářešenítranscendentnírovnice y tgy= PE =konst. (53) mc 1 Označíme-ikonstantunapravéstraně(53)jako K,zeřešení y k určovatjakoprůsečíky křivek z=tgy(větvítangenty)skřivkou z= K. y Poznámka: Konstanta K je zřejmě bezrozměrný parametr, jak se přesvědčíme z násedující rozměrové anaýzy [ ] PE [K]= = m Pa m Nm kgms s kg m s =m3 kg m s =m kg m s =m m s. mc 1 Podosazeníza c 1= E dostanemeprohodnotukonstanty K=Pµ.Vzhedemkhomogenitě a stáému průřezu prutu je čitate tohoto vztahu hmotnost prutu. Konstanta K µ m má tedy význam poměru hmotností prutu a tuhé hmoty. 14 Pruseciky krivek y=k/ a y=tg pro K=1 5 1 1 1 8 y 6 4 4 6 8 1 1 14 Obrázek 6: 19

Pruseciky krivek y=k/ a y=tg pro K=.1..5.1..5.8.7.6.5.4 y.3..1.1 4 6 8 1 1 14 Obrázek 7: Prvních pět řešení zmíněných průsečíků jest pro konstanty K =1,,5,1 a znázorněno kroužkynaobr.6,zatímcoprokonstanty K=.1,.,.5,.1,.a.5jetotéžna obr.7.grafyfunkcí K jsouprorůzná Kznázorněnymodroubarvouajednotivévětve y tangenty pak barvou černou. Z obrázků je patrno, že pro pořadí větve tangenty rostoucí nade všechny meze, se souřadnice y jednotivých průsečíků bíží k o jedničku nižšímu násobku π atotímrycheji,čímnižšíjekonstanta K.Přísušnénásobky π jsouv obrázcích znázorněny tečkovanými fiaovými přímkami. Řešenípořadovéhočísa krovnice(53)získámejako y k = ỹ k +(k 1)π, (,...), kde ỹ k určímeiteračnímprocesemtvaru ỹ (i) k =arctg ỹ (i 1) k K +(k 1)π, ỹ() k = π +(k 1)π, i=1,,.... (54) 4 Vtomtovztahudoníinde koznačujepořadovéčísořešeníahorníinde ipořadové číso iteračního kroku. Startovací hodnota každé iterace(tzv. nutá iterace odpovídající i = ) se bere uprostřed intervau kadných hodnot k té větve tangenty. Iterační proces se zastavuje na podmínce maé reativní chyby násedujících dvou iterací, tedy na podmínce ỹ (i) k ỹ(i 1) k ỹ (i) k < ε. (55) Pět řešení s nejmenší hodnotou pro výše popsané konstanty K, včetně nutného počtu iteracíprodosaženíreativnípřesnosti ε=1 5 jestuvedenvtabuce1.

k= k=3 k=4 k=5 K y k iter. y k iter. y k iter. y k iter. y k iter..1.9983 183 3.1448 4 6.848 4 9.458 4 1.567 4..149 916 3.1479 4 6.864 4 9.469 4 1.568 4.5.18 367 3.1574 5 6.911 4 9.431 4 1.573 4.1.3111 184 3.1731 5 6.991 4 9.4354 4 1.5743 4..438 9 3.39 5 6.3148 5 9.4459 4 1.583 4.5.6533 36 3.93 6 6.3616 5 9.4775 5 1.66 4 1.8634 19 3.456 7 6.4373 5 9.593 5 1.6453 5 1.769 13 3.6436 8 6.5783 6 9.696 5 1.73 5 5 1.3138 8 4.336 7 6.996 7 9.898 6 1.935 5 1 1.489 6 4.358 6 7.81 6 1.3 6 13.14 6 1.4961 5 4.4915 5 7.4954 6 1.5117 6 13.54 6 Tabuka 1: Vzhedem k patnosti evé okrajové podmínky(kdy patí C = - viz výše) pro vastní funkce úohy patí U k ()=sin Ω k c 1, kdevastnífrekvenceω k jsoudányvevztahu(5),přičemž y k (,,...)jsouvýše určená řešení transcendentní rovnice(53). Poznámka: Jak se ze reativně snadno přesvědčit, tyto vastní funkce nespňují podmínkuortogonaityfunkcíintegrovatenýchskvadrátem,tedy U j()u k ()d δ jk. Pro ukázku čísených hodnot konstanty K uvedeme příkad prutu déky =1[m], pochyprůřezu P=1 3 [m ]zmateriáuohustotě µ=8 1 3 [kg/m 3 ],najejímžkonci se nachází tuhá hmotnost m =4[kg]. Pro konstantu K takto definovaného prutu máme K= µp m =. Příkad: Řešme voné kmitání(homogenního, prizmatického) prutu déky, pochy průřezu P,zmateriáuohustotě µamoduupružnostivtahu E,kterýjepro = =( evý konec)vetknutýapro =( pravý konec)voný,jestižejejnavoném konci deformujeme osovou siou F (poohová počáteční podmínka) a pustíme z kidu (rychostní počáteční podmínka). Řešení: Pode Hookeova zákona pro prostý tah je deformace ineárně závisá na pooze řezu,vmístě =jenuováavmístě =máhodnotu F EP.Protopoohovápočáteční podmínka pro voné kmitání je u(,)= F. (56) EP Rychostnípočátečnípodmínkaje u (,) (identickynuováfunkce-puštěnoz t kidu). Pode(47) řešení hedáme ve tvaru takže u(,t)= u k (,t)= U k ()(A k cosω k t+b k sinω k t), (57) 1

u t = U k ()Ω k ( A k sinω k t+b k cosω k t). (58) Vtěchtovýrazech U k ()jsoukdanýmokrajovýmpodmínkámpřísušejícívastnífunkce danév(37),ω k jsouvastnífrekvencedanév(36)aa k a B k jsouintegračníkonstanty, kteréurčímezezadanýchpočátečníchpodmínek.dosazenímčasu t=do(58)azohedněním triviání rychostní počáteční podmínky dostaneme u t (,) = U k ()Ω k B k. Tatopodmínkajespněnapro B k =,,,...Rovnice(57)pakzískátvar u(,t)= U k ()A k cosω k t. (59) Dosazením času t = do této rovnice a zohedněním poohové počáteční podmínky(56) máme u(,)= F EP = U k ()A k. Násobmetutorovnicivastnífunkcí U j ()aintegrujmepřesceoudékuprutu.vzhedem k vastnostem ortogonaity vastních funkcí a pode(37) odtud dostaneme(za předpokadu stejnoměrné konvergence funkcionání řady) F EP U j ()d= F EP Konstanty A j tedyzískámejako [ sin (j 1) π ] d= A k δ jk = A j. A j = F [ sin (j 1) π ] d. EP Užitím metody integrace po částech, kdy derivujeme funkci a integrujeme goniometrickou funkci, postupně dostáváme A j = F ( ) { EP cos (j 1)π = 4F EP(j 1)π [ (j 1) π (j 1)π sin [(j 1) π ] [ cos (j 1) π ] = 8F EPπ ( 1) j 1 (j 1), ] } d = protožekosínusichéhonásobkupípůjenuaajehosínusje( 1) j 1.Dosazenímtakto získaných konstant do(59) dostaneme řešení spňující zadané počáteční podmínky ve tvaru u(,t)= 8F EPπ ( 1) k 1 (k 1) U k()cosω k t. Podosazenízavastnífunkcez(37)azavastnífrekvencez(36)dostávámefinánítvar řešení

u(,t)= 8F EPπ ( 1) k 1 (k 1) sin [(k 1) π ] [ cos (k 1) π ] c t 1, (6) kde c 1 = E jerychostšířenípodénévnyvmateriáu.zbýváověřitstejnoměrnost µ konvergence v(6) ukázané funkcionání řady(aby výše prováděné operace derivování a integrace za sumačním znaménkem byy oprávněné). Protože pro ibovoné i ibovoné t jsou goniometrické funkce v absoutní hodnotě omezeny jedničkou, je absoutní hodnota k téhočenuřadyomezenačísem 1 1.Čísenářada (k 1) (k 1) aekonverguje. Proto funkcionání řada v(6) konverguje stejnoměrně na kartézském součinu[, t],, ). Výraz(6) je skutečně řešením zadané úohy. 3 Torzní kmitání hřídeí kruhového průřezu Hříde je těeso déky maých příčných rozměrů, zatíženo spojitým zatížením měrným dékovým momentem m(, t) směru osy těesa, závisým obecně na pooze bodu hřídee i na čase t. Materiá je charakterizován moduem pružnosti ve smyku G() a (objemovou) hustotou µ(). Obě zmíněné veičiny mohou být závisé na pooze řezu. Průřezhřídeemusíbýtkruhový,jehožpooměr rsemůževomezenémířespoohouřezu měnit. Předpokádáme, že koncové řezy hřídee konají předepsané torzní pohyby. Výchyky předpokádáme natoik maé, že patí Hookeův zákon pro prostý krut. Ke kmitání hřídee může docházet vivem popsaného(spojitého) zatížení nebo torzním vychýením řezů hřídee pode zadané funkce poohy v počátečním čase popřípadě uděením úhové rychosti těmto řezům. 3.1 Odvození pohybové rovnice Vytkněme eement hřídee déky d nacházející se v pooze (obr.8). Torzní výchyky koncůeementujsou ϕaϕ+dϕ.hřídeíjepřipohybupřenášentorznímoment M,jehož veikostnakoncícheementuje Ma M+dM.Kromětohopůsobínaeementještěbudící účinekpopsanýdékovouhustotoumomentu m(,t)asetrvačnádvojicedm D (obr.8). Momentová podmínka dynamické rovnováhy eementu(koem osy hřídee) dává y dm D Μ m (, t) M + dm = ϕ J p() d ϕ + dϕ = Obrázek 8: (M+dM) M dm D + m(,t)d=. (61) 3

Pro veikost setrvačné dvojice patí ϕ dm D =di α=di t =dµ (y (P) + z )dp ϕ t, (6) kdedi jeeementosovéhomomentusetrvačnostikoseeementu, P pochaprůřezu hřídee a α je úhové zrychení eementu. Integrá na pravé straně předchozích rovností jepoárnímkvadratickýmmomentemprůřezu J p.vyjádřenímpřírůstkumomentu M pomocípřírůstkunezáviseproměnné apřísušnýchderivacíjakodm= Mdado- sazením(6) do(61) dostáváme po krácení d M µj ϕ p + m(,t)=. (63) t Pro torzní moment M, vzhedem k předpokádané jednorozměrné napjatosti, patí M = ϕ = GJ P.Dosazenímdo(63)vzniknepohybovárovnicevetvaru ( ) ϕ GJ p µj p ϕ t + m(,t)=. Prohomogenníhříde(G=konst)stáéhopooměru(J p =konst)dostáváme(pokrácení J p )pohybovourovnicivetvaru ϕ t G ϕ 1 µ = m(,t)= m(,t). (64) J p µ Tato rovnice je zcea anaogická k rovnici(9) s anaogií veičin popsanou v násedující tabuce. rovnice(9) u t µ E P f rovnice(64) ϕ t µ G J p m Tabuka : Jedná se o hyperboickou parciání diferenciání rovnici druhého řádu, jejíž řešení ve tvaru separovaných proměnných vede při v předchozí kapitoe řešených okrajových podmínkách na tam uvedené vastní frekvence a vastní funkce. Rovněž voné a vynucené kmitáníseřešíanaogickyjakoustrunyvprvníkapitoe.veičina G = c µ máizde význam rychosti. Protože homogenní rovnice(64) má, stejně jako v předchozí kapitoe, vnovéřešení,je c rychostšířenítorznívnyvmateriáu.prooce,kdyuvažujeme µ=78[kg/m 3 ]ag=.8 1 11 [Pa]vycházítatorychost c =3[m/s]. Poznámky: 1. Pro kruhový průřez pooměru r přechodem k poárním souřadnicím ρ, ϕ v rovině y, z(obr.9) určíme poární kvadratický moment průřezu jako J p = (P) (y + z )dp= π ( r ρ 3 dρ )dϕ=π r4 4 = π r4, protože pro eement pochy průřezu patí(obr.9) dp = ρdϕdρ, počítáme-i jeho pochu jako pochu obdéníka. 4

dp dϕ S ϕ ρ dρ ϕ = Obrázek 9:. Zopakujeme ze zákadního kurzu pružnosti odvození vztahu pro kroutící moment při prostém krutu hřídee kruhového průřezu. Vytkněme z hřídee eement déky d (obr.1) a uvažujme vákno na obecném pooměru ρ. Dojde-i k natočení koncových řezů eementu o eementární úhe dϕ, pyne ihned z obr.1 ρdϕ=γd γ= ρ dϕ d, r dϕ γ d ρ Obrázek 1: kde γjezkosvákna.poznamenejme,že dϕ d jetzv.zkrut,jenžseneměnípřipohybu konců vákna po poše koncových řezů eementu. Pode Hookeova zákona patí pro tečnénapětí τvboděpochyřezu τ= Gγ,kde Gjestmodupružnostimateriáuve smyku.podosazenízpředchozíhovýrazumáme τ= Gρ ϕ.eementárníkroutící momentkoseeementujezřejmědm= ρdf,kdedf jeeementárnítečnásía působícíveementárnípošeřezudp.podedefinicenapětíovšemdf = τdp. Dosazením do předchozího výrazu a užitím odvozeného vztahu pro tečné napětí dostanemedm = G dϕ d ρ dp.integracípřesceoupochuřezupakvzhedemk tomu, že zkrut je po poše řezu konstantní, dostaneme pode definice poárního kvadratického momentu průřezu M= (P) dm= G dϕ ρ dp= G dϕ d (P) d J p. 5

4 Ohybové kmitání nosníků Nosník je opět těeso déky maých příčných rozměrů, zatížené v jedné rovině obsahující jeho osu, ve směru komém na tuto osu, spojitým zatížením měrnou dékovou siou f(,t)závisouobecněnapooze řezunosníkuinačase t.předpokádáme,žekoncové řezy nosníku konají předepsané rovinné pohyby ve výše zmíněné rovině. Aby setrvačné účinky při kmitání byy rovinné, je třeba ještě předpokádat, že ve výše popsané rovině eží havní osy setrvačnosti průřezu nosníku. Materiá nosníku je charakterizován moduem pružnosti v tahu E() a(objemovou) hustotou µ(). Obě zmíněné veičiny mohoubýtzávisénapooze řezunosníku.rovněžpochaprůřezunosníku P()se může v omezené míře s poohou řezu měnit. Předpokádáme dáe, že rovinné řezy komé na osu nosníku zůstávají i po deformaci rovinné a komé na průhybovou křivku(tzv. Bernouiova-Navierova hypotéza). Jistě ze zanedbat podéné výchyky i zkosy průřezu způsobené smykem. Ke kmitání nosníku může docházet vivem popsaného(spojitého) zatížení nebo vychýením a současným natočením koncových řezů nosníku pode zadané funkce poohy bodu v počátečním čase popřípadě uděením rychosti těmto bodům. Pohyb každého řezu nosníku je pak obecným rovinným pohybem ve výše popsané rovině,jenžsedávboděnaoserozožitnaunášivý(přibižněpřímočarý)pohybve směru komém k ose nosníku popsaný příčnou výchykou v(, t) a druhotnou rotaci koem osy komé na popisovanou rovinu pohybu popsanou úhem natočení řezu ϕ(, t). Příčné výchyky předpokádáme maé, takže průhybovka je pochá a tudíž jsou maé i úhy natočení řezů. 4.1 Odvození pohybové rovnice Vytkněme eement nosníku déky d nacházející se v pooze (obr.11). Uvažujeme y Μ Τ v f (, t) ϕ dd P (), J () z dm D M + dm T + dt = = d Obrázek 11: jej v deformované pooze popsané příčnou výchykou v těžiště krajního řezu a úhem natočení ϕ tohoto řezu od roviny yz(obr.11). Tento úhe je zároveň úhem skonu tečny kestřednicieementusosou (úhyskomýmirameny).protoproněj(vzhedemk maým příčným výchykám) zřejmě v ibovoném čase patí ϕ= tgϕ= v. (65) 6

Na uvoněný eement působí, kromě příčného spojitého zatížení o dékové hustotě síy f(,t),posouvajícísía Taohybovýmoment Mododstraněné evé částinosníkua o diferenciá změněné veičiny(opačné orientace) od odstraněné pravé části nosníku. Protože vzhedem k předpokadům osa, procházející středem eementu rovnoběžně s osou z, je havní centrání osou setrvačnosti, jsou setrvačné účinky na pohybující se eement nahrazeny eementární setrvačnou siou dd(proti výchyce v) v těžišti eementu aeementárnísetrvačnoudvojicídm D (protiorientaciúhu ϕ).sožkovápodmínkadynamické rovnováhy do směru y dává [T (T+dT)]cos ϕ+fd dd=. (66) ProsetrvačnousíuzřejměpatídD = adm,kde ajezrycheníunášivéhopohybu eementu a dm jeho hmotnost, pro kterou(až na diferenciáně maé vyšších řádů) patí dm=µpd.protožezrychenítěžištěeementuje a= v,dostávámeproeementární t setrvačnou síu vztah dd=µpd v t. (67) Vyjádřením přírůstku posouvající síy pomocí přírůstku nezávise proměnné a přísušné derivace dostaneme dt= T d. (68) Sohedemnapochouprůhybovkuzepsátcosϕ 1.Odtudapodosazení(68)a(67) do(66) obdržíme po krácení d rovnici T + µp v t= f. (69) Momentová podmínka dynamické rovnováhy k těžišti eementu dává M+ M+dM dm D T d (T+dT)d =, odkudzanedbánímdiferenciáněmaédruhéhořádu dtd dostaneme dm Td dm D =. (7) Poznamenejme,žepříspěvekdM D dotétopodmínkyvznikáoddruhotnérotaceeementu anazýváserotačnísetrvačnost.vyjádřímejivetvarudm D = αdi z,kde αjeúhové zrychenídruhotnérotaceeementuadi z eementárníosovýmomentsetrvačnostikose rovnoběžné s osou z procházející těžištěm eementu. Pro úhové zrychení zřejmě patí α= ϕ t,takževzhedemk(65) 3 v dm D =di z t. (71) PodedefinicejedI z = (m) ( + y )dm.protožedékaeementujediferenciáněmaá, je (m) dmdiferenciáněmaátřetíhořáduapatí di z = y dm=µd y dp= µj z d, (7) (P) (m) kdejsmezavedikvadratickýmoment J z [m 4 ]průřezukoserovnoběžnése zprocházející těžištěm průřezu. Dosazením(7) do(71) máme 7

dm D = µj z d 3 v t. (73) Vyjádřením přírůstku ohybového momentu pomocí přírůstku nezávise proměnné a přísušné derivace dostaneme dm= M d. (74) Dosazením(74) a(73) do(7) a krácením d vznikne M = µj 3 v z t+ T. (75) Poznámka: První čen na pravé straně v(75) vyjadřuje výše zmíněnou rotační setrvačnost. Zanedbáme-i ji, obdržíme ve statické pružnosti obvykou Schwederovu větu. Ze zákadního kurzu pružnosti známe vztah pro ohybový moment(tzv. diferenciání rovnice průhybovky tvrdící, že ohybový moment je úměrný křivosti průhybovky) tvaru jehož derivací získáme Dosazením(76) do(75) vznikne M= EJ z v, M = ( ) v EJ z. (76) T= ( ) v 3 v EJ z µj z t. Derivací pode a dosazením do(69) získáme konečný tvar pohybové rovnice ( ) v EJ z ( 3 ) v µj z t + µp v t= f. (77) Jedná se o poměrně sožitou parciání diferenciání rovnici čtvrtého řádu. Pro případ homogenního(e=konstaµ=konst)nosníkustáéhoprůřezu(p=konstaj z =konst) se rovnice zjednoduší na tvar v E t + µ Jz P 4 v J z 4 P 4 v 1 t = µp f(,t)= f(,t). Vedruhékapitoebyazavedenarychostšířenípodénévny c 1 = E.Veičina j µ z= = Jz mázřejměrozměrdéky[m].někdysetatoveičinaoznačujejakokvadratický P pooměr průřezu(k ose z). Pohybová rovnice je pak tvaru v t +(c 1j z ) 4 v 4 v 4 j z t = f(,t). (78) Poznámka: Pro kruhový průřez, vzhedem k jeho symetrii, patí (P) y dp= z dp= 1 (P) 8 (P) (y + z )dp= 1 J p,

takžepronosníkkruhovéhoprůřezupooměru rjest j z = Jp P = πr 4 4πr = r. Při zanedbání rotační setrvačnosti se pohybová rovnice dáe zjednoduší na tvar v t +(c 1j z ) 4 v 4= f(,t). (79) Všechny tvary pohybové rovnice jsou čtvrtého řádu v proměnné a druhého řádu v proměnné t. Jejich dopněním o čtyři okrajové a dvě počáteční podmínky formuujeme úohu s jednoznačným kmitavým řešením. V daším se budeme zabývat homogenní rovnicí(78). 4. Úoha vastních hodnot a voné kmitání Kmitavé řešení homogenní rovnice(78) ze psát v separovaném tvaru v(, t)=v()t(t), kde V a Tjsouzatímneznáméfunkcejednéproměnné.Zřejměpatí v t =d T dt V; 4 v 4= Td4 V d 4; 4 v t =d T dt d V d. Dosazenímtohotovyjádřenído(78)(pro f=)dostaneme d T dt V+(c 1j z ) T d4 V d d Td V 4 j z dt d =. Pro nenuové funkční hodnoty separovaných funkcí děme ceou předchozí rovnici součinem TV.Vznikne Vyjádřením d T dt T odtud dostaneme d T d 4 V dt T +(c 1j z ) d 4 V j z d T dt T d V d V =. d T dt j z d V d V d 4 V d 4 V T =(c 1j z ). 1 Protože evá strana této rovnosti je pouze funkcí času a pravá pouze funkcí poohy, rovnost nemůže být spněna jinak, než že obě funkce jsou(stejnou) konstantou. Tato konstanta může mít ibovonou hodnotu. Kmitavé řešení však dostaneme pouze v případě,žetatokonstantabudezáporná.prozvýrazněníjejíhosignajioznačme Ω. Levástranapředchozírovnostirovna Ω pakdáváobyčejnoudiferenciánírovnicitvaru a pravá strana dává rovnici tvaru d T dt +Ω T=, (8) d4 V d V (c 1 j z ) d 4 V +Ω jz d V 1 =, zekterénásobenímvýrazem V (c 1 j z) obdržímeobyčejnoudiferenciánírovnicitvaru d 4 V d 4+ ( Ω c 1 ) d ( ) V Ω d V=. (81) c 1 j z 9

Obecné řešení obyčejné diferenciání rovnice(8) je T(t)=AcosΩt+BsinΩt. Rovnice(81) je diferenciání rovnice čtvrtého řádu s konstantními koeficienty a bez čenů s derivacemi ichých řádů. Charakteristická rovnice k ní je ( ) ( ) Ω Ω λ 4 + λ =. c 1 c 1 j z Jednáseokvadratickourovnicipro λ.jejíkořenydostanemepomaéúpravěvetvaru (λ ) 1, = Ω ) ( Ω ± + 4 Ω. c 1 c 1 c 1 Jeihnedpatrno,žeomenázávorkamáproznaménkopuskadnouhodnotuapro znaménko mínus zápornou hodnotu. Proto charakteristické hodnoty λ jsou j z λ 1, = ±β 1 ; λ 3,4 = ±iβ, kdei= 1jeimaginárníjednotkaa ) β 1 = Ω ( Ω + 4 Ω ) ; β = Ω ( Ω + 4 c 1 c 1 c 1 c 1 c 1 j z j z + Ω. (8) c 1 Zmatematikyjeznámo,žefundamentánísystémřešenírovnice(81)tvarue β 1,e β 1, e iβ,e iβ zepřevéstnaekvivaentnífundamentánísystémcoshβ 1,sinh β 1,cos β, sin β.obecnýmřešením(81)jeproto V()=C 1 cos β +C sin β +C 3 cosh β 1 +C 4 sinhβ 1 (83) a řešením homogenní rovnice(78) potom v(,t)=v()(acosωt+bsinωt). Integračníkonstanty C 1 až C 4 určímezokrajovýchpodmínekaaabzpočátečních podmínek.vastnífrekvenceωaveičiny β 1 (β )spousouvisejívztahy(8). Důežité okrajové podmínky pro řez nosníku jsou: 1. Podmínka vetknutí, kdy nemůže dojít k příčnému pohybu ani k nenuovénu skonu tečny k průhybovce(obr.1). Vzhedem k patnosti okrajové podmínky vibovonémčaseodtudpyne V= dv d =.. Podmínka podepření(obr.1), kdy sice nemůže dojít k příčnému pohybu, eč nenuovému skonu tečny k průhybovce toto uožení nosníku nebrání. Z tohoto důvodu se tímto řezem nepřenese ohybový moment, jenž je úměrný křivosti průhybovky. Protože podmínka musí patit v ibovoném čase, dostáváme odtud V = = d V d =. 3.Podmínkavonéhokonce(obr.1),kdymůžedojítkpříčnémupohybuiknenuovému skonu tečny k průhybovce. Z toho důvodu tento konec nepřenese ani ohybový moment ani posouvající síu. Posouvající sía je pode Schwederovy věty 3

úměrná třetí derivaci průhybovky. Protože podmínka musí patit v ibovoném čase,dostávámeodtud d V = d3 V =. d d 3 y = y 111 111 111 111 = y = Obrázek 1: Dvojice okrajových podmínek může tvořit nejrůznější kombinace, ze kterých vypývá konkrétnítvarkonstant C 1 až C 4,apotažmovastnífrekvenceavastnífunkceúohy. Ukážeme postup na oboustranně podepřeném nosníku. Vzhedem k předchozímu rozboru mají čtyři odpovídající okrajové podmínky tvar Derivací(83) získáme V()=; d V d ()=; V()=; d V d ()=. d V d ()= β (C 1 cos β +C sin β )+β 1(C 3 cosh β 1 +C 4 sinh β 1 ). (84) Dosaďmedo(83)a(84)poohuřezu =azohedněmeprvnídvěokrajovépodmínky. Dostaneme V()==C 1 + C 3, d V d ()== β C 1 + β 1C 3. Jedná se o homogenní soustavu ineárních agebraických rovnic, jež má netriviání řešení právě když determinant soustavy je nuový. Pro ten ae patí 1 1 β β 1 = β 1+ β. 31

Vzhedem k(8), protože vastní frekvence jsou nenuové, odtud pyne nenuovost determinantu soustavy a tím i triviaita řešení soustavy homogenních rovnic. Je tedy C 1 = C 3 =a(83)přejdedotvaru V()=C sin β +C 4 sinh β 1 d V d ()= C β sin β +C 4 β 1sinh β 1. (85) Dosaďme do těchto rovnic = a zohedněme posední dvě okrajové podmínky. Dostaneme V()==C sin β +C 4 sinh β 1, d V d ()== β C sin β +β 1C 4 sinh β 1. Jedná se opět o homogenní soustavu ineárních agebraických rovnic, jež má netriviání řešení právě když determinant soustavy je nuový. Pro ten ae patí sin β sinh β 1 βsin β β1sinh β 1 =(β 1+ β)sin β sinh β 1. Tentodeterminantmusíbýtnuový(jinakbybyoiC = C 4 =anosníkbynekmita). Protožepode(8)je β 1+ β asinhβ 1,musípatitsinβ =,tedy β k = = kπ(,,...).soustavaineárníchrovnicprokonstanty C a C 4 másinguární matici soustavy. Pnou informaci o řešení dává už napříkad první rovnice, která pro sin β =nabývátvaru C 4 sinh β 1 =,odkudpyne C 4 =.Vastnífunkce(pro jednotkovoukonstantu C )jsouprototvaru kde β k =kπ,takže V k ()=sinβ k, V k ()=sin kπ,,,.... (86) Po dosazení z(8) dostaneme β = k π = Ω k c 1 ( Ωk c 1 ) + 4 j z + Ω k c 1. Prourčenívastníchfrekvencíztétorovnostioznačmeprojednoduchostkonstantu A k = = k π.umocněnímrovnicepro β obdržímepodíčíúpravě A k Ω k c 1 Daším umocněním pak dostáváme A k A kω k c 1 = Ω k Ω k + 4. c 1 c 1 jz + Ω4 k 4c 4 1 = Ω4 k + Ω k 4c 4 1 c 1jz odkud po daší díčí úpravě pro vastní frekvence získáme vztah 3,

Ω k = c 1A k Ak + 1 j z = c k 1j z A π k = c 1 j z. (87) 1+j z A k 1+jz k π Vastní funkce(86) jsou stejného tvaru jako(35), takže pro ně patí ortogonaizační vztah V j ()V k ()d= δ jk. Odvodíme ještě vztahy pro vastní hodnoty dvakrát podepřeného nosníku pro případ zanedbání rotační setrvačnosti. Homogenní pohybová rovnice má potom tvar v t +(c 1j z ) 4 v 4=. Uvážením řešení ve tvaru v(, t) = T(t)V() dostaneme dosazením do předchozí rovnice po proděení součinem T V d T dt d 4 V T +(c 1j z ) d 4 V =. Protože evá strana této rovnosti je pouze funkcí času a pravá pouze funkcí poohy, rovnost nemůže být spněna jinak, než že obě funkce jsou(stejnou) konstantou. Beremeijiopětjako Ω,dostanemeprofunkci Tobyčejnoudiferenciánírovnici aprofunkci V rovnici Rovnice(88) má obecné řešení d T dt +Ω T= (88) d 4 ( ) V Ω d 4+ V=. (89) c 1 j z T(t)=AcosΩt+BsinΩt. Rovnice(89)mácharakteristickourovnici λ 4 + β 4 =,kde β= Ω c 1 j z.jejíkořenyjsou λ 1 = ±βa λ 3,4 = ±iβ.jejíobecnéřešeníprotozepsátivetvaru Protože V()=C 1 cos β+c sin β+c 3 cosh β+c 4 sinh β. (9) d V d = β ( C 1 cos β C sin β+c 3 cosh β+c 4 sinh β), dostáváme dosazením = a apikací okrajových podmínek na evém kraji V()==C 1 + C 3, d V d ()==β ( C 1 + C 3 ). Protožedeterminantsoustavymánenuovouhodnotuβ,mázmíněnásoustavatriviání řešení C 1 = C 3 =.Funkce V()ajejídruháderivacemajítedyopěttvar(85). Dosazením = a apikací okrajových podmínek na pravém kraji máme 33

V()==C sin β+c 4 sinh β, d V d ()==β ( C sin β+c 4 sinh β). Determinanttétosoustavymáhodnotuβ sin βsinhβ.tatohodnotamusíbýtnuová (triviání řešení soustavy už neze akceptovat). Odtud pyne frekvenční rovnice sin β= β k =kπ;,,.... Protože β= Ω c 1 j z,pyneodtudprovastnífrekvencevztah Ω k = c 1 j z βk= k π c 1 j z. (91) Zokrajovépodmínkypro =provýšeurčená βpakmáme C 4 sinh β=,odkud pyne C 4 =.Vastnífunkcemajítedyformáněstejnýtvar(86)jakovobecnějším případě. Srovnáním vastních frekvencí(87) s vastními frekvencemi(91) při zanedbané rotační setrvačnosti, získáme podmínku, při jejímž spnění ze rotační setrvačnost zanedbat.jetopodmínkazanedbanéhodnoty jz k π vůčijedničce.protožepopsanáhodnota závisí na kvadrátu pořadí vastní frekvence, ze rotační setrvačnost bez veké chyby zanedbat pouze pro vastní frekvence nízkých pořadí. Napříkad pro nosník kruhového průřezu pooměru r(oboustranně podepřený) je takže j z = Jz P = πr 4 4 πr =r, j z k π = π r 4 k. Propředstavukdyž =1[m]ar=.5[m]je jz k π =6.54 1 3 k,takžeprovastní frekvencipořadí je jz k π =.654,cožužnezebezvekéchybyoprotijedničce zanedbat. Příkad: Určete vastní frekvence a vastní funkce(homogenního) nosníku déky, v řezupro =vetknutéhoavřezupro =vonéhopřizanedbánírotačnísetrvačnosti. Řešení: Okrajové podmínky při našem zadání zřejmě jsou V()= dv d ()=; d V V d ()=d3 d 3()=. Při zanedbání rotační setrvačnosti je pode(9) V()=C 1 cos β+c sin β+c 3 cosh β+c 4 sinh β, dv d ()=β( C 1sin β+c cos β+c 3 sinh β+c 4 cosh β.) Dosazením = a zohedněním podmínek na evém kraji dostaneme V()==C 1 + C 3, dv d ()==β(c + C 4 ). 34

Protože β= Ω c 1 j z,pyneodtud C 3 = C 1 a C 4 = C.Funkce V()mátedytvar odkud V()=C 1 (cosβ cosh β)+c (sin β sinh β), d V d ()=β [ C1(cosβ+coshβ) C (sin β+sinhβ)], d 3 V d 3()=β3 [C 1 (sin β sinh β) C (cos β+coshβ)]. Dosazením = a zohedněním podmínek na pravém kraji dostaneme d V d ()==β [ C 1 (cosβ+coshβ) C (sin β+sinhβ)], d 3 V d 3()==β3 [C 1 (sin β sinh β) C (cosβ+coshβ)]. Vzhedemktomu,že β,dostávámeprokonstanty C 1 a C soustavuhomogenních ineárních agebraických rovnic tvaru (cos β+cosh β)c 1 +(sinβ+sinhβ)c =, (sin β sinh β)c 1 (cosβ+coshβ)c =. Triviání řešení této soustavy neze akceptovat, takže determinant soustavy musí být nuový. Patí tedy(po přenásobení-1) =(cosβ+coshβ) +(sin β+sinhβ)(sin β sinh β). Roznásobenímaužitímznámýchvztahůcos y+sin y=1acosh y sinh y=1, patnýchproibovoné y,dostaneme+cosβcosh β=.frekvenčnírovnicepro uvažované okrajové podmínky má tedy tvar cosh β= 1 cos β. Protožecoshyjena, )monotónněrostoucíafunkce 1 cos y máperioduπ,mápředchozítrancsendentnírovnicenekonečnémnožstvířešení β k, k = 1,,...Souvisost mezi β k aω k vpřípadězanedbánírotačnísetrvačnostije β k = Ω k c 1 j z,takže Ω k = c 1 j z β k= c 1j z (β k),,,.... (9) Maticesoustavyprourčeníkonstant C 1 a C jesinguární,takžepnouinformacio konstantáchdávánapř.prvnírovnicesoustavy.dosazenímdonínapř. C 1 =1vyjádříme C = cosβ+coshβ sinβ+sinhβ. Vastnímifunkcemiúohy(přísušejícímikekonstantě C 1 =1)jsoutedy V k ()=cosβ k cosh β k cos β k+coshβ k sin β k +sinhβ k (sin β k sinh β k ), (93) kde β k jsouřešenívýšepopsanétranscendentnírovnice. 35