NAMÁHÁNÍ TEPENNÉ STĚNY: LIDSKÁ BŘIŠNÍ AORTA

NAMÁHÁNÍ TEPENNÉ STĚNY: LIDSKÁ BŘIŠNÍ AORTA Kus: Biomechanika II Obo: Biomechanika a lékařské přístoje Pogam: Magisteský Fakulta stojní ČVUT v Paze Lukáš Honý lukas.hony@fs.cvut.cz

CÍLE Analytickými metodami získat kvantitativní odhad napjatosti tepenné stěny Tenkostěnná vs. silnostěnná apoximace Elastostatika (nelineání mateiál) Konečné defomace Zbytková napětí Jako příklad poslouží lidská břišní aota

MOTIVACE Numeické metody budou v klinicky podstatných úlohách, optimalizace implantace stentu (z hlediska přetížení) napojení bypassu (opět přetížení) napětí na ozhaní kalcifikovaný plát-stěna inteakce tepenné stěny s kví (zejména v místech plátů) disekce stěny a uptua aneuysmatu atd., vždy hát pim. Analytické metody neslouží (jak by se v akousko-uheské tadici výkladu matematiky a fyziky bohužel mohlo někdy zdát) k memoování výazů, ale k pochopení kvalitativních vlastností řešení, na nichž je testována hodnověnost výsledků numeických metod.

AD REM Břišní aota kde to je, co to je? Repo: http://www.doeepot.com/ enlageexhibit.php?id=15311 Repo: http://my.clevelandclinic.og/heat/heat-blood-vessels/aota.aspx

AD REM Břišní aota kde to je, co to je? 1 Right lung 2 Right hepatic vein 3 Live 4 Left hepatic vein 5 Stomach 6 Left colic flexue (splenic flexue of the colon) 7 Spleen 8 Left lung 9 Aota Repo: http://www.info-adiologie.ch/en/abdominal_ct.php#

AD REM Je to elastická tepna Repo: http://php.med.unsw.edu.au/embyology/ images/a/ae/atey_histology_16.jpg Repo: http://php.med.unsw.edu.au/embyology/ index.php?title=file:blood_vessel_wall_catoon.jpg Repo: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/ coepages/vascula/vascula.htm

MECHANICKÉ INTERAKCE Pasivní inteakce Přenos tepla a působenívnějšího postředí

MECHANICKÉ INTERAKCE Pasivní inteakce - extení Přenos tepla a působenívnějšího postředí IN SITU EXCIZE EX SITU

MECHANICKÉ INTERAKCE Pasivní inteakce - intení Po ozříznutí pstýnku se tepna dík uvolnění zbytkových napětí ozevře

MECHANICKÉ INTERAKCE Aktivní inteakce Tahová zkouška Inflační test (nafukování tubice) Maximální kontakce po podání noepinefinu céva ztuhne Bazální tonus Maximální dilatace po podání papaveinu Repo: P. Fidez, A. Makino, D. Kakoi, H. Miyazaki, J.-J. Meiste, K. Hayashi and N. Stegiopulos 2002 Adaptation of Conduit Atey Vascula Smooth Muscle Tone to Induced Hypetension Annals of Biomedical Engineeing 30:7, 905 916. http://www.spingelink.com/content/v257812562p17374/

VÝPOČTOVÝ MODEL Předpoklady po fomulaci úlohy Konstitutivní ovnice Předpoklady o geometii Předpoklady o zatížení a vazbách Předpoklady o defomaci (konkétní kinematika) Repo: http://my.clevelandclinic.og/heat/heat-blood-vessels/aota.aspx

VÝPOČTOVÝ MODEL Konstitutivní ovnice Použijeme model Guccione McCulloch Waldman, kteý popisuje cylindicky ototopní hypeelastický mateiál. W ( ZZ RR ) 2 2 2 c 2 ΘΘ 3 = + + 2 c E c E E 1 e 1 J. Guccione, A. McCulloch, L. Waldman (1991) Passive mateial popeties of intact venticula myocadium detemined fom a cylindical model. J Biomech Eng 113:42 55 http://dx.doi.og/10.1115/1.2894084 Konkétní vyčíslení mateiálových paametů po lidskou břišní aotu převezmeme od kolektivu M.R. Labosseho, kteý publikoval výsledky 16 inflačně-extenzních testů... http://www.sciencediect.com/science/aticle/pii/s175161611200210x?v=s5 Michel R. Labosse, Eleano R. Geson, John P. Veinot and Casten J. Belle (2012) Mechanical chaacteization of human aotas fom pessuization testing and a paadigm shift fo cicumfeential esidual stess by Jounal of the Mechanical Behavio of Biomedical Mateials, in pess. http://dx.doi.og/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004

VÝPOČTOVÝ MODEL Cylindická ototopie...tři na sebe navzájem kolmé osy mateiálové symetie, kteé jsou totožné s osami válcového souřadnicového systému Pasivní odezva mateiálu bez aktivace hladkých svalových buněk Isochoický děj (nestlačitelnost = během defomace mateiál nemění objem)

VÝPOČTOVÝ MODEL ( F) σ = F F pi Fomální konstitutivní ovnice F je defomační gadient W je hustota defomační enegie I je jednotkový tenzo 2. řádu p je hydostatická složka napětí vzniklá eakcí na omezení stlačitelnosti W ( ZZ RR ) 2 2 2 c 2 ΘΘ 3 = + + 2 c E c E E 1 e 1 zde je použit tenzo E (Geen- Lagangeův tenzo defomace), kteý převedeme na F: E 1 2 ( F T F I) =

VÝPOČTOVÝ MODEL Geometie budeme předpokládat, že břišní aota je válcová tubice konstantního poloměu R a tloušťky H (po vyjmutí z těla). Tyto údaje převezme opět z liteatuy: Michel R. Labosse, Eleano R. Geson, John P. Veinot and Casten J. Belle (2012) Mechanical chaacteization of human aotas fom pessuization testing and a paadigm shift fo cicumfeential esidual stess by Jounal of the Mechanical Behavio of Biomedical Mateials, in pess. http://dx.doi.og/10.1016/j.jmbbm.2012.08.004

VÝPOČTOVÝ MODEL Defomace budeme předpokládat, že během tlakování tubice: zůstávají všechny řezy ovinné (esp. válcové) řezy se mohou vzdalovat/přibližovat řezy se vůči sobě nenatáčejí Pozo: Jde o pouhou skicu, obázek nedodžuje konstantní objem defomovaného elementu...

VÝPOČTOVÝ MODEL Defomace modelově vylučujeme existenci zkosů... γ Θ Z 0 γr Θ 0 γrz 0 kut, neboli odklopení od podélné osy (eálně může nastat když (1) je helikální poudění kve, (2) nesymetie vazeb...) sklopení ve směu obvodu (přechází-li při nafukování válec ve válec, nemůže nastat) sklopení do směu podélné osy (eálně musí nastávat jako eakce na tření kve)

VÝPOČTOVÝ MODEL Defomace budeme si tedy přestavovat, že aota (válcová tubice) se jen nafukuje a potahuje z tvau válce do tvau válce (, θ, ) Q z (, Θ, ) Q R Z R Z z Mateiálový bod Q v efeenčních a půběžných válcových souřadnicích ( ) θ ( ) Q Q = R = Θ z = z Z

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Vše (síly, defomace,...) se odehává jen na úovni střední plochy F ed P h P 2 σ θθ σ zz P σ zz l F ed h = λ H = λ R z = λ Z F R x = X F = h 0 0 0 0 H λ R F = 0 λθ Θ 0 0 0 = R 0 0 λ l 0 0 L h 0 0 H 0 0 R z 0 0 Z Repo: http://nptel.iitm.ac.in/couses/webcouse-contents/iit-roorkee/stength%20of%20mateials/lects%20&%20picts/image/lect15/lectue15.htm

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Nestlačitelnost (isochoický děj) J λ 0 0 R dv = = det F = 1 det 0 λ 0 λ λ λ 1 R dv = = 0 0 λ λ R = 1 λ λ θ Θ

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Intenzita vnitřních sil (napětí) odpovídá půměné hodnotě po tloušťce objektu, kteá je ozpostřena unifomě (membána) P h P 2 σ θθ σ zz l F ed σ σ σ θθ zz P = 2 P = h Fed P = + 2πh 2h F ed σ zz P Repo: http://nptel.iitm.ac.in/couses/webcouse-contents/iit-roorkee/stength%20of%20mateials/lects%20&%20picts/image/lect15/lectue15.htm

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Konstitutivní ovnice W c ( ZZ RR ) 2 2 2 c2eθθ c3 E E e + + 1 1 2 E = F T F I E = ( λ 1 ij ij ) 2 2 1 = 1 2 ( ) ( ) T F σ = F F p I σ σ σ θθ zz = λ R p R = λ p = λ p

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Finální soustava elastostatických ovnic F F F θ z : : : λ λ λ R R P p = 2 P p = h Fed P p = + 2πh 2h

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Tuto soustavu vyřešíme ve třech kocích: (1) Učíme neučitou eakci na nestlačitelnost p p P = λ 2 R R...a potom ve všech ovnicích substituujeme λr = 1/(λ λ)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE (2) Vypočteme sílu Fed nutnou k dosažení zvoleného počátečního předepnutí λ ini (ta bude dále konstantní, což odpovídá expeimentu, kdy nafukujeme svislou tubku s konstantním axiálním přívažkem) (2a) Po zvolené λ ini učíme λ ini za podmínky P = 0 z ovnice: λ λ p = (2b) Po zvolené λ ini a vypočtené λ za podmínky P = 0 učíme Fed z ovnice: P h Fed P p = + 2πh 2h

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE (3) Simulujeme odezvu mateiálu na zvolený vnitřní tlak P a předepínací sílu Fed. Čili řešíme soustavu ovnic níže tak, že dosazujeme za P (např. od 0 do 16 kpa) a vypočítáváme λ a λ (s tím, že na počátku po P = 0 se výsledky samozřejmě kyjí s předem vypočtenými λ ini a λ ini ). λ p = P h λ Fed P p = + 2πh 2h

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Po další výklad si stáhněte soubo atey-thinwalled-tube.mw z www.biomechanika.cz

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Ukázka výsledků simulace inflačně-extenzního testu lidských infaenálních aot z Labosse et al. (2012)

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE

TENKOSTĚNNÁ SIMULACE Nedostatky modelu ( )? ( 0, ) σ x = x h ij σ ( ) P = 2

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Silnostěnná nádoba integace po tloušťce stěny... ( ) ( ) ( ) dσ σ σ θθ d + = o 2 π π σ ed i zz ( ) F + P 2 d = 0 σ i ( ) i = P ( ) 0 σ = o 0

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE ( ) σ = P i dσ σ σ + θθ = 0 σ ( ) = 0 d o d σ σ = σ θθ d dσ σ σ θθ = d σ σ θθ dσ = d σ ( o ) o σ σ ( ) ( ) 0 ( ) θθ dσ = σ σ = σ = d o σ ( ) Integál jako funkce dolní meze σ o ( ) = σ θθ σ d

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Dále uvažme jednotkovou kychli, k níž přiložíme napětí σ, σ θθ a σzz, kteá ji zdefomují na kvád o hanách λr, λ a λ. Příůstek defomační enegie dw při další difeenciální defomaci o dλkk (tj. např. λr přejde na λr +dλr je: dw = λ λ σ dλ + λ λ σ dλ + λ λ σ dλ R θθ R R zz Po nestlačitelný mateiál difeencováním: λ λ λ = 1 dλ λ λ + λ dλ λ + λ λ dλ = 0 R R R R σ zz...dosazením: = ( ) + ( ) dw λ λ σ σ dλ λ λ σ σ dλ R θθ R zz λ σ σ θθ když předpokládáme, že nestlačitelnost eliminuje jednu poměnnou...: λθ Θ λ dw = d + dλ Na závě poovnáme σ σ = λ σ σ = λ θθ zz výazy po dw: λ λ E Z e z E R e E Θ e θ λ R

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE To, co jsme udělali, je eliminace paametu p z konstitutivních ovnic... σ σ σ θθ zz = λ R p R = λ p = λ p σ σ = λ θθ σ σ = λ zz

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Což dosadíme... σ σ = λ θθ σ ( ) o = σ θθ σ d σ ( ) = o λ d Čili vyjádřili jsme adiální napětí na základě kinematiky a konstitutivní ovnice

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE o o 2 2 F = π P + 2π σ d = π P + 2π σ λ d ed i zz i + i i σ σ = λ σ = σ + λ zz zz o o o 2 2 π π σ 2 2π λ π π σ ed i i o + 2π λ i i i i ( 2 ) d F = P + d + d = P + d + d d

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE ( 2 ) d F P d d o o 2 = π + π σ + 2π λ ed i d i i ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 o i i i o o π P = π σ π σ = π σ ( 2 ) d F = + d + d = o o 2 ( ) o π σ 2 ed π σ π λ i d i σ 2 σ σ θθ 2 2 2 d o o o o d W = π d + π λ d = π d + π λ d i i i i i i Integace pe pates dσ σ σ + θθ = 0 d

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE o o σ σ θθ 2 F = π d + 2π λ d ed i i σ σ = λ θθ o o F = π λ d + 2π λ d ed i i F ed o = π 2λ λ θ i Θ d

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Finální model σ ( ) i = P ( ) 0 σ = o σ ( ) = σ = λ + σ θθ σ = λ + σ o λ d zz W = W θ ( λ λ ), Θ o F = π 2 d z ed λ λ λ λ λ λ i ( )

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Jak zahnout zbytková napětí Rozevíání pstýnku můžeme modelovat jako otevíání uzavřeného kuhového putu... Úhel ozevření α

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE M o 2α ρ ρ i M o Rozstřiženou konfiguaci budeme modelovat jako mezikuhovou výseč R R i R o ρ o α

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Rozstřiženou konfiguaci budeme považovat za beznapěťovou, a tak za efeenční Uvažujeme-li tepnu, jako tubici, pak budeme zavíání modelovat jako přechod válcové výseče 2π 2α do válce za podmínky zachování objemu

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Kinematika 3 konfiguace F 1 ( ρ) R 0 0 ρ πr = 0 0 ( π α ) ρ 0 0 δ F 2 ( ) R 0 0 R = 0 0 R 0 0 λ o i ( ρ ψ ξ ) ( R Θ Z) R = R( ρ ) πψ Θ = π α Z = δξ Otevřená = efeenční Uzavřená = zbytková napětí Uzavřená = zbytková napětí Natlakovaná-napnutá L δ = Ξ ξ 0, Ξ Z 0, L z 0, l l λ = L ( R Θ Z) ( θ z) ( ) = R θ = Θ z = λz

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Kinematika ( ) R( ρ ) R 0 0 0 0 0 0 R ρ ρ λ 0 0 ρ πr π F = F F = 0 0 0 0 0 0 0 λ 0 2 1 θψ R = = ( π α ) ρ ( π α ) ρ 0 0 λ 0 0 λ zξ 0 0 δ 0 0 λδ

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Kinematika Po integaci je třeba vyjádřit všechny funkce jakožto závislé na zdefomovaném (finálním) poloměu, což povedeme z podmínky zachování objemu... λ 2 2 2 2 2 l 2 2 ( ) = π o ( o ) = o ( o ) πl L R R R R L 2 2 2 2 2 L 2 2 ( ρ ρ o ) Ξ = πl( R R o ) ρ = ρ o ( R R o ) 2π 2α π 2 π α Ξ 2 2 2 2 2 2 2 ( ρ ρ ) Ξ = πl o ( o ) ρ = ρ λ o z ( ξ o ) 2π 2α π 2 π α δ λ zξ l = = Ξ δλ

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Po další výklad si stáhněte soubo atey-thickwalled-tube.mw z www.biomechanika.cz

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Zbytková defomace (paametizovaná úhlem ozevření α) má jen malý vliv na tva křivky P o a Fed. ( α λz ) ( α λ ) F = 0, = 1. 15, P = 16kPa = 1. 95N ed F = 80, = 1. 15, P = 16kPa = 1. 99N ed z

SILNOSTĚNNÁ SIMULACE Zbytková defomace homogenizuje půběh napětí