PRUŽNOST A PEVNOST II PŘÍKLADY. Jan Řezníček

Transkript

1 PRUŽNOST PEVNOST II PŘÍLDY Jan Řezníček Paha 8

2 otto: Já se chodím na přednášky bavit a byl bych moc ád, kdybyste se Vy bavili spolu se mnou a s pány Hookem, Newtonem, Euleem a dalšími Tet nepošel jazykovou ani edakční úpavou Jan Řezníček, akulta stojní ČVUT v Paze 8

3 ÚSTV ECHNIY, BIOECHNIY ECHTRONIY ODBOR PRUŽNOSTI PEVNOSTI PRUŽNOST PEVNOST II PŘÍLDY DOPLNĚNÍ PŘEDNÁŠE V BLÁŘSÉ STUDIJNÍ PROGRU TEORETICÝ ZÁLD STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ V ZINÍ SEESTRU DEICÉHO ROU 8/9 přednáší Jan Řezníček Paha 5 října 8

4 Vážené kolegyně a vážení kolegové, dostalo se mi té cti, že mohu vést na akultě stojní Českého vysokého učení technického v Paze přednášky a semináře z předmětu Pužnost a pevnost II po studenty bakalářského studijního pogamu Teoetický základ stojního inženýství, ale také i po zájemce z oboového bakalářského studijního pogamu Stojíenství Při přípavě podkladů po tento předmět jsem vycházel ze zkušeností, kteé mám od akademického oku 7/8 s novou fomou výuky předmětu Pužnost a pevnost I ve duhém očníku bakalářských studijních pogamů na S ČVUT v Paze Původní (loňská) veze přednáškových podkladů z PP II obsahovala řadu příkladů, ze kteých jsem na přednáškách řešil jen někteé, a na závě většiny kapitol byly přidány další příklady, kteé se v posledních letech objevily ve zkouškových písemkách z PP II Původní (loňský) tet byl zbytečně dlouhý, řadu příkladů jsem přeskakoval a naopak Vaši předchůdci chtěli k příkladům z písemek alespoň výsledky po kontolu Po letošní ok jsem pozměnil stategii tvoby podkladů po přednášky Ty nově obsahují pouze teoii a jen ty příklady, kteé z důvodu názonosti budu na přednáškách opavdu kompletně řešit Všechny ostatní příklady jsem přesunul do tohoto nového samostatného tetu a během pázdnin jsem také všechny příklady vypočítal a doplnil k nim kompletní postup řešení Předkládám Vám, mým studentkám a studentům, cosi jako sbíku řešených příkladů, kteá by Vám mohla usnadnit páci při přípavě ke zkoušce hlavně její písemné části Netvdím, že se u zkoušky nemohou objevit i jiné příklady, ale tento tet tematicky pokývá celou látku a při pochopení těchto příkladů Vás již u zkoušky nemůže nic překvapit Současně ušetříme i čas na přednáškách a já budu moci vysvětlovat teoii ve větším klidu Přicházím s tímto tetem v době, kdy všichni budete na závě semestu konat celkovou semestální zkoušku, a doufám, že tyto příklady Vám pomůžou k pochopení pužnosti jako celku a k bezpoblémovému zvládnutí celé semestální zkoušky Na závě bych Vám všem chtěl popřát hodně úspěchů během celého studia Pokud budete v půběhu následujících let na fakultě cokoliv potřebovat, tak jsem Vám k dispozici, potože jednou jste OJI STUDENTI, a to je po mě závazek i do budoucna, kdy Vás již nebudu učit : 5 : : janeznicek@fscvutcz : eznicekjan : wwwfacebookcom/puznost V Paze v pondělí dne 5 října 8

5 OBSH Pužnost a pevnost II ZS 8/9 TENÉ ŘIVÉ PRUTY RÁY 5 NÁHÁNÍ PŘI PROĚNLIVÉ ZTÍŽENÍ 9 ROTČNĚ SYETRICÉ ÚLOHY STBILIT PŘÍÝCH PRUTŮ VZPĚR 77 5 TETICÁ TEORIE PRUŽNOSTI 9 6 RUT NERUHOVÝCH PROILŮ 7 TECHNICÁ PLSTICIT 9 8 ZÁLDY LOOVÉ ECHNIY 65 SEZN DOPORUČENÉ LITERTURY 7

6 SEZN NEJČSTĚJI POUŽÍVNÝCH VELIČIN velká/malá písmena řecká abeceda [mm ] plocha půřezu α [-] úhel B ; C ; konstanta α [] součinitel tvau D [mm] ozmě půmě β [-] úhel E [Nmm ] modul pužnosti v tahu β [] součinitel vubu [N] síla obecná γ [Nmm ] měná tíha G [Nmm ] modul pužnosti ve smyku δ [mmn ] poddajnost G [N] síla gavitační ε [] defomace H [mm] ozmě výška ε [] součinitel velikosti Ii [Nmm ] i invaianta tenzou i,, η [] součinitel jakosti povchu JP [mm ] polání kvadatický moment η [%] účinnost J, y, z [mm ] osový kvadatický moment η [mm] obecná souřadnice J [mm ] kvadatický moment ϕ [-] úhel L [mm] ozmě délka λ [Nmm ] hustota defomační enegie [Nmm] obecný moment λ [] štíhlost putu O [Nmm] ohybový moment µ [kgmm ] hmotnost jednotky délky [Nmm] kouticí moment ν [Nmm ] napětí obecné N [N] síla nomálová ν [-] Poissonovo číslo O [N] síla odstředivá/osová π [-] Ludolfovo číslo (,59 ) Q [N] síla od spojitého zatížení ρ [kgmm ] hustota R [mm] ozmě polomě ρ [mm] obecný polomě R [N] síla eakční [Nmm ] napětí nomálové T [N] síla tečná τ [Nmm ] napětí smykové U [Nmm] defomační enegie ω [s ] úhlová ychlost V [mm ] objem ξ [mm] obecná souřadnice WO [mm ] modul půřezu v ohybu ψ [-] úhel W [mm ] modul půřezu v kutu X [N] síla do směu osy Y [N] síla do směu osy y Z [N] síla do směu osy z a ; b ; c [mm] ozmě délkový d [mm] ozmě půmě e [mm] ozmě ecenticita f [] síla jednotková g [ms ] gavitační zychlení (9,8 ) h [mm] ozmě hloubka i [mm] polomě setvačnosti i ; j ; n [-] sčítací inde k [Nmm ] tuhost [mm] ozmě délka m [mm] moment od jednotkové síly m [kg] hmotnost p [Pa],[Pa] tlak/přetlak q [Nmm ] spojité zatížení puty q [Nmm ] spojitý tlak desky q [-] Součinitel vubové citlivosti [mm] ozmě polomě s ; t [mm] ozmě tloušťka u [mm] posunutí do směu v [mm] posunutí do směu y w [mm] posunutí do směu z [mm] obecná souřadnice y [mm] obecná souřadnice z [mm] obecná souřadnice

7 TENÉ ŘIVÉ PRUTY RÁY PŘÍLD (ŘIVÝ PRUT STTICY UČITÝ): Dáno: ; ; E J konst Učit: ϕb (natočení vchního bodu B křivého putu), a u (posunutí pavé posuvné podpěy ) Jedná o křivý put ve tvau části kužnice a musíme tedy použít k výpočtu ohův integál ( s) ( s) m o m B ( s) ds ( s) m ( s) ds ϕ B a u E J E J Potože úloha je staticky učitá ( ), můžeme eakce v podpěách vyvolané momentem učit přímo ze statických ovnic ke kajním bodům a C: ΣC: R y a Σ: + ( s) o R Cy Ry RCy / (Σ: RC ) Nyní připojíme do bodu B jednotkový moment a opět učíme eakce v podpěách a C: y Cy / a C Po výpočet posunutí u připojíme jednotkovou sílu do bodu a učíme eakci v podpěře B: C f C Pužnost a pevnost II ZS 8/9 C C C B ϕ ϕ B B R Cy ϕ ϕ / B R y ϕ / ϕb ϕ u pole hooooooí dddd ddddddddí o(s) m mb (s) o m f o (s) B B C π / R dϕ ( cosϕ ) ( cos π R dϕ ( cosϕ ) π / ( cosϕ ) + " " ϕ ) " " sinϕ " " sinϕ Hledané defomace (natočení ϕb a posuv u) vypočteme integací přes celou délku putu: ππ φφ BB EE JJ ( cos φφ ) ( cos φφ ) [ dddd ] + ππ + ( cos φφ ) + ππ ππ uu EE JJ ( cos φφ ) ["" sin φφ ] [ dddd ] ππ + ( cos φφ ) + ππ ( cos φφ ) + "" [ dddd ] ππ 8 EE JJ ["" sin φφ ] [ dddd ] + EE JJ 5

8 PŘÍLD (ŘIVÝ PRUT STTICY URČITÝ): Dáno: 5 Nmm ; mm ; c mm; E 5 Nmm - a 5 Nmm - Učit: o ma (místo maimálního namáhání putu), k (bezpečnost putu vůči mezi kluzu ), u, v a ϕ (defomace koncového bodu ) řivý put v ovině má stupně volnosti Volný konec (bod ) neodebíá žádný stupeň volnosti a naopak vetknutí (bod B) odebíá stupně volnosti Znamená to, že řešený tenký křivý put je staticky učitý, a poto můžeme ovnou přikočit k výpočtu namáhání a defomací pomocí ohava integálu B c B C C ϕ C ϕ ϕ Nejpve učíme půřezové chaakteistiky čtvecového půřezu putu, kteé budeme v příkladu používat: JJ cc mm, B ϕ ϕ C ϕ WW OO 6 cc 6 mm B Put ozdělíme vzhledem k působení osamělého momentu v bodě C na dvě pole Do bodu postupně připojíme vodoovnou jednotkovou sílu, svislou jednotkovou sílu a jednotkový moment: B ϕ C ϕ pole hooooooí dddd ddddddddí o(s) mm oo (uu ) mm oo (vv ) mm oo (φφ ) ππ C dddd +"" sin φφ +"" ( cos φφ) +"" C B dddd ππ ππ + +"" sin φφ +"" ( cos φφ) +"" Z tabulky je patné, že nejnamáhanějším bude celé pole C B: 6 oo mmmmmm V celém poli C B tak bude v kajních vláknech půřezu vznikat maimální ohybové napětí: oo mmmmmm oo mmmmmm WW oo 5 75 N mm Hledaná bezpečnost tohoto křivého putu vůči mezi kluzu vychází: kk 5 oo mmmmmm 75 Všechny tři hledané defomace vyjádříme pomocí ohova integálu jj (l) oo mm (jj) oo dddd:

9 ππ Pužnost a pevnost II ZS 8/9 uu EE JJ (uu oo(ss) mm ) oo dddd ddφφ + [+] [+"" sin φφ] [ dddd] EE JJ (l) ππ EE JJ ππ sin φφ dddd ππ + EE JJ 5 5,5 mm vv EE JJ (vv oo(ss) mm ) oo dddd dddd + EE JJ (l) EE JJ ππ ( cos φφ) dddd ππ ππ φφ EE JJ (φφ oo(ss) mm ) oo dddd EE JJ (l) ππ ππ [+] [+"" ( cos φφ)] [ dddd] ππ + EE JJ ππ ππ +,86 mm ππ ππ dddd + [+] [+""] [ dddd] ππ EE JJ ππ dddd ππ EE JJ ππ ππ + EE JJ ππ 5 5 ππ,78 ad,7 Poznámka: Potože všechny tři hledané defomace vyšly kladné, znamená to, že jejich směy jsou totožné se zvolenými směy jednotkových účinků (bod se posune dolů, doleva a natočí se ve směu hodinových učiček) C B v u ϕ 7

10 PŘÍLD (ŘIVÝ PRUT STTICY URČITÝ): Dáno: 5 Nmm ; a mm ; c 5 mm; E 5 Nmm - Učit: o ma (místo maimálního namáhání putu), u, v a ϕ (defomace koncového bodu ) c C a řivý put je opět staticky učitý ( ) Půřezové chaakteistiky čtvecového půřezu jsou: JJ cc η 5 mm, C ξ B a η C a ξ WW oo 6 cc ,5 mm, Put ozdělíme vzhledem k působení osamělého momentu v bodě C na dvě pole Do bodu postupně připojíme vodoovnou jednotkovou sílu, svislou jednotkovou sílu a jednotkový moment: B B η C B η ξ ξ B C pole hooooooí dddd ddddddddí o(s) mm oo (uu ) mm oo (vv ) mm oo (φφ ) aa C dddd aa C B dddd +"" ξξ sin 5 + ξξ cos5 +"" + +"" (aa ηη sin 5 ) +""" (aa + ηη cos 5 ) +"" Z tabulky je patné, že nejnamáhanějším bude celé pole C B: oo mmmmmm oo mmmmmm oo mmmmmm WW oo 5 56,5 89 N mm Všechny tři hledané defomace vyjádříme pomocí ohova integálu jj uu EE JJ vv EE JJ φφ EE JJ aa aa aa aa dddd + [+] [+"" (aa ηη sin 5 )] [dddd] aa dddd + [+] [+ (aa + ηη cos 5 )] [dddd] aa dddd + [+] [+""] [dddd] aa EE JJ (l) aa EE JJ aa EE JJ oo mm (jj) oo dddd:,8 ad,5, mm,,6 mm, Poznámka: Opět vyšly všechny tři hledané defomace kladné Jejich směy jsou totožné se zvolenými směy jednotkových účinků 8

11 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (ŘIVÝ PRUT STTICY URČITÝ): Dáno: ; ; ; EJ konst C Učit: u (vodoovný posuv koncového bodu ) Výpočtový model sestavíme ze znalostí statiky: - Vzhledem ke tvau putu bude defomace bodu jen do směu síly - Bod C nepřenáší žádný moment, a poto můžeme put v bodě C kloubově uložit - Volné kaje za body a C nejsou namáhané, a poto po další výpočet nejsou podstatné loub v bodě C odebíá pávě stupně volnosti, kteé put má, a poto bude řešený tenký křivý put staticky učitý a k výpočtu defomace použijeme ohův integál: uu oo (ss) mm oo (uu ) (ss) dddd (l) Put ozdělíme vzhledem k měnící se geometii v bodě B na dvě pole -B a B-C Do bodu připojíme vodoovnou jednotkovou sílu C ψ B ϕ pole hooooooí dddd ddddddddí o(s) mm oo (uu ) ππ B dddd ππ B C dddd sin φφ sin ψψ "" sin φφ "" sin ψψ C ψ B ϕ Všechny tři hledané defomace vyjádříme pomocí ohova integálu: ππ uu EE JJ (uu oo(ss) mm ) oo dddd EE JJ sin φφ dddd + sin ψψ dddd (l) EE JJ ( + ) ππ ππ ( + ) EE JJ [] ππ [N] [mm ] [N mm ] [mm ] [N] Poznámka: Potože defomace vyšla kladná, znamená to, že její smě je totožný se zvoleným směem jednotkového účinku (bod se posune v modelu vodoovně dopava, což ve skutečné součásti znamená dolů, což je ostatně již patné ze zadání příkladu) 9

12 PŘÍLD 5 (ŘIVÝ PRUT STTICY URČITÝ): Dáno: ; ; EJ konst Učit: ki,ii (vodoovné tuhosti obou putů) B ϕ B Vetknutí v bodě C odebíá pávě stupně volnosti, a poto budou obě řešené vaianty tenkých křivých putů staticky učitý a k výpočtu tuhostí (defomací) v obou případech použijeme ohův integál: Put vzhledem ke geometii můžeme řešit jako jedno pole -B ππ dddd dddd B ϕ "" ; oo (φφ) sin φφ ; mm oo uu (φφ) sin φφ ππ uu EE JJ sin φφ dddd ξ EE JJ ππ ππ EE JJ Put vzhledem k měnící se geometii musíme ozdělit na tři pole: -C ; C-D a D-B uu ddss ddηη ; oo (ηη ) ηη ; mm oo (ηη ) ηη, uu ddss dddd ; oo (ξξ) ; mm oo (ξξ), uu ddss ddηη ; oo (ηη ) ( ηη ) ; mm oo (ηη ) ( ηη ) uu EE JJ ηη ddηη + ddξξ + ( ηη ) ddηη EE JJ EE JJ Potože vztah mezi defomací, sílou a tuhostí je dán jako uu kk bude: kk II EE JJ ππ η D C η B EE JJ,7 a kk IIII EE JJ 8 "" EE JJ,75 Poznámka: Z výsledků je dobře patné, že put ve tvau půlkužnice je při zachování vnějších ozměů ( ) přibližně, tužší než pavoúhle lomený put

13 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 6 (ŘIVÝ PRUT STTICY NEURČITÝ, OHŘÁTÝ): T Dáno: ; T ; α ; E J konst C Učit: R; Ry a RB; RBy (eakční účinky v uložení putu), o ma (velikost a místo největšího namáhání putu) Tato úloha je obecně staticky neučitá: B UVOLNĚNÍ NHRZENÍ DOPLNĚNÍ ŘEŠENÍ staticky učitý put přidáme eakci R defomační podmínka tento křivý put je tvořen částí kuhového u u u C T C T T R oblouku, poto nebo použijeme přímo U řešení pomocí B R α T R ohova integálu B Z ovnováhy do svislého směu a při zachování symetie putu musí platit: Ry RBy ds Rsinϕ dϕ ϕ B R "" Tabulka funkcí dosazených do ohova integálu: pole hooooooí dddd ddddddddí ππ B dddd oo (ss) mm oo (uu ) (ss) + R sinϕ + " " sinϕ ohův integál vyjadřující obecné volné vodoovné posunutí bodu bude: U R u E J ( ) f ( s) m a po dosazení jednotlivých funkcí učených po tento příklad: π o o ( s) ds R R π [ R ] [ ] [ d ] d T E J sinϕ "" sinϕ ϕ E J sin ϕ ϕ α E J Odtud již vychází velikost hledané (staticky neučité) eakce: R α T E J + π π α T E a + π Znaménko + ve výsledku znamená, že zvolený smě eakce R odpovídá skutečnosti aimální namáhání vzniká v honím a dolním kajním vlákně a to v nejvzdálenějším místě od nositelky síly R, tedy ve vchním bodě (C): o ma R α T E a π a o ma α T E a o ma W π o o ma o ma C

14 PŘÍLD 7 (ŘIVÝ PRUT STTICY NEURČITÝ): Dáno: T ; α ; a ; EJ konst Učit: o ma (polohu a velikost maimálního ohybového momentu) Tato úloha je jedenkát staticky neučitá, potože kloubové T podpěy odebíají po dvou stupních volnosti, ale ovinný křivý put má jen stupně volnosti ( ) E η Vzhledem k symetii putu stačí ale řešit pouze jeho jednu polovinu a tuto polovinu a C B v ose symetie vetknout (bod C) a v kloubové podpěře uvolnit (bod ), nahadit uvolněnou vazbu staticky neučitým účinkem a doplnit defomační podmínku (ohřevem nevzniknou žádné eakce do směu y) C T η B ξ R Bod v základní staticky učité soustavě se může libovolně pohybovat ve vodoovném směu, ale původní soustava se vodoovně pohybovat nesměla Tento fakt musí zajistit defomační podmínka: uu uu TT uu RR uu RR uu TT αα aa TT Po výpočet defomace vyvolané silou R použijeme ohův integál v polích B a C pole hooooooí dddd ddddddddí oo (ss) D C B mm oo (uu ) (ss) a ξ aa B dddd +RR ξξ +"" ξξ aa B C dddd +RR aa +"" aa aa RR uu EE JJ [+RR ξξ] [+"" ξξ] [dddd] + [+RR aa] [+"" aa] [dddd] αα aa TT Z této ovnice již získáme staticky neučitou veličinu: RR EE JJ aa + aa αα aa TT RR 5 αα EE JJ TT aa Po kontolu povedeme ozměovou analýzu získaného řešení: [] [ ] [N mm ] [mm ] [] [m ] aa [N] R a Hledaný maimální ohybový moment o ma vznikne v celé honí části tenkého křivého putu (mezi body B C D): oo mmmmmm RR aa 5 αα EE JJ TT aa T

15 PŘÍLD 8 (ŘIVÝ PRUT STTICY NEURČITÝ): Dáno: ; a ; EJ konst Učit: o ma (polohu a velikost maimálního ohybového momentu) Tato úloha je jedenkát staticky neučitá, potože kloubové podpěy odebíají po dvou stupních volnosti, ale ovinný křivý put má jen stupně volnosti ( ) C η B Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Vzhledem k symetii putu stačí ale řešit pouze jeho jednu polovinu a tuto polovinu a/ a/ v ose symetie vetknout (bod C) a v kloubové podpěře uvolnit (bod ), nahadit uvolněnou vazbu staticky neučitým účinkem a doplnit defomační podmínku Reakce do směu y vycházejí přímo ze symetie: RR yy RR Eyy D E C B a / η C B ξ R Bod v základní staticky učité soustavě se může libovolně pohybovat ve vodoovném směu, ale původní soustava se vodoovně pohybovat nesměla Tento fakt musí zajistit defomační podmínka: uu Zde je defomace u vyvolána pouze silovými účinky: u f(; R) Po výpočet defomace použijeme ohův integál v polích B a C pole hooooooí dddd ddddddddí oo (ss) mm oo (uu ) (ss) aa B dddd +RR ξξ +"" ξξ ξ aa B C dddd +RR aa + ηη +"" aa aa aa uu EE JJ [+RR ξξ] [+"" ξξ] [ddξξ] + +RR aa ηη [+"" aa] [dddd] Z této ovnice již získáme staticky neučitou veličinu: EE JJ RR aa + aa aa 6 po EE JJ RR Velikosti momentů učíme vzhledem k symetii bodech B C a z nich stanovíme maimum ( oo ): oo B aa ; oo C aa aa 7 aa Hledaný maimální ohybový moment o ma v bodě C: oo mmmmmm oo C 7 aa 7 aa + aa

16 PŘÍLD 9 (ŘIVÝ PRUT STTICY NEURČITÝ): Dáno: ; a ; EJ konst Učit: o ma (polohu a velikost maimálního ohybového momentu) Tato úloha je jedenkát staticky neučitá, potože kloubové podpěy odebíají po dvou stupních volnosti, ale ovinný křivý put má jen stupně volnosti ( ) C C / ξ ξ R Vzhledem k symetii putu stačí ale řešit pouze jeho jednu polovinu a tuto polovinu v ose symetie vetknout (bod C) a v kloubové podpěře uvolnit (bod ) vznikne základní soustava, nahadit uvolněnou vazbu staticky neučitým účinkem a doplnit defomační podmínku Reakce do směu y vycházejí přímo ze symetie: RR yy RR Byy Bod v základní staticky učité soustavě se může libovolně pohybovat ve vodoovném směu, ale původní soustava se vodoovně pohybovat nesměla Tento fakt musí zajistit defomační podmínka: uu Zde je defomace u vyvolána pouze silovými účinky: u f(; R) Po výpočet defomace použijeme ohův integál jen v poli C B a C a a pole hooooooí dddd ddooooooí oo (ss) mm oo (uu ) (ss) aa C dddd +RR ξξ sin 5 ξξ cos 5 +"" ξξ sin 5 uu EE JJ aa +RR ξξ ξξ Z této ovnice již získáme staticky neučitou veličinu: EE JJ RR aa aa 6 +"" ξξ [dddd] po EE JJ RR Potože R Ry bude mít výsledná eakce R pávě smě osy putu a nezpůsobí tudíž žádný ohybový moment v kteémkoliv místě putu: RR RR cos 5 +RR yy sin 5 + oo (ξξ) RR Tato konstukce bude z hlediska namáhání velice výhodná, potože v samotném putu bude pouze tlakové namáhání o velikosti: NN,77

17 PŘÍLD (ŘIVÝ PRUT STTICY NEURČITÝ): Dáno: ; ; EJ konst Učit: o ma (polohu a velikost maimálního ohybového momentu) Tato úloha je jedenkát staticky neučitá, potože kloubové podpěy odebíají po dvou stupních volnosti, ale ovinný křivý put má jen stupně volnosti ( ) C sin ϕ ( cos ϕ) R / RR yy RR Byy Pužnost a pevnost II ZS 8/9 EJ konst Vzhledem k symetii putu stačí ale řešit pouze jeho jednu polovinu a tuto polovinu v ose symetie vetknout (bod C) a v kloubové podpěře ϕ uvolnit (bod ) vznikne základní soustava, nahadit uvolněnou vazbu staticky neučitým účinkem a doplnit defomační podmínku Reakce do směu y vycházejí přímo ze symetie: Potože je soustava neohřátá a nepředepjatá můžeme po výpočet neznámé staticky neučité veličiny R použít Castiglianovu větu (hledáme minimum defomační enegie dle neznámé R): UU cccccccc RR Všimněte si, že tato podmínka vlastně odpovídá defomační podmínce: uu Bod v základní staticky učité soustavě se může libovolně pohybovat ve vodoovném směu, ale původní soustava se vodoovně pohybovat nesměla B C pole hooooooí dddd ddddddddí oo (ss) ππ C dddd +RR sin φφ ( cos φφ) UU cccccccc EE JJ oo (ss) dddd (l) ππ Celková enegie akumulovaná v řešené polovině putu bude: ππ EE JJ +RR sin φφ ( cos φφ) [ dddd] UU cccccccc EE JJ RR sin φφ RR (sin φφ sin φφ cos φφ) + cos φφ + cos φφ dddd Potože deivace a integace jsou matematické opeace na stejné úovni, máme dvě možnosti: Nejdříve povedeme integaci od do π/: UU cccccccc EE JJ RR ππ RR + ππ 8 a následně již povedeme deivaci podle neznámé eakce R: 5

18 cccccccc RR EE JJ RR ππ + EE JJ RR + ππ Nejpve povedeme deivaci defomační enegie podle neznámé eakce R: cccccccc RR ππ EE JJ { RR sin φφ (sin φφ cos φφ sin φφ) + } dddd a následně integujeme výsledek do π/: cccccccc RR EE JJ RR ππ EE JJ RR + ππ Duhou možností výpočtu je použití ohova integálu po výpočet posuvu u: uu EE JJ (uu oo(ss) mm ) oo (ss) dddd (l) pole hooooooí dddd ddddddddí oo (ss) mm oo (uu ) (ss) ππ C dddd +RR sin φφ ( cos φφ) +"" sin φφ 6 ππ uu EE JJ +RR sin φφ ( cos φφ) [+"" sin φφ] [ dddd] Po EE JJ dostáváme opět řešení ve tvau: RR ππ Půběh ohybového momentu podél putu bude vyjádřen funkcí: RR + ππ sin φφ oo (φφ) ππ cos φφ + Etém této funkce v poli ( ; π/) najdeme pomocí deivace podle poměnného úhlu ϕ: dd oo (φφ) dddd cos φφ ππ Odtud vychází maimální moment: + sin φφ sin,8 oo (φφ eeeeeeee ) ππ sin φφ cos φφ ππ φφ eeeeeeee,8 cos,8 +,97 Dále ještě musíme stanovit hodnoty funkce o(ϕ) v kajních bodech intevalu a π/: oo () a oo (ππ ) +RR ππ,87 aimální moment na tomto křivém putu bude pod silou (bod C): oo mmmmmm mmmmmm( oo (φφ eeeeeeee ; oo (ππ ),87

19 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE): Dáno: ; ; EJ konst B C D Učit: E (změnu střední vzdálenosti E putu) Rovinný ám je obecně staticky neučitý, ale každá E osa symetie snižuje neučitost o jeden stupeň (maimálně ale o ) Náš ám má pávě dvě osy symetie, a tak bude jedenkát staticky neučitý staticky neučitým účinkem je v těchto případech vždy vnitřní ohybový moment Vzhledem k symetii stačí řešit pouze ¼ tohoto ámu jako vetknutý křivý put s volným koncem, na kteý připojíme vnitřní účinky T, N a Hodnoty T a N musíme učit s využitím symetie a staticky neučitý moment pomocí defomační podmínky Obecně eistují dvě možnosti uvolnění a řešení tohoto tenkého ámu y vzhledem k dalšímu zadání put vetkneme v bodě C, do bodu připojíme vnitřní účinky N, T a a doplníme defomační podmínku: ϕ Ze symetie nepůsobí nic do svislého směu N Ze symetie se síla ozdělí na obě části stejně T / Nyní vyjádříme defomační podmínku pomocí ohova integálu přes pole B C: π ϕ [ sin ] [""] [ ] + [ ] [""] [ ] ψ dψ d E J z + π Defomaci E u učíme také pomocí ohova integálu přes pole B C, do kteého dosadíme za staticky neučitý moment vypočtenou velikost a připojíme jednotkovou sílu: ππ E EE JJ sin ψψ ["" sin ψψ] [ dddd] + + ["" ] [dddd],9 EE JJ B ψ T / N ""? T / "" +π B C C Poznámka: Duhý způsob uvolnění: řivý put vetkneme v bodě a do bodu C připojíme vnitřní silové účinky NC, TC a C a doplníme defomační podmínku: ϕc Ze symetie k vodoovné ose vychází NC / a ze symetie ke svislé ose a ze zákona akce a eakce vychází TC Defomační podmínku vyjádříme opět pomocí ohova integálu přes pole C B : "" TC C C B NC / π ϕc [ ] [""] [ ] + [ C d E J z C + ( cosψ )] [""] [ dψ ] ( π) C ( + π) Spávnost výsledku ověříme pomocí momentové ovnice v místě ze složek v místě C: C + NC ( π) + (odpovídá předchozímu výsledku) ( + π) + π 7

20 PŘÍLD (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE): Dáno: ; a ; EJ konst EJ konst Učit: T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ), TB ; NB ; B (vnitřní účinky v bodě B) Rám má dvě osy symetie (geometicky i zatížením), takže bude pouze staticky neučitý a bude stačit vyřešit pouze jeho ¼: Ze symetie vychází: B D a ξ C NN a TT Jedinou neznámou tedy v této úloze bude moment v bodě : Defomační podmínka v bodě bude: φφ BB výpočtu natočení v bodě použijeme ohův integál, kdy put ozdělíme na dvě pole: η T / "" X? N B pole hooooooí dddd ddddddddí oo (ss) mm oo (φφ ) (ss) aa X dddd ηη +"" aa X B dddd aa +"" Dosazením do ohova integálu dostáváme: aa φφ EE JJ ηη (+"") (dddd) + aa (+"") (dddd) Odtud po EE JJ vychází: φφ EE JJ aa aa + aa aa aa aa aa 8 aa Po výpočet vnitřních účinků v bodě B již použijeme tři statické ovnice: do směu : + NN BB NN BB, B B TB NB do směu yy yy : + TT BB TT BB, momenty k BB BB : aa + BB BB aa 8 8 aa 8

21 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE): Dáno: a ; qo ; EJ konst Učit: T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ) Rám má dvě osy symetie (geometicky i zatížením), takže bude pouze staticky neučitý a bude stačit vyřešit pouze jeho ¼: Ze symetie do vodoovného a svislého směu vychází: NN a TT Jedinou neznámou tedy v této úloze bude moment v bodě : Defomační podmínka v bodě bude: φφ výpočtu natočení v bodě použijeme ohův integál, kdy put ozdělíme na dvě pole X a X B: qo B η T "" a a EJ konst ξ qo X B? N qo pole hooooooí dddd ddddddddí oo (ss) mm oo (φφ ) (ss) aa X dddd aa X B dddd qq oo ηη qq oo aa +"" +"" Dosazením do ohova integálu dostáváme: aa φφ EE JJ qq oo ηη (+"") (dddd) + qq oo aa (+"") (dddd) Odtud po EE JJ vychází: φφ EE JJ aa qq oo aa 6 + aa qq oo aa aa 6 qq oo aa qq oo aa aa Po výpočet vnitřních účinků v bodě B již použijeme tři statické ovnice: do směu : qq oo aa + NN BB NN BB qq oo aa, qo B B TB NB do směu yy yy : + TT BB TT BB, momenty k BB BB : qq oo aa + BB BB 6 qq oo aa qq oo aa 9

22 PŘÍLD (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE): Dáno: ; ; EJ konst Učit: TB ; NB ; B (vnitřní účinky v bodě B), T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ) Potože se jedná o úlohu symetickou, bude úloha pouze staticky neučitá a bude stačit řešit pouze její ¼ (uvolněno ve vyšetřovaném bodě B a vetknuto v bodě : Ze symetie vychází: TT BB a NN BB Jedinou neznámou tedy v této úloze bude B moment v bodě B: Defomační podmínka v bodě B bude: φφ BB výpočtu natočení v bodě B použijeme ohův integál, kam dosadíme: integand a integační meze: dddd ππ B D C EJ konst "" TB ϕ B? moment od vnějšího zatížení: oo (φφ) + BB + ( cos φφ), moment od jednotkového účinku: mm oo (φφ ) +"", ππ φφ BB EE JJ BB + ( cos φφ) [""] [ dddd] zz BB ππ + ππ ( ) BB ππ ππ Po výpočet vnitřních účinků v bodě již použijeme tři statické ovnice: do směu : + TT TT, do směu yy yy : + NN NN, momenty k : BB + ππ T N ππ ππ B Poznámka: Potože ve výsledku vychází B <, znamená to, že původně zvolený smě (po směu hodinových učiček) neodpovídal skutečnosti a skutečný moment B bude mít opačný smě (poti směu hodinových učiček) Ostatní veličiny vyšly kladné T; TB; N; NB a, což znamená, že jejich zvolené směy byly spávné

23 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 5 (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE): Dáno: ; ; EJ konst Učit: TB ; NB ; B (vnitřní účinky v bodě B), T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ) Potože se jedná o úlohu symetickou, bude úloha pouze staticky neučitá a bude stačit řešit pouze její ¼ (uvolněno ve vyšetřovaném bodě B a vetknuto v bodě : Ze symetie do vodoovného a svislého směu vychází: TT BB a NN BB Jedinou neznámou tedy v této úloze bude B moment v bodě B: Defomační podmínka v bodě B bude: φφ BB výpočtu natočení v bodě B použijeme ohův integál, kam dosadíme: integand a integační meze: dddd ππ EJ B D ϕ C "" B? moment od vnějšího zatížení: oo (φφ) + BB + ( cos φφ) + sin φφ, moment od jednotkového účinku: mm oo (φφ ) +"", ππ φφ BB EE JJ BB + zz ( cos φφ) + sin φφ [""] [ dddd] BB ππ + ππ ( ) ( ) BB Po výpočet vnitřních účinků v bodě již použijeme tři statické ovnice: do směu : + TT TT, do směu yy yy : + NN NN, momenty k : BB + T N Poznámka: Potože ve výsledku vychází B <, znamená to, že původně zvolený smě (po směu hodinových učiček) neodpovídal skutečnosti a skutečný moment B bude mít opačný smě (poti směu hodinových učiček) Ostatní veličiny vyšly kladné T; TB; N; NB a, což znamená, že jejich zvolené směy byly spávné

24 PŘÍLD 6 (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE BEZ PŘÍČY): Dáno: ; a ; EJ konst Učit: T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ), TC ; NC ; C (vnitřní účinky v bodě C) Úloha má dvě osy symetie bude stačit řešit pouze ¼, úloha bude staticky neučitá EJ D C B a Poznámka: Pokud při řešení části lomeného putu (ámu) musíme povést řez v místě zlomu, zavádíme tečný (t) a nomálový (n) smě po stanovení sil T a N v tomto místě podle obázku ovina řezu t n Ze svislé a vodoovné symetie musí být N / a T Povedeme uvolnění ¼ ámu, nahadíme odebanou vazbu a doplníme defomační podmínku N φφ / "" Defomační podmínku vyjádříme pomocí ohova integálu:? φφ T EE JJ (ss) EJ mm(φφ) (ss) dddd ξ (l) Za jednotlivé členy dosadíme a dostáváme ovnici: aa φφ EE JJ + ξξ cos 5 ("") (dddd), Za předpokladu EE JJ dostáváme již hledaný moment: 8 aa Po výpočet vnitřních účinků v bodě C použijeme tři statické ovnice: do směu : + TT CC TT CC, do směu yy yy : + NN CC NN CC, momenty k CC CC : + aa CC CC + 8 T aa N / a TC? aa 8 C? NC? Poznámka: Potože ve výsledku vychází <, znamená to, že původně zvolený smě (po směu hodinových učiček) neodpovídal skutečnosti a skutečný moment bude mít opačný smě (poti směu hodinových učiček) Ostatní veličiny vyšly kladné T; TC; N; NC a C, což znamená, že jejich zvolené směy byly spávné

25 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE S TUHOU PŘÍČOU ): Dáno: ; a ; EJ konst Učit: T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ) Úloha má dvě osy symetie bude stačit řešit pouze ¼, úloha by mohla být jen staticky neučitá, ale vzhledem k eistenci tuhé příčky ( B) se neučitost zvýší o stupeň a úloha bude staticky neučitá Povedeme uvolnění ¼ ámu, nahadíme odebané vazby a doplníme defomační podmínky φφ a uu Obě defomační podmínky vyjádříme pomocí ohových integálů: φφ uu Za jednotlivé členy dosadíme a dostáváme ovnice: aa (ss) mm (φφ) (ss) dddd, (EE JJ) pppppppppp (l) (EE JJ) pppppppppp (ss) mm (uu) (ss) dddd (l) φφ (EE JJ) TT ξξ sin 5 + ξξ cos 5 ("") (dddd), pppppppppp aa uu (EE JJ) TT ξξ sin 5 + ξξ cos 5 ("" ξξ sin 5 ) (dddd) pppppppppp Z nich po úpavách dostáváme jednoduchou soustavu: 8 TT aa aa, 6 TT aa aa, ze kteé již vyjádříme hledanou sílu TB a hledaný moment B: TT, "" "" T? EJ ξ D C B N /? EJ a Poznámka: S ohledem na výsledky je patné, že výslednice NB a TB má pávě smě putu, a poto nevzniká žádný moment a put je tedy namáhán pouze osovou tahovou silou O: OO NN cos 5 + TT sin 5 +

26 PŘÍLD 8 (TENÝ RÁ SE DVĚ OSI SYETRIE S PODDJNOU PŘÍČOU): Dáno: ; a ; (EJ)putu konst ; (E)příčky konst Učit: T ; N ; (vnitřní účinky v bodě ) Úloha má dvě osy symetie bude stačit řešit pouze ¼, úloha by mohla být jen staticky neučitá, ale vzhledem k eistenci příčky ( B) se neučitost zvýší o stupeň a úloha bude staticky neučitá Povedeme uvolnění ¼ ámu, nahadíme odebané vazby a doplníme defomační podmínky φφ a uu příčky Obě defomační podmínky vyjádříme pomocí ohových integálů: φφ (EE JJ) putu (ss) mm (φφ) (ss) dddd (l) uu (ss) mm (uu) (ss) dddd (EE JJ) putu příčky (l) Za jednotlivé členy dosadíme a dostáváme ovnice: aa (EJ) putu φφ (EE JJ) TT ξξ sin 5 + ξξ cos 5 ("") (dddd), putu D (E) příčky aa uu (EE JJ) TT ξξ sin 5 + ξξ cos 5 ("" ξξ sin 5 ) (dddd) TT aa putu EE příčky Z nich po úpavách dostáváme jednoduchou soustavu: 8 aa TT aa aa, 6 aa aa ze kteé již vyjádříme hledanou sílu T a hledaný moment : (EE JJ) putu (EE ) příčky TT aa aa, aa TT aa 8 (EE JJ), putu (EE ) příčky aa aa (EE JJ) putu (EE ) příčky C B T? (E/)příčky "" "" T? ξ aa N /? a (EJ) putu

27 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Poznámky: Vzhledem ke složitosti výsledných vzoců po výpočet neznámé síly T a neznámého momentu je vhodné povést ozměovou analýzu výsledků a ověřit si tak jejich spávnost: síla TT : [N] [N] [m ] [m ] [N m ][m ] [N m ][m ] [N] [] [N] v pořádku, [] moment : [N m] [N m] [] + [] [N m ][m [N m] [] [N m] v pořádku ] [m ] [N m ][m ] Příklad 6 kompletně pokývá řešení předchozích dvou příkladů a 5: Příklad ám bez příčky: Jestliže neeistuje v ámu žádná příčka -B můžeme předpokládat, že má nulovou tahovou/tlakovou tuhost, což znamená (EE ) příčky To znamená povést limitu výsledků příkladu 6: bez př aa (EE ) příčky TT lim, (EE ) příčky aa (EE ) příčky 8 (EE JJ) putu 8 (EE JJ) putu bez př lim aa (EE ) příčky 8 + (EE ) příčky 96 (EE ) příčky aa (EE JJ) putu aa 8 aa 96 (EE JJ) putu aa Příklad 5 ám s absolutně tuhou příčkou představovanou dvěma podpěami: Jestliže je v ámu podpěami zajištěna neměnná vzdálenost bodů -B, lze si zde představit absolutně tuhou příčku a její tahovou/tlakovou tuhost považovat za nekonečně velkou, což znamená (EE ) příčky Opět tedy povedeme limitu výsledků příkladu 6: TT abstuhá př lim (EE ) příčky 8 aa aa aa 8 (EE JJ) putu (EE ) aa, příčky abstuhá př lim (EE ) příčky aa aa (EE JJ) putu (EE ) aa 8 + příčky 5

28 PŘÍLD 9 (ŘIVÝ PRUT STTICY URČITÝ VĚREŠČGINOVO PRVIDLO): Dáno: ; h ; ; E J konst Učit: v (půhyb volného konce křivého putu ), ϕ (úhel natočení volného konce křivého putu ), o ma (maimální namáhání řešeného putu) V tomto případě použijeme po vyčíslení ohova C integálu Věeščaginovo pavidlo, kteé nahazuje integál dvou funkcí (v našem případě o() a mo()), z nichž je alespoň jedna maimálně lineání funkcí souřadnice, sumací ploch vzniklých z pvní funkce násobených funkční hodnotou duhé funkce v těžišti těchto ploch: T B B C i EE JJ oo() mm oo () dddd EE JJ mm ii TTii (l) ii T v nn Věeščaginovo pavidlo výpočtu ohových integálů bude mít v tomto konkétním případě tva: v f m i T E J a ϕ m i m i T E J i i h omentové plochy i tvoří dva obdélníky podél stan křivého putu Jejich těžiště jsou pak pávě upostřed délky jednotlivých stan lomeného křivého putu Nyní připojíme do místa sílu ve směu hledané defomace (pavděpodobně dolů) omentové plochy mo f () tvoří tojúhelník a obdélník se shodnou maimální hodnotou Hledaný posuv v bude: ( ) "" + [( h) ("" ) ] + E J E J h z z B i ϕ v C B Dále připojíme do místa moment ve směu hledané defomace (esp zvolíme předpokládaný smě) omentové plochy mo m () tvoří obdobně jako vnější zatížení momentem dva obdélníky se shodnou maimální hodnotou Hledaný úhel natočení ϕ bude: C ϕ { [( ) ("" )] + [( h) ("" )]} ( h) E J E a + z aimální namáhání o ma tohoto putu je po celé jeho délce stejné a je velikosti Hledané maimální ohybové napětí tedy bude v kajních vláknech půřezu po celé délce ( + h) stejné: o ma 6 o ma W a o 6

29 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (TENÝ RÁ S JEDNOU OSOU SYETRIE VĚREŠČGINOVO PRVIDLO): Dáno: c ; ; E J konst Učit: T, N, (vnitřní účinky v bodě ) V tomto případě použijeme stejně jako v příkladu 7 k výpočtu ohových integálů Věeščaginovo pavidlo: EE JJ oo() mm oo () dddd EE JJ ii mm TTii (l) nn ii B c c c C Rám má vzhledem ke svému tvau a uložení jednu osu symetie (svislou) Poto bude úloha staticky neučitá a stačí řešit jen její jednu polovinu Reakce RB a RC vyplývají ze statických ovnic a symetie celého ámu: T /? N? RR BBBB ; RR CCCC a RR cccc Neznámé v úloze budou dvě (N a ) a po jejich výpočet napíšeme dvě defomační podmínky: uu a φφ RBy / Po použití Věeščaginova pavidla zobazíme nejpve všechny momentové plochy od jednotlivých účinků (RBy /; T / ; N a ): N 6 T6 cc T T T cc Do místa () a směu (u a ϕ) připojíme jednotkové účinky (síla a moment) a opět sestojíme momentové plochy od těchto účinků: NN cc T T5 5 T7 7 "" mt mt mt 6 mm oo (uu ) mt mt mt 6 mm oo (φφ ) "" "" cc "" mt mt 5 mt 7 mt mt mt 5 mt 7 mt 7

30 Nejjednodušší postup je všechny hodnoty zapsat ve fomě tabulky: i ii (uu mm ) TTii (uu ii mm ) TTii (φφ mm ) TTii (φφ ii mm ) TTii (a) (b) (c) (d) (e) cc cc "" cc 6 cc "" cc cc "" cc cc "" cc cc "" cc cc "" cc NN cc "" cc NN cc "" cc cc cc NN cc 5 cc NN cc "" cc NN cc "" NN cc 6 cc "" cc cc "" cc 7 cc "" cc cc "" cc Z této tabulky pak sestavíme dvě potřebné ovnice: Součet sloupce (c): uu EE JJ NN cc + + cc + + cc 6 + +, Součet sloupce (e): φφ EE JJ NN cc + + cc + + cc + + Za předpokladu EE JJ vycází: Řešení pak je:,7 NN cc +,77,757 cc,,77 NN cc +,,8555 cc NN,5,5,,5 5 cc Poznámky: Z výsledku je patné, že smě síly N je opačný poti původně zvolenému (u nehaje smysl oli) S ohledem na získané výsledky je patné, že výslednice N a T má pávě smě putu, a poto nevzniká žádný moment a put je tedy namáhán pouze osovou tahovou silou O: OO NN BB cos 5 + TT BB sin 5 + 8

31 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 NÁHÁNÍ PŘI PROĚNLIVÉ ZTÍŽENÍ PŘÍLD (PULZUJÍCÍ OHYB STŘÍDVÝ SYETRICÝ RUT): Dáno: Učit: mateiál ocel 55, soustuženo d mm; D mm; ρ mm, a 5 6 Nmm, om 5 6 Nmm a oa 6 Nmm k (výslednou bezpečnost na únavu nekonečný život) kok popis namáhání Zatížení kutem je střídavé symetické ±a, a poto učíme pouze amplitudovou hodnotu smykového napětí vztaženou k půměu d: d D t ττ aa WW ππ dd 6 5,5 N mm Zatížení ohybem je pulzující om±oa, a poto učíme střední a amplitudovou hodnotu ohybového napětí vztažené k půměu d: o mmmm oooo WW OO oooo ππ dd 5,9 N mm ; aaaa oooo WW OO oooo ππ dd, N mm t kok popis mateiálu Ze Smithova diagamu po OHYB učíme po danou mez pevnosti mateiálu mez kluzu v ohybu a mez únavy v ohybu: PPPP 55 N mm 6 N mm cccc 8 N mm 9

32 Pomocí meze únavy v ohybu učíme mez únavy ve smyku a fiktivní napětí v ohybu: ττ cc,6 cccc 68 N mm cccc 8 N mm cccc ψψ N mm,5 kok popis součásti Z geometie vubu (osazení) učíme součinitel tvau ) : d D ρρ DD dd, ρρ dd, αα tt,98 αα oo,86 Z meze pevnosti mateiálu a zaoblení vubu (osazení) učíme vubovou citlivost: PPPP 55 N mm ρρ mm qq,68 Pomocí vubové citlivosti upavíme součinitele tvau a dostaneme součinitele vubu: ββ tt + qq (αα tt ) +,68 (,98 ),67, ββ oo + qq (αα oo ) +,68 (,86 ),6 ) V někteých příučkách lze po výpočet součinitele tvau α najít empiické vzoce, kteé také využívá nástoj: wwwefatiguecom Zde vychází: αo,59 a αt,9 Rozdíl poti našemu výpočtu je cca -,5% u ohybu a cca -,5% u kutu

33 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Po mez pevnosti mateiálu a zadaný způsob opacování stanovíme součinitel jakosti povchu: ηp [],,9 leštěný povch boušený povch,8,7,6 jemně soustužený povch hubovaný povch,5,, opacování s ostými zářezy 5 povch po válcování,, Pt [Nmm ] 6 povch koodovaný obyčejnou vodou 7 povch koodovaný mořskou vodou soustuženo yy μm PPPP 55 N mm ηη PP,88 ηη PPPP (ηη PP + ),9 ηη PPPP ηη PP,88 Po zadanou velikost vztažného půměu d (v diagamu značeno D) a mateiál (uhlíková ocel ) učíme součinitel velikosti: εvo, εvt [],,9,8,7 uhlíková ocel DD mm εε vvvv εε vvvv,7,6,5 5 5 D [mm]

34 Pomocí vypočtených součinitelů přepočteme mez únavy na skutečnou naší zadanou součást: ττ cc + ττ cc ββ tt ηη PPPP εε vvvv 68,67,9,7 67, N mm, cccc + cccc ββ oo ηη PPPP εε vvvv 8,86,88,7 6, N mm kok výpočet bezpečnosti Nejpve učíme bezpečnost v koucení po střídavé symetické namáhání: kk tt ττ cc + ττ aa 67, 5,5,6 Dále povedeme výpočet bezpečnosti v ohybu po pulzující namáhání pomocí statického (s) a dynamického (d) výpočtu a výsledkem je menší z hodnot: + (s) mmmm + aaaa 5,9 6 +, 6,88 kk oo(s) 8, kk oo kk mmmm kk aaaa (d) mmmm + aaaa + 5,9 cccc 867 +, 6,,66 kk oo(d),77 kk oo minkk oo(s) ; kk oo(d),77 Výslednou bezpečnost učíme jako kombinaci bezpečnosti v kutu a bezpečnosti v ohybu: kk kk + tt kk oo,6 +,79 kk,9,77 TBUL (ONEČNÉ HODNOTY VŠECH ROŮ): kok kut ohyb ττ aa 5,5 N mm mmmm 5,9 N mm aaaa, N mm ττ cc 68 N mm 6 N mm cccc 8 N mm 867 N mm ττ + cc 67, N mm + cccc 6, N mm kk tt,6 kk oo(dd) 8, kk oo(dd),77 kk, 9999 Poznámka: Cílem celého (asi nejdelšího) koku číslo bylo nahadit tabulkové mateiálové hodnoty meze únavy (šedivě označené) eálnými hodnotami odpovídající naší součásti, esp našemu osazení (označené honím indeem + )

35 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (PULZUJÍCÍ STŘÍDVÝ NESYETRICÝ RUT): ρ Dáno: Na hřídeli o půměu D mm je vytvořeno technologické osazení o půměu d mm a zaoblení přechodů ρ mm Hřídel je vyoben jemným soustužením z oceli 6 Zatížení je střídavým nesymetickým kutem se zadaným součinitelem nesouměnosti cyklu R,5 Učit: ; (mezní amplitudovou a střední hodnotu zatěžujícího momentu), kok popis zatížení/namáhání Nejpve pomocí součinitele nesouměnosti cyklu R vyjádříme jednotlivé mezní hodnoty: + + RR RR + RR RR d D ττ ττ WW HH + RR, ττ ττ WW HH RR kok popis mateiálu Po PPPP 75 N mm a 8 N mm : 8 N mm ττ,6 8 N mm, CCCC 8 N mm ττ CC,6 CCCC 8 N mm, ττ ττ CC ψψ 8, 8 N mm kok popis součásti Pomocí wwwefatiguecom jsme odečetli součinitel tvau: αα tt,98 qq ( PPPP ) ; qq [] PPPP,,9,8,7,6,5,, PPPP [N mm ] PPPP [],95,9,8,7,6,5 qq qq oo qq + qq qq tt qq Po výpočet vubové citlivosti eistuje také výpočet pomocí q a q na základě diagamu, kde nás po kut bude zajímat pouze velikost q učená po podíl PPPP a polomě ρρ: 5 PPPP 75,6 a ρρ mm qq tt qq,55 Po známý součinitel tvau αt a vubovou citlivost qt již můžeme stanovit součinitel vubu: ββ tt + qq tt (αα tt ) +,55 (,98 ),5

36 Součinitele jakosti povchu po jemné soustužení a velikosti po kut stanovíme z diagamů: leštěný povch boušený povch jemně soustužený povch hubovaný povch opacování s ostými zářezy 5 povch po válcování 6 povch koodovaný obyč vodou 7 povch koodovaný mořskou vodou PPPP 75 N mm yy 8 μm ηη PP,86 slitinová ocel dd mm εε vvvv,78 ηη PPPP (ηη PP + ) (,86 + ),9 Pomocí vypočtených součinitelů přepočteme mez únavy na skutečnou naší zadanou součást: ττ + cc ττ cc ηη ββ PPPP εε vvvv 8 tt,5,9,78 7, N mm, kok výpočet mezního zatížení Po mezní čáu musí platit při postém zatěžování vztah: + RR kk + kk ττ ττ + ττ ττ CC + ττ HH ττ HH + + ττ ττ ττ HH ττ CC + ττ CC ττ WW ττ HH + RR ττ WW ττ HH RR ττ + ττ HH ττ CC + + ττ WW + (,5) WW (,5) RR + ττ CC ττ HH ττ + ττ HH ττ CC + 7, 8 7, + 8 N mm ππ 6 ππ N mm, N mm, Poznámka: Potože je součinitel nesouměnosti cyklu R záponý, dalo se očekávat, že čáa postého zatěžování (p) potne nejpve čáu dynamickou (d) v Haighově diagamu, a poto také poběhl výpočet podle této čáy Nyní kontolně zkusíme i výpočet podle statické (s) čáy v Haighově diagamu: kk + kk ττ ττ + ττ ττ Odtud logicky musí vycházet po mezní čáu: ττ HH ττ ττ + ττ ττ 8 N mm ττ,a 7, R 8 (p) (d) 5 (s) 8 8 R + ττ,m [N m m ]

37 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (PULZUJÍCÍ TH): Dáno: Je dán ojniční šoub, kteý bude za povozu v důsledku setvačných sil namáhán amplitudovým napětím a ±75 N mm Základní paamety šoubu jsou: závit (d 8 mm), mateiál ISI 87 lloy Steel (UNS G87) s mezí pevnosti v tahu Pt 695 N mm, mezí kluzu v tahu t 5 N mm, modulem pužnosti E,96 5 N mm, mezí únavy c, Pt N mm a c/,5 67 N mm Z diagamů jsme odečetli β,69 (součinitel vubu), ηp,88 (součinitel jakosti povchu) a εv,96 (součinitel velikosti po slitinové oceli) Šoub má být povozován s bezpečností k,5 vzhledem k nekonečné únavové životnosti Učit: Qm ma (maimální předpětí ve šoubu po zadanou bezpečnost k) Nejpve stanovíme pomocí zadaných paametů mez únavy skutečného šoubu: cc + cc ββ η PP εε vv,69,88,96 N mm Vztahy po výpočet středního napětí m odvodíme z upaveného Haighova diagamu po konstantní velikost amplitudy a a poměnnou velikost střední hodnoty m až do maimální mezní hodnoty Řešení povedeme po obě části, a to jak statickou (s), tak také po dynamickou (d), potože neznáme pomě mezi zadaným a a hledaným m a (s) cc + (d) m a statická čáa (s) upaveného Haighova diagamu a dynamická čáa (d) upaveného Haighova diagamu t a (s) c + a (d) t m m 5

38 Z podobnosti vyšafovaných tojúhelníků dostáváme vztahy mezi hlavními paamety: aa aa ; aa aa + cc aa + aa cc Po zachování předepsané bezpečnosti k vůči nekonečné životnosti musí být kk mm, a tak dosazením do obou vztahů odvozených vztahů dostáváme: mm (s) kk ( aa ) mm (d) kk aa cc ,5 6 N mm ,5 87 N mm Řešením je menší z obou vypočtených středních napětí z upavených částí Haighova diagamu: mm mmmmmm mm (s) ; mm (d) mm (s) 6 N mm Hledané maimální přípustné předpětí ve šoubu po zachování dané bezpečnosti bude: QQ mm mmmmmm (s) mm (s) mm ππ dd ππ N Poznámka: Pokud by se zvýšila amplitudová složka na a ±75 N mm (např zvýšením otáček a tím i pístové ychlosti), výsledky by se významně změnily: mm (s) 5 9,5 N mm ; mm (d) ,5 7 N mm Znamená to, že ozhodující by byl výpočet podle dynamické čáy upaveného diagamu a hledaná síla by byla: QQ mm mmmmmm mm (d) mm ππ dd Oba případy zobazíme v měřítku v upaveném Haighově diagamu ππ N a [N mm ] (d) (d) (s) 67 (s) 67 5 m [N mm ] Z obázku je jasně patné, poč po velikost amplitudového napětí a ±75 N mm vychází nepříznivěji výpočet podle statické čáy (s) Haighova diagamu mezní hodnota N mm m 6 N mm a po amplitudového napětí a ±9 N mm vychází nepříznivěji výpočet podle dynamické čáy (d) Haighova diagamu mezní hodnota 67 N mm m 7 N mm 6

39 PŘÍLD (PULZUJÍCÍ TH): Dáno: Je dáno ploché táhlo o půřezu W t, kteé je namáháno pulzujícím tahem V ámci odlehčení byly v táhlu vyvtány díy o půměu d (jejich vzdálenost lze považovat za tak velkou, že není třeba uvažovat jejich vzájemné ovlivnění) Základní paamety řešeného táhla jsou: ocel 5, hubovaný povch, W 5 mm, t 6 mm a d mm Paamety zatížení jsou: ma N (maimální síla) a R, (součinitel nesouměnosti cyklu) Učit: ki, II (jak se změní bezpečnost po povedení úpavy) kok popis namáhání Nejpve vyjádříme střední a amplitudové zatížení, kteé bude na táhlo působit: h mmmmmm RR nn h nn RR h Pužnost a pevnost II ZS 8/9 mm h + nn h + RR +, 6 N aa h nn h RR Tyto hodnoty nyní vztáhneme k půřezu vaianty I a vaianty II: VRINT I, VTINT II N I bb h 5 6 mm II (bb dd) h (5 ) 6 8 mm, mm I mm I 6 N mm mm II mm II 6 8 N mm, aa I aa I N mm mm II aa II 8 N mm kok popis mateiálu Ze Smithova diagamu po TH/TL učíme po danou mez pevnosti mateiálu mez kluzu v tahu a mez únavy: TL t W d PPPP 5 N mm 5 N mm, cc 8 N mm, cc, 8, 8 N mm 7

40 kok popis součásti Opět budeme řešit geometii zvlášť po vaiantu I a zvlášť po vaiantu II: VRINT I součást bez vubu VTINT II plochá tyč s otvoem po učení součinitele tvau využijeme web: wwwefatiguecom β I po: W 5 mm d mm vychází: α, Velikost vubové citlivosti odhadneme q,7 Součinitel vubu v této vaiantě bude: ββ II + qq (αα ) +,7 (, ),87 Součinitel jakosti povchu ηη PP budeme předpokládat po obě vaianty shodný: ηp [],,9,8,7 leštěný povch boušený povch jemně soustužený povch,6,5 hubovaný povch,,,, Pt 5 Nmm Pt [Nmm ] opacování s ostými zářezy 5 povch po válcování PPPP 5 NN mmmm yy μm ηη PP,88 Po VRINTU I a po VRINTU II musíme uvažovat ozdílné součinitele velikosti εv I, II, kteé učíme přes ekvivalentní eponovaný objem ploché a kuhové tyče: VV (kkkkkkh) eeeeeeeeee VV eeeeeeeeee Po vaiantu I bude W I W, ale po vaiantu II bude W II (W d) 8 ooooooéllllíkk

41 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Po: VV (kkkkkkh) ππ DD ππ (,95 DD) eeeeeeeeee,766 DD, ooooooéllllíkk WW I,II tt,95 WW I,II (,95 tt),975 WW I,II tt VV eeeeeeeeee bude: DD eeeeee,975 WW I,II tt,766,8 WW I,II tt DD eeeeee I,8 5 6 mm DD eeeeee II,8 6 5 mm Po Dekv I dostáváme εv I,9 Po Dekv II dostáváme εv II,9 Sníženou mez únavy cc + po skutečnou součást opět musíme učit po každou vaiantu zvlášť: + cc I cc ηη ββ PP εε vv I + cc II cc ηη ββ PP εε vv II 8,88,9 N mm 8,87,88,9 8 N mm kok výpočet bezpečnosti Výpočet bezpečnosti v obou vaiantách povedeme po pulzující namáhání pomocí statického (s) a dynamického (d) výpočtu a výsledkem je menší z hodnot: VRINT I: + kk I kk mm kk aa VRINT II: + kk II kk mm kk aa (s) mm + aa 5 + 5, kk I (s) 7,58 (d) mm + aa + cc 8 +, kk I (d) 9,86 kk I 7,85 (s) mm + aa 5 + 5, kk II (s),55 kk II, (d) mm + aa cc ,9 kk II (d), Poznámky: Zásahem do součásti se sice snížila hmotnost o přibližně % na segment W W, ale nominální napětí se zvýšilo přibližně o 65% a celková bezpečnost vůči nekonečné životnosti poklesla o 56,6% Potože i takto snížená bezpečnost je stále ještě dostatečně vysoká (k,), lze dovodit, že původní řešení bylo z hlediska únavové bezpečnosti zbytečně předimenzované (k 7,85) 9

42 PŘÍLD 5 (STŘÍDVÝ SYETRICÝ OHYB RUT): Dáno: Hřídel o ozměech a mm, c 5 mm, d mm, D 5 mm a mm je namáhán postřednictvím kolmého amene symeticky střídavou silou a ± N (viz obázek) mateiál hřídele : ocel 6 (Pt 6 Nmm - ) mez únavy : Co Nmm - součinitele tvau v ohybu : αo, součinitele tvau v kutu : αt,6 součinitel vubové citlivosti : q,65 D součinitel jakosti povchu : ηp,8 součinitele velikosti : εvo εvt,98 Učit: k (součinitel bezpečnosti po tvalou únavovou pevnost součásti při tomto zatížení) kok popis namáhání Zatížení je střídavým symetickým ohybem ±oa ±aa a střídavým symetickým kutem ±a ±ac Poto učíme pouze amplitudové hodnoty napětí vztažené k půměu d: o t oooo oooo WW oo ττ aa WW aa cc ππ dd ππ 5,9 N mm 6 aa aa 6 5 ππ dd ππ, N mm a d c kok popis mateiálu ez únavy ve smyku učíme z meze únavy v ohybu: ττ CC,6 CCoo,6 86 N mm kok popis součásti Pomocí zadaných veličin učíme součinitele vubu: ββ oo + qq (αα oo ) +,65 (, ),78, ββ tt + qq (αα tt ) +,65 (,6 ),9 Součinitel jakosti povchu v ohybu a kutu učíme ze zadaného součinitele jakosti: ηη PPPP ηη PP,8 a ηη PPPP (ηη PP + ) (,8 + ),9 eze únavy v ohybu a smyku této konkétní součásti budou: + CCCC CCCC ηη ββ PPPP εε VVVV oo,78,8,98 N mm, ττ CC + ττ CC ββ tt ηη PPPP εε VVVV 86,9,9,98 9 N mm kok výpočet bezpečnosti Výslednou bezpečnost učíme jako kombinaci bezpečnosti v kutu a bezpečnosti v ohybu: kk kk + oo kk 5,9 tt +, 9,6 kk,7

43 ROTČNĚ SYETRICÉ ÚLOHY PŘÍLD (TENOSTĚNNÁ ULOVÁ NÁDOB): Dáno: Plynový zásobník ve tvau koule o středním půměu D je vyoben z ocelového plechu o tloušťce s D 5 m; s mm; E 5 Nmm ; v, a D Nmm - Učit: pd (dovolený tlak uvnitř v nádobě), D (změnu půměu po vypočtený dovolený tlak), s (změnu tloušťky stěny po vypočtený dovolený tlak), U (defomační enegii akumulovanou v plášti zásobníku) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Napjatost v kulové nádobě je ovinná, kdy jsou obě hlavní napětí shodná (t o ) a třetí hlavní napětí neuvažujeme, potože je výazně nižší ( ) pp RR tt ss mmmmmm a mmmmmm Pevnostní podmínka podle teoie τx bude: ττ pp RR pp RR tt ss ss DD Odkud vychází po dovolený vnitřní tlak vztah: ττ pp DD DD ss RR Pevnostní podmínka podle teoie enegetické bude po dvojosou napjatost má tva: eeeeeeeeee tt + tt tt Odkud vychází po dovolený vnitřní tlak vztah: pp RR ss DD eeeeeeeeee pp DD DD ss RR Jedná se o dvojosou napjatost ( ), poto lze zobazit mezní čáy pouze v ovině t o, znázonit čáu odpovídající ovnici t o Je patné, že čáa popisující napjatost v kulové nádobě potne obě mezní čáy v totožném bodě ( τ X eneg ) Je tedy zřejmé, že obě teoie musí dát v tomto případě shodné výsledky (p τ X D p eneg D ) s R o t τ X eneg t

44 Hledaný dovolený tlak tedy bude mít podle obou teoií stejnou hodnotu: pp DD ττ pp DD eeeeeeeeee pp DD DD ss RR Výsledné tečné a osové napětí v nádobě bude: tt oo, 5 5 N mm,8 Pa Po tento tlak, esp napjatost ve stěně kulové nádoby učíme pomocí ozšířeného Hookova zákona hledané defomace pláště nádoby: RR RR εε tt (pp DD ) RR EE { tt νν [ + oo ]} 5 (, ),875 mm 5 ss ss εε (pp DD ) ss EE { νν [ tt + oo ]} [, ( + )], mm 5 Defomační enegie akumulovaná v plášti plynového zásobníku bude po p D: UU λλ dddd λλkkkkkkkkkk λλ VV λλ SS ss, kde: λ hustota defomační enegie po dvojosou napjatost (t o) (VV) λλ tt εε tt + oo εε oo tt EE ( tt νν oo ) + oo EE ( oo νν tt ) EE ( tt + oo νν tt oo ) tt ( νν) (,),5 N mm EE 5 S povch koule dané středním půměem D SS ππ DD ππ mm V objem pláště koule dané středním půměem D a tloušťkou stěny s: VV SS ss mm Velikost celkové defomační enegie U akumulované v plášti kulového zásobníku po dovolený vnitřní tlak pd je: UU, N mm 7,5 kn m

45 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (TENOSTĚNNÁ ULOVÁ NÁDOB): Dáno: p ; R ; s ; E a ν Učit: a (hlavní napětí vznikající v plášti nádoby), pd (dovolený tlak podle teoie τx), R a s (změny hlavních ozměů nádoby), U (celkovou defomační enegii akumulovanou v plášti nádoby) Základem řešení je Laplaceova ovnice upavená po předpoklady: R R R t o ( ) (u kulové nádoby nelze ozhodnout, kteý smě je tečný a kteý smě je osový, potože tyto podmínky kteékoliv dva navzájem kolmé směy v tečné ovině k povchu kulového pláště) s R Po dosazení do Laplaceovy ovnice dostáváme: RR + RR pp ss odkud vychází tt oo Pevnostní podmínka podle hypotézy τx bude mít tva: pp RR ss ττ pp RR pp RR tt ss ss ττ DD pp DD DD ss RR (nejmenším minimálním napětím je v tomto případě třetí nulové napětí ) Po výpočet změn hlavních ozměů nádoby použijeme ozšířený Hookův zákon po ovinnou napjatost ( ): RR RR εε tt RR EE { tt νν oo } pp RR EE ss ( νν) ; ss ss εε RR ss EE { νν ( pp RR tt + oo )} νν EE Celkovou defomační enegii U učíme pomocí hustoty defomační enegie λ a objemu V pláště nádoby (objem pláště tenkostěnné kulové nádoby vypočteme jako V Ss, kde S je povch koule a s je tloušťka): Po dosazení dostáváme: UU λλ dddd (VV) UU λλkkkkkkkkkk λλ VV ( tt εε tt + oo εε oo ) SS ss EE ( vv) ππ RR ss ππ pp RR EE ss ( vv) Na závě povedeme ozměovou kontolu výsledku: [U] [] [N m ] [m] [N m ] [m] [] [N m] vše je v pořádku!

46 PŘÍLD (TENOSTĚNNÁ VÁLCOVÁ NÁDOB): s Dáno: Část plynovodního ocelového potubí považujeme za uzavřenou válcovou nádobu D mm; s mm; E 5 Nmm ; v, a 5 Nmm Učit: pd (dovolený přetlak v potubí při bezpečnosti k ) m D (změnu půměu po vypočtený tlak pd), s (změnu tloušťky stěny po vypočtený tlak pd), U() (defomační enegii akumulovanou v jednom metu délky stěny potubí) Napjatost v uzavřené válcové nádobě je ovinná, kdy je jedno hlavní napětí dvojnásobně větší než duhé (t o ) a třetí hlavní napětí neuvažujeme, potože je výazně nižší ( ) tt pp RR ss mmmmmm ; oo pp RR ss a mmmmmm Jedná se o dvojosou napjatost ( ), poto lze zobazit mezní čáy pouze v ovině t o, znázonit čáu odpovídající ovnici t o Je patné, že čáa popisující napjatost ve válcové nádobě potne obě mezní čáy v ůzných bodech ( τ X a eneg ) Je tedy zřejmé, že obě teoie musí dát v tomto případě ozdílné výsledky (p D τ X a p D eneg ) D o t o τ X eneg t Nejpve povedeme řešení podle teoie τx: ττ pp RR pp RR ττ mmmmmm mmmmmm ss ss DD pp DD DD ss 75 RR Hlavní napětí podle teoie τx budou: tt ττ 7, N mm a oo ττ 7,5 Pa 7,5 7 87,5 N mm

47 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Obě defomace (poloměu a tloušťky stěny) učíme pomocí ozšířeného Hookova zákona, kteý se v tomto případě velmi zjednoduší ( ): DD ττ ττ DD εε tt pp DD DD EE ττ ττ tt νν + oo DD EE ττ tt νν DD ττ, 75, mm 5 ss ττ ττ ss εε pp DD ss EE ττ νν ττ tt + oo ss EE ττ tt νν ss ττ, 75,8 mm 5 Defomační enegie akumulovaná v jednom metu válcového plynového potubí bude po p D: UU λλ dddd (VV) λλkkkkkkkkkk λλ VV λλ SS ss, kde: λ hustota defomační enegie po dvojosou napjatost (t o) λλ tt εε tt + oo εε oo tt EE ( tt νν oo ) + oo EE ( oo νν tt ) tt EE νν + 8 νν tt EE 5 8 νν ,,7 N mm S(l) povch válce daného středním půměem D a délkou m: SS (l) ππ DD l ππ 98 mm V(l) objem pláště válce daného středním půměem D, délky l a tloušťkou stěny s: VV (l) SS (l) ss mm Velikost celkové defomační enegie akumulované v plášti kulového zásobníku po dovolený tlak stanovený pomocí teoie τx je: UU (l), N mm 9,6 kn m Dále povedeme řešení podle teoie enegetické: eeeeeeeeee ( tt ) + ( oo ) + ( oo tt ) tt + tt DD eeeeeeeeee pp RR ss pp RR + ss pp RR RR pp RR pp ss ss ss Hledaný dovolený vnitřní tlak dle teoie enegetické je: pp DD eeeeeeeeee DD ss 75,866 RR,866 8,66 Pa,866 pp RR ss DD 5

48 Hlavní napětí podle teoie enegetické budou: tt eeeeeeeeee 8,66 7 N mm eeeeeeeeee a oo 8,66 7 N mm Obě defomace (poloměu a tloušťky stěny) učíme pomocí ozšířeného Hookova zákona, kteý se v tomto případě velmi zjednoduší ( ): DD eeeeeeeeee DD EE eeeeeeeeee tt νν,, mm 5 ss eeeeeeeeee ss EE eeeeeeeeee tt νν,,6 mm 5 Defomační enegie akumulovaná v jednom metu válcového plynového potubí bude po p D: UU λλ dddd (VV) λλkkkkkkkkkk λλ VV λλ SS ss kde: λ hustota defomační enegie po dvojosou napjatost (t o) λλ tt EE 5 8 νν 5 5 8,,97 N mm Velikost celkové defomační enegie akumulované v plášti kulového zásobníku po dovolený tlak stanovený pomocí teoie enegetické je: UU (l), N mm,8 kn m 6

49 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (TENOSTĚNNÁ VÁLCOVÁ NÁDOB): Dáno: p ; R ; s ; E a v Učit: a) po otevřenou nádobu a (hlavní napětí v plášti nádoby) R a s (změny hlavních ozměů) b) po uzavřenou nádobu a (hlavní napětí v plášti nádoby) R a s (změny hlavních ozměů) Základem řešení obou případů je Laplaceova ovnice, po kteou musí platit: R R a R ( ) s R Dosazením do Laplaceovy ovnice dostáváme: + R p s odkud vychází v obou případech pvní hlavní napětí: p R s Duhé hlavní napětí bude v případě otevřeného válce (př a) nulové: (ve stěně otevřené válcové nádoby tak vzniká pouze jednoosá napjatost) R s p p V případě uzavřené válcové nádoby (př b) vypočteme duhé hlavní napětí z podmínky silové ovnováhy do osového směu: π R s p p π R a odtud již dostáváme: p R s (ve stěně uzavřené válcové nádoby vzniká ovinná napjatost, kdy pvní hlavní napětí je dvakát větší než duhé: ) Po výpočet změn hlavních ozměů nádoby použijeme ozšířený Hookův zákon po jednoosou esp ovinnou napjatost: a) otevřená nádoba: RR (OONN) RR εε tt RR EE tt b)uzavřená nádoba: pp RR EE ss a ss (OONN) ss εε ss EE ( vv tt) vv pp RR EE RR (UUNN) RR εε tt RR EE ( tt vv oo ) pp RR EE ss vv, ss (OONN) ss εε ss EE [ vv ( tt + oo )] vv pp RR EE Poznámka: Po Poissonovo číslo v, vychází: Změna poloměu uzavřené nádoby je o 5% menší než u nádoby uzavřené: Ruz,85 Rot Stěna uzavřené nádoby se zeslabí o 5% více než stěna otevřené nádoby: suz,5 sot 7

50 PŘÍLD 5 (TENOSTĚNNÁ VÁLCOVÁ NÁDOB): Dáno: Otevřený tenkostěnný sud válcového tvau je postaven na tuhé podložce a je až po okaj naplněn vodou R 7 mm; s mm; h mm; E 5 Nmm ; v, a ρ kgm Učit: Upostřed výšky válce (sudu) učit změnu poloměu R a změnu tloušťky stěny s Potože se jedná o otevřenou válcovou nádobu, nebude vznikat v plášti žádné osové napětí, a tak řešená napjatost bude pouze jednoosá (t ) a zbývající napětí je nulové (o ) a nebo je výazně menší než tečné napětí ( ) Tečné napětí bude funkcí geometie nádoby a tlaku, kteý je dle hydostatiky závislý pouze na hustotě kapaliny a hloubce od volné hladiny y: pp(yy) ρρ gg yy Velikost hydostatického tlaku v polovině výšky nádoby (y h/ 5 mm,5 m): pp(yy) ρρ gg h Po zadané ozměy válce naplněného vodou hydostatický vychází tlak v polovině výšky (výpočet je třeba povádět v základních jednotkách a výsledný tlak vyjde v [N m - Pa], kteý můžeme následně převést na běžně užívané [N mm Pa]: pp(yy) ρρ gg yy pp(h ) ρρ gg h 9,8,5 95 Pa,5 Pa h/ s R Velikost tečného napětí v polovině výšky nádoby (y h/ 5 mm,5 m): tt (h ) pp(h ) RR ss Zbývající dvě napětí jsou ovna nebo blízká nule:,5 7 (h ) ; oo (h ) 7,5 N mm Obě defomace (poloměu a tloušťky stěny) učíme pomocí ozšířeného Hookova zákona, kteý se v tomto případě velmi zjednoduší ( ): RR(h ) RR εε tt (h ) RR EE { tt(h ) νν [ (h ) + oo (h )]} RR EE tt(h ) RR(h ) 7 7,5,65 mm, 5 ss(h ) ss εε (h ) ss EE { (h ) νν [ tt (h ) + oo (h )]} νν ss EE tt(h ) ss(h ), 7,5,55 mm 5 8

51 PŘÍLD 6 (TENOSTĚNNÁ VÁLCOVÁ NÁDOB): Dáno: Válcová nádoba o půměu D a tloušťce stěny s je uzavřená tuhým víkem, na kteé působí svislá síla D mm; s mm a 5 N Učit: Velikost vnitřního talku p tak, aby ve stěně válce vznikla napjatost čistého smyku ( a ) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Napjatost v uzavřené válcové nádobě je v důsledku působení pouze vnitřního přetlaku p podle Laplaceovy teoie ovinná, kdy je jedno hlavní napětí dvojnásobně větší než duhé (t o ) a třetí hlavní napětí neuvažujeme, potože je výazně nižší ( ): tt (pp) pp RR ss ; oo (pp) pp RR ss a (pp) V případě působení pouze osové tlakové síly vzniká v plášti nádoby jednoosá tlaková napjatost: tt () ; oo () ππ RR ss Po supepozici obou účinků vznikne ovinná napjatost se složkami: tt (pp + ) pp RR ss + ; oo (pp + ) pp RR ss ππ RR ss a () a (pp + ) + Napjatost čistého smyku je definována podmínkou ma min Potože tlakový síla ovlivňuje pouze osové napětí, bude maimálním napětím tečné napětí vyvolané pouze vnitřním přetlakem p a minimálním bude osové napětí jako supepozice napětí od tlaku p a tlakové osové síly : mmmmmm tt (pp + ) pp RR ss a mmmmmm oo (pp + ) pp RR ss ππ RR ss Podmínka vzniku napjatosti čistého smyku ve stěně řešené válcové nádoby je: pp RR ss pp RR ss ππ RR ss Hledaný vnitřní tlak po vznik napjatosti čistý smyk ve stěně nádoby bude: Po zadané hodnoty bude hledaný tlak: pp RR ss ππ RR ss pp ππ RR 5 ππ,6 Pa p s D p? 9

52 PŘÍLD 7 (TENOSTĚNNÁ UŽELOVÁ NÁDOB): Dáno: ρ ; D ; h a s D ϕ actg h Učit: a (hlavní napětí v plášti nádoby) Základem řešení je opět Laplaceova ovnice, jen musíme věnovat pozonost spávnému učení hlavních poloměů křivosti R a R Pvní hlavní polomě křivosti R této kuželové nádoby se stejně jako u válcové nádoby blíží nekonečnu: R D ϕ h Duhý hlavní polomě křivosti R vyjádříme podle obázku: ( y) R, když současně platí ( y) y tgϕ cosϕ Spojením obou vztahů dostáváme výsledný výaz po učení duhého hlavního poloměu křivosti: y tgϕ sinϕ R y cosα cos ϕ Poloměy R a R dosadíme do Laplaceovy ovnice + R R když víme, že hydostatický tlak závisí na hloubce: p( y) ρ g ( h y) p s, ϕ R ϕ y h dostaneme výsledný vztah po hlavní napětí (ve směu tečném): ( y ) ( y) ρ g ( h y) + sinϕ s cos ϕ ρ g sinϕ ( y ) ( h y) y s cos ϕ Zbývající hlavní napětí (ve směu meidiánu) učíme z ovnováhy odříznuté části: ( Q( y) y ) π ( y) s cosϕ Tíhová síla kapaliny Q, kteá působí v místě řezu je podle obázku: π y Q( y) ρ g + π ( h y) ρ g ( y tgϕ) h y Výsledný vztah pak je: ρ g ( y tgϕ) h y ( y ) π y tgϕ s cosϕ ρ g sinϕ ( y ) h y y s cos ϕ y h Q(y) 5

53 PŘÍLD 8 (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB VNITŘNÍ PŘETL OTEVŘENÁ): Dáno: Válec stacionáního hydaulického zvedáku má vnitřní půmě d mm a vnější půmě D 6 mm Celý zvedák je vyoben z oceli o modulu pužnosti E, 5 Nmm a mezi kluzu Nmm Učit: S bezpečností k 5 vůči mezi kluzu maimální sílu ma, kteou lze získat na pístu tohoto válce Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Jedná se o otevřenou tlakovou silnostěnnou nádobu, a tak ve válcové části d budou vznikat pouze dvě napětí tečné a adiální D Oblast ovlivněnou dnem nebudeme řešit, potože zde vzniká podstatně složitější napjatost, kteá překačuje ozsah tohoto kuzu Paamety výpočtu tedy jsou: d/ 5 mm, D/ 8 mm, p p? a p Po výpočet podle hypotézy τx můžeme použít přímo dosazení do odvozeného vzoce: D ( p ) d D ( ) 5 p k, Pa D D 6 Po výpočet podle hypotézy enegetické musíme vyjádřit tečné a adiální napětí jako funkce neznámého tlaku p: ( ) p + ; p ; t ( ) + p p p + Tyto hodnoty nyní dosadíme do pevnostní podmínky po t a : p ma t ( ) + ( ) t ( ) ( ) D + + p + ) ( ) ( k, ( p ) 5,8 Pa 6 6 D k Hledaná maimální síla pak bude: ma (p)dpístu τx: ma,π N kn enegetická: ma 5,8π5 9 N kn Poznámka: Jednotlivé hodnoty podle τx jsou: () Nmm - 9 Nmm - t() + Nmm - () Nmm - t() 8 Nmm - ed 6 Nmm - D ( ) +9 t( ) p o +8 t [ ed]τ X 6 Nmm - + 5

54 PŘÍLD 9 (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB VNITŘNÍ PŘETL OTEVŘENÁ/UZVŘENÁ): Dáno: mm; mm; p 9 Pa; p 5 Pa; E 5 Nmm ; v, a D Nmm Učit: ed podle hypotézy τx; a po: a) otevřenou nádobu b) uzavřenou nádobu Řešení povedeme souběžně po otevřenou i uzavřenou silnostěnnou nádobu a) OTEVŘENÁ NÁDOB: b) UZVŘENÁ NÁDOB: p () o t() () o t() + τ p + τ Společné hodnoty po oba typy nádoby jsou: pp pp 9 5 N mm Nejnamáhanějším místem pláště bude v obou případech vnitřní polomě : tt ( ) + pp + 9 N mm a ( ) pp 9 N mm oo N mm oo N mm Podle teoie τx bude: (OONN) tt (OONN) ( 9) N mm (UUNN) tt (UUNN) ( 9) N mm 5 (OONN) tt + tt (OONN) + ( 9) ( 9) Podle teoie enegetické bude: (UUNN) ( tt ) + ( oo ) + ( oo tt ) (UUNN) + ( ) + ( ) 7,5 N mm 7, N mm

55 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Z výsledků je patné, že podle teoie τx vychází edukované napětí stejné po otevřenou i uzavřenou nádobu (osové napětí, kteým se od sebe nádoby liší, se ve výpočtech neobjevuje) Při použití teoie enegetické eistuje ozdíl mezi otevřenou a uzavřenou nádobou, potože do výpočtu vstupuje i osové napětí (ozdíl v tomto případě je malý, potože je malá hodnota osového napětí) Výpočet defomace pláště nádoby: EE { tt( ) νν [ ( ) + oo ]} EE { tt( ) νν [ ( )]} EE { tt( ) νν [ ( ) + oo ]} 5 {, [ 9]} {, [ 9 + ]} 5,685 mm,67 mm EE { tt( ) νν [ ( ) + oo ]} tt ( ) + pp N mm a ( ) pp 5 N mm EE { tt( ) νν [ ( )]} EE { tt( ) νν [ ( ) + oo ]} 5 {5, [ 5]} {5, [ 5 + ]} 5,95 mm,65 mm tt +,95,685 99,97 mm Nová tloušťka stěny po zatížení bude: tt tt + tt +,65,67 99,969 mm 5

56 PŘÍLD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB VNĚJŠÍ PŘETL OTEVŘENÁ): Dáno: 5 mm; mm; p 5 Pa a D 5 Nmm Učit: pd (dovolený vnější tlak podle hypotézy τx), a (změny poloměů po tlak pd) Potože hodnota tlaku p 5 Pa je elativně nízká vzhledem k dovolenému napětí D 5 Nmm, povedeme další výpočet podle teoie otevřené nádoby s vnějším přetlakem (p > p) Nejnamáhanějším je povch nádoby na poloměu a podle teoie τx bude platit: Za jednotlivé členy dosadíme: oo, tt ( ) + pp pp pp + pp, odkud vychází: mmmmmm mmmmmm DD oo tt ( ) DD pp pp + pp DD pp DD DD ( ) + pp + pp a po dosazení: pp DD 5 ( 5 ) , Pa Defomace poloměů a vyjádříme pomocí ozšířeného Hookova zákona: εε tt ( ) EE [ tt( ) vv ( )] a εε tt ( ) EE [ tt( ) vv ( )] Tečné a adiální napětí učíme dosazením do základních vztahů: tt ( ) + pp pp pp ( ) pp 5, N mm, tt ( ) + pp pp pp ( ) pp 59, N mm Výsledné změny poloměů budou: + pp , , N mm, + pp , , 9,7 N mm, 5 [ 5,, ( 5,)],7 mm, 5 [ 9,7, ( 59,)],6 mm 5 p p t() () o + 5

57 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB VNITŘNÍ PŘETL UZVŘENÁ): Dáno: 5 mm; 55 mm; p p a D 6 Nmm () Učit: pd (dovolený tlak podle hypotézy τx), a (změny poloměů po tlak pd) p Potože hodnota tlaku p Pa bude se jednat o nádobu s vnitřním přetlakem (p > p) Nejnamáhanějším je povch nádoby na poloměu a podle teoie τx bude platit: Pokud za jednotlivé členy dosadíme: mmmmmm mmmmmm DD tt ( ) ( ) DD oo pp pp, tt ( ) + pp pp pp + pp, ( ) pp dostáváme: pp DD DD pp DD Pa Defomace poloměů a vyjádříme pomocí ozšířeného Hookova zákona: εε tt ( ) EE { tt( ) vv [ ( ) + oo ]}, εε tt ( ) EE { tt( ) vv [ ( ) + oo ]}, Tečné a adiální napětí učíme dosazením do základních vztahů: pp pp N mm, oo N mm, + o t() tt ( ) + pp, + N mm, ( ) pp N mm, tt ( ) + pp, + 8 N mm, ( ) pp N mm Výsledné změny poloměů budou: 5 [, ( + )],56 mm, 5 55 [8, ( + )],7 mm 5 55

58 PŘÍLD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB VNĚJŠÍ PŘETL UZVŘENÁ): Dáno: mm; p 5 Pa; p 5 Pa; D Nmm ; E 5 Nmm - a v, Učit: D (dovolený tlak podle hypotézy τx), a (změny poloměů po D) Potože hodnota tlaku p 5 Pa je menší než tlak p 5 Pa, povedeme další výpočet podle teoie uzavřené nádoby s vnějším přetlakem (p > p) Nejnamáhanějším je povch nádoby na poloměu a podle teoie τx bude platit: Za jednotlivé členy dosadíme: odkud vychází: mmmmmm mmmmmm DD ( ) tt ( ) DD pp pp, oo ; ( ) pp ; tt ( ) + pp p p t() o () + 56 pp pp pp DD + pp DD DD DD + pp pp a po dosazení: DD,7 mm Defomace poloměů a vyjádříme pomocí ozšířeného Hookova zákona: εε tt ( ) EE [ tt( ) vv ( )] a εε tt ( ) EE [ tt( ) vv ( )] Tečné a adiální napětí učíme dosazením do základních vztahů: oo 5 5,7,7 5 N mm, tt ( ) + pp ( 5) N mm ( ) pp 5 N mm tt ( ) + pp ( 5) N mm ( ) pp 5 N mm Výsledné změny poloměů budou: [ 5, ( 5 5)], mm, 5,7 [ 85, ( 5 5)],6 mm 5

59 PŘÍLD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB VNĚJŠÍ PŘETL UZVŘENÁ): Dáno: mm; 5 Pa; p Pa; D 5 Nmm ; E 5 Nmm a v, Učit: pd (dovolený tlak podle hypotézy τx), a (změny poloměů po tlak pd) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Potože hodnota tlaku p Pa bude se jednat o nádobu s vnitřním přetlakem (p > p) Nejnamáhanějším je povch nádoby na poloměu a podle teoie τx bude platit: Pokud za jednotlivé členy dosadíme: mmmmmm mmmmmm DD tt ( ) ( ) DD oo pp pp, tt ( ) + pp pp pp + pp, ( ) pp dostáváme: pp DD pp DD pp DD 5 5 Pa Defomace poloměů a vyjádříme pomocí ozšířeného Hookova zákona: εε tt ( ) EE { tt( ) vv [ ( ) + oo ]}, εε tt ( ) EE { tt( ) vv [ ( ) + oo ]}, Tečné a adiální napětí učíme dosazením do základních vztahů: oo pp pp N mm, tt ( ) + pp ( 88) + 6 N mm, ( ) pp N mm, tt ( ) + pp ( 88) + 6 N mm, ( ) pp N mm Výsledné změny poloměů budou: [ 6, ( 88)],65 mm, 5 5 [ 6, ( 88)], mm 5 p p t() o () + 57

60 PŘÍLD (NLISOVNÝ SPOJ NÁBOJ/HŘÍDEL): Dáno: d mm; D 5 mm; b mm; f,5 (součinitel tření v tečném směu); E H E N E, 5 Nmm ; D H D N D Nmm Učit: (maimální přípustný přesah na poloměu ), D (dovolený přenášený kouticí moment) Z teoie nalisovaných nádob víme, že při stejných mateiálech je vždy namáhanější náboj (N) opoti plnému hřídeli (H) aimální dovolený kontaktní tlak pd tedy učíme z pevnostní podmínky samotného náboje sestavené podle pevnostní hypotézy τx (silnostěnná nádoba s vnitřním přetlakem pd při p ): pp DD DD 6, Pa 5 Po výpočet přesahu náboj/hřídel použijeme vztah z teoie nalisovaných nádob, kteý upavíme: EE [ tt NN ( ) tt HH ( )] EE [( NN + pp DD ) ( HH + pp DD )] EE (NN HH ) Po vypočtený kontaktní tlak pd nyní učíme konstanty H (hřídele) a N (náboje): HH pp pp DD NN pp DD pp pp HH pp DD pp DD 6, N mm, pp NN pp DD 6, 5 8,8 N mm Do upaveného vztahu po výpočet přesahu nalisovaných nádob dosadíme vypočtené hodnoty konstant N a H : EE (NN HH ) [8,8 (6,)],5 mm 5 μm, 5 aimální kouticí moment D bude záviset na: velikosti kontaktní plochy náboj/hřídel: ππ dd bb ππ 566, mm, velikosti dovoleného kontaktního tlaku: pp DD 6, Pa, součiniteli tření náboj/hřídel v tečném směu: ff,5 TT dd NN ff dd pp DD ff dd 6, 566,, N mm Tento výsledek znamená, že při zachování pevnostní podmínky podle hypotézy τx, kdy bude edukované napětí v náboji na stykové ploše náboj/hřídel pávě ovno zadanému dovolenému napětí, je schopen tento nalisovaný spoj přenést kouticí moment 5,76 kn m b d D 58

61 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 5 (VOLNÝ TENÝ ROTUJÍCÍ OTOUČ): Dáno: Uvažujme běžné CD nebo DVD vyobené z polykabonátu Základní paamety disku jsou: d 5 mm, D mm, h, mm, ρ 9 kgm, ν,, E 85 Nmm, 6 Nmm, Pt 7 Nmm POZOR!! Veškeé výpočty je třeba povádět v jednotkách soustavy SI vzhledem k zadané hustotě a hlavně k užívání úhlové ychlosti: (E 85 6 Nm -, 6 6 Nm -, Pt 7 6 Nm - ) Učit: k a kpt (bezpečnosti k mezi kluzu a mezi pevnosti při otáčkách n min ), a (změny poloměů po dané otáčky) Vztahy po tečné a adiální napětí vznikající v tenkém otujícím kotouči obecně jsou: tt () CC + CC + vv 8 () CC CC + vv 8 Velikost konstanty závisí pouze na mateiálu kotouče a otáčkách (úhlové ychlosti): ρρ ωω ππ nn ρρ 6 ππ 9 6,5 9 kg m s onstanty C a C učíme z okajových podmínek CD/DVD disk můžeme považovat vzhledem ke způsobu unášení v jeho středu jako volný kotouč na obou svých okajích, po kteé tedy musí platit následující okajové podmínky: ( ) CC CC + vv 8 ( ) CC CC + vv 8 Po dosazení zadaných hodnot dostáváme velikosti obou konstant: CC + vv 8 CC + vv 8 ( + ), 8,5 9 (,75 +,6 ) 9685 N m,, 8,5 9,75,6 9 N Poznámka: Povšimněte si ozměů obou konstant, kteé jsou shodné s ozměy integačních konstant u silnostěnných nádob jen s tím ozdílem, že zde má konstanta C pouze matematický význam, zatímco u silnostěnných nádob mohla mít i fyzikální význam jako osové napětí v uzavřené nádobě Rozmě konstanty C je sice stejný jako ozmě síly, ale je to jen matematická shoda a konstanta má jen a jen matematický význam aimální tečné napětí vzniká na vnitřním poloměu disku a jeho velikost je: tt ( ) + vv ( 8 + ) + ( + vv) + vv 8 8 Výaz se poměně zjednoduší: tt ( ) [ ( vv) + ( + vv)] 59

62 a po dosazení dostáváme: tt ( ),5 9 (,75,7 +,6,),89 6 N m,9 N mm Potože podle předpokladu tenkého kotouče je o a podle okajové podmínky je (), bude zde vznikat pouze jednoosá napjatost a pevnostní podmínka bude mít tva: ττ eeeeeeeeee tt ( ),9 N mm 6 N mm Disk tedy s ezevou vyhovuje a bezpečnost k mezi kluzu je k 5 a k mezi pevnosti kpt 8 Dále ještě učíme tečné napětí na vnějším poloměu t(), potože adiální napětí opět známe (po volný kaj kotouče musí platit () ): tt ( ) + vv 8 ( + ) + ( + vv) + vv 8 8 Výaz se poměně zjednoduší: a po dosazení dostáváme: tt ( ),5 9 tt ( ) 8 [ ( + vv) + ( vv)] (,75, +,6,7),88 6 N m,9 N mm t(),9 Nmm - C,97 Nmm - t() a t() a () () t(),9 Nmm - Na závě ještě učíme změny poloměů disku při otaci Výpočet bude velice jednoduchý, potože vzhledem k předpokladům vzniká na obou okajích disku pouze jednoosá napjatost: εε tt ( ) EE tt( ), ,9 6, 6 m, μm, εε tt ( ) EE tt( ),6 85 6,9 6,65 6 m,65 μm 6

63 PŘÍLD 6 (NLISOVNÝ TENÝ ROTUJÍCÍ OTOUČ S LOPTI): Dáno: Uvažujme tubínový disk vyobený z vysokopevnostní žáupevné oceli, kteý se za povozu otáčí ychlostí n min Základní paamety disku jsou: d mm, D 8 mm, h mm, ρ 7 85 kgm, ν,, E,85 5 Nmm, 5 Nmm, p 5 Nmm (kontaktní tlak za otace) Lopatky na vnějším poloměu mají paamety: ml, kg (hmotnost jedné lopatky) a il 8 (počet lopatek) a TL 5 mm (vzdálenost těžiště lopatek od osy otace) POZOR!! Výpočty je třeba povádět v jednotkách soustavy SI Učit: k (bezpečnosti k mezi kluzu za povozu), (změnu poloměu po dané otáčky) Podle schématického obázku je patné, že se jedná o kotouč, kteý je na vnitřním poloměu namáhán tlakem p v důsledku nalisování na hlavní hřídel a na vnějším poloměu tahem L v důsledku odstředivé síly lopatek Úhlová ychlost otace sestavy hřídel-kotouč je: ωω ππ nn LL 6 ππ 6 ss Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Napětí L na poloměu učíme z celkové odstředivé síly OL lopatek ovnoměně ozložené na celý vnější kaj kotouče : LL OO LL nn LL mm LL TTTT ωω 8,,5 ππ h ππ,, 6, 6 N m 6, N mm Velikost konstanty závisí pouze na mateiálu kotouče a otáčkách (úhlové ychlosti): ρρ ωω 785,85 9 kg m s onstanty C a C učíme z okajových podmínek: ( ) pp 6 N m pp CC CC + vv 8 ( ) LL +6, 6 N m + LL CC CC + vv 8 Velikosti integačních konstant jsou: CC LL + pp po dosazení číselných hodnot vychází: + + vv 8 ( + ) a CC (pp + LL ) + + vv 8 CC 6, 6, + 5 6,6,,6 +, 8,85 9 (,6 +, ) 6 N m, CC ( , 6 ),6,,,6 +, 8,85 9,6, 7 N ω p h TL L TL 6

64 Nyní již tyto hodnoty dosadíme do vztahů po výpočet tečného napětí: tt ( ) 6 + tt ( ) 6 + tt () CC + CC + vv 8 7,6,9 8,85 9,6,9 6 N m, 7,,9 8,85 9, 9,7 6 N m Radiální napětí známe z okajových podmínek: ( ) 5 6 N m a ( ) +6, 6 N m Nejnamáhanější je opět polomě, kde bude edukované napětí podle teoie τx: Po dosazení číselných hodnot vychází: ( ) tt ( ) ( ) ( ),9 6 ( 5 6 ) 6,9 6 N m Hledaná bezpečnost tedy bude: kk 5 6 6,9 6,7 ω ed 6,9 Nmm - t(),9 Nmm - C N mm - () 5 Nmm - t() at() a() () t() 7,9 Nmm - () 6, Nmm - Změnu poloměu učíme z ozšířeného Hookova zákona, kdy po tenký kotouč je o : εε tt ( ) EE [ tt( ) vv ( )] Po dosazení číselných hodnot vychází změna poloměu :,,85 (9,7 6, 6, 6 ), 6 m, μm 6

65 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (VOLNÝ TENÝ ROTUJÍCÍ OTOUČ): Dáno: V podejně po kutily si koupíte ocelový pilový kotouč o tloušťce t,8 mm, půměu D 6 mm se středovým otvoem o půměu d mm otouč je vyoben z vysokopevnostní nástojové oceli o mezi pevnosti Pt Nmm a hustotě ρ 785 kg m POZOR!! Výpočty je třeba povádět v jednotkách soustavy SI Učit: nma (otáčky, kdy by došlo k oztžení kotouče) otouč řešíme jako volný, potože na hřídel není nalisován, ale je pouze vystředěn a zajištěn přítlačnými disky Bude tedy platit () () Nejnamáhanějším místem kotouče bude jeho vnitřní půmě d Potože se jedná o tenký kotouč (tt,8 mm 6 mm DD) bude jediné nenulové napětí t Výsledná napjatost bude jednoosá a podmínka po oztžení kotouče bude mít tva: Vztah po tečné napětí: tt ( ) PPPP tt () CC + CC + vv 8 se na vnitřním povchu výazně zjednoduší díky volnému kotouči s okajovými podmínkami ( ) a ( ) : tt ( ) [ ( vv) + ( + vv)] Hledaná veličina (otáčky nma) je obsažena v členu ρ ω Dosazením dostáváme: Odkud vzchází: tt ( ) ρρ ππ nn mmmmmm [ 6 ( vv) + ( + vv)] PPPP 6 PPPP nn mmmmmm ρρ ππ [ ( vv) + ( + vv)] Po dosazení již získáme hledané otáčky: 6 6 nn mmmmmm 785 ππ (,5,7 +,5,) 8 96 min t() Z výsledku je patné, že tyto otáčky blížící se tisícům za minutu jsou pakticky na běžných stojích nedosažitelné, a tak při běžném povozu nehozí nebezpečí oztžení kotouče Po běžné otáčky okolo 5 min je maimální napětí přibližně 6 N mm a povozní bezpečnost vůči mezi pevnosti je kpt C a t() a () t() () 6

66 PŘÍLD 8 (JEDNODUCHÁ TENÁ RUHOVÁ DES): Dáno: Tenká kuhová otačně symetická plná deska o vnějším poloměu je na tomto vnějším okaji vetknutá do absolutně tuhého základu a po celé své ploše je zatížena konstantním spojitým zatížením (tlakem) qo Deska má tloušťku h (h << ) a je vyobena z mateiálu o modulu pužnosti v tahu E a Poissonově čísle ν Učit: Difeenciální ovnici popisující chování zadané desky, vztahy po napětí a učete také maimální půhyb této desky Tato deska je bez otvou a zatížená konstantním spojitým tlakem qo Příčné zatížení desky Q(), kteé dosadíme do pavé stany bude: Q( ) qo π wma qo konst o t() () () t() () ma Řešíme tedy difeenciální ovnici: Patikulání integál odhadneme ve tvau: a jeho deivace budou: 6 ϕ( ) 6 q π E π h o ϕ ( ) + ϕ ( ) + ϕ ( ) P ϕ P ( ) a P ( ) ϕ 6 Neznámou konstantu získáme dosazením patikuláního řešení ϕp() a jeho deivací do původní difeenciální ovnice, potože i toto řešení jí musí vyhovovat: 6 q π 6 π E h o 6 qo π Řešení této difeenciální ovnice můžeme napsat jako: C o ϕ ( ) C + + qo + + π E h E h q E h onstanty C a C učíme z okajových podmínek po uložení esp uspořádání desky: ϕ ( ) C (nezapomeňte na pavidlo, že nulou se nesmí dělit), ϕ ( ) q E h o C + qo C E h + Úplné řešení difeenciální ovnice po úhel natočení zadané tenké kuhové desky pak je: ( ) qo ϕ ( ) + E h Po výpočet defomací a následně napětí musíme stanovit:

67 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 65 ( ) ) ( h E q o + ϕ a ( ) ) ( h E q o + ϕ a tyto hodnoty dosadit do vztahů po adiální a tečnou defomaci tenké kuhové desky: ( ) ( ) 8 ) ( ) ( 8 ) ( ) ( h E q h h E q h o t o + + ϕ ε ϕ ε a následně do ozšířeného Hookova zákona: [ ] [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ν ν ε ν ε ν ν ε ν ε h q E h q E o t t o t Poznámky: Z půběhů je patné, že adiální napětí klesá stměji než tečné, potože ( ν) > ( ν) Dále je z půběhů patné, že vyhovují podmínce ve středu a maimálnímu napětí na poloměu : ) ( 8 () ) ( ν + h q o t aimální napětí v této desce bude absolutní hodnota adiálního napětí na poloměu : ma ) ( h q h q o o Výpočet defomace desky je pak již jen jednoduchou integací funkce ϕ(): ( ) ) ( C h E q C d h E q w o o Integační konstantu učíme z podmínky po uložení desky na poloměu : w() C h E q o + + h E q C o + tedy: + + ) ( h E q w o Hledaný maimální půhyb upostřed desky bude: () ma h E q C w w o +

68 PŘÍLD 9 (JEDNODUCHÁ TENÁ RUHOVÁ DES): Dáno:, qo, h, E a v Učit: ϕ() jako funkci zadaných hodnot a souřadnice qo w() jako funkci zadaných hodnot a souřadnice wma upostřed desky w() Tato deska je bez otvou a zatížená konstantním spojitým tlakem qo, což odpovídá předchozímu příkladu 7, a poto můžeme použít z předchozího příkladu kompletní obecné řešení: 66 φφ() CC + CC qq oo EE + h onstanty C a C učíme z okajových podmínek po uložení esp uspořádání desky: ϕ( ) C (nezapomeňte na pavidlo, že nulou se nesmí dělit), () Po duhou okajovou podmínku musíme použít ozšířený Hookův zákon kde: εε () φφ II CC CC 9 qq oo EE + h a εε tt () φφ() () EE + [εε () + vv εε tt ()] EE + CC ( + vv) Dosazením do duhé okajové podmínky dostáváme: () EE + CC ( + vv) Řešení difeenciální ovnice bude tedy ve tvau: φφ() Výsledné vztahy po napětí jsou: CC + CC qq oo EE + h ( vv) qq oo EE + h qq oo EE + h ( vv) CC qq oo EE + h ( vv) ( + vv) qq oo vv) EE + ( h ( + vv) () qq oo 8 h ( + vv) ( ) a tt () qq oo 8 h ( + vv) ( + vv) Etémní hodnoty napětí stanovíme ve středu desky a na jejím okaji: : () () qq oo 8 h ( + vv),75 qq oo h, : () a tt () 6 qq oo 8 h ( vv),75 qq oo h Výpočet defomace desky je pak již jen jednoduchou integací funkce ϕ(): ww() φφ() dddd qq oo EE + h ( vv) ( + vv) + Integační konstantu učíme z okajové podmínky: ww() : qq oo EE + h 5 vv ( + vv) ww() qq oo EE + h ( vv) ( + vv) + 5 vv ( + vv) h

69 PŘÍLD (JEDNODUCHÁ TENÁ RUHOVÁ DES): Dáno: Tenká kuhová otačně symetická plná deska o vnějším poloměu je na tomto vnějším okaji zatížena momentem m, kteý je spojitě ozložen po celém obvodě desky Deska má tloušťku h (h << ) a je vyobena z mateiálu o modulu pužnosti v tahu E a Poissonově čísle ν Učit: Difeenciální ovnici popisující chování desky Vztahy po napětí Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Jedná se o desku bez otvou zatíženou jen momentem m, na kteou tedy nepůsobí žádné příčné zatížení (Q() ), a poto bude pavá stana difeenciální ovnice ovna : ϕ( ) ϕ ( ) + ϕ ( ), což odpovídá základní ovnici silnostěnných nádob a řešení tedy stanovíme stejně jako u nádob, tedy bez patikulání části ve tvau: C ϕ ( ) C + Stejně jako u nádoby bez otvou bude muset být C, potože po by výaz C/ neměl smysl Půběh funkce ϕ() tedy bude jen lineání funkcí souřadnice Tím se zjednoduší vztahy po napětí vyjádřené pomocí obecných vztahů po defomace a ozšířeného Hookova zákona: h h ε ( ) ϕ ( ) C h ϕ( ) h ε t ( ) C ( ) E ( ) E t + + [ ε ( ) + ν ε ( ) ] E + [ ε ( ) + ν ε ( ) ] E C ( + ν ) t t + h C ( + ν ) h Znamená to tedy, že oba půběhy budou totožné a jejich velikost učíme z okajové podmínky, kdy na vnějším okaji musí být adiální napětí vyvolané pouze ohybovým momentem m Potože moment způsobuje natahování spodního vlákna, budeme adiální napětí uvažovat kladné: m m 6m ( ) w o "" h h 6 Hledané půběhy napětí v této tenké kuhové desce jsou: 6m h 6m h ( ) + a t ( ) + t 6m/h o m Poznámky: Pokud bychom dál chtěli řešit funkci ϕ(), museli bychom stanovit konstantu C: h 6 m ( ) E + C ( ν ) h m C E + h ( ν ) Dále si povšimněte, že půběhy napětí odpovídají nádobě bez otvou (hřídeli) a jejich velikost je dána velikostí momentu m, kteý působí na okaji desky 67

70 68 PŘÍLD (JEDNODUCHÁ TENÁ RUHOVÁ DES): Dáno: Tenká kuhová otačně symetická deska upostřed s otvoem o poloměu a o vnějším poloměu je na svém vnějším okaji zatížena momentem, kteý je spojitě ozložen po celém obvodě desky Deska má tloušťku h (h <<,) a je vyobena z mateiálu o modulu pužnosti v tahu E a Poissonově čísle ν Učit: Vztahy po napětí vznikající v této desce Deska s otvoem upostřed je zatížená jen momentem a nepůsobí na ní žádné příčné zatížení (Q() ) Poto bude pavá stana difeenciální ovnice ovna, což opět odpovídá základní ovnici silnostěnných nádob, a poto k řešení použijeme a upavíme známé vztahy: ) ( C a ) ( C t + Znamená to tedy, že oba půběhy budou stejně jako u nádob polytopy, kteé budou mít osu v hodnotě konstanty Po výpočet konstant a C využijeme vztahy platné po silnostěnné nádoby pouze s tím, že okajové podmínky není třeba přepočítávat z tlaků, ale budou přímo: π 6 ) ( h W o a π π 6 ) ( h h W o + + Poto po výpočet konstant a C v tomto případě platí: π ) ( ) ( h, [ ] π ) ( ) ( h C Zbývající okajové hodnoty tečných napětí t() a t() tedy budou: h h h t + π π π ) (, ) ( π π π ) ( h h h t + + Nejnamáhanějším místem této desky bude, stejně jako tomu bylo u silnostěnné nádoby, spodní stana vnitřního otvou upostřed desky, kde bude edukované napětí podle teoie τx: h h t t ed π 6 π ) ( ) ( τ X Poznámka: aimální edukované napětí je jako u nádoby s p ovno pávě dvojnásobku konstanty () t() o

71 PŘÍLD (JEDNODUCHÉ TENÉ RUHOVÉ DESY): Dáno: q, esp ; ; ; h; E a ν Učit: Napište difeenciální ovnici po řešení desek Všechny okajové podmínky potřebné po řešení Řešení deska : Deska s otvoem upostřed je zatížená konstantním spojitým tlakem qo Řešení povedeme v jednom poli: ; : QQ() qq OO ππ ( ), kde: φφ IIII () + φφ II () φφ() 6 qq OO ( ) EE + h BB + CC, BB 6 qq EE + h a CC 6 qq EE + h Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Vzhledem k nenulové pavé staně bude obecné řešení obsahovat patikulání integál φφ PP (), kteý by bylo možné buď odhadnout (po zdatné matematiky) nebo vyřešit postupnou integací staženého tvau difeenciální ovnice Obecné řešení zapíšeme ve tvau: φφ() CC + CC + φφ PP() Po stanovení integačních konstant musíme sestavit dvě okajové podmínky: : ( ), : φφ( ) B qo h h Řešení deska B: Deska s otvoem upostřed je bez příčného zatížení Řešení povedeme v jednom poli: ; : QQ(), φφ IIII () + φφ II () φφ() Vzhledem k nulové pavé staně nebude obecné řešení obsahovat patikulání integál a jeho tva bude shodný s řešením silnostěnných nádob: φφ() CC + CC Po stanovení integačních konstant musíme sestavit dvě okajové podmínky: : ( ) 6 WW oo ππ h, : ( ) Poznámka: Znaménko (minus) v pvní podmínce znamená tlakové adiální napětí na spodní staně desky, ke kteé jsou obecně vztahovány všechny půběhy napětí 69

72 PŘÍLD (JEDNODUCHÁ TENÁ RUHOVÁ DES): Dáno: ; ;, h, E a v Učit: ϕ() jako funkci a souřadnice, () jako funkci a souřadnice, t() jako funkci a souřadnice Řešení : Deska s otvoem upostřed je zatížená konstantním na svém kaji zatížena silou, kteá se oznáší ze zatíženého absolutně tuhého členu Řešení povedeme v jednom poli: ; : QQ(), kde: Obecné řešení zapíšeme ve tvau: φφ IIII () + φφ II () φφ() BB 6 EE + h 6 EE + h BB, φφ() CC + CC + φφ PP() Vzhledem k nenulové pavé staně obsahuje obecné řešení patikulání integál φφ PP (), kteý stanovíme postupnou integací staženého tvau difeenciální ovnice: Integací dostáváme: II [φφ() ]II BB II [φφ() ]II BB [φφ() ]II BB ln + CC [φφ() ] II BB ln + CC Další integací pe-pates dostáváme: φφ() BB Řešení upavíme do klasického stavu: kde: CC CC ln + CC + CC φφ() BB ln + CC + CC φφ() CC + + CC + φφ PP(), a φφ PP () BB 6 ln EE + h ln EE + ln h Po stanovení integačních konstant musíme sestavit dvě okajové podmínky: : φφ( ) - vetknutí desky do absolutně tuhého členu : φφ( ) - vetknutí do tuhé stěny Rozepsáním těchto dvou podmínek dostáváme: CC + CC EE + h ln a CC + CC absolutně tuhý člen EE + h ln h 7

73 Odkud jsou integační konstanty: CC EE + h Výsledný půběh ϕ() bude: φφ() ( ln ln ) a CC EE + h ( ln ln ) + ln Výsledné půběhy napětí budou: kam dosadíme: φφ() tt () EE + [εε tt () + vv εε ()] EE + h φφ() + vv φφii (), () EE + [εε () + vv εε tt ()] EE + h φφii () + vv φφ(), EE + h ( ln ln ) + ln Pužnost a pevnost II ZS 8/9 EE + h ln ln ln φφ II () EE + h ( ln ln ) ln (ln + ) ττ ww mmmmmm () w() t() o 7

74 PŘÍLD (SLOŽENÁ TENÁ RUHOVÁ DES POLE): Dáno: q; ; ; h; E a ν Učit: - ozdělit desku na příslušný počet polí - sestavit difeenciální ovnice po jednotlivá pole - napsat obecná řešení jednotlivých ovnic - napsat odpovídající počet okajových podmínek qo h Nejpve desku ozdělíme na dvě pole podle měnícího se příčného zatížení: Pole I: ; : Q ( q π I ) Pole II: ; : 7 Q ( q π II ) Na základě tohoto ozdělení musíme sestavit dvě difeenciální ovnice: I) II) ϕ ( ) 6 q π E π h I ϕ I( ) + ϕi( ), + ϕii( ) 6 q π ϕ II( ) + ϕ II( ) + π E h Potože difeenciální ovnice obsahují pavou stanu, budou mít obě řešení jak homogenní část obsahující celkem integační konstanty C C, tak také patikulání řešení: C I) ϕ I( ) C + + ϕi P( ), C II) ϕ II( ) C + + ϕii P( ) e stanovení patikuláních řešení buď použijeme znalosti z matematiky difeenciálních ovnic anebo využijeme tzv stažený tva difeenciální ovnice a jeho postupnou integací a následným zjednodušováním učíme tva patikuláních řešení Poznámka: Paadoně jednodušší by bylo patikulání řešení I ovnice, kde PSI f( ) než II ovnice, kde PSII konst: Vycházelo by: φφ IPP () ff( ), ale φφ IPP () ff( ln) Po výpočet integačních konstant C C je třeba sestavit okajové podmínky: ) ϕi upostřed desky musí být nulové natočení Tuto podmínku lze také zaměnit ze podmínku t() (), kteá vychází z předpokladu, že statická ovnováha středového bodu musí být zachována) ) ϕi() ϕii() půhybová plocha musí být ve spojení obou polí hladká Toto je naposto univezální podmínka, kteá se ve spojení dvou polí kontinuální desky, ale třeba i nosníku zaučuje hladkost plochy nebo půhybové čáy u nosníků ) I() II() v místě spojení obou polí nepůsobí žádný vnější moment Toto je vlastně statická momentová podmínka, kdy se v obecném místě, v němž nepůsobí žádný ohybový moment, musí velikost momentu zleva musí ovnat velikosti momentu zpava ) II() na nezatíženém volném kaji desky není žádné adiální napětí Na volném kaji bez zatížení neeistuje nic, co by vytvářelo ovnováhu s případným vnitřním adiálním napětím, a poto toto napětí musí být nulové

75 PŘÍLD 5 (SLOŽENÁ TENÁ RUHOVÁ DES POLE): Dáno: Tenká kuhová otačně symetická plná deska je na poloměu zatížena silou ozloženou po kužnici a na vnějším poloměu je kloubově podepřena po celém svém obvodu Deska má opět tloušťku h <<, a je mateiál má E a ν Učit: Difeenciální ovnice jednotlivých polí, na kteé je třeba desku ozdělit a potřebné okajové podmínky Tuto desku USÍE ozdělit na dvě pole I a II, potože na poloměu se mění zatížení Pole I: ; : QI(), ϕi( ) Difeenciální ovnice bude: ϕ I ( ) + ϕ I( ) Pole II: ; : QII() ϕi( ) 6 Difeenciální ovnice bude: ϕ II( ) + ϕ II( ) + π E h Řešení těchto dvou ovnic budou mít tva: C C ϕ I ( ) C + a ϕ II( ) C + +ϕii P( ) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Patikulání řešení duhé ovnice bychom učili postupnou integací staženého tvau: 6 ( II( ) ) 6 ϕ ϕ + IIP ( ) ln + π E h π E h onstanty C, C, C a C učíme z okajových podmínek co kaj desky, to jedna podmínka: : ϕi() C upostřed v ose se deska nesmí natočit (nulou se nesmí dělit), : ϕi() ϕii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká : I-II II-I I () II () - ve spojení není žádný vnější moment : II () - volný nezatížený kaj desky Pokud bychom tento systém dořešili, získali bychom následující půběhy napětí: I I ( ) t ( ) ( ν ) + ( + ν ) ln ( ν ), π h II ( ) ( + ν ) ln + ( ν ) ( ν ), π h II t ( ) ( + ν ) ln + ( ν ) ( ν ) π h II-I I t I o I-II R II t II I II 7

76 PŘÍLD 6 (SLOŽENÁ TENÁ RUHOVÁ DES POLE): Dáno:,, a, qo, h, E a v Učit: Rozdělte desku na příslušný počet polí Napište difeenciální ovnice po každé pole Napište okajové podmínky po učení všech integačních konstant Nejpve musíme učit velikost eakce, kteá vzniká v připojení (přivaření) desky k tuhému válci: Nyní již desku ozdělíme na pole: RR QQ qq oo ππ ( ) Pole I: ; : QQ I() RR qq oo ππ ( ), Difeenciální ovnice bude: φφ IIII I () + φφ II I () φφ I + 6 qq OO ( ) EE + h kkkkkkkkkk Pole II: ; : QQ II() RR + qq oo ππ qq oo ππ, Difeenciální ovnice bude: φφ IIII II () + φφ II II () φφ II + 6 qq OO EE + h ff( ) Pole III: ; č : QQ II() RR + QQ, Difeenciální ovnice bude: φφ III Řešení těchto dvou ovnic budou mít tva: IIII () + φφ II III () φφ III absolutně tuhý válec q o h φφ I () CC + CC + φφ PPI() ; φφ II () CC + CC + φφ PPII() ; φφ III () CC + CC Patikulání řešení pvní a duhé ovnice bychom učili nejjednodušeji pavděpodobně postupnou integací staženého tvau difeenciální ovnice onstanty C, C, C, C, C a C učíme ze šesti okajových podmínek co kaj desky, to jedna podmínka (ve spojení dvou polí musí být vždy dvě podmínky: : ϕi() - přivaření desky k tuhému válci se chová jako vetknutí, : ϕi() ϕii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká : I-II II-I I () II () - ve spojení není žádný vnější moment : ϕii() ϕiii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká 5 : II-III III-II I () II () - ve spojení není žádný vnější moment 6 : III () - volný nezatížený kaj desky 7

77 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (SLOŽENÁ TENÁ RUHOVÁ DES POLE): Dáno: q; ; ; ; h; E a ν Učit: Rozdělte desku na příslušný počet polí Napište difeenciální ovnice po každé pole Napište okajové podmínky po učení konstant Nejpve musíme učit velikost eakce, kteá vzniká v připojení (přivaření) desky k tuhému válci: qo h RR QQ qq oo ππ Nyní již desku ozdělíme na pole: Pole I: ; : QQ I() qq oo ππ, Difeenciální ovnice bude: φφ I IIII () + φφ I II () φφ I 6 qq OO EE + h ff( ) Pole II: ; : QQ II() QQ qq oo ππ, Difeenciální ovnice bude: φφ IIII II () + φφ II II () φφ II 6 qq OO EE + h kkkkkkkkkk Pole III: ; č : QQ II() QQ RR, Difeenciální ovnice bude: IIII () + φφ II III () φφ III φφ III Řešení těchto dvou ovnic budou mít tva: φφ I () CC + CC + φφ PPI() ; φφ II () CC + CC + φφ PPII() ; φφ III () CC + CC Patikulání řešení pvní a duhé ovnice bychom učili nejjednodušeji pavděpodobně postupnou integací staženého tvau difeenciální ovnice onstanty C, C, C, C, C a C učíme ze šesti okajových podmínek co kaj desky, to jedna podmínka (ve spojení dvou polí musí být vždy dvě podmínky: : ϕi() C - upostřed v ose se deska nesmí natočit (nulou se nesmí dělit), : ϕi() ϕii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká : I-II II-I I () II () - ve spojení není žádný vnější moment : ϕii() ϕiii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká 5 : II-III III-II I () II () - ve spojení není žádný vnější moment 6 : III () - volný nezatížený kaj desky 75

78 PŘÍLD 8 (SLOŽENÁ TENÁ RUHOVÁ DES POLE): Dáno: Tenká kuhová otačně symetická deska s otvoem upostřed o poloměu je na mezikuží mezi poloměy a zatížena spojitým zatížením (tlakem) q, na poloměu je po celém obvodu podepřena a na poloměu 5 má deska volný (nezatížený) okaj Deska má tloušťku h (h,,,,5) a její mateiál má modulu pužnosti E a Poissonovo číslo ν qo I-II 5 I Učit: Difeenciální ovnice jednotlivých polí, na kteé je třeba desku ozdělit a potřebné okajové podmínky II-I qo II-III II Nejpve musíme ze statické podmínky ovnováhy do svislého směu učit velikost eakce R v podepření na poloměu : R ( ) q π o Nyní celou desku ozdělíme na čtyři pole: (od do se nemůže jednat o pole desky, potože tam nic není ) Pole I: ; : QI(), Pole II: ; : QII() qoπ( ), Pole III: ; : QIII() qoπ( ), Pole IV: ; 5 : QIV() qoπ( ) R Difeenciální ovnice můžeme zapsat po všechny čtyři desky ve tvau: ϕi ( ) 6 Qi ( ) ϕ i ( ) + ϕ i ( ) po i I, II, III a IV + π E h Řešení čtyř difeenciálních ovnic duhého řádu znamená eistenci osmi integačních konstant Po jejich stanovení musíme sestavit podle uspořádání řešené desky osm okajových podmínek (opět nezapomeňte ne pavidlo co kaj desky to jedna podmínka, což znamená, že ve všech spojeních dvou polí se setkávají dva kaje a musí tam být dvě okajové podmínky) : I () - volný nezatížený kaj desky, : ϕi() ϕii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká, : I-II II-I I () II () - ve spojení není žádný vnější moment, : ϕii() ϕiii() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká, 5 : II-III III-II II () III () - ve spojení není žádný vnější moment, 6 : ϕiii() ϕiv() - půhybová plocha ve spojení polí musí být hladká, 7 : III-IV IV-III III () IV () - ve spojení není žádný vnější moment, 8 5: IV (5) - volný nezatížený kaj desky RII-III RIII-II III-II III-IV RII-III RIII-IV IV-III R III IV 76

79 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 STBILIT PŘÍÝCH PRUTŮ (VZPĚR) PŘÍLD (VÝPOČET DOVOLENÉ SÍLY): Dáno: 6 Nmm, u Nmm, E, 5 Nmm,,7 m, d mm, k,5 Učit: D (dovolená síla po I případ vzpěu) Nejpve popíšeme geometii putu (vzpěy): vadatický moment kuhového půřezu je: J π min 6 d Plocha kuhového půřezu je: π d Z těchto hodnot dostáváme kvadatický polomě kuhového půřezu: π d J min 6 d i min π d S využitím kvadatického poloměu půřezu stanovíme štíhlost řešeného putu jako: 7 λ 9, i d ezní štíhlost po I případ vzpěu stanovená z podmínky k u je: λ min 5 π E π, n 5,9 I mez u Potože λ > λmez povedeme další výpočet podle Euleova vztahu po pužné řešení ztáty stability přímého putu zatíženého osovou tlakovou silou: π π d E 6 I π E J min k n π E d 56 Hledaná dovolená síla při uvažování bezpečnosti k tedy bude: 5 π, 567 I k D k 5 N kn,5 d 5 N D? 77

80 PŘÍLD (VÝPOČET DOVOLENÉ SÍLY): Dáno: 6 Nmm, u Nmm, E, 5 Nmm,, m, a b mm, k Učit: D (dovolená síla po IV případ vzpěu a pak po I, II a III) Nejpve popíšeme geometii putu (vzpěy): D? J min a b a a b a b J min a i min a b Štíhlost řešeného putu tedy bude: λ i a min a b 5 IV π E π, ezní štíhlost po IV případ vzpěu je: λ mez n, 6 Potože λ < λmez povedeme další výpočet podle Tetmajeova vztahu: T u 6 k k λ a b N λmez,6 Hledaná dovolená síla tedy bude: N 9,6 kn k D k Nyní ještě učíme, jak výsledek ovlivní uložení vzpěy (případy I, II a III): I případ II případ III případ k k k u I π, II π, III π, λ mez 5,9 λ mez, 8 λ mez,, 78 T T T k Pa k 6 Pa k Pa,,6 kn 7, kn 8,7 kn D D Poznámka: Povšimněte si, jak se málo liší výsledky všech čtyř typů vzpě získané pomocí Tetmajeova vztahu: V I případu vzpěu (nejméně ohybově tuhá vzpěa) vychází dovolená síla jen cca o % nižší než je dovolená síla TT ve IV případu vzpěu (ohybově nejtužší vzpěa) Je to dáno poměně malým spádem přímky kkkk vzhledem k malému ozdílu mezi mezí kluzu a mezí úměnosti u D

81 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (VÝPOČET DOVOLENÉ SÍLY): Dáno: b mm; h mm; 5 mm; k ; E, 5 Nmm ; u Nmm a 5 Nmm Učit: D (dovolená síla po I případ vzpěu) Nejpve popíšeme geometii putu (vzpěy) minimální kvadatický moment půřezu: JJ min bb h mm, plocha půřezu: bb h 6 mm, minimální kvadatický polomě půřezu: ii min JJ min bb h bb h bb 5,77 mm Štíhlost řešeného putu stanovená z předchozích veličin bude: λλ ezní štíhlost po I případ vzpěu je: l 5 ii min 5,77 86,6 I λλ mmmmmm nn ππ EE uu ππ, 5 9,7 D? b h Potože λ > λmez, bude se jednat o elastický vzpě a další výpočet povedeme podle Euleova vztahu po I případ vzpěu: kkkk nn ππ EE JJ min l ππ, N Hledaná dovolená síla při dodžení zadané bezpečnosti bude: DD kkkk kk 5 56 N, kn Poznámky: Po kontolu vypočteme velikost kitického tlakového napětí, kteé vzniká v putu: kkkk kkkk , N mm N mm uu Podmínka pužného vzpěu je skutečně dodžena Povšimněte si ale, při jak malém napětí by tento put ztatil v ideálním případě stabilitu, a poto je třeba uvažovat elativně vysokou bezpečnost k, kteá zaučí spolehlivý povoz v eálném stavu Po sovnání vypočteme ještě napětí v putu, kteé bude vznikat za povozu při zatížení dovolenou silou: DD DD , N mm 79

82 PŘÍLD (VÝPOČET DOVOLENÉ SÍLY): Dáno: D 5 mm; 6 mm; k ; E, 5 Nmm ; u Nmm a 5 Nmm Učit: D (dovolená síla po I případ vzpěu) Nejpve popíšeme geometii putu (vzpěy) minimální kvadatický moment půřezu: ππ DD ππ 5 JJ min 9 75 mm, 6 6 plocha půřezu: ππ DD ππ 5 9 mm, minimální kvadatický polomě půřezu: ii min JJ min ππ DD 6 ππ DD DD 5 6,5 mm Štíhlost řešeného putu stanovená z předchozích veličin bude: λλ ezní štíhlost po III případ vzpěu je: III λλ mmmmmm l ii min 6 6,5 96, nn ππ EE ππ, 5,5 uu D? D Potože λ < λmez povedeme další výpočet podle Tetmajeova vztahu: kkkk TT kkkk uu 5 λλ N λλ mmmmmm,5 Hledaná dovolená síla tedy bude: DD kkkk kk 88 N, kn Poznámky: Po kontolu vypočteme velikost kitického tlakového napětí, kteé vzniká v putu: kkkk kkkk , N mm ; 5 N mm uu ; Podmínka nepužného vzpěu je skutečně dodžena Povšimněte si ale poměně vysoké hodnoty napětí, při kteém by tento put ztatil v ideálním případě stabilitu Po sovnání vypočteme ještě napětí v putu, kteé bude vznikat za povozu při zatížení dovolenou silou a je vidět, že i při dodžení bezpečnosti bude napětí v putu dosti vysoké: DD DD 9 6,6 N mm 8

83 PŘÍLD 5 (DIENZOVÁNÍ VZPĚRY): Dáno: 8 Nmm, u Nmm, E, 5 Nmm,,5 m, kn, k,5 Učit: d (potřebný půmě tyče po III Případ vzpěu) Řešení úlohy povedeme v několika kocích: RO: POPIS GEOETRIE ŘEŠENÉHO PRUTU Po další výpočty vyjádříme všechny potřebné geometické chaakteistiky putu jako funkce hledaného ozměu d: kvadatický moment půřezu: π d J min 9 6, d, plochu půřezu: π d,785 d, kvadatický polomě půřezu: J min imin, 5 d Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Pomocí kvadatického poloměu a délky putu stanovíme štíhlost řešeného putu: λ i min 5 d ezní štíhlost po III případ vzpěu stanovená z podmínky k u je: π III E λ mez n,5 RO: NÁVRH PODLE EULEROV VZTHU PRO III PŘÍPD VZPĚRU Nejpve budeme předpokládat vznik pužného vzpěu, a poto pvní návh půřezu putu povedeme podle Euleova vztahu: π u E J III k min k V tomto vztahu se vyskytuje jediná neznámá (půmě d), kteá je obsažena v kvadatickém momentu půřezu Poto musí současně platit: k J min, 9 π E Odkud již dostáváme hledaný ozmě podle Euleova vztahu: d E d d E k,9 π E,5 5,9 π, 5 6, mm 8

84 RO: ONTROL PLTNOSTI EULEROV VZTHU Nyní se musíme přesvědčit, zda byla splněna podmínka použitelnosti Euleova vztahu ontola se dá povést dvojím způsobem: a) pimání kontola by měla být přes napětí, zda je splněna podmínka EE kk uu : k,5 E - k 69, N mm E,785d E b) altenativní podmínka po platnost Euleova vztahu je přes štíhlost λλ EE λλ mmmmmm : λ E i min E 5, d 6, E Potože EE kkkk > uu, esp λe < λmez není možné použít při dimenzování vztahy po pužný ozsah (Euleův vztah) a JE tedy třeba dále povést přepočet pomocí vztahů platných po nepužný ozsah (např Tetmajeův vztah) RO: PŘEPOČET PODLE TETJER itické Tetmajeovo napětí je dáno vztahem: T k u λ λmez a současně musí platit vztah po tlakové napětí při dodžení zadané bezpečnosti: T k k Spojením těchto ovnic a dosazením za λ a funkce ozměu d dostáváme ovnici: k,785d u u k d d λ d λ,785 mez Odkud vychází: d u ± λ mez u λmez k +,785 T, mez Výsledkem jsou dva ozměy dd T 7,9 mm toto je hledaná VELIOST půměu dd, dd T 67, mm záponý ozmě NEÁ fyzikální smysl! 8 Poznámka: Po ověření spávnosti vypočteme po výsledný ozmě dt 7,9 mm velikost Tetmajeova napětí, kteé musí být v intevalu u : T k,5 k 66 N mm,7857,9 T ontola je v pořádku, potože po vypočtený půmě d splňuje opavdu hodnota Tetmajeova napětí podmínku nepužného vzpěu: k u ; -

85 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 6 (DIENZOVÁNÍ VZPĚRY): Dáno:,8 m; N; k ; E,9 5 Nmm ; u 9 Nmm ; Nmm Učit: a (potřebnou velikost stany čtvecového půřezu po III případ vzpěu) Řešení úlohy povedeme v několika kocích: RO: POPIS GEOETRIE ŘEŠENÉHO PRUTU Po další výpočty vyjádříme všechny potřebné geometické chaakteistiky putu jako funkce hledaného ozměu d: kvadatický moment půřezu: JJ min aa,8 aa, plochu půřezu: aa, kvadatický polomě půřezu: ii min JJ min aa aa aa,887 aa a Pomocí kvadatického poloměu a délky putu stanovíme štíhlost řešeného putu: λλ l 8 ii min aa ezní štíhlost po II případ vzpěu stanovená z podmínky k u je: II λλ mmmmmm nn ππ EE ππ, 5 99, uu RO: NÁVRH PODLE EULEROV VZTHU PRO III PŘÍPD VZPĚRU Nejpve budeme předpokládat vznik pužného vzpěu, a poto pvní návh půřezu putu povedeme podle Euleova vztahu: II kkkk ππ EE JJ min l kk V tomto vztahu je jediná neznámá (ozmě a), kteá je obsažena v kvadatickém momentu půřezu Poto musí současně platit: JJ min kk l ππ EE,8 aa EE Odkud již dostáváme hledaný ozmě podle Euleova vztahu: kk l dd EE,8 ππ 8 EE,8 ππ, 5 5,8 mm 8

86 RO: ONTROL PLTNOSTI EULEROV VZTHU Nyní se musíme přesvědčit, zda byla splněna podmínka použitelnosti Euleova vztahu ontola se dá povést dvojím způsobem: a) pimání kontola by měla být přes napětí, zda je splněna podmínka EE kkkk uu : EE kkkk kk EE kk aa EE 6, 8, N mm b) altenativní podmínka po platnost Euleova vztahu je přes štíhlost λλ EE λλ mmmmmm : λλ l l 8 7, ii min aa EE 5,8 EE Potože kkkk < uu, esp λe >λmez bylo použití Euleova vztahu po pužný vzpě zcela opávněné a tedy NENÍ třeba dále povést přepočet pomocí vztahů platných po nepužný ozsah (např Tetmajeův vztah) RO: PŘEPOČET PODLE TETJER NENÍ TŘEB PROVÁDĚT 8

87 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (DIENZOVÁNÍ VZPĚRY): Dáno: N; 5 mm; k ; E, 5 Nmm ; u 8 Nmm a 8 Nmm Učit: h (potřebnou velikost obdélníkového půřezu po I případ vzpěu) Řešení úlohy povedeme v několika kocích: RO: POPIS GEOETRIE ŘEŠENÉHO PRUTU Po další výpočty vyjádříme všechny potřebné geometické chaakteistiky putu jako funkce hledaného ozměu d: kvadatický moment půřezu: JJ min h h plochu půřezu: h h h, h 6,667 h, kvadatický polomě půřezu: h h ii min JJ min h 6 h h 6,8 h Pomocí kvadatického poloměu a délky putu stanovíme štíhlost řešeného putu: λλ l ii min 6 5 h ezní štíhlost po II případ vzpěu stanovená z podmínky k u je: I λλ mmmmmm nn ππ EE uu ππ, 5 5,6 8 RO: NÁVRH PODLE EULEROV VZTHU PRO III PŘÍPD VZPĚRU Nejpve budeme předpokládat vznik pužného vzpěu, a poto pvní návh půřezu putu povedeme podle Euleova vztahu: I kkkk ππ EE JJ min l kk V tomto vztahu je jediná neznámá (ozmě a), kteá je obsažena v kvadatickém momentu půřezu Poto musí současně platit: kk l JJ min ππ,667 h EE EE Odkud již dostáváme hledaný ozmě podle Euleova vztahu: kk l h EE,667 ππ EE 5,667 ππ, 5, mm 85

88 RO: ONTROL PLTNOSTI EULEROV VZTHU Nyní se musíme přesvědčit, zda byla splněna podmínka použitelnosti Euleova vztahu ontola se dá povést dvojím způsobem: a) pimání kontola by měla být přes napětí, zda je splněna podmínka EE kkkk uu : EE kkkk kk EE kk h EE, 7,7 N mm b) altenativní podmínka po platnost Euleova vztahu je přes štíhlost λλ EE λλ mmmmmm : λλ l 6 l 6 5 8, ii min aa EE, EE Potože kkkk < uu, esp λe >λmez bylo použití Euleova vztahu po pužný vzpě zcela opávněné a NENÍ tedy třeba dále povést přepočet pomocí vztahů platných po nepužný ozsah (např Tetmajeův vztah) RO: PŘEPOČET PODLE TETJER NENÍ TŘEB PROVÁDĚT 86

89 PŘÍLD 8 (ENERGETICÁ ETOD): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin, je na jednom konci vetknutý a na duhém volném je zatížen osamělou silou Učit: eeeeeeeeee kkkk (pvní kitická síla pomocí enegetické metody) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Po přibližné řešení navhneme křivku, duhého řádu: vv() aa + bb + cc Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Tato křivka musí vyhovět po zavedenou souřadnici dvěma geometickým podmínkám: po musí být v ( ) (put se ve vetknutí nesmí pohnout) c, po musí být v ( ) (put se ve vetknutí nesmí natočit) b Po další výpočty tak použijeme křivku: v( ) a, kde a je libovolná (malá) hodnota, potože řešíme indifeentní stav ovnováhy Deivace funkce a jejich duhé mocniny po dosazení do základního vztahu jsou: v ( ) a v ( ) a, v ( ) a v ( ) a Použijeme univezální vztah platný po všechny případy vzpěu: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min [vv"()] dd (l) [vv ()] dddd Po dosazení dostáváme výslednou kitickou sílu učenou enegetickou metodou: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min (l) aa l dddd l aa dddd Nyní tento výsledek sovnáme s přesným Euleovým řešením: Hledaný ozdíl je: kkkk EE I kkkk eeeeeeeeee EE I kkkk ππ EE JJ min l % EE I kkkk, ππ EE JJ min l,5 ππ EE JJ min l,,5,5 %,6% k I? Poznámky: Enegetická metoda dává vždy honí odhad ( eneg E ), potože kteákoliv jiná než skutečná křivka je enegeticky náočnější ( Vše, co dělá příoda je enegeticky nejméně náočné ) Vyšší enegii dodáme do soustavy jedině vyšší silou, než je přesné řešení Enegetická metoda může ale být i metodou přesnou, pokud za půhybovou čáu navhneme skutečnou čáu, kteá nastane v příodě Poměně velká chyba je dána volbou té nejjednodušší možná křivky 87

90 PŘÍLD 9 (ENERGETICÁ ETOD): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin, je na jednom konci vetknutý a na duhém volném je zatížen osamělou silou Učit: eeeeeeeeee kkkk (pvní kitická síla pomocí enegetické metody) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Nyní navhneme křivku, kteá bude splňovat komě geometických okajových podmínek také podmínku statickou Po přibližné řešení navhneme křivku, třetího řádu: 88 vv() aa + bb + cc + dd Tato křivka musí vyhovět po zavedenou souřadnici třem podmínkám: po musí být v ( ) (put se ve vetknutí nesmí pohnout) d, po musí být v ( ) (put se ve vetknutí nesmí natočit) c, po musí být v () o() (na konci putu má síla nulové ameno) b a Po další výpočty tak použijeme křivku: vv() aa ( l ) de a je libovolná (malá) hodnota, potože řešíme indifeentní stav ovnováhy Deivace funkce a jejich duhé mocniny po dosazení do základního vztahu jsou: vv () aa ( 6 l ) vv () aa (9 6 l + 6 l ), vv"() aa (6 6 l) vv"() aa (6 7 l + 6 l ) Použijeme opět univezální vztah platný po všechny případy vzpěu: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min [vv"()] dddd (l) [vv ()] dddd Po dosazení dostáváme výslednou kitickou sílu učenou enegetickou metodou: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min (l) 6 aa l ( l + l ) dddd l 9 aa ( l + l ) dddd Nyní tento výsledek sovnáme s přesným Euleovým řešením: Hledaný ozdíl je: kkkk EE I kkkk eeeeeeeeee EE I kkkk ππ EE JJ min l % EE I kkkk,5 ππ EE JJ min l,5,5,5,5 ππ EE JJ min l %,% Poznámky: Zpřesněním navžené půhybové čáy se výazně zmenšila chyba mezi enegetickým a přesným řešením Enegetická metoda ale stále dává honí odhad ( eneg E ), potože kteákoliv jiná než skutečná křivka je enegeticky náočnější ( Vše, co dělá příoda je enegeticky nejméně náočné ) k I?

91 PŘÍLD (ENERGETICÁ ETOD): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin, je na jednom konci vetknutý a na duhém volném je zatížen osamělou silou Učit: eeeeeeeeee kkkk (pvní kitická síla pomocí enegetické metody) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Nyní navhneme křivku, kteá odpovídá skutečnému půhybu vzniklému při I případu vzpěu a bude splňovat komě geometických okajových podmínek také všechny podmínky statické Po přibližné řešení navhneme goniometickou křivku ve tvau: vv() aa cos ππ l de a je libovolná (malá) hodnota, potože řešíme indifeentní stav ovnováhy Deivace funkce a jejich duhé mocniny po dosazení do základního vztahu jsou: Pužnost a pevnost II ZS 8/9 ππ ππ vv () aa sin l l vv () aa ππ l sin ππ l, vv"() aa ππ l cos ππ l vv"() aa ππ l cos ππ l Použijeme opět univezální vztah platný po všechny případy vzpěu: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min [vv"()] dddd (l) [vv ()] dddd Po dosazení dostáváme výslednou kitickou sílu učenou enegetickou metodou: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min aa ππ l l cos ππ dddd l aa ππ l l sin ππ dddd l Nyní tento výsledek sovnáme s přesným Euleovým řešením: Hledaný ozdíl je: EE I kkkk ππ EE JJ min l (l),5 ππ EE JJ min l,5 ππ EE JJ min l eeeeeeeeee EE I kkkk kkkk,5,5 % % % EE I kkkk,5 k I? Poznámka: Navžením půhybové čáy ve tvau skutečné půhybové čáy a jejím dosazením do vzoce po enegetické řešení jsme dostali přesný výsledek odpovídající Euleovu řešení (z přibližného řešení se stalo řešení přesné) Navžená půhybová čáa je enegeticky stejně náočná jako přesná půhybová čáa 89

92 PŘÍLD (ENERGETICÁ ETOD): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin, je na jednom konci vetknutý a na duhém volném je zatížen osamělou silou Učit: eeeeeeeeee kkkk (pvní kitická síla pomocí enegetické metody) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Po přibližné řešení navhneme křivku, duhého řádu: vv() aa + bb + cc Tato křivka musí vyhovět po zavedenou souřadnici dvěma geometickým podmínkám: po musí být v() (put se v kloubu nesmí pohnout) c, po musí být v() (put se v kloubu nesmí pohnout) b a Po další výpočty tak použijeme křivku: vv() aa ( l) kde a je libovolná (malá) hodnota, potože řešíme indifeentní stav ovnováhy Deivace funkce a jejich duhé mocniny po dosazení do základního vztahu jsou: vv () aa ( l) vv () aa ( l + l ), vv"() aa vv"() aa Použijeme univezální vztah platný po všechny případy vzpěu: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min [vv"()] dddd (l) [vv ()] dddd Po dosazení dostáváme výslednou kitickou sílu učenou enegetickou metodou: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min (l) aa l dd aa ( l + l ) dddd Nyní tento výsledek sovnáme s přesným Euleovým řešením: Hledaný ozdíl je: l EE II kkkk ππ EE JJ min l ππ EE JJ min l,58 ππ EE JJ min l eenneeeeee EE II kkkk kkkk %,58 %,6% EE II kkkk k II? Poznámka: Enegetická metoda opět dává honí odhad ( eneg E ) a poměně velká chyba je dána volbou té nejjednodušší možné křivky stupně 9

93 PŘÍLD (ENERGETICÁ ETOD): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin, je na jednom konci vetknutý a na duhém volném je zatížen osamělou silou Učit: eeeeeeeeee kkkk (pvní kitická síla pomocí enegetické metody) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Po přibližné řešení navhneme křivku, duhého řádu: vv() aa + bb + cc Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Tato křivka musí vyhovět po zavedenou souřadnici dvěma geometickým podmínkám: po musí být v() (put se v kloubu nesmí pohnout) c, po musí být v() (put se v kloubu nesmí pohnout) b a Po další výpočty tak použijeme křivku: vv() aa ( l) kde a je libovolná (malá) hodnota, potože řešíme indifeentní stav ovnováhy Deivace funkce a jejich duhé mocniny po dosazení do základního vztahu jsou: vv() aa ( l) vv() aa ( l + l ), vv () aa ( l) vv () aa ( l + l ), Použijeme upavený vztah platný pouze po případ vzpěu: eeeeeeeeee (II) kkkk (l) EE JJ min [vv ()] dddd (l) [vv()] dddd Po dosazení dostáváme výslednou kitickou sílu učenou enegetickou metodou: eeeeeeeeee (II) kkkk EE JJ min aa l ( l + l ) dddd l aa ( l + l ) dddd Nyní tento výsledek sovnáme s přesným Euleovým řešením: Hledaný ozdíl je: EE II kkkk ππ EE JJ min l ππ EE JJ min l, ππ EE JJ min l eeeeeeeeee(ii) EE II kkkk kkkk %, %,% EE II kkkk k II? Poznámky: Enegetická metoda opět dává honí odhad ( eneg E ) Při použití původní půhybové čáy a jejím dosazením do upaveného vzoce po enegetické řešení II případu vzpěu se výazně snížila chyba výsledku opoti přesnému Euleovu řešení 9

94 PŘÍLD (ENERGETICÁ ETOD): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin, je na jednom konci vetknutý a na duhém volném je zatížen osamělou silou Učit: eeeeeeeeee kkkk (pvní kitická síla pomocí enegetické metody) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Nyní navhneme křivku, kteá odpovídá skutečnému půhybu vzniklému při II případu vzpěu a bude splňovat komě geometických okajových podmínek také všechny podmínky statické Po přibližné řešení navhneme goniometickou křivku ve tvau: vv() aa sin ππ l, k II? kde a je libovolná (malá) hodnota, potože řešíme indifeentní stav ovnováhy Deivace funkce a jejich duhé mocniny po dosazení do základního vztahu jsou: vv () aa ππ l cos ππ l vv () aa ππ l cos ππ l, vv"() aa ππ l sin ππ l vv"() aa ππ l sin ππ l Použijeme opět univezální vztah platný po všechny případy vzpěu: eeeeeeeeee kkkk EE JJ min [vv"()] dddd (l) [vv ()] dddd Po dosazení dostáváme výslednou kitickou sílu učenou enegetickou metodou: eeeeeeeeee kkkk (l) EE JJ min aa ππ l sin ππ dddd l aa ππ l l cos ππ dddd l Nyní tento výsledek sovnáme s přesným Euleovým řešením: l ππ EE JJ min l Hledaný ozdíl je: EE II kkkk ππ EE JJ min l ππ EE JJ min l eeeeeeeeee(ii) EE II kkkk kkkk % % % EE II kkkk Poznámky: Navžením půhybové čáy ve tvau skutečné půhybové čáy a jejím dosazením do vzoce po enegetické řešení jsme dostali přesný výsledek odpovídající Euleovu řešení (z přibližného řešení se stalo řešení přesné) Navžená půhybová čáa je enegeticky stejně náočná jako přesná půhybová čáa Pokud bychom použili místo univezálního vzoce upavený vzoec po II případ vzpěu, byl by výsledek totožný 9

95 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD (ENERGETICÁ ETOD SROVNÁNÍ VŠECH PŘÍPDŮ VZPĚRU): Dáno: ; E Jmin eeeeeeeeee Učit: I IV kkkk (enegeticky pvní kitická síla) (chyba mezi přibližným a Euleovým řešením) Při návhu půhybové čáy použijte nejjednodušší mocninné křivky, kteé vyhoví geometickým okajovým podmínkám Po I případ vzpěu stačí zvolit paabolu v základním tvau : v( ) a splňuje podmínky: v ( ) a v ( ), Po II případ vzpěu musíme zvolit upavenou paabolu ve tvau : v() v( ) a ( ) splňuje podmínky: v ( ) a v ( ), Po III případ vzpěu musíme zvolit již paabolu ve tvau : v( ) a ( ) splňuje podmínky: v ( ), v ( ) a v ( ), Po IV Případ vzpěu musíme zvolit již paabolu ve tvau : v( ) a ( + ) splňuje podmínky: v ( ), v ( ), v ( ) a v ( ) I případ vzpěu: eneg k E J min II případ vzpěu: eneg k E J min III případ vzpěu: eneg k E J min IV případ vzpěu: eneg k E J min a d E J a d a ( a d min + π, E J ) d E J min a ( + 6 ) d E J min 5 a ( + 9 ) d 5 a a ( (6 E J min a 5 a π,55 8 E J min min π,6 π, + + E J ) d E J ) d min min,6%,6% 8,7% 6,% 9

96 PŘÍLD 5 (ETOD POSTUPNÝCH PROXICÍ): Dáno: Put délky je vyoben z tyče stálého půřezu o kvadatickém momentu půřezu Jmin a je na koncích kloubově uložen a zatížen osamělou silou Učit: ppppppppaaaa kkkk (pvní kitická síla pomocí postupných apoimací) (chyba mezi přibližným a přesným řešením dle Eulea) Jako počáteční odhad použijeme sílu a půhybovou čáu v() navhneme ve zcela nesmyslném tvau konstantní funkce po celé délce putu: v ( ) a Tyto hodnoty nyní dosadíme do základní ovnice, kteou postupně integujeme: a a a v ( ) v ( ) + C v ( ) + C + C E J E J E J min min Integační konstanty C a C učíme z okajových podmínek po uložení řešené vzpěy: : v () C : v ( ) C a E J min Nyní vyjádříme pomě funkcí v() a v() a budeme se zabývat jeho závislostí na souřadnici : vv () vv () aa aa EE JJ l min EE JJ min l min EE JJ min l l ξξ, l kde ξξ představuje poměnný koeficient závislý na poloze popsané souřadnicí : ξξ l l Tento podíl můžeme popsat po celou délku vzpěy, ale stačí jen např v pěti diskétních bodech:,,,,,5 ±s ξξ,,5 9,5 8, 8,, 5, EJmin konst k? v() a konst a v ( ) E J min oeficient ξξ 8, ;, popisující podíl funkcí v() a v() ozhodně není konstantní, ale již půměná hodnota je ξξ, Po pvní povedené apoimaci tato hodnota představuje pvní dostupný výsledek: Přesné Euleovo řešení po II případ vzpěu je: 9 ppppppppap kkkk,6 ππ EE JJ min l EE II kkkk ππ EE JJ min l

97 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Chyba je po povedení postupné apoimaci +,6% opoti známému přesnému Euleovu řešení Z výsledků je patné, že povedení jedné postupné apoimace k učení přesnější hodnoty k nestačí a je třeba celý postup opakovat Výsledkem postupné apoimace je půměná velikost kitické síly učena jako: ppppppppap kkkk,8 ππ EE JJ min l Chyba je po povedení postupné apoimaci by vycházela přibližně +5% opoti známému přesnému Euleovu řešení Pokud nám tato přesnost ještě nestačí, je třeba celý postup opakovat Po dalším zopakování celého postupu až do vyjádření poměu funkcí v() a v() získáme jejich pomě v závislosti na ve tvau: vv () vv () EE JJ min l l 6 l + l l 5 l + l 5 EE JJ min l ξξ, l 6 kde ξξ představuje poměnný koeficient závislý na poloze popsané souřadnicí : ξξ l 6 l + l l 5 l + l 5 l 6 Tento podíl můžeme opět popsat po celou délku vzpěy nebo vybat jen pět diskétních bodů:,,,,,5 ±s ξξ 9,975 9,97 9,88 9,88 9,86 9,89,5 oeficient ξξ 9,86 ; 9,975 se podle tabulky již blíží konstantě a půměná hodnota po třetí postupné apoimaci je ξξ 9,89 Po třech povedených postupných apoimacích zdánlivě nesmyslný pvní odhad půhybové čáy se doapoimoval přibližně do spávného výsledku: Přesné Euleovo řešení po II případ vzpěu je: ppppppppap kkkk,7 ππ EE JJ min l EE II kkkk ππ EE JJ min l Chyba je jen +,7% opoti známému přesnému Euleovu řešení, což je hodnota dostatečně přesná, další postupné apoimace již není třeba povádět a dosaženou hodnotu lze považovat za konečný výsledek 95

98 96 PŘÍLD 6 (ETOD POSTUPNÝCH PROXICÍ): Dáno: ; E Jmin Učit: kkkk ppppppppaaaaoooo (kitická síla postupnými apoimacemi) Jako vhodnou volbu použijeme funkci cos, kteá odpovídá skutečnému tvau půhybové čáy v okamžiku ztáty stability podle I případu vzpěu: a v π cos ) (, kde a je libovolná malá hodnota, o kteou se put vychýlí v okamžiku ztáty stability Při použití metody postupných apoimací zvolíme po nultý kok () "" a za o () () v tomto případě dosadíme: oo () () () [aa vv ()] Základní vztah metody postupných apoimací v tomto případě je: J E a a a J E v π cos π cos ) ( min min Tuto ovnici dál řešíme postupnou integací se zavedením integačních konstant C a C: min π sin π ) ( C J E a v + min π cos π ) ( C C J E a v + + Integační konstanty C a C učíme z okajových podmínek: () v C () v min π J E a C Tyto vztahy dosadíme do výazu po kok metody postupných apoimací: π π cos π π cos ) ( ) ( min min konst J E J E a a v v Je patné, že již po pvním koku je pomě v()/v() oven konstantě, a potože platí: vv () vv () bude kkkk ppppppppaaaaaaaaaa vv () vv () "" vv () vv () Hledaná kitická síla je min π J E apo post k, což je přesné Euleovo řešení π cos π ) ( min J E a v a k?

99 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (OBINCE VZPĚRU S OHYBE): Dáno: Přímý put délky je zatížen osovou silou N a po celé délce konstantním spojitým zatížením qo Put je vyoben z mateiálu o modulu pužnosti E a příčný půřez je konstantní po celé délce putu a má osový kvadatický moment k ose ohybu Jz Učit: ma (maimální moment vznikající v tomto putu při zadané kombinaci), ed (edukované napětí v nejnamáhanějším místě putu) Řešení povedeme pomocí difeenciální ovnice v momentech: () ( ) + α ( ) ( ) () N v() v() q o v Nv N ma Půběh () učíme pomocí znalostí metody řezu z Pužnosti a pevnosti I jako: qo ( ) qo, a poto bude (totéž lze psát přímo ze Schwedleovy věty): ( ) q o Řešíme tedy difeenciální ovnici duhého řádu s konstantní pavou stanou Samotné řešení tedy bude mít část homogenní a část patikulání Homogenní řešení této ovnice bude: ) C cos( α ) + C sin( α ) H ( Patikulání řešení odhadneme s ohledem na pavou stanu difeenciální ovnice jako konstantu H, kteou učíme dosazením do původní ovnice: P ( ) H P ( ) + α H qo H α Celé řešení tedy bude mít tva: qo ( ) C cos( α ) + C sin( α ) α onstanty C a C učíme z okajových podmínek, potože nosník je na obou kajích kloubově uložen, a tak tyto podpěy nepřenášejí žádný moment: : () C cos + C sin C, α α qo q : () cos( α ) sin( α ) o cos( α ) + C C α α α sin( α ) Výsledný půběh momentu () po celé délce putu bude popsán vztahem: qo cos( α ) ( ) cos( α ) + sin( α ) α sin( α ) q o q o q o q o 97

100 Při použití matematických vztahů po poloviční úhly bychom dostali zjednodušený tva: α qo α α ( ) cos( α ) + tan sin( α ) α ísto, kde dosáhne výsledný moment () maimální hodnoty ma bychom obecně učovali pomocí deivace podle souřadnice: d ( ) d Z této podmínky získáme hodnotu et místo etému funkce () a tuto hodnotu dosadíme do původní ovnice vyjadřující půběh momentu po celé délce putu: ) ma V našem případě ale využijeme symetie úlohy, kdy víme, že maimální moment ma bude pávě upostřed řešeného putu (et /): q o ( et α α α ma cos + tan sin α Tento výaz můžeme opět ještě zjednodušit využitím vztahů po poloviční úhly: α cos q o ma α α cos Pokud ještě v tomto vztahu zavedeme novou poměnnou α u α u můžeme pomocí těchto vztahů vyjádřit maimální moment ma jako: qo u cosu q cosu 8 ( cosu) u cosu o ma ma ψ aimální moment od příčného zatížení ma je tedy násoben koeficientem ψ, kteý je funkcí poměnné u esp součinu α a lze dokázat, že ψ(α) > a tedy ma > ma Největší edukované napětí vznikne upostřed putu a jeho velikost bude: ma WW oo + NN DD, Poznámka: Známe-li půběh momentu (), můžeme ovnici popisující půhyb putu v() namáhaného kombinací vzpěu a ohybu učit z Benoulliho difeenciální ovnice půhybové čáy (viz PP I): ( ) q v ( ) o α v ( ) cos( α ) + tan sin( α ) E J z E J z α Postupnou integací dostaneme řešení se dvěma integačními konstantami a Ty opět učíme z okajových podmínek na obou podepřených koncích, kde je nosník kloubově uložen a nemůže se tedy v těchto bodech pohnout: : v() a : v() Výsledný vztah v() popisující půhyb putu při zadané kombinaci vzpěu s ohybem by vycházel vzhledem k předchozím výsledkům poměně složitý 98

101 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 8 (OBINCE VZPĚRU S OHYBE): Dáno: Přímý put délky (ozdělen na dvě části o délkách a a b) je zatížen osovými silami N a příčnou silou, kteá působí mimo střed Put má po celé délce konstantní součin EJz Učit: ma (maimální moment vznikající při kombinaci vzpěu s ohybem) Řešení povedeme opět v momentech: Nosník si tentokát vzhledem k příčnému zatížení silou musíme ozdělit na dvě pole: I ; a a II ; b Také momentové ovnice vyjádříme po obě pole Potože na nosník působí jen osamělá příčná síla víme, že: ( ) q( ) a ( ) q( ) Rovnice tedy budou: ( ) + α ( ) a ( ) + α ( ) a jejich řešení zapíšeme ve tvau: ) C cos( α ) + C sin( α ) a ) C cos( α ) + C sin( α ) ( ( Po učení konstant C, C, C a C musíme sestavit celkem čtyři okajové podmínky: OP: : ( ) - tato podmínka zaučuje nulový moment v levé podpěře, : ( ) - tato podmínka zaučuje nulový moment v pavé podpěře, a b : ( a) ( b) - tato podmínka zaučuje spojitost momentu ve spojení, a b : ( a) + ( b) - tato podmínka zaučuje, že v místě spojení, kde působí osamělá síla, je v půběhu posouvající síly pávě skok velikosti Využili Schwedleovu větu zleva i zpava: T ( ) ( ) esp T ( ) ( ) Po dosazení obecných řešení do těchto podmínek získáme jednotlivé konstanty: C, C, sin( α b) C a α sin( α ) C sin( α a) α sin( α ) a můžeme tedy již vyjádřit vztahy po půběhy obou polí, kteé budou poměně jednoduché: sin( α b) ( ) sin( α ) α sin( α ) sin( α a) a ( ) sin( α ) α sin( α ) aimální moment vzniká logicky ve spojení obou polí a můžeme ho vyjádřit jako: sin( α a) sin( α b) ma ( a) ( b) α sin( α ) v Nv a () () v b () Nv N (a) (b) 99

102 PŘÍLD 9 (OBINCE VZPĚRU S OHYBE): Dáno: Přímý put délky je zatížen osovými silami N a osamělým momentem v levé podpěře Put má po celé délce konstantní součin EJz Učit: et (místo, kde vzniká etém momentu ma) ma (velikost maimálního momentu vznikající při kombinaci vzpěu s ohybem) V tomto případě bude opět pavá stana difeenciální ovnice v momentech ovná nule, a tak řešení nebude obsahovat patikulání část ale jen homogenní část: ) C cos( α ) + C sin( α ) ( Integační konstanty C a C učíme z okajových podmínek: OP: : () + popis levou podpěu s osamělým momentem, : ( ) tato podmínka zaučuje nulový moment v pavé podpěře, kteá není zatížená Po dosazení tak dostáváme: + C cos + C sin C +, + cos( α ) + C sin( α ) Výsledný půběh momentu edy bude: cos( α ) C sin( α ) cos( α ) ( ) cos( α ) sin( α ) sin( α ) aimum učíme pomocí deivace výsledné funkce podle souřadnice : d ( )! d cos( α ) cos( ) sin( ) d α α d sin( ), α odkud za předpokladu, že α dostáváme ovnici: sin( α cos( α et et ze kteé již vyjádříme hledanou vzdálenost et: ) cos( α ), ) sin( α ) et actg[ cotg( α ) ] α et ma B N Nyní mohou nastat tři možnosti: et < funkce () má etém mimo put ma (funkce má pouze supemum), et funkce () má etém pávě v levé podpěře ma, et > funkce () má etém v obecném místě putu ma (et)

103 PŘÍLD (OBINCE VZPĚRU S OHYBE): Dáno: ; N ; ; D ; EJ konst Učit: ed (pevnostní kontolu v místě největšího namáhání) Z obázku je vidět, že se jedná o put, kde nejnamáhanějším místem je vetknutí (bod C), kde je současně největší ameno síly, a tedy maimální přídavný ohyb Pevnostní podmínka zde bude: oo ma WW oo + NN DD Nyní musíme stanovit maimální ohybový moment jako výsledek kombinace momentu od osové síly a od příčné síly: o [ a v( ) ] + ( ) ( ) N ψ ( ) + ξ ( ) N Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Potože však půhyb vzpěy v() je funkcí ohybového momentu o (), kteá je popsána Benoulliho difeenciální ovnicí půhybové čáy ve tvau: v ( ) E J o ( ), musíme momentovou ovnici nejpve dvakát deivovat, abychom dosazením Benoulliho ovnice mohli dostat difeenciální ovnici duhého řádu již jen o jedné neznámé o (): N o ( ) + o( ) E J Po zjednodušení použijeme N EJ z α z z a řešení difeenciální ovnice bude: o ( ) C cos( α ) + C sin( α ) Integační konstanty C a C učíme z okajových podmínek: o() C cos( α ) + C sin( α ) T ( ) o( ) C α sin( α ) + C α cos( α ) Z těchto dvou podmínek získáme integační konstanty, kteé jsou: C cos( α ) a C sin( α ) α α Po jejich dosazení do ovnice ohybového momentu dostáváme: o ( ) [ sin( α ) cos( α ) cos( α ) sin( α ) ], α aimální ohybový moment je v místě : ma o() sin( α ) α o Pevnostní podmínka v místě největšího namáhání v tomto případě bude mít tva: sin(αα l) αα WW oo + NN DD v() C N B a ψ() ξ ()

104 PŘÍLD (OBINCE VZPĚRU S OHYBE PŘILIŽNÉ ŘEŠENÍ): Dáno: Přímý put délky má po celé délce EJz konst, je zatížen osovou silou N a konstantním spojitým zatížením qo po celé své délce Učit: ma (maimální momentu při řešení kombinace ohybu a vzpěu dle Eulea) Předpokládejme přibližně půhybovou čáu vyvolanou osovou silou v okamžiku ztáty stability, kteá má dle Eulea tva: Pokud tuto funkci deivujeme, dostaneme: Při kombinaci vzpěu s ohybem musí platit: () vv() aa oo sin ππ l vv IIII () aa oo ππ l sin ππ l ππ l vv() () + NN vv() () EE JJ zz vv IIII () EE JJ zz ππ l Odkud vychází po funkci půhybu: EE JJ zz ππ l vv() qo N ma vv() () + NN vv() () vv() EE JJ zz ππ l NN εε ππ EE JJ zz kkkk l vv() () εε NN kkkk Nyní tuto funkci dosadíme zpět do momentové ovnice a vytkneme vnější příčný moment (): () () + NN εε NN () kkkk εε NN kkkk Pokud vydělíme čitatele i jmenovatele osovou silou N dostáváme: () () kk εε kk εε kkkk ma ma εε kk εε kk εε Například po zatížení osovou silou N, po kteou by vycháela Euleova bezpečnost kε 5, bude výsledné zesílení maimálního příčného momentu: ma ma 5 5,5 qq oo l 8 zesílení cca o 5% V případě hodně malé osové síly N, kdy bude vycházet Euleova bezpečnost např kε 5, bude výsledné zesílení maimálního příčného momentu: ma ma,5 qq oo l 8 zesílení cca o 5%

105 PŘÍLD (OBINCE VZPĚRU S OHYBE - PŘILIŽNÉ ŘEŠENÍ): Dáno: Přímý put délky má po celé délce EJz konst, je zatížen osovou silou N a konstantním spojitým zatížením qo po celé své délce Učit: ma (maimální momentu při řešení ohybu s malou přídavnou osovou silou) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Nejpve s pomocí znalostí PP I vypočteme půhyb vpř ma pouze od příčného zatížení qo: Využijeme Benoulliho difeenciální ovnici půhybové čáy: Půběh momentu () bude: () qq oo l qq oo vv IIII () Benoulliho difeenciální ovnice bude mít tva: vv IIII () qq oo l EE JJ zz () EE JJ zz ma qq oo l Její postupnou integací získáme ovnici půhybové čáy se dvěma integačními konstantami: vv II () vv() qq oo EE JJ zz l 6 + CC qq oo EE JJ zz l + CC + CC Okajové podmínky po učení integačních konstant C a C jsou: : vv() CC l: vv(l) qq oo EE JJ zz l l + CC l CC qq oo EE JJ zz l Výsledná ovnice půhybové čáy bude: vv() qq oo EE JJ zz l + l aimální půhyb od příčného zatížení upostřed nosníku je: vv ppř ma vv l qq oo EE JJ zz l 8 l 96 + l qq oo l EE JJ zz aimální moment při kombinaci ohybu s přídavným tlakem bude: ma ma + NN vv ppř ma qq oo l 5 + NN 8 8 qq oo l qq oo l + 5 NN l EE JJ zz 8 8 EE JJ zz 8 qo N ma

106 Jestliže využijeme Euleova vztahu po kitickou sílu: ůžeme řešení přepsat do tvau: ma qq oo l εε NN kkkk ππ EE JJ zz l, NN ππ εε qq oo l + 5 NN kkkk 8 8 ππ qq oo l +,8 kk εε 8 kk εε Potože předpokládáme jako dominantní ohyb a osová síla bude hodně malá, bude Euleova bezpečnost dosti vysoká Např po kε 5 bude výsledný maimální moment: ma (kk εε 5),6 qq oo l 8 To znamená, že dochází k zesílení momentu od samotného příčného zatížení o cca % Po velmi malou osovou sílu (kε ) bude maimální moment: ma (kk εε 5),5 qq oo l 8 To znamená, že dochází k zesílení momentu od samotného příčného zatížení o cca 5% Poznámka: Obdobný postup povedeme i na dalších symetických případech, jako je nosník příčně zatíženém osamělou silou upostřed nebo nosník příčně zatížený momenty v podpěách Tento případ odpovídá II případu vzpěu s malým vybočením osové síly N opoti ose putu ( N e, kde e je velmi malé) V případě nosníku zatíženého upostřed své délky osamělou silou a v ose silou N bude: ma a v př ma v 8 E J aimální moment při kombinaci ohybu a tlaku bude: ma l + NN l l EE JJ zz +,85 kk εε Po velmi malou osovou sílu (kε ) bude maimální moment: ma, l zasílení o cca % N ma V případě nosníku zatíženého v obou podpěách osamělými momenty a v ose silou N bude: a ma v př ma v 8 E J aimální moment při kombinaci ohybu a tlaku bude: ma + NN l 8 +, EE JJ zz kk εε Po velmi malou osovou sílu (kε ) bude maimální moment: ma,6 zasílení o cca 6% N ma

107 PŘÍLD (OBINCE VZPĚRU S OHYBE PŘILIŽNÉ ŘEŠENÍ): Dáno: Přímý put délky má po celé délce EJz konst, je zatížen osovou silou N a osamělým momentem na svém pavém konci Učit: ma (maimální momentu při řešení ohybu s malou přídavnou osovou silou) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 V případě nosníku zatíženého osamělým momentem bude ( et) při postupu zleva platit po () a z toho vypočteme půhyb v() pomocí Benoulliho ovnice: ( ) v( ) 6 E J z Pokud chceme najít etém funkce v(), musíme její pvní deivaci položit ovnu nule a dostáváme: () 6 EE JJ zz l l EE JJ zz maimální půhyb od příčného zatížení v tomto místě bude: vv ppř ma vv( eeeeeeee ) 6 EE JJ l zz l V místě et nyní učíme také velikost (et): ( eeeeeeee ) l l Přibližný maimální moment ma učíme jako: ma ( eeeeeeee ) + NN vv ppř ma l l eeeeeeee l l 8 EE JJ zz l + NN NN l + 8 EE JJ zz 6 EE JJ zz Při zavedení kitické Euleovy síly po II případ vzpěu a Euleovy bezpečnosti: bude: εε II εε II kk ππ EE JJ zz l kk εε kkkk NN ma + ππ NN l ππ ππ + 6 EE JJ zz 6 kk εε +,65 kk εε Tedy například po kk εε bude přibližná hodnota maimálního ohybového momentu: ma,65 Tuto hodnotu bychom nyní dosadili do pevnostní podmínky po kombinaci tlaku s ohybem: ma WW oo + NN DD vpřma et N ma 5

108 PŘÍLD (OBINCE VZPĚRU S OHYBE VÝPOČET PRŮHYBU): Dáno: Přímý put délky má po celé délce EJz konst, je zatížen osovou silou N a spojitým zatížením ve tvau tojúhelníku qo po celé své délce Učit: v() (přesně půhyb po celé délce putu při kombinaci vzpěu s ohybem) Příklad vyřešíme oběma možnými způsoby: ) Přímo pomocí Benoulliho ovnice po kombinaci vzpěu s ohybem vv IIII () + αα () vv() EE JJ zz B) Přes Schwedlwovu větu po kombinaci vzpěu s ohybem a Benoulliho ovnici IIII () + αα () IIII () qq() qo N ma V obou řešeních bude: 6 αα NN EE JJ zz ) Benoulliho ovnice Půběh momentu () vyjádříme s pomocí znalostí z PP I jako: () RR QQ() 6 qq oo l qq oo l qq oo l 6 6 l Difeenciální ovnice bude mít tva: vv IIII () + αα vv() Řešení bude mít dvě části homogenní a patikulání: qq oo 6 EE JJ zz l l vv() cos(αα ) + sin(αα ) + vv PP () Patikulání řešení odhadneme s ohledem na tva pavé stany ve fomě polynomu : vv PP () + BB + CC + DD vv PP IIII 6 + BB + + Navžené patikulání řešení v P () musí vyhovovat původní difeenciální ovnici, a poto ho dosadíme a sovnáme členy u stejných mocnin poměnné : 6 + BB + αα ( + BB + CC + DD) qq oo 6 EE JJ zz l l Ze sovnání učíme koeficienty, B, C a D: : αα qq oo qq oo 6 EE JJ zz l EE JJ zz 6 αα l, : αα BB BB, : 6 + αα CC qq oo l CC qq oo l 6 EE JJ zz EE JJ zz 6 αα αα l, : BB + αα DD DD

109 Patikulání řešení tedy bude: Pužnost a pevnost II ZS 8/9 vv PP () qq oo EE JJ zz 6 αα l qq oo l EE JJ zz 6 αα αα qq oo l EE JJ zz 6 αα l l 6 αα αα l Výsledné řešení difeenciální ovnice v půhybech bude: vv() cos(αα ) + sin(αα ) + qq oo EE JJ zz 6 αα l l 6 αα αα l Integační konstanty a učíme y okajových podmínek: : vv() + +, l: vv(l) + sin(αα l) + qq oo EE JJ zz αα sin(αα l) Hledaná ovnice půhybové čáy při zadané kombinaci vzpěu s ohybem bude mít tva: vv() qq oo sin(αα ) EE JJ zz αα sin(αα l) + 6 αα l l 6 αα αα l qq oo EE JJ zz αα Pokud bychom chtěli najít etém, museli bychom nejpve pomocí deivace funkce v() najít jeho polohu vet a pak spočítat v tomto bodě funkční hodnotu vv( eeeeeeee ): dddd() dddd qq oo αα cos(αα ) EE JJ zz αα sin(αα l) + αα l l 6 αα αα l vv ma vv( eeeeeeee ) qq oo EE JJ zz αα sin(αα eeeeeeee) sin(αα l) + eeeeeeee 6 αα l l eeeeeeee 6 αα eeeeeeee αα l eeeeeeee B) Schwedleova věta Půběh spojitého zatížení q() vyjádříme s pomocí znalostí z PP I jako: Difeenciální ovnice pak bude mít tva: qq() qq oo l IIII () + αα () qq oo l Řešení bude mít vzhledem k nenulové pavé staně také patikulání řešení, kteé odhadneme s ohledem na tva pavé stany ve fomě polynomu : PP () + BB PP IIII Navžené patikulání řešení musí vyhovovat původní difeenciální ovnici, a poto ho dosadíme a sovnáme členy u stejných mocnin poměnné : Ze sovnání učíme koeficienty, B, C a D: : αα qq oo l + αα ( + BB) qq oo l qq oo αα l, : αα BB BB, 7

110 Patikulání řešení a následně celkové řešení tedy bude: PP () qq oo αα l () cos(αα ) + sin(αα ) qq oo αα l Integační konstanty a učíme y okajových podmínek: : () + +, l: (l) + sin(αα l) qq oo αα sin(αα l) qq oo αα Hledaný půběh momentu () bude: () qq oo ) sin(αα αα sin(αα l) l Nyní dosadíme tento získaný půběh do Benoulliho difeenciální ovnici půhybové čáy, kteou budeme následně integovat s připojením neznámých integačních konstant: vv IIII () () vv IIII qq oo sin(αα ) () EE JJ zz αα EE JJ zz sin(αα l) l, qq oo vv II () αα EE JJ zz qq oo vv() αα EE JJ zz cos(αα ) αα sin(αα l) l + CC, sin(αα ) αα sin(αα l) 6 l + CC + CC Integační konstanty C a C učíme z okajových podmínek po kajní podpěy putu: : vv() CC, l: vv(l) CC qq oo EE JJ zz αα l + l 6αα Výsledná ovnice půhybové čáy při zadané kombinaci vzpěu s ohybem bude: vv() qq oo sin(αα ) EE JJ zz αα sin(αα l) + 6 αα l l 6 αα αα l Poznámka: Je patné, že výsledek řešení pomocí Schwedleovy věty po kombinaci vzpěu s ohybem je shodný s řešením pomocí Benoulliho difeenciální ovnice po kombinaci vzpěu s ohybem, což je pochopitelné Pokud bychom chtěli najít etém, museli bychom nejpve pomocí deivace funkce v() najít jeho polohu vet a pak spočítat v tomto bodě funkční hodnotu vv( eeeeeeee ): dddd() dddd qq oo αα cos(αα ) EE JJ zz αα sin(αα l) + αα l l 6 αα αα l vv ma vv( eeeeeeee ) qq oo EE JJ zz αα sin(αα eeeeeeee) sin(αα l) eeeeeeee + eeeeeeee 6 αα l l eeeeeeee 6 αα eeeeeeee αα l 8

111 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 5 TETICÁ TEORIE PRUŽNOSTI PŘÍLD 5 (ROVNICE TETICÉ TEORIE PRUŽNOSTI): Dáno: Váleček délky a plochy půřezu je vyoben z oceli, nachází se v gavitačním poli a je na svém konci zatížen osamělou silou Učit: (), ε(), u() a (vše pomocí ovnic matematické teoie pužnosti) V tomto putu bude vznikat pouze jednoosá napjatost Rovnici ovnováhy můžeme použít jen jednu do směu osy, paciální deivace můžeme nahadit obyčejnými deivacemi a za objemovou sílu dosadíme XX ρρ gg: + ττ zz + yy + XX dd + ρρ gg dddd Sepaujeme poměnné a integujeme levou a pavou stanu s připojením integační konstanty: dd ρρ gg dddd () ρρ gg + Po učení konstanty musíme sestavit vhodnou okajovou podmínku: po l musí platit (l) + Hledaný půběh napětí tedy bude: + ρρ gg l + + ρρ gg l () ρρ gg + + ρρ gg l + ρρ gg (l ) ma () + ρρ gg l Po stanovení defomace použijeme ozšířený Hookův zákon: εε () EE vv yy + zz EE + ρρ gg (l ) ρρ gg + (l ) EE EE Posuv u() učíme z defomační ovnice, kde opět nahadíme paciální deivace obyčejnou: εε dddd dddd ρρ gg + (l ) EE EE Sepaujeme poměnné a integujeme levou a pavou stanu s připojením integační konstanty: dddd() EE + ρρ gg EE ρρ gg (l ) dddd uu() + l EE EE + Po učení konstanty musíme sestavit vhodnou okajovou podmínku: po musí platit uu() + Hledaný půběh posunutí tedy bude: uu() Celkové podloužení putu učíme jako: ρρ gg + EE EE (l ) l uu(l) l ρρ gg l + EE EE 9

112 PŘÍLD 5 (PROSTOROVÁ NPJTOST HLVNÍ NPĚTÍ HLVNÍ ROVINY): Dáno: 6 Nmm -, y 5 Nmm -, z Nmm -, τ Nmm -, τy Nmm - a τz Nmm - Učit:,, (hlavní napětí této napjatosti), cos α,, ; cos β,, a cos γ,, (směové cosiny nomál hlavních ovin) Nejpve sestavíme tenzo napětí po zadanou napjatost: T τ z τ y τ z y τ τ y 6 τ z 5 Řešení hlavních napětí povedeme pomocí kubické ovnice: I + I I Po dosazení do kubické ovnice musíme vypočítat jednotlivé invaianty tenzou napětí: I + y + z N mm I τ z τ z y + τ y τ z + τ z y τ y ( N mm ) τ z τ y 6 I τ z y τ mm τ τ y z ( N ) y τ τ z τ z τ z Tyto hodnoty invaiant dosadíme do základní kubické ovnice platné po napjatost: + ( 5 ) ( 7 ) ořeny této základní kubické ovnice lze učit ůznými způsoby, a to ať již metodami známými z matematiky nebo pomocí výpočetní techniky Po výpočtu je: 7,9 N mm ;,6 N a mm 7,79 N mm Poznámka: Po kontolu vypočteme invaianty i pomocí hlavních napětí Invaianty jsou vlastnostmi tenzou napětí a tansfomací se nezmění jsou neměnné invaiantní): I + + 7,9,6 7,79 N mm I ,8 79, 579, 5,8 5 7,9,6 +,6 7,79 + 7,79 7,9 ( N mm ) chyba,7% 7,9 I ( ), N mm chyba,% 7,79 Z výsledků je patná velmi dobá shoda (nepřesnosti jsou způsobeny jen zaokouhlováním)

113 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Po výpočet hlavních ovin musíme postupně dosadit jednotlivé kořeny hlavní napětí do soustavy základních ovnic postoové napjatosti: Po 7,9 Nmm - : ) ) ),9 cosα cosα ( ) τ cosα + cosα,9 cos β z cosα + τ cos β + τ cosγ ( ) τ cosα + τ cos β + y cos β + cos β 5,9 cosγ y z + cosγ cos β + τ cosγ + cosγ ( ) cosγ Potože soustava je po dosazení hlavního napětí lineáně závislá, použijeme jen dvě ovnice a jako třetí doplníme ovnici analytické geometie cos α + cos β + cos γ Je výhodné použít a ovnici, kteé obsahují jen dvě ze tří neznámých: ) ),9cosα cos β cos β 5,9cosγ cosα cosγ + z,9 5,9 y cos β cos β Tyto vztahy dosadíme do geometické ovnice: cos β + +,9 5,9 Odtud dostáváme řešení všech tří směových cosinů hlavní oviny: cosα,97 ; cos β ±, 55 ; cosγ ±, 8 Po,6 Nmm - bychom povedli obdobný postup: vybeeme dvě ze tří ovnic a doplníme ovnici analytické geometie a dostáváme: cosα,65 ; cos β ±,996 ; cosγ ±, 889 Po 7,79 Nmm - bychom povedli obdobný postup: vybeeme dvě ze tří ovnic a doplníme ovnici analytické geometie a dostáváme: cosα,8677 ; cos β ±,9886 ; cosγ ±, 966 Hlavní napětí i Hlavní oviny HRi (i ; ; ) [Nmm - ] [] +7,9 cosα, 97 cos β ±, 55 cosγ ±, 8 +,6 cosα, 65 cos β ±,996 cosγ ±, 889 7,9 cosα, 8677 cos β ±,9886 cosγ ±, 966

114 PŘÍLD 5 (PROSTOROVÁ NPJTOST HLVNÍ NPĚTÍ HLVNÍ ROVINY): Dáno: 5 Nmm, y Nmm, z 8 Nmm, τ Nmm, τy Nmm a τz Nmm Učit: Velikosti hlavních napětí > > a hlavní ovinu HR odpovídající maimálnímu hlavnímu napětí V tomto případě bude mít tenzo napětí tva: τ z τ y T τ z y τ + τ y τ z Základem řešení hlavních napětí je kubická ovnice sestavená na základě předpokladu lineání závislosti původního systému: + II + II II Nejpve vypočítáme jednotlivé invaianty II tenzou napětí: I 5 ( ) 8 N mm + y + z + +, z τ z y y τ τ z τ z τ y τ y I τ z τ z y y + τ τ z z + τ y τ y , ( ) ( N mm ) I τ z τ y τ z y τ τ y τ z [ 8 ( ) ] 9 ( N mm ) Tyto hodnoty dosadíme do základní kubické ovnice: + 9 Jejím řešením získáme TŘI REÁLNÉ kořeny, kteé jsou hledanými hlavními napětími, a :,5 Nmm -, 5,95 Nmm - a, Nmm - Poznámka: Spávnost výpočtu ověříme výpočtem invaiant I, I a I z vypočtených hlavních napětí, a : II + +,5 + 5,95 + (,) N mm, II + +,5 5,95 + 5,95 (,) + (,),5,6 (N mm ), II,5 5,95 (,) 9 7 (N mm ), Z výsledků je patné, že se jednotlivé invaianty (neměnné hodnoty) tansfomací tenzou napětí nezměnily Nepatné ozdíly (,5% a,%) jsou způsobeny pouze chybou zaokouhlováním na dvě desetinná místa, potože při použití více desetinných míst by byla chyba nulová : II,66 5, ,9879 (,955) + (,955),66, (N mm ), II,66 5,9879 (,955) 9,9 (N mm )

115 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 V dalším koku stanovíme polohu pvní hlavní oviny HR, ve kteé leží napětí Tuto polohu vyjádříme pomocí směových kosinů úhlů α, β a γ její nomály n Do původní soustavy ovnic dosadíme za neznámou vypočtenou hodnotu pvního hlavního napětí : ( ) ττ zz ττ yy cos αα ττ zz yy ττ cos ββ, ττ yy ττ ( zz ) cos γγ (+5,5) + + cos αα + (,5) cos ββ + (+8,5) cos γγ Hlavní napětí byla z této soustavy stanovena za předpokladu její lineání závislosti, a poto po zpětném dosazení je soustava lineáně závislá a tudíž sama o sobě neřešitelná Použijeme poto jen dvě ovnice (např a ), kteé doplníme ovnicí analytické geometie Potože hledáme nomálu n pvní hlavní oviny HR, musí platit: Budeme tedy řešit soustavu: cos αα + cos ββ + cos γγ (+5,5) cos αα + cos ββ + cos γγ cos αα + ( ) cos ββ + (+8,5) cos γγ cos αα + cos ββ + cos γγ Tato soustava má TŘI REÁLNÉ kořeny, kteými jsou směové cosiny nomály pvní hlavní oviny, a z nich následně učíme úhly: αα 8,5 ; ββ 8,5 ; γγ 8,5 Poznámka: Pokud bychom hledali nomály n a n duhé a třetí hlavní oviny HR a HR, ve kteých budou ležet hlavní napětí a, mohli bychom postupovat identicky Duhou možností je využít geometických vlastností těchto nomál: nomála n musí být kolmá na vypočtenou nomálu n a nomála n musí být kolmá k oběma vypočteným nomálám n a n, což jí již jednoznačně učuje HR n HR HR n HR n n n n HR HR, 5,95 HR HR,5,5 HR, 5,95

116 PŘÍLD 5 (TENZOR NPĚTÍ TENZOR PŘETVOŘENÍ): Dáno: Při tenzometickém měření byly v učitém místě na povchu ocelové součásti (E, 5 N mm a v,) stanovené defomace εa 6 µi, εb 9 µi a εc µi Učit: Tε (tenzo defomací v daném místě), T (tenzo napětí v daném místě), ε,, (hlavní defomace v daném místě),,, (hlavní napětí v daném místě) Defomace se pomocí tenzometů nejčastěji měří v tzv mikojednotkách (µi), což je veličina 6 kát zvětšená opoti skutečným hodnotám, potože µi µi/m Souřadnicový systém y zvolíme totožný s osami tenzometů a b Z epeimentální pužnosti a pevnosti víme, že zkos γz v ose 5 (c) se učí podle vztahu: γγ zz εε aa + εε bb εε cc Potože měření pobíhalo na volném povchu součásti, musela být vznikající napjatost ovinná ( z ) a musí platit ozšířený Hookův zákon ve tvau (použijeme dvě ovnice po nomálová napětí a defomace a jednu ovnici po smykové napětí a zkos): εε EE vv ( yy + ) εε yy EE yy vv ( + ) EE vv εε + vv εε yy yy γγ zz GG ττ zz ττ zz GG γγ zz EE vv εε yy + vv εε Po dosazení naměřených hodnot dostáváme dvě nomálová a jedno smykové napětí, kteá působí v řešeném místě na povchu součásti: yy, 5, [6 6 +, 9 6 ],7 N mm,, 5, [9 6 +, 6 6 ] 6, N mm, ττ zz GG γγ zz EE ( + vv) γγ zz, 5 ( +,) 5 6 6, N mm Potože zbývající napětí jsou nulová (z ττ ττy ), můžeme zapsat tenzo napětí: ττ zz ττ yy,7 6, TT ττ zz yy ττ 6, 6, ττ yy ττ zz Po zápis tenzou přetvoření (defomací) musíme ještě z ozšířeného Hookova zákona dopočítat třetí defomaci ve směu kolmém k řešenému povchu: εε zz EE [ vv ( + )], 5 [, (,7 + 6,)] 96 6 a c, b

117 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Tenzo přetvoření (defomací) teď již můžeme zapsat: γγ εε zz γγ yy γγ TT εε zz γγ εε yy γγ yy γγ εε zz 96 6 Hlavní defomace ε,, učíme ze vztahu po defomace (obdoba ohových vztahů po napětí): εε, εε aa + εε bb ± εε aa εε bb + εε aa + εε bb εε cc a εε εε zz Po dosazení dostáváme: εε, ± Hlavní napětí,, můžeme nyní učit třemi způsoby: a εε Pomocí invaiant tenzou napětí, kteé dosadíme do ovnice I + I I : II + yy + zz,7 + 6, + 7 N mm, ττ zz II ττ zz + yy ττ yy ττ + ττ yy,7 6, zz ττ yy + 6, +,7 zz 6, 6, 7 697, (N mm ), ττ zz ττ yy,7 6, II ττ zz yy ττ 6, 6, (N mm ) ττ yy ττ zz Odkud po dosazení dostáváme ovnici: , ,, a její řešení ve tvau: 7 ± ,, 58, N mm 8,6 N mm a Pomocí ozšířeného Hookova zákona ze známých hlavních defomací: EE vv [εε, 5 + vv εε ], [ , 5 6 ] 58, N mm, EE vv [εε, 5 + vv εε ], [ 5 6 +, ] 8,6 N mm Pomocí vztahů po ovinnou napjatost (ohovy kužnice) po :, + yy ± yy,7 + 6,,7 6, + ττ zz ± + 6, 58,6 N mm 8, N mm 5

118 PŘÍLD 55 (PROSTOROVÁ NPJTOST HLVNÍ NPĚTÍ): Dáno: Nmm ; y Nmm a z Nmm, τ 5 Nmm ; τy Nmm a τz Nmm Učit:,, (hlavní napětí zadané napjatosti) Nejpve sestavíme ze zadaných hodnot tenzo napětí: ττ zz ττ z yy TT ττ zz yy ττ z ττ yy ττ zz + +5 Základem řešení hlavních napětí je kubická ovnice sestavená původního systému: Dále vypočteme jeho jednotlivé invaianty: + II + II II II + yy + zz ( ) 5 N mm, ττ zz II ττ zz + yy ττ yy ττ + ττ yy zz ττ yy zz (N mm ), ττ zz ττ yy II ττ zz yy ττ ττ yy ττ zz + +5 [ (6 + )] (N mm ) Tyto hodnoty dosadíme do základní kubické ovnice: ( 6) ( ) Jejím řešením získáme TŘI REÁLNÉ kořeny, kteé jsou hledanými hlavními napětími, a : +, Nmm -, +58,96 Nmm - a,8 Nmm - Poznámka: Spávnost výpočtu ověříme výpočtem invaiant I, I a I z vypočtených hlavních napětí, a : II + +, + 58,96 + (,8) 5 N mm, II + +, 58, ,96 (,8) + (,8), 59,8 (N mm ), II, 58,96 (,8),7 (N mm ), Z výsledků je patné, že se jednotlivé invaianty (neměnné hodnoty) tansfomací tenzou napětí nezměnily Nepatné ozdíly (,% a,%) jsou způsobeny pouze chybou zaokouhlováním na dvě desetinná místa Po připomenutí z PP I si ještě zobazíme úplný ohův diagam zadané napjatosti: y y τ τy τz [N mm ] 8 Oblast, kde se může vyskytovat napětí v libovolném řezu zadané napjatosti obecnou ovinou [N mm ]

119 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 56 (PROSTOROVÁ NPJTOST HLVNÍ NPĚTÍ HLVNÍ ROVINY): Dáno: y z a τ τy τz/ τ 5 Nmm - Učit:,, (hlavní napětí zadané napjatosti), cosα ; cosβ a cosγ (směové cosiny hlavní oviny odpovídající min) Nejpve sestavíme ze zadaných hodnot tenzo napětí: τ τ 5 T τ τ 5 τ τ 5 5 Základem řešení hlavních napětí je kubická ovnice sestavená původního systému: Dále vypočteme jeho jednotlivé invaianty: II + yy + zz N mm, ττ zz + II + II II II ττ zz + yy ττ yy ττ + ττ yy zz ττ yy zz (N mm ), ττ zz ττ yy 5 II ττ zz yy ττ 5 ττ yy ττ zz 5 5 [ ( + + )] +5 (N mm ) Tyto hodnoty dosadíme do základní kubické ovnice: + + ( 5 ) 5 Jejím řešením získáme TŘI REÁLNÉ kořeny, kteé jsou hledanými hlavními napětími, a : +6,6 Nmm -, 6,6 Nmm -,, Nmm -, Nmm - 6,6 Nmm - z y τ τy τz +6,6 Nmm - Poznámka: Spávnost výpočtu ověříme výpočtem invaiant I, I a I z vypočtených hlavních napětí, a : II + + 6,6 + ( 6,6) + (,) N mm, II + + 6,6 ( 6,6) + ( 6,6) ( ) + ( ) 6,6 999,6 (N mm ), II 6,6 ( 6,6) ( ) , (N mm ), Z výsledků je patné, že se jednotlivé invaianty (neměnné hodnoty) tansfomací tenzou napětí nezměnily Nepatné ozdíly (,% a,9%) jsou opět způsobeny pouze chybou zaokouhlováním na dvě desetinná místa 7

120 učení směových cosinů hlavní ovinu HR odpovídající nejmenšímu hlavnímu napětí min N mm použijeme vzhledem k lineání závislosti celé soustavy pouze duhou a třetí ze základních ovnic včetně substituce (cos αα aa, cos ββ aa, cos γγ cc) a doplníme jí ovnicí analytické geometie: ( ) cos αα + ττ zz cos ββ + ττ yy cos γγ ττ zz cos αα + ( yy ) cos ββ + ττ cos γγ ττ yy cos αα + ττ cos ββ + ( zz ) cos γγ cosαα aa cosββ bb cosγγ cc aa + bb + 5 cc aa + bb + 5 cc 5 aa + 5 bb + cc aa + bb + cc Je přímo vidět, že a ovnice jsou shodné, a poto použijeme ovnice a, ze kteých vyjádříme jednoduché vztahy b b(a) a c c(a): Odečtením dvojnásobku ovnice od dostáváme: ( ) aa + ( ) bb + (5 ) cc 5 c c Dosadíme za c např do ovnice a dostáváme: aa + bb bb aa Tyto vztahy dosadíme do ovnice analytické geometie: aa + ( aa) + aa nyní již dostáváme hledané směové cosiny hlavní oviny HR: aa bb aa cos αα + cos ββ αα ±5, ββ 5, cc cos γγ γγ ±9 y 5 n +5 9 z 8

121 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 57 (HLVNÍ DEORCE HLVNÍ NPĚTÍ): Dáno: ε 8 6 ; εy 6 a εz 6 6, γ/ 5 6 ; γy/ 6 a γz/ 6 Učit: ε,, (hlavní defomace zadané napjatosti),, (hlavní napětí zadané napjatosti) Nejpve sestavíme ze zadaných hodnot tenzo přetvoření (defomací): εε γγ zz / γγ yy / TT γγ zz / εε yy γγ / γγ yy / γγ / εε zz Základem řešení hlavních napětí je kubická ovnice sestavená původního systému: Dále vypočteme jeho jednotlivé invaianty: +εε II εε εε + II εε εε II εε II εε εε + εε yy + εε zz ( ) 6 6 6, II εε γγ zz / γγ zz / yy + εε yy γγ / γγ / εε zz + εε γγ yy / γγ yy / εε zz ( ) 6, εε γγ zz / γγ yy / II γγ zz / εε yy γγ / γγ yy / γγ / εε zz z y z y τ τy τz Tyto hodnoty dosadíme do základní kubické ovnice: +εε εε ( 98 8 ) Jejím řešením získáme TŘI REÁLNÉ kořeny, kteé jsou hledanými hlavními napětími, a : εε 5,5 6 ; εε,8 6 a εε 7, 6 Po výpočet hlavních napětí použijeme ozšířený Hookův zákon: EE εε ( vv ) + (εε + εε ) (vv + vv ) vv vv, 5 5,5 6 (, ) + (,8 7,) 6 (, +, ),,, N mm EE εε ( vv ) + (εε + εε ) (vv + vv ) vv vv 6, N mm, EE εε ( vv ) + (εε + εε ) (vv + vv ) vv vv 6,6 N mm 9

122 PŘÍLD 58 (TYP PROSTOROVÉ NPJTOSTI): Dáno: II 6 N mm, II + (N mm ) a II 8 (N mm ) Učit: O jaký typ napjatosti se jedná Potože známe invaianty tenzou napětí, můžeme je přímo dosadit do kubické ovnice a vypočítat její kořeny: + II + II II Pvní kořen se pokusíme najít metodou půlení intevalu: Volíme I ff() 5, II + ff() +7, III ff() +8, IV 5 ff() 7, V,5 ff(),5, VI,5 ff() +,, VII,875 ff() +,, VIII,875 ff(),7, ff() IX,5 ff(), 5, X,95 ff() +,, XI,99 ff() +,8 7, XII,69 ff(),6 6,, ff() Po známý kořen, budeme ovnici dělit kořenovým činitelem: usí tedy platit: ( ): [ (,)] + + ( + + ), ± Původní kubická ovnice má tedy jediný tojnásobný kořen:,, N mm N mm Jedná se tedy o tzv všesměný tlak, kteý odpovídá přibližně hydostatickému tlaku cca m pod hladinou moře (mořská voda má tabulkovou hustotu ρρ kg m ): pp(h) ρρ gg h 9,8,9 6 Pa Pa Nmm

123 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 59 (PROSTOROVÁ NPJTOST NPĚTÍ V ROVINĚ): y Dáno: 5 Nmm ; y Nmm a z 8 Nmm, τ Nmm ; τy Nmm a τz Nmm ovina µ je aonometická poměem úseků na osách je : : z Učit: µ a τµ (napětí v aonometické ovině µ) Nejpve musíme stanovit směové cosiny řešené aonometické oviny: Potože: cos αα cos ββ cos γγ aa bb cc, z y µ z y τz τ τy musí být všechny cosiny stejné a musí vyhovovat podmínce analytické geometie: cos αα + cos ββ + cos γγ cos αα cos ββ cos γγ,577 Nyní vypočteme složky obecného napětí v, kteé působí v aonometické ovině: vv cos αα + ττ zz cos ββ + ττ yy cos γγ [5 + + ] +69,8 N mm, vv yy ττ zz cos αα + yy cos ββ + ττ cos γγ [ + ( ) + ( )] +5,77 N mm, vv zz ττ yy cos αα + ττ cos ββ + zz cos γγ [ + ( ) + 8] +57,7 N mm Výsledné obecné napětí v aonometické ovině bude: vv μμ vv + vv yy + vv zz 69,8 + 5, ,7 9,7 N mm Nomálové napětí k aonometické ovině učíme jako: μμ vv cos αα + vv yy cos ββ + vv zz cos γγ ,67 N mm Smykové napětí učíme z Pythagoovy věty, potože půměty obecného napětí vµ do nomály nµ a tečny tµ musí být navzájem kolmé ( μμ ττ μμ ) : ττ μμ vv μμ μμ 9,7 76,67 7,8 N mm Výsledek: V aonometické ovině µ bude působit: obecné napětí vv μμ 9,7 N mm nomálové napětí μμ 76,67 N mm, smykové napětí ττ μμ 7,8 N mm

124 PŘÍLD 5 (PROSTOROVÁ NPJTOST NPĚTÍ V ROVINĚ): Dáno: 5 Nmm ; y Nmm a z 8 Nmm y, τ Nmm ; τy Nmm a τz Nmm, ovina ρ je dané poměem úseků na osách : : Učit: ρ a τρ (napětí v ovině ρ) z Nejpve musíme stanovit směové cosiny řešené aonometické oviny: Potože: cos αα cos ββ cos γγ aa bb cc dostáváme: cos ββ cos αα cos αα + cos γγ cos αα a cos αα + cos ββ + cos γγ, + cos αα 6 cos ββ 6 6 cos γγ Nyní vypočteme složky obecného napětí v, kteé působí v aonometické ovině: vv cos αα + ττ zz cos ββ + ττ yy cos γγ [ ] , N mm, vv yy ττ zz cos αα + yy cos ββ + ττ cos γγ [ 6 + ( ) + ( ) ] ,6 N mm, vv zz ττ yy cos αα + ττ cos ββ + zz cos γγ [ 6 + ( ) + 8 ] Výsledné obecné napětí v aonometické ovině bude: ,65 N mm vv ρρ vv + vv yy + vv zz 7, + 6,6 + 8,65 87,9 N mm Nomálové napětí k aonometické ovině učíme jako: ρρ vv cos αα + vv yy cos ββ + vv zz cos γγ , N mm Smykové napětí učíme z Pythagoovy věty, potože půměty obecného napětí vρ do nomály nρ a tečny tρ musí být navzájem kolmé ( ρρ ττ ρρ ) : ττ ρρ vv ρρ ρρ 87,9 8,,8 N mm z y ρ z y τz τ τy Výsledek: V obecné ovině ρ zadané v úsekovém tvau bude působit: obecné napětí vv ρρ 87,9 N mm nomálové napětí ρρ 8, N mm, smykové napětí ττ ρρ,8 N mm

125 6 RUT NERUHOVÝCH PROILŮ PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ/OTEVŘENÝ): Dáno: Tenkostěnný pofil je vyoben svařením dvou pofilů U Dovolené namáhání a ozměy pofilu jsou patné z tabulky Pužnost a pevnost II ZS 8/9 t R R Veličina h b t t R R τd Rozmě [mm] [Nmm ] hodnota 6 7,6,5,5, 75 : t h Učit: D (dovolené zatížení po případ svařeného uzavřeného pofilu a po případ otevřeného pofilu, paskne-li jeden ze svaů) Původní pofil je uzavřený a v případě poušení svau vznikne pofil otevřený Výpočty obou povedeme souběžně, aby byly patné ozdíly mezi nimi Vytvoříme tedy dva výpočtové modely: Uzavřený pofil c 7,6 Otevřený pofil 6 6 b 7,6 b/,5,5 9, 9,8 uz p ot p c c tmin τ D D tma 5 5 J c J i t( i) h( i) i i c b h ( b t ) ( h t) 87,5 9, 8 85 [ (7,6 6) + (,5 9,8) + (7,6 9) ] mm VÝPOČET NÁVRHOVÉHO OENTU J 6 τ 8 mm uz p ot p , N mm N mm 7,6 G ϑ t τ s ds τ D h + τ D t h b ( s),5 759, ,5 7,6 9, 87,5 s c 87,5 9 b,8 N mm - G ϑ J c ,96 N mm 6 8 7,6 τ t si i τ t D min 75,5 7,5 N mm

126 POPIS ROHU PROILU ρ t CC ττ SSSS tt ii,8 7,5 (9,55 C 9,55 ln,5 τ et t + t 7,6 +,5 R,5 mm a +,5 + 9,55 mm GG θθ ( ) ln τ + G ϑ t D,5 ) 85 N mm min 75 +,8,5 8, N mm C GG θθ ( ) CC ln,96 (9,55 9 ln ONTROL V PŘÍÉ ČÁSTI - t 9,55,5,5 ) 9 N mm - nepovádí se ( τ τ 75 N mm ) et D splněno již v původní podmínce výpočtu τ τ,8,5 +,8 9, ,5 85 9, , N mm ONTROL V ROHU +,6 N mm 9 τ 9,96,5 + 77, N mm,5 τ 9 9,96 9, , N mm 9,55 τ ma( 77, N uz p ot p X ma( τ et ; τ ρ ) 86, N mm τ X τ D τ ρ ; ) mm τ uz p D uz p D uz p τ X PŘEPOČET DOVOLENÉHO OENTU τ ot p D ot p D uz p τ X ,5,8 6 86, N mm 75 6,, 6 77, N mm uz p ot p,8 kn m, kn m D Z výsledků je patné, jak výazně poklesne hodnota dovoleného momentu D v případě, že se z uzavřeného pofilu stane v důsledku poškození pofil otevřený V tomto případě to je 5% D

127 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Na závě zobazíme schematicky všechny vypočtené a přepočtené hodnoty momentu [knm] i smykových napětí τ [Nmm - ] Z obázku je patný zásadní ozdíl v půbězích smykových ča a tedy i napětí ve stěně a v ohu uzavřeného a otevřeného pofilu Uzavřený pofil Otevřený pofil (5,5),8 knm (,), knm (+75,) +7, (8,) 7,6 (69,) 6, (75,) 65, (-75,) -7, (86,) 75, (-77,) -75, (,6) 7, (5,) 5,9 τ τ Poznámky: Smykové čáy USÍ být čáy uzavřené a NESÍ pobíhat mimo mateiál půřezu Poto mají v uzavřeném pofilu přes celou tloušťku stěny jen jeden smě, zatímco u otevřeného pofilu musí mít smykové čáy po tloušťce stěny oba směy Hodnoty v závokách jsou původní odpovídající návhovému momentu, zatímco hodnoty bez závoek jsou výsledné hodnoty po povedení kontol a edukce původního momentu tak, aby v nejnamáhanějším místě bylo dosaženo pávě τd Nejnamáhanějším byl v obou případech oh pofilu: - v uzavřeném pofilu došlo k edukci původního maimálního napětí v ohu τma 86, N mm na hodnotu τma τd 75 N mm - v otevřeném pofilu došlo k edukci původního maimálního napětí v ohu τma 77, N mm na hodnotu τma τd 75 N mm 5

128 PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ/OTEVŘENÝ): Dáno: Podélně svařená tenkostěnná tubka (D d) je vyobena z oceli o dovoleném namáhání ve smyku τd Učit: Pomě únosnosti uzavřené tubky ku otevřené tubce, kdy paskne podélný sva Potože podle předpokladu jsou půměy d a D blízké, můžeme tento příklad řešit jako kut tenkostěnného pofilu Zavedeme poto střední polomě Rs a tloušťku t jako: D + d R s a D d t Tyto hodnoty nyní použijeme k výpočtům podle teoie tenkostěnných nekuhových pofilů Uzavřený pofil: I když mezikuhový, budeme řešit užitím teoie nekuhového pofilu uz p t τ π R t τ c D Otevřený pofil: Výpočet převedeme na kut tenkého dlouhého obdélníka h t, kde h π R : ot p J t π Rs t τ D τ D π Rs t τ D t Hledaný pomě momentu přenášeného uzavřeným pofilem ku momentu přenášeného otevřeným pofilem pak bude: uz p ot p π Rs t τ D π Rs t τ D s s R t s D (t) (t) (R s) (R s) d D d D uzp otp Poznámky: Únosnost uzavřené tubky může být mnohonásobně větší než v případě poškození svau, kdy z tubky vznikne otevřený pofil Tato skutečnost platí u tenkostěnných pofilů zcela obecně a je třeba ji mít na zřeteli zejména tehdy, když navhujeme tenkostěnné konstukce, kteé budou namáhány hlavně kutem Tento výsledný pomě by se již výazně nezměnil, pokud bychom výpočet doplnili o kontolu v přímé části a případně do výpočtu zahnuli i zakřivení pofilu Tenkostěnnou tubku jsme v tomto případě řešili podle teoie tenkostěnného nekuhového pofilu Pokud bychom použili vztahy z PP I podle Saint-Vénantovy teoie, byl by výsledek při použití stejných pavidel přibližnosti řešení naposto stejný: π π π J P ( D d ) ( D + d ) ( D d ) ( D + d ) Ds t π Rs t, W J R P s Ds t Ds π Rs t uz p π Rs t W τ D π Rs t τ D R s 6

129 PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ/OTEVŘENÝ): Dáno: τd 6 Nmm, as 5 mm, t mm (aa ss tt) Učit: U /O (pomě únosnosti uzavřeného ku otevřenému pofilu) Nepovádějte žádnou z kontol! Uzavřený pofil: Pužnost a pevnost II ZS 8/9 O velikosti přenášeného momentu ozhoduje v případě uzavřeného tenkostěnného pofilu plocha uzavřená střednicí s v našem případě čtveec o staně as: ss aa ss 5 5 mm Velikost návhového kouticího momentu přenášeného uzavřeným tenkostěnným pofilem U učíme ze vztahu: Otevřený pofil: ss tt min ττ DD 5 6 N mm, kn m V tomto případě je ozhodující tenký dlouhý obdélník, ze kteého je pofil zohýbán a jeho hlavním ozměem je délka střednice s : l ss aa ss 5 mm a z ní vyplývající kvadatický moment půřezu v kutu: JJ l ss tt 67 mm Velikost návhového kouticího mementu přenášeného otevřeným tenkostěnným pofilem O učíme ze vztahu: JJ ττ tt DD N mm,6 kn m min Hledaný pomě momentů přenášených uzavřeným a otevřeným tenkostěnným pofilem bude: ss tt min ττ DD JJ tt ττ DD ma aa ss tt ττ DD aa ss tt ττ DD U aa ss tt 5 8,75 t as O t δ as Poznámka: Z výsledku je patná značně vyšší únosnost uzavřeného pofilu opoti otevřenému Tento pomě bude tím větší, čím větší bude tenkostěnnost pofilu čím bude tloušťka t menší opoti ozměu pofilu as Například po tloušťku stěny t mm by byl tento pomě 75, což je hodnota, kteou nepokyjí běžné bezpečnosti Při koucení tenkostěnných pofilů je třeba zajistit, aby v půběhu povozu nedošlo k otevření pofilu a tím k řádovému snížení jeho únosnosti 7

130 PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ): s Dáno: Put je vyoben z tenkostěnného šestihanného pofilu a je namáhán kouticím momentem (ozměy jsou patné z obázku a všechny jsou funkcí velikosti a) Učit: D (dovolený kouticí moment při zohlednění koncentace v ohu a ozložení napětí v přímé části) Put je tvořen pavidelným tenkostěnným šestihanným pofilem, kteý můžeme ozdělit celkem na 6 ovnostanných tojúhelníků o staně a Je-li základna zadaná a, musí platit z Pythagoovy věty: a a obsah jednoho tojúhelníku bude: vv aa aa aa aa vv aa Celková plocha střednice tenkostěnného šestihanného pofilu je: v a/ a/ ss 6 6 aa aa Návhový kouticí moment, kteý přenese tenkostěnný šestihanný pofil je: ss tt min ττ DD aa aa 8 ττ DD 8 aa ττ DD Nyní musíme povést obě kontoly, a to jak kontolu v přímé části, tak i kontolu v ohu, kde dochází ke koncentaci napětí Na základě těchto kontol pak stanovíme výsledný dovolený moment, kteý je řešený pofil schopný přenést ONTROL V PŘÍÉ ČÁSTI: GG θθ ττ ss dddd (ss) 6 ττ DD aa ss ττ DD aa aa Smykové napětí na vnitřní (i) a na vnější (e) staně přímé části vypočteme ze vztahů: ττ ii ττ ss GG θθ tt ττ DD ττ DD aa aa 8 8 ττ DD,856 ττ DD ττ ee ττ ss + GG θθ tt ττ DD + ττ DD aa aa ττ DD,77 ττ DD Z výsledků je vidět, že napětí na vnější (e) staně stěny musí být vždy větší než střední (s) napětí (v tomto případě bylo uvažováno ττ ss ττ DD ) 8

131 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 ONTORL V ROHU: U tohoto pofilu jsou všechny ohy stejné, a tak stačí popsat geometii jednoho z ohů pomocí dvou poloměů křivosti: ρρ aa, ρρ + tt aa + 8 aa 5 aa Integační konstanta C bude mít velikost: CC ττ ss tt Po dosazení zadaných a vypočtených hodnot bude: CC ττ DD ττ DD aa 8 aa 5 aa aa 5 ln aa aa GG θθ ( ) ln ττ DD aa 8 5 ln 5, ττ DD aa Nyní vyjádříme smykové napětí, kteé vznikne v důsledku koncentace na poloměu : ττ GG θθ + CC ττ DD aa aa +, ττ DD aa, ττ DD aa Z vypočtených hodnot je patné, že nejnamáhanějším místem kouceného tenkostěnného šestihanného pofilu je vnitřní polomě ohu: ττ ma mmmmmmττ ee ; ττ ττ, ττ DD bychom toto napětí snížili a dosáhli pávě dovolené hodnoty v nejnamáhanějším místě, musíme původní návhový moment edukovat podílem dovoleného napětí ku maimálnímu napětí: ττ DD ττ DD DD ττ ma, ττ DD, 8 aa ττ DD,6 aa ττ, DD 9

132 PŘÍLD 65 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ): Dáno: H 8 mm; n mm; n 7 mm; ρ mm a τd 5 Nmm - Učit: D (včetně kontol v ohu a kontoly v přímé části u uzavřeného pofilu) O velikosti přenášeného momentu ozhoduje v případě uzavřeného tenkostěnného pofilu plocha uzavřená střednicí (s), což je v našem případě čtveec o staně h H,5(n + n) 7,5 mm: ss h 7,5 5,5 mm Velikost návhového kouticího momentu přenášeného uzavřeným tenkostěnným pofilem U učíme ze vztahu: ss tt min ττ DD 5, N mm,6 kn m Nyní povedeme obě kontoly V pofilu musí platit hydodynamická analogie : ττ ssii tt ii kkkkkkkkkk, což v našem případě znamená: ττ ss tt ττ ss tt a po ττ ss ττ DD musí platit: ττ ss ττ DD 5 N mm a ττ ss ττ ss tt 7 5 tt 5 N mm GG θθ ττ ss dddd (ss) h ττ ss + h ττ ss 7, ,5 5,89 N mm ss ss 5,5 V nejslabší přímé části o tloušťce t bude platit: ττ ee ττ ss + GG θθ tt 5 +, , N mm Nejnepříznivější vychází pavý honí oh, kde: mm a + n + 7 mm: CC ττ ss tt GG θθ ( ) 5 7,89 ( ln ) ln 5,77 N mm V ohu na poloměu vznikne smykové napětí: ττ GG θθ + CC,89 + 5,77 85,5 N mm Z výsledků je patné, že nejnamáhanějším bude pavý honí oh na poloměu : ττ ma mmmmmmττ ee ; ττ ττ 85,5 N mm Vzhledem k maimální hodnotě smykového napětí, kteá je vyšší než dovolené smykové napětí, musíme edukovat návhový kouticí moment tak, aby bylo v nejnamáhanějším místě (honí oh na poloměu ) dosaženo pávě dovoleného smykového napětí: DD ττ DD N mm, kn m ττ ma 85,5 t t t H t H

133 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 66 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ): Dáno: t a τd Učit: D f(t ; τd) (dovolený moment jako funkci zadaných veličin včetně kontol v přímé části a v levém dolním ohu) Po další použití vypočteme nejpve délku třetí stany c pavoúhlého tojúhelníku: cc aa + bb ( tt) + ( tt), tt Dále vypočteme velikost plochy uzavřené střednicí: b t t ρ,t a t t ss aa bb tt tt tt Nyní již vypočteme návhový kouticí moment podle vztahu: ss tt mmmmmm ττ DD tt tt ττ DD tt ττ DD Po následné kontoly musíme stanovit GG θθ (potože t konst, musí být všude τs τd: GG θθ ττ ss dddd (ss) ττ DD (aa + bb + cc) ss tt ττ DD ( + +,) tt tt 5, ττ DD tt,6 ττ DD tt Dále po kontolu v levém dolním ohu musíme popsat jeho geometii a stanovit konstantu C: Po tyto hodnoty vychází: CC ττ DD tt ρρ, tt a + tt, tt + tt, tt GG θθ ( ) ln ττ DD tt,6 ττ DDtt Nejpve vypočteme (zkontolujeme) přímou část pofilu: [(, tt) (, tt) ],6 ττ, tt DD tt ln, tt ττ ee/ii ττ ss ± GG θθ tt ττ DD ±,6 ττ DD tt tt ττ ee ττ DD +,6 ττ DD,6 ττ DD ττ ii ττ DD,6 ττ DD,78 ττ DD Dále zkontolujeme napětí v ohu pofilu: ττ ; GG θθ ; + CC ; ττ,6 ττ DD tt, tt +,6 ττ DD tt, tt ττ,6 ττ DD tt, tt +,6 ττ DD tt, tt aimální smykové napětí vzniká v levém dolním ohu na vnitřním poloměu: ττ mmmmmm maττ ee ; ττ ττ,6 ττ DD,6 ττ DD,8 ττ DD Dovolený moment dostaneme edukcí návhového tak, aby v nejnamáhanějším místě (v ohu polomě ) bylo dosaženo pávě dovoleného smykového napětí: ττ DD tt ττ DD ττ ττ DD mmmm,6 ττ DD,6 tt ττ DD,7 tt ττ DD

134 PŘÍLD 67 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL UZVŘENÝ): Dáno: t a τd Učit: D f(t ; τd) (dovolený moment jako funkci zadaných veličin včetně kontol v přímé části a v ohu) Nejpve vypočteme velikost plochy uzavřené střednicí: ss ππ ππ ( tt) 5 ππ tt 57, tt () () t ρ,t Nyní již vypočteme návhový kouticí moment podle vztahu: ss tt mmmmmm ττ DD 5 ππ tt tt ττ DD ππ tt ττ DD, tt ττ DD Po následné kontoly musíme stanovit GG θθ (potože t t a t t, bude v přímé dolní části () střední napětí τs τd a v honí zakřivené částí () střední napětí τs τd/): GG θθ ττ ss dddd (ss) ττ ττ DD + DD ππ ss 5 ππ tt ττ ππ DD + tt ππ tt 5,7, ττ DD tt, ττ DD tt Dále po kontolu v levém dolním ohu musíme popsat jeho geometii pomocí poloměů a a stanovit konstantu C: ρρ, tt ; + tt + tt Po tyto hodnoty vychází: CC ττ DD tt GG θθ ( ) ln, tt + ττ DD tt, ττ DDtt tt + tt Nejpve vypočteme (zkontolujeme) přímou část pofilu:,7 tt [(,7 tt) (, tt) ],9 ττ,7 tt DD tt ln, tt ττ ee/ii ττ ss ± GG θθ tt ττ DD ±, ττ DD tt tt ττ ee ττ DD +, ττ DD, ττ DD ττ ii ττ DD, ττ DD,886 ττ DD Dále zkontolujeme napětí v ohu pofilu: ττ ; GG θθ ; + CC ; ττ, ττ DD tt ττ, ττ DD tt, tt +,9 ττ DD tt, tt,7 tt +,9 ττ DD tt,7 tt aimální smykové napětí vzniká v levém dolním ohu na vnitřním poloměu: ττ mmmmmm maττ ee ; ττ ττ,97 ττ DD,97 ττ DD, ττ DD Dovolený moment dostaneme edukcí návhového tak, aby v nejnamáhanějším místě (v ohu polomě ) bylo dosaženo pávě dovoleného smykového napětí: ττ DD ππ tt ττ DD ππ ττ ττ DD mmmmmm,97 ττ DD,97 tt ττ DD 59, tt ττ DD t ρ t

135 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 68 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL OTEVŘENÝ): Dáno: Put je tvořen tenkostěnným pofilem dle obázku H mm, t mm, t 7 mm, ρ mm a τd 5 N mm Učit: D (dovolený kouticí moment při zohlednění možné koncentace v ozích pofilu) Po učení kvadatického momentu eistuje několik způsobů, jak řešený pofil ozdělit na soustavu tenkých dlouhých obdélníků Ukážeme si dva možné způsoby, z nichž bude patné, že způsob dělení ovlivní výpočty v řádu jednotek pocent I dělení je patné ze schématického obázku a kvadatický moment bude: JJ I JJ I + JJ I + JJ I (HH tt ) tt + HH tt + (HH tt ) tt t t H t H [( ) + + ( ) 7 ] 89 mm II dělení je patné ze schématického obázku a kvadatický moment bude: JJ II JJ II + JJ II + JJ II HH tt + (HH tt tt ) tt + HH tt [ + ( 7) + 7 ] 88 5 mm Rozdíl cca,%, což je zanedbatelná chyba Po tyto kvadatické momenty půřezu stanovíme návhový kouticí moment V případě I dělení bude: V případě II dělení bude: I JJ I 89 ττ tt DD N mm ma II JJ II 88 5 ττ tt DD 5 65 N mm ma U pofilu (otevřeného) je třeba povést pouze kontolu v ohu ontolu v přímé části není třeba povádět podmínka, že největší smykové napětí v přímé části je ovno dovolenému smykovému napětíje splněna automaticky z návhového vztahu Po tenkostěnný otevřený pofil platí: GG θθ JJ ττ DD tt ma 5 5 N mm

136 Na pofilu se nacházejí dva ohy, a tak povedeme kontolu v obou t Roh vpavo dole (P) přechod t t: V ohu musíme popsat jeho geometii pomocí dvou poloměů křivosti: ρρ mm, + tt + tt + + 7,5 mm Po tuto geometii stanovíma integační konstantu C: CC GG θθ ( ) ln Napětí v ohu vypočteme pomocí vztahů: ττ PP GG θθ + CC 5 + 9, 5 (,5 ) ln,5 9, N mm 6, N mm ττ PP GG θθ + CC 5,5 + 9,,5 +7,6 N mm Roh vlevo dole (L) přechod t t: t t ρ V ohu musíme popsat jeho geometii pomocí dvou poloměů křivosti: ρρ mm, + tt + mm ρ Po tuto geometii stanovíma integační konstantu C: t CC GG θθ ( ) ln Napětí v ohu vypočteme pomocí vztahů: ττ LL GG θθ + CC 5 + 7,8 ττ LL GG θθ + CC 5 + 7,8 5 ( ) ln 7,8 N mm 75,9 N mm +5,9 N mm Největší napětí vzniká na vnitřním poloměu a na toto místo budeme edukovat návhový moment: ττ ma mmmmmmττ PP ; ττ LL ττ LL 75,9 75,9 N mm Hledaný dovolený kouticí moment v topmto případě bude: DD I I DD II II ττ DD N mm,9 kn m ττ ma 75,9 ττ DD N mm,9 kn m ττ ma 75,9 Poznámka: Pokud jsme hledaný dovolený moment vyjádřili v [kn m] na dvě desetinná místa, není již žádný ozdíl mezi I a II dělením pofilu při výpočtu kvadatického momentu půřezu J

137 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 69 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL OTEVŘENÝ): Dáno: Ocelový put (G,8 5 Nmm - ) délky -B mm je vyobený svařením dvou plochých částí (honí 7 6 ovné a dolní ohnuté 7 tva a ozměy viz obázek) a je namáhán kouticím momentem 5 Nmm Učit: τ (namáhání jednotlivých částí pofilu), ϕ-b (natočení konců putu -B při volném koucení) Potože řešený pofil můžeme učitě považovat za tenkostěnný (h > t), můžeme ho ozdělit na dva tenké obdélníky a celkový modul Jc učit jako součet dílčích modulů J + J: [ h t + h ] [ 76 + ] 7 7 J c t mm aimální napětí v přímých částech učíme podle vztahů: - τ ma,6 Nmm a W J 7 7 t 6 - τ ma 6, Nmm W J 7 7 t Toto napětí bude v kajních vláknech delších stan obou dílů řešeného svařeného pofilu Dále musíme ještě zkontolovat oba ohy, kteé pofil má (honí oh tvoří sva pouze se skutečným poloměem, zatímco dolní oh je tvořen ohybem spodní části dolního dílu pofilu) onstanta Gϑ bude po oba ohy stejná: onstantu C musíme po každý oh učit zvlášť: Honí oh: J G ϑ, N mm Dolní oh: Vnitřní polomě: mm Vnitřní polomě: 5 mm t + t Vnější polomě: + 7 mm Vnější polomě + t 9 mm τ, (7 C 7 ln 7,6, + ) 7,6 N mm 8,6 N 7,6 τ, 7 + 8, N 7 mm mm - - -, (9 5 ) 9 ln 5 - C 95, Nmm, 95, 5 - τ, 5+ 8,6 N mm, 95, 9 - τ, 9 + 5, N mm Nejnamáhanějším místem řešeného pofilu je honí oh, kteé má příliš malý polomě zaoblení Natočení konců -B putu při volném koucení učíme pomocí základního vztahu: B ϕ - -B,6 ad, 5 5 G J, R5 R 6, Nmm -,6 Nmm - 6 8,6 Nmm - 8,6 Nmm - 5

138 PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL OTEVŘENÝ): Dáno: ozměy dle obázku v mm; τd 8 Nmm - 8 Učit: D (dovolený moment s uvažováním koncentace v ohu pofilu) 5 D Tenkostěnný pofil (tt ii h ii ) můžeme ozdělit na dva obdélníky 6 Eistují dvě jednoduché metody, jak pofil ozdělit: a) JJ ) JJ aa) + JJ aa) ( ) 5 57 mm, b) JJ ) JJ bb) + JJ bb) (8 + 6 ) 79 mm, (Rozdíl mezi výpočty je cca %, což je vzhledem k přibližnosti celého výpočtu zanedbatelný ozdíl) Návhový moment vypočteme ze vztahu: WW ττ DD JJ tt ma ττ DD ) Nyní ještě povedeme kontolu v ohu pofilu: mm, + tt + tt ) N mm 5,6 N m 8 9 mm GG θθ JJ ττ DD tt ma 8 8 N mm, CC GG θθ ( ) ln Napětí na poloměech a budou: (9 ) ln 9 56 N mm N mm 7, N m 8 ττ N mm a ττ ,5 N mm 9 Výsledný dovolený moment získáme edukcí na maimální smykové napětí (v ohu ): DD ττ DD ττ ma ττ DD ττ DDDD) 5,6 8 8, N m DDDD) 7, 8 8 9, N m Při zatížení zadaného tenkostěnného pofilu dovoleným kouticím momentem D bude v místě největšího namáhání (v ohu na poloměu ) dosaženo pávě dovoleného napětí τd 8 9 ρ 6 6

139 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL OTEVŘENÝ): B Dáno: Z pásu plechu šířky b mm, délky 7 mm a tloušťka t 8 mm vyobeného z vysokopevnostní oceli (τ Nmm a G,8 5 Nmm - ) je vylisován otevřený pofil podle obázku Učit: D (po bezpečnost k dovolený kouticí moment s uvažováním koncentace v ohu), ϕ-b (vzájemné natočení konců putu při volném koucení a zatížení dovoleným momentem D ) Dovolené smykové napětí učíme pomocí meze kluzu ve smyku a zadané bezpečnosti: ττ DD ττ kk N mm Návhový moment učíme z původního polotovau před zohýbáním, kteým byl tenký dlouhý obdélník bb tt Po tento obdélník stanovíme kvadatický moment v kutu jako: JJ bb tt 8 8 mm Velikost návhového kouticího momentu je: JJ 8 ττ tt DD 8 6 N mm,8 kn m min 8 Nyní povedeme kontolu v ohu Jako nejnepříznivější se jeví honí oh s nejmenším poloměem zaoblení mm, kde bude + tt + 8 mm: GG θθ JJ CC GG θθ ( ) ln ττ DD tt 8,75 N mm,,75 ( ) ln N mm Napětí v ohu budou: ττ GG θθ + CC, ,5 N mm, ττ GG θθ + CC, ,5 N mm ττ ma ττ 77,5 77,5 N mm Vzhledem k maimální hodnotě smykového napětí, kteá je výazně vyšší než dovolené smykové napětí, musíme edukovat návhový kouticí moment tak, aby bylo v nejnamáhanějším místě (honí oh na poloměu ) dosaženo pávě dovoleného smykového napětí Dovolený moment je: DD ττ DD ττ ma 8 6 Vzájemné natočení konců putu bude: D 7 5 N mm,75 kn m 77,5 φφ B DD l B GG JJ,8 5,7 ad, 8 8 D 7

140 8 v v půmět vchlíku napětí PŘÍLD 6 (NERUHOVÝ TENOSTĚNNÝ PROIL VÍCEDUTINOVÝ/VÍCEOOROVÝ): Dáno: Put je vyobený z obdélníkového tenkostěnného pofilu s příčkou, kteá vnitřek pofilu ozděluje na dvě komoy a Put je namáhán kouticím momentem (po jednoduchost jsou udány přímo ozměy střednic jednotlivých částí) Učit: Namáhání jednotlivých částí pofilu (bez přepočtů) Obecný postup řešení tohoto pofilu si ozdělíme do několika postupných koků: Naznačíme vchlík napětí, kteý nad půřezem musí vzniknout Opět budeme vzhledem k předpokládané tenkostěnnosti pofilu předpokládat, že půběh funkce napětí po šířce stěny bude lineání Velikosti funkce napětí budou tvořit výšky vchlíku v a v Spád vchlíku napětí bude učovat velikost smykových napětí v jednotlivých částech půřezu: t v s τ, t v s τ a t v v s τ Dvojnásobný objem vchlíku napětí V učuje velikost přenášeného kouticího momentu : ( ) ( ) s c s c c c t t v v V τ τ + + Použijeme Stokesovu větu ve tvau ds G s c τ ϑ a z ní učíme zkut obou komo: c s s G + τ τ ϑ a c s s G τ τ ϑ, kde: ) ( b h + a ) ( b h + délka střednice a komoy, b + b délka společné střednice a komoy, b h c a b h c plocha střednice a komoy, 5 Doplníme defomační podmínku, kteá musí zajistit shodnou defomaci obou komo: ϑ ϑ, a potože musí být G G G c s s c s s + τ τ τ τ 6 Výsledná střední smyková napětí τs, τs a τs po dosazení a úpavě jsou: ) ( ) ( c c c c c c c s t t t t t t t t τ, ) ( ) ( c c c c c c c s t t t t t t t t τ, ) ( c c c c c c s t t t t t t t t τ h h b b t t t t t τs τs τs

141 7 TECHNICÁ PLSTICIT PŘÍLD 7 (STTICY URČITÝ TH/TL V PLSTICITĚ): Dáno: Sloupek o ploše půřezu, esp a délky L, esp L/ je na volném konci zatížen osamělou silou (vlastní tíhu sloupku zanedbáme) Učit: mez (mezní sílu kteá způsobí vznik mezního stavu plasticity po vaiantu a i b) Podle Saint-Vénantovy teoie předpokládáme, že po celé délce sloupků působí konstantní síla, kteá se ovnoměně ozloží do celého půřezu bez uvažování přechodu v případě b Pokud platí: v celém sloupku vzniká konstantní napětí NN() () a) b) Pužnost a pevnost II ZS 8/9 v každé z obou částí vzniká konstantní napětí I NN I() I () a) b) a L/ L/ II NN II() II () < ma( I ; II ) < je celá součást v elastickém stavu a veškeé defomace jsou vatné a po odlehčení zcela vymizí Pokud dosáhne: ma( I ; II ), je celá součást v plastickém stavu je nejnamáhanější část v plastickém stavu Potože nic nebání jejímu nekonečnému Potože část II nezabání nekonečnému podloužení, vznikl tak mechanizmus podlužování části I, vzniká mechanizmus (plastický) a celá součást již není schopna (plastický) a celá součást již není schopna přenést dále ostoucí sílu přenést dále ostoucí sílu mez mez V obou případech došlo tedy ke kvalitativní změně v chování celé součásti (a) nebo její jedné části (b) nastal mezní stav plasticity a síla, kteá tento stav způsobila je mezní silou: mmmmmm mmmmmm 9

142 PŘÍLD 7 (STTICY NEURČITÝ TH/TL V PLSTICITĚ): Dáno: Sloupek o ploše půřezu a délky je vetknutý na obou koncích (body B a C) a ve dvou třetinách své délky od spodního vetknutí (bod D) je zatížen osamělou silou (vlastní tíhu sloupku zanedbáme) Učit: mez (mezní sílu, kteá způsobí vznik mezního stavu plasticity) Podle PP I vznikají ve vetknutích dvě eakce, ale my jsme schopni sestavit pouze jedinou ovnici ovnováhy (do svislého směu) B Znamená to tedy, že tato úloha je jednou staticky neučitá a jako takovou ji musíme nejpve vyřešit Uvolníme jedno vetknutí nahadíme odebané vetknutí staticky neučitým účinkem (eakční silou) doplníme defomační podmínku, kteá zabání volnému posuvu uvolněného bodu Získáme tak staticky neučitou eakci a duhou eakci již dopočítáme ze statické ovnice: R B a R C Po výpočet napětí musíme součást ozdělit na dvě pole a : a Obě tato napětí vyneseme v diagamu - Z něho je patné, že napětí oste absolutně ychleji než napětí Poto toto napětí dosáhne meze kluzu + jako pvní a celá část tak dosáhne plastického stavu + Tento bod je posledním bodem elastického chování celé součásti, a tak sílu, kteá tento stav způsobuje, označíme jako sílu elastickou: el Při dalším zvyšování síly ( > el) již část toto zvýšení nebude schopná přenést, potože je celá v plastickém stavu (je schopná se nekonečně podlužovat) Vzhledem k tomu, že však část ještě zůstává v elastickém stavu, bude této nekonečné defomaci bánit a přenese náůst síly i nad hodnotu Soustava se v této oblasti bude nacházet v elasticko-plastickém stavu Zatímco část se stále chová elasticky, tak část je již plně zplastizovaná Potože část nemůže přenést již větší sílu než N stane se ze zbytku soustavy (část ) staticky učitá úloha a část již jen přenáší stálou sílu : Napětí v části bude neměnné: Napětí v části bude nyní: Tato napětí opět zobazíme v diagamu - D C / / / /

143 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Z něho je patné, že napětí oste (klesá) nyní ychleji než v elastické oblasti a poměně ychle dosáhne meze záponé kluzu V tomto okamžiku se dostane do plastického stavu i část a není tedy schopna přenést další náůst síly Síla, kteá tento stav způsobí je: Potože ale v součásti již neeistuje žádná její část, kteá by bánila volné defomaci a převzala naůstající sílu, dojde pávě v tomto okamžiku ke kvalitativní změně v chování soustavy vzniká plastický mechanizmus a síla, kteá tento stav způsobila, je tedy hledanou mezní silou mez Hledaná mezní síla tedy bude: mez mez zb + skut EZNÍ STV PLSTICITY Elastická oblast Elast plast oblast Oblast plastického mechanizmu zb zb skut zb Elastická oblast Elasticko-plastická oblast - diagam závislosti napětí na zatěžující síle : Je patné, že platí: ; soustava se chová elasticky všechny defomace jsou vatné a po odlehčení nevyniknou v součásti žádná zbytková napětí ( el) ; soustava se chová elasticko-plasticky po odlehčení vždy vzniknou zbytková napětí esp defomace (děje již nejsou vatné) soustava se chová jako mechanizmus nastal EZNÍ STV PLSTICITY mez

144 Zbytková napětí (defomace) po odlehčení z mezního stavu plasticity Po výpočet zbytkových napětí esp defomací použijeme dříve zavedenou větu: fikt el skut zb esp fikt el skut zb u u u Po napětí v části platí: skut mez fikt el Povšimněte si, že fikt el >, což je opavdu pouze fiktivní možnost, potože podle teoie ideálně elasticko-plastického mateiálu bez zpevnění napětí vyšší než mez kluzu nejsou možná Po napětí v části platí: skut mez fikt el Poznámky: Zbytková napětí v obou částech USEL vyjít stejná, potože se jedná o jednu součást po odlehčení již bez jakéhokoliv vnějšího zatížení V soustavě vznikl tzv samoovnovážný stav Po defomaci části platí: ( ) ( ) + + E E E u u mez skut, E E E u mez fikt el 9 Zbytková defomace působiště síly (bod D) po odlehčení z mezní síly bude: + + E E E u zbyt 9 9 Znaménko + značí, že se jedná o podloužení - posunutí bodu D dolů Po defomaci části platí: ( ) ( ) E E E u mez skut, E E E u mez fikt el 9 Zbytková defomace působiště síly (bod D) po odlehčení z mezní síly bude: E E E u zbyt 9 9 Znaménko značí, že se jedná o zkácení - posunutí bodu D dolů, což je ve shodě s výsledkem z, potože i po odlehčení musí být zachována spojitost zb zb

145 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (STTICY NEURČITÝ TH/TL V PLSTICITĚ): Dáno: Symetickou soustavu délky tvoří tři puty o shodné ploše půřezu (oba šikmé svíají se svislým putem úhel α) Ve společném bodě B je soustava zatížena osamělou svislou silou (vlastní tíhu sloupku zanedbáme) Učit: mez (mezní sílu, kteá způsobí vznik mezního stavu plasticity) Pokud nás zajímá pouze mezní síla (dosažení mezního stavu plas- ticity) a nikoliv cesta, kteou se soustava do tohoto stavu dostane (přes elastický a elastickoplastický stav) a nezajímají nás ani zbytková napětí po odlehčení, stačí sestavit geometicky přípustný mechanizmus a po něj sestavit statickou ovnici ovnováhy Řešená soustava je staticky neučitá: Budou-li mít všechny puty stejný půřez a budou-li vyobeny ze stejného mateiálu, bude put nejtužší (má nejmenší délku) a síla, kteá v něm vznikne v elastickém stavu, bude nejvyšší, a tak i napětí v tomto putu dosáhne meze kluzu jako pvní α B α Následně je třeba, aby meze kluzu dosáhl i další put, ale vzhledem k symetii celé úlohy bude dosaženo meze kluzu v obou putech současně α α V tom okamžiku nebude nic bánit nekonečnému posuvu bodu B a vznikne tak plastický mechanizmus Silová ovnováha do svislého směu je podle obázku dána ovnicí: + cosα ( + cosα ) mez mez mez B mez Poznámka: Pokud bychom chtěli půběh zatěžování v elastickém stavu, museli bychom se nejpve vátit do PP I a vyřešit staticky neučitou úlohu: Statická ovnice je: N + N cosα, defomační podmínka je: a fyzikální ovnice jsou: cosα N, E N E cosα N N α α N α α B Elastické síly v putech tedy jsou: N a + cos α cos α N + cos α

146 PŘÍLD 7 (RUT V PLSTICITĚ): Dáno: D mm a τ 9 Nmm - (ideální el pl mateiál) Učit: W el- pl (obecně po velikost pužného jáda o půměu d), pl (plastický moment, kdy jsou smyková napětí ττ ττ) τzb(d/) (zbytková napětí na vnějším povchu po odlehčení z pl) Elasticko-plastický modul půřezu v koucení odvodíme z elasticko-plastického momentu: eeee pppp eeee jjádddddd + pppp oooooooooo eeee jjádddddd ττ WW eeeejjádddddd ττ pppp oooooooooo DD ππ dd 6 ρρ ττ ππ ρρ dddd ττ ππ (DD dd ) dddd dd dddd dd Výsledný elasticko-plastický moment bude: eeee pppp ττ ππ 6 dd + ττ ππ (DD dd ) ττ ππ 8 ( DD dd ) pl el-pl D d D τ dt ρ dρ d Z něho učíme elasticko-plastický modul půřezu v koucení: eeee pppp ττ WW eeee pppp WW eell pppp ππ 8 ( DD dd ) á-li nastat úplný plastický stav kuhového půřezu, musí být d : pppp eeee pppp (dd ) ττ ππ 8 ( DD ) ττ ππ DD eeee Zbytkové napětí učíme podle vztahu ττ zzzz (DD/) ττ ssssssss (DD/) ττ ffffffff (DD/) ττ zzzz (DD/) ττ pppp ττ WW ττ ππ DD eeee ππ DD ττ ττ ττ 6 pl ττ ssssssss eeee ττ ffffffff ττ zzzz τ + ττ ττ Po dosazení číselných hodnot vychází: pppp 9 ππ N mm a ττ zzzz (DD/) 9 N mm

147 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 5 PŘÍLD 75 (RUT V PLSTICITĚ VYUŽITÍ VRCHLÍU NPĚTÍ): Dáno: Put kuhového, mezikuhového, čtvecového a dutého čtvecového půřezu o ozměech D, d esp B, b je vyoben z mateiálu o mezi kluzu ve smyku τ Učit: pl (plastický moment po jednotlivé půřezy), W pl (velikost plastického modulu půřezu v kutu) Využijeme zde obě známé vlastnosti funkce napětí esp vchlíku napětí, kteý vytvoří v případě kuhového pofilu to bude tedy kužel, v případě mezikuhového pofilu komolý kužel, v případě čtvece jehlan a v případě dutého čtvece komolý jehlan Podle obázků musí po výšky jednotlivých těles platit: a) užel: D D v τ ϕ tg b) omolý kužel: D D v τ ϕ tg a o d d v τ ϕ tg c) Jehlan: B B v τ ϕ tg d) omolý jehlan: B B v τ ϕ tg a o b b v τ ϕ tg Nyní můžeme vypočítat objemy těchto těles, esp velikosti momentů, kteé tento stav vyvolají: a) uhový pofil: pod pl D D D v V τ τ π π pl pl W τ π D W pl b) ezikuhový pofil: ( ) ( ) o otv pod pl d D d d D D v v V τ τ π π π pl pl W τ pl pl W τ ( ) π d D W pl a) Čtvecový pofil: pod pl B B B v V τ τ pl pl W τ B W pl b) Dutý čtvecový pofil: ( ) o otv pod pl b B b b B B v v V τ τ pl pl W τ pl pl W τ b B W pl Poznámka: Všimněte si, že v případě plastického půřezového modulu v kutu na ozdíl od elastického platí pincip aditivnosti (výsledný modul lze získat postým odečtením modulu otvou od modulu plného půřezu) D v ϕ D v vo d ϕ v vo ϕ b B v ϕ B

148 PŘÍLD 76 (RUT V PLSTICITĚ TENÝ DLOUHÝ OBDÉLNÍ): Dáno: Put obdélníkového půřezu o ozměech bb tt, kde bb tt je vyoben z mateiálu o mezi kluzu ve smyku τ a je zatížen kouticím momentem Učit: el, (moment kdy končí elastický stav) pl (moment, kdy vzniká plastická spojka) W pl/w el (pomě plastického a elastického modulu půřezu v kutu) Využijeme zde opět obě známé vlastnosti funkce napětí esp vchlíku napětí V elastickém stavu jsme odvodili, že vchlík napětí má paabolický pofil při zanedbání zaoblení, kteá vznikají v oblasti katších stan Po hanol s paabolickou podstavou s vcholem v ose putu a se spádem na okajích o velikosti ±τ platí: τ v( ) t el τ + t v( ) τ t, a pak tedy bude: V t v b t τ t b b t τ t b b τ W el b t t v() skutečný tva vchlíku napětí na okaji V plastickém stavu bude mít vchlík napětí tva hanolu s tojúhelníkovou podstavou Opět zanedbáme jako u elastického koucení zkosení, kteá vznikají v oblasti katších stan Po hanol s tojúhelníkovou podstavou a vcholem v ose putu a se spádem na okajích o velikosti ±τ platí: τ v( ) t τ t + v ( ) τ t, a pak tedy bude: b t τ skutečný tva vchlíku napětí na okaji v() pl V t v b t τ t b b t τ Z poovnání obou momentů esp modulů půřezu v kutu vyplývá, že: pl el bt bt τ τ W pl t b,5 Plastický moment je o 5% větší než elastický moment Poznámka: Po sovnání v případě kuhového ( D) esp čtvecového ( B) pofilu je tento pomě: π D τ pl, B τ pl, (+%), esp, 6 (cca +6%) el π D el,8 B τ τ 6 6

149 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 77 (OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: B 5 mm a Nmm - (ideální el pl mateiál) Učit: Wo el- pl (obecně po velikost pužného jáda o výšce b) o el; o pl a zb(b/) po odlehčení z o pl(na vnějších povších) Elasticko-plastický modul půřezu v ohybu odvodíme z elasticko-plastického ohybového momentu: oo eeee pppp oo eeee jjádddddd + oo pppp oooooooooo eeee jjádddddd oo WW eeeejjádddddd BB bb oo 6 BB pppp oooooooooo oo ηη BB dddd BB bb (BB bb ) dddd dddd dd Výsledný elasticko-plastický moment bude: eeee pppp BB bb oo + 6 BB (BB bb ) BB ( BB bb ) Z něho učíme elasticko-plastický modul půřezu v ohybu: dn o el-pl o B d B o η dη b B oo eeee pppp WW oo eeee pppp WW oo eeee pppp BB ( BB bb ) á-li nastat úplný plastický stav kuhového půřezu, musí být b : pppp oo eeee pppp oo (bb ) BB ( BB ) BB eeee Zbytkové napětí učíme podle vztahu oo zzzz (BB/) oo ssssssss (BB/) oo ffffffff (BB/) oo zzzz (BB/) oo pppp WW oo eeee + BB BB oo ssssssss 6 eeee oo ffffffff + oo zzzz Po dosazení číselných hodnot vychází: oo pppp N mm a zzzz BB 5 N mm 7

150 PŘÍLD 78 (OHYB V PLSTICITĚ PLSTICÝ PRŮŘEZOVÝ ODUL OENT): Dáno: Nesymetický I-pofil zadaný paameticky s paametem t má ozměy dle obázku a je vyoben z mateiálu o mezi kluzu Učit: Wo pl (plastický modul půřezu v ohybu), o pl (plastický ohybový moment) Výpočet Wo pl esp o pl můžeme povést několika způsoby, ale vždy musíme znát polohu neutální osy v plasticitě, kteá dělí plochu půřezu na dvě stejné části: t 6t + t 8t + t 6t 6t t Polohu on pl učíme z podmínky: t 6t + t ( yo t), n pl odkud vyplývá výsledný vztah: y n pl t + t t t + t t t t o Elast stav Plast stav Poznámka: Po úplnost je zobazena i poloha těžiště T, kteým musí pocházet on el neutální osa v elasticitě a velikost elastického půřezového modulu v ohybu: Wo el f(t ) Z obázku je také patný posun neutální osy v plasticitě, což je důsledek nesymetie půřezu Pvní způsob výpočtu Wo pl povedeme pomocí výpočtů statických momentů honích a dolních částí pofilu k on pl:,7t t o n el o n pl T 6t t t 7t t (t) S S ho on pl dol on pl 6t t 7,5t + t 7t,5 t 69,5 t 6t t t + t t,5 t,5 t W o pl S 9 ho o + S t n pl dol o n pl Další možností je učit vzdálenosti těžišť honí a dolní poloviny půřezu od neutální osy on pl: e e T ho T dol S S z ho i z dol i 6 t t 7,5 t + t 7 t,5 t 5,6 t t 6 t t t + t t,5 t t,885t nyní již vyjádříme velikost plastického momentu: o pl Wo pl 9 t Stejně bychom mohli pomocí momentových ovnic k ose on pl učovat přímo plastický moment o pl: o pl 6t 7,5t + 7 t,5 t + + t t + t,5 t o pl 9 t 7,5t t W,5t ( e e ) 9 t o pl T ho + Tdol t 6t 7t on pl,5t t 8

151 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 79 (STTICY URČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: Nosník délky 6 mm je vyoben z ocelové tyče čtvecového půřezu o staně a mm a mezi kluzu Nmm - a a Učit: el (mezní elastická síla, kdy bude ještě celý nosník v elastickém stavu), mez (mezní síla za předpokladu ideálního elasticko-plastického chování použitého mateiálu) o() o() o ma ma o ε Potože se jedná o staticky učitý nosník, stačí, aby mezní stav nastal v místě největšího namáhání ve vetknutí V elastickém stavu musí být napětí v kajních vláknech půřezu pávě ovno mezi kluzu Zde bude ozhodující elastický modul půřezu v ohybu: usí tedy platit: WW oo eeee 6 aa mm oo eeee WW oo eeee oo eeee WW oo eeee 667 N mm, kn m Nejnamáhanějším místem je vetknutí, poto musí platit: oo eeee eeee l eeee oo eeee l 6 N kn V plastickém stavu musí zplastizovat celý půřez, aby mohl vzniknout plastický kloub a tím nastal plastický mechanizmus Zde bude ozhodující plastický modul půřezu v ohybu: mez plastický mechanizmus WW oo eeee aa 6 mm usí tedy platit: oo pppp WW oo pppp oo pppp WW oo pppp 6 N mm, kn m Tento kloub vznikne ve vetknutí, poto musí platit: oo pppp mmmmmm l mmmmmm oo pppp l 6 N kn Sovnáním vychází, že mezní plastická síla je o 5% vyšší než mezní elastická síla: mmmmmm eeee WW oo pppp l WW oo eeee l WW oo pppp aa 6 WW oo eeee 6,5 aa 9

152 PŘÍLD 7 (STTICY URČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: ; a ; t ; (ideální el pl mateiál) Učit: Plastický mechanizmus Wo pl; o pl a mez f( ; a ;t ; ) Zadaný nosník je staticky učitý, a poto stačí vznik jednoho plastického kloubu, aby nastal plastický mechanizmus, kteý znamená dosažení mezního stavu plasticity daného nosníku Při nalezení místa plastického kloubu využijeme znalosti z PP I, kdy víme, že maimální moment na nosníku kloubově uloženém na obou stanách nastává v místě působení osamělé síly Obecně platí: V našem případě je: l l l l oo mmmmmm l l l + l oo mmmmmm á-li vzniknout pod silou plastický kloub, musí platit: oo mmmmmm oo pppp l l l + l 6 l 6 mmmmmm l oo pppp mmmmmm 6 oo pppp l Dalším, neméně významným kokem, je vyjádření o pl Pomocí zadaných veličin: oo pppp WW oo pppp Plastický modul půřezu v ohybu Wo pl učíme po zadaný T-pofil pomocí statických momentů ploch půřezu o plastické neutální ose Polohu neutální osy v plastickém stavu o nn pppp učíme z podmínky ovnosti ploch nad a pod osou: HH onn pppp DD onn pppp V našem případě je plocha stojiny shodná s plochou pásnice (a t t a), a poto neutální osa v plastickém stavu o nn pppp Bude pocházet pávě spojnicí stojiny a pásnice (mimo těžiště pofilu) pppp oo WW oo pppp SS nn ii ii aa tt aa + aa tt tt aa tt (aa + tt) Tuto hodnotu dosadíme do vztahu po výpočet mezní síly a dostáváme: mmmmmm 6 WW oo pppp 6 l aa tt (aa + tt) 8 l aa tt (aa + tt) l mez l l l + l a t plast kloub mez plastický mechanizmus a t Poznámka: Na pvní pohled je patné, že ozměová analýza výsledku je v pořádku: [N] [] [N m ] [m] [m] ([m]+[m]) [N] 5 [m]

153 PŘÍLD 7 (STTICY NEURČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: Nosník je uložen na podpěách, a a ve středu pole je zatížen osamělou silou Nosník má obdélníkový pofil b h a je vyoben z mateiálu o mezi kluzu Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Učit: Velikost mezní síly mez, kteá způsobí vznik plastického mechanizmu za předpokladu ideálního elasticko-plastického chování použitého mateiálu Tuto úlohu lze řešit jednak uvolněním a jednak metodou vituálních pací etoda uvolnění: Z PP víme, že v těchto případech nastává etém ohybového momentu jednak pod silou a jednak v místě střední podpěy V těchto místech také musí vzniknout dva plastické klouby, kteé z nosníku vytvoří plastický mechanizmus odpovídající meznímu stavu plasticity ůžeme použít možné způsoby uvolnění odstanění kteékoliv z podpě a její nahazení neznámou eakcí: a) Odstaníme např podpěu a připojíme eakci R(): +R () R () / / + o pl o pl mez / místo : místo : / / R ( mez + R + o pl ) o pl () o pl mez 6 b h b) Odstaníme podpěu a místo ní připojíme eakci R(): / / R () + o pl o pl místo : místo : c) Odstaníme podpěu a místo ní připojíme eakci R(): + o pl o pl R() mez 8 R ) mez + 8 mez ( o pl 6 / / R () místo : místo : mez + o pl R() o pl R ( ) + o pl o pl R () mez o pl 6 5

154 etoda vituálních pací: (POZOR!!! Nezaměňovat páci s půřezovým modulem Oboje se bohužel značí W) Při použití této metody využíváme následující skutečnosti: a) Plastické klouby, kteé vytvoří potřebný plastický mechanizmus, vznikají jen v místech etémů ohybových momentů b) Součet vituálních pací δwet všech vnějších účinků (v našem případě pouze síla mez) se musí ovnat součtu vituálních pací δwint všech vnitřních účinků (v našem případě momenty o pl) c) Elastické posuvy jsou vzhledem k plastickým tak malé, že je můžeme při výpočtu zanedbat d) Plastický kloub působí poti své defomaci opoovým momentem o pl Potože z elastického ozbou víme, že etém o nastane jednak pod silou a jednak v místě, umístíme do těchto míst plastické klouby a sestojíme plastický mechanizmus: Zde byl kloub, a tedy neklade žádný odpo Zde vznikl jeden plastický kloub, kteý se plasticky defomuje zleva i zpava Zde vznikl duhý plastický kloub, kteý se ale plasticky defomuje pouze zleva δu mez o pl δα / / δα o pl o pl δα Po takto navžený mechanizmus vyjádříme vnější a vnitřní vituální páce: δwet mez δu a δwint o pl δα odkud vyplývá: mez δu o pl δα Nyní sestavíme vztahy mezi vituálními defomacemi δα a δu: / δα δu tan δδδδ δδδδ l δδδδ l δu δα Potože ale δα je malý úhel platí tgδα δα a tedy dostáváme: δα esp δ u Dosadíme-li tento vztah do ovnice vituálních pací, dostáváme: δu δα mez δu o pl esp mez o pl δα V obou případech nyní využijeme skutečnost, že δu esp δα jsou vituální defomace nekonečně malé avšak nenulové a můžeme je zkátit a dostaneme již silovou ovnici: o pl mez 6 Nakonec musíme řešení doplnit o vyjádření o pl pomocí zadané geometie půřezu a : b h W o pl o pl W o pl bh mez b h 6 b h 5

155 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (STTICY NEURČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: Je dán staticky neučitý nosník vetknutý v bodě a podepřený v bodě Upostřed je zatížen osamělou silou Nosník má obdélníkový pofil b h a je vyoben z mateiálu o mezi kluzu Učit: Velikost mezní síly mez, kteá způsobí vznik plastického mechanizmu po ideální elasticko-plastický mateiál Tuto úlohu budeme řešit obdobně jako předchozí příklad 77 etoda uvolnění: Opět totiž eistují dva způsoby, jak tento staticky neučitý nosník uvolnit a zbavit se tak statické neučitosti: Nahazení vetknutí v bodě kloubem s momentem (): místo : + o pl () místo : ) o pl ( Odebání podpěy v bodě a její nahazení silou R (): místo : + místo : o pl o pl R( ) R() mez mez o pl 6 o pl 6 () () o pl +R () o pl / / + o pl R () + o pl etoda vituálních pací: Potože z elastického ozbou víme, že etém o nastane jednak pod silou a jednak ve vetknutí, umístíme do těchto míst plastické klouby a sestojíme plastický mechanizmus: Rovnice vituálních pací po tento mechanizmus je: δu δα, mez o pl kde bude opět vztah mezi vituálními defomacemi dán ve tvau: δδδδ l δδδδ δδδδ δδδδ l δα plast kloub o pl / o pl δu plast kloub () mez o pl / Po dosazení do ovnice vituálních pací dostáváme: mmmmmm l δδδδ oo pppp δδδδ esp mmmmmm δδδδ oo pppp δδδδ l potože δδδδ, esp δδδδ je vituální defomace nekonečně malá avšak nenulová δδδδ, δδδδ, můžeme jí na obou stanách ovnice zkátit a celkový výsledek je: mmmmmm 6 oo pppp l 6 WW oo pppp l 6 bb h l bb h l 5

156 PŘÍLD 7 (STTICY NEURČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: Je dán staticky neučitý nosník vetknutý v bodě a podepřený v bodě V obecném místě je nosník zatížen osamělou silou Celý nosník je vyoben z mateiálu o mezi kluzu Učit: Polohu na nosníku, kdy bude nejmenší velikost mezní síly mez, kteá způsobí vznik plastického mechanizmu po ideální elasticko-plastický mateiál Pokud bychom řešili zcela obecnou polohu síly na nosníku popsanou souřadnicí zpava (od kloubové podpěy směem k vetknutí), dostáváme ovnici vituálních pací: δu o pl δα + o δα mez pl Geometický vztah mezi vituálními defomacemi bude: δδδδ δδδδ esp δδδδ (l ) δδδδ Po dosazení dostáváme výslednou ovnici ve tvau: + δα mez δα o pl mez + o pl plast kloub Půběh této funkce je naznačen pod obázkem inimum dosahuje tato funkce v bodě ( ), a jeho hodnota je: δδδδ o pl (l ) δδδδ 5,88 o pl mez δu plast kloub () o pl, mez o pl o pl min 5, 88 Poznámky: Dosadíme-li do obecné ovnice původní hodnotu /, dostáváme: + + pl pl 6 o pl o o o pl mez Dosadíme-li do obecné ovnice původní hodnotu /, dostáváme: + + pl pl 6 o pl o o o pl mez 9 9 Stejně tak bychom našli vzhledem ke tvau funkce mez() i další dvojice bodů, ve kteých vychází mezní síla také stejná vyjádřená pomocí součinitele ξ 5,88 ; + ): o pl mez ξ Nezapomeňte, že celý příklad končí až vyjádřením mezní síly mez jako funkce zadaných paametů áme-li tedy zadán konkétní půřez nosníku, musíme ještě vyjádřit jeho plastický moment o pl jako funkci meze kluzu a plastického modulu půřezu v ohybu Wo pl esp zadaných ozměů řešeného půřezu: mez Wo pl ξ

157 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (STTICY URČITÝ/NEURČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: Nosník čtvecového půřezu o staně a je dlouhý a je vyoben z mateiálu o mezi kluzu a je zatížen upostřed osamělou silou, esp po celé délce konstantním spojitým zatížením qo Učit: ezní hodnoty mez esp qmez po nosník na koncích buď podepřený nebo vetknutý Využijeme známé řešení z PP I a v případě staticky učitého nosníku stačí vznik jen jednoho plastického kloubu, aby vznikl plastický mechanizmus nastal mezní stav plasticity plast kloub mez q o plast kloub qo q o q mez / / mmmmmm l o pl qq mmmmmm l 8 o pl o ma o pl mez o pl q mez 8 o pl V případě staticky neučitého nosníku musí vzniknout dva plastické klouby, aby vznikl plastický mechanizmus mezní stav plasticity q mez o pl Wo pl a 8 o pl 8 Wo pl a mez plast kloub plast kloub mez plast kloub plast kloub plast kloub q mez plast kloub qo / / mmmmmm l o pl opl qq mmmmmm l 8 o pl o pl opl V obou případech využijeme původní půběh ohybového momentu o() a pouze posuneme nulovou čáu tak, aby maimální moment o ma esp minimální moment o min byly ovny ± o pl o ma o min o pl mez o pl q mez 8 o pl q mez 8 o pl a 6 o pl a mez 55

158 PŘÍLD 75 (STTICY NEURČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: Put kuhového půřezu o půměu d dlouhý s převislým koncem / je vyoben z mateiálu o mezi kluzu a je zatížen na volném konci osamělou silou Učit: ezní sílu po vznik plastického mechanizmu Využijeme zde známé řešení z PP I, kteé známe po vetknutý nosník se zatíženým převislým koncem, a to: Odkud po o C o B o B bude + o C, a tedy o C < o B 6 Pvní plastický kloub vznikne v bodě B i když se v tomto případě jedná o staticky neučitý nosník, znamená vznik tohoto jediného plastického kloubu současně již vznik plastického mechanizmu Síla, kteá tento stav způsobí, bude hledaná mezní síla mez: a po dosazení za o pl mez o pl d Wo pl bude: 6 d mez +mez/6 mez/ mez o pl C B plast kloub plastický mechanizmus / mez Poznámky: etodu vituálních pací v tomto jednoduchém případě není ani třeba použít, ale po úplnost : Tva plastického mechanizmu známe, a tak připojíme pouze vituální defomace a plastický moment v kloubu a sestavíme ovnost pací: δ Wet δw int δu δα mez o pl Geometická ovnice, kteá spolu váže obě vituální defomace, bude: δu δα δα o pl / mez δu Po jejím dosazení do ovnosti pací můžeme vituální defomaci δα jako nekonečně malou avšak nenulovou zkátit a dostaneme hledané řešení: mez δα o pl δα o pl mez d q o mez Pokud by na převislém konci délky / působilo po celé jeho délce konstantní spojité zatížení q, bude plastický mechanizmus vypadat zcela stejně a jen se změní podmínka jeho vzniku daná velikostí maimálního ohybového momentu, kteý toto spojité zatížení vyvolá: +q mez q mez 8 o pl q o pl mez d /6 q mez 8 q mez /8 / 56

159 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 76 (STTICY NEURČITÝ OHYB V PLSTICITĚ): Dáno: ; t ; (ideální el pl mateiál) Učit: Plastický mechanizmus Wo pl; o pl a mez f( ;t ; ) / mez / Zadaný nosník je staticky neučitý bez převislého konce, a poto musí po vznik plastického mechanizmu eistovat dva plastické klouby Ty vzniknou v místech etémů ohybového momentu Z PP I víme, že maima nabývá ohybový moment pod silou a minima ve vetknutí V těchto dvou místech budeme tedy předpokládat eistenci plastických kloubů t t t 6t Po uvolnění staticky neučité soustavy (odebání pavé podpěy a její nahazení neznámou eakcí Rmez usí vzhledem k předchozímu tvzení platit při postupu zpava: plast kloub 7t mez + oo pppp RR mmmmmm l, plast kloub Rmez oo pppp RR mmmmmm l mmmmmm l Z ovnice vyjádříme neznámou eakci a tu pak dosadíme do ovnice a získáme výsledek: plastický mechanizmus +o pl RR mmmmmm oo pppp l, o pl mmmmmm RR mmmmmm + oo pppp l oo pppp l + oo pppp l 6 oo pppp l Dále musíme vyjádřit o pl pomocí zadaných veličin podle vztahu oo pppp WW oo pppp Plastický půřezový modul v ohybu po daný pofil učíme ze statických momentů k plastické neutální ose Potože je zadaný pofil výškově symetický podle vodoovné osy, bude plastická neutální osa o nn pppp stejně jako elastická neutální osa o nn eeee pocházet těžištěm T upostřed pofilu, potože platí: HH onn pppp DD onn pppp 7 tt tt + 6 tt tt tt Poto po výpočet WW oo pppp platí: pppp oo WW oo pppp SS nn ii ii [(7 tt tt 7 tt) + (6 tt tt tt)] (98 tt + 8 tt ) tt Nyní již tento výsledek dosadíme do vztahu po výpočet plastického ohybového momentu: po velikost mezní síly následně dostáváme: mmmmmm 6 oo pppp l oo pppp WW oo pppp tt 6 tt l 9 tt l 57

160 PŘÍLD 77 (EZNÍ PLSTICÁ SÍL ELSTICÉ ŘEŠENÍ PRINCIP INI): Dáno: c ; ; ; Učit: Plastický mechanizmus a mez áme dvě možnosti řešení: Povést elastické řešení a ozhodnou t, kteý z putů je více namáhaný a v něm předpokládat dosažení meze kluzu jako v pvním mez Použít pincip minima uvažovat všechny přípustné plastické mechanizmy a vybat ten, kteý nastane při nejmenší síle Elastické řešení: Nejpve učíme ze statických ovnic síly v putech N a N: : NN cc cc NN, : NN cc cc NN Po výpočet mezního stavu nejsou zásadní síly v putech, ale velikosti napětí v těchto putech: () NN 6 a () NN Potože () < () zplastizují jako pvní put (), a potože již nic nebude bánit nekonečné defomaci putu () a tudíž otaci tuhého támu okolo závěsu putu (), bude se jednat o plastický mechanizmus a síla, kteá ho vyvolá, bude hledaná mezní síla: () mmmmmm mmmmmm Pincip minima Předpokládejme všechny tři geometicky přípustné plastické mechanizmy: : cc cc : cc cc yy: Hledaný plastický mechanizmus nastane podle postřední vaianty a mezní síla bude: mmmmmm min( ; ; ) 58

161 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 78 (EZNÍ PLSTICÁ SÍL PRINCIP INI): Dáno: bsolutně tuhý tám je zavěšen na třech putech, a shodné délky, kteé jsou vyobeny z mateiálu o mezi kluzu, ale mají ozdílné plochy půřezu (, a ) Upostřed mezi puty a je tám zatížen svislou silou Učit: Pomocí pincipu minima stanovte velikost mezní síly mez, kdy dojde ke vzniku plastického mechanizmu Geometicky přípustných je obecně celkem 5 stavů vzniku plastického mechanizmu (tuhý tám musí zůstat přímkový po celou dobu zatěžování tedy i při mezním stavu): elast stav put zůstává elastický a puty a jsou zcela zplastizované omentová ovnice je: b + b b Odkud vychází: 6 5, put zůstává elastický a puty a jsou zcela zplastizované omentová ovnice je: b + b b Odkud vychází: 7 put zůstává elastický a puty a jsou zcela zplastizované omentová ovnice je: b + b + b Odkud vychází: 7 (fyzikální nesmysl) put zůstává elastický a puty a jsou zcela zplastizované omentová ovnice je: b + b b b b b b elast stav elast stav b b b b b b b elast stav Odkud vychází: 8 5 puty, a zplastizují současně ve stejném okamžiku Silová ovnice je: Odkud vychází: ezní síla mez podle pincipu minima tedy bude: b ( ; ; ; ; ) mez min 5 Znamená to tedy, že nastane plastický mechanizmus podle zvoleného stavu Put zůstává ještě v elastickém stavu, zatímco puty a jsou již zcela zplastizované b b b 59

162 PŘÍLD 79 (EZNÍ PLSTICÉ ZTÍŽENÍ PRINCIP INI): Dáno: Nosník z mateiálu o mezi kluzu je uložen na dvou kloubových podpěách a zatížen upostřed (C) a ve třech čtvtinách (D) své délky zleva osamělými silami Učit: Pomocí pincipu minima stanovte mezní sílu mez (nastane plastický mechanizmus) Potože se jedná o staticky učitý nosník, stačí po vznik plastického mechanizmu vznik jen jednoho plastického kloubu Obecně eistují tři geometicky přípustné plastické mechanizmy aimální moment bude v bodě D a plastický kloub tedy vznikne také v bodě D Rovnice vituálních pací δwet δwint je: δu δu δα δα/ δu/ δu + o pl δα + o pl δα 6 Geometická ovnice v tomto případě je: δu δα Po dosazení a zkácení δα jako veličiny nekonečně malé avšak nenulové dostáváme výsledek: δα + δα o pl δα 6 o pl o, pl 5 aimální moment bude v bodě C a plastický kloub tedy vznikne také v bodě C Rovnice vituálních pací δwet δwint je: δα δu δα δu δu + o pl δα o pl o pl Geometická ovnice v tomto případě je: δu δα Po dosazení a zkácení δα jako veličiny nekonečně malé avšak nenulové dostáváme výsledek: δα + δα o pl δα 8 o pl o, 67 pl aimální moment bude stejný v bodě C i D a plastické klouby tedy vzniknou v bodech C i D Rovnice vituálních pací δwet δwint je: δα/ δu δu δα δu + δu o pl δα + o pl δα Geometická ovnice v tomto případě je: δu δα o pl o pl plast kloub plast kloub plast klouby Po dosazení a zkácení δα jako veličiny nekonečně malé avšak nenulové dostáváme výsledek: δα + o pl δu/ o pl δα o pl δα + o pl δα o pl, 8 o pl ezní síla mez podle pincipu minima tedy bude: min( ; ; ) Znamená to, že nastane plastický mechanizmus podle zvoleného stavu plastický kloub v C mez C D / / / B

163 Poznámky: Připomeňme si na tomto místě základní pincip pužnosti a pevnosti, a to pincip supepozice V tomto případě využijeme supepozici zatížení, kdy budeme uvažovat nejpve zatížení v bodě C a potom jenom zatížení v bodě D Výsledné půběhy momentu od těchto dílčích zatížení pak sečteme a dostaneme výsledné namáhání nosníku od obou účinků Z řešení v elastickém stavu podle PP I pak přímo vyplyne místo maimálního ohybového momentu a tedy místo vzniku pvního plastického kloubu, kdy bude platit: o ma o pl Půběh ohybového momentu o učíme supepozicí od jednotlivých silových účinků: od síly v bodě C (o), od síly v bodě D (o) Jejich součtem získáme půběhy o() o ma o pl o ma 8 mez o pl 8 mez 8 o pl Samozřejmě musíme dostat shodné výsledky jako při použití pincipu minima po výpočet mezní síly Pokud nosník z předchozího příkladu je nyní zatížen upostřed (C) osamělou silou a ve třech čtvtinách (D) své délky zleva osamělou silou o ma o pl mez Potože v celém poli C až D je konstantní maimální ohybový moment, znamená to, že při mezní síle mez může vzniknout jeden potřebný plastický kloub kdekoliv v poli C až D δα/ δu o pl? plastický kloub (kdekoliv) δu o pl δα / /8 6 /6 C místo vzniku plast kloubu Pužnost a pevnost II ZS 8/9 / / / / C o o /8 /8 /6 o() D / / / / / C o o D /8 o() /8 D B 5 /6 5 /6 B / / místo vzniku plastického kloubu 6

164 PŘÍLD 7 (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB DIENZOVÁNÍ DLE EZNÍCH STVŮ EL/PL): Dáno: mm, mm, N mm, p Pa a k Učit: pd el (dovolený vnitřní přetlak při dimenzování na mezní elastický stav), pd pl (dovolený vnitřní přetlak při dimenzování na mezní stav plasticity) Nejpve učíme mezní elastický vnitřní přetlak z podmínky po nejnamáhanější místo silnostěnné nádoby, kteým je vždy polomě : p () p t() tt ( ) ( ) p o Odtud po úpavách dostáváme vztah po tlakový spád v elastickém stavu: (pp pp ) eeee p + Po pevně zadané p vypočteme hledaný mezní elastický tlak: pp eeee + pp + 76,7 Pa Cílem je stanovit dovolený přetlak pd el Při dodžení předepsané bezpečnosti k : pp DD eeee pp eeee kk 76,7 8 Pa Dále učíme mezní plastický vnitřní přetlak z podmínky po celou stěnu silnostěnné nádoby, kde bude podle Saint-Vénantovy podmínky plasticity platit: tt () () Odtud po úpavách dostáváme vztah po tlakový spád v elastickém stavu: (pp pp ) pppp ln Po pevně zadané p vypočteme hledaný mezní plastický tlak: pp pppp ln + pp ln + 7, Pa Cílem je stanovit dovolený přetlak pd el Při dodžení předepsané bezpečnosti k : p p p p () pp DD eeee pp eeee kk 7, 5 Pa + o t() Poznámka: Z výsledku je patné, že mezní plastický tlak je přibližně o % větší než mezní elastický tlak 6

165 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 7 (SILNOSTĚNNÁ NÁDOB ZBYTOVÁ NPĚTÍ): Dáno: Otevřená silnostěnná válcová nádoba má ozměy mm, 5 mm, zatížena je vnitřním přetlakem p (p ) a je vyobena z mateiálu o mezi kluzu Nmm - Učit: p el (mezní elastický tlak odpovídající konci elastického stavu), p pl p mez mezní plastický tlak odpovídající zplastizování celé stěny), t, zb (půběhy zbytkových napětí po odlehčení z mezního stavu plasticity) Nejpve učíme oba hledané mezní tlaky odpovídající jak konci elastického stavu p el, tak následně i meznímu stavu plasticity p pl p mez: p 5 el 55,6 Pa a 5 p mez ln ln 8, Pa Zbytková napětí obecně učíme jako ozdíl skutečné napjatosti skut, kteá je doopavdy ve stěně silnostěnné nádoby, minus fiktivní napjatost fikt, kteá by vznikla ve stěně silnostěnné nádoby, pokud by tato byla v elastickém stavu po celou dobu zatěžování (může tedy nastat i případ, kdy fikt > ): t, zb skut t, fikt t, p Skutečný mezní stav silnostěnné válcové nádoby (tubky) podle teoie Saint-Vénantovy: Po naznačení výpočtu zbytkových napětí ve stěně silnostěnné tubky použijeme jednodušší podmínku plasticity podle Saint-Vénanta ve tvau: ( ) ( ), t Podle této podmínky jsou půběhy adiálního esp tečného napětí popsány funkcemi: ( ) ln p esp t ( ) ln p + iktivní elastický stav silnostěnné válcové nádoby (tubky): Potože p mez > p el, bude napjatost při tomto tlaku pouze fiktivní ve skutečnosti nemožná Všechny vztahy elastického řešení použijeme a jen do nich dosadíme stav, kteý nemůže nastat: fikt p fikt a C pi mez, i mez C fikt fikt fikt fikt fikt fikt t ( ) + a ( ) C fikt fikt fikt Z těchto výazů dostáváme vztah mezi napětími ve tvau ( ) ( ), odkud bude: t fikt fikt fikt fikt ( ) p mez a ) + p esp ( ) a t ( mez fikt fikt t ( ) Nyní zobazíme půběhy napětí t() a () po oba uvažované stavy nutné po výpočet zbytkových tečný (mezní) stav a fiktivní (elastický) stav 6

166 skutečný stav (mezní stav) fiktivní stav (elastický stav) t skut () t fikt () p mez p mez fikt skut o t skut fikt o t fikt skut () t skut () fikt () t fikt () p mez Nyní dopočítáme číselně všechny potřebné hodnoty a oba stavy zakeslíme do jednoho zvětšeného obázku Potom povedeme gafický součet (ozdíl): 8, fikt fikt 6,9 N mm a, 59 8 N 5 Jednotlivá napětí na okajích nádoby budou: skut ( ) 8, N mm a fikt ( ) 8, N mm a 5 C 8 5 skut t ( ) + ln 8, 8,9 N mm, fikt t ( ) 6,9 + 8,9,7 N mm, zb ( ) 8, ( 8,) N mm a skut ( ) a fikt ( ) a zb ( ) N mm a t zb ( ) 8,9,7 9,8 N mm 5 t ( ) + ln 8, N mm, fikt t ( ) 6,9 9,8 N mm, t zb ( ) 9,8 7, N mm Výsledné půběhy zbytkových napětí t zb() a zb() tedy budou mít tva: 8, 6,9 9,8 7, o skut t fikt t skut zb fikt o t zb 8, 8,9,7 9,8 5 6

167 8 ZÁLDY LOOVÉ ECHNIY PŘÍLD 8 (URČENÍ LOOVÉ HOUŽEVNTOSTI): Pužnost a pevnost II ZS 8/9 Dáno: áte k dispozici záznam měření síla posuv ze zkoušky lomové houževnatosti dle ST CT vzoek byl vyoben z oceli o mezi pevnosti Rm 65 Nmm, tloušťka B 5 mm a délka thliny v okamžiku lomu byla a 5 mm k k 5 9 Učit: Ic (lomovou houževnatost na základě výsledků zkoušky na nomalizovaném vzoku), Ic ma (maimální hodnota, kteou bychom mohli z tohoto měření učit) Nejpve stanovíme délku thliny na základě měření vzoku po dolomení: a a + a + a Dále stanovíme sílu PQ na základě záznamu měření: PP kk v lineání část: k 5, % z hodnoty k : k 5,955, ,9857 Pokud na záznamu měření síla-posuv neeistuje zjevný zlom, kteý by signalizoval počátek samovolného šíření thliny, bee se za hodnotu síly PQ půsečík záznamu P( v) a čáy k 5 v : PQ 9 kn Hovoříme pak o zkušební síle a z ní vypočteme zkušební hodnotu lomové houževnatosti Q Velikost Ic stanovíme ze vztahu po fakto intenzity napětí na CT vzoku: Icc PP BB WW ff a WW, QQ PP QQ BB WW ff a WW unkce ff(a/w ) je dána nomou a její tva se liší podle ameické nomy ST a české CSN: : ff a WW + a WW a WW,886 +,6 a WW, a WW +,7 a WW 5,6 a WW CCCCCC: ff a WW 9,6 a WW 85,5 a WW + 655,7 a WW 5 7, a WW ,9 a WW 9 65

168 CSN ST Tvaová funkce ff a bude nabývat hodnot: WW Poovnání funkcí ff(a/w ) dle ST a CSN dddddd : ff(,5) +,5 [,5],5 [,886 +,6,5,,5 +,7,5 5,6,5 ] 9,659 Velikost Q pak bude: PP QQ 9 QQ BB WW ff(,5),5,5 9, Pa m,8 Pa m dddddd CCCCCC: ff(,5) 9,6,5 85,5, ,7,5 5 7,, ,9,5 9 9,6 Velikost Q pak bude: PP QQ 9 QQ BB WW ff(,5),5,5 9, Pa m,6 Pa m Dále musíme povést kontolu platnosti lineání lomové mechaniky (LL):,5 QQ < a ; BB ; (WW a) RR mm,8,5 65 Podmínka LL je splněna v obou případech Výpočet maimální dosažitelné lomová houževnatost:,68 m 6, mm < 5 mm CCCCCC,5,6 65,6 m 6, mm < 5 mm a ; BB ; (WW a) QQ ma < RR mm 65,5,5,5 65 Pa m Výsledky: dle ST: Icc QQ,8 Pa m QQ ma 65 Pa m dle CSN: Icc QQ,6 Pa m 66

169 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 8 (VÝPOČET RITICÉ DÉLY TRHLINY): Dáno: áte tenkostěnnou konstukci svařenou z pofilů vyobených z vysokolegované oceli 7 (,5C - Ni - C -,W -,o) s mezí pevnosti Rm 5 Nmm Dovolené zatížení konstukce je předpokládáno s bezpečností k vůči mezi pevnosti D,5Rm Učit: Zjistěte, zda případné tepelné zpacování dané oceli, kteým se zvýší mez pevnosti až na hodnotu RR mm 7 N mm, umožní danou konstukci odlehčit nebo zvýšit její bezpečnost při espektování všech zásad lineání lomové mechaniky (LL) Po výobě je pováděna % nedestuktivní defektoskopie (NDT) vyobených svařenců Poznámka: NDT nedestuktivní defektoskopie jsou diagnostické metody po zjišťování vnitřních nebo povchových vad objektů bez zásahu do jejich celistvosti Bez defektoskopie by nebyla zajištena bezpouchovost, spolehlivost a bezpečnost v letectví, v jadené enegetice, v chemickém půmyslu, ale i např mostů, přehad nebo lyžařských lanovek apod Jako NDT je v tomto případě použitá ultazvuková metoda založená na půchodu nebo odazu signálu V gafu naměřených hodnot závislosti lomové houževnatosti Ic na mezi pevnosti v tahu Rm po použitý mateiál položíme naměřené hodnoty mocninnou funkcí ve tvau: Ic (Rm B) n : Z analýzy naměřených dat dostáváme velikosti koeficientů: 75 ; B a n, Hledaná závislost tedy bude: Icc 75 (RR mm ), Jak plyne ze závislosti lomové houževnatosti na pevnosti, dochází s tepelným zpacováním na vyšší pevnost k poklesu lomové houževnatosti 67

170 Z hlediska klasického přístupu, kdy jsou půřezy dimenzovány tak, aby maimální napětí nepřekočilo dovolené napětí D, je možno po zvýšení Rm opavdu zmenšit nosné půřezy a tím konstukci odlehčit nebo u stávajícího uspořádání zvýšit bezpečnost konstukce Z hlediska přístupu s uvažováním defektů je nutno zaučit, že thlina nadkitické délky bude odhalena vždy odhalena pomocí použité metody NDT Ultazvukové zařízení použité v tomto případě je omezeno minimální velikostí detekovaných thlin andt mm To znamená, že thliny menší než tato velikost nejsou tímto zařízením zjistitelné Po spávnou detekci tak, aby byly odhaleny všechny thliny s nadkitickou délkou, musí být splněna podmínka: ac > andt mm Po zjednodušení předpokládáme Iwingův model v módu I, kdy je thlina je zatěžována pávě dovoleným napětím D a je půchozí, kdy platí: kde a je poloviční délka thliny I DD ππ a (I) Podle ovnice Ic (Rm B) n nyní vypočteme hodnoty Ic po oba stavy: RR mm 5 N mm Icc 75 (5 ), 6,6 Pa m RR mm 7 N mm Icc 75 (7 ),,9 Pa m Ze vztahu (I) dostáváme: a Icc ππ DD Hledaná kitická délka thliny odpovídající dovolenému zatížení bude: ac a RR mm 5 N mm DD, N mm, Icc 6,6 Pa m a cccc 6,6 ππ 76,5 m, 55 mmmm > mmmm a NNNNNN RR mm 7 N mm DD,5 7 5 N mm, Icc,9 Pa m a cccc,9 ππ 5,57 m, 5555 mmmm < mmmm a NNNNNN Je evidentní, že po tepelně zpacovaný mateiál nelze s daným NDT vybavením zaučit, že ve výobku nejsou thliny o kitické délce Dovolené napětí v tepelně upavené konstukci při použití stejné NDT metody s espektováním zásad lineání lomové mechaniky (LL): DD < DD Icc ππ a NNNNNN,9 ππ, 5 N mm bychom zajistili zjistitelnost thlin s kitickou a větší délkou thliny při použití stávající NDT metody (ozlišení andt mm) po tepelně zpacovaný mateiál konstukce, museli bychom snížit dovolené namáhání na hodnotu DD 5 N mm, což by znamenalo paadoně konstukci naopak zesílit 68

171 Pužnost a pevnost II ZS 8/9 PŘÍLD 8 (LOOVÁ HOUŽEVNTOST): Dáno: Hřídel železničního vagónu je vyobena z oceli (po tepelné úpavě Re 78 Nmm ; Rm 98 Nmm a Ic 55 Pam / ) Při geneální opavě byly podobnou defektoskopií odhaleny v konstukci thliny o délce ama,5 mm Půmě stykové plochy kola je D 9 mm Ze statistického ozbou zatížení víme, že ozkmit ohybového namáhání je ±o Po tento ozkmit ohybového napětí jsme pomocí zjednodušeného vztahu učili ozkmit faktou intenzity napětí 5 Pamm / (po hodnoty o min < uvažujeme min, a poto ma o ma) Učit: Podle pavidel lineání lomové mechaniky (LL) a s využitím Paisova vztahu stanovte vzdálenost, kteou může ještě nápava bezpečně absolvovat s bezpečností k Po bezpečnost k bude dovolené napětí: DD RR mm kk 98 9 N mm Po tuto hodnotu dovoleného napětí učíme podle pavidel lineání lomové mechaniky (LL) velikost kitické délky thliny: a cccc a IIII ππ 55,8 m 8, mm DD ππ 9 Za předpokladu platnosti Paisova vztahu po stabilní šíření thliny: a CC mm učíme hodnoty koeficientu C a eponentu m pomocí přibližných vztahů (ocańda, S, Szala, J: Base of atigue Calculation, PWN, d ed, Wasaw 997) jako: Po dosazení do Paisova vztahu dostáváme: CC, a mm, a CC mm, 5, 7,8 8 [mm/cyklus] Pokud nahadíme difeenciály difeencemi ( a a a N N), získáme vztah po potřebný počet cyklů při daných paametech: NN a CC mm Po vznik thliny kitické délky a cccc se musí stávající thliny délky a mmmmmm zvětšit o: a a cccc a mmmmmm 8,,5 6,5 mm Tuto hodnotu dosadíme do vztahu po počet cyklů: NN a CC mm 6, [cyklů] 7,8 8 Za předpokladu, že jeden cyklus je epezentován jednou otáčkou nápavy, bude vzdálenost: l cccc ππ DD NN ππ, m 5 km 69

172 SEZN DOPORUČENÉ LITERTURY [] ICHLEC, Jiří, a kol: Pužnost a pevnost II, Vydavatelství ČVUT, Paha 99, a 6 [] VLENT, antišek, a kol: Pužnost a pevnost III, Vydavatelství ČVUT, Paha 995 a [] HÁJE, Emanuel, REI, Pavel, VLENT, antišek: Pužnost a pevnost, SNTL, Paha 988 [] PEŠIN, Eugen, REI, Pavel, VLENT, antišek: Sbíka příkladů z pužnosti a pevnosti, SNTL/L, Paha 96 [5] TREBUŇ, antišek, ŠIČÁ, antišek, JURIC, Vladimí: Pužnosť a pevnosť II, VIENL ošice,, Slovensko [6] ŘEZNÍČOVI, Jan a Jitka: Pužnost a pevnost v technické pai - Příklady II, Nakladatelství ČVUT, Paha 6 [7] ŘEZNÍČE, Jan: Pužnost a pevnost I Přednášky, Podklady po studenty S ČVUT v Paze, dostupné z: Paha 6 8 [8] ŘEZNÍČE, Jan: Pužnost a pevnost II Přednášky, Podklady po studenty S ČVUT v Paze, dostupné z: Paha 7 8 [9] PRIS, P, C, GOEZ,, P, NDERSON, W, E: ational analytic theoy of fatigue, The Tend in Engineeing 96 7

173 DOP VÁS TO VLSTNĚ UČIL? Naodil jsem se v oce 957 Základní devítiletou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově V letech 976 až 98 jsem studoval na akultě stojní ČVUT v Paze magisteský (inženýský) obo plikovaná mechanika Ihned po absolvování fakulty jsem nastoupil do podniku Teplotechna a následně na pezenční službu do amády, kde jsem působil ok jako technik a staal se všechna možná vojenská vozidla V oce 98 jsem nastoupil na tehdejší atedu pužnosti a pevnosti na stáž a tím pádem od oku 98 pavidelně učím na fakultě Začínal jsem nejpve tím nejjednodušším Pužností a pevností I Postupně jsem si toufnul i na Pužnost a pevnost II a další oboové předměty V letech 98 8 jsem souběžně pacoval ve výpočetním oddělení SVÚSS v Paze Běchovicích Po ozdělení Československa a vzniku samostatné akulty dopavní na ČVUT v Paze jsem tam v letech přednášel a cvičil Pužnost a pevnost V současnosti dále na akultě stojní učím předměty: Epeimentální metody cetifikace stojů v bakalářském studiu a Pevnost letadel a motoů v navazujícím magisteském studiu Od oku 6 jsem členem vedení fakulty a od oku jsem poděkanem po pedagogickou činnost akulty stojní ČVUT v Paze ým heslem je: Přednášky jsou jedno velké divadlo, a jestli to je komedie nebo tagédie, to se ukáže až u zkoušky!!! NEJSE JENO UČITEL! omě pužnosti a pevnosti, esp celé mechaniky mám ještě jednoho koníčka tedy vzpínajícího se koně na zadních Již dlouhá léta sbíám modely eai fomule od očníku 95 až po dnešek Řada z vás také zná můj čevený oh v kanceláři, kteý se snažím neustále doplňovat o další a další eempláře všech velikostí od malých měřítek /7 přes /, /6, /, / až po největší /8

174 Jan Řezníček PRUŽNOST PEVNOST II PŘÍLDY Podklady po přednášky v bakalářských studijních pogamech: Teoetický základ stojního inženýství a Stojíenství akulta stojní České vysoké učení technické v Paze, Technická, 66 7 Paha 6, Vystaveno dne 5 října 8 na: Vydání pvní 7 stan, 5 obázků, řešené příklady