Literatura. Obsah MECHANIKA IDEÁLNÍCH KAPALIN. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku

Transkript

1 Liteatua [1] Bdička, M. Samek, L. Sopko, B.: Mecamika kontinua. Academia, Paa,. [] Halliday, D. Resnick, R. Walke, J.: Fyzika, část : Mecanika Temodynamika. VUTIUM, Pometeus, Bno,. [3] Hoák, Z. Kupka, F.: Fyzika. SNTL/Alfa, Paa, 1976 a [4] Hoák, Z. Kupka, F. Šindelář, V: Tecnická fyzika. SNTL, Paa, 196 a [5] Cytilová, M.: Acimedův zákon. Kniovnička FO č. 19, MAFY, Hadec Kálové, [6] Meclová, E. Košťál, K. at al.: Výkladový slovník po základní vysokoškolský kuz. Pometeus, Paa, [7] Ročenky fyzikální olympiády, oč. I. XXIX. SPN, Paa, [8] Szabó, I.: Mecanika tuýc těles a kapalin. SNTL, Paa, [9] Šantavý, J.: Mecanika. Škola mladýc fyziků, SPN, Paa, [1] Ungemann, Z.: Matematika a řešení fyzikálníc úlo. Škola mladýc fyziků, SPN, Paa, 199. [11] Vybíal, B.: Mecanika tekutin. GAUDEAMUS, Hadec Kálové, [1] Vybíal, B.: Elektostatika. Kniovnička FO č. 39, MAFY, Hadec Kálové, [13] Vybíal, B. Zdeboová, L.: Odpoové síly. Kniovnička FO č. 48, MAFY, Hadec Kálové, 1. [14] Vybíal, B. Zdeboová, L.: Poyb těles s vlivem odpoovýc sil. Kniovnička FO č. 55, MAFY, Hadec Kálové,. [15] Vybíal, B.: Zpacování dat fyzikálníc měření. Kniovnička FO č. 5, MAFY, Hadec Kálové,. Obsa MECHANIKA IDEÁLNÍCH KAPALIN Studijní text po řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Boumil Vybíal Předmluva 3 Úvod 4 1 Tekutiny, ideální kapaliny Z istoie mecaniky tekutin Kapaliny v klidu Tlak v kapalinác, Pascalův zákon Kapalina v silovém poli, ydostatický tlak Příklad 1 ydostatické síly u přeadní áze Acimedův zákon Příklad analýza sil u ponořenéo tělesa Příklad 3 vážení těles ponořenýc do vody Plování pevnýc těles Příklad 4 stabilita při plování Úloy ke kapitole Poudění kapalin 34.1 Ustálené poudění ideálníc kapalin Rovnice kontinuity Benoullio ovnice Příklad 5 Toicellio vzta Příklad 6 Pitotova tubice Příklad 7 Ventuio tubice Příklad 8 expeimenty s plastovou laví Úloy ke kapitole Náočnější příklady z ydomecaniky 54 Příklad 9 segmentové stavidlo Příklad 1 klenbová áz přeady Příklad 11 jednoducý model planety Příklad 1 model Země

2 D = v t = v g = =,49 m, D 3 = v 3 t 3 = v 3 g a = =,49 m (po a<g). Z výsledků je zřejmé, že výtoková yclost závisí na zyclení kabiny, kdežto dálka dostřiku ne. Sovnej se vztaem (4) v příkladě 8.. p = gd g 4H =4,66 13 Pa, v = D H =,98 m s a) v = 1 Δp (1 4 4 ) =4,5 m s 1, (Δp g) b) v = 1 (1 4 ) 4 =17,5 m s 1, c) D = v =61, m, D = v g g =31, m.. a) Vodní papsky dopadají do stejné vzdálenosti D 1 = D = x( x). b) Voda dostříkne nejdále po x = /, kdy D max =. 3. Vyjádříme x a x a z jejic ovnosti dostaneme kvadatickou ovnici po y: y y + =, jejíž oba kořeny vyovují úloze: ( 4 ) ( ) 3.=1,87, 3.=,134. y 1 = 1+ y = 1 Zobouotvoůvytékávodadostejnévzdálenostix = x =. ( gδ m 4. v 1 = S S1 1) =9,58 m s 1, Q V = S 1 v 1 =,575 m 3 s 1. S 1 Předmluva Předložená publikace Mecanika ideálníc kapalin je pvní ze tří studijníc textů věnovanýc tekutinám. Na ni bude navazovat Mecanika ideálníc plynů a Aplikovaná mecanika tekutin. Všecny tyto texty jsou učeny zájemcům o fyziku, kteří se ctějí o příslušném tématu dovědět více, než jim může poskytnout středoškolská fyzika, tedy především řešitelům fyzikální olympiády. V předložené publikaci tvoří kapitoly 1 a studijní text po řešitele fyzikální olympiády kategoie C. Zde nebylo nutné při výkladu a řešení příkladů a úlo používat apaát vyšší matematiky. Komě too je do kapitoly 3 zařazeno 9 náočnějšíc příkladů, kteé zpavidla již překačují možnosti mladšíc řešitelů FO, především po nutnost používání apaátu vyšší matematiky. Kapitolu 3 můžete při pvním čtení vynecat a vátit se k ní později. Jinak se vyšší matematiky nebojte, potože výazně usnadňuje a uycluje řešení ůznýc úlo. Studium těcto úlo vám může také posloužit jako vodná ilustace po aplikace integálnío počtu, s nímž se setkáte v předmětu Matematika. Předložený text se zabývá ideálními kapalinami. V případě kapalin v klidu tento model kapaliny zcela vyovuje. V případě kapalin v poybu již vznikají menší či větší odcylky cování skutečnýc kapalin od ideálníc, kteé jsou způsobeny molekuláními vlastnostmi kapalin. Zacytit jejic vliv na poyb kapalin je již náočná úloa. Viskózními kapalinami se částečně zabývaly předcozí texty [13] a [14]. Cování skutečné kapaliny při výtoku z lave poznáte ovněž v expeimentálně zaměřeném příkladě 8. Při tvobě textu byla dodžena osvědčená metoda výklad je ilustován řešenými příklady, kteé vypovídají o významnýc jevec. V každé kapitole jsou ovněž zadány úloy k řešení, přičemž jejic stučné řešení je uvedeno v kapitole 4. V textu je 17 řešenýc příkladů a 7 vyřešenýc úlo. 5. Šikmá stěna 1 (ob. 54 ): Element síly má velikost df 1 = p ds 1 = yg b dy sin α. Výslednou sílu dostaneme integací: F 1 = gb y dy = gb sin α sinα. Její oizontální a vetikální složka mají velikost F 1 = F 1 sin α = gb, F 1v = F 1 cos α = gb tgα = gab. Složka F 1 je ovna síle působící na svislou stěnu, složka F 1v je ovna tíze 78 3

3 Řešením soustavy ovnic dostaneme t = lv (l 1 + a) l 1 V(l 1 a) mal =1,3 1 Val 3 kg m 3, z = l 1V(l 1 a) mal =1,5 kg. al 9. Hustota tělesa = 1F F 1 F F 1, objem tělesa V = F 1 F g( 1 ). 1. Hustota kapaliny = F F F F 1 1. F 11. b = 1 v =8,7 1 F 1 F 3 kg m 3, δ 1 = 1 b =,9, b 1 δ =1 δ 1 =,1. 1. Nápoj nevytekl nikomu ladina ve sklenici s dobou vodou se nezměnila, ve sklenici s wisky poněkud poklesla. Hustota wisky se sodou w =(,8 1, +,,79) 1 3 kg m 3 =, kg m 3, tedy v > w > l. Plovoucí led o objemu V l zaujme ve vodě, esp. ve wisky ponořený objem V v = V l l, V w = V l l >V v v. w Voda z ozpuštěnéo ledu zaujme objem V, kteý odpovídá podmínce zacování motnosti: V = V l l = V v. v Celkový objem vody z ledu se ovná objemu V v ponořené části ledu ve sklenici s vodou ladina ve sklenici s vodou se nezmění. Objem V w ponořené části ledu ve sklenici s wisky je větší než celkový objem V vody z ozpuštěnéo ledu. Poto ladina ve sklenici s wisky běem ozpouštění ledu klesne. 13. a) W 1 = mg (1 ) 1 W 3 = mg ( 1 ΔV 1 m b) W 1 = W = W 3 = mg =4,9 1 4 J. 14. a) x = 3 1 =,75. b) Úloa vede k ovnici ( x 3 3x ) =, =4,3 1 4 J, W = mg (1 ) ) = W 1 gδv =3,8 1 4 J. =3,1 1 4 J, není ve statice tekutin ozdíl mezi eálnou a ideální tekutinou 1 ). Rozdíly se pojevují až v dynamice. V našem textu se budeme zabývat statikou a dynamikou ideálníc kapalin. Potože ideální kapalina je nestlačitelná, má kapalné těleso za stálé teploty stálý objem a stálou ustotu. Je-li motnost tooto omogennío kapalnéo tělesa m aobjemv, má kapalina ustotu = m V. (1) Je-li kapalina neomogenní, udává výaz (1) střední ustotu kapaliny v uvažovaném tělese. Abycom učili ustotu kapaliny v učitém místě, vymezíme kolem tooto místa malý objem ΔV, kteý obsauje motnost Δm kapaliny. Pak ustota kapaliny v daném místě bude = Δm ΔV. () V našem textu budeme zpavidla uvažovat kapaliny omogenní. Výjimečně bude ustota funkcí místa (viz např. příklad 1). Pak je řešení poblému spojeno s integováním funkcí. Z istoie mecaniky tekutin V dějinác lze sledovat ospodářské využití vody již tři tisíce let před Kistem. I když šlo mnody o důmyslné konstukce, jejic stavba se uskutečňovala výadně na podkladě empiie. Avšak již ve 3. století př. K. fomuloval Acimedes ze Syakus (87 1 př. K.) ve spisec Oovnovázea Oplovoucíc tělesec někteé zákonitosti statiky pevnýc těles a kapalin. Fomuloval nejen zákon o vztlaku v tíovém poli, kteý nese jeo jméno, ale spávně pocopil pojem kapaliny, její ustoty (našel někteé metody jejío učování). Polásil, že volná kapalina musí mít ladinu kulovéo tvau a odtud vyvodil, že i Země má kulový tva. Po Acimedovi nebyly do 17. století, tedy zuba 19 let, v ydomecanice a aeomecanice objeveny žádné nové zákonitosti. Tepve Blaise Pascal ( ) objevil několik zákonů. Především poznal, že tlak, kteý vytvoříme působením sil na povc kapaliny, se ozšíří v kapalině nezávisle na směu a poté, co kapalina zaujme statickou ovnováu, bude všude stejný. Spolu s Vincenzem Vivianim objevili existenci atmosféickéo tlaku. Isaac Newton 1 Výjimku tvoří velmi viskózní kapaliny, mezi něž patří např. asfalt při pokojové teplotě. Tato ustá viskózní kapalina se při působení ázové síly cová jako křeké pevné těleso. 76 5

4 Úloy k pocvičení 5. Nádoba se šikmou stěnou Nádoba (ob. 53) o šířce b má jednu obdélníkovou stěnu 1 šikmou se sklonem α atři stěny svislé. V nádobě je kapalina o ustotě s ladinou ve výšce. Vypočtěte velikost výsledné tlakové síly F 1 na stěnu 1 a její působiště. Poovnejte ji s tlakovou silou F působící na potilelou svislou stěnu. 1 Ob. 53 Nádoba se šikmou stěnou 6. Nádoba po konstantní yclost klesání ladiny Otevřená nádoba s kapalinou má tva otačnío tělesa se svislou osou y. Má dlo v ovině y =, přičemž výtokový otvo má polomě.jaký musí být tva osovéo řezu nádoby, aby v omogenním tíovém poli klesala ladina danou konstantní v yclostí? Jak se v závislosti na výšce ladiny bude měnit výtoková v yclost? Nakeslete osový řez nádoby po v =1, cm s 1 a =1, cm. 7. Výtok z uzavřené nádoby V uzavřené nádobě ve tvau válce se svislou osou o výšce l, jejíž příčný půřez má plošný obsa S a kteá se nacází v omogenním tíovém poli, je do výše nalita kapalina o ustotě. Ve dně nádoby je otvo o plošném obsau S, kteým vytéká kapalina do volnéo postou s atmosféickým tlakem p a (ob. 51 v textu). Na počátku výtoku, kdy je ladina ve výšce,je nad ladinou ovněž atmosféický tlak p a. Předpokládejme, že temodynamické změny ve vzducu nad ladinou pobíají polytopicky podle zákona pv n =konst.,kden>1. 1 ) Kontakci poudu vytékající kapaliny neuvažujte. Vyjádřete závislost velikosti výtokové yclosti na výšce ladiny v nádobě. α 1 KAPALINY V KLIDU (ydostatika) 1.1 Tlak v kapalinác, Pascalův zákon Definice tlaku Důležitou veličinou, kteá caakteizuje stav kapaliny (obecně tekutiny) je tlak. Uvažujme nejpve kapalinu v klidu, např. v nádobě na ob. 1a. Vložme do ní sondu po měření tlaku, jejíž malá pužná membána má plošný obsa ΔS. Sonda umožňuje měřit velikost ΔF síly, kteou kapalina působí v uvažovaném místě na membánu. Je-li kapalina v klidu, působí ΔF síla kolmo k membáně k plošce. Je to dáno tekutostí kapaliny, v důsledku níž másměnomályn kapalina v klidu nemůže přenášet síly, kteé mají smě tečny k plošce. Měřením můžeme zjistit, že velikost ΔF síly nezávisí na úlu natočení plošky, nýbž jen na jejím obsau. Poto podíl velikosti ΔF síly aobsauδs je veličina, kteá nezávisí ani na směu plošky, ani na jejím obsau, a nazývá se tlak kapaliny v daném místě: p = ΔS. (3) ΔF Pojevuje se jak v místec uvnitř kapaliny, tak i v místec, kde se kapalina stýká s pevnými tělesy (tedy na stěnác a dně nádoby). Působí-li na povc pevnéo tělesa poudící eálná kapalina např. na stěnu lopatky vodní tubíny (ob. 1b) pak je tlak v místě styku definován podílem velikosti nomálové ΔF složky n ΔF síly aobsauδs: a) ΔS p = ΔF n ΔS. (4) ΔS b) ΔF t ΔF n ΔF n 1 V příkladu 16 jsme řešili tuto úlou po mezní případ n = 1 odpovídající izotemickému ději. Skutečnost se od tooto případu bude lišit jen málo. Lze očekávat, že bude 1 <n<κ, kde κ je Poissonova konstanta v zákoně po adiabatický děj. Ob. 1 K definici tlaku a) v kapalině v klidu, b) v kapalině poudící kolem tělesa ΔF 74 7

5 Úkol b) řešte ovněž numeicky po odnoty l =1, m, =,75 m, = =1, 1 3 kg m 3, g =9,8 m s 1, p a =1, 1 5 Pa. Řešení a) Napíšeme ovnici kontinuity (15) a Benoullio ovnici (19) po volnou ladinu v obecné poloze a po výtokový otvo. Rovnice doplníme o Boylův- Maiottův zákon po izotemickou expanzi vzducu nad ladinou: S v = Sv, v g + + p g = v g ++ p a g, p a(l )S = p(l )S. ozšíří do všec bodů kapalnéo tělesa a působí na libovolnou plocu uvnitř kapaliny tlakovou silou stejně jako na stěny nádoby. Můžeme to sledovat při pokusu s nádobou kulovéo tvau s otvoy na povcu uzavřenou válcem s pístem (ob. 3). Naplníme-li nádobu vodou a působíme-li na píst silou F, vystřikuje voda kolmo ke stěnám nádoby stejně pudce všemi otvoy. Je to poto, že ve všec místec kapalnéo tělesa je stejný tlak p =konst.. (6) Z těcto ovnic postupně dostaneme [ v ( ) ] S 1 = + p ( ) a l g g l 1. S F S p = F S Výtoková yclost má velikost v = S g p a S S l. b) Se zmenšující se výškou se bude yclost poudu zmenšovat, až při dosažení jisté výšky min bude yclost nulová. Po tento mezní případ nabude odmocněnec nulové odnoty. Po min tedy dostáváme ovnici g min p a min =, min l gl + p a min g min + p a g =. Tato kvadatická ovnice má dva kořeny, z nicž po naši úlou má eálně význam jen kořen min <l.jetokořen [ ] min = gl + p a 1 1 4g p a g (gl + p a ). Po zadané odnoty numeicky vycází min =,73 m, tzn., že při poklesu ladiny o poué cm se výtok zastaví. V tomto okamžiku nastává statická ovnováa mezi vnějším plakem p a, sníženým tlakem vzducu nad ladinou v nádobě a ydostatickým tlakem, kteý odpovídá výšce min.tentostav se však neudží, potože vnější tlak vzducu začne vyovnávat podtlak pod ladinou. Pakticky se to pojeví pobubláváním učitéo množství vzducu vstvou kapaliny o výšce min. Tím se zde zvýší tlak, pouší se statická Ob. 3 K ilustaci Pascalova zákona Tento výsledek vyjadřuje Pascalův zákon: Tlak vyvolaný vnější silou, kteá působí na kapalné těleso v uzavřené nádobě, je ve všec místec kapaliny stejný. Pascalův zákon ve tvau (6) platí přesně jen po kapalinu v beztížném stavu. Nacází-li se kapalina v silovém poli, např. gavitačním, platí tento poznatek jen po body kapaliny, kteé leží na učité ekvipotenciální ladině. Mezi body kapaliny na ůznýc ladinác totiž vzniká ydostatický tlak, jak poznáme dále. Přesněji můžeme Pascalův zákon vyjádřit ve tvau: Změníme-li tlak v jednom místě kapaliny, objeví se táž změna pakticky ined v každém jiném místě kapaliny i na stěnác nádoby, v níž je kapalina uzavřena. Poznámka: U modelu ideální (nestlačitelné) kapaliny se šíří změny tlaku nekonečně ycle. U eálné (stlačitelné) kapaliny se změny tlaku šíří yclostí zvuku, např. ve vodě yclostí 1 5 m s 1. Pascalův zákon se s výodou užívá k ydaulickému přenosu sil, naněmž jsou založena ydaulická zařízení, (např. ydaulické lisy, zvedáky, bzdy aj.) V takovém zařízení je uzavřený posto stáléo objemu tvořený dvěma popojenými válci s písty vyplněn vodnou kapalinou, např. olejem (ob. 4). Síla F 1 působící na píst maléo válce vyvolá v kapalině tlak p = F 1 /S 1.Napístvelkéo válce pak působí síla o velikosti 7 9

6 Největší difeence slapovéo dmutí oceánu tedy je Δ max = max min = 3m MR 4 m Z L 3 =,536 m. Poznámky 1. Vypočtená odnota,536 m přibližně odpovídá uváděnému maximu slapovéo dmutí,6 m na volném oceánu. V uzavřenýc okajovýc moříc a v ústíc řek jsou tyto odnoty v důsledku intefeence slapovýc vln mnoem větší. Např. v zálivu Fundy ve výcodní Kanadě je extémní ozdíl ve výšce ladiny při přílivu a odlivu až 1 m.. Ve vztažné soustavě spojené s otující Zemí se spojnice středů Země a Měsíce otáčí s peiodou 4 odin 5 minut a 3 sekund. Za tuto dobu také oběnou Zemi dvě měsíční slapové vlny. V každém dni se tedy na učitém místě na Zemi okamžik maxima přílivu opozdí opoti předcozímu dni o 5 minut a 3 sekund. Příklad 15 výtok kapaliny z otevřené nádoby V omogenním tíovém poli je otevřená nádoba ve tvau otačnío válce g se svislou osou (ob. 5). Nádoba má příčný půřez S ajenaplněna do výšky kapalinou. Ve dně nádoby je otvo o půřezu S, z něož vytéká obsa nádoby do volnéo postou. Kontakci poudu vytékající kapaliny neuvažujte. a) Učete, jak závisí yclost vytékající kapaliny na výšce ladiny ode dna a diskutujte zvláštní případ, kdy S S. b) Učete dobu t, za kteou se nádoba vypázdní. Řešení p a S S v v p a Ob. 5 Výtok kapaliny z otevřené nádoby a) Napíšeme ovnici kontinuity (15) a Benoullio ovnici (19) po dva půřezy, a to po volnou ladinu v obecné poloze a po výtokový otvo (ob. 51): vzájemně vyuší. Podmínka statické ovnováy elementu ve směu vektou K má poto tva F 1 +F +ΔmK =, neboli F 1 F ΔmK =, ΔpΔS ΔyΔSK =. Odtud dostáváme důležitou ovnici po elementání změnu tlaku nestlačitelné kapaliny v silovém poli: Δp = KΔy. (7) přičemž záponé znaménko je dáno tím, že K působí poti kladné oientaci osy y. p+δp Δy p y F ΔmK F 1 ΔS K Ob. 5 Působení silovéo pole na element kapaliny ObecněmůžebýtjakK tak i funkcí y. Užití ovnice (7) je pak zpavidla spojeno s integováním. Takováto aplikace je však nad ámec tooto základnío výkladu a je uplatněna až v příkladec 11 a1 v kap. 3. My tuto ovnici nyní použijeme po jednoducý a důležitý případ kapaliny v omogenním tíovém poli, kde K = g =konst. Uvažujme tedy kapalné těleso v nádobě podle ob. 6 a v ní vzoek kapaliny mezi ovinami ve vzdálenostec y 1 a y ode dna. Tyto oviny učují ladiny tlaku p 1 a p. Po ozdíly těcto tlaků musí platit ovnice (7), jejíž platnost není v našem případě omezena jen na malé Δy, potože =konst,k = g =konst. Pak p p 1 = g(y y 1 ). S v = Sv, v g + + p a g = v g ++ p a g. Tento výsledek budeme aplikovat po důležité zvláštní poloy ladin tlaku: y = H, kde p = p a a y 1 = y, kde p 1 = p. 7 11

7 kde je vzdálenost bodu m od středu Země a M od středu Měsíce. Mezi vzdálenostmi 1,, l a M,, L platí vztay, kteé vyjádříme užitím kosinové věty: 1 = l cos ϕ + l, = M L L cos ϕ +. Celková potenciální enegie motnéo bodu m je dána součtem uvedenýc složek a blíže neučené konstanty E p dané volbou nulové ladiny potenciální enegie po jednotlivé síly: E p )= 1 ( mω 1 κ mm Z [ ω = m ( l cos ϕ + l )+ κ m Z κ mm M M + E p = c) Poslední člen ve vztau (3) upavíme do tvau κ m M L 1+a a cos ϕ, kde a = L + κ m M L L cos ϕ + ] + E p. (3) je velmi malý koeficient ve sovnání s číslem 1. Poto můžeme povést apoximaci tooto členu pomocí vzoce uvedenéo v poznámce 9 )podčaou, jejímž smyslem je odstanit odmocninu: κ m M L 1+a a cos ϕ κ m M L [1+a cos ϕ + a (3 cos ϕ 1) Pak můžeme ze vztau (3) vyjádřit potenciál motnéo bodu na ladině oceánu vztaem V(, ϕ) = E p m = ω κ m Z κ m M L 3 (3 cos ϕ 1) + V, (33) kde V je konstantní člen, kteý nezávisí na poláníc souřadnicíc, ϕ. Při odvozování vztau (33) jsme využili skutečnosti, že ω l cos ϕ κ m M cos ϕ =, L když ω vyjádříme užitím vztau (31). Výaz (33) upavíme užitím někteýc apoximací. Především podle zadání položíme = R +, kder =konst., přičemž R. Pak můžeme využít apoximace 1 1+x 1 x, (1 + x)n 1+nx : 68 ]. Δm F Δl Ob. 7 K altenativnímu odvození ydostatickéo tlaku Tlakové síly, kteými působí táž kapalina na stejně velká dna nádob avšak zcela odlišnéo tvau stěn a objemu, jsou stejné. Tento jev se označuje jako ydostatické paadoxon. Ve spojenýc nádobác, v nicž je kapalina o stejné ustotě, je v důsledku stejnéo ydostatickéo tlaku v částec spojujícíc nádoby ladina kapaliny ve stejné výšce a to bez oledu na tva a objem jednotlivýc nádob. Naplníme-li však spojené nádoby dvěma navzájem se nemísícími kapalinami o ůznýc ustotác 1,,musíbýtydostatickýtlak stejný ve výšce společnéo ozaní (ob. 8), tj. 1 1 g = g. Volné ladiny se tedy ustálí ve výškác 1,,poněžplatí 1 = Ob. 8 Spojené nádoby s ůznými kapalinami 1 > Zajímavé bude vypočítat, jaké výšce tuťovéo sloupce při teplotě C ( = ,1 kg m 3 ) odpovídá nomální atmosféický tlak: = p n g = 1, , m=,76 m = 76, mm. 9,86 65 Potože 1 mm tuťovéo sloupce při C odpovídá vedlejší jednotka tlaku 1 to, je nomální atmosféický tlak 76 to. Vodní sloupec při teplotě 18 C( v = 998,6 kg m 3 ), kteý odpovídá nomálnímu atmosféickému tlaku, má výšku v = p n 1, = v g 998,6 9,86 65 m=1,346 m. 13

8 polomě Země R =6, m vzdálenost středů Měsíce a Země L =3, m gavitační konstanta κ =6, m 3 kg 1 s Úkoly k řešení: a) Země a Měsíc otují úlovou yclostí ω kolem společnéo motnéo středu C. Učete ω a vzdálenost l bodu C od středu Země. Po další výpočty použijte vztažnou soustavu, kteá je spojena se Zemí a Měsícem a otuje kolem počátku v bodě C (ob. 48). V této vztažné soustavě je tva ladiny oceánu statický. Z m ϕ C Země ω M Měsíc Ob. 48 K volbě soustavy souřadnic Tva ladiny oceánu vyšetřujte v ovině σ položené bodem C kolmo k ose otáčení soustavy. Polou motnéo bodu na ladině oceánu v ovině σ popisujte pomocí poláníc souřadnic, ϕ zavedenýc podle ob. 48. Tva řezu ladiny oceánu ovinou σ budete popisovat vztaem (ϕ) =R + (ϕ). b) Uvažujte motný bod o motnosti m, kteý leží v ovině σ na vodním povcu Země. V naší vztažné soustavě na něj působí tři síly: odstředivá síla a gavitační síly od Země a Měsíce. Napište výaz po potenciální enegii, kteý odpovídá těmto silám. 8 ) c) Odvoďte a zjednodušte 9 vzta po veličinu (ϕ), kteá popisuje přílivové a odlivové dmutí ladiny oceánu. Učete ozdíl mezi největší a nejmenší výškou ladiny v tomto modelu. 8 Řešitelé dostali nápovědu vzta mezi silou a enegií F () = de p/d. 9 Studentům byl dán k dispozici apoximační vzoec 1 a 1+a 1+a cos x + a cos x (3 cos x 1) po a 1, kteý můžeme odvodit z obecnějšío vzoce (1 + x) n n(n 1) 1+nx + x po n = 1, vněmžx naadíme a a cos x a zanedbáme členy obsaující a 3, a 4,potožea 1. Příklad 1 ydostatické síly u přeadní áze Přeadní áz tvau obdélníka o šířce b zadžuje vodu jezea, kteé má v místě áze loubku podél celé šířky áze. Učete velikost výslednice ydostatickýc sil působícíc na áz a polou jejío působiště. Hustota vody je = 1, 1 3 kg m 3. Numeicky řešte po největší přeadu na světě Tři soutěsky na Žluté řece v Číně v současnosti uváděnou do povozu, u níž je b = 1 5 m a = 175 m. (Přeadní jezeo má délku 64 km a zadžuje m 3 vody.) Řešení Hydostatický tlak p = gy vzůstá ovnoměně směem dolů od ladiny. Vektoy tlakovýc sil působícíc na stejně šioké elementy áze tak vyplní pavoúlý tojúelník (ob. 1). y y O F Ob. 1 Hydostatická síla působící na přeadní áz Elementání řešení S oledem na lineání půbě ydostatickéo tlaku učíme snadno jeo střední odnotu p s = 1 g. Pak výsledná tlaková síla má velikost F = p s S = 1 gb. Její působiště je v těžišti tojúelníka elementáníc tlakovýc sil, tj. y = 3. Řešení užitím vyšší matematiky Výslednou tlakovou sílu dostaneme integací elementáníc tlakovýc sil df = p ds přes plošný obsa S = b smočené stěny áze: F = (S ) p ds = gb y dy = 1 gb

9 Integací dostaneme V = ω d = 1 ω. (8) Potenciál výslednéo silovéo pole působícío na kapalinu je V=V 1 +V = gz 1 ω. Po ladinu kapaliny v otující nádobě je potenciál V konstantní a ovná se potenciálu tíové síly v bodě V [,z ], ve kteém ladina potíná osu otáčení: V=gz 1 ω = gz. Z too dostaneme ovnici křivky osovéo řezu ladiny z = ω g + z v souladu s dříve získaným výsledkem. Volný povc (tj. ladina) otující kapaliny má tedy tva otačnío paaboloidu s vcolem V na ose otace. Poloa vcolu z = z závisí na množství kapaliny v nádobě, tedy na výšce ladiny neotující kapaliny. Výšku z můžeme učit z podmínky, že objem nestlačitelné kapaliny se při otaci zacovává. Poznatku, že ladina otující kapaliny má tva otačnío paaboloidu se využívá při výobě přesnýc paabolickýc zcadel, kteá mají významné optické vlastnosti. Sklovina se odlévá do fomy, kteá otuje vodnou úlovou yclostí až do ztunutí skloviny. Používá se i po velká zcadla. z b) Body D, kteé leží na kužnici o poloměu musí současně ležet na paaboloidu (ob. 47). V ovnici paaboly poto položíme =, z = : D = ω g + z. (9) Současně se musí zacovat objem kapaliny, kteý před otací měl tva válce a při otaci má tva dutéo paaboloidu. Při výpočtu objemu otující kapaliny použijeme učitý integál. z V R O d Ob. 47 K výpočtu objemu otující kapaliny z Z ob. 11 je zřejmé, že výslednice bočníc tlakovýc sil působícíc na plášť válce je nulová. Výslednice tlakovýc sil působícíc na oní podstavu má velikost F = p S =(p a + g)s anadolnípodstavumávelikostf d = p d S = =[p a +( + l)g]s. Výslednice všec sil působícíc na ponořené těleso má tedy velikost F = F G (F d F )=F G F vz = Sl( t )g = V ( t )g (1) a směřuje dolů. Poti tíové síle F G tělesa působí vztlaková síla F vz o velikosti F vz = Slg = Vg, (11) kde V je objem tělesa ovný objemu kapaliny, kteou při ponoření vytěsnilo těleso. Velikost vztlakové síly je tedy ovna tíze kapaliny o tomto objemu V. Vztay (1), (11) popisují Acimedův zákon, kteý můžeme fomulovat takto: Těleso ponořené celým svým povcem do kapaliny je nadlečováno vztlakovou silou, jejíž velikost je ovna tíze kapaliny stejnéo objemu, jako je objem ponořenéo tělesa. Acimedův zákon platí jen za podmínek, po kteé byl odvozen, tj. že ydostatický tlak může působit na celý povc ponořenéo tělesa. V následujícím příkladu je záměně v několika případec tento předpoklad poušen, což vede ke zcela jinému silovému působení na ponořené těleso. Poto jsou do fomulace Acimedova zákona vložena slova celým svým povcem. U částečně ponořenýc těles se při výpočtu vztlakové síly uplatní jen objem ponořené části, jak poznáme v čl. 1.4 věnovaném plování těles. Platnost Acimedova zákona můžeme ozšířit na všecny tekutiny, tj. i na plyny. Potože však tato publikace je věnována jen kapalinám, nebudeme se specifikací a aplikacemi Acimedova zákona po plyny blíže zabývat. Acimedův zákon jsme odvodili po zvláštní (válcový) tva tělesa. K obecné fomulaci Acimedova zákona po ponořené těleso libovolnéo tvau můžeme přímo dospět touto úvaou. Představte si, že v tíovém poli máme nádobu s kapalinou o ustotě a že uvnitř jejío objemu část kapaliny vymezíme myšlenou uzavřenou plocou. Tato skutečnost nic nezmění na cování takto vymezenéo tělesa v kapalině jeo poloa se nezmění těleso se bude vznášet. Vyjmeme-li myšleně takto vymezené kapalinové těleso o objemu V a naadíme-li je pevným tělesem o stejném objemu a tvau, avšak o ustotě t, bude na ně působit výsledná síla, kteá je dána ozdílem tíové síly, kteá působí na vložené pevné těleso a tíové síly, kteá působila na vyjmuté kapalné těleso. Tedy F c = V ( t )g 64 17

10 Poznámky Získaný výsledek po tlak ve středu Země je ve velmi dobé sodě s odady geologů, kteří dospěli k odnotě 3, Pa. Podle geologickýc půzkumů Země (jejic základem je zkoumání šíření a intefeence zemětřesnýc vln povcovéa postoové vyvolanýc zemětřesnými sondami, esp. řízenými podpovcovými výbucy) má Země vstevnatou stuktuu. Skládá se z kůy, pláště a jáda. Na jejic přecodu se sice ustota mění téměř skokem, avšak její vyovnaný půbě lze v pvním přiblížení považovat za lineání, jak předpokládalo řešení našeo příkladu. Nespekulovali jsme o stuktuře látek při velkýc ustotác v blízkosti středu Země. Je však jisté, že ustoty pvků zde budou větší než tabulkové odnoty uváděné po atmosféický tlak. Příklad 13 otující nádoba s kapalinou V nádobě tvau otačnío válce, jeož osa má smě tíovéo g zyclení,je do výšky nad dnem nalita nestlačitelná kapalina o ustotě. Nádoba má polomě R. Necť se nádoba otáčí kolem osy stálou úlovou yclostí ω tak, až se kapalina působením vnitřnío tření postupně všecna oztočí stejnou úlovou yclostí jako nádoba. Pozoovatel otující s nádobou zjistí, že kapalina je vůči nádobě v klidu a může poto po zkoumání tvau ladiny užít ovnice ydostatické ovnováy. a) Učete ovnici plocy ladiny otující kapaliny. b) V jaké vzdálenosti od osy leží body ladiny, kteé při otaci jsou v původní výšce ladiny neotující kapaliny a jaká je směnice tečny v těcto bodec? Řešení Ve všec následujícíc úvaác budeme předpokládat, že v nádobě je dostatek kapaliny, aby při otaci byla pokyta celá ploca dna. a) Pvní způsob S otující kapalinou spojíme cylindickou soustavu souřadnic (O,, z), jejíž počátek O umístíme do středu dna nádoby (ob. 46). Po oztočení kapaliny působí na její elementy v neineciální vztažné soustavě, v níž je kapalina v klidu, vedle tíové síly také síla odstředivá. Hladina otující kapaliny se ustaví do takovéo tvau, aby tečná ovina v libovolném bodě B ladiny byla kolmá k výslednému a zyclení B v tomto bodě. Po směnici tečny ke křivce osovéo řezu v bodě B tedy platí Expeimentem jsme pokázali, že síly F vz a F jsou stejně velké a opačnéo směu. Splňují tedy pincip akce a eakce. Pokud učíme objem V t tělesa (lze jej jednoduše učit při užití kalibované nádoby opatřené stupnicí v jednotkác objemu z ozdílu celkovéo objemu po ponoření tělesa a objemu vody před jeo ponořením) a motnost závaží m vz,můžemeověřitplatnostovnosti F vz = m vz g = V t g. Příklad analýza sil u ponořenéo tělesa Uvažujme omogenní liníkový válec ( t =,7 1 3 kg m 3 )opoloměu =3, mm a výšce l =7, mm a nádobu s vodou ( =1, 1 3 kg m 3 ), v níž budeme ve všec sledovanýc situacíc udžovat ladinu ve stejné výšce = 1 mm ode dna. Atmosféický tlak je p a =1, Pa. Válec necť se nacází ve vztau k nádobě v šesti ůznýc situacíc (ob. 13): 1. Válec je pomocí lanka upevněnéo v ose válce částečně ponořen do nádoby s vodou, přičemž po loubku ponoření platí x,l).. Zavěšený válec je celý ponořen do vody x l, ). 3. Válec položíme na dno nádoby, přičemž v důsledku dobnýc nečistot (např. malýc znek písku) nebo neovnosti podstavy a dna válec nedosedá dokonale ke dnu. 4. Válec dokonale přiléá ke dnu (stykové plocy jsou jemně zaboušeny do oviny). 5. Válec na ploše mezikuží o vnitřním poloměu 1 = / dokonale přiléá ke dnu a tvoří uzávě výtokovéo otvou ve dně. 6. Zavěšený válec pocází volně (se zanedbatelným třením) otvoem o poloměu ve dně nádoby, přičemž plášť válce a otvo jsou jemně zaboušeny tak, že těsní výtokový otvo. Tloušťka dna je zanedbatelná, po vzdálenost dna od ladiny platí x, + l). Poveďte analýzu sil, kteé v jednotlivýc případec působí na válec. 6 19

11 Po střed planety ( = ) vycází p = K pr. Po dosazení za veličiny vztaující se k Zemi dostaneme p =1, Pa. Příklad 1 model Země Řešme nyní eálnější model stuktuy Země, než byl předmětem řešení předcozío příkladu. Opět předpokládejme, že jde v ineciální vztažné soustavě o neotující kouli o poloměu R =6, m, kteá je vyplněna látkou covající se jako nestlačitelná kapalina, avšak o ustotě, kteá se lineáně zvětšuje s loubkou z odnoty p =,7 1 3 kg m 3, jež je střední odnotou ustoty povcové vstvy Země. Je známa střední ustota s =5,5 1 3 kg m 3 (je dána poloměem Země a její motností m z =5, kg). a) Vypočtěte ustotu ve středu Země. b) Odvoďte funkční závislost tlaku p = p(), kde je vzdálenost od středu Země, přičemž volte p(r) =. Stanovte tlak p ve středu Země. Řešení a) Hustota se zřejmě podle předpokladu bude měnit podle funkce = ( p ) R, kde je neznámá ustota ve středu Země. Učíme ji ze vztau po motnost m z,kteýnyní odvodíme. Z koule si vytkneme element ve tvau tenké slupky (ob. 45), jejíž motnost je dm z = =4p d. Po dosazení a integaci od do R dostaneme m z m R K d dm z Ob. 45 K výpočtu motnosti Země R ( m z =4p ) [ p 3 R 3 d =4p ( p ) 4 ] R = 3 4R = 4 ( 3 3 pr3 4 p + ) = pr3 s, kde s je známá střední ustota Země. Odtud ustota ve středu Země =4 s 3 p =14, 1 3 kg m 3. Další výpočty budeme po jednoducost vyjadřovat pomocí dané ustoty p a vypočtené ustoty. Řešení 1. Na válec působí tíová síla o velikosti F G = p l t g a tlakové síly, přičemž tlakové síly působící na plášť válce se vzledem k jeo otační symetii vyuší. Tlaková síla na oní podstavu má velikost F = p p a asměřujedolů, tlaková síla na dolní podstavu má velikost F d = p (p a + xg) asměřuje vzůu. Výsledná síla působící na válec má velikost F 1 = p (l t x)g F G, F 1max = p l t g = F G =5,4 N (po x =), F 1min = p l( t )g =3,3 N (po x l). Z výpočtu je zřejmé, že působení atmosféickéo tlaku na obě podstavy přispívá silou stejné velikosti a opačnéo směu a jeo vliv se zde vyuší. Uvědomíme-li si, že p x je objem ponořené části válce, vidíme, že člen p xg je velikost vztlakové síly dané Acimedovým zákonem. Výsledná F síla 1 je kompenzována silou stejné velikosti a opačnéo směu, kteou působí lanko na válec, takže se soustava nacází ve statické ovnováze.. Tento případ se od situace v bodě 1 liší jen tím, že ydostatický tlak již působí na celý povc válce a výsledná síla má konstantní velikost F = F 1min = p l( t )g =3,3 N a míří dolů. Tíová síla je zmenšena o vztlakovou sílu plně ponořenéo tělesa podle Acimedova zákona. 3. V důsledku netěsnéo uložení válce na dně nádoby působí voda ydostatickým tlakem i na spodní podstavu válce a výsledná síla má stejnou velikost jako sila v případě, tj. F 3 = F =3,3 N. F Síla 3 je kompenzována eakcí dna nádoby, kteá má stejnou velikost, avšak opačný smě. 4. V důsledku těsnosti uložení nemůže působit na spodní podstavu válce ydostatická tlaková síla ani síla od atmosféickéo tlaku. Na oní podstavu působí tlaková síla o velikosti F = p [p a +( l)g]. Výsledná síla působící na válec má velikost F 4 = F G + p [p a +( l)g] =p [l t g + p a +( l)g] F G, F 4 =(5,4 + 86,4+1,39) N =. 93 N. F Síla 4 je opět kompenzována eakcí dna nádoby. 6 1

12 Sílu F nyní ozložíme na dvě síly F k stejné velikosti (ob. 44): F k = F = g b =4,6 1 9 N, sinβ 4sinβ kteé klenba áze přenáší do okolnío geologickéo podloží. Poznámky 1. Pevnostní účinek klenby si můžeme ověřit jednoducým pokusem. Mezi palec a ukazováček vložíme pužnou tenkou destičku (s opatností můžeme použít i žiletku) a poneme ji do oblouku. Pstem dué uky vyvoláme tlak a sledujeme cování destičky. Můžeme posoudit, jak pevnost naší klenby souvisí s poloměem zakřivení. Jestliže povolíme tlak kotvícíc pstů (esp. zvětšíme mezeu mezi nimi), klenba ztatí svůj pevnostní účinek.. Při konstukci a stavbě přeady Malpasset se stala cyba, kteá byla po stavbu osudová. Pojektanti a geologové totiž nespávně vyodnotili nosnost ulovéo podloží. Rula pod výše vypočteným značným zatížením povolila, klenba ztatila svou pevnostní funkci a áz se potla. Stalo se to , 6 oků po dokončení stavby, kdy se již přeadní ezevoá zcela naplnil. Ház se potla do tvau písmene V až k patě. Vodní masa zcela zničila městečko Fejus ležící 1 km pod ází. Zaynulo 41 obyvatel. Tato událost se stala celosvětovým poučením po pojektanty velkýc klenbovýc přead. 3. Mezi největší klenbové přeady a nejzajímavější stavby na světě vůbec patří Hooveova přeada na řece Coloado v USA vybudovaná v Využívá kaňonu Gand Canyon, áz má výšku 1 m a oblouk áze v kouně délku 379 m. Jezeo je dloué 185 km a ydoelektána pod přeadou má výkon 1 5 MW. 4. Na pincipu klenby je založena i pevnost skořápky vajíčka, kteá je při ovnoměně ozloženém tlaku mnoem větší z vnějšku vajíčka než zevnitř. Příklad 11 jednoducý model planety Přijměme jednoducý model nebeskéo tělesa (např. planety) ve tvau neotující koule o poloměu R. Předpokládejme, že celé těleso je tvořeno nestlačitelnou kapalinou o ustotě = konst. Koule se nacází ve vakuu. Je dáno R =6,4 1 6 m, =5,5 1 3 kg m 3 (jedná se přibližně o paamety Země). Okajová podmínka: předpokládáme, že tlak na povcu koule je p =. a) Vypočtěte K intenzitu p gavitačnío pole na povcu tělesa a učete, jak závisí K intenzita gavitačnío pole v bodě uvnitř tělesa na jeo vzdálenosti od středu. a) V jaké poloze je vaadlo va? Je ydostatický tlak u dna nádob stejný nebo ůzný? b) Po přestřižení nití klesnou obě koule na dno nádob (ob. 14b). V jaké poloze je vaadlo va? Změní se ydostatický tlak u dna nádob? a) b) Řešení m m Ob. 14 Vážení ponořenýc těles a) Skleněná koule má větší objem než koule ocelová. Působí na ni větší vztlaková síla, koule působí na vodu větší tlakovou silou a postřednictvím vody na misku va. Vaadlo klesne na staně skleněné koule. Hydostatický tlak vody u dna je větší v nádobě, kde je ponořena skleněná koule, potože volná ladina stoupne do větší výše. b) Po dosednutí koulí na dno se vaadlo opět ustálí v ovnovážné poloze, neboť na obou miskác jsou tělesa stejné motnosti. Hydostatický tlak u dna nádoby se skleněnou koulí však zůstává větší než v dué nádobě, potože volná ladina vody v nádobě se skleněnou koulí zůstává jako v případě a) výše než v dué nádobě. 1.4 Plování pevnýc těles Ponoříme-li pevné těleso o objemu V a ustotě t do kapaliny o ustotě, moou nastat tři situace v závislosti vztau mezi ustotami. Je-li t >, těleso klesne ke dnu, potože na ně působí výsledná síla F = V ( t )g ve směu g,tedydolů.je-li t =, jef = a těleso se bude v kapalině vznášet. Nás bude nyní zajímat případ, kdy t <. Pak na zcela ponořené těleso působí výsledná síla F = V ( t )g, kteá má opačný smě než g.tato síla se někdy označuje jako nosná síla tělesa. Těleso se bude působením této síly poybovat směem k ladině, poté se částečně vynoří tak, aby byla splněna m m 58 3

13 ( ) = a + d acsin a + d 1 a + d 4. Pak [ ( F y = gb a d ) ( )] + a + d acsin a + d 1 a + d 4, F y =3,4 1 5 N. Složka F síly y míří vzůu a z výpočtu je zřejmé, že její velikost je ovna tíze bloku vody, kteý by se nacázel přímo nad stavidlem. Výsledná tlaková F síla vznikla složením elementáníc sil, kteé všecny směřují do závěsu stavidla P. Poto i vektoová přímka výsledné síly pocází závěsem stavidla. Její velikost a smě učíme podle ob. 4c: F = F x + F y =4,63 15 N, β =actg F y F x =41,1. půsečíkem nositelky vztlakové síly a vycýlené osy plování. Bod M se nazývá metacentum a vzdálenost TM je metacentická výška. U stabilně plovoucío tělesa je bod M nad bodem T a metacentická výška se definuje jako kladná. Čím je metacentická výška větší, tím ycleji se vycýlené těleso vací zpět do ovnovážné poloy. a) b) osa plování T F vz T T F vz V V osa plování M α vatný moment síly T α Příklad 1 klenbová áz přeady F G F G Přeadní áze je výodné za příznivýc geologickýc podmínek řešit ve tvau elativně tenké skořepinové klenby ze železobetonu. Pincip pevnostnío řešení áze spočívá v tom, že klenba přenáší zatížení od ydostatickéo tlaku do geologickéo podloží, v němž je zakotvena. Uvažujme takovou áz ve tvau části válcové plocy podle ob. 43, kteá je dána šířkou b, úly β a výškou. Vypočtěte velikost F k sil, kteými áz působí na geologické podloží. Po jednoducost předpokládejte, že zakotvené okaje áze mají svislý smě. Numeicky řešte po paamety přeady Malpasset vybudované v lubokém údolí fancouzské řeky Reyan: b = m, =65m, β =3. Přeada zadžovala m 3 pitné vody. b F β k Ob. 15 Těleso ve stabilní poloze při plování při vycýlení tělesa leží metacentum M nad těžištěm T Padne-li metacentum M pod těžiště T (ob. 16), nacází se těleso v labilní poloze při plování, neboť při jeo vycýlení z ovnovážné poloy o malý úel α začne na těleso působit dvojice sil F G, F vz, klopným momentem síly, kteý je převne. Metacentická výška je v tomto případě záponá. T F vz M T α F V T G V α T klopný moment síly V T M T Ob. 43 Klenbová áz údolní přeady F β k Ob. 16 Těleso v labilní poloze při plování při vycýlení tělesa leží metacentum M pod těžištěm T Ob. 17 Homogenní válec nebo koule v indifeentní poloze při plování 56 5

14 3 Náočnější příklady z ydomecaniky V této kapitole je uvedeno devět vyřešenýc příkladů, jejicž řešení vycází z fyzikálníc zákonů fomulovanýc difeenciálními vztay a k jejicž vyřešení je tedy nutné použít apaát vyšší matematiky, zejména integální počet. Tyto příklady už nejsou součástí studijnío textu FO po kategoii C. Přistupte k nim až později po zvládnutí základů vyšší matematiky. Toto studium vám pak nejen ozšíří spektum úlo z ydomecaniky, ale bude i vodnou ilustací aplikace vyšší matematiky. Po soustavné studium potřebnéo matematickéo apaátu fyziky lze dopoučit text [1]. Příklad 9 segmentové stavidlo Výtok z vodní nádže je uzavřen segmentovým stavidlem, kteé je částí válcové plocy o poloměu =3,5 m vymezené ozměy a =, m, d =,5 m (ob. 41). Šířka stavidla je b =3, m a výška ladiny =6, m. Vypočtěte výslednou tlakovou sílu působící na stavidlo a učete, kteým bodem pocází její nositelka. O x F síly vz (F vz = F G ). Změní se však její působiště z těžiště obdélníku ABEH na těžiště licoběžníku ABCD. Tím začne na tám působit vatný M moment v dvojice F sil vz F, G požadujeme, aby platilo M v >. A D H ΔF 3 b b F vz F vz T K T α F G M T α osa plování M v ΔF B E C t d y Ob. 41 Scéma segmentovéo a stavidla Řešení Na element ds plocy stavidla bude v loubce y pod ladinou působit df síla o velikosti df = gyds. Síla působí kolmo k válcové ploše stavidla a směřuje potodojejíozávěsup. Složky této elementání síly mají velikost (ob. 4a) df x =df cos β = gy ds cos β = gy ds x, df y =df sin β = gy ds sin β = gy ds y, P Ob. 18 K výpočtu vatnéo momentu M v a metacentické výšky MT támu při vycýlení o malý úel α a) Velikost vztlakové síly F vz je úměná plošnému obsau potopené části půřezu, kteou je v ovnováze obdélník ABEH oobsaubt. Tedy F vz = F G = btlg = d blg t = d. Při otočení o malý úel α se uvedený obdélník zvětší o tojúelník ECK a současně zmenší o tojúelník DKH stejnéo obsau. Too lze využít k M jednoducému výpočtu vatnéo momentu v, když k momentu dvojice sil F G, vz (tato síla vz je v původním působišti T ) F přičteme moment F přídavné ΔF dvojice ΔF sil a : t M v F G α +ΔF 3 b, kde ΔF b lgα. 8 Po dosazení za velikosti sil a ozmě t dostaneme M v blg [ ( b 6 d 1 )] d α. 54 7

15 podtlaku nad ladinou a povcovéo napětí ve výtokovém otvou vytékala voda před expeimentem z otvou jen velmi slabým poudem (zanedbatelnou yclostí). Vypočtěte, jaký vznikl nad ladinou přetlak opoti výcozímu stavu a jakou yclostí vytyskl poud vody z lave. Odpo vzducu neuvažujte. 1. Hasičská stříkačka Motoová stříkačka má na výstupu čepadla adici o vnitřním poloměu 1 =6, mm. Výstup čepadla je opatřen tlakoměem, kteý ukazuje přetlak vody Δp = 3 kpa. Hadice je ukončena ubicí s výstupním otvoem o poloměu = 6, mm. Za předpokladu, že voda je ideální kapalina vypočtěte a) velikost v yclosti, kteou voda poudí z ubice, jestliže je ve stejné výši jako výstup čepadla, b) velikost v yclosti, je-li ústí ubice ve výšce = 15 m nad výstupem čepadla, c) teoetický dostřik D (po v yclost )ad v (po )dovodoovnéoviny položené ústím ubice, kteá je od této oviny odkloněna o elevační úel α =45.. Výtok vody otvoy ve stěně nádoby V omogenním tíovém poli stojí na vodoovné desce nádoba s vodou, v níž je udžována stálá výška ladiny. Ve svislé stěně nádoby jsou nad sebou dva otvoy, z nicž jeden je ve vzdálenosti x ode dna a duý v téže vzdálenosti od ladiny (ob. 39). a) Na kteá místa (měřeno od stěny nádoby) dopadají vodní papsky vytékající z obou otvoů? b) Po jakou polou x = x bude voda dopadat nejdále? Vodu považujte za ideální kapalinu, odpo vzducu zanedbejte. x x v v 1 D 1 D g Ob. 39 Výtokvodyotvoy ve stěně nádoby. Vakuomet Podtlak v nádobě s plynem lze měřit tuťovým vakuometem (ob. ). Jaký je tlak v nádobě, je-li výška sloupce = 6 mm a atmosféický tlak p a = =1, Pa? Hustota tuti =13,6 1 3 kg m Záklopka u vodní nádže Vodní nádž má záklopku podle ob. 1, kteá se při dosažení výšky = samočinně otevře. Záklopka uzavíá čtvecový otvo o staně a = mm, jeož střed je ve vzdálenosti b = 65 mm od závěsu O páky. Závaží má motnost m = 5 kg a je v kolmé vzdálenosti c = 8 mm od závěsu O. a O b c g m a) Vypočtěte velikost a polou působiště tlakové síly působící na záklopku při výšce vody. b) Při jaké výšce se záklopka otevře? Jaká bude v této situaci velikost F ydostatické síly působící na záklopku? Ob. 1 K řešení záklopky nádže 4. Poblémy s adicovou vodováou Důležitým měřidlem stavbařů, kteé slouží k vytýčení vodoovné oviny na stavbě, je adicová vodováa. Je to pyžová adice, kteá je na koncíc opatřena půlednými (skleněnými nebo plastovými) tubičkami. Nalije-li se do adice voda tak, aby v ní nezůstaly vzducové bubliny (!), pak ladiny vody v tubičkác jsou ve stejné výšce bez oledu na to, zda jsou u sebe nebo např. 15 m vzdáleny. Pavlovi se na stavbě stala tato příoda. Spěcal a při manipulaci s vodováou se mu vylila část vody. Tak vodováu pootově doplnil kapalinou, kteou měl při uce. Byla to ovšem sladká limonáda. Při pozdější kontole zjistil, že vodováa povážila výškovou úoveň o Δ =3, cm otuto výšku byla ladina v ameni s limonádou nižší. Jakou cybu Pavel udělal? Odcylku Δ zdůvodněte výpočtem, uvážíte-li, že nejnižší bod vodováy byl vloubce =1,5 m pod ladinou v tubičkác. 5. Měření zyclení vlaku Linda s Vilíkem se ozodli změřit zyclení vlaku pomocí adicové vodováy (viz předcázející úlou). Půledné tubičky na jejíc koncíc opatřili 5 9

16 . Vypočtené veličiny Výtoková yclost podle jednotlivýc metod 1. v = g, s v = v s, v =(1,693 ±,7) m s 1.. v = t ( d d ), (s ) s v = v + ( st t ) ( + s ) ( d + s ) d, d d v =(1,13 ±,3) m s 1. ( ) ( ) 3. v g = D H, s v = sd sh v +, D H v =(1,59 ±,) m s 1. Poovnání výsledků získanýc ůznými metodami (sv ) ( ) ξ = v sv, s v ξ = +, ξ v =,67 ±,3. ξ = v v, s ξ = v (sv ) ( ) sv v +, ξ v =,94 ±,1. 3. Závěy k měření yclosti 1. Metodou založenou na vodoovném vu jsme získali odnotu v kteá je jen o 6 % menší než teoetická odnota v vypočítaná z Toicellio vzoce. Odcylka je patně způsobena vnitřním třením ve vytékající kapalině.. Metodou založenou na ovnici kontinuity jsme získali podstatně menší odnotu v,kteájeo33%menší než teoetická odnota v. I v tomto případě se uplatňuje vnitřní tření v kapalině. Tato metoda je však ještě zatížena velkou soustavnou cybou danou kontakcí poudové tubice při výtoku (ob. 38). Tato kontakce je způsobena změnou ybnosti elementů kapaliny v okolí výtokovéo otvou a s tím spojeným zakřivením poudnic. (Hybnost má smě tečny k poudnici v uvažovaném místě.) Podobněji se lze dočíst o vlivu kontakce na výtok např. v [4], st. 38. Ob. 38 Kontakce při výtoku že podpěný břit posuneme z poloy O 1 do poloy O odélkua =5, cm. Učete ustotu t válečku a motnost z závaží. z O 1 O a l l 1 t V Ob. 3 Rovnováa na dvojzvatné páce 9. Jednoducé měření ustoty a objemu tělesa Homogenní tué těleso libovolnéo tvau zavěsíme na silomě a zcela ponoříme do kapaliny o ustotě 1. Na siloměu změříme velikost taové síly F 1. Potom totéž těleso zavěšené na siloměu zcela ponoříme do kapaliny o ustotě a na siloměu změříme velikost taové síly F. V žádném z obou případů se těleso nedotýká dna nádoby. Kapaliny s tělesem cemicky neeagují, ani o neozpouštějí. Učete ustotu tělesa a jeo objem V. 1. Jednoducé měření ustoty kapaliny Homogenní tué těleso zavěsíme na silomě a změříme velikost taové síly F, kteou napíná pužinu siloměu. Potom těleso zavěšené na siloměu zcela ponoříme do kapaliny o ustotě 1. Na siloměu změříme velikost taové síly F 1. Při třetím měření totéž těleso zavěšené na siloměu zcela ponoříme do kapaliny o neznámé ustotě a změříme velikost taové síly F. Jak z výsledků těcto tří měření učíme neznámou ustotu dué kapaliny? Vztlakovou sílu působící na těleso ve vzducu zanedbejte. 11. Složení slitiny kovů Je známo, že bonz je slitina mědi ( 1 =8,9 1 3 kg m 3 )acínu( = =7,3 1 3 kg m 3 ). Těleso odlité z bonzu a zavěšené na siloměu působilo na něj ve vzducu silou o velikosti F 1 =6,1 N a zcela ponořené do vody silou o velikosti F =5,4 N. Učete ustotu b slitiny a motnostní podíly δ 1 mědi a δ cínu. Vztlakovou sílu působící na těleso ve vzducu zanedbejte. Při řešení po jednoducost předpokládejte, že objem slitiny je oven součtu objemů jejic složek před vytvořením slitiny. 1. Sklenice nápoje s ledem Linda s dědou zašli do estauace. Linda si objednala sklenici dobé vody, děda wisky se sodou. Číšník donesl nápoje, kteé se jim ovšem zdály teplé, a 5 31

17 .Vypočtené veličiny Cybu s u vypočítané veličiny, kteá je s měřenými veličinami vázána funkčním vztaem u = Kx a y b z c..., kde K je multiplikativní konstanta, a, b, c jsou konstantní exponenty z obou eálnýc čísel, vypočteme podle vzoce (viz např. [15]): ( s u = u a s ) ( x + b s ) ( y + c s ) z +..., x y z kde u je odnota vypočtené veličiny získaná dosazením aitmetickýc půměů naměřenýc veličin. Příklad měření s Maiotovou laví Byla použita 1,5litová plastová laev. Skleněná tubička měla délku mm a vnitřní půmě 5,5 mm. 1. Měřené veličiny Vnější půmě d lave (měřeno velkým posuvným měřidlem s dvacetidílkovým noniem, s m,5 mm) d i d =84,688 mm, i /mm 84,8 84,7 84,5 84,6 84,7 84,7 84,6 84,9 s d =,44 mm, s c,44 +,5 mm =,67 mm, d =(84,688 ±,67)mm. Koekce na tloušťku stěny lave,5 mm: d = d,5 mm = (84,19 ±,7)mm. Půmě d výtokovéo otvou (měřeno posuvným měřidlem s dvacetidílkovým noniem, s m,5 mm) i d i /mm 5,4 5,3 5,35 5,45 5,4 5,3 5,35 5,45 d =5,375 mm, s d =,1 mm, s c,1 +,5 mm =,54 mm, d =(5,38 ±,6)mm. 15. Plování volné tyče se závažím Homogenní přímá tenká tyč délky l, konstantnío příčnéo půřezu S a motnosti m je na jednom konci zatížena závažím o motnosti m zanedbatelnýc ozměů. Vložíme-li tyč do nádoby s vodou ( = 1 kg m 3 ), plove tak, že je ponořena část délky a ( <a<l) na staně závaží (ob. 5). a) V jakém vztau je motnost závaží m k motnosti m tyče, jestliže tyč může plovat pod libovolným úlem? b) Jaká je ustota t tyče? Řešte obecně a po a = a 1 = 3 4 l, a = a = l. m a l Ob. 5 Plovoucí tyč se závažím O m t x l Ob. 6 Plování zavěšené tyče 16. Plování zavěšené tyče Tenká tyč o délce l a ustotě t je na oním konci otočně zavěšena ve výšce nad ladinou a spodním koncem ponořena do kapaliny o ustotě > t (ob. 6). Vypočtěte délku x ponořené části a odcylku α tyče od svisléo směu. Poveďte diskuzi výsledků vzledem k výšce závěsu. 17. Stabilní plování támu Dlouý tám čtvecovéo půřezu volně plove ve vodě tak, že jedna z jeo stěn se nacází nad ladinou a je s ní ovnoběžná (ob. 7). Jaký musí být vzta mezi ustotou x támu a ustotou vody, aby tato poloa támu byla stabilní? t α O Ob. 7 Plovoucí tám 48 33

18 Budeme-li předpokládat, že ve výtokovém otvou nedojde ke kontakci vodnío papsku (ve skutečnosti je kontakce významná viz expeimentální část), pak po dobu t, za níž se výška zmenší na nulu, můžeme užitím ovnice kontinuity psát pd 4 = pd t 4 v, neboli t = ( ) d = ( ) d, () v d g d kde d je půmě válcové části lave a d je půmě výtokovéo otvou. b) Jde o vodoovný v v z výšky H počáteční yclostí.podálkud vu do vodoovné oviny platí H D = v t = v g. (3) Po dosazení za v z (1) dostaneme ledaný vzta D = D H, neboli =1. (4) H c) K v učení velikosti výtokové yclosti můžeme na základě předcázející teoie použít tři metody: 1. Po změření výšky vypočteme velikost v výtokové yclosti použitím Toicellio vztau (1).. Po změření výšky, půměů d, d adobyt výtoku, za kteou se ladina ovnoměně posune o, použijeme vzta (), ze kteéo po velikost výtokové yclosti plyne v = ( ) d. (5) t d 3. Po změření výšky H výtokovéo otvou nad ovinou onío okaje misky adálkyd, do níž papsek v této ovině dopadne, použijeme vzta (3), ze kteéo po velikost výtokové yclosti plyne v = D g H. (6) Po ideální kapalinu musí být v = v = v. Potože budeme expeimentovat se skutečnou kapalinou, nebude tato ovnost přesně splněna. B) Expeimentální část d) Kvalitativní pozoování jevů je nezbytným úvodem k našemu expeimentu. V jeo ámci povedeme seřízení expeimentální soustavy. Především zkontolujeme, zda výtok z lave je vodoovný. Upavíme zastčení tubičky dová tubice může mít v tomto případě tva válce (ob. 9). Objem kapaliny, kteý poteče uvažovaným půřezem za jednu sekundu se nazývá objemový půtok Q V.JeovenobjemukapalinyveválciopodstavěS a výšce v: Q V = Sv. (13) Jeo jednotkou je m 3 s 1. Poudění skutečné kapaliny je daleko složitější. V důsledku vnitřnío tření není již ozložení yclostí po půřezu S stálé, místo od místa se yclost mění. Při malýc yclostec jsou ozdíly malé a poudění je laminání, u něož poudnice mění smě jen pozvolna. Od učité kitické yclosti přecází poudění na tubulentní, kteé se vyznačuje pudkými změnami směu yclosti. Poudnice vytvářejí víy. O poudění skutečnýc kapalin pojednává mj. text [14]. V předloženém textu se omezíme jen na poudění ideálníc kapalin, o kteém budeme předpokládat, že je stacionání a nevíové. v S Ob. 9 Poudová tubice při ustáleném poudění. Rovnice kontinuity v 1 v S 1 S Ob. 3 K ovnici kontinuity Potože ideální kapalina je tekutina bez vnitřnío tření, bude její yclost ve všec bodec příčnéo půřezu S poudové tubice stejná. Potože je vedle too ideální kapalina dokonale nestlačitelná, nemůže se při poudění v žádném místě omadit. Poto musí každým půřezem poudové tubice za stejnou dobu potéct kapalina o stejném objemovém půtoku (13): Q V = Sv =konst. (14) Toto je ovnice kontinuity neboli ovnice spojitosti toku ideální kapaliny. Budeme-li jako příklad uvažovat tubici, jejíž půřez se zvětší z obsau S 1 na S (ob. 3), bude kapalina poudit tak, že S 1 v 1 = S v, neboli v v 1 = S 1 S. (15) 46 35

19 Příklad 8 expeimenty s plastovou laví Opatřete si dvou nebo 1,5litovou plastovou laev, jejíž stěny jsou co nejméně pofilovány. Je třeba, aby se v její oní polovině nacázela válcová část o výšce ( ) asi 5 až 75 mm (tuto podmínku splňují jen někteé lave na tu). V její svislé (válcové) spodní části vyvtejte kuový výtokový otvo o půměu 4 až 6 mm a jeo okaj pečlivě vylaďte jemným pilníkem. Dále si opatřete asi mm dlouou skleněnou nebo plastovou tubičku o vnitřním půměu 3 až 6 mm (v nouzi lze použít bčko k pití nápojů) a podle jejío vnějšío půměu vyvtejte otvo do víčka lave, aby jím šla tubička jen těsně postčit. Tubičku zasuňte po dolní okaj válcové části, do výšky nad výtokový otvo. Výtokový otvo uzavřete vodnou zátkou, nejlépe kuželovou z pyže. Dostali jste tak Maiotovu laev, pomocí níž si v expeimentec podle ob. 37 ověříte základní jevy spojené s výtokem vody otvoem ve stěně nádoby. Na pacovní stůl umístěte vodný podstavec, např. stoličku, a na jeo okaj postavte Maiotovu laev. Větší fotogafickou misku položte na stůl tak, aby do ní dopadala voda z Maiotovy lave po otevření výtokovéo otvou. T p a Dosadíme-li za motnost elementů z (16) a vydělíme-li ovnici elementem objemu ΔV = S 1 Δl 1 = S Δl,dostaneme g( 1 )+p 1 p = 1 (v v 1), 1 v 1 + 1g + p 1 = 1 v + g + p = konst., (17) což je Benoullio ovnice ve tvau po tlaky. Dříve, než ozebeeme význam jednotlivýc členů Benoullio ovnice, povedeme ještě duou vaiantu odvození této nejvýznamnější ovnice mecaniky tekutin. Podle zákona zacování mecanické enegie se musí příůstek kinetické enegie elementu kapaliny v užším půřezu tubice pojevit úbytkem jeo potenciální enegie tak, aby celková mecanická enegie elementu zůstala zacována, tj. aby E k + E p = konst. Element kapaliny o motnosti Δm = ΔV bude mít kinetickou enegii E k = 1 Δmv = 1 ΔVv. g A p d Potenciální enegie elementu kapaliny bude mít dvě složky: tíovou Δmg = = ΔVga tlakovou pδv, neboť podle vztau (5) má tlak v kapalině význam potenciální enegie tlakové vztažené na jednotku objemu. Celková potenciální enegie elementu kapaliny tedy je d v E p = ΔVg+ pδv. B Podle zákona zacování enegie musí platit E k + E p = 1 ΔVv +(g + p)δv =konst. H Po dělení objemem ΔV dostaneme ovnici 1 v + g + p =konst., (18) O C D Ob. 37 Výtok vody z Maiotovy lave což je stučný zápis ovnice (17). Benoullio ovnice je tedy zákon zacování mecanické enegie ideální kapaliny, kteý je ve tvau (17) a (18) vztažen na jednotkový objem kapaliny. Význam jednotlivýc členů ovnice (18): 44 37

20 vystoupí do výšky 1. K učení ydostatickéo tlaku v každém místě příčnéo půřezu poudu kapaliny (změna ydostatickéo tlaku podél svislice půřezu se zanedbává) slouží duá tubice, jejíž osa je kolmá k poudnicím. V ní kapalina vystoupí do výšky. Učete yclost kapaliny. 1 T 1 p a 3 T 3 T 1 T S v 1 v v 3 Δ g 1 S 1 T S 3 1 v Ob. 35 Pitotova tubice Řešení Použijeme Benoullio ovnici (19) po dva body 1, poudu, kteé se nacázejí ve stejné geodetické výšce, přičemž bod 1 je v ústí Pitotovy tubice, kde se poud kapaliny zastaví (v 1 =).Tlakp 1 v tomto bodě je učen výškou 1 vtlakoměut 1,tj.p 1 = 1 g.bodjelibovolnýbodosy,kdev = v je ledaná yclost poudu a tlak měřený tlakoměem T je p = g. Z Benoullio ovnice (19) dostaneme p 1 = p + 1 (p 1 p ) v, v = = g( 1 )= gδ. Paktickým povedením této soustavy dvou tubic je Pandtlova tubice u kteé se přímo čte ozdíl výšek Δ difeenciálním manometem (sovnej s ob. 36). Měření není zcela přesné. Příklad 7 Ventuio tubice K měření yclosti poudění kapalin v potubíc a tím i k měření objemovéo půtoku se používá Ventuio tubice. Je to vodoovná tubka kuželovitě se zužující z původnío půřezu S 1 do půřezu S. Poté se v difuzou půřez pozvolna ozšiřuje do původní velikosti S 1 (ob. 36). Jsou dány půměy potubí d 1, d v půřezec 1,. Změna velikosti yclosti kapaliny o ustotě způsobí i změnu tlaků. Jejic ozdíl v půřezec 1, zjistíme difeenciálním manometem např. ve tvau U-tubice. Je-li změřen ozdíl Δ sloupců měřicí kapaliny o ustotě m, učete Ob. 3 Poudění kapaliny vodoovným potubím o poměnném půřezu Podle ovnice kontinuity platí S 1 v 1 = S v = S 3 v 3. Mezi yclostmi v jednotlivýc půřezec bude tedy vzta v 1 <v 3 <v. Pak podle Benouulio ovnice bude p 1 >p 3 >p. Výšky 1 a 3 sloupců kapaliny v tlakoměec T 1 at 3 udávají přetlak kapaliny v daném místě opoti atmosféickému tlaku,tedy p 1 p a = 1 g, p 3 p a = 3 g. Situace na ob. 3 předpokládá, že v půřezu S bude yclost v tak veliká, že v tomto místě vznikne podtlak: p p a = g, neboli p a p = g. Uděláme-li v nejužším místě do potubí otvo, bude se zde nasávat vzduc. Benoullio ovnici si můžete expeimentálně ověřit jednoducými pokusy doma v koupelně: 1. Na ladinu vody v umyvadle položte pingpongový míček. Na plovoucí míček nyní necte z boku dopadat poud vody z kooutku (ob. 33a). Poud vody nebude leký míček odplavovat, jak by se podle selskéo (nepoučenéo) ozumu zdálo, ale naopak přitaovat. V místec, kde dopadá voda, se působením překážky míčku zvětšuje yclost poudící vody (poudnice se zde zaušťují). Podle Benoullio ovnice je zde tedy menší tlak vody než je tlak vody na potilelé staně míčku, ale i tlak vzducu nad ladinou. Poto převládne tlaková síla směem do poudu vody. Se stejným úkazem se můžete setkat u jezu ozvodněné řeky. Leký objemný předmět, kteý voda v řece unáší (například pázdný uzavřený sud), se pod jezem vací poti poudu řeky zpět k jezu. 4 39