Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti 2.1 Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Autor práce: Přednášející: Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc
Zpracovávaná data jsou výstupem z výrobních procesů při výrobě pigmentu TiO 2. V současné době není pigment RD53 a RP33 vyráběn. - 1 -
Obsah 1 Porovnání dvou regresních přímek u jednoduchého regresního modelu... 3 1.1 Zadání... 3 1.2 Naměřená data... 3 1.3 Pigment RD53 grafické posouzení kvality dat... 5 1.4 Regresní diagnostika pro RD53... 7 1.5 Závěr... 9 1.6 Pigment RP33 - grafické posouzení kvality dat... 10 1.7 Regresní diagnostika pro RP33... 12 1.8 Závěr... 13 1.9 Porovnání modelů společný lineární model... 14 1.10 Regresní diagnostika pro společný model... 14 1.11 Test shody obou modelů ověření shody rozptylů... 16 1.12 Závěr... 17 2 Určení stupně polynomu... 18 2.1 Zadání... 18 2.2 Naměřená data... 18 2.3 Nalezení stupně polynomu... 18 2.4 Grafické zobrazení... 19 2.5 Závěr... 21 3 Validace nové analytické metody... 22 3.1 Zadání... 22 3.2 Naměřená data... 22 3.3 Lineární regresní model... 22 3.4 Regresní diagnostika... 23 3.5 Závěr... 24-2 -
1 Porovnání dvou regresních přímek u jednoduchého regresního modelu 1.1 Zadání Hodnota dispergovatelnosti pigmentu je pomocí mletí pigmentu s pojivem, které má předepsanou OKP v laboratorním attritoru. K zajištění reprodukovatelnosti výsledků je nutno vždy dodržet stejné podmínky (otáčky, náplň kuliček, teplotu). Stupeň dispergace je sledován Hegmanovým grindometrem. Hodnota disperzity je vizuálně odečtena na stupnici (představuje tloušťku nátahu v místě posledního výskytu aglomerátů) v µm. U dvou druhů titanové běloby (RD53 a RP33) byla provedena zkouška dispergovatelnosti v alkydovém pojivu. Na základě naměřených dat vyhodnoťte a porovnejte dispergovatelnost u obou pigmentů. Porovnejte shodu obou modelů. 1.2 Naměřená data Tabulka I: RD53 time [min.] 20 25 25 30 30 35 40 40 40 40 45 45 50 55 55 60 60 disp [µm] 70 70 65 60 60 40 50 45 30 35 30 30 20 15 20 15 10 Tabulka II: RP33 time [min.] 20 25 30 35 35 40 45 45 50 55 55 60 65 70 75 80 80 disp [µm] 80 80 75 70 75 70 70 65 60 50 55 50 40 40 45 40 30 time [min.] 85 90 90 95 100 105 - - - - - - - - - - - disp [µm] 30 20 25 25 20 20 - - - - - - - - - - - Ověření normality U dat byla ověřena normalita pomocí programu QCExpert (obr. 1) a Minitab (obr. 2 a 3). Obrázek 1: Graf pro diagnostiku normality a odlehlých měření, pro normální data bez odlehlých měření má přibližně tvar přímky - 3 -
Normal Probability Plot Probability.999.99.95.80.50.20.05.01.001 Average: 39.1176 StDev: 20.3282 N: 17 10 20 30 40 50 60 70 disp53 Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 0.431 P-Value: 0.272 Obrázek 2: Anderson-Darlingův test. S pravděpodobností 72.8 % mají data Normální rozdělení. Normal Probability Plot Probability.999.99.95.80.50.20.05.01.001 Average: 49.3478 StDev: 20.9602 N: 23 20 30 40 50 60 70 80 disp33 Anderson-Darling Normality Test A-Squared: 0.584 P-Value: 0.116 Obrázek 3: Anderson-Darlingův test. S pravděpodobností 88.4 % mají data Normální rozdělení. Závěr pro ověření normality: Oba soubory dat mají Normální rozdělení, lze proto přistoupit k regresní diagnostice. - 4 -
1.3 Pigment RD53 grafické posouzení kvality dat Obrázek 4: McCulloh-Meterův graf je další alternativou k indikaci vlivných a vybočujících bodů. Body vpravo od svislé přímky jsou silně vlivné, body nad vodorovnou přímkou jsou silně vybočující. Body nad šikmou (červenou) přímkou jsou podezřelé vybočující nebo vlivné. Obrázek 5: Williamsův graf slouží k indikaci vlivných i vybočujících bodů. Body vpravo od svislé přímky jsou silně vlivné, body nad vodorovnou přímkou jsou silně vybočující. Tyto body by bylo vhodné pro další zpracování odstranit. Obrázek 6: L-R graf je další alternativou k indikaci vlivných bodů. Hyperbolické křivky jsou linie stejného vlivu. Podle polohy bodů vůči třem křivkám lze data rozdělit na slabě vlivná, vlivná a silně vlivná. Tento graf je vhodný pro menší rozsahy dat. Obrázek 7: Graf pro společné posouzení vybočujících bodů a vlivných bodů. Body nad nižší (černou) přímkou se považují za vlivné, nad vyšší (červenou) přímkou za silně vlivné nebo vybočující a je třeba jim věnovat pozornost. Obrázek 8: Graf predikce reziduí. Grafické srovnání skutečných a predikovaných reziduí. Výraznější odchylka od přímky indikuje vybočující hodnotu. Tento graf je velmi citlivý na jednotlivé vybočující hodnoty, špatně indikuje skupiny vybočujících hodnot. Na tomto grafu nejsou patrny žádné body, které by měly mít vybočující charakter - 5 -
Obrázek 9: Diagonální prvky projekční matice H=X(X^T X)^(-1) X^T, které vyjadřují míru vlivu jednotlivých dat na regresi (X je matice nezávisle proměnných). Body nad vodorovnou přímkou se považují za silně vlivné. Zde je odchýlený pouze jeden bod. Obrázek 10: Je-li v datech pouze jedna nezávisle proměnná, představuje graf průběh regresního modelu. Červeně je vyznačen pás spolehlivosti modelu na zadané hladině významnosti. Obrázek 11: Graf vyjadřující těsnost proložení. Na ose X jsou vypočítané hodnoty závisle proměnné, na ose Y jsou naměřené hodnoty. Svislé vzdálenost bodu od přímky odpovídá reziduu. Obrázek 12: Q-Q graf pro posouzení normality reziduí. Přímka odpovídá normálnímu (Gaussovu) rozdělení reziduí. Je nutno brát v úvahu, že metoda nejmenších čtverců uměle zvyšuje normalitu (tzv. supernormalita). V případě pochybností se doporučuje vyhodnotit tento graf i pro některou robustní metodu. Obrázek 13: Graf normovaných reziduí, na ose X je hodnota závisle proměnné. vodorovná přímka odpovídá průměru reziduí. V případě nevážené metody nejmenších čtverců je průměr reziduí roven nule. - 6 -
Obrázek 14: Grafické posouzení autokorelace reziduí prvního řádu, na ose X je i-té reziduum, na ose Y je (i-1) reziduum. "Mrak" bodů s kladnou směrnicí, naznačuje pozitivní autokorelaci, klesající trend negativní autokorelaci. Autokorelace reziduí nemusí nutně dokazovat autokorelaci chyb, neboť autokorelace vypočítaných reziduí je vždy nenulová. Obrázek 15: Grafické posouzení heteroskedasticity (nekonstantnosti rozptylu). Tvar výseče, resp. trojúhelníku naznačuje přítomnost heteroskedasticity. Zde jsou body rovnoměrně rozptýleny, co eteroskedasticitu nepotvrzuje. 1.4 Regresní diagnostika pro RD53 Hladina významnosti : 0.05 Kvantil t(1-alfa/2,n-m) : 2.131 Kvantil F(1-alfa,m,n-m) : 4.543 Absolutní člen : Ano Počet platných řádků : 17 Počet parametrů : 2 Metoda : Nejmenší čtverce Transformace : Bez transformace Základní analýza Charakteristiky proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost time53 40.882 12.404-0.963 5.55E-010 Analýza rozptylu Průměr Y : 39.118 Zdroj Součet čtverců Průměrný čtverecrozptyl Celková variabilita 6611.765 388.927 413.235 Variabilita vysvětlená modelem 6136.630 360.978 383.539 Reziduální variabilita 475.134 27.949 29.696 Hodnota kritéria F : 193.734 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4.543 Pravděpodobnost : 5.55E-010 Model je významný Odhady parametrů - 7 -
Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost Abs 103.665 4.834 Významný 113.969 Spodní mez Horní mez 1.146E-012 93.361 Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost time53-1.579 0.113 Významný 5.55E-010 Spodní mez Horní mez -1.821-1.337 Statistické charakteristiky regrese Vícenásobný korelační koeficient R : 0.9634 Koeficient determinace R^2 : 0.9281 Predikovaný korelační koeficient Rp : 0.8329 Střední kvdratická chyba predikce MEP : 33.982 Akaikeho informační kritérium : 60.617 Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 193.734 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4.54308 Pravděpodobnost : 5.55E-010 Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : -0.2556 Model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 0.0320 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.8415 Pravděpodobnost : 0.8580 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0.5223 Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5.9915 Pravděpodobnost : 0.7702 Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 0.0128 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.8415 Pravděpodobnost : 0.8580 Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 1.02 1.54 Rezidua nejsou autokorelována Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1.4937 Kvantil N(1-alfa/2) : 1.9599 Pravděpodobnost : 0.1352-8 -
V reziduích není trend. 1.5 Závěr Na základě výsledků testování byl lineární model určen jako významný a korektní. Parametry regresní přímky byly určeny jako významné. Testem rezidui a také z jejich grafického zobrazení vyplývá, že model je zcela v pořádku. Rovnice regresní přímky dispergovatelnost RD53 = 103.665 (± 4.834) 1.519 (± 0.113) čas Y = 103.665 (± 4.834) 1.519 (± 0.113) X - 9 -
1.6 Pigment RP33 - grafické posouzení kvality dat Detailnější vysvětlení grafického zobrazení bylo provedeno u pigmentu RD53, proto zde budou komentovány pouze odlišnosti vztahující se k tomuto modelu. Obrázek 16: Tři body nad vodorovnou přímkou jsou indikovány jako body silně vybočující. Obrázek 17: Tento graf opět indikuje odlehlé a extrémní hodnoty, v tomto případě jsou indikovány jen body podezřelé (mezi horní a šikmou čárou). Obrázek 18: V oblasti slabě vlivných dat jsou indikovány dva body. Obrázek 19: U tohoto grafu se oblasti vlivných bodů blíží body dva (oblast nad černou přímkou). Silně vlivné nejsou indikovány (nad horní červenou přímkou. Obrázek 20: Vodorovné přímce se blíží dva body. Jako silně vlivné je nelze považovat Obrázek 21: Dva body jsou od přímky odchýleny, přesto touto vzdáleností nelze potvrdit indikaci vybočujících hodnot. - 10 -
Odlehlé ani extrémní hodnoty nebyly grafickými diagnostikami potvrzeny, zle tedy konstatovat, že v modelu nejsou body, které by bylo nutno vyřadit a nahradit novým měřením. Obrázek 22: Regresní přímka velmi pěkně prokládá naměřené body a má úzký interval spolehlivosti. Obrázek 23: Tento graf vyjadřuje dosti vysokou míru těsnosti proložení. Obrázek 24: Podle tvaru mají rezidua normální (Gaussovo) rozdělení Obrázek 25: Rezidua jsou rovnoměrně rozdělena po obou stranách přímky (střední hodnoty rezidují). Obrázek 26: Mrak bodů nemá rostoucí ani klesající trend, což by prokazovalo kladnou nebo zápornou autokorelaci 1. řádu. Rezidua nejsou autokorelována. Obrázek 27: Nekonstantní rozptyl (heteroskedasticita) není prokázána. - 11 -
1.7 Regresní diagnostika pro RP33 Hladina významnosti : 0.05 Kvantil t(1-alfa/2,n-m) : 2.0796 Kvantil F(1-alfa,m,n-m) : 4.3248 Absolutní člen : Ano Počet platných řádků : 23 Počet parametrů : 2 Metoda : Nejmenší čtverce Transformace : Bez transformace Základní analýza Charakteristiky proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost time33 62.174 25.487-0.982 0 Analýza rozptylu Průměr Y : 49.348 Zdroj Součet čtverců Průměrný čtverecrozptyl Celková variabilita 9665.217 420.227 439.328 Variabilita vysvětlená modelem 9322.228 405.314 423.738 Reziduální variabilita 342.9894 14.9125 15.5904 Hodnota kritéria F : 570.7662 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4.324794 Pravděpodobnost : 1.044E-016 Model je významný Odhady parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost Abs 99.563 2.264 Významný 0 Spodní mez Horní mez 94.853 104.272 Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost time33-0.808 0.034 Významný 0 Spodní mez Horní mez -0.878-0.737 Statistické charakteristiky regrese Vícenásobný korelační koeficient R : 0.9821 Koeficient determinace R^2 : 0.9645 Predikovaný korelační koeficient Rp : 0.9177 Střední kvdratická chyba predikce MEP : 17.667 Akaikeho informační kritérium : 66.151 Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 570.766 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4.32479 Pravděpodobnost : 1.04362E-016 Model je významný - 12 -
Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : -0.3737 Model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 0.66092 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.84146 Pravděpodobnost : 0.41624 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0.61209 Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5.99146 Pravděpodobnost : 0.73635 Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 1.11081 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.84146 Pravděpodobnost : 0.41624 Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 1.17 1.54 Pozitivní autokorelace reziduí není prokázána. Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1.70146 Kvantil N(1-alfa/2) : 1.95996 Pravděpodobnost : 0.08886 V reziduích není trend. 1.8 Závěr Na základě výsledků testování byl lineární model určen jako významný a korektní. Parametry regresní přímky byly určeny jako významné. Testem rezidui a také z jejich grafického zobrazení vyplývá, že model je zcela v pořádku. Rovnice regresní přímky dispergovatelnost RP33 = 99.563 (± 2.264) 0.808 (± 0.034) čas Y = 99.563 (± 2.264) 0.808 (± 0.034) X - 13 -
1.9 Porovnání modelů společný lineární model Obrázek 28: Z tohoto grafu je patrné, že přímka neprokládá dala, ale prostor mezi nimi. Již podle toho lze usoudit, že data pocházejí ze dvou souborů. Obrázek 29: Většina dat je od přímky značně vzdálena, což prokazuje slabou těsnost proložení. Obrázek 30: Rezidua společného modelu nemají normální rozdělení. Obrázek 31: Heteroskedasticita není potvrzena, přesto i zde je vidět, že data pocházejí ze dvou bloků. 1.10 Regresní diagnostika pro společný model Hladina významnosti : 0.05 Kvantil t(1-alfa/2,n-m) : 2.024 Kvantil F(1-alfa,m,n-m) : 4.098 Absolutní člen : Ano Počet platných řádků : 40 Počet parametrů : 2 Metoda : Nejmenší čtverce Transformace : Bez transformace Základní analýza Charakteristiky proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost timeall 53.125 23.306-0.694 6.579E-007 Analýza rozptylu - 14 -
Průměr Y : 45 Zdroj Součet čtverců Průměrný čtverecrozptyl Celková variabilita 17300 432.5 443.590 Variabilita vysvětlená modelem 8350.02 208.8 214.103 Reziduální variabilita 8949.98 223.7 229.487 Hodnota kritéria F : 35.4527 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4.09817 Pravděpodobnost : 6.57861E-007 Model je významný Odhady parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost Abs 78.353 6.105 Významný 2.22E-015 Spodní mez Horní mez 65.9949 90.7111 Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost timeall -0.6278 0.1054 Významný 6.58E-007 Spodní mez Horní mez -0.8413-0.4144 Statistické charakteristiky regrese Vícenásobný korelační koeficient R : 0.6947 Koeficient determinace R^2 : 0.4827 Predikovaný korelační koeficient Rp : 0.1974 Střední kvdratická chyba predikce MEP : 240.34 Akaikeho informační kritérium : 220.421 Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 35.4527 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 4.09817 Pravděpodobnost : 6.57861E-007 Model je významný. Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : -0.47690 Model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 0.61571 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.84146 Pravděpodobnost : 0.43265 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 4.45036 Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5.99146 Pravděpodobnost : 0.10805 Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 0.04964 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.84146-15 -
Pravděpodobnost : 0.43265 Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : -1 Kritické hodnoty DW 1.39 1.6 Rezidua nejsou autokorelována Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1.11762 Kvantil N(1-alfa/2) : 1.95996 Pravděpodobnost : 0.2637288631 V reziduích není trend. 1.11 Test shody obou modelů ověření shody rozptylů Hladina významnosti : 0.05 Porovnávané sloupce : RD53 RP33 Počet dat : 17 23 Průměr : 39.12 49.35 Směr. odchylka : 20.33 20.96 Rozptyl : 413.2 439.3 Test shody rozptylů Poměr rozptylů : 1.0631 Počet stupňů volnosti : 22 16 Kritická hodnota : 2.2991 Rozptyly jsou SHODNÉ Pravděpodobnost : 0.4968 Robustní test shody rozptylů Poměr rozptylů : 1.06314 Redukované stupně volnosti : 19 14 Kritická hodnota : 2.45217 Rozptyly jsou SHODNÉ Pravděpodobnost : 0.5009 Q-Q graf (obr. 32) pro všechna data, data se berou jako jediný soubor, příslušnost k prvnímu nebo druhému výběru je rozlišena barvou (viz legenda v grafu). Orientačně jsou znázorněny polohy průměrů obou výběrů se svými intervaly spolehlivosti jako šrafované obdélníky. Přímky znázorňují polohu střední hodnoty, jejich směrnice odpovídají směrodatné odchylce, strmější přímka by odpovídala výběru s vyšší sm. odchylkou. Obrázek 32: Porovnání dvou výběrů (EDA) - 16 -
1.12 Závěr Byla prokázána shodnosti rozptylů (potvrzena homoskedasticita) u obou výběrů dat, proto lze použít Chowův test XXX. F c = (RSC-RSC 1 -RSC 2 )(n-2m)/((rsc 1 +RSC 2 )(m)) F c = (8949.98-475.134-342.989)(40-2*2)/( 475.134+342.989)(2) = 178.9 F (2,36) = 3,2633 Fc > F (2,36) Je nutno hypotézu o shodě parametrů zamítnout. Porovnání modelů 100 disp53 dispall Lineární (disp33) disp33 Lineární (disp53) Lineární (dispall) disprergace [ m] 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 čas [min] Obrázek 33: Grafické porovnání obou modelů a jejich lineárních trendů (proloženo metodou nejmenších čtverců využito Microsoft Excel 2002) Z porovnání obou modelů vyplývá, že se dispergace pro oba pigmenty výrazně liší. Toto také prokázal Chowův test pro shodu parametrů na hladině významnosti α = 0.05 byla hypotéza o shodě zamítnuta. Dispergovatelnost u pigmentu RD53 je výrazně lepší (vyplývá z porovnání úseku i směrnice u obou přímek). Pro výrazný rozdíl v dispergovatelnosti, který má výrazný vliv na aplikační použití, se nedají oba pigmenty zaměnit. - 17 -
2 Určení stupně polynomu 2.1 Zadání Peristaltické čerpadlo má dva stupně rozsahu otáček (0 až 9 a 10 až 100).. Pro zjištění závislosti bylo provedeno měření obou rozsahů. Určete stupeň polynomu pro celý rozsah dávkovacího čerpadla. Je tento polynom optimální pro praktické použití? 2.2 Naměřená data Tabulka III: Naměřená data otáčky [ot/min.] 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 6.5 7.0 8.0 9.0 výkon [ml/min] 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.5 2.0 3.1 4.0 5.2 6.4 otáčky [ot/min.] 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 65.0 75.0 85.0 95.0 100.0 - výkon [ml/min] 7.3 10.0 13.0 17.0 23.0 32.0 45.0 53.0 67.0 75.0-2.3 Nalezení stupně polynomu K vyhodnocení regrese byl použit program QCExpert 2.5. Pro nalezení optimálního stupně polynomu n byla použita metoda nejmenších čtverců (MNČ). Při výpočtu bude měněn stupeň polynomu a podle posouzení hodnot MEP (střední kvadratické chyby predikce) a AIC (Akaikeho informační kritérium) bude vybrán optimální stupeň. Testování bude probíhat na hladině významnosti α = 0.05, v prvé fázi pro n = 2, 4, 6, 8. Nalezení optimálního stupně polynomu návrh modelu Pro nalezení optimálního stupně polynomu byla využita MNČ. Toto bylo provedeno na základě vyhodnocení hodnoty MEP (střední kvadratická chyba predikce) a AIC (Akaikeho informační kritérium). Tabulka IV: Statistické charakteristiky Stupeň polynomu 2 4 6 8 5 Vícenásobný korelační koeficient R 0.9971 0.9993 0.9994 0.9995 0.9994 Koeficient determinace R 2 (D) 0.9941 0.9986 0.9988 0.9989 0.9988 Predikovaný korelační koeficient Rp 0.9829 0.9929 0.9922 0.5963 0.9936 MEP 4.3913 1.8077 1.9998 116.2369 1.6422 AIC 29.0273 3.5559 3.3393 5.3751 2.2075 Vícenásobný korelační koeficient R a Koeficient determinace R 2 nejsou pro hledání optimálního stupně polynomu vhodné. - 18 -
2.4 Grafické zobrazení Obrázek 34: Těsnost proložení pro n=2 Obrázek 35: Těsnost proložení pro n=4 Obrázek 36: Graf vyjadřuje těsnost proložení. Svislé vzdálenosti od přímky odpovídají reziduu. Obrázek 37: Graf vyjadřuje těsnost proložení. Svislé vzdálenosti od přímky odpovídají reziduu. Oproti předchozímu obrázku jsou vzdálenosti kratší Obrázek 38: Graf sloužící k indikaci vlivných i vybočujících bodů. Vpravo od svislé čáry jsou dve body silně vlivné a nad vodorovnou čárou jsou tři body silně vybočující Obrázek 39: Zde je vidět jeden bod silně vlivný a dva silně vybočující - 19 -
Obrázek 40: Těsnost proložení pro n=6 Obrázek 41: Těsnost proložení pro n=8 Obrázek 42: Graf vyjadřuje těsnost proložení. Oproti předchozímu obrázku jsou vzdálenosti kratší. Nelze již posoudit těsnost. Obrázek 43: Graf vyjadřuje těsnost proložení. Oproti předchozímu obrázku jsou vzdálenosti kratší. Nelze již posoudit těsnost. Obrázek 44: Zde je vidět jeden bod silně vlivný a dva silně vybočující Obrázek 45: Zde je vidět dva body silně vlivné a pět bodů silně vybočujících - 20 -
Obrázek 46: Těsnost proložení pro n=5 Obrázek 47: Graf vyjadřuje těsnost proložení. Oproti předchozím obrázkům jsou vzdálenosti kratší. Tak jako u předchozích nelze již odpovědně posoudit těsnost. Obrázek 48: Zde je vidět jeden bod silně vlivný a dva body silně vybočující. Tento graf potvrzuje nejoptimálnější proložení (n=5). 2.5 Závěr Tabulka V: Odhady parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr P Spodní mez Horní mez Abs -1,70718 0,716847 Významný 0,030920894-3,23511-0,17926 ot/min 1,123923 0,199623 Významný 4,79E-05 0,698436 1,549411 ot/min^2-0,04196 0,013838 Významný 0,008397873-0,07146-0,01247 ot/min^3 0,000923 0,000376 Významný 0,026735424 0,000122 0,001724 ot/min^4-8,21e-06 4,31E-06 Nevýznamný 0,076293326-1,74E-05 9,82E-07 ot/min^5 2,82E-08 1,75E-08 Nevýznamný 0,128179326-9,13E-09 6,56E-08 Podle vypočtených statistických charakteristik je polynom 5.stupně optimální pro celý rozsah, přestože je čtvrtý a pátý parametr určen jako nevýznamný. Podle velikosti parametrů by pro výpočet bylo možné využít polynomu pro n=3. Dle vzhledu křivky se jeví, že pro praktické použití by bylo vhodnější použít pro dva rozsahy dvou křivek typu paraboly. - 21 -
3 Validace nové analytické metody 3.1 Zadání V laboratoři mezioperační kontroly se stanovuje u pomletého ilmenitu zbytek na sítě 45 µm. Po zakoupení laserového přístroje na měření velikosti částic byla odzkoušena možnost jeho použití pro tuto analýzu (stanovení nadsitného podílu nad 45 µm). K zavedení této metody proveďte její validaci. 3.2 Naměřená data Tabulka VI: Naměřená data síto 45 µm [%] 4.43 7.23 9.37 12.35 15.38 18.22 20.54 24.81 Cilas [%] 4.28 7.38 9.54 12.25 15.94 18.02 20.10 25.03 3.3 Lineární regresní model Regresní diagnostika na odhalení vlivných bodů byla provedena v programu QCExpert 2.5. Obrázek 49: Byl indikován jeden vlivný bod (nad vodorovnou přímkou) Obrázek 50: Jeden vlivný bod byl potvrzen nad první hyperbolou. Hyperboly ukazují linie stejného vlivu. Přestože byl detekován jeden vlivný bod, nebude z regrese vypuštěn jedná se o výběr menšího rozsahu. Obrázek 51: Proložení bodů představuje průběh modelu Obrázek 52: Rezidua mají normální rozdělení (body jsou uloženy okolo přímky - 22 -
3.4 Regresní diagnostika Hladina významnosti : 0.05 Kvantil t(1-alfa/2,n-m) : 2.4469 Kvantil F(1-alfa,m,n-m) : 5.9874 Absolutní člen : Ano Počet platných řádků : 8 Počet parametrů : 2 Metoda : Nejmenší čtverce Transformace : Bez transformace Základní analýza Charakteristiky proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost sito 14.0413 6.9786 0.9990 2.42E-09 Analýza rozptylu Průměr Y : 14.0675 Zdroj Součet čtverců Průměrný čtverec Rozptyl Celková variabilita 340.0154 42.5019 48.5736 Variabilita vysvětlená modelem 339.3432 42.4179 48.4776 Reziduální variabilita 0.6722 0.0840 0.0960 Hodnota kritéria F : 3028.9635 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 5.9874 Pravděpodobnost : 2.42E-09 Model je významný Odhady parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost Abs 0.0584 0.2807 Nevýznamný 0.8420 Spodní mez Horní mez -0.6284 0.7453 Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr Pravděpodobnost sito - 0.9977 0.0181 Významný 2.42E-09 Spodní mez Horní mez 0.9533 1.0421 Statistické charakteristiky regrese Vícenásobný korelační koeficient R : 0.9990 Koeficient determinace R^2 : 0.9980 Predikovaný korelační koeficient Rp : 0.9932 Střední kvdratická chyba predikce MEP : 0.1446 Akaikeho informační kritérium : -15.8132 Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 3028.9635 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 5.9874 Pravděpodobnost : 2.42E-09 Model je významný - 23 -
Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : -7.15E-06 Model je korektní. Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 0.4003 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.8415 Pravděpodobnost : 0.5269 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 0.2645 Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5.9915 Pravděpodobnost : 0.8761 Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 0.6264 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.8415 Pravděpodobnost : 0.5269 Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : 2.4993 Kritické hodnoty DW 0 2 Pozitivní autokorelace reziduí není prokázána. Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1.1456 Kvantil N(1-alfa/2) : 1.9599 Pravděpodobnost : 0.2519 V reziduích není trend. 3.5 Závěr Na základě výsledků testování byl lineární model určen jako významný a korektní. Parametr regresní přímky (sito) byl určen jako významný. Úsek byl určen jako nevýznamný. Testem rezidui a také z jejich grafického zobrazení vyplývá, že model je zcela v pořádku. Rovnice regresní přímky Cilas = 0,9977 (± 0,0181). sito y = 0,9977 (± 0,0181) x Podstatou úspěšného nahrazení metody jinou je lineární model y = b 0 + b 1 x s nulovým úsekem (b 0 = 0) a jednotkovou směrnicí (b 1 = 1). Vztah pro interval spolehlivosti: tb Proměnná Odhad Směr.Odch. b 0 0.0584 0.2807-24 - ( bd ) tb 2/100 ( )0 2/10 β + αα bd
Spodní mez Horní mez -0.6284 0.7453 b 1 0.9977 0.0181 Spodní mez Horní mez 0.9533 1.0421 Interval spolehlivosti pro úsek (b 0 ) obsahuje nulu, úsek tedy nelze považovat za významně odchýlený od nuly. Interval spolehlivosti pro směrnici (b 1 ) obsahuje jedničku, směrnici tedy nelze považovat za významně odchýlenou od jedničky. Z toho plyne, že novou metodu lze aplikovat v mezioperační kontrole bez dalšího přepočtu obě metody dávají s 95% pravděpodobností shodné výsledky. - 25 -
4 Vícerozměrný lineární regresní model 4.1 Zadání Při kalcinaci pigmentu je jedním z důležitých parametrů obsah rutilu [%], který se stanovuje pomocí RTG difrakce. Tento parametr lze ovlivnit několika technologickými parametry, které jsou v průběhu procesu sledovány a řízeny. Zjistěte v jakém vztahu jsou vůči obsahu rutilu [y] proměnné: teplota na 1. troleji [x 1 ], teplota na 5. troleji [x 2 ], otáčky v minutách [x 3 ], podtlak v kpa [x 3 ]. 4.2 Naměřená data Byla vybrána analytická data za určité období a k nim byla přiřazena data z provozních automatů. Tabulka VII: Naměřená data Rutil [%] 97,0 97,5 97,4 97,5 97,9 97,7 98,0 97,4 98,2 98,0 1.TR [ C.] 950,0 950,4 953,3 952,4 955,3 957,0 955,1 955,9 957,0 956,7 5.TR [ C.] 454,8 468,3 451,4 470,9 464,1 469,0 467,1 448,2 448,6 449,5 Otáčka [min] 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 6,00 Podtlak [kpa] -22,9-19,8-21,5-18,3-18,9-19,1-19,8-22,3-21,8-21,8 Rutil [%] 98,1 98,4 98,3 98,4 99,2 99,1 99,2 99,1 98,9 99,0 1.TR [ C.] 957,9 962,3 961,5 962,6 963,5 962,5 964,3 966,3 967,2 969,0 5.TR [ C.] 476,0 478,4 476,2 480,3 476,0 483,2 489,0 484,3 491,5 485,1 Otáčka [min] 5,75 5,75 5,75 5,75 5,75 5,50 5,50 5,75 5,50 5,75 Podtlak [kpa] -21,8-22,5-21,7-21,8-20,8-25,4-26,1-24,1-26,0-22,7 Rutil [%] 99,2 98,8 99,1 99,5 99,1 99,7 100,0 100,0 99,9 100,7 1.TR [ C.] 968,1 969,1 968,2 969,8 969,6 971,8 976,1 978,9 982,0 981,0 5.TR [ C.] 481,0 488,7 488,3 487,7 490,6 521,6 516,7 508,1 512,3 514,1 Otáčka [min] 5,75 5,75 5,50 5,75 5,50 5,50 5,50 5,50 5,50 5,50 Podtlak [kpa] -24,5-22,8-27,3-22,1-24,9-25,6-24,6-25,0-26,0-24,8 4.3 Lineární regresní model Diagnostika na odhalení vlivných bodů, extrémů a jejich eventuální vypuštění byla provedena v programu QCExpert 2.5. Data byla posouzena na hladině α = 0.05 (95% pravděpodobnost) - 26 -
Obrázek 53: Na tomto grafu je indikován jeden vlivný a jeden vybočující bod. Obrázek 54: Hyperbolické křivky zobrazují linie stejného vlivu. Je indikován jeden vlivný bod. Obrázek 55: Nad vodorovnou přímkou jsou zobrazeny silně vlivné body. Zde byl indikován jeden. Obrázek 56: Bod nad první přímkou od průsečíku os jsou považovány za vlivné (byl indikován jeden), jako silně vlivný nebyl touto metodou indikován žádný bod. Na základě grafických diagnostik a dostatečného počtu dat bylo rozhodnuto o vypuštění bodu č. 26 (silně vlivný): y (26) = 99.7 x 1(26) = 971.8 x 2(26) = 521.6 x 3(26) = 5.5 x 4(26) = -25.6 a bodu č. 15 (silně vybočující): y (15) = 99.2 x 1(15) = 963.5 x 2(26) = 476 x 3(26) = 5.75 x 4(26) = -20.8-27 -
4.4 Regresní diagnostika Hladina významnosti : 0.05 Kvantil t(1-alfa/2,n-m) : 2.0287 Kvantil F(1-alfa,m,n-m) : 2,7955 Absolutní člen : Ano Počet platných řádků : 28 Počet parametrů : 5 Metoda : Nejmenší čtverce Transformace : Bez transformace Základní analýza Charakteristiky proměnných Proměnná Průměr Směr.Odch. Kor.vs.Y Významnost 1TR[ C] 963.553 9.0081 0.9545 3.55E-15 5TR[ C] 479.407 19.333 0.8992 7.93E-11 ot[min] 5.75892 0.2095-0.8698 1.85E-09 p[kpa] 22.8679 2.3899-0.7285 1.11E-05 Indikace multikolinearity Proměnná Vlas. čísla kor. m. Podmíněnost kappa VI faktor Vícenás. kor. Abs 0.0293351 1 1 0 1TR[ C] 1 34.088812 7.6570968 0.9324174 5TR[ C] 0.4320183 14.726991 13.587415 0.962498 ot[min] 0.1298289 4.4257122 15.849307 0.9679389 p[kpa] 3.4088177 116.20255 7.3055137 0.9290409 Analýza rozptylu Průměr Y : 98.5964 Zdroj Součet čtverců Průměrný čtverec Rozptyl Celková variabilita 20.8496 0.7446 0.7722 Variabilita vysvětlená modelem 19.3771 0.6920 0.7177 Reziduální variabilita 1.47255 0.0526 0.0545 Hodnota kritéria F : 75.6634 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 2,79554 Pravděpodobnost : 6,77E-13 Model je významný Odhady parametrů Proměnná Odhad Směr.Odch. Závěr P Sp. mez Hor. mez Abs 35.3957 12.2752 Významný 0.0077 10.4931 60.2982 1TR[ C] 0.07321 0.01496 Významný 5.59E-05 0.0428 0.10356 5TR[ C] 5.10E-05 0.00928 Nevýznamný 0.9957-0.0187 0.01887 ot[min] -1.2036 0.92526 Nevýznamný 0.1901-3.0807 0.67342 p[kpa] 0.01899 0.05507 Nevýznamný 0.7333-0.0927 0.13071-28 -
Statistické charakteristiky regrese Vícenásobný korelační koeficient R : 0.9640 Koeficient determinace R^2 : 0.9294 Predikovaný korelační koeficient Rp : 0.7876 Střední kvdratická chyba predikce MEP : 0.0838 Akaikeho informační kritérium : -72.465 Testování regresního tripletu Fisher-Snedecorův test významnosti modelu Hodnota kritéria F : 75.6634 Kvantil F (1-alfa, m-1, n-m) : 2.79554 Pravděpodobnost : 6.77E-13 Model je významný Scottovo kritérium multikolinearity Hodnota kritéria SC : 0.7976 Model vykazuje multikolinearitu! Cook-Weisbergův test heteroskedasticity Hodnota kritéria CW : 0.0027 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3.8415 Pravděpodobnost : 0.9589 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Jarque-Berrův test normality Hodnota kritéria JB : 2.3525 Kvantil Chi^2(1-alfa,2) : 5.9915 Pravděpodobnost : 0.3084 Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace Hodnota kritéria WA : 1,0121 Kvantil Chi^2(1-alfa,1) : 3,8415 Pravděpodobnost : 0,9589 Autokorelace je nevýznamná Durbin-Watsonův test autokorelace Hodnota kritéria DW : 2.3573 Kritické hodnoty DW 1.03 1.85 Pozitivní autokorelace reziduí není prokázána. Znaménkový test reziduí Hodnota kritéria Sg : 1.0962 Kvantil N(1-alfa/2) : 1.9599 Pravděpodobnost : 0.2729 V reziduích není trend. - 29 -
4.5 Grafická analýza reziduí Obrázek 57: Na tomto grafu je zobrazena těsnost proložení. Svislé vzdálenosti odpovídají reziduu Obrázek 58: Průměr reziduí je roven nule. Obrázek 59: Rezidua mají přibližně normální rozdělení. Obrázek 60: Mimo jeden bod jsou body v mraku, což svědčí o konstantnosti rozptylu. Heteroskedasticita není indikována. 4.6 Závěr Na základě výsledků testování byl lineární model určen jako významný a korektní. Vzhledem k tomu, že jde o data z neplánovaného experimentu, vyskytuje se zde multikolinearita (u x 2 a x 3 ). Tyto parametry byly diagnostikovány jako nevýznamné (tak jako x 4 ). Z regresní diagnostiky vyplynulo, že závisle proměnná y (obsah rutilu) závisí významě pouze na nezávisle proměnné x 1 a úseku (Abs). Z tohoto lze odvodit rovnici závislosti obahu rutilu na teplotě 1. troleje. Ostatní parametry byly určeny jako nevýznamné, z čehož plyne, že jejich regulace významě neovlivní výsledná procenta rutilu. Rovnice regresní závislosti (přímky) obsah rutilu = 35.396 (± 12.275) + 0.073 (± 0.015) teplota 1.TR Y = 35.396 (± 12.275) + 0.073 (± 0.015) X - 30 -