Finanční deriváty Smlouvy, jimiž se neobchoduje s podkladovými aktivy, ale právy na ně (=> obchody s rizikem ). Hodnota vzniká zprostředkovaně přes hodnotu podkladového aktiva nebo ukazatele. Existence derivátů zvyšuje efektivitu trhů (větší likvidita, nižší transakční náklady); jsou výhodné k zajišťování rizik i ke spekulaci. Obchodují se prostřednictvím burz a brokerů (=>standardizace, vysoká likvidita) nebo tvoří na míru klientům (tzv. OTC deriváty =>mohou mít jakékoliv požadované charakteristiky).
Základní typy finančních derivátů Termínové obchody (a futures): Vypořádání nákupu či prodeje v budoucnosti za pevných podmínek. Swapy: Výměna určitého aktiva za jiné na pevně stanovenou dobu; zvláštním typem jsou tzv. repo operace - dohody o prodeji a zpětném nákupu (swap lze interpretovat jako kombinaci promptních a termínových obchodů). Opce: Právo jedné ze smluvních stran na budoucí uskutečnění obchodu za pevných podmínek.
Arbitráž a její role při oceňování Arbitráž je koupě aktiva na jednom trhu a jeho okamžitý prodej se ziskem na jiném trhu. Na efektivním trhu by to byl stroj na peníze, a proto záhy dojde působením nabídky a poptávky při arbitráži k nastolení jediné rovnovážné ceny. Jednou z aplikací je tzv. replikace - instrument s neznámou tržní cenou lze pro účely ocenění nahradit portfoliem peněžních toků se stejnou strukturou při všech možných stavech světa.
Příklad - replikace Chceme za rok obdržet 100 tisíc dolarů za pevnou cenu. Budoucí kurs neznáme, je znám aktuální kurs p USD/CZK = 25,00 a bezriz. roční výnosy r USD = 4%, r CZK = 3%. Budoucí cenu dolaru lze replikovat: Koupíme určitou částku již dnes, a to tak, abychom měli za rok 100 tis. $. Dolary můžeme investovat, dnes proto stačí koupit 100 000/(1,04) = 96 154 $ za 96 154 25 = 2 403 846 Kč. Koruny nemáme, musíme si je tedy půjčit; za rok pak musíme splatit 2 403 846 (1,03) = 2 475 961 Kč. Za rok tedy obdržíme 100 000 $ za 2 475 961 Kč, což odpovídá kursu 24,76 (=25 1,03/1,04...úroková parita)
Termínové obchody Smlouva, na jejímž základě se obchod vypořádá v budoucnosti za pevně stanovených podmínek. Smlouva je dána typem a množstvím podklad. aktiva, termínem dodání a cenou při dodání. Futures jsou termínové obchody se standardními podmínkami, obchodované na finančních trzích. Protistranou je zde burza (to zvyšuje likviditu, snižuje riziko vypořádání) a zpravidla nedochází k fyzickému dodání aktiva (před vypořádáním se smlouva prodá nebo se její hodnota vyplatí v penězích).
Zobecnění - replikační ocenění TO Termínový obchod pro zhodnocující se aktivum (např. cizí měna, akciový index) Replikace = okamžitý obchod za cenu p + investice s výnosností y - náklad financování r okamžitý nákup za cenu p 1 / (1+y t ) p / (1+y t ) současná hodnota budoucí hodnota 1 (jednotka aktiva) F = p (1 + r t ) / (1 + y t ) = > F = p (1 + r) t / (1 + y) t = > (se spojitými mírami výnosů) F = p e rt / e yt = p e (r-y)t
Aktivum s jednorázovými příjmy Termínový obchod pro aktivum s jednorázovými příjmy (např. akcie, kupónové dluhopisy, náj. smlouvy) Termínová cena je nižší o budoucí hodnotu příjmu, který obdržel vlastník aktiva. okamžitý nákup za cenu p 1 / (1+y t ) p / (1+y t ) současná hodnota Y (příjem) 1 (jednotka aktiva) budoucí hodnota F Y = Y (1 + r T-t ) budoucí hodnota F A = p (1 + r t ) / (1 + y t ) = > F = p (1 + r) t / (1 + y) t - Y (1 + r) t-t = > F = p e (r-y)t - Y e r(t-t)
Příklady - Ocenění termín. obchodů Vždy bezriz. efekt. výnos r e = 3% vypoř. za 3 měsíce. Akcie Komerční banky při p = 3 200 Kč. r 0,25 Q = (r e +1) -1= 0,74% => F = 3200(1+0,74%)= 3224 Kč r = ln(1+r e ) = 2,96% => F = 3200 e 2,96% 0,25 = 3 224 Kč Táž akcie s dividendou Y = 100 Kč splat. za 1 měsíc F = p e rt Y e r(t-t) = 3224 Kč - 100 e 2,96%(2/12) = 3 123 Kč Cizí měna (jen) při p = 18,52/100 Kč; r y = 0,50% F = p e (r-y)t y = ln(1+r Y ) = 0,499% F = 18,52 e (2,96%-0,499%) 0,25 = 18,63/100 Kč
Ocenění termínových obchodů U termínových obchodů je snadná replikace; termínová cena závisí na okamžité ceně a nákladu držby aktiva (= oček. úrokové a jiné náklady - oček. příjmy z aktiva). Aktivum bez vlastních příjmů (např. krátkodobě držené akcie, drahé kovy) F = p e rt... nebo... F = p (1 + r e ) t Aktivum s průběžným zhodnocováním y (např. cizí měny, diskontované úvěry, indexy, komodity) F = p e (r-y)t... nebo... F = p (1 + r e ) t / (1 + y e ) t Aktivum s jednorázovými příjmy Y v čase T (akcie) F = p e rt Y e r(t-t)... nebo... F = p(1 + r e ) t Y(1 + r T-t ) (t-t)
Příklad - Ocenění pozice ve futures Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = 1 190 $. Dnešní hodnota indexu p S&P = 1 380 $, bezriziková úroková sazba r $ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu r S&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e 0,25 (5%-8%) = 1 199 $.... (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) Index ale dnes může prodat za 1 380 $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = 1 199-1 380 = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe -t(r-y) = 181 $; (krátká pozice má hodnotu V = Fe -t(r-y) - p).
Příklad - Ocenění pozice ve futures Obchodník koupil před třemi měsíci futures na prodej akc. indexu S&P 500 za 6 měsíců při ceně F = 1 190 $. Dnešní hodnota indexu p S&P = 1 380 $, bezriziková úroková sazba r $ = 5%, očekávaný roční výnos akc. trhu r S&P = 8%. Jaká je nyní hodnota těchto futures? Současná hodnota term.ceny F je rovna F/e 0,25 (5%-8%) = 1 199 $.... (futures vyprší za 3 měsíce, tzn. 0,25 roku) Index ale dnes může prodat za 1 380 $. Proto by při prodeji realizoval ztrátu V = 1 199-1 380 = -181 $. Dlouhá pozice má tedy hodnotu V = p - Fe -t(r-y) = 181 $; (krátká pozice má hodnotu V = Fe -t(r-y) - p).
Cenová citlivost termínových obchodů Termínový obchod má v okamžiku uzavření nulovou hodnotu. Citlivosti z pohledu kupujícího (tj. dlouhé pozice v podkl. akt.): rizikový faktor změna riz. faktoru změna hodnoty kontraktu cena podklad. aktiva růst růst úroková sazba růst růst výnos podkl. aktiva růst pokles V V p r-y
Deriváty vs. podkladová aktiva Známy termín. ceny ropy; F 3M = 60,74 $, F 6M = 63,62 $. Neznáme okamžitou cenu p ani náklad financování c. p = F 3M / e c 0,25 = F 6M / e c 0,5 c = ln(f 2 /F 1 )/(t 2 -t 1 ) = 18,53%; p = 57,99 $...(implicitně) Jaká je citlivost na změnu p, koupím-li N termín. obch.? V = N (V -t(r-y) -t(r-y) 1 -V 0 ) = N[(p 1 - Fe ) - (p 0 - Fe )] = N p Stejné citlivosti dosáhneme koupí příslušného počtu kusů podkl. aktiva, ale musíme vynaložit kapitál V A0 = N p 0 (zatímco V F0 = 0). Pozn.: I koupě derivátů v praxi určitý kapitál vyžaduje - srov. zajišťovací (marginový) vklad (ŘR II).
Příklad - Repo operace Klient si chce od banky půjčit formou repooperace peníze na 3 měsíce proti zástavě pokladniční poukázky, splatné za 6 měsíců v nominální hodnotě 1 mil. Kč. Banka si účtuje repo sazbu i = 5,25% a chce mít úvěry plně kryté, i kdyby tržní výnosy vzrostly na r max = 10%. Cena zpětného nákupu (closing leg) R 3M = 1000000/e 10% (0,5-0,25) = 975 310 Kč. Pozn.: Je-li r = 3%, pak zajišťovací marže (haircut) oproti F 3M = 1000000/e 3% (0,5-0,25) = 992 528 Kč činí 1,77%. Cena počátečního prodeje (front leg) R 0 = 975310/e 5,25% 0,25 = 962 593 Kč.
Opce Smlouva, kde má jedna ze stran právo trvat na budoucím vypořádání obchodu za pevně stanovených podmínek. Podkladové aktivum (nebo podkl. ukazatel) Uplatňovací cena (S) Doba do uplatnění (t) Kupní opce (call) vs. prodejní (put) opce Vydavatel opce (short) vs. držitel opce (long) Evropská opce vs. americká opce; exotické opce Finanční opce; vestavěné opce; reálné opce
Příklad - opce Evropská kupní opce na akcii ČEZ s uplatňovací cenou S = 1 000 Kč a dobou do uplatnění t = 0,25 ( 90 dnů). Její držitel má právo, nikoliv povinnost, v den uplatnění převzít 1 kus akcie (podkladového aktiva) za cenu S, vydavatel má povinnost tento požadavek splnit. Lze předpokládat, že držitel své právo uplatní v případě, že v den uplatnění bude tržní cena akcie p>s, pak realizuje zisk p-s; v opačném případě opci neuplatní. Hodnota kupní opce při uplatnění je tedy V C =max{0; p-s}; pro prodejní opci platí V P = max{0; S-p} Opce (právo) má pro držitele vždy nezápornou hodnotu, danou časovou hodnotou opce.
Hodnota opce Vnitřní hodnota (kupní) opce V S p v penězích (in-the-money) bez peněz na penězích (out-of-the-money) (at-the-money) Celková hodnota (kupní) opce V p Časová hodnota rizikový faktor riz. faktoru kupní opce prodejní opce cena podklad. aktiva růst růst pokles úroková sazba růst růst pokles volatilita podkl. aktiva růst růst růst doba do uplatnění pokles pokles pokles Z tržních cen obchodovaných opcí lze implicitně odhadnout volatilitu podkladového aktiva.
Opční strategie Opční strategie replikují peněžní toky při uplatnění opce. Steláž (straddle) V V Škrtič (strangle) p koupě kupní opce koupě prodejní opce Vertikální rozpětí na růst (vertical bull spread) V koupě kupní opce p koupě kupní opce koupě prodejní opce Motýlek (butterfly) koupě kupní opce při S 1 V prodej kupní opce při S 2 prodej VRR koupě VRR prodej kupní opce p p prodej kupní opce při S 2 koupě kupní opce při S 3
Parita kupní a prodejní opce Kupní opci lze replikovat pomocí prodejní opce a termínového obchodu: V koupě prodejní opce Výsledkem je kupní opce. p koupě term. kontraktu na podkladové aktivum Z replikace vyplývá, že V C = V P + V F, tzn. (pro aktiva neposkytující příjmy): V C = V P + p - S e -tr Pozn.: Stačí tedy ocenit (evropskou) kupní opci, cenu prodejní opce z ní pak lze odvodit.
Oceňování opcí Na základě binomického modelu rozhodovacího procesu v čase a jeho numerickým řešením: Rekurzí => Coxův-Rossův-Rubinsteinův model Simulací => Monte Carlo Analytickým řešením výsledku dynamického zajišťování => Blackův-Scholesův model a jeho varianty (Mertonův model, Blackův model, Garmanův-Kohlhagenův model). Binomický model je výpočetně náročnější, ale obecnější (na rozdíl od B-S umožňuje ocenit americké či exotické opce); konverguje k B-S.
Princip binomického modelu Kupní opce: S = 40 na aktivum s p = 32 Kč, které v čase t nabude hodnot d = 16 Kč nebo u = 64 Kč; r t = 2%. 1. Opce bez peněz nebude uplatněna, a tedy V d = 0 d 2. Opce v penězích, uplatněna, hodnota V u = 64-40 = 24 Strukturu příjmů replikujeme N term. obch. na podkl. akt. Aby měly t.o. při ceně podkl. aktiva 16 Kč nulovou hodnotu, musely být vystaveny s term. cenou F = 16. Dnes tedy mají hodnotu V F = p - F/(1+r t) = 16,31 Kč. Hodnota N term. obch. je při vypořádání obecně rovna V NF = N(F A - F). Protože chceme, aby při F A = u = 64 V NF = 24, musí být N = 24/(64-16) = 0,5. Opce tedy musí mít hodnotu V C = 0,5 16,31 = 8,16 Kč.
Příklad - binomický model Kupní opce S = 1 100; p = 1 000; r = 5%; 4 periodický model. 1 157,63 71,29 1 102,50 1 102,50 43,99 2,50 1 050,00 1 050,00 27,14 1,52 1 000,00 1 000,00 1 000,00 16,74 0,93 0,00 952,38 952,38 0,56 0,00 907,03 907,03 0,00 0,00 863,84 0,00 822,70 0,00 1 215,51 F = 1 100; N = 1 115,51 V F = 1157,63-1100e -0,25 5% = 71,29 V C = N V F = 71,29 F = 1 000 N = (u - S)/(u - d) = 2,50/102,5 = 0,0244 V F = 1050-1000e -0,25 5% = 62,42 V C = N V F = 1,52 N = 0 => V C = 0
Blackův-Scholesův model Předpokl.: Evropská opce, aktivum bez vl. příjmů, normální rozdělení logaritmických výnosů. V C = p N(d 1 ) - S e -rt N(d 2 ) d 1 = [ln(p/s) + (σ 2 /2) t] / (σ t) 1 d 2 = d 1 - σ t Příkl.: p = 500 Kč; S = 510 Kč; r = 3%; t = 3 měs. (=0,25); σ = 20% d 1 = [ln(500/510)+(0,04/2) 0,25]/(0,2 0,5) = -0,0730 d 2 = -0,0730-0,2 0,5 = -0,1730 N(d 1 ) = N(-0,0730) = 0,4709; N(d 2 ) = N(-0,1730) = 0,4313 (distribuční funkce normovaného normálního rozdělení) V -20% 0,25 C = 500 0,4709-510 e 0,4313 = 17,12 Kč V P = V C - p + Se -rt = 17,12-500+510 e -3% 0,25 = 23,31 Kč
Varianty Blackova-Scholesova modelu Mertonova formulace pro aktiva s vlastními příjmy V C = p e -yt N(d 1 ) - S e -rt N(d 2 ) d 1 = [ln(p/s) + (r - y + σ 2 /2) t] / (σ t) d 2 = d 1 - σ t Př.: p $ = 25 Kč; S = 24 Kč; r = 3%; y = r $ = 5%; t = 0,5; σ $ = 12% (aplikaci na cizí měny se říká Garmanův-Kohlhagenův model) d 1 = 0,4057; d 2 = 0,3208 N(d 1 ) = 0,6575; N(d 2 ) = 0,6258 V C = 25 e -5% 0,5 0,4057-24 e -3% 0,5 0,3208 = 1,24 Kč V P = V C - p + Se -(r-y)t = 0,50 Kč... pozor, mění se hodnota term. o. Pozn.: Existují i analytické modely pro opce na termín. obchody (Blackův model) a pro jiná statist. rozdělení výnosů.