Inovace a zvýšení atraktivit studia optik reg. č.: CZ.1.07/..00/07.089 Řešené úloh k přednáškám Optika anizotropních prostředí OT/ANIZ Optika krstalů OT/OK (řešení úloh pomocí programů OSLO remium f Lambda Research) Zdeněk Bouchal Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republik.
OBSAH: I. Simulace ideálních polarizačních prvků pomocí transformačních matic I.1 Ideální polarizátor I. Soustava ideálních polarizátorů I.3 ůlvlná fázová destička I.4 Čtvrtvlná fázová destička I.5 Normální polarizační mód fázové destičk I.6 Soustava polarizátoru, fázové destičk a analzátoru I.7 Simulace Lotova filtru II. Trasování paprsků anizotropními optickými prvk a sstém II.1 růchod paprsků Wollastonovým hranolem II. růchod paprsků Rochonovým hranolem II.3 růchod paprsků Sénarmontovým hranolem
Úloha I.1 Ideální polarizátor Zadání: Sestavte transformační matici ideálního polarizátoru propustného pro kmitosměr elektrického pole, který svírá s osou úhel ϕ. Vpočtěte propustnost polarizátoru pro lineárně polarizovanou vstupní vlnu s kmitosměrem, který svírá s osou úhej Φ a pro kruhově polarizovanou vstupní vlnu. Činnost polarizátoru simulujte v programu Oslo remium a proveďte kontrolu obecných vztahů včíslením pro ϕ=π/6 a Φ=-π/10. olarizátor propustný v ose Vstupní polarizace Vstupní intenzita: olarizátor I 1 = 0 J J = J Výstupní polarizace = J + J =1 0 0 J J J ' = ' olarizátor propustný ve směru ϕ J = J Matice polarizátoru: = R Matice rotace: R ϕ Výstupní polarizační stav 1 J cos ϕ + J = 1 J sin ϕ + J Výstupní intenzita ϕ R ϕ cosϕ = sinϕ sin ϕ sin ϕ sinϕ cosϕ * * ( J J J J ) sin ϕ 1 I = J cos ϕ + J sin ϕ + +
Ideální polarizátor simulace Oslo remium ostup A: Zadání výsledné matice polarizátoru propustného ve směru ϕ Směr propustnosti polarizátoru: ϕ = π/6 (vztaženo k ose ) Směr kmitů vstupní lineární polarizace Φ = - π/18 (vztaženo k ose ) Matice polarizátoru: = cos ϕ sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ sin ϕ Lineární polarizace: Kmitosměr (vztažený k ose ) Zadání vstupní polarizace:
Ideální polarizátor simulace Oslo remium ostup B: římé zadání matic otočení do úhlu ϕ, matice polarizátoru pro směr propustnosti v ose Rotace: R ϕ = R ϕ R ϕ olarizátor propustný v ose : Zpětná rotace: R -ϕ
Ideální polarizátor výsledek simulace Oslo remium ostup zadání polarizátoru A a B dávají identické výsledk Lineární vstupní polarizace: Φ = - π/18 (vztaženo k ose ) Orientace polarizátoru: ϕ = π/6 (vztaženo k ose ) J J = cosφ, = sin Φ I =0.5868 * * ( J J J J ) sin ϕ 1 I = J cos ϕ + J sin ϕ + + Kruhová vstupní polarizace: Orientace polarizátoru: ϕ = π/6 (vztaženo k ose ) J J = = 1, i I =0.5
Úloha I. Soustava N ideálních polarizátorů Zadání: Lineárně polarizovaná vlna s kmitosměrem orientovaným v ose prochází přes soustavu N polarizátorů, které jsou nastaven tak, že první je propustný ve směru, který s osou svírá úhel ϕ 1 =π/(n), j-tý v úhlu ϕ j =jπ/(n) a N-tý v úhlu ϕ N =Nπ/(N). omocí programu Oslo remium ověřte, že prošlý svazek je lineárně polarizovaný podél os a má intenzitu I =[cos(π/n)] N. Oslo remium - ověření pro N=4 π I' = cos 8 8 = 0.53
Úloha I.3 ůlvlná fázová destička Zadání: Sestavte transformační matici ideální půlvlné fázové destičk, jejíž optická osa leží v rovině (,) a svírá s osou úhel ϕ. Určete polarizační stav za fázovou destičkou pro lineárně polarizovanou vstupní vlnu, jejíž kmitosměr svírá s osou úhel Φ a pro levotočivě kruhově polarizovanou vstupní vlnu. Činnost půlvlnné fázové detičk simulujte v programu Oslo remium. Kontrolu obecných vztahů proveďte včíslením pro ϕ=π/8 a Φ=0. Fázová destička olarizace vstupní vln J olarizace výstupní vln J Y X ϕ d Optická osa krstalu Fázová destička je planparalelní destička vrobená z jednoosého anizotropního materiálu (krstalu), tak, že optická osa krstalu leží v rovině destičk a svírá s osou úhel ϕ. Normální mód polarizované podél os X (optická osa krstalu) a os Y se šíří rozdílnými fázovými rchlostmi c/n e a, kde n e a n o značí mimořádný a řádný inde lomu prostředí. ři průchodu fázovou destičkou proto dochází k zavedení fázového rozdílu mezi polarizační složk kmitající podél os X a Y: π Γ = d( n e n o ) λ λ ůlvlná fázová destička: Γ = π d = n e n o ( ) Transformační matice fázové destičk pro os X a Y: W 0 ep = ( i Γ ) 0 ep 0 ( i Γ ) Vstupní a výstupní polarizace je určena pomocí složek kmitajících podél os a, proto je nutné provést otočení do směru os X a Y, pro které známe fázové rclosti šíření: Výsledná matice fázové destičk: = R Výstupní polarizační stav: J ' = WJ W R ϕw0 ϕ
ůlvlná fázová destička simulace Oslo remium Rotace: R ϕ arametr destičk: Γ = π, ϕ = π 8 W = R ϕw0r ϕ Matice půlvlné destičk v osách X a Y: W 0 Zpětná rotace: R -ϕ
ůlvlná fázová destička a lineárně polarizovaná vstupní vlna simulace Oslo remium Jonesův vektor vstupní polarizace: Jonesův vektor výstupní polarizace: cosφ J = sin Φ J ' = WJ cos = sin ( ϕ Φ) ( ) ϕ Φ Lineárně polarizovaná vlna zůstává po průchodu půlvlnou destičkou lineárně polarizovaná ale její kmitosměr je stočen o úhel: Φ = ( ϕ Φ) Obecný polarizační stav: J 1 a ae = iδ a + a Stokesov parametr polarizačního stavu: ( S, S, S, S ) 0 1, 3 S 0 = 1, S 1 = a a S = a a cos δ, S = a a sin δ., arametr transformace: Φ = 0, ϕ = π 8 Φ = π 4 Stokesov parametr výstupní polarizace: (1,0,1,0)
ůlvlná fázová destička a kruhově polarizovaná vstupní vlna simulace Oslo remium Jonesův vektor kruhové polarizace: Jonesův vektor výstupní polarizace: J 1 1 = ± i J ' = WJ = 1 1 m i Kruhově polarizovaná vlna zachovává kruhovou polarizaci i po průchodu půlvlnou destičkou ale směr otáčení se mění na opačný (vlna s pravotočivou kruhovou polarizací se mění na levotočivou a naopak). Transformace nezávisí na směru optické os krstalu. arametr transformace: δ = ± π, ϕ = π 8 Stokesov parametr výstupní polarizace: (1,0,0,1)
Úloha I.4 Čtvrtvlná fázová destička Zadání: ři vhodně zvoleném úhlu mezi kmitosměrem vstupní lineárně polarizované vln a optickou osou krstalu čtvrtvlné fázové destičk dojde k transformaci lineární polarizace na kruhovou. Je-li vstupní vlna lineárně polarizovaná ve směru os, určete v jakém úhlu ϕ vzhledem k ose musí být nastavena optická osa krstalu čtvrtvlné destičk, ab výstupní vlna měla pravotočivou nebo levotočivou kruhovou polarizaci. Nastavení ověřte v programu Oslo remium. π Γ = d( n e n o ) λ λ Čtvrtvlná fázová destička: Γ = π d = 4 n e n o ( ) Transformační matice čtvrtvlné destičk pro os X a Y: Výstupní polarizace: ( i Γ ) 0 1 1 i 0 = 0 ep( i Γ ) 0 1+ i Vstupní polarizace: J 1 = 0 ep W = 1 1 i cos ϕ 0 J ' = R = ϕw0rϕ J isin ϕ Nastavení fázové destičk π 1 1 ϕ = ± Výstupní polarizace: J ' = 4 m i Závěr: Je-li optická osa krstalu čtvrtvlné destičk orientovaná v úhlu ϕ = ±π 4 vzhledem k ose, pak vstupní vlna s horizontální polarizací bude mít po průchodu destičkou pravotočivou nebo levotočivou kruhovou polarizaci. Transformace probíhá i reverzně vstupní vlna s pravotočivou kruhovou polarizací je čtvrtvlnou destičkou přeměněna na horizontálně polarizovanou vlnu.
Čtvrtvlná fázová destička simulace Oslo remium Nastavení ϕ = π/4 Nastavení ϕ = - π/4
Úloha I.5 Normální polarizační mód půlvlné fázové destičk Zadání: Výpočtem určete normální polarizační mód půlvlné fázové destičk, jejíž optická osa svírá s osou úhel ϕ. Nalezené normální mód ověřte v programu Oslo remium pro nastavení optické os ϕ=π/6. Definice normálních polarizačních módů sstému: Jsou tp polarizační stav J, které se při průchodu sstémem o transformační matici W nemění. Matematické vjádření: WJ = qj, qkkonst. odmínka normálních polarizačních módů pro půlvlnou fázovou destičku s optickou osou v úhlu ϕ: R ϕw0 Rϕ J = qj, Řešení: J cosϕ = sinϕ Normálním polarizačním módem půlvlné fázové destičk je vlna lineárně polarizovaná ve směru optické os destičk.
Normální polarizační mód půlvlné fázové destičk simulace Oslo remium Zadání půlvlné destičk s optickou osou v úhlu ϕ=π/6: R ϕ otočení o úhel ϕ=π/6 W 0 půlvlná destička R -ϕ otočení o úhel - ϕ Vstupní vlna polarizovaná v úhlu Φ=ϕ=π/6: polarizační stav se nemění Vstupní vlna polarizovaná v úhlu Φ= ϕ= π/6: lineární polarizace se mění na eliptickou
Úloha I.6 Soustava fázové destičk, polarizátoru a analzátoru Zadání: Vpočtěte propustnost sstému, který je tvořen fázovou destičkou o zpoždění Γ umístěnou mezi polarizátor a analzátor. Optická osa fázové destičk svírá s osou úhel ϕ, polarizátor i analzátor propouštějí kmit elektrické intenzit orientované podél os. Obecné vztah ověřte pomocí programu Oslo remium pro parametr Γ=π a ϕ=π/6, π/4 a 0. Vstupní vlnu uvažujte kruhově polarizovanou. Fázová destička R ϕw0r ϕ Analzátor A Optická osa krstalu ϕ T Matice soustav: Výstupní polarizační stav: I' = J ' + J ' = W S = ropustnost sstému: 1 AR J ' = W W R ϕ 0 [ cos ( Γ / ) + sin ( Γ / ) cos ϕ ] S J ϕ Vstupní polarizace J olarizátor Speciální případ nastavení: 1 ϕ = 0 I' =, π ϕ = I' = 0. 4
Soustava fázové destičk, polarizátoru a analzátoru simulace Oslo remium Zadání parametrů soustav olarizátor propustný ve směru os Otočení o úhel ϕ ůlvlná fázová destička Γ=π Otočení o úhel - ϕ olarizátor propustný ve směru os arametr fázové destičk: Γ = π, ϕ = 0 Vstupní polarizace: 1 1 J = ± i ropustnost sstému: [ cos ( Γ / ) + sin ( Γ / ) cos ] = 0. 5 1 T = ϕ
Soustava fázové destičk, polarizátoru a analzátoru simulace Oslo remium arametr fázové destičk: Γ = π, ϕ = π / 4 Vstupní polarizace: 1 1 J = ± i T ropustnost sstému: [ cos ( Γ / ) + sin ( Γ / ) cos ] = 0 1 = ϕ arametr fázové destičk: Γ = π, ϕ = π / 6 Vstupní polarizace: J = 1 1 ± i ropustnost sstému: T [ cos ( Γ / ) + sin ( Γ / ) cos ] = 0. 15 1 = ϕ
Úloha I.7 Lotův filtr J Schéma Lotova filtru (N=4) W 3 W 4 Výsledná matice N - členného sstému: W = W N K W W 1 Výstupní polarizační stav: FD (8 Γ) J ' = WJ W W 1 W ϕ FD ( Γ) FD (4 Γ) ropustnost N - členného sstému: T N ( Γ / ) sin sin ( Γ / ) = N J olarizátor Fázová destička (zpoždění Γ) Lotův filtr je soustava fázových destiček, které jsou umístěn mezi polarizátor s rovnoběžnými směr propustnosti. Fázové destičk mají rovnoběžné optické os, které se směrem propustnosti polarizátorů svírají úhel ϕ = π/4. Tloušťka fázových destiček se mění tak, že následující destička má dvojnásobnou tloušťku něž předcházející. Má-li ted první fázová destička fázové zpoždění Γ, pak n-tá fázová destička zavádí fázové zpoždění (n-1) Γ.
Lotův filtr simulace Oslo remium Zadání Lotova filtru pro N = 4 arametr: ϕ = p/4 Γ=π/16 R ϕ FD Γ R - ϕ R ϕ FD Γ R - ϕ R ϕ FD 4 Γ R - ϕ R ϕ FD 8 Γ R - ϕ
Lotův filtr výsledk Oslo remium ropustnost Lotova filtru pro N = 4: T sin = 4 sin 4 ( Γ / ) ( Γ / ) = 0.40
Úloha II.1 růchod paprsků Wollastonovým hranolem Wollastonův hranol je tvořen dvěma pravoúhlými hranol vrobenými z jednoosého anizotropního materiálu, kterým je nejčastěji vápenec (n o >n e ). Orientace pravoúhlých hranolů je taková, že optické os prostředí jsou navzájem kolmé. Kolmo na první plochu hranolu dopadá nepolarizovaná rovinná vlna. V hranolu I se polarizační p -složka šíří fázovou rchlostí c/n e, v hranolu II rchlostí. U s složk je situace opačná, v hranolu I má rchlost, v hranolu II rchlost c/n e. Na rozhraní pravoúhlých hranolů ted nastávají pro p - a s složku rozdílné podmínk pro refrakci a dochází k jejich směrové separaci. Vápenec: n o >n e p-složka c/n e Hranol II s-složka c/n e Hranol I Fázové rchlosti p a s složk v jednoosém anizotropním prostředí závisejí na směru šíření vln vzhledem k optické ose krstalu. řiřazení fázových rchlostí polarizačním složkám se dá provést pomocí elipsoidu indeu lomu.
Určení fázových rchlostí normálních polarizačních módů v jednoosém prostředí n e z Optická osa θ Směr šíření světla k X n o Y + n o + Z n e = 1 n e (θ) Inde lomu normálních modů pro směr šíření světla určený úhlem θ: n o, n e (θ) n o Indeová elipsa Speciální případ: θ=0 (šíření podél optické os): n o, n e (0)=n o θ=π/ (šíření kolmo k optické ose): n o, n e (π/)=n e n e 1 ( θ ) cos = n o ( θ ) sin ( θ ) + n e
Simulace průchodu paprsků Wollastonovým hranolem v programu OSLO remium Zadání konstrukčních parametrů Sklon rozhraní pravoúhlých hranolů ravoúhlý hranol I ravoúhlý hranol II Orientace optické os (směr os ) Orientace optické os (směr os ) ropočet mimořádného paprsku ropočet řádného paprsku růchod polarizační p složk Wollastonovým hranolem
růchod paprsků Wollastonovým hranolem v programu OSLO růchod polarizační p složk c/n e Mimořádný paprsek Řádný paprsek růchod polarizační s složk c/n e Řádný paprsek Mimořádný paprsek
Úloha II. růchod paprsků Rochonovým hranolem Rochonův hranol je tvořen dvěma pravoúhlými hranol vrobenými z jednoosého anizotropního materiálu, kterým je nejčastěji vápenec (n o >n e ). Orientace pravoúhlých hranolů je taková, že hranol I má optickou osu rovnoběžnou se směrem dopadající vln, optická osa hranolu II je na směr šíření vstupní vln kolmá. V hranolu I mají ted p i s polarizační složk stejnou fázovou rchlost c/no, v hranolu II se fázová rchlost s složk mění na hodnotu c/n e, rchlost p složk se nemění. Vápenec: n o >n e p-složka Hranol II s-složka c/n e Hranol I
růchod paprsků Rochonovým hranolem v programu OSLO růchod polarizační p složk Řádný paprsek Řádný paprsek růchod polarizační s složk c/n e Řádný paprsek Mimořádný paprsek
Úloha II.3 růchod paprsků Sénarmontovým hranolem Sénarmontův hranol je tvořen dvěma pravoúhlými hranol vrobenými z jednoosého anizotropního materiálu, kterým je nejčastěji vápenec (n o >n e ). Orientace pravoúhlých hranolů je taková, že hranol I má optickou osu rovnoběžnou se směrem dopadající vln, optická osa hranolu II je na směr šíření vstupní vln kolmá. V hranolu I mají ted p i s polarizační složk stejnou fázovou rchlost c/no, v hranolu II se fázová rchlost p složk mění na hodnotu c/n e, rchlost s složk se nemění. Vápenec: n o >n e p-složka Hranol II s-složka Hranol I c/n e
růchod paprsků Sénarmontovým hranolem v programu OSLO růchod polarizační s složk Řádný paprsek Řádný paprsek růchod polarizační p složk c/n e Řádný paprsek Mimořádný paprsek