Inženýrská matematika Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Robert Mařík 12. září 2006
Obsah z = x 4 + y 4 4xy + 30... 3 z = x 2 y 2 x 2 y 2... 18 z = yln(x 2 + y)..... 47
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1]
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] Vypočteme parciální derivace. H(S 3 ) = 16 4 Při derivování 4 16 podle 162 x 16 považujeme > 0,lok.min.vbodě y za konstantu [ 1, a 1] naopak.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hledáme stacionární body.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Toto je soustava, kterou řešíme.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Osamostatníme y z první rovnice.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Dosadíme za y do druhé rovnice.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Upravíme.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Rozložíme na součin.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] Buď H(S 2 ) = 16 x = 4 0,nebo (x 8 1) = 0. 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] Druhýpřípaddává x 8 = 1ax = ±1. H(S 3 ) = 16 4 Uvažujme tedy 4 16 tři 162 různé 16 případy > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1]
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, 4x 3 4y = 0, 4y 3 4x = 0. 4(x 3 ) 3 4x = 0, y = x 3 4x 9 4x = 0, x(x 8 1) = 0. Případ 1: x = 0, y = 0 Případ 2: x = 1, y = 1 Případ 3: x = 1, y = 1 S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x 2, z xy = 4, z yy = 12y 2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 Najdemeodpovídající 4 16 ykekaždému 16 > 0,lok.min.vbodě x(y = x 3 ).Dostávámetři [ 1, 1] stacionární body.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Funkce má tři stacionární body. Kvalitu těchto stacionárních bodů vyšetříme pomocí druhé derivace a Hessiánu.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] VypočtemeHessiánvestacionárnímbodě S 1. Hessiánjezápornýafunkcevtomtoboděnemálokálníextrém.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Vbodě S 2 jehessiánkladnýafunkcezdemálokálníextrém. Protože z xx = 16 > 0,funkcemávbodě S 2lokálníminimum.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hessiánjekladnývbodě S 3 afunkcezdetedymálokálníextrém. Protože z xx = 16 > 0,máfunkcevbodě S 3lokálníminimum.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 4 + y 4 4xy + 30 z x =4x3 4y = 0, z y =4y3 4x = 0, S 1 = [0, 0], S 2 = [1, 1], S 3 = [ 1, 1]. z xx = 12x2, z xy = 4, z yy = 12y2. H(S 1 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0,sedlovbodě [0, 0] H(S 2 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [1, 1] H(S 3 ) = 16 4 4 16 = 162 16 > 0,lok.min.vbodě [ 1, 1] Hotovo!
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Budeme hledat parciální derivace.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Derivujeme nejprve podle x. Derivujeme podle pravidla pro derivaci součtu a konstantního z násobku. xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Vypočteme derivace.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Podobně derivujeme podle y.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 Případ2: y = 1 Případ3: y = 1 2y(0 1) = 0 y = 0 2(x 2 1) = 0 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1 Vypočteme jednotlivé derivace.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x = y2 (x 2 ) x (x2 ) x = y2 2x 2x = 2x(y 2 1) z y = x2 (y 2 ) y (y2 ) y = x2 2y 2y = 2y(x 2 1) z x =2x(y 2 1) = 0; z y =2y(x 2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] Upravíme. z xx = 2(y 2 1)(x) x = 2(y 2 1) 1
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Máme první 2 derivace, 0 které použijeme pro hledání 0 4 stacionárních bodů.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Položíme derivace 2 0 rovny nule. 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Řešíme soustavu z yy = nelineárních 2(x2 1)(y) y rovnic = 2(x2 1) 1 z Začneme xx = 2(y 2 s první rovnicí. 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Tatorovnicejevetvaru součinrovnásenule. 2 0 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy Jedenzesoučinitelůnalevéstraněprvnírovnicemusíbýtnula. z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx Budemezpracovávatodděleněpřípady,kdy = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x x = 2 0a(y 1) 2 1) = 0, t.j., y = ±1. 2 0 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Případ xx = 2(y 2 1. 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dosadíme x = 2 0 0dodruhérovnice. 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Najdeme y.dostávámestacionárníbod 2 0 S 1. 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z PodobněproPřípad xx = 2(y 2 1); z 2. xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dosadíme y = 1dodruhérovnice. 2 0 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Vyřešímevzhledemkx. xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dostávámedvěřešeníatedyidvastacionárníbody. 2 0 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Podobně xx = 2(y 2 Případ 3. 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Dosadíme y = 1dodruhérovnice. 2 0 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 Případ1: x = 0 2y(0 1) = 0 y = 0 Případ2: y = 1 2(x 2 1) = 0 Případ3: y = 1 2(x 2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x2 1)(y) y = 2(x2 1) 1 z Řešíme xx = 2(y 2 kvadratickou 1); z rovnici pro x. xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) Mámedvěřešeníadvadalšístacionárníbody. 2 0 0 4
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Celkem má funkce pět stacionárních bodů. Nyní budeme vyšetřovat H(S 2 ) = 0 4 tyto body pomocí druhé derivace.. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Derivujeme H(S 2 ) = 0 z 4 x podle xaupravíme. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Derivujeme H(S 2 ) = 0 z 4 x podle yaupravíme. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1)(x) x = 2(y2 1) 1 z xy = 2x(y2 1) y = 2x (2y + 0) = 4xy z yy = 2(x 2 1)(y) y = 2(x 2 1) 1 z xx = 2(y 2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x 2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Derivujeme H(S 2 ) = 0 z 4 y podle yaupravíme. = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 Použijeme druhé derivace pro testování stacionárních bodů 4 0 = 16 na < existenci akvalitulokáníhoextrému.začnemebodem S 0 1 avypočtemehessián H(S H(S 3 ) = 0 1 ) 4 = z xx z xy z 4 0 = xy 16 z yy < = 0 2 0 = 4 > 0. 0 2 [x,y]=[0,0] Vbodě S 1 máfunkcelokálnímaximum.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 2 ) = z xx z xy 4 0 = z xy 16 z < yy 0 Vbodě S 2 nenílokálníextrém. [x,y]=[1,1] = 0 4 4 0 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 3 ) = z xx z xy z 4 0 xy = 16 z yy < 0 Vbodě S 3 nenílokálníextrém. [x,y]=[ 1,1] = 0 4 4 0 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 4 ) = z xx z xy 4 0 z = xy 16 z yy < 0 Vbodě S 4 nenílokálníextrém. [x,y]=[1, 1] = 0 4 4 0 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 H(S 5 ) = z xx z xy z xy 4 0 = 16 z yy < 0 Vbodě S 5 nenílokálníextrém. [x,y]=[ 1, 1] = 0 4 4 0 = 16 < 0
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Jedinýlokálníextrémjevbodě S 1 = [0, 0].Jednáseolokální maximum. H(S 3 ) = 0 4 4 0 Ostatní stacionární = 16 body < 0 jsou sedlové body.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = x 2 y 2 x 2 y 2 z x =2x(y2 1) = 0; z y =2y(x2 1) = 0 S 1 = [0, 0]; S 2 = [1, 1]; S 3 = [ 1, 1]; S 4 = [1, 1]; S 5 = [ 1, 1] z xx = 2(y2 1); z xy = 4xy; z yy = 2(x2 1) H(S 1 ) = 2 0 0 2 = 4 > 0 H(S 2 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 4 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 5 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 H(S 3 ) = 0 4 4 0 = 16 < 0 Hotovo!
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] The z ln( ) xx = function 2y(x2 + yields y) 2xy2x restrictions to the z domain xx = 2y2 of 2yx the 2 function.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 lny + y y = 0, y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 ln(x 2 ) = 0 x lny = 1, 2 = e 0 = 1 We find the partial derivatives. y = e 1 Differentiating withx respect = ±1 to x we use theconstantmultiplerule,sinceintheproduct yln(x 2 + y)thefactor y is treated as a constant. The chain S 1 = [0, e 1 S 2 rule = [1, follows, 0] andsince S 3 = the [ 1, function 0]. ln(x 2 + y)isacompositefunctionwithinsidefunction ] (x 2 + y). S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] (yln(x 2 + y)) x = y(ln(x2 + y)) x = y 1 x 2 (2x + 0) + y z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Differentiating with respect to y we use the product rule, since both factors yand ln(x 2 + y)arefunctions(xistreatedasaconstantand yasavariable). z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] To find z xx = stationary 2y(x2 + points y) 2xy2x we put the derivatives z xx = 2y2 equal 2yx to zero. 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. ] S 1 = [0, Wee 1 start ], with the S 2 first(simpler) = [1, 0], equation. S 3 = [ 1, 0] Thefractionequalszeroiffthenumeratoriszero. z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. Toensurethataproductiszero,(atleast)oneofthefactorshas ] S 1 = [0, tobezero. e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] We distinguish two possible cases. z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] We substitute z xx = 2y(x2 x = + 0y) into 2xy2x the second equation z xx = and 2y2 simplify. 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] The z inverse xx = 2y(x2 function + y) to ln 2xy2x function is an exponential z xx = 2y2 function. 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Wehavethestationarypoint S 1 = [0, e 1 ].Wecheckthat S 1 Dom(f). z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = WereturntotheCase2. [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Weput y = 0intotheredequation. z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] Weisolate z xx = 2y(x2 x 2 andsolvefor + y) 2xy2x x. z xx = 2y2 2yx 2
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). Dom(f) = {(x, y) R 2 : x 2 + y > 0} z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x 2 + y) + 2xy = 0 CASE1: x = 0 y x 2 + y = 0 CASE2: y = 0 lny + y y = 0, lny = 1, y = e 1 ln(x 2 ) = 0 x 2 = e 0 = 1 x = ±1 S 1 = [0, e 1 ] S 2 = [1, 0] and S 3 = [ 1, 0]. S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] We have z xx = two 2y(x2 stationary + y) points. 2xy2x We check z that xx = both 2y2 belong 2yx 2 to Dom(f).
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 Uptonowwehavethis. z xy = 2x 3 z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, We will use the second derivative test to recognize, z xy = 2x 3 whether H(S 2 ) = 0 2 a local extremum appears at the stationary points. 2 2 = 4 < 0,
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z xy = 2x 3 H(S 2 ) = 0 2 Wedifferentiate z x withrespectto x.thisgives z xx. 2 2 = 4 < 0,
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z xy = 2x 3 H(S 2 ) = 0 2 Wedifferentiate z x withrespectto y.thisgives z xy. 2 2 = 4 < 0,
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z xy = 2x 3 H(S 2 ) = 0 2 Wedifferentiate z yy withrespectto y.thisgives z yy 2 2. = 4 < 0,
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y(x2 + y) 2xy2x z xy = 2x(x2 + y) 2xy z yy = 1 x 2 + y + x2 + y y (x 2 + y) 2. z xx = 2y2 2yx 2 We z simplify. xy = 2x 3 z xx = 2y2 2yx 2 z xy = 2x 3 z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0,
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z 2x 3 xy = H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0, z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 3 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0. Localminimumat [0, e 1 ].Nootherlocalextremum. We evaluate the hessian at each of the stationary points.
Najdětelokálníextrémyfunkce z = yln(x 2 + y). z x = 2xy x 2 + y = 0, z y = ln(x2 + y) + y x 2 + y = 0 S 1 = [0, e 1 ], S 2 = [1, 0], S 3 = [ 1, 0] z xx = 2y2 2yx 2 H(S 1 ) = 2 0 0 e > 0, z 2x 3 xy = H(S 2 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0, z yy = 1 x 2 + y + x 2 (x 2 + y) 2. H(S 3 ) = 0 2 2 2 = 4 < 0. Localminimumat [0, e 1 ].Nootherlocalextremum. According to the second derivative test we obtain the following conclusion.
Konec