III. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KOSTRUKCÍ 33 Téma: Cesty k uatnění pravděpodobnostního posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí v normativních předpisech a v projekční praxi, 0.4.00 Dům techniky Ostrava ISB 80-0-0489-8 UERICKÝ VÝPOČET PRAVDĚPODOBOSTI UŽITÍ USEKUTÝCH HISTOGRAŮ Abstract Petr Janas a artin Krejsa Direct calculation of probability using numerical solution is discussed in this paper. The attention is turned first to the basic calculation operations with accidental quantities, whose probability of occurrence is expressed by bounded histograms. The way of calculation is detailed presented using basic exames with aying cube and apied in reliability assesment of cross section in steel statically indeterminate anar arch.. Úvod Při posuzování spolehlivosti konstrukcí je patrná snaha používat ve stále větší míře ně pravděpodobnostních metod na úkor metod deterministických, i když i tyto metody dle našeho názoru budou hrát stále svou oprávněnou úlohu. Plně pravděpodobnostní metody jsou schopny podstatně věrohodněji a přirozeněji simulovat vstupy mající nezanedbatelný vliv pro posuzování chování stavebního objektu a jeho spolehlivosti. ají totiž většinou do značné míry náhodný charakter, který jediná deterministicky určená reprezentativní hodnota nemůže často ně charakterizovat. Plně pravděpodobnostní posuzování spolehlivosti stavebních objektů je úloha nelehká nejen z hlediska zajištění souborů potřebných vstupních údajů, ale také z hlediska jejich zpracování. Značně se však urychluje a umožňuje rozvojem výpočetní techniky. Rozvíjí se celá řada metod [], většina z nich je založena na využití simulační techniky onte Carlo. Předložený příspěvek je pokusem předložit alternativní postup ně pravděpodobnostního výpočtu spolehlivosti konstrukce bez využití této techniky.. Výpočet pravděpodobnosti numerickým řešením Postup vychází ze základních pojmů a postupů teorie pravděpodobnosti, z nichž některé z nich si dovolíme připomenout. áhodný jev je jev, který v daných podmínkách může nastat nebo nenastat. Pravděpodobnost je kvantitativním vyjádřením náhodného jevu. Jestliže za určitých podmínek má nastat jeden z n navzájem se vylučujících jevů, přičemž není důvod předpokládat, že některý z nich má větší možnost výskytu než jiný, říkáme, že tyto jevy mají stejnou pravděpodobnost p =. () n Petr Janas, Doc. Ing., CSc., artin Krejsa, Ing., Ph.D., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra stavební mechaniky, Ludvíka Podéště 875, 708 00 Ostrava - Poruba, tel.: (069) 699 308, (069) 699 303, e-mail: petr.janas@vsb.cz, e-mail: martin.krejsa@vsb.cz.
34 Je-li nějaký náhodný jev A důsledkem kteréhokoliv z m jevů při daném počtu n možných jevů (navzájem se vylučujících a stejně pravděpodobných), je pravděpodobností jevu A poměr m p = () n Pravděpodobnost současného výskytu několika jevů se rovná součinu pravděpodobnosti těchto jevů, pravděpodobnost výskytu stejného jevu z několika navzájem se vylučujících jevů se rovná součtu pravděpodobnosti těchto jevů. áhodný charakter veličin vstupujících do výpočtu při posuzování spolehlivostí konstrukcí se často vyjadřuje histogramy vycházejícími z pozorování a měření často i dlouhodobých. Ve vlastním výpočtu se pak dostáváme do situace, kdy se jednotlivé náhodné veličiny vzájemně násobí, dělí, sčítají a odčítají, pokud nejsou potřebné složitější početní úkony. Vzniká tedy potřeba početních operací s náhodnými veličinami, které jsou vyjádřeny histogramy. Tyto operace lze realizovat přímo deterministicky při využití základních principů teorie pravděpodobnosti. Lze to jednoduše dokumentovat na příkladě. Oblíbená kostka o šesti stěnách má na každé stěně jediné číslo a to až 6. Při hodu kostkou je pravděpodobnost, že padne libovolné ze šesti čísel p = = 0,6666. (3) 6 Při druhém hodu kostky, je pravděpodobnost výskytu libovolného čísla stejná a to opět p = 0,6666. Pravděpodobnost současného výskytu dvou libovolných čísel ve dvou hodech po sobě se rovná v daném případě součinu p = p p = = 0,07777. (4) 36 Tuto pravděpodobnost výskytu mají při dvou hodech kostkou všechny libovolné dvojice čísel, které mohou ve dvou po sobě jdoucích hodech padnou. Zajímá-li nás jaký bude pravděpodobný výsledek součtu čísel ze dvou po sobě jdoucích hodů, pak nebude u všech možností stejný, přestože atí výše uvedené pro pravděpodobnost dvojice čísel. Číslo je např.výsledkem součtu +, pravděpodobnost jeho výskytu je p ( ) =, (5) 36 číslo 3 již může být výsledkem součtu + nebo + a pravděpodobnost jeho výskytu je dána součtem pravděpodobností v daném případě dvou navzájem se vylučujících možností tj. p ( 3) = + =. (6) 36 36 36 Obdobně tomu bude při výpočtu pravděpodobnosti výskytu všech ostatních možností výskytu součtu s dvou zcela libovolných čísel z prvního nebo druhého hodu. Součet všech pravděpodobností p s = p(s) =. (7)
35 Obr.: Výpočet pravděpodobnosti součet Obr.: Výpočet pravděpodobnosti - rozdíl aprosto shodným způsobem lze postupovat při součinu, rozdílu a podílu. Histogramem výskytu libovolného možného čísla při hodu kostkou je obdélník o výšce p =. (8) 6 Histogram součtu, rozdílu, součinu a podílu čísel dvou po sobě jdoucích hodech je zřejmý z obrázků, které byly vypočteny programem umožňujícím sčítání (obr.), odčítání (obr.), násobení (obr.3) a dělení (obr.4) dvou libovolných histogramů. Obr.3: Výpočet pravděpodobnosti součin Obr.4: Výpočet pravděpodobnosti - podíl Program, jehož algoritmus je založen na výše uvedených základech teorie pravděpodobnosti, byl vytvořen v programovacím jazyce Borland Delphi 6.0 a zatím byl použit pro řešení několika poměrně jednoduchých příkladů. Jedním z nich je např. součin histogramu, vyjadřujícího pevnost na mezi kluzu f y = 35 Pa ocelových válcovaných průřezů a histogramu s normálovým rozdělením. Výsledný histogram této matematické operace je zobrazen na obr.6 a porovnán s výstupem z programu AntHill, pracujícím metodou SBRA (obr.5).
36 Obr.5: Součin dvou histogramů (program AntHill) Obr.6: Součin dvou histogramů (numerický výpočet)
37 3. Posudek spolehlivosti průřezu Výše uvedené postupy pro matematické operace s histogramy byly rovněž aikovány při posudku spolehlivosti průřezu ve vrcholu oboustranně vetknutého parabolického oblouku, zatíženého ve vrcholu soustavou tří svislých osamělých břemen. Střednice oblouku je definována křivkou s rovnicí: 4. f. x y =.( l x), (9) l kde f je vzepětí oblouku a l rozpětí oblouku (v daném případě je f = 4 m a l = m). Vlastní posudek je proveden s použitím interakčního vzorce: + ve kterém figurují následující proměnné:, (0) 5. l. F = (normálová síla v posuzovaném průřezu) () 64. f 3 =. F. l (ohybový moment v posuzovaném průřezu) () 64 ( A. ) = f y. Avar (astická únosnost průřezu v prostém tlaku) (3) ( W. ) = f y. Wvar (astická únosnost průřezu v ohybu) (4) Proměnná F představuje kombinaci zatížení zmíněných tří osamělých břemen (DL stálé zatížení, SL krátkodobé nahodilé zatížení a LL dlouhodobé nahodilé zatížení), každé z nich je vyjádřeno extrémní hodnotou zatížení a histogramem (DL var, SL var a LL var ), vyjadřujícím jeho variabilitu: F = 00. DL + LL (5) var + 70. SLvar 40. var Průřezové charakteristiky A (průřezová ocha) a W (astický průřezový modul) a napětí na mezi kluzu f y jsou rovněž proměnlivé veličiny (histogramy A var, W var a f y ). V uvedeném demonstračním příkladě byl použit ocelový profil IPE 70 s napětím na mezi kluzu f y = 35 Pa. Veškeré histogramy byly použity z []. Posudek spolehlivosti průřezu byl proveden výpočtem pravděpodobnosti poruchy P f a jejím porovnáním s návrhovou pravděpodobností P d, danou normou ČS 73 40 avrhování ocelových konstrukcí. Pravděpodobnost poruchy byla určena s pomocí funkce spolehlivosti SF, uvedeného tvaru: SF = + (6)
38 Vlastní výpočet pravděpodobnosti P f byl proveden numerickým výpočtem programem, vytvořeným v programovacím jazyce Borland Delphi 6.0. Výsledný graf funkce spolehlivosti a vypočtená pravděpodobnost poruchy je uvedena na obrázku 8. Výstup z programu AntHill, pracující metodou SBRA s použitím simulační techniky onte Carlo, je uveden na obrázku 7. Obr.7: Posudek spolehlivosti průřezu (program AntHill) Obr.8: Posudek spolehlivosti průřezu (numerický výpočet) Závěr Výpočetní postup pro numerické řešení pravděpodobnosti aikující matematické operace s histogramy je dle prvních zkušeností velice efektivní. Strojový čas výpočtu dosahuje minimálních hodnot, neboť na rozdíl od metody onte Carlo odpadá nutnost generování náhodných čísel a množství početních operací se podstatně snižuje. Vypočtená hodnota pravděpodobnosti je z daných vstupních dat určena relativně velmi přesně. Výpočet může být ovlivněn pouze chybou vyývající ze zvoleného počtu intervalů histogramů a z limitovaného počtu údajů, uváděných pro všechny intervaly. Operace s histogramy umožňující přímý numerický výpočet pravděpodobnosti může být po dalším rozpracování významným kvalitativním krokem při určování spolehlivosti systémů. Oznámení Příspěvek byl vypracován v rámci výzkumu spolehlivosti konstrukcí na ÚTA AV ČR Praha a na FaSt VŠB TU Ostrava (projekt Grantové Agentury ČR č. 03/0/40 a 05/0/0783). Literatura [] Bronštejn, I.., Semenďajev, K.A.: Příručka matematiky pre inžinierov a pre študujúcich na vysokých školách technických, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, n.p., Bratislava 963. [] arek, P., Guštar,., Anagnos, T.: Simulation-Based Reliability Assessment for Structural Engineers, CRC Press Inc., Boca Raton, 995, ISB 0-8493-886-6.