VÝZKUMNÉ STRATEGIE PŘI ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ JAN KOPKA Katedra matematiky, Pedagogická fakulta, UJEP, České mládeže 8, 400 96 Ústí nad Labem, Česká republika e-mail: Kopkaj@pf.ujep.cz Abstract: KOPKA, J.: Investigative Strategies for Problem Solving. Induktívne a deduktívne prístupy v matematike, 2005, pp. 145 149. Investigation is not only a method for a teacher to use in teaching mathematics, but also for a student to use in learning the subject. Thus, this book is for both teachers and students. The book has a practical character. We wish to demonstrate the method of investigation to teachers and to help them see school mathematics from this perspective. To this end, we present many investigated situations and also many problems solved in detail. We feel that the situations and problems we present can help the student to learn and appreciate the true nature of mathematics and indeed, begin investigations of his own. Key Words: investigative strategies, problem solving Kniha Výzkumný přístup při výuce matematiky, z níž budu uvádět příklady, je volným pokračováním knihy Hrozny problémů ve výuce matematiky. Nejprve jsou zde vysvětleny pojmy heuristické strategie, přičemž hlavní pozornost je věnovaná strategiím výzkumným. Dále je objaněno, co autor rozumí pod pojmem výzkumný přístup při výuce. Potom je uvedena řada problémů, při jejichž řešení je možné s výhodou tyto výzkumné strategie využít. V poslední kapitole jsou zkoumány různé matematické situace. Výsledkem tohoto zkoumání je obvykle hypotéza. Po provedení důkazu je tato hypotéza přejmenována na větu. Kniha je psána pro didaktiky, učitele, ale i studenty. Výzkumný přístup by jim měl pomocí dostatečného počtu konkrétních příkladů přejít do krve a měli by tak začít vidět školskou matematiku právě z tohoto hlediska. Zdůrazněme, že výzkumný přístup je jedna z metod, jak matematiku učit, ale je to také metoda, jak se matematiku učit. Náplní tohoto článku je ukázat výzkumné strategie a to na příkladech, které lze využít na prvním stupni ZŠ. Problém 1: Farmář pěstuje zelí vždy na čtvercovém záhonu. Tento rok obsahuje jeho čtvercový záhon o 23 hlávek zelí více než loňský rok. Kolik hlávek zelí pěstuje letos? Řešení: a) Strategie Systematické experimentování Počet hlávek zelí v každém roce je vyjádřen čtvercovým číslem, tj. některým z čísel 1, 4, 9, 16, (viz obr. 1).... Obr. 1 Tento rok farmář pěstuje o 23 hlávek zelí více, tzn. letošní počet odpovídá čtvercovému číslu o 23 většímu než vloni. Budeme tedy experimentovat. V letošním roce může být počet 145
1 + 23 = 24, 4 + 23 = 27, 9 + 23 = 32,.. Aby zkoumaná čísla byla přehledně zapsána, sestavíme z nich tabulku: vloni 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 letos 24 27 32 39 48 59 72 87 104 123 144 167 nejsou čtvercová je č. není č. Nyní budeme zkoumat druhý řádek tabulky. Protože 144 je čtvercové číslo, neboť 144 = 12 2, našli jsme jedno řešení. Další řešení neexistují, protože diference mezi čtvercovými čísly se stále zvětšuje, a tedy již nikdy nebude 23 (Lze ukázat opět pomocí zkoumání a následného důkazu, že diference tvoří posloupnost za sebou jdoucích lichých čísel 3, 5, 7, ). Odpověď: V letošním roce pěstuje farmář 144 hlávek zelí. b) Strategie Grafické znázornění neboli geometrická cesta. Řešení bude reprezetováno následujícími čtyřmi čtverci (viz obr. 2): Čtverec A Čtverec B Čtverec C Čtverec D Obr. 2 Čtverec A představuje záhon v loňském roce. Protože nevíme, kolik hlávek obsahoval, nevyplníme ho. Čtverec B představuje rozšířený záhon v letošním roce. Jako znázornění cílového stavu jej také nevyplníme. Další dva čtverce můžeme nazvat pracovní. Do rozšíření čtverce C doplníme vhodným způsobem hlávky zelí, které jsou navíc. Po všech možných pokusech (experimentování) zjistíme, že to lze jediným způsobem: 23 = 11 + 11 + 1 (viz obr. 4). Nyní můžeme doplnit celý čtverec D a získáme tak odpověď na předloženou otázku (odpověď viz výše). 11 1 C D 11 11 11 Obr. 3 c) Strategie Algebraická cesta Označíme x 2 počet hlávek zelí tento rok a y 2 počet hlávek v minulém roce. Pak můžeme sestavit rovnici x 2 y 2 = 23. Levou stranu lze rozložit a tak dostaneme (x + y)(x y) = 23. 146
Čísla x + y a x y jsou přirozená a číslo x + y je větší než x y. Číslo 23 je prvočíslo a má pouze dva dělitele: 1 a 23. Proto můžeme sestavit soustavu rovnic: x + y = 23 x y = 1 Řešením této soustavy dostaneme [x, y] = [12, 11]. (Odpověď viz výše.) Na závěr řešení problému 1: Uvedená tři řešení představují vlastně tři různé přístupy: a) experimentální (také bychom mohli říci numerický nebo aritmetický), b) geometrický a c) algebraický. Při řešení a) lze také využít kalkulátor. Každé z těchto řešení navíc ukazuje jinou heuristickou strategii. Řešení a) představuje systematické experimentování vedoucí k vytvoření tabulky, kterou následně zkoumáme. Řešení b) ukazuje využití grafického znázornění (i v průběhu tohoto řešení experimentujeme) a řešení c) modelování situace pomocí rovnice. Zatím co první dvě strategie představují velmi konkrétní nástroje, je poslední strategie mnohem abstraktnější nástroj. Zde již student musí znát příslušné partie z algebry. Pokud jsme vyřešili problém 1 říkejme mu základní, můžeme začít vytvářet další problémy, které s ním souvisejí. Tímto způsobem vznikne hrozen. Jak tyto problémy vytváříme? Např. takto: a) Změníme numerické zadání, tzn. změníme číslo, jímž se liší počet hlávek v letošním a v loňském roce. Tento rozdíl bude např. 7 nebo 40 nebo 11. Pokud zvolíme např. číslo 22, problém nebude mít řešení 6. b) Změníme tvar záhonů. Záhony budou tvořit např. rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky (jim odpovídají tzv. trojúhelníková čísla) nebo obdélníky určitého typu (jim odpovídají určitá obdélníková čísla) atd. c) Změníme počet záhonů. Zelí může být pěstováno na dvou nebo i více záhonech. Řekněme ještě, že každý problém má v sobě parametry, jejichž nahrazením jinou hodnotou dostáváme nové problémy tvořící náš hrozen. Je velmi cenné, když do tvorby těchto nových problémů vtáhneme i studenty. Je to však dlouhodobá záležitost. Ve školské praxi nemusí být vytvářený hrozen příliš velký. Ještě bychom měli zdůraznit, že při vytváření nových problémů určitého hroznu začínáme používat obecnou výzkumnou strategii neakceptování daného. Základní problém totiž začínáme měnit. Problém 2: Prasata a slepice Tentýž farmář jako v předchozím problému jednou vyhlédl z okna na dvorek. A protože jeho dcera potřebovala procvičování v matematice, povídá jí po chvilce: Na dvorku jsou pouze prasata a slepice. Napočítal jsem tam 23 hlav a 76 nohou. Můžeš mi říci, kolik je tam prasat a kolik slepic? Řešení: a) Strategie Pokus a omyl Řeší-li žák úlohu pomocí této strategie, může zápis jeho řešení vypadat následovně: 10.4 = 40 12.4 = 48 18.4 = 72 17.4 = 68 15.4 = 60 13.2 = 26 11.2 = 22 5.2 = 10 6.2 = 12 8.2 = 16 66 70 82 80 76 Žák volí zcela náhodně počet prasat a slepic, ale tak, aby jich bylo dohromady 23 (23 hlav). Pak počítá, kolik nohou jeho volbě odpovídá. Pokud se mu podaří dostat 76 nohou, získal jedno možné řešení. Odpověď: Na dvorku je 15 prasat a 8 slepic. Je to nejjednodušší možná metoda, ale nemusí vést rychle k nalezení řešení nebo nemusí vést k nalezení řešení vůbec. 6 Více o počtu řešení viz knížka [2]. 147
b) Strategie Odhad-ověření-oprava Při této strategii můžeme naše odhady zaznamenávat do tabulky (viz tab. 1). Tato tabulka nám pak může pomoci odhalit zákonitost, která povede k řešení. K tomu je vhodný právě poslední pracovní sloupec, který v našem případě ukazuje, jak se při změnách počtu jednotlivých druhů zvířat mění počty nohou. Součet čísel v prvních dvou sloupcích dává 23. Tyto počty zvířat měníme tak, aby se počty nohou ve třetím sloupci co nejrychleji dostaly na číslo 76. Tato strategie je v určitém smyslu zdokonalením strategie předchozí. Při experimentování se snažíme objevit zákonitost, která nám umožní dostat se co nejrychleji k řešení. Počet prasat Počet slepic Počet všech nohou Rozdíly První odhad 9 14 64 Druhý odhad 10 13 66 +2 Třetí odhad 12 11 70 +4 Čtvrtý odhad 15 8 76 +6 Tab. 1 c) Strategie Vytvoření náčrtku neboli geometrická cesta Načrtnutí obrázku obvykle umožní vhled do problematiky a také může umožnit nalezení řešení. Můžeme postupovat např. tak, že si načrtneme 23 oválků odpovídajících počtu zvířat na dvoře a u každého zakreslíme 2 nohy. Pak dokreslujeme k zvířatům po dvou nohách (tím nahrazuje slepice prasaty) tak dlouho, až splníme požadavek, že nohou je 76. Získané řešení je znázorněno na obr. 4. Takovéto řešení vyhovuje především mladším dětem, zvláště, když zadaná čísla jsou malá. Obr. 4. Pokročilejší fáze tohoto přístupu by mohla vypadat následovně: 23.2 nohy je 46 nohou, zbývá 30, které v párech mohu přikreslit 15-ti zvířatům. Tady vycházíme z obrázkového řešení, ale obrázek si jen představujeme a při tom počítáme. d) Strategie Algebraická cesta Jestliže počet prasat označíme p a počet slepic s, pak můžeme sestavit následující soustavu rovnic p + s = 23 4p + 2s = 76. Vyřešením této soustavy dostaneme [p, s] = [15, 8]. Obě první metody představují výzkumný přístup k řešení problému. Grafické řešení může podstatně přispět k vytvoření dobrého vhledu do problému a také dokonce vede k vyřešení. Je to velmi názorný a konkrétní nástroj. I toto řešení v sobě zahrnuje experimentování dokonce systematické. Algebraické řešení je opět abstraktnější nástroj než řešení předchozí. Po vyřešení problému 2 je velmi vhodné žákům zadat problémy, které se dají řešit obdobně. Tyto problémy pak spolu se základním problémem tvoří hrozen problémů. Ukažme několik takovýchto problémů: Při jejich řešení vystoupí do popředí strategie, o nichž jsme právě hovořili. 148
Problém 3: Farmář se dívá z okna a vidí prasata a slepice. Říká dceři: Napočítal jsem 169 hlav a 398 nohou. Kolik je prasat a kolik slepic? (Nejjednodušší obměnou základního problému je pouhá změna numerického zadání, tzn. počtu hlav a nohou.) Problém 4: Marťanský farmář se dívá z okna a vidí na dvoře trojnožky a pětinožky. Povídá svému synovi: Napočítal jsem 97 hlav a 436 nohou. Kolik je trojnožek a kolik pětinožek? (Další obměna základního problému se týká i počtu nohou u jednotlivých druhů zvířat.) Problém 5: V prodejně jízdních kol mají kola a tříkolky. Dohromady mají 32 sedel a 72 kol (ráfků). Kolik je v prodejně jízdních kol a kolik tříkolek? (Podstatně jsme změnili obsah.) Problém 6: Na koncert bylo prodáno 600 lístků a utržilo se 22 500 Kč. Lístky stály 20 a 50 korun. Kolik kterých prodali? (Opět jsme změnili obsah problému.) Problém 7: Na planetě Drakon žijí draci a drahouši. Drak má 7 hlav a 5 nohou a drahouš 3 hlavy a 6 nohou. Astronauti na planině napočítali 135 hlav a 155 nohou. Kolik draků a kolik drahoušů astronauti viděli? Problém 7 např. vytvořili žáci 9. třídy při jednom našem experimentu. Závěr Ukázali jsme, že exituje celá řada strategií, jak řešit problémy. Mezi nimi by měly zaujímat významné místo právě výzkumné strategie, a to i na 1. stupni ZŠ. Literatúra [1] KOPKA, J.: Hrozny problémů ve školské matematice, Acta Universitatis UJEP Ústí nad Labem, 1999; [2] KOPKA, J.: Výzkumný přístup při výuce matematiky, Acta Universitatis UJEP Ústí nad Labem, 2004. 149