Geometrie v rovině 2

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006

Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7 Klíčováslova... 7 Trojúhelník.... 7 Lomenáčára... 15 N-úhelník(mnohoúhelník)... 18 Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník)... 20 Pravidelný n-úhelník... 24 Čtyřúhelník... 25 Konvexníčtyřúhelník... 26 Řešenépříklady.... 33 Neřešenépříklady... 35 Výsledky.... 37 2 Kružnice, kruh 41 Klíčováslova... 41 Kružnice.... 41 Úhlyvkružnici... 42 Vzájemnápolohapřímkyakružnice... 46 Vzájemnápolohadvoukružnic... 48 Kruh.... 52 Řešenépříklady.... 52 Neřešenépříklady... 56 Výsledky.... 59 Závěr 63 Literatura 65 3

Geometrie v rovině 2 5 Úvod Tento distanční text volně navazuje na distanční text Geometrie v rovině 1, který zpracovával teorii a její aplikace v rámci tematických celků přímka a její části(úsečka, polopřímka), polorovina, konvexní množina bodů a úhel, a to včetně stručného přehledu polohových vlastností daných geometrických útvarů. Specifickou kapitolou v rámci této struktury byla kapitola zabývající se porovnáváním, sčítáním, odčítáním a násobením úseček a úhlů. V předloženém distančním textu zavedeme pojmy trojúhelník, lomená čára, n- úhelník(mnohoúhelník), kružnice, kruh a budeme zkoumat vzájemnou polohu těchto útvarů. Tento text spolu s textem Geometrie v rovině 1 tvoří ucelený přehled geometrie v rovině pokrývající potřeby budoucího učitele geometrie v dané tematické oblasti. Se zahrnutím didaktiky geometrie příslušného stupně pokrývají tyto dva texty potřebné znalosti a dovednosti, které v profilují budoucího učitele geometrie pro primární vzdělávání. VcelémtextujsemsestejnějakovtextuGeometrie1snažilavyhýbatproblematice míry geometrických útvarů, pokud to nebylo nutné nebo se mi to nejevilo efektivní pro další studium(např. kružnici a kruh zavádím prioritně užitím středu a úsečky, nikoli velikosti poloměru). Všechny kapitoly textu mají stejnou strukturu, na kterou jste si zvykli během studia textu Geometrie v rovině 1, tedy připomínám: stručný průvodce kapitolou vás uvede do její teoretické problematiky a seznámí s jejím obsahem, klíčová slova vám budou nápomocna při vytváření logické osnovy teorie v kapitole obsažené. Poté následují jednotlivé podkapitoly, které definují spolu související pojmy a vyslovují k nim příslušné věty a tvrzení. Tyto podkapitoly obsahují komentář, který vám podle mých několikaletých zkušeností s výukou daného tématu v daném studijním oboru pomůže konkrétní definici, větu nebo tvrzení pochopit ve všech jeho aspektech. Pro vaši kontrolu je každá podkapitola uzavřena souborem otázek. Doporučuji vám pečlivě se těmito otázkami zabývat- může se stát, že vlastní nalezení odpovědi, byť s využitím předchozí teorie, bude časově náročné, ale jen tak získáte velmi důležitou zpětnou vazbu, zda můžete ve studiu textu pokračovat dále. Tyto otázky nahrazují dotazy, které při kontaktní výuce na nažším stupni vzdělání vyslovoval učitel, přičemž zabezpečoval, aby studenti v případě naznalostí většího rozsahu nepokračovali

6 Úvod dále. Obdobným testem vlastních znalostí a dovedností, a zejména jejich aplikací, pro vás budou dva soubory příkladů, které jsou zařazeny jako poslední dvě podkapitoly každé kapitoly. Řešené příklady obsahují typové úlohy s návody řešení, neřešené příklady pak úlohy s výsledky. Znovu apeluji na vaši vůli příklady individuálně řešit, důkladně promýšlet alternativy postupu a snažit se najít řešení(nikoli listováním dozadu směrem k výsledkům, ale vždy dopředu směrem k teorii a jejímu vysvětlení). I nyní obsahuje celý text relativně velké množství obrázků, které dokumentují popisované situace jak v teorii tak v zadání příkladů. Ale i nyní doporučuji precizně pracovat s náčrty, neboť geometrie pracuje se znázorněním prostoru a jeho částí- schopnost zhotovit vhodný náčrt vám pomůže nejen správně pochopit zadání úloh a kontrolovat výsledek jejich výsledky, ale i získat dovednost připravovat vhodné náčrty tolik potřebné ve vaší budoucí pedagogické praxi. Renáta Vávrová

Geometrie v rovině 2 7 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Tato poměrně rozsáhlá kapitola je věnována n-úhelníkům(mnohoúhelníkům), jejichž znalost je významnou součástí geometrických znalostí, a to již od prvního stupně základní školy. Zřejmě nebudeme mít problém s vysvětlením pojmů trojúhelník nebo čtyřúhelník, ale vymezit přesně tyto pojmy by nám bez přípravy již mohlo činit potíže stejně, jako vymezení dalších n-úhelníků nebo popis jejich prvků, vlastností a jejich klasifikace. Navíc zavedeme pojem lomená čára, který budeme nutně potřebovat pro definici nekonvexního n-úhelníka. Klíčová slova: trojúhelník, základní prvky trojúhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly), další prvky trojúhelníka(vnější úhly, těžnice, těžiště, výšky, ortocentrum, střední příčky), klasifikace trojúhelníků(podle stran, podle vnitřních úhlů), lomená čára, jednoduchá a nejednoduchá lomená čára, uzavřená a otevřená lomená čára, n-úhelník, základní prvky n-úhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly, úhlopříčky), další prvky n-úhelníka(vnější úhly). 1.1 Trojúhelník. Pojem trojúhelník můžeme definovat více způsoby, např. jako průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů, jako n-úhelník pro n = 3. Definice 1.1.(Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, CAB, BCA.(Viz obr. 5.1a.) Definice 1.2.(Trojúhelník) Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABC nazveme sjednocení úseček AX, kde X je libovolný bod úsečky BC(bod Xprobíháúsečku BC).(Vizobr.5.1b.) Obrázek 1.1

8 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Body A, B, C se nazývají vrcholy trojúhelníka, úsečky AB, BC, AC se nazývají strany trojúhelníka, konvexní úhly ABC, BCA, CAB se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům trojúhelníka se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Symbolický zápis: Slovní vyjádření trojúhelník ABC zapisujeme symbolicky ABC. Strany trojúhelníka ABC můžeme pojmenovat podle protilehlého vrcholu a,b,c(naprotivrcholu Astrana a,naprotivrcholu B strana batd.), vnitřní úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ(naproti vrcholu A vnitřní úhel α, naproti vrcholu B vnitřní úhel β atd.), vnější úhly trojúhelníka ABC většinou α, β, γ (vedlejšíkúhlu αúhel α,vedlejšíkúhlu βúhel β atd.).(viz obr.5.2.) V grafickém znázornění trojúhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí v kladném smyslu obíhání(proti směru hodinových ručiček). Obrázek 1.2 Věta 1.1.(Trojúhelníková nerovnost) Grafický součet kterýchkoli dvou stran každého trojúhelníka je větší než strana třetí. Věta 1.2. Grafický součet všech vnitřních úhlů každého trojúhelníka je úhel přímý. Věta 1.3. Kterýkoli vnější úhel každého trojúhelníka je roven grafickému součtu protějších vnitřních úhlů. Věta 1.4. V každém trojúhelníku leží proti větší straně větší vnitřní úhel. Proti většímu vnitřnímu úhlu větší strana. Definice 1.3.(Těžnice trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Těžnicí trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhel-

Geometrie v rovině 2 9 níka a střed protější strany. Symbolickýzápis: t a,t b,t c (těžnicepříslušnástraně a,těžnicepříslušnástraně batd.). Všechny tři těžnice trojúhelníka se protínají v jediném bodě, tzv. těžiště trojúhelníka.značíme T.Těžištědělítěžnicivpoměru2:1(dvadílyodvrcholu ajedendílodstředustrany). Na obrázku 5.3a jsou znázorněny těžnice a těžiště ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.3b tupoúhlého trojúhelníka. Obrázek 1.3 Dokážeme sestrojit těžnice a těžiště pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že těžiště libovolného(ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Definice 1.4. (Střední příčka trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Střední příčkou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou středy jeho dvou stran. Symbolickýzápis: s a,s b,s c (střednípříčkapříslušnástraně a,střednípříčka příslušná straně b atd.). Každá střední příčka každého trojúhelníka je rovnoběžná s tou stranou trojúhelníka, jejíž střed není jejím krajním bodem. Tato strana je rovna dvojnásobku příslušné střední příčky. Na obrázku 5.4a jsou znázorněny střední příčky ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.4b tupoúhlého trojúhelníka.

10 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Obrázek 1.4 Definice 1.5.(Výška trojúhelníka) Nechť je dán trojúhelník ABC. Výškou trojúhelníka nazveme úsečku, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími dvěma vrcholy. Symbolickýzápis: v a,v b,v c (výškapříslušnástraně a,výškapříslušnástraně b atd.). Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníka, se protínají v jediném bodě, tzv. ortocentrum trojúhelníka. Značíme O. Na obrázku 5.5a jsou znázorněny výšky a ortocentrum ostroúhlého trojúhelníka, na obrázku 5.5b tupoúhlého trojúhelníka. Obrázek 1.5

Geometrie v rovině 2 11 Dokážeme sestrojit výšky a ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka? Jaká bude jejich poloha vzhledem k danému trojúhelníku? Je pravda, že ortocentrum libovolného(ostroúhlého, pravoúhlého i tupoúhlého trojúhelníka) je vždy bodem daného trojúhelníka? Každému trojúhelníku lze vepsat i opsat kružnici. Budeme pracovat s pojmy osaúsečkyaosaúhlu. Věta 1.5.(Kružnice trojúhelníku opsaná) Osy všech tří stran každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku opsané. Značíme k(s O ;r). Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice opsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku. Obrázek 1.6 Dokážeme sestrojit kružnici opsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice opsané libovolnému trojúhelníku(ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Věta 1.6.(Kružnice trojúhelníku vepsaná) Osy všech tří vnitřních úhlů každého trojúhelníka se protínají v jediném bodě, a to ve středu kružnice tomuto trojúhelníku vepsané. Značíme k(s V ;ρ).

12 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Na obrázku 5.6a jsou znázorněna kružnice vepsaná ostroúhlému trojúhelníku, na obrázku 5.6b tupoúhlému trojúhelníku. Obrázek 1.7 Dokážeme sestrojit kružnici vepsanou pravoúhlému trojúhelníku? Je pravda, že střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku(ostroúhlému, pravoúhlému i tupoúhlému trojúhelníku) je vždy bodem daného trojúhelníka? Trojúhelníky dělíme na základě dvou kritérií, a to jednak podle jejich stran a jednak podle jejich vnitřních úhlů. 1. Klasifikace trojúhelníků podle stran: a) trojúhelníky rovnoramenné: alespoň dvě strany jsou shodné, trojúhelníky rovnostranné: všechny tři strany jsou shodné, trojúhelníky nerovnostranné: právě dvě strany jsou shodné, b) trojúhelníky nerovnoramenné: žádné dvě strany nejsou shodné. 2. Klasifikace trojúhelníků podle vnitřních úhlů: a) trojúhelníky pravoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je pravý, b) trojúhelníky kosoúhlé: všechny vnitřní úhly jsou kosé(ostré nebo tupé), trojúhelníky ostroúhlé: všechny vnitřní úhly jsou ostré, trojúhelníky tupoúhlé: právě jeden vnitřní úhel je tupý. V tuto chvíli bychom měli umět zavést pojem trojúhelník, a to různými způsoby (jako průnik polorovin, jako sjednocení úseček), měli bychom dokázat popsat

Geometrie v rovině 2 13 základní prvky trojúhelníka(vrcholy, strany, vnitřní úhly) a popsat a sestrojit další jeho prvky(vnější úhly, výšky, těžnice a střední příčky daného trojúhelníka, těžiště a ortocentrum), danému trojúhelníku bychom měli umět vepsat i opsat kružnici. Množinu všech trojúhelníků bychom měli dokázat rozdělit podle stran a podle vnitřních úhlů. Pro jistotu, že jsme správně porozuměli problematice související s pojmem trojúhelník, odpovíme na následující otázky. Nápovědou nám mohou být grafická znázornění. 1. Platí pro každý trojúhelník, že podmnožinami tohoto trojúhelníka jsou všechny jeho: a) těžnice, b) střední příčky, c) výšky? 2. Platí pro každý trojúhelník, že body tohoto trojúhelníka jsou jeho: a) těžiště, b) ortocentrum? 3. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce jeho: a) těžnic, těžiště, b) středních příček, c) výšek, ortocentra. 4. Platí pro každý trojúhelník, že bodem tohoto trojúhelníka je střed kružnice tomuto trojúhelníku: a) opsané, b) vepsané? 5. Je dán trojúhelník ABC. Symbolicky zapište popis konstrukce kružnice tomuto trojúhelníku: a) vepsané, b) opsané. 6. Je každý rovnoramenný trojúhelník zároveň rovnostranný?

14 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 7. Je každý rovnostranný trojúhelník zároveň rovnoramenný? 8. Nechť R je množina všech rovnoramenných trojúhelníků, S množina všech rovnostranných trojúhelníků. Určete: a) R S, b) R S. 9. Nechť O je množina všech ostroúhlých trojúhelníků, T množina všech tupoúhlých trojúhelníků, P množina všech pravoúhlých trojúhelníků. Určete: a)(t O) P, b)(t O) P, c)(t O) P. 10. Umíme definovat trojúhelník jako průnik polorovin a jako sjednocení úseček. Pokusme se definovat trojúhelník jako průnik konvexních úhlů. Formulujte definici(opravdu se pokuste nejprve přemýšlet a svůj nápad zapište, výsledky poslouží jen ke kontrole). Měli bychom odpovědět: 1-a)ANO,b)ANO,c)ANO(těžnice,střednípříčkyavýškyjsouvždy podmnožinami daného trojúhelníka), 2- a) ANO, b) NE(ortocentrum tupoúhlého trojúhelníka není nikdy jeho bodem, ortocentrum ostroúhlého a pravoúhlého trojúhelníka je vždy jeho bodem- ortocentrum pravoúhlého trojúhelníkasplývásvrcholemjehopravéhoúhlu),4-a)ne(středkružniceopsané tupoúhlému trojúhelníku není nikdy jeho bodem, střed kružnice opsané ostroúhlému a pravoúhlému trojúhelníku je vždy jeho bodem- střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku splývá se středem jeho přepony), b) ANO, 6-a)NE,b)ANO,8-a) R S= R,b) R S= S,9-a)(T O) P=,b) (T O) P= P,(T O) P= T,10- Nechťjsoudánynekolineárníbody A, B, C. Trojúhelníkem nazveme průnik konvexních úhlů ABC, BCA, BAC, tedy ABC= <) ABC <) BCA <) BAC. Pokud jsme neudělali žádnou chybu, pak jsme základní teorii podkapitoly Trojúhelník úspěšně zvládli a můžeme pokračovat ve studiu podkapitoly Lomená čára. Pokud jsme však někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení pokračovat dále nebudeme.

Geometrie v rovině 2 15 1.2 Lomená čára. Pojem lomená čára budeme definovat jako sjednocení úseček, pro které platí určité vlastnosti. Definice 1.6. (Lomená čára) Lomenou čárou A 0 A 1 A 2...A n 1 A n (pro n 2)nazvemesjednoceníúseček A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n, znichžkaždédvěsousednímajíspolečnýpouzekrajníbodaneležívtéže přímce.(viz obr. 5.8.) Body A 0,A 1,A 2,...A n 1,A n budeme nazývat vrcholy lomené čáry, úsečky A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n budemenazývatstranylomenéčáry. Slovnívyjádřenílomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n budemesymbolickyzapisovat A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tedynaopakkaždou n-ticivelkýchtiskacíchpísmen A 0 A 1 A 2...A n 1 A n neoddělených čárkou musíme přečíst lomená čára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n. Definice1.7.(Uzavřenálomenáčára) Nechťjedánalomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tatolomenáčárasenazýváuzavřenálomenáčára,právěkdyž jejívrcholy A 0 a A n splynou.(vizobr.5.8a.) Lomená čára, která není uzavřená, se nazývá otevřená lomená čára.(viz obr. 5.8b.) Obrázek 1.8 Definice 1.8. (Jednoduchá lomená čára) Nechť je dána lomená čára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n.tatolomenáčárasenazývájednoduchálomenáčára,

16 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník právě když žádné dvě její nesousední strany nemají společný bod.(viz obr. 5.8.) Nyní rozumíme pojmu lomená čára a umíme určit, kdy je lomená čára uzavřená a kdy otevřená, kdy je lomená čára jednoduchá a kdy jednoduchá není. Znalosti pojmů souvisejících s pojmem lomená čára budeme potřebovat při zavedení pojmu mnohoúhelník a dalších pojmů s ním souvisejících. Následujícími úkoly prověříme, zda jsme textu dostatečně porozuměli. 1)Načrtnětepříkladlomenéčáry A 0 A 1 A 2 A 3 A 4,kteráje: a) jednoduchá uzavřená, b) nejednoduchá uzavřená, c) jednoduchá otevřená, d) nejednoduchá otevřená. 2 Jsou pravdivé následující výroky? a)každálomenáčárajevmnožině E 2 konvexní. b)existujealespoňjednalomenáčára,kterájevmnožině E 2 konvexní. c)žádnálomenáčáranenívmnožině E 2 konvexní. d) Každá jednoduchá lomená čára je otevřená. e) Existuje alespoň jedna jednoduchá lomená čára, která je otevřená. f) Žádná jednoduchá lomená čára není otevřená. g)každálomenáčáramáalespoň3vrcholy. h) Dvě nesousední strany každé lomené čáry mají nejvýše jeden společný bod. 3) Jsou geometrické útvary zobrazené na obrázku 5.9 lomené čáry? Pokud ano,pakpopištejejichvrcholyaurčete,ojakélomenéčárysejedná (otevřená x uzavřená, jednoduchá x nejednoduchá). Měli bychom odpovědět: 1-Např.vizobrázek5.10,2-a)NE,b)NE,c)ANO,d)NE,e)ANO,f)NE, g)ano,h)ano,3-a)ano(uzavřenánejednoduchá),b)ano(otevřená nejednoduchá, c) ANO(uzavřená jednoduchá), d) NE(popis vrcholů např. viz obrázek 5.11).

Geometrie v rovině 2 17 Obrázek 1.9 Obrázek 1.10 Obrázek 1.11

18 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Pokud jsme nechybovali, pak jsme základní teorii podkapitoly Lomená čára úspěšně zvládli. Pokud jsme někde zaváhali, znovu si přečteme, načrtneme a promyslíme příslušnou část teorie. Bez úplného pochopení nebudeme pokračovat dále. 1.3 N-úhelník(mnohoúhelník). Pro zavedení pojmu n-úhelník budeme potřebovat dosud nedefinovaný pojem vnitřní oblast. Tento pojem zavedeme nyní pouze intuitivně(pomocí grafickéhonázoru),detailněsesnímseznámímevjinémtextu,kterýsevěnuje problematice míry geometrických útvarů. Definice 1.9. (N-úhelník (mnohoúhelník)) Nechť je dána jednoduchá uzavřenálomenáčára A 0 A 1 A 2...A n 1 A n pro n 3. N-úhelníkem(mnohoúhelníkem) A 1 A 2...A n 1 A n nazvemesjednocenítétolomenéčáryajejívnitřní oblasti.(viz obr. 5.12.) Vrcholylomenéčáry A 0,A 1,A 2,...A n 1,A n senazývajívrcholy n-úhelníka, stranylomenéčáry A 0 A 1,A 1 A 2,A 2 A 3,...,A n 2 A n 1,A n 1 A n senazývajístrany n-úhelníka,konvexníúhly A 0 A 1 A 2,A 1 A 2 A 3,...,A n 2 A n 1 A n senazývají vnitřní úhly n-úhelníka, úhly vedlejší k vnitřním úhlům n-úhelníka se nazývají vnější úhly n-úhelníka. V grafickém znázornění n-úhelníka popisujeme vrcholy v abecedním pořadí, resp. číselném pořadí, v kladném smyslu obíhání(proti směru hodinových ručiček).(viz obr. 5.12.) Obrázek 1.12 Pojem trojúhelník, který jsme zaváděli v předchozí podkapitole, je tedy možné chápatijako n-úhelníkpro n=3.kjižznámýmtřemdefinicímtrojúhelníka (průnik polorovin, sjednocení úseček, průnik konvexních úhlů) tak přibývá

Geometrie v rovině 2 19 definice čtvrtá: Nechť jsou dány nekolineární body A, B, C. Trojúhelníkem ABCnazvemesjednocenílomenéčáry ABCAajejívnitřníoblasti. Definice1.10.(Úhlopříčka n-úhelníka) Nechťjedán n-úhelník A 1 A 2... A n 1 A n.úhlopříčkou n-úhelníkanazvemekaždouúsečku,jejímižkrajnímibody jsou nesousední vrcholy daného n-úhelníka. Je zřejmé, že úhlopříčka n-úhelníka není vždy jeho podmnožinou. Dokázali bychom zobrazit několik n-úhelníků, jejichž všechny uhlopříčky podmnožinami daných n-úhelníků jsou a několik n-úhelníků, pro které to neplatí? Dokázali bychom formulovat závěr? Umíme zavést pojem n-úhelník, popsat jeho prvky(vrcholy, strany, vnitřní úhly, vnější úhly, úhlopříčky) a vše graficky znázornit. Chápeme souvislost mezi trojúhelníkem a obecným n-úhelníkem. Pro jistotu, že jsme pojmům dobře porozuměli, vyzkoušejme si vyřešit několik úloh. 1.Nechťjedán n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.kolikmátento n-úhelníkvrcholů, stran a úhlopříček? Řešení: Každý n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n má nvrcholů, nstrana n (n 3) 2 úhlopříček. Proč? Počet vrcholů a stran přímo vyplývá z definice n-úhelníka. Počet úhlopříček určíme takto: Vezmemevrchol A 1 aptámese,kolikúhlopříček n-úhelníkamákrajní bod právě v tomto vrcholu(resp. s kolika vrcholy n-úhelníka mohu vrchol A 1 spojittak,abysejednalooúhlopříčku).určitěnemůžemespojit vrcholsámsesebou(nebylabytoaniúsečka),adálejejnemůžemespojit se soudními dvěma vrcholy(jednalo by stranu n-úhelníka, nikoli o jeho úhlopříčku).tedycelkemnemůžemevrchol A 1 spojitsetřemivrcholy n-úhelníka. Tedy naopak existuje celkem n 3 vrcholů, se kterými můžemevrchol A 1 spojit,zbodu A 1 vedecelkem n 3úhlopříček. Vezmemedalšíbod A 2 aptámesestejně.zjistíme,žezbodu A 2 opět vedecelkem n 3úhlopříček(jepravda,žeúhlopříčku A 2 A 1 jsmejižzapočítalidopočtuúhlopříčekzbodu A 1,aletovyřešímenakonciúlohy). Uvažujemedále,zkaždéhoznvrcholů n-úhelníkamůžemevést n 3 úhlopříček.tojecelkem n (n 3)úhlopříček.Každouznichjsmezapo-

20 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník čítalidvakrát(jednoujako A k A l,podruhéjako A l A k ).Protojepotřeba součin n (n 3)dělitdvěma. Odpovídáme:Každý n-úhelníkmá n (n 3) 2 úhlopříček. 2. Bylo by možné definovat každý n-úhelník jako průnik polorovin? Pokud ano, pak vyslovte definici. Řešení: Ne, jako průnik polorovin lze definovat pouze některé n-úhelníky. Které? A jak bude znít jejich definice? Nechťjedáno nbodů A 1,A 2,...,A n 1,A n,znichžžádnétřisousedníneležívpřímce.zobrazmegrafickyprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,..., A n 2 A n 1 A n.mohounastatdvapřípady(vizobrázek5.13).vprvním případě(viz obr. 5.13a) je průnikem polorovin opravdu n-úhelník, ve druhém(viz obr. 5.13b) nikoliv. Odpovídáme: Jako průnik polorovin je možné definovat pouze n-úhelník, který je konvexní(nekonvexní n-úhelníky takto definovat nelze). Znění definice n-úhelníka prozradíme níže. Obrázek 1.13 1.3.1 Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník). Definice 1.11.(Konvexní n-úhelník(mnohoúhelník)) Nechť je dáno n bodů A 1,A 2,..., A n 1,A n,znichžžádnétřisousedníneležívpřímce.konvexním n-úhelníkem(mnohoúhelníkem) A 1 A 2...A n 1 A n nazvemeprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,...,A n 2 A n 1 A n,a n 1 A n A 1,A n A 1 A 2.

Geometrie v rovině 2 21 Poloroviny A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,...,A n 2 A n 1 A n senazývajíopěrnépoloroviny konvexního n-úhelníka(mnohoúhelníka). Definice 1.12.(Opěrná polorovina konvexního n-úhelníka) Nechť je dánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.opěrnoupolorovinoukonvexního n- úhelníka nazveme každou polorovinu, v níž daný n-úhelník leží a která má s tímto n-úhelníkem společnou právě jednu jeho stranu. Věta 1.7.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě když leží v jedné z polorovin určené kteroukoliv jeho stranou(opěrná polorovina). Pomocí pojmu opěrná polorovina můžeme definovat pojem vnitřní úhel konvexního n-úhelníka. Definice 1.13. (Vnitřní úhel konvexního n-úhelníka) Nechť je dán konvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.vnitřnímúhlemkonvexního n-úhelníka nazveme průnik opěrných polorovin jeho sousedních stran. Věta 1.8.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě když je každá jeho úhlopříčka jeho podmnožinou. Takto jsme odpovídali na otázku, zda jsou úhlopříčky každého n-úhelníka vždy jeho podmnožinami. Měli jsme říci, že nikoli. Všechny úhlopříčky jsou podmnožinami pouze v případě n-úhelníků konvexních. Samozřejmě, že o konvexnosti daného n-úhelníka můžeme rozhodnout i podle obecného kritéria konvexnosti množiny bodů. Věta 1.9.(Kritérium konvexnosti n-úhelníka) N-úhelník je konvexní, právě kdyžprokaždédvajehobody X,Y platí,žeúsečka XY jejehopodmnožinou. Umíme vymezit pojmy konvexní n-úhelník(definujeme jej jako průnik polorovin), opěrná polorovina konvexního n-úhelníka a známe další definici vnitřního úhlu konvexního n-úhelníka. Umíme bezpečně poznat, zda je daný n-úhelník konvexní, a to na základě tří různých kritérií. Můžeme nyní prověřit naše znalosti následujícími kontrolními úkoly. 1. Na obrázku 5.14 jsou znázorněny n-úhelníky.

22 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník a) U každého n-úhelníka zjistěte počet jeho úhlopříček a symbolicky je zapište. b) Určete, zda jsou zobrazené n-úhelníky konvexní. c) U každého konvexního n-úhelníka zjistěte počet jeho opěrných polorovin a daný n-úhelník zapište jako jejich průnik. Obrázek 1.14 2. Rozhodněte o pravdivosti následujících výroků: a) Každý dvacetiúhelník má dvacet různých opěrných polorovin. b) Každý trojúhelník má tři různé opěrné poloroviny. c) Každý dvacetiúhelník je možné definovat jako průnik dvaceti konvexních úhlů. d) Každý trojúhelník je možné definovat jako průnik tří konvexních úhlů. e) Konvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. f) Nekonvexní dvacetiúhelník má 170 úhlopříček. g) Nekonvexní n-úhelník nemá žádné úhlopříčky. 3.Nechťjedánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.určetesoučetvelikostí všechjehovnitřníchúhlůpro n=3, n=4, n=5, n=6, n=20, n. Měli bychom odpovídat takto:

Geometrie v rovině 2 23 1. a)a-žádnáúhlopříčka;b-2úhlopříčky-a 1 A 3,A 2 A 4 ;C-2úhlopříčky 5úhlopříček-A 1 A 3,A 1 A 4, A 2 A 4,A 2 A 5,A 3 A 5 ;F- n (n 1) 2 úhlopříček - A 1 A 3,A 1 A 4,...,A 1 A n 1,A 2 A 4, A 2 A 5,...,A 2 A n,...,a n 2 A n. - A 1 A 3,A 2 A 4 ;D-5úhlopříček-A 1 A 3,A 1 A 4,A 2 A 4,A 2 A 5,A 3 A 5 ;E- b)a-ano(každýtrojúhelníkjekonvexní),b-ne,c-ano,d- NE,E-ANO,F-ANO. c)a-trojúhelník A 1 A 2 A 3-3opěrnépoloroviny: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 1 A 3 A 1 A 2 ;B-čtyřúhelník A 1 A 2 A 3 A 4-4opěrnépoloroviny: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 3 A 4 A 1 A 4 A 1 A 2 ;D-n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n - n opěrných polorovin: A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 A 4 A 3 A 4 A 5... A n 1 A n A 1 A n A 1 A 2. 2. a) NE(jen konvexní, počet opěrných polorovin nekonvexního n-úhelníka jemenšínež n-vizdefiniceopěrnépoloroviny),b)ano,c)ne(jako průnik konvexních úhlů je možné definovat jen konvexní n-úhelníky), d) ANO, e) ANO, f) ANO(počet úhlopříček nekonvexního n-úhelníka stejnějakokonvexního n-úhelníkajemožnépočítámezevztahu n (n 3) 2 ), g) NE(viz předchozí úloha). 3. Úhlopříčky vycházející z jednoho vrcholu konvexního n-úhelníku rozdělí tento n-úhelník na n 2 trojúhelníky(viz obr. 5.15). Součet velikostí vnitřníchúhlůvtrojúhelníkujeúhelpřímý(180 ).Součetvnitřníchúhlů vkonvexním n-úhelníkujetedy(n 2) 180.Součetvelikostívnitřníchúhlůkonvexníhočtyřúhelníkaje(4 2) 180 =360,konvexního pětiúhelníka(5 2) 180 =540,konvexníhošestiúhelníka(6 2) 180 = 720,konvexníhodvacetiúhelníka(20 2) 180 =3240.Pronekonvexní n-úhelníky nelze tento vztah použít. Obrázek 1.15

24 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník 1.3.2 Pravidelný n-úhelník. Definice 1.14.(Pravidelný n-úhelník) Nechť je dán konvexní n-úhelník. Tento n-úhelník se nazývá pravidelný n-úhelník, právě když má shodné všechny strany a všechny vnitřní úhly. Pravidelný trojúhelník se nazývá rovnostranný trojúhelník, pravidelný čtyřúhelník se nazývá čtverec. Pro ostatní pravidelné n-úhelníky(tj. pro n 5) žádné speciální označení neexistuje.(viz obr. 5.16.) Obrázek 1.16 Každému pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Popisujeme stejnějakovpřípadětrojúhelníka S O -středkružniceopsané, r-poloměr kružniceopsané, S V -středkružnicevepsané, ρ-poloměrkružnicevepsané. Ve středu kružnice pravidelnému n-úhelníku opsané leží jeho těžiště. Obrázek 1.17 Měli bychom umět do dané kružnice vepsat pravidelné n-úhelníky pro n = 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12. Tedy rovnostranný trojúhelník, čtverec, pravidelný pětiúhelník, pravidelný šestiúhelník, pravidelný osmiúhelník, pravidelný devítiúhelník, pravidelný desetiúhelník, pravidelný dvanáctiúhelník. Měli bychom zvládnout přibližnou konstrukci libovolného pravidelného n-úhelníka. Protože je přitom potřeba využít pojmů, s nimiž se detailně seznámíme až v následujících kapitolách, zařadíme tuto část do kapitoly Kružnice, kruh. V tuto chvíli již známe pojem pravidelný n-úhelník, umíme uvést příklady pravidelných n-úhelníků. Víme, že nás v rámci kapitoly Kružnice, kruh čeká

Geometrie v rovině 2 25 konstrukce pravidelných n-úhelníků(jejich vepsání do kružnice). Prověříme, zda rozumíme všemu a správně tak, že odpovíme na následující otázky. 1) Je každý konvexní n-úhelník pravidelný? 2) Je každý pravidelný n-úhelník konvexní? 3) Je každý vnitřní úhel pravidelného n-úhelníka konvexní? 4) Má každý pravidelný n-úhelník shodné vnitřní úhly? 5)Nechťjedánkonvexní n-úhelník A 1 A 2...A n 1 A n.určetevelikostjeho vnitřníhoúhlupro n=3, n=4, n=5, n=6, n=20, n. Měli bychom odpovídat: 1-NE,2-ANO,3-ANO,4-ANO,5-ukážemevýpočetvnitříhoúhlu v každém pravidelném n-úhelníku: Víme, že součet všech vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku vypočítáme ze vztahu(n 2) 180(n-úhelník jsme dělili jeho úhlopříčkami na n 2 trojúhelníky a sečetli jejich vnitřní úhly). Protože pravidelný n-úhelník má všechny vnitřní úhly navzájem shodné, stačí součet vnitřníchúhlůdělitjejichpočtem.počítámetedy (n 2) 180 n. Pro konkrétní n- úhelníky dostáváme následující výsledky: Rovnostrannýtrojúhelník:součetvnitřníchúhlů180,každýznich60. Čtverec:součetvnitřníchúhlů360,každýznich90. Pravidelnýpětiúhelník:součetvnitřníchúhlů540,každýznich108. Pravidelnýšestiúhelník:součetvnitřníchúhlů720,každýznich120. Pravidelnýdvacetiúhelník:součetvnitřníchúhlů3240,každýznich 162. Pro nepravidelné n-úhelníky nelze tento vztah použít. 1.3.3 Čtyřúhelník. Definice čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici n-úhelníka.

26 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník Definice 1.15.(Čtyřúhelník) Nechť je dána jednoduchá uzavřená lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 (A 4 = A 0 ).Čtyřúhelníkem A 1 A 2 A 3 A 4 nazvemesjednocení této lomené čáry a její vnitřní oblasti. Stejně tak můžeme aplikovat další části teorie o obecných n-úhelnících, tedy definice vrcholů, stran, vnitřních úhlů, vnějších úhlů a úhlopříček, grafické znázornění(popis vrcholů). Stejně jako obecné n-úhelníky můžeme i čtyřúhelníky rozdělit na konvexní a nekonvexní. V dalším textu se budeme zabývat konvexními čtyřúhelníky. 1.3.4 Konvexní čtyřúhelník. Definice konvexního čtyřúhelníka by nám neměla dělat potíže, budeme aplikovat definici konvexního n-úhelníka. Definice1.16.(Konvexníčtyřúhelník) Nechťjsoudánybody A 1,A 2,A 3, A 4, z nichž žádné tři sousední neleží v přímce. Konvexním čtyřúhelníkem A 1 A 2 A 3 A 4 nazvemeprůnikpolorovin A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,A 3 A 4 A 1,A 4 A 1 A 2. Poloroviny A 1 A 2 A 3,A 2 A 3 A 4,A 3 A 4 A 1,A 4 A 1 A 2 senazývajíopěrnépoloroviny konvexního čtyřúhelníka. Zatímco každému trojúhelníku bylo možné opsat i vepsat kružnici, u čtyřúhelníků to neplatí. Podle toho, zda kružnici opsat resp. vepsat lze, zavádíme pojmy čtyřúhelníky tětivové, tečnové, dvojstředové. Definice 1.17.(Tětivový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tětivový čtyřúhelník, právě když mu lze opsat kružnici. Název tětivový proto, že strany čtyřúhelníka jsou tětivami kružnice tomuto čtyřúhelníku opsané. Definice 1.18.(Tečnový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyřúhelník ABCD. Tento čtyřúhelník se nazývá tečnový čtyřúhelník, právě když mu lze vepsat kružnici. Název tečnový proto, že strany čtyřúhelníka leží v tečnách kružnice tomuto čtyřúhelníku vepsané. Definice 1.19.(Dvojstředový čtyřúhelník) Nechť je dán konvexní čtyř-