VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ PROF. RNDr. ING. PETR ŠTPÁNEK, CSc. ING. BOHUSLAV ZMEK, CSc. PRVKY BETONOVÝCH KONSTRUKCÍ MODUL M03 NAVRHOVÁNÍ DLE ULS KOMBINACE OHYB - SÍLA, MÍSTNÍ NAMÁHÁNÍ, PROSTÝ BETON NAVRHOVÁNÍ DLE SLS STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Prvky betonových konstrukcí Modul M03 Petr Štpánek, Bohuslav Zmek, Brno 005 - (81) -
Obsah OBSAH 1 Úvod 5 1.1 Cíle...5 1. Požadované znalosti...5 1.3 Doba potebná ke studiu...5 1.4 Klíová slova...5 1.5 Použitá terminologie (nepovinné)...5 Navrhování dle mezního stavu únosnosti (ULS)...7.1 Prvky namáhané ohybovým momentem a normálovou silou (M,N)...7.1.1 Porušení prvk namáhaných (M,N)...7.1. Základní (vstupní) pedpoklady psobení úink zatížení...8.1..1 Stanovení silových úink na prez (znaménková konvence)8.1.. Výstednost normálové síly...9.1..3 Vliv štíhlosti tlaeného prutu...9.1.3 Základní pedpoklady výpotu meze porušení prezu namáhaného (M, N)...9.1.4 Interakní diagram a plocha meze porušení (M, N)...11.1.5 Posuzování prez...18.1.5.1 Posouzení prezu obecného tvaru...4.1.5. Posouzení obdélníkového prezu...4.1.5.3 Posouzení prezu vnitního trámu s deskou...4.1.5.4 Posouzení prezu krajního trámu s deskou...4.1.6 Navrhování výztuže do prez...4. Místní namáhání...34.3 Prvky z prostého a slab vyztuženého betonu...34.3.1 Základní rozdíly v chování prvk z prostého (slab vyztuženého) betonu a prvk ze železobetonu...34.3. Zásady pro navrhování prvk z prostého betonu...36.3..1 Mezní stav únosnosti prvk porušených trhlinami...36.3.. Mezní stav únosnosti prvk z prostého betonu bez trhlin...44 Únosnost mimostedn tlaeného prvku z prostého betonu...45 Pi lineárn pružném chování prvku je tedy dosaženo mezní únosnosti pi vzniku trhliny pouze pi...46.3.3 Mezní stavy použitelnosti...47.3.4 Konstrukní ustanovení pro prvky z prostého beton...47.4 Autotest...49 3 Navrhování dle SLS...51 3.1 Chování konstrukcí za provozního stavu...51 3.1.1 Uvažovaná zatížení...51 3.1. Stádia psobení betonových prvk...5 3.1.3 Ukázka nadpisu na tetí úrovni...53 3.1.3.1 Ukázka nadpisu na tvrté úrovni...53 3. Kontrola použitelnosti prvk a konstrukcí...53-3 (81) -
Prvky betonových konstrukcí Modul CM 3 3.3 Mezní stav omezení naptí... 54 3.3.1 Modely prezu pro výpoet napjatosti... 54 3.3.1.1 Prez s trhlinou a tlaenou ástí... 57 3.3.1. Trhlinou zcela porušený prez (tzv. mimostedný tah s malou výstedností)... 61 3.3. Omezení tlakových naptí v betonu... 63 3.3.3 Omezení naptí ve výztuži... 63 3.4 Mezní stav trhlin... 64 3.4.1 Vznik a šíka trhlin... 65 3.4. Omezení šíky trhlin bez pímého výpotu... 69 3.4..1 Urení nejmenší prezové plochy betonáské výztuže... 69 3.4.. Kontrola prmru výztuže... 7 3.4..3 Kontrola vzdálenosti prut výztuže... 74 3.4..4 Postup pi kontrole trhlin bez pímého výpotu... 75 3.5 Mezní stav petvoení... 76 3.5.1 Pípady, ve kterých lze od výpotu petvoení upustit... 77 3.5. Výpoet petvoení... 78 Pi výpotu petvoení je nutno uvažovat... 78 3.5..1 Závislost mezi naptím a petvoením u betonových prvk 78 3.5.. Model dle EN 199-1-1... 79 3.6 Autotest...Chyba! Záložka není definována. 4 Závr... Chyba! Záložka není definována. 4.1 Shrnutí...Chyba! Záložka není definována. 4. Studijní prameny...chyba! Záložka není definována. 4..1 Seznam použité literatury.chyba! Záložka není definována. 4.. Seznam doplkové studijní literaturychyba! Záložka není definována. 4..3 Odkazy na další studijní zdroje a pramenychyba! Záložka není definována 4.3 Klí...Chyba! Záložka není definována. - 4 (81) -
Úvod 1 Úvod 1.1 Cíle V tomto modulu se nejdíve seznámíme se zásadami navrhování a posuzování železobetonových prvk podle mezních stav únosnosti ULS (xxxxxx) pi souasném psobení normálové síly a ohybového momentu, a také pi psobení místního namáhání. Dále se seznámíme se zásadami navrhování prvk z prostého a slab vyztuženého betonu. V poslední ásti tohoto modulu budou uvedeny zpsoby posuzování železobetonových prvk podle mezních stav použitelnosti SLS (xxxxx). 1. Požadované znalosti Tetí modul prvk betonových konstrukcí pímo navazuje na pedchozí moduly CM 1 a CM. Krom jejich znalosti je teba v potebném rozsahu znát a umt používat statiku, stavební mechaniku, pružnost a pevnost. 1.3 Doba potebná ke studiu MODUL CM 3 obsahuje látku probíranou ve tyech týdnech semestru. Doba potebná k jejímu nastudování bude záviset na schopnostech a pedchozích znalostech studenta. 1.4 Klíová slova železobeton, prostý a slab vyztužený beton, únosnost, ohybový moment, normálová síla, interakní diagram (M, N), omezení naptí, šíka trhlin, petvoení. 1.5 Použitá terminologie (nepovinné) železobeton (xxxxx) beton s úeln vloženou nosnou výztuží, splující podmínky množství výztuže a stanovené konstrukní zásady prostý beton (xxxxx) slab vyztužený beton (xxxxx) interakní diagram (xxxxx) - 5 (81) -
Navrhování dle ULS Navrhování dle mezního stavu únosnosti (ULS) Prezy betonových konstrukcí se navrhují na základ pedchozího statického výpotu, ze kterého vyplynuly velikosti vnitních sil od psobení vnjšího zatížení. Dimenzování (zahrnuje navrhování i posuzování) se provádí za použití uritých zjednodušujících pedpoklad, které by však mly co nejvíce odpovídat skutenosti. Základní zpsob vyšetování konstrukcí a jejich prvk je na úinky bžného jednorázového zpsobu namáhání, který je uvažován v tomto modulu. V nkterých pípadech je však nutné posuzovat i vliv mnohokrát opakovaného namáhání (únavu). Dimenzování prakticky zahrnuje dva obvyklé výpoetní postupy: pi návrhu jsou (na základ díve zjištných statických veliin) urovány nutné rozmry prez a výztuž v nejnepíznivji namáhaných prezech konstrukce, pi posouzení se naopak na základ daných prezových (a materiálových) parametr a vyztužení zjišuje únosnost prez i celé konstrukce. V tomto modulu se zamíme pedevším na posuzování pi jednorázovém namáhání. Pi vyšetování mezních stav únosnosti se úinky zatížení (jejich kombinace) a pevnosti materiál uvažují návrhovými hodnotami..1 Prvky namáhané ohybovým momentem a normálovou silou (M,N) Z pedchozího statického výpotu byly v rozhodujících prezech prvku konstrukce získány silové úinky (M, N) od návrhové velikosti zatížení a jejích nejnepíznivjších kombinací. Úkolem je nadimenzovat prez prvku tak, aby byly splnny podmínky požadované spolehlivosti..1.1 Porušení prvk namáhaných (M,N) S pihlédnutím k výsledkm zkoušek a s ohledem na praktické použití, lze rozlišit tyto zpsoby porušení: 1) Tlakové porušení (pípad tlaku s malou výstedností) nastává je-li tlaen celý prez nebo je tlaena jen jeho ást, piemž ve výztuži ležící na odvrácené stran od tlakového centra, se pi zvtšující výstednosti zmenšuje tlakové naptí a pechází do naptí tahového. Naptí v této výztuži pi tomto zpsobu porušení nedosáhne meze kluzu tato výztuž není pln využita v tahu (obr..x). V tomto pípad nastane porušení dosažením mezního petvoení betonu, tedy primárn se rozdrtí beton. ) Tahové porušení s psobícím tlaeným betonem (pípad tlaku, pop. tahu s velkou výstedností, vetn pípadu prostého ohybu) nastává je-li ást prezu je tlaena, piemž naptí ve výztuži ležící u taženého okraje dosáhne meze kluzu tato výztuž je pln využita v tahu (obr..xb, c). - 7 (81) -
Název pedmtu Modul # V tomto pípad je tedy primárn dosaženo meze kluzu v tažené výztuži, která se plasticky petváí až do dosažení mezního petvoení v tlaeném betonu, který se sekundárn rozdrtí. Výstednost normálové síly, pi které je ve výztuži ležící u taženého okraje dosaženo petvoení odpovídající po- átku meze kluzu ve výztuži, bývá oznaována jako e cu,bal tento pípad je rozhraním mezi tlakovým porušením a tahovým porušením s psobícím tlaeným betonem. 3) Tahové porušení s vyloueným psobením betonu (pípad mimostedného tahu s malou výstedností) nastává, je-li celý prez je tažen. Psobící tahová normálová síla leží mezi výztužemi; beton nepsobí a silové úinky zatížení penáší pouze výztuž. Ob výztuže jsou taženy, ale pouze v jedné z nich je dosaženo meze kluzu tato výztuž je využita (obr..xd). Výstednost, pi které psobící síla leží v tžišti výztuže u jednoho okraje, bývá oznaována jako e tu,bal tento pípad je rozhraním mezi tahovým porušením s psobícím betonem a porušením tahovým s vyloueným psobením betonu. Zvláštními pípady porušení jsou: - Porušení pi rovnomrn rozdleném stlaení betonu: pedpokládá se rovnomrné rozdlení naptí v celém prezu, pi využití betonu a veškeré výztuže. V tomto pípad je nutné však pihlédnout k možné nehomogenit betonu v prezu, nebo výslednice sil v betonu na mezi únosnosti nemusí ležet v tžišti plochy betonového prezu. Za úelem vyjádení této nehomogenity betonu se obvykle pedpokládá, že vnjší normálová síla psobí vždy s jistou imperfekcí udanou hodnotou výstednosti pedepsanou v norm. - Porušení pi rovnomrném tahu: pedpokládá se plné využití veškeré výztuže v prezu v tahu. Obr..1 Zpsoby porušení mimostedn namáhaného prezu.1. Základní (vstupní) pedpoklady psobení úink zatížení.1..1 Stanovení silových úink na prez (znaménková konvence) OBR.. - 8 (81) -
Navrhování dle ULS.1.. Výstednost normálové síly OBR..3.1..3 Vliv štíhlosti tlaeného prutu DOPLNIT.1.3 Základní pedpoklady výpotu meze porušení prezu namáhaného (M, N) V dalším bude pojednáno o prezech v tzv. bezporuchových oblastech, u nichž lze pibližn pedpokládat zachování jejich rovinnosti ped a po zatížení. Poruchové oblasti oznaované musí být vyšetovány nap. s použitím analogických píhradových model (viz nap. Modul CM ). Pi urování únosnosti železobetonových prez se vychází ze stejných pedpoklad, jaké jsou uvedeny u ohybu (až na hodnoty mezních petvoení): 1) Zachování rovinnosti prez petvoení vláken prezu je pímo úmrné jejich vzdálenosti od neutrální osy. ) Dokonalá soudržnost betonu s výztuží pomrné petvoení soudržné betonáské výztuže v tahu i v tlaku je rovno pomrnému petvoení v pilehlém betonu. 3) Pevnost betonu v tahu se zanedbává. 4) Naptí v tlaeném betonu se urí ze zjednodušeného návrhového pracovního diagramu (parabolicko-rektangulárního, bilineárního, event. rovnomrn rozdleného naptí na ásti tlaené oblasti (viz Modul CM 1). 5) Naptí v betonáské výztuži, se urí z návrhových pracovních diagram (viz Modul CM 1). 6) Meze únosnosti je dosaženo pi dosažení mezního pomrného petvoení alespo v jednom z materiál, tj. bu v betonu a/nebo ve výztuži. V mezních stavech únosnosti je omezeno pomrné petvoení: - betonu v tlaku hodnotami ε cu nebo ε cu3 v závislosti na tvaru použitého pracovního diagramu betonu (viz Modul CM 1), - pi uvažování zjednodušených pracovních diagram betonu je nutno pi dostedn psobící mezní tlakové síle v betonu železobetonových prez uvažovat mezní pomrné petvoení betonu hodnotami ε c nebo ε c3 (viz Modul CM 1 a obr..x); teprve pi zvtšující se výstednosti této síly stoupá mezní pomrné petvoení betonu v tlaeném okraji až na hodnoty ε cu nebo ε cu3 v závislosti na tvaru použitého pracovního diagramu. Toto lze vysvtlit následovn: Správn bychom mli uvažovat pracovní diagram betonu s klesající vtví. Uvažujeme-li normálovou sílu N psobící v tžišti betonového soumrn vyztuženého prezu, pak maximální hodnotu této síly obdržíme pi maximální možné hodnot naptí betonu, které pi uvažování pracovního diagramu s klesající vtví odpovídá petvoení pi dosažení vrcholu tohoto pracovního diagramu (obr..x). - betonáské výztuže hodnotami ε ud u bilineárního pracovního diagramu se stoupající vtví, v pípad vodorovné vtve lze pedpokládat ε ud = (viz Modul CM 1). - 9 (81) -
Název pedmtu Modul # Obr..x Stanovení N R pi rovnomrném stlaení soumrného prezu Celé spektrum pomrných petvoení prezu na mezi únosnosti je možné rozdlit na oblasti tak, jak je naznaeno na obr..x. Pozn.: U železobetonových prez namáhaných ohybem je nutné v pípadech, kdy byla použita redistribuce moment, omezit pomr x/d, tj. pomr výšky tlaené oblasti x k úinné výšce prezu d, v závislosti na použité míe redistribuce4, piemž pomr x/d nesmí být vtší než 0,45 u beton tídy C 50/60 a nižších a 0,35 u beton tídy C 55/67 a vyšších. Uvedeným požadavkem je sledováno zajištní požadovaného plastického petvoení oblasti, která je pilehlá k vyšetovanému prezu. Obr..x Možná rozdlení pomrných petvoení v mezním stavu únosnosti Návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku f cd se stanoví následovn: f cd = α cc f ck /γ c, kde γ c je souinitel spolehlivosti betonu, (.x) α cc souinitel uvažující dlouhodobé úinky na tlakovou pevnost betonu a nepíznivé úinky ze zpsobu zatížení; α cc lze uvažovat v rozmezí 0,8 až 1,0, podle národní pílohy je doporuená hodnota 1,0. - 10 (81) -
Navrhování dle ULS Hodnoty souinitele spolehlivosti betonu γ c budou udány v Národní píloze EN 199-1-1. Doporuené hodnoty γ c v mezních stavech únosnosti jsou: pro trvalou a doasnou návrhovou situaci γ c = 1,5, pro mimoádnou návrhovou situaci γ c = 1,. Menší hodnoty γ c lze pipustit pouze pi splnní zvláštních podmínek (kontrola jakosti výroby atd.). Pi návrhu na úinky požáru podle EN 19-1- je doporuená hodnota γ c = 1,0. Pi obvyklém používání pedpokladu rovnomrného rozdlení naptí betonu v tlaené oblasti v mezním stavu únosnosti, se uvažuje rovnomrné rozdlení tlakového naptí η f cd na úinné výšce tlaené oblasti λx (viz Modul CM 1 a nap. obr..xc), kde pro f ck 50 MPa η = 1,0 ; λ = 0,8, (.x) pro 50 < f ck 90 MP η = 1,0 (f ck 50)/00 ; λ = 0,8 (f ck 50)/00. Pokud se šíka tlaené ásti prezu smrem k nejvíce tlaeným vláknm zmenšuje, mže být tlakové naptí uvažováno pouze 90 % hodnotou. Návrhová hodnota pevnosti výztuže v tahu i v tlaku f yd se stanoví následovn: f yd = f yk /γ s, kde γ s je souinitel spolehlivosti výztuže. (.x) Hodnoty souinitele spolehlivosti výztuže γ s budou udány v Národní píloze. Doporuené hodnoty γ s v mezních stavech únosnosti jsou: pro trvalou a doasnou návrhovou situaci γ s = 1,15, pro mimoádnou návrhovou situaci γ s = 1,0. Pi návrhu na úinky požáru podle EN 19-1- je doporuená hodnota γ s = 1,0..1.4 Interakní diagram a plocha meze porušení (M, N) Pi stanovení meze porušení prezu je dležité, kdy výztuž v prezu lze pln zapoítat (naptí ve výztuži se rovná mezi kluzu, pop. je vtší uvažujeme-li pracovní diagram oceli se stoupající vtví; v dalším však budeme pro jednoduchost výkladu uvažovat pracovní diagram výztuže s vodorovnou vtví) a kdy ne. Je zejmé, že zapoitatelnost výztuže závisí na jejím petvoení v prezu, které lze stanovit na základ pedpokladu zachování rovinnosti pr- ezu. Na obr..x je vyznaen obdélníkový prez a v nm na mezi únosnosti psobící vnitní síly za pedpokladu rovnomrn rozdleného tlakového naptí v betonu. Na obr..xc, kde je též naznaena jejich výslednice N Rd, psobící spolu s ohybovým momentem M Rd. Pi výpotu je nutno si uvdomit, kdy lze poítat s naptím v tahové i tlakové výztuži rovným mezi kluzu. Je zejmé, že toto naptí závisí na vzdálenosti této výztuže od neutrální osy. Pokud není v této výztuži dosaženo petvoení odpovídající dosažení meze kluzu (výztuž není v dostatené vzdálenosti od neutrální osy), pak je nutné ve výztuži uvažovat naptí menší než je mez kluzu; naptí je teba stanovit s pihlédnutím k dosaženému pomrnému petvoení této výztuže viz obr..xa a.xb. Z obrázk je zejmé, že lze poítat s naptím rovným mezi kluzu, pokud - 11 (81) -
Název pedmtu Modul # v tažené výztuži x ξ bal ε cu3, 1d = d, (.x) ε + ε cu3 yd ε cu3 v tlaené výztuži x ξbal, d = d, je-li x h, (.x) ε ε kde ε = f / E. yd yd s cu3 yd Obr..x Stanovení zapoitatelnosti výztuže v pípad, že neutrální osa prochází prezem Z obr..xa je možno stanovit rozhraní mezi tlakovým porušením a tahovým porušením (tahové porušení; rozhraní mezi tahovým a tlakovým porušením x bal,1 = ξ bal,1 d; tahové porušení x < ξ bal,1 d; tlakové porušení x > ξ bal,1 d). V pípad dostedného tlaku se jedná o zvláštní (teoretický) pípad porušení pi rovnomrném rozdlení petvoení v tlaeném betonu; v tomto pípad je nutné si uvdomit, že naptí ve výztuži nesmí být vtší než odpovídá rovnomrnému petvoení betonu (podle obr..x) v okamžiku dosažení maximálního tlakového naptí dosažení vrcholu pracovního diagramu. Proto v nkterých pípadech pi tomto zpsobu porušení nelze poítat s dosažením meze kluzu v tlaené výztuži..1.4.1 Interakní diagram M Rd, N Rd obdélníkového prezu Hodnoty mezní únosnosti prezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem lze vyjádit pomocí interakního diagramu. Pro stanovení bod interakního diagramu meze porušení obdélníkového pr- ezu (vyztuženého u obou povrch) namáhaného v rovin svislé symetrie nejprve stanovíme mezní únosnost tohoto prezu v pípad, kdy neutrální osa leží ve vzdálenosti x bal,1 od tlaeného kraje prezu (viz obr..xa). Za pedpokladu rovnomrn rozdleného tlakového naptí v betonu a dostatené vzdálenosti výztuže A s od neutrální osy, mžeme psát: N Rd,bal = λ ξ bal,1 b d η f cd + A s f yd - A s1 f yd, M Rd,bal = λ ξ bal,1 b dη f cd 0,5 (h - λ ξ bal,1 d) + A s f yd z + A s1 f yd z 1. (.xa) (.xb) V interakním diagramu M Rd, N Rd viz obr..xd lze tento pípad znázornit bodem o souadnicích (M Rd,bal, N Rd,bal ). K únosnosti prezu pispívá beton a výztuž. Píinek únosnosti betonu lze v tomto diagramu znázornit vektorem R c,bal (viz bod c na obr..xd), píinek únosnosti výztuží pak soutem vektor R s1 a R s. - 1 (81) -
Navrhování dle ULS Z obrázku.xd je zejmé, že podle únosnosti výztuží A s1 a A s bude bod vyjadující mezní únosnost prezu pi jeho porušení ležet ve výseku ohranieném pímkami a a a 3 ; pokud bude A s > A s1, pak bod bude ležet mezi pímkami a a a 1 ; pokud bude A s < A s1, pak bod bude ležet mezi pímkami a 1 a a 3 ; pi A s = A s1 bod bude ležet na pímce a 1. Pípad porušení pi rovnomrném rozdlení petvoení v tlaeném betonu po celé výšce prezu (viz obr..xb) lze znázornit v interakním diagramu bodem 0 o souadnicích (M Rd0, N Rd0 ), kde N Rd0 = b h η f cd + A s σ s + A s1 σ s, M Rd0 = A s σ s z - A s1 σ s z 1, (.xa) (.xb) kde σ s je naptí ve výztuži pi rovnomrném petvoení tlaeného betonu ε c3 ; tj. pokud ε c3 ε sy = f yd / E s, potom σ s = f yd ; jestliže ε c3 <ε sy, potom σ s = ε c3 E s. Povšimnme si opt píink únosnosti betonu a výztuže. Píinek únosnosti betonu lze v diagramu znázornit bodem 0 c, píinek únosnosti výztuží pak dvma vektory. Opt lze konstatovat, že pokud je A s > A s1, bude výsledný bod 0, pedstavující únosnost prezu, ležet vpravo od osy N, pokud bude A s < A s1, pak bod O bude ležet vlevo od osy N, pi soumrné výztuži A s = A s1 bod bude ležet na ose N. Uvažujeme-li pípad, kdy neutrální osa prochází práv tžištm výztuže A s1 (viz obr..xc), pak výztuž A s1 není namáhána a na únosnosti se podílí pouze tlaená ást betonu a tlaená výztuž A s. V interakním diagramu lze tento pípad znázornit bodem 1 o souadnicích (M Rd1, N Rd1 ), kde N Rd1 = b λ d η f cd + A s f yd, M Rd1 = b λ d η f cd 0,5 ( h - λ d) + A s f yd z. Píinek únosnosti betonu lze v diagramu znázornit bodem 1 c. (.xa) (.xb) Bod 4 o souadnicích (M Rd, N Rd = 0) znázoruje pípad porušení prostým ohybem viz Modul CM. Pokud bychom uvažovali další pípady zjistíme, že body, vyjadující píinek únosnosti betonu, leží na parabole vyznaené v interakním digramu árkovanou kivkou (viz obr..xd). Je zejmé, že pokud bod o souadnicích (M Ed, N Ed ) vyjadující úinky návrhového zatížení, leží uvnit árkovan šrafované plochy (viz obr..xd), pak na penesení úink tohoto zatížení by mohl postait pouze prostý beton. V tomto pípad lze ovit zda vyhoví prez z prostého betonu (zde však musíme uvažovat menší návrhovou pevnost betonu v tlaku viz odst..3); pokud prez z prostého betonu nevyhoví, navrhneme minimální výztuž. Pokud bod o souadnicích (M Ed, N Ed ) leží vn šrafované plochy, musíme navrhnout výztuž, jejíž plocha musí být samozejm vtší než je minimální (abychom mohli považovat prez za vyztužený). - 13 (81) -
Název pedmtu Modul # Obr..x Znázornní bod interakního diagramu Pípad porušení, kdy psobišt tahové síly na mezi porušení leží v tžišti výztuže A s lze v interakním diagramu vyjádit bodem 4 o souadnicích (M Rdt,bal, N Rdt,bal ), kde N Rdt,bal = A s1 f yd, M Rdt,bal = A s1 f yd z 1. (.xa) (.xb) Bod 5 o souadnicích (M Rdt0, N Rdt0 ) znázoruje pípad, kdy psobišt tahové síly na mezi porušení leží v tžišti výztuží A s1 a A s, kde N Rdt0 = A s1 f yd + A s f yd, M Rdt0 = A s1 f yd z 1 - A s f yd z. (.xa) (.xb) Z obr..xd je zejmé, že pokud je A s > A s1, bude výsledný bod 5 ležet vlevo od osy N, pokud bude A s < A s1, pak bod 5 bude ležet vpravo od osy N, pi soumrné výztuži A s = A s1 bod bude ležet na ose N. Spojíme-li body vyjadující únosnost prezu pi jeho porušení vhodnou kivkou, obdržíme interakní diagram meze porušení prezu ára π u na obr..xd. - 14 (81) -
Navrhování dle ULS Tlak N < 0; tah N > 0 e 0 = h / 30 > 0 mm F s1 = As1 f yd F s = As f yd F s = (A s A s1 ) f yd bod 0 N Rd0 = (b h η f cd + ΣA s σ s ) M Rd0 = (A s z A s1 z 1 )σ s σ s = ε c E s f yd bod 1' N' Rd1 = (λ b d' η f cd + F s1 ) M' Rd1 = λ b d' η f cd 0,5 (h λd') F s1 z 1 d' ξ bal,d1 σ s1 = f yd bod ' N' Rd,bal = (λ ξ bal,1 b d' η f cd F s ) M' Rd,bal = λ ξ bal,1 b d' η f cd 0,5..(h λ ξ bal,1 d') F s1 z 1 F s z ξ bal,1 d' ξ bal, d ' σ s1 = σ s = f yd bod 3' N' Rd = 0 M' Rd = mez únosnosti pi namáhání ohybem bod 4' N' Rdt,bal = F s výztuž tlaená A s1, tažená A s M' Rdt,bal = F s z bod 1 N Rd1 = (λ b d η f cd + F s ) M Rd1 = λ b d η f cd 0,5 (h λ d) + F s z d ξ bal, d σ s = f yd bod N Rd,bal = (λ ξ bal,1 b d η f cd + F s ) M Rd,bal = λ ξ bal,1 b d η f cd 0,5 (h λ ξ bal,1 d) + + F s1 z 1 + F s z ξ bal,1 d ξ bal, d σ s1 = σ s = f yd bod 3 N Rd = 0 M Rd = mez únosnosti pi namáhání ohybem, - výztuž tažená A s1, tlaená A s viz modul CM bod 4 N Rdt,bal = F s1 M' Rdt,bal = F s1 z 1 bod 5 N Rdt0 = F s1 + F s M Rdt0 = F s1 z 1 F s z Obr..x Interakní diagram meze porušení obdélníkového prezu podle obr..x namáhaného ohybovým momentem a normálovou silou (hodnoty normálových sil jsou uvedeny se znaménkem) - 15 (81) -
Název pedmtu Modul # Budeme-li oznaovat tlakové normálové síly záporným znaménkem a tahové síly se znaménkem kladným a zavedeme-li pedpoklad rovnomrného rozdlení naptí betonu v úinné tlaené oblasti, lze interakní diagram znázornit pomocí bod, jejichž souadnice jsou uvedeny na obr..x. Tento diagram lze využít pi posuzování prezu. Abychom vyjádili okolnost, že pi plném využití betonového prezu (pípad porušení pi rovnomrném pomrném petvoení betonu) se mže projevit vliv nehomogenity prezu, EN 199-1-1 [9] požaduje uvažovat minimální výstednost tlakové normálové síly hodnotou e 0 = h / 30, nejmén však 0 mm, (.x) kde h je výška prezu ve smru namáhání ohybovým momentem, pop. možného vyboení tlaeného prutu. Norma požaduje uvažovat minimální výstednost e 0 v pípad symetricky vyztuženého prezu, ale správn výstednost e 0 by mla být uplatnna i v pípad nesymetricky vyztuženého prezu, a to v pípadech, plného využití betonového prezu. Uvažování výstednosti e 0 je graficky znázornno na obr..x árkovanými arami vycházejícími z poátku souadného systému..1.4. Podmínky spolehlivosti a posuzování prezu pomocí interakního diagramu Ze zavedených pedpoklad pro výpoet meze porušení prezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem vyplývá, že za mez porušení se považuje pípad, kdy alespo v jednom z materiál (v betonu nebo ve výztuži) je dosaženo mezního petvoení. Pi grafickém znázornní je mez porušení popsána arou, pop. plochou porušení. V pípad vícesložkového namáhání lze podmínku spolehlivosti definovat tak, aby bod F popisující vícesložkový silový úinek zatížení, se nalézal uvnit plochy, pop. tlesa omezeného arou, pop. plochou π u popisující návrhovou funkci porušení prezu. Jakým zpsobem se tato podmínka matematicky prokáže, je lhostejné. Postup bude vysvtlen na píkladu železobetonového prezu namáhaného normálovou silou N Ed a ohybovým momentem M Ed. Úinek zatížení je znázornn bodem F 1, interakní diagram meze porušení arou π u viz obr. 6.7. V obrázku pedpokládáme, že normálové síly i ohybové momenty mají kladná znaménka. Pro vyšetení spolehlivosti lze pedpokládat: 1) Do meze porušení zstává normálová síla N Ed konstantní, tedy N RdA = N Ed. V tomto pípad stanovíme k této hodnot odpovídající ohybový moment na mezi porušení M RdA (bod A na áe π u ) a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru M Ed M RdA, pop. e Ed e RdA (6.11) ) Do meze porušení zstává konstantní ohybový moment, tedy M RdB =M Ed. V tomto pípad stanovíme k této hodnot odpovídající normálovou sílu na mezi porušení N RdB (bod B na áe π u ) a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru N Ed N RdB. (6.1a) - 16 (81) -
Navrhování dle ULS Z obr. 6.7 je však zejmé úskalí tohoto druhého zpsobu, nebo pro bod F, pro který platí M Ed > M RdB, mžeme na áe π u stanovit dva píslušné body B a B a podmínku spolehlivosti musíme psát ve tvaru N RdB N Ed N RdB. Proto tento zpsob posouzení spolehlivosti se nepovažuje za vhodný. (6.1b) 3) Do meze porušení se normálová síla i ohybový moment zvtšují ve stejném pomru, tj. zstává konstantní výstednost, tedy e RdC = e Ed ; této výstednosti odpovídá na áe π u bod C a podmínku spolehlivosti lze psát ve tvaru N Ed N RdC, pop. M Ed M RdC. (6.13) 4) Do meze porušení lze teoreticky pedpokládat jakýkoliv vývoj momentu a normálové síly vedoucí nap. do bodu D na áe π u. Obr. 6.7 Grafické znázornní podmínek spolehlivosti.1.4.3 Interakní plocha porušení M Rd, N Rd a podmínky spolehlivosti Zmníme-li smr namáhání prezu, interakní diagram meze porušení se zmní. Tyto diagramy pro rzné smry namáhání lze znázornit na ploše porušení viz obr. 6.8. V obrázku je naznaen interakní diagram ležící v rovin svírající v pdoryse úhel α s osou y a jsou zde vyznaeny možnosti prkazu spolehlivosti 1 až 3, uvedené v pedchozím. Dále je v obr. 6.8 vyznaen ez plochy porušení s rovinou ležící v konstantní vzdálenosti N Ed od roviny os y, z; tohoto ezu vtšinou využíváme pi prkazu spolehlivosti pokud je prez namáhán ohybovým momentem majícím složky M Edy a M Edz. - 17 (81) -
Název pedmtu Modul # Obr. 6.8 Interakní plocha porušení prezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem.1.5 Posuzování prez 6.4.3 Posouzení prezu namáhaného normálovou silou psobící v ose soumrnosti betonového prezu Navržený prez je vždy nutno posoudit, nebo pi návrhu jsme nkteré veliiny odhadovali; teprve posouzení slouží za prkaz spolehlivosti, proto ve statickém výpotu se asto uvádí pouze posouzení. Jak bylo uvedeno v 6.3, postaí prokázat, že bod daný silovými úinky zatížení leží uvnit plochy vymezené souadnými osami a kivkou, pop. plochou meze porušení prezu viz obr. 6.7 a 6.8. Interakní diagram meze porušení obdélníkového prezu lze jednoduše stanovit pomocí bod 0 až 5, jak je uvedeno na obr. 6.6. V pípad posuzování bez interakního diagramu obvykle pedpokládáme, že na mezi porušení platí N Rd = N Ed, tj. pedpokládáme, že porušení dosáhneme zvtšováním ohybového momentu pi konstantní normálové síle. Pi posouzení mžeme pro zjednodušení nahradit interakní diagram v oblasti pevládajícího tlaku úsekami mezi body 0,1 a 1, (pop. úsekou mezi body 0,), v oblasti pevládajícího tahu pak úsekou mezi body 4,5 a obdobn mezi body s árkou. jak je patrné z obr. 6.13 pi M Ed > 0. - 18 (81) -
Navrhování dle ULS Obr. 6.13 Zjednodušení interakního diagramu pro posouzení prezu Z obr. 6.13 je zejmé, že pro posouzení úinku zatížení znázornného bodem F (M Ed, N Ed ) pi pedpokladu N Rd = N Ed, staí ovit podmínku spolehlivosti M Ed M Rd. (6.50) Pedpokládáme-li náhradu interakního diagramu mezi body 1, úsekou, pak hodnotu M Rd mžeme stanovit jako prseík dvou pímek daných vztahy N = N Ed, (6.51) M Rd, bal M Rd1 M = M Rd1 + ( N Rd1 + N Ed ). N Rd1 N Rd, bal (6.5) Pro prseík platí M Rd, bal M Rd1 M Rd = M Rd1 + ( N Rd1 + N Ed ), N Rd1 N Rd, bal (6.53) kde hodnoty M Rd,bal, N Rd,bal, M Rd1, N Rd1 vyíslíme podle vztah (6.5a), (6.5b), (6.7a), (6.7b). Obdobn lze postupovat i v pípadech, kdy bod (M Rd, N Rd ) leží v rozmezí úse- ek 0,1, pop. 0, nebo 4,5. Pi posuzování prez u nichž pevládá ohyb, tj. mezi body a 4,stanovíme polohu neutrální osy ze soutové výminky rovnováhy, opt za pedpokladu N Rd = N Ed. Zde je však nutné sledovat zapoitatelnost výztuže A s viz obr. 6.4. Tuto výztuž lze pln zapoítat pokud je splnna podmínka (6.4). Pokud nerovnost (6.4) není splnna, je teba uvažovat naptí v této výztuži v závislosti na jejím petvoení, a proto v tchto pípadech nelze pímo urit polohu neutrální osy ze soutové výminky, ale je nutno postupovat iteran. Pouze u obdélníkových prez, pi uvažování rovnomrného, pop. bilineárního rozdlení naptí v tlaeném betonu, lze pímo stanovit polohu neutrální osy, avšak z kvadratických, pop. kubických rovnic. Postup posouzení obdélníkového prezu - 19 (81) -
Název pedmtu Modul # V dalším pedpokládáme opt obdélníkové rozdlení tlakového naptí v úinné tlaené oblasti betonu. Nejprve je teba zkontrolovat podmínky minimálního a maximálního vyztužení s použitím vztah (6.34) až (6.38). Mimostedný tlak Posouzení provedeme za pedpokladu N Rd = N Ed (N Ed má záporné znaménko, jedná se o tlak). Uríme hodnoty ξ bal,1 a ξ bal, ε cu3 ξbal, 1 =, ε + ε (6.54) ξ bal, cu3 ε cu3 = ε ε cu3 yd yd (6.55) a stanovíme hodnotu N Rd,bal = λ ξ bal,1 b d η f cd + A s σ s - A s1 f yd, (6.56) ε cu3es ( ξbal.1d d ) kde σ s = f yd pokud ξbal, 1d ξbal,d, jinak σ s =. ξ d bal,1 (6.57) Rozhodneme, zda se jedná o pevládající tlak, nebo pevládající tah, a to: - pokud N Ed > N Rd,bal jedná se o pevládající tlak postup a, - pokud N Ed N Rd,bal jedná se o pevládající tah postup b. a) Pevládající tlak Uríme N Rd0, N Rd1 s využitím vztah (6.6a), (6.7a) a v závislosti na velikosti N Ed ovíme zda se nacházíme v ásti 0,1 lomeného interakního diagramu viz obr. 6.13. Pokud vychází N Ed > N Rd0 prez nevyhovuje. Pokud vychází N Rd0 > N Ed > N Rd1, vyíslíme M Rd0 a M Rd1 s použitím vztah (6.6b) a (6.7b) a uríme hodnotu M Rd bodu (N Ed, M Rd ) ležícího na pímce dané body 0,1 s použitím vztahu M Rd1 M Rd 0 M M + N + N ( ) Rd = Rd 0 Rd 0 Ed, N Rd 0 N Rd1 (6.58) do vztahu (6.58) musíme dosazovat hodnotu ohybového momentu M Rd0 podle (6.6b) se znaménkem. Dále stanovíme souadnice bodu 1 (M Rd1, N Rd1 ) a obdobn stanovíme hodnotu M Rd ležícího na pímce dané body 0,1. Ovíme podmínku spolehlivosti M Rd M Ed M Rd. (6.59) Pokud je e Rd0 e 0 e Ed = M Ed / N Ed e Rd0 + e 0, (6.60) kde e Rd0 = M Rd0 / N Rd0, e 0 = h / 30, nejmén však 0 mm viz (6.10), - 0 (81) -
Navrhování dle ULS je teba ješt ovit, zda nejsme v oblasti vymezené árkovanými arami v obr. 6.13 (ve vrcholu interakního diagramu). Pro prseík pímky dané smrnicí (e Rd0 +e 0 ) s interakním diagramem (viz bod 6 na obr. 6.13) mžeme stanovit M Rd1 + ea N Rd1 N Rd 6 =, ( erd 0 + e0 ) + ea (6.61) M Rd 6 = N Rd 6( erd 0 + e0 ), (6.6) kde M Rd1 M Rd 0 ea =. N Rd 0 N Rd1 Obdobn lze stanovit hodnotu N Rd6 a M Rd6 pro bod 6. Pro prseík pímky dané smrnicí e Ed = M Ed / N Ed s pímkou danou body 6 a 6 mžeme stanovit M Rd 6 + eb N Rd 6 N Rdn =, eed + eb (6.63) kde M Rd 6 M Rd 6 eb =. N Rd 6 N Rd 6 Pokud platí nerovnost N Ed > N Rdn (6.64) prez nevyhovuje. Pokud vychází N Rd1 > N Ed > N Rd,bal, vyíslíme hodnoty N Rd1 a M Rd1 s využitím vztah (6.7a) a (6.7b) a k hodnot N Rd,bal, již díve vyíslené podle vztahu (6.56), dopoteme M Rd,bal = λ ξ bal,1 b dη f cd 0,5 (h - λ ξ bal,1 d) + A s σ s z + A s1 f yd z 1. (6.65) Dále stanovíme hodnotu M Rd ze vztahu (6.53). Pro podmínku spolehlivosti platí vztah (6.50). Obdobn lze postupovat, pokud interakní diagram v oblasti 0, nahradíme pímkou; tato náhrada je však dosti konzervativní. b) Pevládající tah Mimostedný tlak a ohyb Za pedpokladu N Rd = N Ed stanovíme ze soutové výminky rovnováhy polohu neutrální osy N Ed As σ s + As 1 f yd x =, (6.66) λbηf cd kde v prvním kroku pedpokládáme σ s = f yd. Pokud vyjde x ξ bal, d (6.67) byl pedpoklad správný a takovou výztuž lze tedy pln zapoítat. Pokud však nerovnost (6.67) není splnna, musíme hodnotu x urit iterací. V iteraním kroku lze hodnotu σ s vyjádit z obrazce petvoení pi uvažování - 1 (81) -
Název pedmtu Modul # hodnoty x stanovené v pedchozím iteraním kroku, tedy v 1. iteraním kroku lze uvažovat cu3 ( x d ) s = ε Es σ. (6.68) x Po stanovení hodnoty x stanovíme z momentové podmínky M = λ bxηf 0,5 h λx + A σ z A f z. (6.69) ( ) s s s1 yd 1 Rd cd + Pro podmínku spolehlivosti platí vztah (6.50). Mimostedný tah Posouzení provedeme za pedpokladu N Rd = N Ed (N Ed má kladné znaménko, jedná se o tah). Stanovíme hodnotu N Rdt,bal = A s1 f yd. (6.70) Rozhodneme: - pokud N Ed < N Rdt,bal, jedná se o tah s psobícím tlaeným betonem postup a, - pokud N Ed N Rdt,bal, jedná se o tah s vyloueným taženým betonem postup b. - a) Tah s psobícím tlaeným betonem Postup je stejný jako u tlaku s pevládajícím ohybem, avšak ve vztahu (6.66) bude N Ed = - N Ed, tedy N Ed As σ s + As 1 f yd x =. λbηf cd b) Tah s vyloueným taženým betonem Stanovíme N Rdt0 = (A s1 + A s ) f yd. (6.71) Pokud je N Ed > N Rd0, prez nevyhovuje. Pokud uvedená nerovnost není splnna, stanovíme M Rdt0 = A s1 f yd z 1 - A s f yd z, (6.7) M Rdt,bal = A s1 f yd z 1 (6.73) a uríme hodnotu M Rd bodu (N Ed, M Rd ) ležícího na pímce 4,5 s použitím vztahu M Rdt, bal M Rdt0 M Rd = M Rdt0 + ( N Rdt0 N Ed ). N Rdt0 N Rdt, bal (6.74) Do vztahu (6.74) musíme dosazovat hodnoty ohybových moment se znaménkem. Dále stanovíme souadnice bodu 4 (N Rdt,bal = A s f yd, M Rdt,bal = - A s f yd z ) a obdobn stanovíme hodnotu M Rd ležícího na pímce 4 5. Ovíme podmínku spolehlivosti M Rd M Ed M Rd. (6.59) - (81) -
Navrhování dle ULS 6.4 Posouzení prez namáhaných normálovou silou psobící mimo osy soumrnosti betonového prezu Mez porušení vyztuženého prezu namáhaného normálovou silou psobící mimo hlavní osy setrvanosti betonového prezu se obecn vyšetuje za pedpoklad uvedených v odst. 6.. Pokud nevyužíváme poítaové programy, pak pi zavedení pedpokladu parabolicko lineárního, nebo bilineárního rozdlení naptí v tlaeném betonu a uvažování pracovního diagramu výztuže se stoupající vtví, je výpoet velmi pracný. S výhodou lze využít nkterých zjednodušených metod, nebo použít grafického ešení, které je názorné. Pi použití zjednodušených metod musíme však respektovat omezující podmínky pro jejich použití. Povšimneme-li si interakní plochy porušení viz obr. 6.8; je zejmé, že pokud psobišt síly bude ležet poblíže hlavní osy soumrnosti (bude ležet ve vyšrafovaných plochách (viz obr. 6.14). Pak je možné prez navrhnout i posoudit pi zanedbání výstednosti v druhém smru. Oddlené posouzení v hlavních osách soumrnosti se pipouští, pokud jsou splnny podmínky ey / h ez / b 0, nebo 0,, (6.75) e / b e / h z y kde b,h jsou náhradní rozmry prezu dále stanovené viz obr. 6.14, b = 1 a h = 1 i y i z i y,i z je polomr setrvanosti prezu vzhledem k ose y,z, e z = M Edy /N Ed ; výstednost ve smru osy z, e y = M Edz /N Ed ; výstednost ve smru osy y, M Edy návrhová hodnota ohybového momentu psobícího kolem osy y, M Edz návrhová hodnota ohybového momentu psobícího kolem osy z, N Ed návrhová normálová síla. Pozn.: U štíhlých prvk (viz. kap. 7) musí být ješt splnny podmínky pomr štíhlostí λ y /λ z a λ z /λ y, kde λ = l 0 / i s ohledem na píslušné osy y, z). Obr. 6.14 Definice výstedností e y a e z - 3 (81) -
Název pedmtu Modul # V pípad, že podmínka (6.75) není splnna, lze využít kivku ezu interakního diagramu vedeného v úrovni N Rd = N Ed - viz obr. 6.8. Podmínku spolehlivosti pak lze psát ve tvaru a a M Edy M Edz + 1,0, M Rdy M Rdz (6.76) kde M Edy, M Edz je návrhová hodnota ohybového momentu, vyvozeného zatížením, toícího kolem osy y, resp. z, M Rdy, M Rdz návrhová hodnota ohybového momentu na mezi únosnosti toícího kolem osy y, z, a souinitel, jehož hodnota závisí na tvaru prezu a pomru N Ed /N Rd ; pro kruhové a eliptické prezy: a = pro pravoúhelníkové prezy: N Ed /N Rd0 0,1 0,7 1,0 a = 1,0 1,5,0 pro mezilehlé hodnoty N Ed /N Rd0 lze interpolovat, N Ed návrhová hodnota normálové síly vyvozené zatížením, N Rd0 návrhová hodnota normálové síly na mezi únosnosti daná vztahem N Rd0 = A c η f cd + A s f yd, A c plocha betonového prezu, A s prezová plocha podélné výztuže. Text kapitoly.1.5.1 Posouzení prezu obecného tvaru Text kapitoly.1.5. Posouzení obdélníkového prezu Text kapitoly.1.5.3 Posouzení prezu vnitního trámu s deskou Text kapitoly.1.5.4 Posouzení prezu krajního trámu s deskou Text kapitoly.1.6 Navrhování výztuže do prez 6.3 Návrh a posouzení prez namáhaných normálovou silou psobící v ose soumrnosti betonového prezu 6.3.1 Návrh rozmr prezu V praxi se setkáváme velmi asto s obdélníkovými prezy soumrn vyztuženými, pokud pevládá namáhání tlakovými normálovými silami, nebo normálovými silami a ohybovými momenty psobícími v pibližn stejných velikostech v obou smrech nap. pi zatížení vtrem, pop. i nesoumrn vy- - 4 (81) -
Navrhování dle ULS ztuženými, pokud pevládá namáhání normálovými silami a vtšími ohybovými momenty psobícími pouze v jednom smru (lze pedpokládat cca e d > 0,5 h). Pi návrhu je teba zvážit následující kombinace namáhání: - v absolutní hodnot maximální tlaková normálová síla s píslušným ohybovým momentem: max N Ed, M Ed ; - maximální hodnota ohybového momentu a píslušnou normálovou sílou: max M Ed1, N Ed1 ; - maximální hodnota ohybového momentu psobícího v opaném smru než psobí M Ed1 s píslušnou hodnotou normálové síly max M Ed, N Ed. Pi návrhu rozmr prezu vycházíme z hodnoty normálové síly N Ed a ohybového momentu M Ed. V rovnicích rovnováhy se pedpokládá, že návrhové hodnoty meze porušení se práv rovnají návrhovým hodnotám úink zatížení, tj. N Rd = N Ed, M Rd = M Ed. Pi pevládající normálové síle N Ed, pop. pi prvním kroku návrhu, pokud nejsme jisti, že pevládá ohybový moment, uríme návrhovou plochu tlaeného betonu ze vztahu N Ed Acd, 0,9η fcd + ρsσ s (6.14) kde ρ s je celkový zvolený geometrický stupe vyztužení ρ s = A s / A cd ; σ s = f yd pokud f yd ε c E s, jinak σ s = ε c E s. Dále uríme h d = (6.15) a h d porovnáme s výstedností e Ed. Pokud platí e Ed 0,1 h d, navrhneme tvercový prez o stran h h d. Ve vztahu (6.14) zpravidla volíme ρ s v rozmezí 0,003 až 0,03. Jedná-li se nap. o sloup vícepodlažní rámové konstrukce a chceme-li navrhnout sloup stejného prezu pes nkolik podlaží, pak pi návrhu plochy A cd nejvíce namáhaného sloupu mžeme volit ρ s = 0,0 až 0,04. Pokud vychází 0,1 h d < e Ed 0,5 h d, navrhneme obdélníkový prez o výšce h 3 A / a o šíce b h /3. cd Pi pevládajícím ohybovém momentu, tj. pokud vychází 0,5 h d < e Ed h d, mžeme prezové rozmry stanovit z momentové výminky pro rozhraní mezi tlakovým a tahovým porušením, tj. ze vztahu (6.5b). Uvažujeme-li M Rd,bal = M Ed, d = 0,9 h d, z 1 = z = 0,4 h d, ρ s = (A s1 + A s ) / (b h d ), obdržíme po dosazení do vztahu (6.5b) M Ed = λ ξ bal,1 b 0,9 h d η f cd 0,5 (h d - λ ξ bal,1 0,9 h d ) +ρ s b h d f yd 0,4 h d, odkud h d M Ed =. [, 45λξ ( 1 0, 9λξ ) ηf 0, 4ρ f ]b 0 bal, 1 bal, 1 cd + (6.16) Zvolíme-li b, mžeme ze vztahu (6.48) stanovit h d, piemž by mlo vyjít h d (0,5až 0,67) b; pokud nedosáhneme tohoto pomru, zvolíme nové b a postup opakujeme. Výšku prezu pak navrhneme h h d. s yd A cd - 5 (81) -
Název pedmtu Modul # Pevládá-li významn ohybový moment, tj. e Ed > h d, pak rozmry prezu lze navrhnout jako u ohýbaného jednostrann vyztuženého obdélníkového pr- ezu namáhaného momentem M Ed pi uvažování ξ max viz kap. 4. Momentová výminka vztažená k tžišti tažené výztuže pi uvažování M Rd = M Ed je M Ed = λ ξ max b d d η f cd (d d 0,5 λ ξ max d d ) odkud M Ed d = d bηf λξ 1 0, 5λξ cd max ( ). max (6.17) Zvolíme-li b, mžeme ze vztahu (6.17) stanovit d d ; volíme-li d 1 = 0,1d d (obr. 6.4), bude h d = 1,1 d d, piemž by mlo platit b (0,5 až 0,67) h d ; pokud nedosáhneme tohoto pomru, zvolíme nové b a postup opakujeme. Výšku prezu pak navrhneme h h d. Navržené rozmry se obvykle zaokrouhlují na násobek 50 mm, pop. s pihlédnutím k rozmrm použitého bednní. 6.4. Návrh výztuže Pi návrhu ekonomické výztuže mimostedn namáhaného prezu daného tvaru, budeme navrhovat výztuž pouze tam, kde v ní naptí dosahuje návrhové pevnosti, tj. výztuž je pln využita. Z obr. 6.9 je zejmé, že pokud bude bod daný úinky návrhového zatížení (M Ed, N Ed ) ležet vn vyšrafované plochy, je teba navrhnout výztuž. Obr. 6.9 Optimální výztuž obdélníkového prezu mimostedn namáhaného Pokud je N Ed tlakovou silou (N Ed < 0) pak platí: N Ed > N c,bal, jedná se o pípad tlakového porušení, tj. bude rozhodovat pevládající tlak, N Ed N c,bal, jedná se o pípad tahového porušení, bude rozhodovat pevládající tah ve výztuži. Pokud je N Ed tahovou silou (N Ed >0), jedná se vždy o tahové porušení. - 6 (81) -
Navrhování dle ULS V obr. 6.9 jsou pímkami až a 5 vyznaeny oblasti, ve kterých lze v závislosti na namáhání prezu rzn využit tlaený beton: v oblasti I bude výška tlaené oblasti x = x bal,1 ; je teba navrhnout výztuž A s1 a A s, v oblasti II bude výška tlaené oblasti x bal,1 < x < h; je teba navrhnout pouze výztuž A s, v oblasti III bude výška tlaené oblasti x < x bal,1 ; je teba navrhnout výztuž A s1, v oblasti IV bude tlaen celý betonový prez; je teba navrhnout výztuž A s1 a A s, v oblasti V beton nepsobí; je teba navrhnout výztuž A s1 a A s. Poznámka: Pímky a a a 4 jsou dány úhlem arctan (1/z ), obdobn pímky a 3 a a 5 jsou dány úhlem arctan (1/z1)- viz obr. 6.9. Pi návrhu budeme uvažovat návrhovou hodnotu normálové síly N Ed se znaménkem kladným, pokud je tahem, a se znaménkem záporným, pokud je tlakem, M Ed je vždy uvažován jako kladný moment. Návrh ekonomické výztuže obdélníkového prezu namáhaného normálovou silou psobící v ose symetrie betonového prezu Pro výpoet je vhodné vyjádit ohybový moment od návrhového zatížení k tžišti výztuže A s1 a A s viz obr. 6.10 M Ed1 = M Ed N Ed z1, (6.18) M Ed = M Ed + N Ed z. (6.19) Obr. 6. 10 Mimostedn namáhaný prez momenty vztažené k tžištím výztuží Pi pevládajícím tlaku není teba v oblasti II Pi pevládajícím tlaku není teba v oblasti II tahová výztuž, pedpokládáme že úinek zatížení bude penášet pouze tlaený beton a tlaková výztuž A s. Proto z momentové podmínky psané k tžišti výztuže A s stanovíme polohu neutrální osy; pro obdélníkový prez lze použít vztah d M Ed x = 1 + 1 ; λ bd ηfcd (6.0) - pokud vychází x bal,1 < x < h/, nalézáme se v oblasti II a návrhovou (požadovanou required) plochu výztuže A s,req stanovíme ze soutové výminky N Ed λbxηf cd As,req = ; f (6.1) yd - 7 (81) -
Název pedmtu Modul # - pokud vychází x h/, nalézáme se v oblasti IV a návrhové plochy výztuže A s1,req a A s,req stanovíme z momentových podmínek M Ed bhηfcd z As 1,req =, σ s ( z1 + z ) (6.) M Ed1 bhηfcd z1 As,req =. σ s ( z1 + z ) (6.3) kde σ s = f yd pokud f yd ε c E s, jinak σ s = ε c E s ; v oblasti IV je teba vždy poítat s minimální výstedností e 0, tj. uvažovat hodnotu ohybového momentu M Ed M Ed,min = N Ed e 0 ; s ohledem na požadovanou minimální výstednost e 0, doporuuje se v oblasti IV stanovit A s1,req a A s,req a navrhnout symetrickou výztuž A si > max (A s1,req ; A s,req ); - pokud vychází x x bal, a souasn x x bal,1, pop. x vychází jako nereálné íslo, pak se nalézáme v oblasti I a návrhové plochy výztuže A sd a A s1d stanovíme z momentové a soutové podmínky M Ed1 λbξbal, 1dηfcd 0, 5( h ξbal, 1d ) As,req =, f z + z (6.4) N + λbxηf yd ( ) Ed cd As 1,req = + As d f yd 1. (6.5) Pi pevládajícím tahu není teba v oblasti III tlaková výztuž, pedpokládáme že úinek zatížení bude penášet pouze tlaený beton a tahová výztuž A s1. Proto z momentové podmínky psané k tžišti výztuže A s1 stanovíme polohu neutrální osy. Pro obdélníkový prez platí d M Ed1 x = 1 1 ; λ bd ηfcd (6.6) - pokud vychází 0 < x x bal,1, nalézáme se v oblasti III a návrhovou plochu výztuže A s1d stanovíme ze soutové výminky N Ed + λbxηf cd As 1,req = ; f yd (6.7) - pokud se nalézáme v oblasti I, položíme x = x bal,1, návrhové plochy výztuže A s1d a A sd stanovíme opt ze vztah (6.4) a (6.5); - pokud se nalézáme v oblasti V, pedpokládáme, že beton nepsobí; návrhové plochy výztuže A s1d a A sd stanovíme z momentových podmínek M Ed As 1,req =, f z + z (6.8) A (6.9) Poznámka: yd ( ) 1 M Ed1 s,req =. f yd ( z1 + z ) - 8 (81) -
Navrhování dle ULS Pro stanovení hodnoty x ze vztah (6.0), pop. (6.6), mžeme postupovat též následovn: a) ovíme zda nejsme ve vyšrafované oblasti (obr. 6. 9), tj. zda platí pi N Ed < 0 N Ed λ b x η f cd (6.30) (6.31) M Ed λ b x η f cd 0,5 (h - λ x) b) pokud jsou splnny nerovnosti (6.6) a (6.7), mžeme úinky N Ed, M Ed rozložit na ást penášenou betonem a zbývající, kterou bude teba penést výztužemi viz obr. 6. 11; plochy výztuží stanovíme ze vztah (6.3) A N M 1 =, z σ s1,req s s (6.33) A N M 1 =, z σ s,req + s s kde σ s = f yd ; avšak v oblasti IV σ s = f yd pouze pokud f yd ε ci E s, jinak σ s = ε ci E s, (6.34) (6.35) (6.36) (6.37) N = - N Ed - F c, M = M Ed - M c, F c = λ b x η f cd, M c = λ b x η f cd 0,5 (h - λ x). Navrhneme výztuž tak, aby platilo že plocha provedené (poskytnuté provided) výztuže byla vtší nebo rovna ploše návrhové (požadované required) výztuže a zárove splovala požadavky kladené normou na minimální a maximální plochu výztuže A si,prov A si,req A si,min, (6.38) kde i = 1,. Tam, kde výztuž není staticky nutná, navrhujeme u prvk mimostedn namáhaných A si,prov A si,min, (6.39) piemž pro plochu obou výztuží A s = A s1 + A s musí platit A s,min A s,prov A s,max, (6.40) kde podle normy EN 199-1-1 [9] - pro tlaenou výztuž platí - 9 (81) -
Název pedmtu Modul # A si,min je vtší z hodnot A si,min 0,05 N Ed / f yd ; A si,min 0,001 A c, (6.41a) A s,min = A si,min, (6.41b) A s,max = 0,04 A c, (6.41c) A c je celková plocha prezu (b. h); - pro taženou výztuž platí A si,min je vtší z hodnot A si,min 0,6 f ctm b t d / f yk ; A si,min 0,0013 b t d, (6.4) b t je šíka tažené oblasti, d je úinná výška prezu. Obr. 6.11 Návrh hospodárné výztuže obdélníkového mimostedn namáhaného prezu Návrh symetrické výztuže obdélníkového prezu je jednoduše proveditelný pouze v pípad, že pi N Ed < 0 pro (6.43) x = N Ed λbηf cd - 30 (81) -
Navrhování dle ULS platí (6.44) v tomto pípad (6.45) ξbal. d x ξbal, 1d, A M + N 0, 5 ( h λx) Ed Ed s1,req = As,req =. zs f yd V ostatních pípadech lze navrhnout nesymetrickou výztuž, kterou symetrizujeme podle vtší z navržených výztuží; tento postup je však nehospodárný, zejména pokud pevažuje ohybový moment psobící v jednom smru. V praxi se pro návrh symetrické výztuže tlaených sloup používají nomogramy. Pi použití tchto graf se potupuje následovn: a) stanovíme pomrný moment (6.46) b) pomrnou normálovou sílu (6.47) c) z graf odeteme mechanický stupe vyztužení (6.48) d) pomocí hodnoty ω stanovíme (6.49) A M =, Ed µ bh ηfcd N Ed ν =, bhηf cd cd Asi f yd ϖ =, bhηf 0,5ωbhηf cd s1 d = As d =. f yd Píklad nomogramu pro návrh symetrické výztuže obdélníkového prezu, pevzatý z literatury [4], je uveden na obr. 6.1. Graf je sestrojen pro betony C 1/16 až C 50/60 (η = 1,0) pi uvažování parabolicko rektangulárního rozdlení naptí v tlaeném betonu, ocel s charakteristickou hodnotou meze kluzu 500 MPa a pro pomr vzdálenosti tžišt výztuže A s1 od bližšího okraje prezu d 1 k celkové výšce prezu h rovný 0,067. Na obrázku je pro dané namáhání pr- ezu znázornno i jeho petvoení. - 31 (81) -
Název pedmtu Modul # Obr. 6.1 Nomogram pro návrh symetrické výztuže obdélníkového prezu podle [4] 6.6 Ovinuté sloupy Ovinutím sloupu hustými tmínky nebo šroubovicí s malým stoupáním zabráníme pínému petvoení betonu. Pi zatížení sloupu vzniká pak trojrozmrný stav napjatosti, pi kterém se zvýší pevnost betonu ovinutého jádra. Píznivý úinek ovinutí se zvtšuje, pokud naptí ve výztuži nepesáhne mez kluzu, což ve výpotech na mezi únosnosti se zohleduje tím, že ve výztuži ovinutí uvažujeme návrhovou hodnotu pevnosti této výztuže. Na obr. 6.15 je porovnáno chování neovinutého a ovinutého sloupu pi teoreticky dostedném zatížení (obr. 6.15a) a pi zatížení psobícím s výstedností e = 0,5 h (obr. 6.15b). Z tchto obrázk je zejmé, že píznivý vliv ovinutí se mže výrazn uplatnit pouze v pípad, kdy k mezi porušení prezu výrazn pispívá beton, tj. v pípadech tlakového porušení pi velmi malé výstednosti (cca e Ed h/ 8). Vlivem ovinutí se též výrazn zvýší mezní pomrné petvoení betonu, což je významné zejména v oblastech, kde se mže uplatnit seismicita. Obr. 6.15 Chování neovinutého a ovinutého sloupu a) pi dostedném zatížení, b) pi zatížení psobícím s výstedností e = 0,5 h - 3 (81) -
Navrhování dle ULS Ovinutí tedy pízniv ovlivní pracovní diagram betonu (tlakové naptí uvažováno kladnou hodnotou) viz obr. 6.16. Ovinutím dochází ke zvýšení jak pevnosti betonu v tlaku, tak jeho petvoení, a to v závislosti na tom, jaké boní tlakové naptí σ je schopno toto ovinutí vyvinout. Pibližn lze podle EN 199-1-1 [10] uvažovat: f ck,c = f ck (1,000 + 5,0 σ / f ck ) pi σ < 0,05 f ck (6.77) f ck,c = f ck (1,15 +,5 σ / f ck ) pi σ > 0,05 f ck (6.78) ε c,c = ε c (f ck,c / f ck ) (6.79) ε cu,c = ε cu + 0, σ / f ck. (6.80) Obr. 6.16 Pracovní diagram ovinutého betonu Návrhovou mez porušení v tlaku pi teoretickém plném využití materiál ovinutého prezu lze stanovit ze vztahu N Rd0 = A c0 f cd,c + A s f yd, (6.81) kde A c0 plocha betonu ovinutého jádra, f cd,c zvýšená návrhová pevnost betonu v tlaku vlivem ovinutí f cd,c = f ck,c /γ c, prezová plocha podélné výztuže. A s Píklad.1 Píklady, úkoly a cviení doporuujeme vysázet odsazen od levého okraje a zvýraznit kurzívou. Obdobn naformátovat úkoly a cviení viz styl Píklad. Píklady, úkoly, cviení, ale i obrázky a tabulky se íslují dvmi ísly, kde první íslo je íslo hlavní kapitoly, druhé pak poadové íslo v rámci této kapitoly, nap.: Tab..1: To a to Text kapitoly Úkol.1 Zadání kontrolního úkolu. Text kapitoly Cviení Cviení - 33 (81) -
Název pedmtu Modul # ešení ešení úkol, cviení apod., nejsou-li uvedeny souhrnn v klíi. Kontrolní otázky Kontrolní otázky i otázky k zamyšlení opt uvést odsazen, kurzívou, se svislou arou podél textu otázky. Staí jim piadit styl Otázka. Pichystání dalších typ text s píslušnými ikonkami (možno kamkoliv do dokumentu nakopírovat). Poznámka Text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky text poznámky Informace Informacemi mže být Prvodce modulem, mohou jimi být doplkové informace pro studující apod. Korespondenní úkol Zadání a pokyny k úkolu(-m), který je teba zaslat (klasicky i elektronicky) vyuujícímu apod.. Místní namáhání Text kapitoly.3 Prvky z prostého a slab vyztuženého betonu.3.1 Základní rozdíly v chování prvk z prostého (slab vyztuženého) betonu a prvk ze železobetonu Prvky z prostého betonu jsou prvky nevyztužené betonáskou výztuží, schopnou po vzniku trhlin od návrhového zatížení pevzít v tahové oblasti betonového prezu píslušné tahové síly. Prvky ze slab vyztuženého betonu mají sice uritou betonáskou výztuž, která však nespluje požadavky na minimální stupe vyztužení železobetonového prezu, což znamená, že po vzniku trhlin ani na mezi únosnosti není schopna pevzít tahové síly penášené do vzniku trhlin samotným betonovým prezem. Z tchto dvod lze chování prvk ze slab vyztuženého betonu uvažovat podobn jako u prvk z prostého betonu, zvlášt na mezi únosnosti po vzniku trhlin. Betonáskou výztuž slab vyztužených prvk lze však využít pi posouzení místních mezních stav namáhání (nap. píných tah v místech soustedného zatížení, zvýšení bezpenosti proti peklopení v pracovních spárách apod.), pop. i pro zvýšení použitelnosti a životnosti prvku. - 34 (81) -