9. Modelování operačního rizika Lucie Mazurová Operační riziko lze chápat obecně jako riziko ztráty v důsledku provozních nedostatků a chyb, resp. jako riziko plynoucí z operací firmy. Operační riziko se přitom nevztahuje na produkci nebo služby poskytované firmou. (Například u banky operační riziko nezahrnuje ztráty v důsledku obchodování, investování, půjčování peněz apod. v rozsahu normálních aktivit banky. Oproti tomu ztráta vzniklá jednáním obchodníka, který při obchodování překročil povolený limit, bude pod ztráty z operačního rizika zahrnuta.) Pojem operačního rizika lze obecně aplikovat na jakoukoli firmu či organizaci, metody pro měření a modelování tohoto rizika se však nejvíce rozvíjely v bankách. V současnosti se díky zohlednění operačního rizika směrnicí Evropské Unie známou jako Solventnost II stává otázka modelování operačního rizika aktuální rovněž pro pojišt ovny. 9.1 Operační riziko v rámci koncepce Basel II Pod názvem Basel II je známa metodika řízení rizik v bankách vypracovaná Basilejským výborem pro bankovní dohled ([2]). Tato metodika je součástí legislativy Evropské Unie, v České republice je implementována vyhláškou ČNB ([1]). Uved me definici operačního rizika dle Basel II (shodně definuje operační riziko pro pojišt ovny Solventnost II): Operační riziko je riziko ztráty vyplývající z nedostatečnosti nebo selhání vnitřních procesů, osob, systémů, nebo z vnějších událostí. Pod tuto definici spadá právní riziko (tj. např. riziko, že protistrana není právně způsobilá uzavírat kontrakt nebo riziko konfliktu transakcí s legislativou). Výše uvedená definice naopak nezahrnuje strategické rizko (riziko ztráty v důsledku špatného obchodního rozhodnutí) ani reputační riziko (poškození reputace je chápáno jako důsledek jiného selhání v oblasti operačního rizika). Basel II uvádí kategorizaci operačního rizika na různých úrovních dle typů událostí, které vedou ke ztrátě. Pro ilustraci zde uved me základní typy ztrátových událostí s některými konkrétními příklady: vnitřní nekalé jednání (podvod, zpronevěra, obcházení právních či vnitřních předpisů), vnější nekalé jednání (ze strany třetí osoby), pracovněprávní postupy a bezpečnost provozu (újma na zdraví, diskriminace zaměstnanců), klienti, produkty, obchodní postupy (neplnění závazků vůči klientovi, ochrana osobních dat, vady produktů), škody na hmotném majetku (přírodní katastrofy a jiné události), narušení činností a selhání systémů (hardware, software, telekomunikace), provádění transakcí, dodávky, řízení procesů (zpracování transakcí, vztahy se smluvními partnery). 1
Metodika Basel II je založena na koncepci tří pilířů, z nichž první zahrnuje výpočet minimálních kapitálových požadavků, druhý stanoví pravidla pro dohled regulátorů nad kapitálovou přiměřeností a pro interní systémy řízení rizik, třetí pilíř je označován jako tržní disciplína a obsahuje požadavky na zveřejňování informací důležitých pro účastníky trhu. Poznamenejme, že tato struktura byla převzata i do evropské směrnice Solventnost II. Pro účely kapitálové přiměřenosti banka stanovuje minimální kapitálové požadavky k úvěrovému, tržnímu a operačnímu riziku. Pro výpočet kapitálového požadavku k operačnímu riziku jsou v zásadě možné tři přístupy: 9.1.1 Přístup základního ukazatele (BIA-Basic Indicator Approach) Kapitálový požadavek k operačnímu riziku se podle přístupu BIA stanoví jako průměr za poslední 3 roky z pevně stanoveného podílu (dále označovaného α) z kladných ročních hrubých výnosů. Matematicky lze kapitálový požadavek v roce t vyjádřit formulí kde C t BI = 1 Z t Z t = 3 α max(gi t i, 0), (1) i=1 3 i=1 I [GI t i >0] a GI j označuje hrubý roční výnos v roce j. (Poznamenejme, že hrubý roční výnos je definován jako čistý úrokový plus čistý neúrokový výnos, je počítán před odečtením nákladů na tvorbu opravných položek a rezerv a provozních nákladů, nezahrnuje realizovaný zisk nebo ztrátu z prodeje nástrojů investičního portfolia, mimořádné a nepravidelné výnosy a výnosy z pojistného plnění.) Na základě dopadových studií byla stanovena výše podílu α na 15%. 9.1.2 Standardizovaný přístup Pro účely standardizovaného přístupu se uvažuje činnost banky rozdělená do osmi linií podnikání: podnikové financování, obchodování na finančních trzích, retailové makléřství, podnikové bankovnictví, retailové bankovnictví, zúčtovací služby pro třetí osoby, služby z pověření, obhospodařování aktiv. Pro každou linii podnikání slouží hrubý výnos jako přibližná míra expozice riziku. Kapitálový požadavek pro linii j je vypočítán vynásobením hrubého výnosu daným faktorem β j. Celkový kapitálový požadavek je pak stanoven jako tříletý průměr z kladných součtů dílčích požadavků stanovených pro jednotlivé linie podnikání: [ CS t = 1 3 8 ] max β j GI t i j, 0. (2) 3 i=1 j=1 2
Poznamenejme, že výše uvedená formule umožňuje použít záporný kapitálový požadavek v linii podnikání se záporným hrubým výnosem ke snížení kapitálových požadavků v ostatních liniích. Předepsaná výše koefiicentů β ve formuli (2) se pohybuje v rozmezí 12%-18%. Výše uvedené elementární přístupy nezohledňují úspěšnost banky v předcházení škod z operačních rizik. Jsou určeny bankám s malou expozicí operačnímu riziku. Mezinárodně působícím bankám s velkou rizikovou expozicí je doporučován pokročilý přístup, který bude obsahem dalšího výkladu. 9.1.3 Pokročilý přístup (AMA - Advanced Measurement Approach) AMA přístup představuje výpočet kapitálového požadavku vycházející z interních modelů operačního rizika banky. Jeho použití podléhá schválení regulátorem, které je podmíněno splněním řady kvalitativních a kvantitativních podmínek. Uved me některé zásadní požadavky na akceptovatelný model. Model pro měření operačního rizika musí být dostatečně detailní a musí postihovat možnost výskytu extrémně velkých škod. Kapitálový požadavek má být stanoven tak, aby zahrnoval neočekávanou i očekávanou ztrátu, při tom má být dosaženo standardu srovnatelného s hladinou spolehlivosti 99,9% v průběhu ročního období. Banka musí shromažd ovat interní data o škodách z operačního rizika, výpočet míry rizika pro stanovení kapitálového požadavku má být založen na datech z nejméně pětiletého období (při přechodu na AMA přístup stačí zpočátku období tříleté). Interní systém pro měření operačního rizika zároveň musí užívat relevantní externí data. Předpokládá se, že interní data vypovídají o škodách opakujících se s relativně velkou frkvencí, externí data by měla sloužit k modelování škod, které nastávají zřídka, avšak mají velký dopad. Interní model operačního rizika musí rovněž zahrnovat testování scénářů. Dále uved me typickou stochastickou strukturu popisující data o ztrátách z operačního rizika, použitelnou v AMA přístupu. Od banky se požaduje, aby byla data o škodách tříděna dle výše uvedených 8 linií podnikání a 7 základních typů škodních událostí. Předpokládejme tedy pro výpočet kapitálového požadavku pro rok t data z minulých T let ve struktuře (T 5): X t i,b,l k, i = 1,..., T, b = 1,..., 8, l = 1,..., 7, k = 1,..., N t i,b,l, (3) kde X t i,b,l k představuje k-tou škodu typu l v linii b v roce t i a N t i,b,l je počet škod typu l v linii b v roce t i. Typické je stanovení dolní meze pro výši škod zahrnutých do modelu (například v řádu 10 000 EUR), takže rozdělení veličin (3) je možno chápat jako zleva useknuté rozdělení, tj. odvozené z rozdělení celkových výší škod jako podmíněné rozdělení s distribuční funkcí typu P (X x X > d). 3
Celková výše škod v linii b v roce t i má tedy vyjádření L t i,b = 7 l=1 N t i,b,l odkud získáme sečtením vyjádření celkové výše škod v roce t i: L t i = k=1 X t i,b,l k, (4) 8 L t i,b. (5) b=1 Klíčovou úlohou je nyní využití škodních dat k odhadu rozdělení celkové škody v roce t, L t a výpočet vhodné míry rizika pro odhadnuté rozdělení. Označíme-li jako ρ α zvolenou míru rizika pro požadovanou hladinu spolehlivosti α, můžeme kapitálový požadavek k operačnímu riziku stanovený pomocí přístupu AMA obecně vyjádřit vztahem C t AM = ρ α (L t ). (6) Pokud nevíme nic o struktuře sdruženého rozdělení škodních veličin v (4) a (5), můžeme stanovit kapitálový požadavek sečtením dílčích hodnot pro jednolivé linie podnikání: C t AM = 8 ρ α (L t,b ). (7) b=1 Nječastější volbou pro míru rizika je hodnota v riziku, VaR α, definovaná jako α-kvantil uvažovaného rozdělení celkové škody. Při této volbě by pak vztahy (6) a (7) dávaly stejný výsledek, pokud by veličiny vyjadřující škodní úhrny za jednotlivé linie podnikání byly komonotónní. Pravidla pro využití AMA přístupu umožňují bankám vytvářet vlastní modely pro měření korelací mezi jednotlivými kategoriemi ztrát, které ovšem podléhají schválení orgánem dohledu. Podrobně o možnostech agregace rizik a měření závislostí pojednávají například kapitoly 3 a 5 textu [3]. Alternativní volbu míry rizika představuje zbytková hodnota v riziku, TVaR α, která je definována jako střední hodnota uvažovaného rozdělení za podmínky, že dojde k překročení hodnoty v riziku VaR α. Vztah mezi oběma zmíněnými mírami rizika tedy lze zapsat rovností TVaR α (L) = Var α (L) + e (VaR α (L)), (8) kde e(u) = E(L u L > u) (9) je střední hodnota excesů nad mezí u. Pokud je zbytková hodnota v riziku (8) užita ke stanovení kapitálového požadavku, poskytuje v případě překročení meze dané kvantilem VaR α prostředky ve výši odpovídající očekávané velikosti překročení této meze. Prostřednictvím střední hodnoty e (VaR α (L)) umožňuje zbytková míra v riziku zohlednit charakter chvostu rozdělení ztrátové veličiny L. 4
Podrobnější výklad vlastností hodnoty v riziku a zbytkové hodnoty v riizku lze nalézt například v kapitole 2 textu [3]. Z výše nastíněného postupu vyplývá, že modelování ztrát z operačního rizika založené na historických datech v mnoha ohledech připomíná modelování škodních úhrnů v neživotním pojištění. V literatuře určené odborníkům v oblasti řízení rizik se proto k modelování operačního riizka často doporučují metody známé z aktuárské literatury (viz např. [4], [5]). V dalším výkladu se budeme podrobněji věnovat některým aspektům stochastických modelů, typickým pro operační riziko. 9.2 Tradiční aktuárský přístup k modelování ztrát z operačního rizika Pro modelování celkových úhrnů škod pro jednotlivé linie podnikání a typy škodních událostí se nabízí přístup kolektivního modelu rizika, kde je úhrn škod za určité období popsán veličinou typu N S = X i, (10) i=1 která má složené rozdělení, je tedy součtem náhodného počtu vzájemně nezávislých a stejně rozdělených veličin, které jsou nezávislé na načítací veličině N. Při modelování úhrnů škod založeném na kolektivním modelu se uvažuje zvlášt vhodný model pro výše jednotlivých škod a zvlášt model pro jejich počty (škodní frekvenci). 9.2.1 Modelování výší jednotlivých škod a škodní frekvence Jako model pro výše jednotlivých škod se často volí některé parametrické rozdělení spojité nezáporné veličiny. Připomeňme zde tvar hustoty některých často používaných rozdělení: gama rozdělení: f(x) = (x/θ)α e x/θ x Γ(α), α > 0, θ > 0, logaritmicko-normální rozdělení: f(x) = 1 2πσ x exp Paretovo rozdělení: f(x) = αθα, α > 0, θ > 0., (x+θ) α+1 [ 1 2 ( ln x µ ) 2 ], µ R, σ > 0, σ Typickou vlastností rozdělení ztrát z operačního rizika jsou tzv. těžké chvosty. Tato vlastnost vyjadřuje poměrně velkou pravděpodobnost výskytu velmi vysokých hodnot. Pojem těžkého chvostu není přesně kvantifikován, existuje však několik způsobů, jak rozdělení pravděpodobností podle chvostů klasifikovat. Uved me zde přehled možností takové klasifikace dle [5]: 1) Klasifikace založená na chování chvostů, tj. na limitním chování funkce P (X x) = F (x) = 1 F (x) pro x : K porovnání chvostů dvou rozdělení s distribučními funkcemi F 1, F 2 a stejnou střední F hodnotou lze použít lim 1 (x) x. Pokud je tato limita nekonečná, řekneme, že rozdělení s F 2 (x) 5
distribuční funkcí F 1 má těžší chvost než rozdělení s distribuční funkcí F 2. V teorii extrémních hodnot jsou rozdělení s těžkými chvosty charakterizována vztahem F (x) x α L(x), x, (11) L(tx) kde L je kladná lebesgueovsky měřitelná funkce na (0, ) splňující lim x = 1, t > 0. L(x) (Říkáme, že L je pomalu se měnící funkce v nekonečnu.) Chvosty ve tvaru F (x) = x α L(x) charakterizují rozdělení naležející do sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení s distribuční funkcí G(x) = exp( x α ), x > 0, α > 0. (12) (Tzn., že Fréchetovo rozdělení je limitou rozdělení vhodně normovaných maxim M n z n nezávislých veličin s distribuční funkcí F, při n.) Příkladem takového rozdělení je Paretovo rozdělení s distribuční funkcí ( θ ) α, F (x) = 1 α > 0, θ > 0, x 0. (13) θ + x Lze ukázat, že momenty E X j rozdělení ze sféry přitažlivosti Fréchetova rozdělení jsou nekonečné pro j > α. 2) Klasifikace založená na momentech: Za rozdělení s těžkým chvostem je považováno rozdělení kladné náhodné veličiny, pro které existují konečné momenty jen do určitého řádu. Rozdělení náhodné veličiny s konečnými momenty všech řádů je považováno za rozdělení s lehkým chvostem (například gama rozdělení). 3) Klasifikace založená na intenzitě rizika (hazard rate): Intenzita rizika pro rozdělení s hustotou f a dekumulativní distribuční funkcí F je definována vztahem h(x) = f(x) F (x). (14) Rozdělení s těžkým chvostem se vyznačují klesající funkcí (14), naopak rostoucí funkce (14) značí rozdělení s lehkým chvostem. Například intenzita rizika Paretova rozdělení s distribuční funkcí (13) má vyjádření h(x) = α, x 0. (15) x + θ 4) Klasifikace založená na střední hodnotě excesů: Rozdělení s těžkým chvostem se vyznačují rostoucí funkcí e(u) (viz definice (9)), v případě klesající funkce e(u) mluvíme o rozdělení s lehkým chvostem. Souvislost dvou posledně uvedených výsledků lze vysvětlit na základě vzájemného vztahu intenzity rizika a střední funkce excesů. Z definice (14) plyne F (y + u) F (u) [ = exp 6 y 0 ] h(u + t) dt. (16)
Střední hodnotu excesů lze vyjádřit vztahem e(u) = 0 F (y + u) dy. (17) F (u) Pokud je tedy intenzita rizika klesající funkcí, je střední hodnota excesů rostoucí funkcí proměnné d, nebot dle (16) je pak rostoucí funkcí proměnné d při pevném y podíl F (y+u). F (u) Poznamenejme, že obrácená implikace v tomto případě neplatí. Pro modelování počtů škod nastalých v určitém časovém období je nejoblíbenějším modelem Poissonovo rozdělení definované pravděpodobnostmi P(N = n) = λn n e λ, n = 0, 1,..., λ > 0. Parametr λ Poissonova rozdělení je roven střední hodnotě i rozptylu. Pokud pozorované počty škod vykazují větší rozptyl, než je jejich střední hodnota, může být vhodným modelem negativně binomické rozdělení, které lze odvodit jako Poissonovo rozdělení s náhodným parametrem majícím gama rozdělení. Basilejský výbor pro bankovní dohled vydal v roce 2009 publikaci [6], která shrnuje výsledky průzkumu uskutečněného v roce 2008 mezi bankami, které používají pro výpočet kapitálového požadavku k operačnímu riziku některý z postupů metodiky Basel II. V konečné zprávě byly použity pouze odpovědi bank, které mohou používat pokročilý AMA přístup, nebo jsou orgány dohledu považovány za kandidáty pro tento přístup. Materiál tedy ukazuje praxi v bankách s rozvinutými metodami modelování operačního rizika. Průzkum zahrnoval odpovědi celkem 42 bank, z toho bylo 20 bank z Evropy, 10 ze Severní Ameriky, 5 z Austrálie a 7 z Japonska. Banky ve své většině užívají k modelování více než jeden přístup, mohly proto také v odpovědích volit více možností. Uved me některé výsledky průzkumu ohledně užití pravděpodobnostních rozdělení pro modelování ztrát z operačního rizika. Valná většina bank přistupuje odděleně k modelování výší škod a k modelování škodní frekvence. 31% dotazovaných bank používá jeden model pro postižení výší jednotlivých škod, nejoblíbenější je v tomto případě logarimicko-normální rozdělení (33%) a Weibullovo rozdělení (17%). 30% bank používá dvě rozdílná rozdělení, z nichž jedno vystihuje škody běžné výše a druhé pak velmi vysoké škody, nastávající s malou frekvencí. Pro škody běžné výše je z parametrických modelů opět nejčastěji voleno logaritmicko-normální rozdělení (19%), 26% bank uvádí využití empirického rozdělení získaného z dat. Pro modelování chvostů rozdělení výší škod je nejčastěji uváděno zobecněné Paretovo rozdělení (31%), následováno logaritmickonormálním rozdělením (14%). Použití zobecněného Paretova rozdělení pro modelování vysokých škod, vycházející z teorie extrémních hodnot, bude předmětem výkladu v další části tohoto textu. Pokud jde o modelování počtů škod, je jednoznačně nejoblíbenějším modelem Poissonovo rozdělení, které zvolilo 93% všech dotazovaných bank. Používání negativně binomického modelu uvedlo 19% bank, 7% bank se přihlásilo k využití jiných diskrétních rozdělení. 7
9.2.2 Výpočet složených rozdělení Pro výpočet rozdělení celkových ročních úhrnů škod je možno vedle stochastických simulací využít celou řadu metod, běžně popisovaných v aktuárské literatuře. Pro přehlednost zde stručně zmíníme hlavní skupiny těchto metod: 1) Aproximace. Do této skupiny metod lze zařadit například přiblížení distribuční funkce nebo hustoty pomocí posunutého gama rozdělení nebo posunutého logaritmicko-normálního rozdělení, založené na shodě prvních tří momentů, přiblížení vycházející z Edworthova rozvoje apod. Příklady těchto metod lze nalézt například v [7]. 2) Inverzní metody. Jde o metody využívané k numerickému výpočtu rozdělení pravděpodobností ze známého vyjádření některé transformace jeho distribuční funkce. Velmi známým příkladem takové metody je rychlá Fourierova transformace (FFT), která umožňuje výpočet diskrétního rozdělení pravděpodobností inverzí jeho charakteristické funkce. 3) Rekurzivní metody. Metoda pro rekurzivní výpočet složeného rozdělení je známá pod názvem Panjerova rekurze. Zavedeme-li pro rozdělení počtů škod ve složeném rozdělení označení p n = P (N = n), pak je využití rekurzivní metody možné v případě, že toto rozdělení splňuje rekurentní vztah ( p n = a + b ) p n 1, n = 1, 2,... (18) n pro nějaké reálné parametry a a b. Lze ukázat, že jediná rozdělení, vyhovující podmínce (18), jsou Poissonovo, negativně binomické a binomické rozdělení. Rozdělení výší škod je pro účely rekurzivní metody považováno za diskrétní. V praxi se obvykle ze spojit0ho rozdělení výší škod přejde k diskrétnímu rozdělení zaokrouhlením, tj. soustředěním pravděpodobnosti odpovídající hodnotám z určitého intervalu do jednoho bodu. Potom i složené rozdělení (10) je diskrétní a pravděpodobnosti pro jednotlivé celočíselné hodnoty se vypočtou pomocí rekurzivní formule P(S = k) = k m=1 ( a + b m k ) P(X = m) P(S = k m), k = 1, 2,... (19) Detailně je Panjerova rekurze představena například v 6. kapitole knihy [5]. 9.3 Modelování ztrát z operačního rizika založené na teorii extrémů Klasické aktuárské přístupy k modelování úhrnů škod často neumožňují realisticky vystihnout chování chvostů rozdělení škodních veličin. Pro správné vyhodnocení rizika velmi vysokých a s malými pravděpodobnostmi nastávajícíh škod se proto používá metodika vycházející z teorie extrémních hodnot, která je označována zkratkou POT (z anglického peaks over treshold). Vychází se při ní ze sledování hodnot překračujících určitou vysokou mez (excesů). 8
Základní pojmy teorie extrémních hodnot včetně základů POT - metody byly vyloženy v 4. kapitole [3]. Nyní některé pojmy zopakujeme, výklad rozšíříme a zmíníme možná úskalí použití POT - metody k měření operačního rizika. 9.3.1 POT - model Základním modelem je pro POT - metodu zobecněné Paretovo rozdělení, jehož distribuční funkce je dána vztahem W γ,β (x) = 1 (1 + γ x/β) 1/γ (20) pro γ 0, resp. W γ,β (x) = 1 exp( x/β) (21) pro γ = 0. Parametr β je v obou případech kladný. Pro γ 0 je zobecněné Paretovo rozdělení definováno pro nezáporná x, v případě γ < 0 je nosičem rozdělení interval [0, β/γ]. Střední hodnota rozdělení s distribuční funkcí (20) resp. (21) je konečná v případě γ < 1 a má vyjádření E X = β 1 γ. (22) Připomeňme rovněž vyjádření distribuční funkce zobecněného rozdělení extrémních hodnot ve tvaru ( ( G γ,µ,σ (x) = exp 1 + γ x µ ) ) 1/γ (23) σ pro γ 0, resp. G γ,µ,σ (x) = exp ) ( e x µ σ pro γ = 0. Distribuční funkce (23) je definována pro x splňující 1 + γ x µ > 0. σ Z hlediska vysokých škod je důležitým modelem Fréchetovo rozdělení, které má v tomto případě distribuční funkci (23) s parametrem γ > 0. Z distribuční funkce (12) lze toto rozdělení odvodit reparametrizací γ = 1 a přidáním parametrů polohy a měřítka. α Připomeňme ještě označení (24) F (u) (x) = P(X u x X > u), x 0 (25) pro distribuční funkci rozdělení excesů nad mezí u. Použití modelu zobecněného Paretova rozdělení k popisu vysokých škod je teoreticky podloženo známým výsledkem teorie extrémů, který říká, že pro distribuční funkci F náležející do sféry přitažlivosti rozdělení extrémních hodnot s parametrem γ lze najít kladnou funkci β(u) tak, že rozdělení excesů nad mezí u lze pro velká u aproximovat zobecněným Paretovým rozdělením s distribuční funkcí W γ,β(u). Vzhledem k tomu, že v podstatě každé běžně užívané spojité rozdělení pravděpodobností naleží do sféry přitažlivosti některého rozdělení extrémních hodnot (rozlišených na tři typy podle parametru γ), slouží výše uvedený výsledek k odůvodnění toho, že pro 9
dostatečně vysokou mez se používá zobecněné Paretovo rozdělení přímo jako model vystihující rozdělení velikosti excesů nad touto mezí. POT - model je obvykle formulován pomocí následujících předpokladů: 1) Okamžiky překročení vysoké meze u posloupností vzájemně nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin tvoří Poissonův proces. 2)Velikosti překročení vysoké meze (excesy) jsou vzájemně nezávislé a mají zobecněné Paretovo rozdělení. 3) Velikosti excesů a okamžiky překročení meze u jsou vzájemně nezávislé. Pro účely analýzy extrémních hodnot může být užitečný následující výsledek, ukazující na určitou souvislost mezi oběma hlavními typy rozdělení z teorie extrémů. Tvrzení 1. Necht N je náhodná veličina, která má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou λ a je nezávislá na posloupnosti {X n, n 1} vzájemně nezávislých a stejně rozdělených veličin, které mají zobecněné Paretovo rozdělení s distribuční funkcí W γ,β. Dále necht M N = max(x 1,..., X N ). Potom platí P (M N x) = exp ( λ (1 + γ x/β) 1/γ) = G γ,µ,σ (x), kde µ = β γ 1 (λ γ 1), σ = β λ γ pro γ 0 a µ = β log λ, σ = β pro γ = 0. Podle výše uvedeného tvrzení v modelu, ve kterém má počet překročení meze u Poissonovo rozdělení a excesy mají zobecněné Paretovo rozdělení s parametrem γ, mají maxima těchto excesů zobecněné rozdělení extrémních hodnot se stejným parametrem γ. Důkaz. Distribuční funkci maxima M N lze vyjádřit ve tvaru λ λn P (M N x) = e n! W γ,β(x) n = exp ( λ (1 W γ,β (x)). n=0 Po dosazení dostáváme v případě γ 0 P (M N x) = exp ( λ (1 + γ xβ ) ( ( ) 1/γ = exp 1 + γ x ) ) γ 1 β (λ γ 1/γ 1). β λ γ Případ γ = 0 se redukuje na P (M N x) = exp ( e (x β log λ)/β). Pro identifikaci zobecněného Paretova rozdělení se často užívá střední hodnoty excesů e(u) (střední hodnoty rozdělení (25)), která má pro zobecněné Paretovo rozdělení s distribuční funkcí (20) s parametrem γ < 1 (podmínka existence střední hodnoty) tvar e(u) = β + γ u 1 γ 10 (26)
pro u splňující podmínku β + γ u > 0. Přirozeným odhadem střední hodnoty excesů je ê(u) = 1 n (X i u) +, u 0, (27) N u i=1 kde N u je počet překročení meze u v pozorovaných datech o rozsahu n. Pokud vykazuje průběh empirické funkce (27) od určité vysoké meze u lineární trend, lze příslušné rozdělení excesů aproximovat zobecněným Paretovým rozdělením. POT - metoda odhadu chvostu rozdělení je založena na vztahu F (x) = F (u) F (u) (x u) (28) platném pro x u. (Podobně jako výše zde pruhem značíme dekumulativní distribuční funkci 1 F.) Odhad funkce F (x) v bodech ležících nad zvolenou vysokou mezí u pak dostaneme jako součin odhadů jednotlivých činitelů na pravé straně (28). Tyto dílčí odhady jsou tvaru F (u) = N u n, (29) kde N u opět značí pozorovaný počet překročení zvolené meze u, ( F (u) (x u) = 1 + ˆγ x u ) 1/ˆγ, (30) ˆβ kde za parametry zobecněného Paretova rozdělení dosazujeme jejich odhady získané z dat, například metodou maximální věrohodnosti (viz [3], odstavec 4.2.5). Celkem dostáváme pro x u F (x) = N u n Poznámka. Vyjádření (31) můžeme upravit na tvar x u + F ˆβ ( ( Nu ) ) ˆγ n 1 /ˆγ (x) = 1 + ˆγ ˆβ ( 1 + ˆγ x u ) 1/ˆγ. (31) ˆβ 1/ˆγ x u, (32) kde ˆβ = ˆβ ( N u n )ˆγ. To odpovídá zobecněnému Paretovu rozdělení s parametrem tvaru ˆγ, parametrem polohy ˆβ a parametrem měřítka u ˆβ ( ( Nu n ) ˆγ 1 ) /ˆγ. Z odhadu (31) odvodíme odhad hodnoty v riziku (α-kvantilu) pro α > 1 Nu VaR α = u + ˆβ ˆγ n : (( 1 α ) ˆγ ) 1. (33) N u /n Pro vyjádření zbytkové hodnoty v riziku v modelu se zobecněným Paretovým rozdělením excesů nad zvolenou vysokou mezí u využijeme následující vlastnost uvažovaného rozdělení. 11
Tvrzení 2. Necht rozdělení excesů nad mezí u je zobecněné Paretovo s parametry γ a β, tj. F (u) (x) = W γ,β (x) pro x taková, že x + u náleží do definičního oboru distribuční funkce F. Potom rozdělení excesů nad libovolnou vyšší mezí v > u je opět zobecněné Paretovo, přitom platí F (v) (x) = W γ,β+γ (v u) (x). Důkaz. K důkazu využijeme vztah mezi distribuční funkcí excesů F (u) a původní distribuční funkcí F (resp. mezi příslušnými dekumulativními distribučními funkcemi). F (v) (x) = F (v + x) F (v) = = F (u) (x + v u) F (u) (v u) = W γ,β+γ (v u) (x). F (u + (x + v u)) F (u) = W γ,β(x + v u) W γ,β (v u) F (u) F (u + (v u)) Ve vyjádření zbytkové hodnoty v riziku figuruje střední hodnota excesů nad mezí rovnou hodnotě v riziku VaR α, kterou lze dle předchozího tvrzení a dle (22) psát ve tvaru E (X Var α X > VaR α ) = β + γ(var α u), (34) 1 γ při splnění podmínek u VaR α, γ < 1 a β + γ (VaR α u) > 0. Odtud a z (8) dostáváme vyjádření zbytkové hodnoty v riziku ve tvaru TVaR α = VaR α 1 γ + β γ u 1 γ. (35) Odhad zbytkové hodnoty v riziku pak obdržíme dosazením do (35) odhadu (33) a odhadnutých parametrů ˆβ a ˆγ. 9.3.2 Použitelnost standardních a POT - metod v praxi V závěru zmíníme některá úskalí, na která lze narazit při aplikaci výše vyložených metod na data o škodách z operačního rizika. 1) Nestacionarita dat. V oblasti operačního rizika se lze setkat s případy, kdy okamžiky jednotlivých škodních událostí jsou v čase rozloženy značně nepravidelně. Tato nepravidelnost může být způsobena například tím, že škody staršího data mohou vypadnout z databází, může být také důsledkem obchodních či ekonomických cyklů, zásahu managementu apod. Vysoké škody mohou mít tendenci vyskytovat se ve shlucích. Příklady alternativ k tradičnímu POT - modelu vycházejícímu z předpokladu, že okamžiky vzniku škod se řídí Poissonovým procesem, lze nalézt například v knize [4]. 2) Neopakující se data. Autoři článku [8] poukazují na rozdílný charakter škod z operačního rizika v závislosti na typu škodní události. Banka se setkává s řadou malých až středně 12
vysokých škod, které se poměrně často a s jistou pravidelností opakují. Jako příklad mohou sloužit škody způsobené administrativními chybami při zpracování transakcí, selhání výpočetních systémů, chyby v programech. Oproti tomu jiné typy škod se vyskytují zřídka a v datech nejsou zastoupeny v dostatečném rozsahu, který by umožňoval jejich statistickou analýzu. Pro takové škody je typický jejich značný rozsah, který může v některých případech ohrozit samotnou existenci podniku. Typickým příkladem je podvodné jednání zaměstnance, který způsobí škodu například rizikovými obchody přesahujícími jeho schválené limity. Možnosti kvantitativních metod měření rizika a jeho řízení pomocí vypočteného kapitálového požadavku jsou v případě takových škod velmi omezené a k ochraně před nimi je třeba využívat zejména nástrojů kvalitativního řízení rizik spadajícího pod druhý pilíř metodiky Basel II. 3) Volba meze u pro použitelnost POT - modelu. Jedním z hledisek při volbě vhodné meze pro vysoké škody je použitelnost zobecněného Paretova rozdělení, která je zdůvodněna dostatečnou velikostí meze u, jak bylo vysvětleno výše. Z velikosti zvolené meze však může plynout problém nedostatečného počtu excesů, neumožňujícího spolehlivý odhad hodnot popisujících chvost daného rozdělení, jakými jsou například vysoké kvantily. Pro ilustraci tohoto problému uved me některé výsledky ze simulační studie [9]. Jde o studii přesnosti odhadu kvantilů VaR α pro vysoké hodnoty α založenou na srovnání odhadnutých kvantilů s teoretickými hodnotami. Použitý postup lze shrnout do několika bodů: 1) Pro vybranou distribuční funkci F známého rozdělení s těžkými chvosty se zvolí α 0 < α < 1 a počet excesů N u. 2) Vypočte se u = VaR α0. 3) Vypočte se skutečná hodnota kvantilu VaR α. 4) Simulací se získá N u nezávislých realizací překračujících hodnotu u, zaznamená se celkový počet n simulovaných hodnot, který byl třeba k dosažení N u excesů. 5) Odhadnou se parametry γ a β proložením zobecněného Paretova rozdělení N u excesy metodou maximální věrohodnosti. (( ) 6) Vypočte se VaR α = u + ˆβ ˆγ ) 1 α ˆγ N u/n 1. 7) Kroky 4-6 se opakují 500-krát za účelem odhadu vychýlení a střední kvadratické chyby odhadnutých kvantilů. K posouzení přesnosti odhadu kvantilů se užívá vychýlení odhadu definované vztahem Charakteristika (36) se odhaduje průměrem Bias( VaR α ) = E VaR α VaR α. (36) 1 500 500 i=1 VaR α,i VaR α. (37) 13
Podobně se vypočte střední kvadratická chyba (root mean square error) definovaná vztahem Literatura RMSE( VaR α ) = E ( VaR α VaR α ) 2. (38) [1] Vyhláška č. 123/2007 Sb. o pravidlech obezřetného podnikání bank, spořitelních a úvěrních družstev a obchodníků s cennými papíry, ve znění vyhlášky č. 89/2011 Sb. [2] International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards: A Revised Framework - Comprehensive Version. Basel Committee on Banking Supervision, 2006. Dostupné na http://www.bis.org/publ/bcbs128.htm. [3] P. Mandl, L. Mazurová, I. Justová: Matematika a řízení rizik 2009/10. Matfyzpress, Praha 2010. [4] A.J.McNeil, R.Frey, P.Embrechts: Quantitative Risk Management. Princeton University Press, 2005. [5] H.H.Panjer: Operational Risk. Modeling Analytics. John Wiley & Sons, 2006. [6] Observed range of practice in key elements of Advanced Measurement Approaches (AMA). Basel Committee on Banking Supervision, 2009. Dostupné na http://www.bis.org/publ/bcbs160.htm. [7] P. Mandl, L. Mazurová: Matematické základy neživotního pojištění. Matfyzpress, Praha 1999. [8] P. Embrechts, H. Furrer, R. Kaufmann: Quantifying Regulatory Capital for Operational Risk. Derivatives Use, Trading & Regulation 9(2003), 217-233. [9] A.J. McNeil, T. Saladin: The peaks over thresholds method for estimating high quantiles of loss distributions. Proceedings of XXVIIth International ASTIN Colloquium, Cairns (1997), 23-43. 14
Věcný rejstřík AMA přístup, 3 Basel II, 1 BIA přístup, 2 funkce pomalu se měnící v nekonečnu, 6 hodnota v riziku, 4, 11 intenzita rizika, 6 kapitálový požadavek, 2 kolektivní modle rizika, 5 komonotónní náhodné veličiny, 4 linie podnikání, 2 operační riziko, 1 Panjerova rekurze, 8 POT - metodika, 8 POT - model, 9 rozdělení extrémních hodnot, 9 Fréchetovo, 6, 9 gama, 5 logaritmicko-normální, 5 negativně binomické, 7 Paretovo, 5 Poissonovo, 7 složené, 5 sféra přitažlivosti, 6 Solventnost II, 1 střední hodnota excesů, 4 střední kvadratická chyba, 14 standardizovaný přístup, 2 těžké chvosty, 5 vychýlení odhadu, 13 zbytková hodnota v riziku, 4 15