Dodatky k FT:. (D digitalizace. Více o FT 3. Více k užití filtrů 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů Martina Mudrová 4
Pořízení digitálního obrazu Obvykle: Proces transformace spojité předlohy (reality do -3 diskrétních funkcí f kartézských diskrétních proměnných (m,n (digitální fotoaparáty, skenery, Další obvyklé případy: - Sledování diskrétních procesů (počítačová tomografie - Použití jiných než pravoúhlých souřadnic (trojúhelníková, hexagonální síť, cylindrické souřadnice, Digitalizace obrazu se skládá ze součástí:. Vzorkování (prostorové rozlišení. Kvantifikace hodnot barev (radiometrické rozlišení Animované sekvence, film: 3. Časové rozlišení (obvykle 5snímků/s
Kvantifikace barev počet k možných hodnot jasové funkce záleží na bitové hloubce b: k= b lidské oko je schopno rozlišit okolo 5 úrovní jasu 3 4 } } } } 3 Úrovně jasu 56 jasových úrovní 4 jasových úrovní 3
Vzorkování vd: x(n=x(nt s n I T s perioda vzorkování Shannonův teorém: Vzorkovací frekvence f s musí být alespoň dvakrát vyšší než nejvyšší zajímavá frekvence f max obsažená v originálním (spojitém signálu f s > f max f s =/T s -> perioda vzorkování T s musí být alespoň dvakrát menší než nejmenší detail v obraze Metody vzorkování: Bodové vzorkování Plošné vzorkování -> supersampling 4
Alias efekt Co se děje, nerespektujeme-li Shannonův teorém? Příklad časového aliasingu: Vhodná volba periody vzorkování Limitní případ volby periody vzorkování Hodiny s jednou ručičkou: Nevhodná volba periody vzorkování -ALIAS 5
Alias efekt ve frekvenční oblasti (a Signal Sampling vlft.m x(t - 5 5 5 3 35 4 45 t (b Spectrum with sampling frequency fs (c Spectrum with sampling frequency fs X(f.5 X(f.5...3.4 f..4.6 f Sampling period Ts=s Sampling period Ts=6s 6
Interpretace D frekv. spektra Spojitá Vzorec vzorkování Diskrétní Ts=s Diskrétní Ts=6s Vzorkovací fr. f s =/T s /= /6 čas t x n =n.t s =>n,, 47 Délka signálu T=48s N=T/T s N=48/=48,6, 47 =48/6=8 Normalizovaná frekvence f f=/t..t/t..t/t <, f k =k/t= k/(nt s =>k,/48,..,47/48 =>,,..,47 =,/(8*6,.,7/(8*6 =>,,..,7 Nyquist. Frekv. f max f max <f s / </=.5 </6/=/=.83 Frekvenční rozlišení v f Df= /(NT s =/48 =/(8*6=/48 Kruhová frekvence w=pf w k =pik/(nt s,p/48,..,p47/48 w <,pi =>k =>,,..,47 Frekv. rozl. v w Dw=pi/(NT s =p/48,p/(8*6,..,p7/(8*6 =>,,..,7 =p/(8*6 7
Alias efekt ve D = Moire efekt: Metody pro potlačení moiré efektu: - supersampling: posun alias efektu k vyšším frekv.. vzorkování s vyšší frekvencí než je požadavek. filtrace 3. podvzorkování - stochastické vzorkování: Mění alias efekt na šum - jittering použití neuniformní vzorkovací mřížky 8
D Fourierovy transformace (Plural! Čas aperiod. period. spoj. Fourier Transform Fourier Series aperiod. diskr. Discrete Time Fourier Transform Discrete Fourier Transform period. spoj. diskr. Frekvence Vzorkování v jedné oblasti Periodizace v druhé oblasti 9
Poznámky k diskrétní Fourierově transformaci (reálného signálu x(n F(x(n X(k (D DFTje lineární: F(a.x(n+b.y(n=a.F(x(n+b.F(y(n (D Operace konvoluce (kruhová v jedné oblasti vede na násobení v druhé oblasti: x(n.y(n x(k*y(k; x(n*y(n X(k.Y(k (D Jak x(n tak X(k jsou periodické funkce s periodou N (D Jak x(n tak X(k jsou sudé funkce (D Amplitudové frekv. spektrum je čárové pouze při speciální volbě N, n p a T s : kde n p...počet vzorků jedné periody, N... délka signálu: N=n p.t s a r.n=s.t s kde n,s I (přirozená čísla D DFT je separabilní: F(k,l=F(k,F(l
Spektrum x(n X(k, X ( k = Re( k + i.im( k Amplitudové frekvenční spektrum: X k = Re( k + Im( k Fázové frekvenční spektrum: ϕ(k = Re( k atan( Im( k
DFT vybraných signálů Co se děje v druhé oblasti, když v jedné je signál omezený? Omezený signál v jedné oblasti Nekonečný signál v druhé oblasti Co se stane v druhé oblasti, když v jedné oblasti doplním signál nulami na jinou délku? Doplnění nulami v jedné oblasti Hustší (Více hodnot v druhé oblasti!! Nezvyšuje se však frekvenční rozlišení!!
Kruhová konvoluce a její použití 3 = = = = = ( ( ( ( ( * ( ( N j N j n h j n x j n h j x n h n x n y y(n=idft(x(k.h(k Použitím algoritmu FFT je možno urychlit výpočet: - Možno využít i při výpočtu korelačních koeficientů ftext.m
Návrh D číslicových filtrů frf.m nejčastěji rozšířením D číslicového filtru do D Typy číslicových filtrů: FIR (finite impulse response filters IIR (infinite impulse response filters M N i j H ( z, z = cij zz i= j= Lineární filtrace Nelineární filtrace H ( z, z = M a i = j = M b N a N b i = j = c c ij ij z z i i z z j j Použití D Z-transformace - nevhodné Vhodné rozšíření D filtrů do D 4
Potlačení rušivých složek Co považujeme za šum? Rušivou informaci, která ztěžuje porozumění požadované informaci (vše kromě požadované informace pro popis se užívají statistické veličiny obvyklé typy šumu: Metody pro potlačení šumu: -Lineární (pro aditivní šum -Nelineární (např. mediánová filtrace - Gaussovský -Bílý - Výstřelový (salt&pepper - - Additive -Multiple obrazok.m fs.m -V prostorové oblasti (např. průměrování -Ve frekv. oblasti (n. dolnopropustné filtry Ideální dolnopropustný filtr: H ( u, v = { for for ( u ( u + v + v > D D kde D mezní frekvence 5
Detekce hran Co je to hrana? Takové místo v obraze, kde se náhle mění hodnota obrazové funkce Odpovídá vysokým frekvencím Matematickým nástrojem pro popis změny je derivace Proč chceme v obrázcích detekovan hrany? -> diference v diskrétním př. První krok při segmentaci obrazu, detekci objektů, klasifikaci, Zvýraznění kontur Metody detekce hran: -V prostorové oblasti (Roberts, Sobel, Laplacian, -Ve frekvenční oblasti (hornopropustné filtry - Obvykle následuje prahování Fs.m Ideální hornopropustný filtr: H ( u, v = { for for ( u ( u + v + v > D D kde D mezní frekvence 6
Příkazy Matlabu pro práci s filtry fft D rychlá Fourier. transformace fftshift posunutí počátku frekv. Souřad. systému remez návrh D filtru freqz frekvenční charakteristika D filtru ftrans návrh D fitlru z D freqz frekvenční charakteristika D filtru filter D filtrace conv D konvoluce fspecial návrh speciálních D filtrů edge detekce hran obrazok.m 7
Příklad Filtrace obrazu Podrobte daný obrázek D filtraci zvoleným filtrem. Zobrazte amplitudovou frekv. charakteristiku filtru % Filtrace obrazu Original delete(get(,'children' clear [x,map]=imread('busek.bmp'; I=indgray(x,map;imshow(I,8 h=fspecial('unsharp'; J=filter(h,I; figure( imshow(matgray(j,8 figure(3 freqz(h,[3 3]; Upraveny obraz Magnitude 5 F y - - F x 8