OBVODY STŘÍDVÉHO POD S NEÁNÍM JEDNOBNY DVOJBNY Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o yziku Přemysl Šedivý Obsah Jednoduchý obvod střídavého proudu Řešení obvodů střídavého proudu pomocí ázorového diagramu žití komplexních veličin při řešení obvodů střídavého proudu symbolická metoda 8 ineární jednobrany mpedance, admitance 0 4 mpedance v jednoduchém obvodu střídavého proudu 5 Spojování jednobranů 6 Frekvenční charakteristiky lineárních impedančních jednobranů 7 7 Jednoduché rezonanční jednobrany 8 niverzální rekvenční charakteristiky rezonančních jednobranů Šířka pásma 8 9 ineární dvojbrany Napěťový přenos 0 Náměty laboratorních prací 40 0 Měření indukčnosti a rezistance cívky metodou tří voltmetrů 40 0 Frekvenční charakteristiky indukčnosti a rezistance cívky 4 0 rčení rekvenčních charakteristik sériového jednobranu a nezatíženého dvojbranu 4 04 rčení rekvenčních charakteristik Wienova členu 45 Výsledky úloh 47 48
kde n je délka vedlejší osy a m délka hlavní osy elipsy Pokuste se uvedené vztahy pro určení ázového posunutí sami odvodit Pro < 0 je >0, pro > 0 je <0 Při kritické rekvenci 0 přejde elipsa vúsečku Nejprve vyhledáme kritickou rekvenci 0 Před dalším měřením vypočítáme rekvence, které odpovídají zvoleným hodnotám poměrného rozladění F Výsledky měření a výpočtů zapíšeme do tabulky ωt 0 m u t Obr - F 0 - - - / 0,68 0,68,44 0,44,0 0,0 /khz /V /V m/mm n/mm V obvodu s ideálním rezistorem je vztah mezi napětím a proudem vyjádřen Ohmovým zákonem u i m konst m Fázor napětí a ázor proudu mají stejný směr obr -) Veličinu nazýváme rezistance Neliší se od stejnosměrného odporu rezistoru m m i u t Obr - V obvodu s ideálním kondenzátorem je okamžitý náboj na deskách kondenzátoru přímo úměrný okamžitému napětí q u a okamžitý proud určíme ze vztahu i dq dt du dt Jestliže okamžitá hodnota napětí je u m sinωt + 0), pak i ω m cosωt + 0) m cosωt + 0) m i u m t Obr -4 46
je ázové posunutí napětí vzhledem k proudu V druhém případě použijeme ázorový diagram podle obr -5c Platí:, ψ arccos ψ je ázové posunutí výstupního napětí vzhledem k vstupnímu napětí V obou případech přísluší obvodu stejná mezní rekvence Obr -5 V m p ψ a) b) c) Úkoly Podle obr -5a připojte k tónovému generátoru sériově rezistor o jmenovité hodnotě odporu kω a kondenzátor o jmenovité hodnotě kapacity 0, mf Předtím změřte skutečnou hodnotu odporu a kapacity pomocí můstku a vypočítejte mezní rekvenci obvodu m Pro různé hodnoty poměrné rekvence /m vintervaluod0,do0proměřte pomocí nízkorekvenčního milivoltmetru veličiny a a zapište do tabulky Napětí generátoru udržujte na maximu Vypočítejte hodnoty veličin,,, ψ a tabulku doplňte e získaných výsledků nakreslete rekvenční charakteristiky sériového jednobranu a nezatíženého dvojbranu / m 0, 0, 0,5 5 0 /Hz /V /V /Ω ψ ázorů napětí na jednotlivých součástkách Na obr -6 je schéma a ázorový diagram sériového obvodu Fázor proudu, který je společný pro všechny součástky, volíme v základní poloze 0 0) diagramu snadno odvodíme vztahy pro výpočet výsledného napětí a ázového posunutí mezi napětím a proudem: + +, + ) + ω ), ω ω ) ω ω ω tg Obr -6 V paralelně zapojeném obvodu je pro všechny součástky společný ázor napětí a obvykle jej umisťujeme do základní polohy na vodorovné ose Fázor výsledného proudu je vektorovým součtem ázorů proudů procházejících jednotlivými součástkami Na obr -7 je schéma a ázorový diagram paralelního obvodu něj odvodíme vztahy pro výpočet výsledného proudu a ázového posunutí mezi napětím a proudem: + +, tg + ) + ω ω ), ) ω ω ) ω ω Všimněte si, že ázové posunutí je kladné, když > 44 5
0 Frekvenční charakteristiky indukčnosti a rezistance cívky Teorie eálná cívka má v nízkorekvenčním obvodu s harmonickým střídavým proudem stejné vlastnosti jako sériové spojení ideální cívky o indukčnosti s a ideálního rezistoru o rezistanci s eálný kondenzátor se v nízkorekvenčním obvodu chová téměř jako ideální kondenzátor o kapacitě Spojíme-li cívku s kondenzátorem do série, dostaneme sériový rezonanční jednobran, jehož připojením k tónovému generátoru vznikne rezonanční obvod obr -4) Při rezonanční rekvenci r prochází obvodem největší proud r anarezonančním jednobranu naměříme nejmenší napětí r Vzniká velký úbytek napětí na vnitřním odporu generátoru) Na kondenzátoru naměříme při rezonanci napětí r > r Přitom platí vztahy odvozené v kap 7: s, s Obr -8 ψ s s Obr-9 r p, s s 4p r, r r ωrs s Q r r s, r ezonanční rekvenci obvodu můžeme měnit zapojováním kondenzátorů s různou kapacitou m Úlohy Žárovku s jmenovitými hodnotami napětí a proudu jm 6, V, jm 0,0 chceme napájet ze síťového transormátoru, jehož sekundární vinutí má eektivní hodnotu napětí V Jak velkou kapacitu musí mít sériově připojený kondenzátor, aby byly dodrženy jmenovité hodnoty? Jak velké napětí na kondenzátoru naměříme? Jaké bude ázové posunutí mezi celkovým napětím a proudem? Kondenzátor o kapacitě,0 mf a rezistor o odporu kω jsou paralelně připojeny k tónovému generátoru o rekvenci,0 khz elkový proud v obvodu je 4,0 m Jaké proudy procházejí oběma součástkami? Jaké je svorkové napětí generátoru? Jaké je ázové posunutí mezi celkovým napětím a proudem? s s V Obr -4 Úkoly Veličiny s, s, které charakterizují cívku, nejsou konstantní, ale závisí na rekvenci rčete tuto závislost u cívky 00 závitů z rozkladného transormátoru s rovným jádrem 4 7
0 Náměty laboratorních prací 0 Měření indukčnosti a rezistance cívky metodou tří voltmetrů Teorie ívku o indukčnosti s arezistanci s spojíme sériově s rezistorem o známém odporu obr -) ázorového diagramu obr -) odvodíme vztahy cos, s cos, s sin Současně platí s s s Obr - Součin dvou komplexních veličin, B je deinován vztahem B e eb m mb +je mb +m eb) bsolutní hodnota součinu je rovna součinu absolutních hodnot obou činitelů a argument součinu je součtem argumentů obr -) B B, B + B Podíl dvou komplexních veličin, B upravujeme obvykle na tvar B B B +j m)eb j mb) e eb) +mb), B kde j mb je veličina komplexně sdružená k veličině eb B bsolutní hodnota podílu je rovna podílu absolutních hodnot obou veličin a argument podílu je roven rozdílu obou argumentů obr -), /B B B B s s s m e jψ j m s s V ψ e jψ e e Obr - Obr - bsolutní hodnota impedance cívky je ezistance a indukčnost cívky jsou s s cos cos, s s ω sin ω V sin ω V e jψ Obr -4 Obr -5 Vynásobíme-li komplexní veličinu komplexní jednotkou e jψ cosψ +jsinψ, j otočí se její obraz v Gaussově rovině o úhel ψ bsolutní hodnota veličiny se přitom nezmění Vydělíme-li komplexní veličinu komplexní jednotkou e jψ což je totéž, jako když ji vynásobíme komplexní jednotkou e jψ ), otočí se její obraz v Gaussově rovině o úhel ψ obr -4) Otočení o p/ dosáhneme vynásobením komplexní veličiny komplexní jednotkou j cosp/) + j sinp/) Podobně otočení o p/ dosáhneme vynásobením komplexní jednotkou j cosp/) jsinp/) obr -5) 40 9
neboť, m p d Napěťový přenos dvojbranu je vyjádřen stejným vztahem jako u dvojbranu, jehož rekvenční charakteristiky jsou na obr 9-4 a 9-5 nich vyčteme, že po překročení dělicí rekvence klesá úroveň signálu na hloubkovém reproduktoru o 0 db na dekádu b) V reproduktorové soustavě podle obr 5-5 budeme větev s hloubkovým reproduktorem vyšetřovat jako dvojbran na obr 9-6, jehož rekvenční charakteristiky jsou na obr 9-7 a 9-8 Napěťový přenos dvojbranu je j ω + j ω j ω j ω + + j ω j ω j ω + + j ω Současně platí, ω d Po dosazení a úpravě dostáváme ω + j ω ) +j, ), tg 4 d d + d d ) d se nazývá admitance, Y Y m, Y m Vztah mezi ázemi ázorů Y, a argumenty veličin, znázorňuje obr - Obr - m Y e Obr - 4 mpedance v jednoduchém obvodu střídavého proudu ákladní poznatky o jednoduchých obvodech střídavého proudu, které jsme zopakovali v kap, můžeme vyjádřit také takto: Vobvodusrezistoremplatí,, 0, cos 0 + j sin 0), Y Diskuse: a) Při dělicí rekvenci d dostáváme, a db, 90 b) Při nízkých rekvencích d platí, 0 c) Při vysokých rekvencích d platí a 40 log d, 80 Po překročení dělicí rekvence klesá úroveň napětí na reproduktoru o 40 db na dekádu, tedy podstatně rychleji než u soustavy podle obr 5-4 V obvodu s kondenzátorem je ázor napětí opožděn o p/ za ázorem proudu Platí X ω, p, ω [ cos p ) +jsin p )] j ω j ω Y jω Vobvoduscívkoupředbíhá ázor napětí o p/ před ázorem proudu Platí ω [ X ω, p, cos p ) +j sin p )] jω, Y j ω j ω 8
Příklad rčete rekvenční charakteristiky nezatíženého Wienova členu sestaveného ze dvou stejných rezistorů a dvou stejných kondenzátorů obr 9-) Řešení Napěťový přenos Wienova členu je j ω + j ω + j ω + j ω + j ω j ω ω + j ω +j ω ω avedením veličin kritická úhlová rekvence ω 0, kritická rekvence 0 a poměrné rozladění F : ω 0, 0 p, dostaneme vztahy F ω ω0 ω 0 ω 0 0 +jf,, arctg F 9+F ) ) Při paralelním spojení několika jednobranů obr 5-) je ázor napětí společný pro všechny jednobrany a ázor celkového proudu je vektorovým součtem jednotlivých ázorů proudů + + + N elková admitance obvodu je + + + N Y + + + N Pokud jsou paralelně spojeny jen dva jednobrany, platí + Y + Y + + YN, Fázor celkového proudu se rozloží na jednotlivé jednobrany v poměru : : : : N Y : Y : Y : : YN Podobný vztah je i mezi eektivními hodnotami proudu, amplitudami proudu a absolutními hodnotami admitancí : : : : N Y : Y : Y : : Y N, 0, 90 0, 45 0, -9,6 -,6-0 a db Obr 9- -6-45 -6-0 0 6 6 a F F Obr 9- Obr 9-4 m -4 4-6 - F - 0 e m : m : m : : Nm Y : Y : Y : : Y N Například v paralelním obvodu obr -7) platí Y +jω j ω, Y + tg ω ) ω my ey ω ω Příklad Skutečnou cívku, která má při dané rekvenci impedanci o absolutní hodnotě aargumentu, můžeme nahradit sériovým spojením ideální cívky o indukčnosti s a ideálního rezistoru o rezistanci s nebo paralelním spojením ideální cívky o indukčnosti p a ideálního rezistoru o rezistanci p obr 5-) rčete vztahy mezi veličinami,, s, s, p, p ), 6
Dvojbran se chová jako dolní propust, která harmonické signály o rekvenci menší než m propouští téměř bez zeslabení a signály o rekvenci větší než m potlačuje Po překročení mezní rekvence absolutní hodnota napěťového přenosu klesá o0dbnadekádutjo6dbnaoktávu) 0,707 - -0 a db 45 90 Obr 9-4 0, 0, 0, -0 db/dek 0 / m 0 / m 0 / m Obr 9-5 Obr 9- m -0,5 e 0, 0,5 0,8 0,5 Úlohy Porovnejte univerzální rekvenční charakteristiky napěťového přenosu nezatíženého dvojbranu a univerzální rekvenční charakteristiky impedance paralelního jednobranu obr6-7,6-8) Odvoďte vztahy popisující rekvenční charakteristiky dvojbranu zatíženého rezistorem o odporu z obr 9-6, 9-7, 9-8) Nezatížený dvojbran obr 9-9) se chová jako horní propust Odvoďte vztahy popisující jeho univerzální rekvenční charakteristiky obr 9-0, 9-) m Řešení elková impedance soustavy je + + jω ) +jω) +jω + + j ω Obr 5-4 + +j ω ) ω +j ω ) ω Tento zlomek je reálný pro všechny rekvence, jestliže poměr reálných částí čitatele a jmenovatele je při všech rekvencích stejný jako podíl imaginárních částí: + ω ) ω ω ω V takovém případě konst Při dělicím kmitočtu d musí platit tohoplyne, + X + X, X X, ωd 4p d Kapacitu kondenzátoru a indukčnost cívky určíme ze vztahů: 4p d, 4p d, p d, p d Po dosazení číselných hodnot dostáváme mf, 0,80 mh Příklad 4 Dokonalejšího oddělení vysokých a hlubokých tónů dosáhneme pomocí reproduktorové soustavy druhého řádu zapojené podle obr 5-5 Kondenzátory a cívky v obou větvích jsou stejné, oba reproduktory mají rezistanci 5 Ω Také tato soustava může mít při všech rekvencích konstantní reálnou impedanci a při dělicím kmitočtu d khz stejný elektrický příkon obou reproduktorů rčete potřebné hodnoty kapacity a indukčnosti 4 5
9 ineární dvojbrany Napěťový přenos V elektronických zařízeních se přenos harmonického napětí z jednoho obvodu, vstupního, do druhého obvodu, výstupního, často uskutečňuje pomocí vazebních členů vytvořených z lineárních součástek rezistorů, kondenzátorů a cívek) připojených do obvodů pomocí dvou vstupních a dvou výstupních svorek Takový vazební člen se nazývá lineární dvojbran Soustava součástek tvořící dvojbran mívá jen tři vývody, z nichž jeden je společný pro oba obvody Jedna vstupní svorka je pak přímo spojena s jednou svorkou výstupní Vstupní obvod obsahuje zdroj harmonického napětí a do výstupního obvodu je zařazen spotřebič zátěž obr 9-) Pokud není výstupní obvod zapojen, jedná se o dvojbran na výstupu nezatížený obr 9-) Úloha eproduktorová soustava na obr 5-6 může také splňovat požadavky z příkladu Jaká musí být kapacita kondenzátoru a indukčnost cívky? Obr 5-6 6 Frekvenční charakteristiky lineárních impedančních jednobranů Obr 9- Obr 9- Vlastnosti lineárního dvojbranu charakterizuje veličina napěťový přenos kde, jsou ázory vstupního a výstupního napětí Pro absolutní hodnotu napěťového přenosu a ázové posunutí mezi výstupním a vstupním napětím platí m e +m, arctg m m e Při stálé rekvenci je napěťový přenos dvojbranu konstantní To znamená, že amplituda výstupního napětí m je přímo úměrná amplitudě vstupního napětí m a ázové posunutí obou napětí nezávisí na jejich amplitudě Měníme-li ale rekvenci napětí, mění se zpravidla i napěťový přenos dvojbranu Funkce ), ) můžeme graicky znázornit dvěma způsoby: a) pomocí dvou samostatných graů, které nazýváme rekvenční charakteristika absolutní hodnoty napěťového přenosu neboli útlumová charakteristika a rekvenční charakteristika ázového posunutí, b) pomocí jediného grau v Gaussově rovině, který se nazývá komplexní rekvenční charakteristika napěťového přenosu V prvním případě absolutní hodnotu napěťového přenosu často vyjadřujeme v decibelech a 0log, Obr 6- m ) e Obr 6- mpedance lineárního jednobranu, ve kterém se vyskytují kondenzátory a cívky, závisí obvykle na rekvenci střídavého proudu ) Směnícíserekvencísemění absolutní hodnota impedance ) i její argument ) Tyto závislosti znázorňujeme graicky pomocí dvou samostatných graů, které nazýváme rekvenční charakteristika absolutní hodnoty impedance a rekvenční charakteristika áze obr 6-) Můžeme také použít jediný gra v Gaussově rovině, který zobrazuje komplexní unkci ) a nazývá se komplexní rekvenční charakteristika 7
Šířka pásma B sériového rezonačního obvodu je deinována jako velikost rekvenčního intervalu, ve kterém platí z Příkon jednobranu P cos / při stálém napětí neklesne uvnitř pásma pod jednu polovinu příkonu rezonančního P r / s V krajních bodech tohoto intervalu platí QF, F, ± Q Pokud je Q, můžeme psát + F r + Q, r + ) Q Pro jednobran z př 7 dostáváme B B r Q 67 Hz 5, a podobně r 7 Hz ) Q Poměrná impedance paralelního rezonančního jednobranu podle obr 7-b je z p +j ) pω p ω p zčehožplyne arctgqf ), z ) ω +jq ωr ω r ω +jqf, +QF ) +tg cos, Popsaným způsobem bychom pro různé jednobrany dostali různé rekvenční charakteristiky načného zjednodušení dosáhneme zavedením nových veličin: poměrná impedance jednobranu z +jω, mezní úhlová rekvence ω m, mezní rekvence m p a poměrná rekvence m Platí vztahy ω z +j +j, ω m m z z + m, arctg, m jejichž graickým vyjádřením jsou univerzální rekvenční charakteristiky sériových obvodů obr 6-5, 6-6) bychom obsáhli velký obor poměrných rekvencí a velký obor poměrných impedancí, volíme na vodorovné ose logaritmickou stupnici a absolutní hodnotu vyjadřujeme v decibelech: z db 0logz 0log + m 0log + m ) z m z QF QF 0,5 0,5 QF 0 z e -4 - - 0 4 90 QF QF z z db 0 0 db/dek mz z m 90 0, 0 m 0 ez Obr 8-5 45 Obr 6-6 -4 - - 4 45 QF 0, 0 m Obr 6-5 90 Obr 8-4 0 9
8 niverzální rekvenční charakteristiky rezonančních jednobranů Šířka pásma Popis vlastností sériových rezonančních jednobranů podle obr 7-a a paralelních rezonančních jednobranů podle obr 7-b můžeme zjednodušit a sjednotit zavedením veličin poměrná impedance a poměrné rozladění Vztah mezi poměrnou rekvencí r z r F ω ω r ωr ω r r a poměrným rozladěním F r F + F 4 + b) Při mezní rekvenci m dostáváme z, z db, 45 c) Při vysokých rekvencích m převládá vliv kapacity a platí z 0, z db 0 log, 90 m Frekvenční charakteristiky absolutní hodnoty relativní impedance a áze jsou na obr 6-7 Komplexní rekvenční charakteristika poměrné impedance je půlkružnice o poloměru 0,5 a středu v bodě 0, 5 + 0 j obr 6-8) ležící ve čtvrtém kvadrantu Gaussovy roviny, neboť z cos, <0 +tg je graicky znázorněn na obr 8- Pro malá rozladění F platí r + F 0, 0 m m z / r 7 6 0 z db 0, -0 db/dek 0 m 0,5 0, 0,5 0,8 z 0,5 e z m F F + F -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 7 5 4 F Obr 8-45 90 Obr 6-7 Obr 6-8 Úlohy 4 V intervalu 0 Hz; 500 Hz) určete rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu tvořeného cívkou o indukčnosti 0,0 H a rezistorem o odporu 00 Ω 5 rčete univerzální rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu 6 rčete univerzální rekvenční charakteristiky sériového jednobranu 8
/Hz 64, 650 700 800 000 500 000 /kω 5,0 4,8,8,90,0 0,5 0,5 0,4 49,5 68,6 78,7 84,4 86, /Hz 600 550 500 400 00 00 /kω 4,8,7,09,09 0,6 0,6,0 5, 66, 78,0 8, 0 86,0 Příklad 9 rčete rekvenční charakteristiky paralelního rezonančního jednobranu s rezistorem v indukční větvi podle obr 7-c pro s 0,50 H, s 00 Ω, 0,50 mf Řešení elková admitance jednobranu +jω ω s +jω s Y s +jω s s +jω s je reálná, jestliže reálné a imaginární části čitatele a jmenovatele zlomku mají stejný poměr ω s s s s Úpravou dostaneme rezonanční úhlovou rekvenci ω r s s, s která je poněkud menší než při sériové rezonanci ezonanční admitance a impedance jsou Yr Y r s, r r s s s Průběh rekvenčních charakteristik obr 7-4) vypočítáme užitím vztahů s + ω s ω ), arctg ωs ω s arctg s + ω s s ω s mají opačnou ázi obr -6) Proto se neuplatňují v celkovém napětí r,kteréjeproto stejně velké jako napětí na samotném rezistoru s Obvykle platí r r r Poměr Q r r r r ω r s ωrs s se nazývá činitel jakosti obvodu b) Při nízkých rekvencích r převládá kapacitní složka impedance a platí j ω, ω, 90 c) Při vysokých rekvencích r převládá indukční složka impedance a platí kω r r ω j ω, ω, 90 r 90 0, 0,4 0,8,,4,6,8 B 0 khz ω 60 0 0 Pro dané hodnoty indukčnosti s,rezistance s a kapacity dostáváme r 5000 Ω, r 6,7 Hz Při kreslení charakteristik můžeme vycházet z tabulky: /Hz 6,7 650 700 800 000 500 000 /kω 5,00 4,99,68,0,06 0,5 0,5 0,8 5,8 75,6 85, 88,9 89,6 /Hz 600 550 500 400 00 00 /kω 4,40,89,96,07 0,65 0,4 8,7 4,7 5,4 60,6 60, 5, 60 90 Pro dané hodnoty indukčnosti s,rezistance s a kapacity dostáváme: Obr 7-6
r 66,6 Hz, Q 5,0 Při kreslení rekvenčních charakteristik obr 7-) můžeme vycházet z tabulky: /Hz 66,6 650 700 800 000 500 000 /Ω 00 04 76 50 955 949 80 0,8 4,5 66,5 77,9 84,0 85,9 /Hz 600 550 500 400 00 00 /Ω 55 57 984 66 876 0,7 55,7 67,7 78, 8, 86,0 Příklad 8 Sériovou kombinaci ideální cívky o indukčnosti s 0,50 H a rezistoru o rezistanci s 00 Ω z předcházejícího příkladu můžeme při rekvenci okolo 67 Hz nahradit paralelní kombinací ideální cívky o indukčnosti p arezistoruorezistanci p: p s + s ω r s 0,60 H, p s + ω r s s 500 Ω rčete rekvenční charakteristiky paralelního rezonančního jednobranu podle obr 7-b pro p 0,60 H, p 500 Ω, 0,50 mf Řešení Vyjdeme ze vztahů odvozených v kap 5: +jω j, p ω p p + ω ), ω p [ )] arctg p ω ω p Diskuse: a) Také při paralelní rezonanci platí Thomsonův vztah ω ω r, p r p p ezonanční impedance je reálná a dosahuje maximální absolutní hodnoty r p Napájíme-li obvod z generátoru se stálou amplitudou střídavého proudu generátor s velkým vnitřním odporem), naměříme při rezonanci největší napětí Proudy ve větvi s kondenzátorem r avevětviscívkou r jsou stejně velké, mají však opačnou ázi a navenek se ruší elkový rezonanční proud r je stejný jako proud procházející rezistorem p a je obvykle mnohem menší než r a r Poměr Q r r r r ω r p p ω r p se nazývá činitel jakosti paralelního rezonančního jednobranu b) Při nízkých rekvencích r převládá indukční složka impedance a platí j ω, ω, 90 c) Při vysokých rekvencích r převládá kapacitní složka impedance a platí j ω, ω, 90 Pro dané hodnoty indukčnosti p,rezistance p a kapacity dostáváme r 64, Hz, Q 5, kω 5 4 r r ω r 90 0 0 0, 0,4 0,8,,4,6,8 B khz 0 ω 60 0 0 60 90 Při kreslení rekvenčních charakteristik obr 7-) můžeme vycházet z tabulky: Obr 7-4 5
7 Jednoduché rezonanční jednobrany Jednoduché rezonanční jednobrany vznikají sériovým nebo paralelním spojením cívky a kondenzátoru Tomu odpovídají schémata na obr 7-, kde skutečnou cívku nahrazujeme sériovým nebo paralelním spojením ideální cívky a rezistoru Kondenzátor můžeme při nižších rekvencích považovat za ideální bsolutní hodnota impedance dosáhne maxima při vyšší rekvenci než je rekvence rezonanční, kdy platí ωmax s s + s + ss +4 s s V našem případě max 66,9 Hz, max 5, 099 kω Při nízkých rekvencích r se nejvíce uplatňuje rezistance splatí s, 0 s p p s kω 5 s a) b) c) s Obr 7- Měníme-li rekvenci střídavého proudu v obvodu s rezonančním jednobranem, dochází při určité rekvenci r k vyrovnání vlivu induktivní a kapacitní reaktance a celý jednobran se chová jako rezistor ázové posunutí mezi napětím a proudem je nulové Tento stav se nazývá rezonance V oblasti rezonance se vlastnosti rezonančního jednobranu výrazně mění už při malých změnách rekvence Příklad 7 rčete rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu podle obr 7-a pro s 0,50 H, s 00 Ω, 0,50 mf Řešení Pro sériový rezonanční jednobran platí vztahy odvozené v kap 5: +jω s j ω, + ω s ), arctg ω ω s ω Diskuse: a) Při sériové rezonanci platí Thomsonův vztah ω ω r, s r p s ezonanční impedance je reálná a má minimální absolutní hodnotu r s Napájíme-li obvod z generátoru se stálým svorkovým napětím generátor s malým vnitřním odporem) a měníme-li rekvenci napětí, prochází obvodem při rezonanci největší proud Na kondenzátoru a na cívce vznikají stejně velká napětí r r,kterávšak 4 ω 90 s r 0 0 0, 0,4 0,8,,4,6,8 khz 0 ω 60 0 60 90 Obr 7-4 Frekvenční charakteristiky paralelního jednobranu podle obr 7-b a paralelního jednobranu se sériovým rezistorem v indukční větvi se podstatně liší jen pro 0, jinak je jejich průběh obdobný Musíme si ovšem uvědomit, že v obou případech pracujeme s určitou idealizací skutečného paralelního rezonančního jednobranu tvořeného reálnou cívkou a kondenzátorem Jeho rekvenční charakteristiky by ležely mezi teoretickými charakteristikami z obr 7- a 7-4 7
Diskuse: a) Při nízkých rekvencích m můžeme indukční složku obvodu zanedbat Platí b) Při mezní rekvenci m dostáváme z, z db 0, 0 z, z db, 45 c) Při vysokých rekvencích m převládá vliv indukčnosti Platí z, z db 0 log m, 90 Podobným způsobem postupujeme i při určování rekvenčních charakteristik jiných jednobranů Příklad 6 rčete univerzální rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu Řešení Paralelní jednobran má impedanci j ω + j ω +jω aveďme veličiny mezní úhlová rekvence a mezní rekvence: ω m, m p Poměrná impedance je Platí z + z +jω ω +j ω m ), arctg, m m +j m z db 0 log + ) m Diskuse: a) Při nízkých rekvencích m můžeme kapacitní složku obvodu zanedbat Platí z, z db 0, 0 0 Při laboratorních pracích můžeme využít tabulku: F 0 - - - 4-4 / r,68 0,68,44 0,44,0 0,0 4,6 0,6 F 5-5 6-6 7-7 / r 5,9 0,9 6,6 0,6 7,40 0,40 Poměrná impedance sériového rezonančního jednobranu podle obr 7-a je ωs +j ) ) ω z +jq ωr +jqf, s s ω s ω r ω neboť Vztahy s s Q ω r, s Qω r z +QF ), arctgqf ) vyjadřují absolutní hodnotu poměrné impedance a ázové posunutí mezi napětím a proudem jako unkce jediné proměnné QF Gray těchto unkcí obr 8-) jsou univerzální rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu niverzální komplexní rekvenční charakteristika sériového rezonančního jednobranu v Gaussově rovině je přímka procházející bodem + 0j rovnoběžně s imaginární osou obr 8-) z 4-4 - - 0 4 90 45-4 - - 4 45 90 QF QF 9 Obr 8- m z - - z 0 - QF e z Obr 8-
Je to křivka, kterou při změnách rekvence probíhá koncový bod vektoru impedance K jednotlivým bodům křivky připisujeme příslušné rekvence obr 6-) Příklad 5 V intervalu 0 Hz; 000 Hz) určete rekvenční charakteristiky sériového jednobranu tvořeného cívkou o indukčnosti 0,0 H a rezistorem o odporu 00 Ω Řešení mpedanci jednobranu, její absolutní hodnotu a argument určíme pomocí vztahů +jω, + ω, tg ω Frekvenční charakteristiky obr 6-, 6-4) sestrojíme na základě tabulky: niverzální komplexní rekvenční charakteristika je kružnice v Gaussově rovině se středem v bodě 0,5 + 0j a poloměrem 0,5 obr 8-5) Šířka pásma B paralelního rezonančního jednobranu je deinována jako velikost rekvenčního intervalu, ve kterém z / Příkon jednobranu P cos při stálém proudu neklesne uvnitř pásma pod jednu polovinu příkonu rezonančního P r P V krajních bodech tohoto intervalu platí QF Podobně jako u sériového jednobranu můžeme odvodit B r/q Pro jednobran z př 8 dostaneme B 64 Hz 5, Hz Ω 600 400 00 0 0 60 0 00 /Hz 50 00 00 400 600 800 000 /Ω 05 8 6 70 90 5 66 7 5 68 75 79 8 400 600 800 000 Hz m Ω 0 0 90 00 00 00 400 00 00 50 Hz e Ω Obr 6-4 Úlohy 7 Sériový rezonanční jednobran z př 7 připojíme k tónovému generátoru, který má eektivní hodnotu napětí naprázdno 0 0V avnitřníodpor 75ΩGenerátor se chová jako sériové spojení ideálního zdroje harmonického napětí a rezistoru) Na generátoru nastavíme rezonanční rekvenci r Jaká bude eektivní hodnota proudu procházejícího obvodem? Jaké bude svorkové napětí generátoru? Jaké napětí naměříme na samotném kondenzátoru? 8 K tónovému generátoru, který má eektivní hodnotu napětí naprázdno 0 0V a vnitřní odpor,5 kω, připojíme paralelní rezonanční jednobran z př 8 a nastavíme jeho rezonanční rekvenci Jaký proud budeme odebírat z generátoru a jaké bude jeho svorkové napětí? Jaké proudy budou procházet kondenzátorem a cívkou? 9 Jak se změní rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu z př 7, zmenšíme-lirezistancicívkyna00ω? 0 Jaké hodnoty p, p by musela mít cívka, aby s kondenzátorem o kapacitě 500 pf tvořila paralelní rezonanční jednobran s rezonanční rekvencí r 500 khz a činitelem jakosti Q 0? 0 0 00 400 600 800 000 Hz Obr 6-8
Příklad 0 rčete rekvenční charakteristiky nezatíženého dvojbranu obr 9-) Řešení Jedná se vlastně o sériové spojení rezistoru s kondenzátorem, kde se napětí rozdělí v poměru impedancí Řešení elková admitance soustavy je + Y j ω + j ω +jω Obr 5-5 + j ω j ω + + j ω j ω ω ω +jω + +jω ω +jω ω +jω ω +jω Tento zlomek je reálný pro všechny rekvence, jestliže, Po dosazení a úpravě dostaneme Při dělicím kmitočtu d musí platit toho plyne Y Y, j ω d ω d +jω d, ω d, 4p d Kapacitu kondenzátoru a indukčnost cívky určíme ze vztahů 4p d, 4p d, p d, pd Po dosazení číselných hodnot dostáváme mf,, mh j ω + j ω +jω avedením mezní úhlové rekvence a mezní rekvence ω m, m p sjednotíme popis všech nezatížených dvojbranů pomocí vztahů: + +j ω ω m ), arctg, m m +j m a 0 log + ) m Diskuse: a) Při nízkých rekvencích m je kapacitní reaktance kondenzátoru mnohem větší než odpor rezistoru a na výstupu dvojbranu je téměř celé vstupní napětí Platí b) Při mezní rekvenci m dostáváme, a 0, 0, a db, 45 c) Při vysokých rekvencích m vzniká velký úbytek napětí na rezistoru a platí 0, a 0 log m, 90 niverzální rekvenční charakteristiky dvojbranu jsou na obr 9-4 a 9-5 Komplexní rekvenční charakteristika je půlkružnice o poloměru 0,5 a středu v bodě 0,5 + 0 j ležící ve čtvrtém kvadrantu Gaussovy roviny 6
0,,5 0 / m s s p p Obr 5- -,5-6,5-0 a db 0, -0 db/dek,5 0 / m Obr 9-6 z Řešení rovnosti komplexních výrazů pro impedanci cos +j sin s +jω s 45 90 m e m plyne s cos, s sin ω rovnosti komplexních výrazů pro admitanci cos +jsin) cos jsin + s j ωs p j ω p s +jω s s + ω s Obr 9-7 Obr 9-8,5 plyne p s + ω s s cos, p s + s ω s ω sin Pokud se vlastnosti cívky blíží k vlastnostem cívky ideální, tj p/, platí - 0, 0 / m s ω s, p ω p, s p, p ω s -0 0 db/dek Obr 9-9 Příklad eproduktorová soustava se dvěma reproduktory je zapojena podle obr 5-4 Výškový reproduktor je ve větvi s kondenzátorem a hloubkový ve větvi s cívkou vysvětlete Oba reproduktory se v obvodu chovají jako rezistory o stejné rezistanci 5Ω ívku a kondenzátor považujeme za ideální součástky kažte, že indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru lze zvolit tak, aby impedance soustavy byla při všech rekvencích reálná a konstantní Taková soustava má vlastnosti jediného rezistoru určete jeho rezistanci a db 90 45 Dále požadujeme, aby při dělicím kmitočtu d khz měly oba reproduktory stejný příkon rčete indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru 0, 0 / m m 0, 5 0, 0,5 0,8 m e Obr 9-0 Obr 9-4 5
5 Spojování jednobranů Při sériovém spojení několika jednobranů obr 5-) je ázor proudu společný pro všechny jednobrany a ázor celkového napětí je vektorovým součtem jednotlivých ázorů napětí: + + + N elková impedance obvodu je Diskuse: Napěťový přenos je reálný a má maximální absolutní hodnotu max, a 9,6 db jestliže F 0, neboli 0 Harmonické signály nízkých rekvencí 0 a vysokých rekvencí 0 jsou potlačeny Wienův člen se chová jako pásmová propust Šířka pásma tj intervalu, kde max/ ) je velká V krajních bodech pásma platí F ±, což dává rekvence 0,0 0,,0 0 Fázové posunutí výstupního napětí je kladné pro < 0 a záporné pro > 0 niverzální rekvenční charakteristiky Wienova členu jsou na obr 9- a 9-4 + + + N + + + N Fázor celkového napětí se rozloží na jednotlivé jednobrany v poměru : : : : N : : : : N Podobný vztah je i mezi eektivními hodnotami napětí, amplitudami napětí a absolutními hodnotami impedancí : : : : N : : : : N, m : m : m : : Nm : : : : N Obr 9-5 Wienův člen se využívá jako základní zpětnovazební prvek většiny nízkorekvenčních tónových generátorů S jeho kritickou rekvencí generátor kmitá Plynulé ladění generátoru se provádí současnou změnou obou kapacit pomocí dvojitého otočného kondenzátoru, nebo současnou změnou obou rezistancí pomocí dvojitého reostatu obr 9-5) Obr 5- Obr 5- Například v sériovém obvodu obr -6) platí +jω j ω, + ω ), ω tg m ω ω Úloha 4 Dokažte, že komplexní rekvenční charakteristika Wienova členu je kružnice o poloměru /6 se středem v bodě /6+0j Příklad eproduktorové soustavy na obr 5-4 a 5-5 př a 4) můžeme považovat za dvojice dvojbranů, u kterých vstupní napětí je celkové napětí přiváděné na soustavu a výstupní napětí je napětí na reproduktoru obou soustav vyšetřete rekvenční charakteristiky napěťového přenosu ve větvi s hloubkovým reproduktorem Řešení a) Sériové spojení cívky s reproduktorem budeme vyšetřovat jako dvojbran Pro jeho napěťový přenos platí +jω + j ω +j, kde m p m je mezní kmitočet dvojbranu a současně i dělicí kmitočet reproduktorové soustavy, e 7
Také otáčení ázoru napětí nebo proudu v závislosti na čase můžeme vyjádřit pomocí násobení komplexní jednotkou obr -6) Poloha ázoru napětí v čase t je určena komplexní veličinou e jωt e jωt m e j0 e jωt m e jωt+ 0) m ωt 0 e u t a db,6 - a) b) a b 0 / m -40 db/dek Obr 9-6 Obr -6 ineární jednobrany mpedance, admitance Jednobran je do obvodu připojen pomocí jediné dvojice svorek obr -) Může být tvořen jedinou součástkou, nebo větším počtem součástek různě propojených Jednobrany sestavené z rezistorů, kondenzátorů a cívek mají při konstantní rekvenci střídavého proudu lineární voltampérovou charakteristiku celkovýproud je přímo úměrný celkovému napětí Jednobran složený pouze z rezistorů odporový jednobran) se v obvodu chová jako jediný rezistor elkový proud je ve ázi s celkovým napětím a voltampérová charakteristika nezávisí na rekvenci Jestliže se však v jednobranu vyskytují kondenzátory nebo cívky, dochází zpravidla mezi celkovým proudem a celkovým napětím k ázovému posunutí, jehož velikost závisí na rekvenci, a voltampérová charakteristika má pro různé rekvence různý sklon Použijeme-li pro popis obvodu s lineárním jednobranem symbolickou metodu, považujeme ázory napětí a proudu, za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině Poměr těchto veličin se nazývá impedance jednobranu: Při stálé rekvenci střídavého proudu je impedance lineárního jednobranu konstantní a zcela vyjadřuje jeho vlastnosti bsolutní hodnotu a argument impedance určíme pomocí vztahů m, m Řešení některých úloh se zjednoduší zavedením veličiny převrácené k impedanci, která -0 45 90 5 80 0, b a 0 / m Obr 9-8 Obr 9-7, m, - d e 0,5 0, Úloha 5: měníme-li v dvojbranu na obr 9-6 indukčnost cívky na / a kapacitu kondenzátoru na, dostaneme rekvenční charakteristiky, které jsou na obr 9-7, 9-8 vyznačeny tenkými čarami V blízkosti dělicího kmitočtu dojde k rezonančnímu zesílení Odvoďte vztahy, které popisují průběh charakteristik Pro kterou hodnotu poměrné rekvence / d je napěťový přenos maximální a jaká je jeho velikost? v tomto případě deinujeme ω d,5,5 0,7 max 0,867 0,5 0,7 0,5 0 9
žití komplexních veličin při řešení obvodů střídavého proudu symbolická metoda Symbolickou metodu používáme při řešení složitějších obvodů Fázory napětí a proudu považujeme za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině Také vztahy mezi jednotlivými ázory v obvodu vyjadřujeme pomocí komplexních veličin S komplexními veličinami počítáme stejně jako s komplexními čísly v matematice praktických důvodů je však orma zápisu poněkud odlišná Komplexní veličiny budeme zapisovat v algebraickém, goniometrickém nebo exponenciálním tvaru: e m e m +j cos +j sin ) e j, kde cos je reálná složka, sin je imaginární složka, j je imaginární jednotka, e +m je absolutní hodnota, je argument V psaném textu použijeme pro komplexní veličinu symbol podobně jako u jiných vektorů Komplexní veličina má kromě absolutní hodnoty a argumentu i yzikální jednotku Dvě komplexní veličiny B, jsou si rovny právě tehdy, když eb, m mb e Součet dvou komplexních veličin B, téhož druhu je deinován vztahem + B e +eb +jm +mb), kterému odpovídá vektorový součet v Gaussově rovině obr -) m B +B e m B m Úkoly rčete indukčnost s ideální cívky a rezistanci s ideálního rezistoru, jejichž sériové spojení by při rekvenci 50 Hz nahradilo cívku rozkladného transormátoru o 00 závitech a) s rovným jádrem, b) s uzavřeným jádrem ezistanci s porovnejte se stejnosměrným odporem vinutí cívky Provedení úlohy Sestavíme obvod podle obr - Jako zdroj použijeme síťový transormátor s odbočkami na sekundárním vinutí nebo síťový transormátor doplněný o potenciometr, abychom získali pět různých napětí od 0 V do 0 V Jako rezistor se nejlépe hodí odporová dekáda; můžeme však použít i válcový reostat, jehož odpor vhodně nastavíme a změříme ohmmetrem indukčnost odporového vinutí můžeme zanedbat) Odpor, který nastavíme na dekádě nebo na reostatu, by se měl přibližně rovnat absolutní hodnotě impedance cívky Potom bude napětí přibližně stejné jako napětí mpérmetr není nutný Slouží jen ke kontrole, že nebyla překročena nejvyšší dovolená hodnota proudu pro cívku a reostat Voltmetry V až V mají mít co největší vnitřní odpor Vystačíme i s jediným voltmetrem, který přepojujeme do všech tří poloh Obě cívky měříme při pěti různých hodnotách celkového napětí Naměřené hodnoty zapíšeme do tabulky pro každou cívku bude jedna tabulka): č /Ω /V /V /V cos /Ω s/ω /H 4 5 Průměr Krajní odchylka ar průměru Odchylky jednotlivých výsledků od aritmetického průměru jsou vedle nepřesnosti měření způsobeny i určitou závislostí magnetických vlastností jádra na intenzitě magnetického pole, tedy na proudu, který prochází cívkou Posuďte, která z obou příčin je významnější Stejnosměrný odpor cívky změříme ohmmetrem nebo stejnosměrným voltmetrem a ampérmetrem v obvodu stejnosměrného proudu B B Obr - e e B Obr -, Obr - 8 4
Obr -7 Příklad Kondenzátor o kapacitě mf a cívka byly sériově připojeny k síťovému transormátoru 50Hz) Vlastnosti kondenzátoru se přibližují vlastnostem kondenzátoru ideálního ívku si můžeme představit jako sériové spojení ideální cívky o indukčnosti s a ideálního rezistoru o rezistanci s Voltmetrem byla v obvodu změřena napětí 0,5 V, 8,0 V, 4,5 V obr -8) Narýsujte ázorový diagram obvodu a určete veličiny s a s Řešení Fázorový diagram obvodu je na obr -8 Fázor proudu volíme v základní poloze tím je dána i poloha ázoru bývající ázory dostaneme doplněním obrazce na trojúhelník a na rovnoběžník Velikosti ázorů vynášíme v eektivních hodnotách velikosti ázorů se tím zmenší krát ázorového diagramu určíme úhel, který svírá ázor napětí s ázorem proudu : + cos ψ + sin, sin + Obvodem prochází proud ω X ázorového diagramu samotné cívky obr -9) odvodíme cos, sin, s, s ω Numericky: 54,, 0,8, s 47Ω, s 0, H Ověřte, že při rezonanci platí r r ωrs s Provedení úlohy Sestavte obvod podle obr -4 s kondenzátorem známé kapacity Jako miliampérmetr můžeme použít např přístroj D 0, napětí měříme nízkorekvenčním milivoltmetrem, např BM 0 nebo NV 89 Napětí generátoru udržujte na maximu Na tónovém generátoru nastavte rezonanční rekvenci, při které celkové napětí rezonančního jednobranu dosáhne výrazného minima r měřte rezonanční proud r a napětí na kondenzátoru r Měření opakujte pro různé kapacity kondenzátoru v rozsahu 0 nf až 0 mf Pro Na- jednotlivé rezonanční rekvence vypočítejte s, s, Q ωrs s měřené a vypočítané hodnoty zapište do tabulky: /nf r/khz r/v r/m r/v s/h s/ω Q Q a Q r r Ověřte, že Q Q Q, a nakreslete gray závislosti veličin s, s a Q na rekvenci Je vhodné volit na vodorovné ose logaritmickou stupnici Průběhy graů popište 0 rčení rekvenčních charakteristik sériového jednobranu a nezatíženého dvojbranu Teorie Sériové spojení kondenzátoru a rezistoru na obr -5a můžeme považovat za sériový jednobran, kterým je zatížen tónový generátor, nebo za dvojbran, kterým napětí tónového generátoru upravujeme V prvním případě použijeme ázorový diagram na obr -5b Platí:,, z, arccos 6 4
Veličina m m ω X je kapacitní reaktance kapacitance) kondenzátoru V obvodu s kondenzátorem předbíhá proud před napětím o čtvrtinu periody, ázově o p/ Fázory obou veličin jsou navzájem kolmé obr -4) V obvodu s ideální cívkou platí zákon elektromagnetické indukce ve tvaru u di dt Jestliže okamžitá hodnota proudu je i m sinωt + 0), 04 rčení rekvenčních charakteristik Wienova členu Teorie Wienova členu byla vyložena v řešení příkladu str 6) Úkoly Sestavte Wienův člen ze dvou stejných rezistorů o odporu např kω) a dvou stejných kondenzátorů o kapacitě např 00 nf) rčete jeho kritickou rekvenci 0 aověřte,žeplatí 0 p Pro různé hodnoty poměrného rozladění v intervalu 5 F 5 určete absolutní hodnotu napěťového přenosu / a ázové posunutí Nakreslete útlumovou, ázovou a komplexní rekvenční charakteristiku Jejich průběhy porovnejte s obr 9-, 9-4 pak u ω m cosωt + 0) m cosωt + 0) Veličina m m ω X je induktivní reaktance induktance) cívky V obvodu s cívkou je proud opožděn za napětím o čtvrtinu periody, ázově o p/ Fázory obou veličin jsou navzájem kolmé obr -5) m u i V X Y a) b) m h 45 n H m Fázové posunutí mezi napětím a proudem deinujeme vztahem t Obr -5 cívky, kde napětí předbíhá před proudem, je kladné; u kondenzátoru je záporné V praktických situacích známe častěji eektivní hodnoty střídavých napětí a proudů než jejich amplitudy Proto i ve ázorových diagramech střídavých obvodů místo ázorů m, m používáme ázory, o velikostech rovných eektivním hodnotám, V sériově zapojeném obvodu je ázor proudu pro všechny součástky společný Obvykle jej umisťujeme do základní polohy na vodorovné ose a počáteční ázi proudu tedy volíme nulovou Fázor výsledného napětí je vektorovým součtem Obr -6 Obr -7 Provedení úlohy Měříme v zapojení podle obr -6 při maximálním napětí tónového generátoru Voltmetrem zjišťujeme eektivní hodnoty vstupního a výstupního napětí, Osciloskop použijeme k měření absolutní hodnoty ázového posunutí Na obrazovce vznikne issajousova křivka ve tvaru elipsy Označme největší svislou vzdálenost bodů elipsy H a vzdálenost průsečíků se svislou osou obrazovky h obr-7a)platí sin h H Pokud je absolutní hodnota ázového posunutí větší než 45, dává mnohem přesnější výsledky druhý způsob: egulací horizontální a vertikální citlivosti osciloskopu můžeme elipsu upravit tak, že hlavní osa má sklon 45 obr -7b) Pak platí tg n m, 4 45
Jednoduchý obvod střídavého proudu Řešení obvodů střídavého proudu pomocí ázorového diagramu V tomto textu se budeme zabývat elektrickými obvody sestavenými z ideálních rezistorů, kondenzátorů a cívek připojenými k ideálním zdrojům harmonického střídavého napětí Takovéto zidealizované obvody mohou velmi dobře modelovat reálné obvody v nejrůznějších elektrotechnických zařízeních ezistory, kondenzátory a cívky jsou lineární součástky mplituda m střídavého proudu procházejícího součástkou je přímo úměrná amplitudě m střídavého napětí Totéž platí o eektivních hodnotách proudu a napětí m/, m/, které budeme ve výpočtech používat častěji Voltampérová charakteristika rezistoru nezávisí na rekvenci proudu kondenzátoru se s rostoucí rekvencí sklon charakteristiky zvětšuje a u cívky se naopak zmenšuje obr -) 500 Hz 500 Hz Obr - Fázor časový vektor) m harmonicky kmitajícího napětí určuje svou velikostí amplitudu kmitů m a svým směrem jejich počáteční ázi 0 obr -) ačne-li se včaset 0 ázor napětí otáčet v kladném smyslu úhlovou rychlostí ω, bude svislá souřadnice ázoru rovna okamžité hodnotě napětí u m sinωt + 0) Stejným způsobem deinujeme ázor proudu m Fázorové diagramy jsou vhodné pro řešení jednodušších obvodů opakujme si nejprve, jak vypadají ázorové diagramy jednoduchých obvodů střídavého proudu s rezistorem, kondenzátorem a cívkou Výsledky úloh μf; 0, V; 58,95 m ; 0,6 m ; 0,6 V ; 8 μf; 0,80 mh 4 j ω +jω ; ; arctg + ω) ω 5 z j m ; m p ; z ) ; arctg m m + z 6 j m ; m p ; z m + 7 6 m; 7, V; 6 V 8, m; 6,8 V; 6,6 m ) ; arctg m 9 ω r se nezmění; r 00 Ω ; Q 0; B 64Hz 0 0,0 mh;,7 kω ; m p ; ; arctg ; +j m + 4 m 5 a 0log 0 log [+ 9 m ) ] m [ ) ] m ) ; a 0 log + ; arctg m m + d ) +j ; d ) 4 + ) ; arctg d d max d 4 0,867 d ; max,5 ; a max,6 db d ) ; d 47