IV. ročník celostátní konference SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ Téma: Posudek - poruchy - havárie 173 3.až..3 Dům techniky Ostrava ISBN 8--1551-7 MOŽNOSTI VYUŽITÍ METODY LHS PŘI NUMERICKÉM MODELOVÁNÍ STABILITY TUNELU Abstract Eva Hrubešová, Josef Aldorf a Lukáš Ďuriš This paper deals with the stochastic approach to the numerical modelling in geotechnics, especially with the LHS method utilization in the tunnel modelling. This mentioned simulation method enables to decrease the number of repeated calculation in comparison with the Monte Carlo simulation method. 1. Numerické modelování a stochastické simulační metody S rozvojem výkonné výpočetní techniky se v současné době ve stále větší míře uplatňují při řešení geotechnických úloh numerické metody modelování. Na rozdíl od analytických výpočetních postupů nevyžadují tak velkou míru zjednodušení reálné geotechnické situace a jejich výsledky tak mohou objektivněji odrážet skutečné chování navzájem spolupracujícího systému konstrukce-horninové prostředí. Numerické metody a postupy jsou neustále zdokonalovány, avšak objektivnost a spolehlivost jejich výsledků je podstatnou měrou rovněž určována objektivností a spolehlivostí vstupních dat těchto modelů. V oblasti modelování úloh z oblasti geotechnického a podzemního stavitelství je problematika vstupních dat modelů ještě aktuálnější, a to především s ohledem na velkou časovou i prostorovou variabilitu parametrů horninového prostředí. Procesy, probíhající v horninovém prostředí, mají z velké části stochastický charakter a charakteristiky horninového prostředí lze tedy považovat za náhodné proměnné, které se řídí jistými zákony pravděpodobnosti. K zohlednění stochastického charakteru vstupních dat geotechnických modelů a z něj vyplývajícího stochastického charakteru výsledků těchto modelů se používá nejčastěji známá simulační metoda Monte Carlo.Vzhledem k tomu, že tato metoda vyžaduje realizaci většího množství opakovaných výpočtů s generovanými hodnotami vstupních parametrů dle určitého rozdělení pravděpodobnosti a následné statistické vyhodnocení výsledků modelu, je její aplikace v oblasti numerického modelování i přes stále výkonnější výpočetní techniku příliš časově náročná. V oblasti numerického modelování je tedy vhodnější a efektivnější využít simulační metodu LHS (Latin Hypercube Sampling), umožňující snížit počet opakovaných výpočtů při zachování potřebné přesnosti.. Podstata simulační metody LHS Předpokladem aplikace této simulační metody je znalost distribuční funkce každého vstupního parametru F(x j ). Obor hodnot distribučních funkcí jednotlivých vstupních parametrů ( obecně interval <,1>) je rozdělen na N intervalů se stejnou pravděpodobností 1/N. Pokud známe u příslušné vstupního náhodného parametru minimální a maximální Eva Hrubešová, RNDr., Ph.D., Josef Aldorf, Prof. Ing,, DrSc., Lukáš Ďuriš, Ing., Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava, Fakulta stavební, Katedra geotechniky a podzemního stavitelství, Ludvíka Podéště 1875, 78 Ostrava - Poruba, tel.: (+) 59 699 193, e-mail: eva.hrubesova@vsb.cz, josef.aldorf@vsb.cz.
17 meze jejího skutečného fyzického výskytu, provedeme dělení na N intervalů pouze v oblasti hodnot příslušné distribuční funkce odpovídajících těmto mezím. Počet intervalů je roven počtu provedených opakování výpočtů. Každému tomuto intervalu je přiřazena hodnota distribuční funkce ve středu tohoto intervalu. Následuje výběr čísla intervalu generátorem rovnoměrného rozdělení. Při tomto náhodném výběru je třeba respektovat tu skutečnost, že každý interval je vybrán pouze jednou výsledkem generace pro daný vstupní parametr je tedy náhodná permutace čísel intervalů bez opakování. V případě m vstupních parametrů uvažovaného modelu dostáváme po provedené generaci matici (n x m), přičemž j-tý sloupec této matice je dán náhodnou permutací čísel intervalů j-tého vstupního parametru, i-tý řádek matice pak představuje m-tici náhodných čísel intervalů odpovídajících distribučním funkcím uvažovaných vstupních parametrů vstupujících do i- tého opakovaného výpočtu. Náhodné hodnoty parametrů x j vstupujících do i-tého opakovaného výpočtu pak získáme přiřazením hodnot inverzní distribuční funkce středům takto náhodně nagenerovaných intervalů (obr.1). Obr.1: Schématické znázornění generace metodou LHS Další postup, založený na realizaci opakovaných výpočtů a statistickém vyhodnocení takto získaných výsledkových souborů, je již shodný se známou metodou Monte Carlo. Z podstaty generace vstupních dat metodou LHS vyplývá, že výhoda snížení počtu opakovaných výpočtů ve srovnání s metodou Monte Carlo je na druhé straně částečně eliminována složitější a pracnější generací náhodných hodnot parametrů vstupujících do opakovaných výpočtů. V případě aplikace simulačních postupů na numerické modely je však snížení počtu opakovaných výpočtů dominantní. 3. Programový modul GLHS pro generaci vstupních dat stochastických výpočtů metodou LHS Složitější generace náhodných hodnot vstupních parametrů v případě simulační metody LHS již neumožňuje získání těchto náhodných hodnot pouze na základě přímého využití generátorů náhodných čísel. Na katedře geotechniky a podzemního stavitelství FAST byl proto pro generaci vstupních dat výpočtů metodou LHS vytvořen programový modul GLHS, umožňující stanovení generovaných hodnot pod zvoleným typem rozdělení pravděpodobnosti a následné statistické zpracování takto generovaných hodnot. Modul GLHS byl vytvořen v prostředí jazyka Visual Basic pro aplikace (VBA) a využívá dále možností programového modulu UNISTAT (statistický modul anglické firmy UNISTAT pracující pod MS Excel). Tento modul na základě zadaných rozdělení pravděpodobnosti a zadaných mezí fyzického výskytu daných parametrů provede kompletní generaci vstupních
175 dat, která jsou zapsána do ASCII souborů a lze je pak dále využít ve stochastických výpočtech. Programový modul pracuje s nejčastěji využívanými typy spojitých rozdělení pravděpodobnosti ( normální, lognormální, chí-kvadrát, Beta, Gamma, F, Studentovo) (obr.). Obr.: Programový modul GLHS pro generaci vstupních dat metodou LHS. Generace náhodných vstupních dat metodou LHS pro numerický model tunelu Valík Možnosti využití zmíněné simulační metody LHS uvádíme na příkladu numerického modelu pro statické a stabilitní řešení primární obezdívky a výlomu tunelu Valík, který je součástí obchvatu města Plzně na dálnici D5 Praha-Rozvadov. Tento tunel je navržen jako dvojice tunelových trub světlých průřezů cca 13 m, stýkajících se ve středním železobetonovém pilíři. Každá tunelová trouba má oválný tvar s protiklenbou, max. šířka výlomu v kalotě činí cca 16 m, celková výška je cca 11.7 m. Primární obezdívka je navrhována ze stříkaného betonu tř. C16/ tloušťky 35 mm vyztužená příhradovými oblouky a mřížovinou. Ražba tunelu bude prováděna v porušených břidlicích, jejichž kvalita byla hodnocena jako příznivá. Výška nadloží tunelu pro nejméně příznivou geometrickou situaci tunelu je 16 m. Vlastní statické a stabilitní řešení bylo provedeno pomocí programového systému PHASES. (programový systém kanadské firmy ROCSCIENCE), pracujícího na základě metody konečných prvků, s využitím simulační metody LHS. Tento pravděpodobnostní přístup ke stanovení vlastností horninového prostředí je opodstatněn jak náhodnou proměnlivostí vlastností prostředí a jejich kombinací v okolí tunelu, tak i potřebou statisticky zhodnotit důsledky této proměnlivosti horninového prostředí jednak na hodnoty vnitřních sil ve výztuži a jednak na tvorbu porušených oblastí v okolí tunelu. Při řešení bylo realizováno programovým modulem GLHS generací náhodných hodnot pro dále uvedených 1 vstupních parametrů numerického modelu: objemová tíha horniny úhel vnitřního tření horniny soudržnost horniny dilatance horniny koeficient bočního tlaku modul pružnosti horniny ve směru k foliaci
176 Poissonovo číslo horniny součinitel anizotropie prostředí úklon puklin v průřezu tunelu zatěžovací funkce výztuže (podíl deformací přenášených na ostění k celkovým deformacím) Ilustrace výsledků generace vstupních parametrů modelu metodou LHS je uvedena ve formě histogramů na obr. 3. S takto generovanými vstupními parametry pak bylo realizováno opakovaných výpočtů programovým systémem Phases, byly vyhodnoceny vnitřní síly ve výztužní konstrukci a tyto pak byly dále statisticky vyhodnoceny systémem UNISTAT. Výsledky uvedeného statistického zpracování jsou uvedeny na obr.-5. Literatura [1] Anděl,J.: Matematická statistika, SNTL, Praha 1985. [] Manuál k programovému systému UNISTAT. Obr.3: Ukázky výsledků generace vstupních parametrů modelu modulem GLHS
177 GENERACE METODOU LHS - objemová tíha zeminy KN/m3 5% 75%,7,9 3,1 3,3 3,5 3,7 3,9,1,3,5,7 objemová tíha (KN/m3) GENERACE METODOU LHS- úhel vnitřního tření 5% 75% 3,6 31, 3, 33 33,8 3,6 35, 36, 37 37,8 38,6 39,, úhel vnitřního tření ( ) GENERACE METODOU LHS-soudržnost horninového prost (kpa) 5% 75% 6 5 5 58 6 66 7 7 78 8 soudržnost (kpa) GENERACE METODOU LHS- úklon puklin 5% 75% 51,5 53,75 56,5 58,75 61,5 63,75 66,5 68,75 71,5 73,75 76,5 úklon puklin ( )
moment Pravý tunel-axiální síly 6 Če tn os t 5% 75% 1,16 1, 1,3 1, 1,8 1,56 1,6 1,7 1,8 1,88 1,96 axiální síly Pravý tunel-momenty 6 Če tn os t 5% 75%,8965,119375,13815,156875,176565,198375,315,1875,665,859375 Obr.: Výsledky aplikace metody LHS na numerický model tunelu Valík
PRAVÝ TUNEL - momenty,1,5 momenty (MPa m), 1 15 5 3 35 -,5 -,1 -,15 střední hodnota kvantil.1 kvantil.99 -, -,5 -,3 č.prutu Obr.5: Průběh středních hodnot a α kvantilů ohybových momentů v prutech tunelové výztuže