Matematika 6F fuzzy množiny

Pojem fuzzy množiny Matematika 6F fuzzy množiny Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/m6f/fset print.pdf. dubna 007. Minimum o klasických množinách Abychom se vyhnuli problémům, omezíme se na podmnožiny nějaké univerzální množiny univerza) X PX) značí množinu všech podmnožin množiny X Množinu A PX) jednoznačně určuje její charakteristická funkce µ A : X 0, }, pro x A, µ A x) = 0 pro x A. Pomocí značení lze psát Místo µ ) A } píšeme µ A ) apod. peciálně µ = 0, µ X =.. Zavedení fuzzy množin A = x X : µ A x) = } = x X : µ A x) > 0}. µ A M) = x X : µ Ax) M} A = µ A ) ) } = µ A 0,. Fuzzy podmnožina univerza X stručně fuzzy množina) je objekt A, který popisuje zobecněná) charakteristická funkce funkce příslušnosti) µ A : X 0, Alternativní značení: Ax) Klasické množiny nazýváme v tomto kontextu ostré angl. crisp, sharp). FX) značí množinu všech fuzzy podmnožin univerza X Obor pravdivostních hodnot angl. range, level set): RangeA) = α 0, : x X : µ A x) = α) } = µ A X) Výška: ha) = sup RangeA) Nosič angl. support): uppa) = x X : µ A x) > 0 } = µ ) A 0, Jádro angl. core): corea) = x X : µ A x) = } = µ A ) Příklady fuzzy množin A, B FR), 0 pro x < 0, x pro x 0,, µ A x) = x pro x,, 0 pro x >, µ B x) = pro x = 3, pro x = 4, 4 pro x = 5, 0 jinak. Konečné fuzzy množiny zapisujeme stručněji např. µ B = 3, ), 4, ), 5, 4 )}. Alternativní značení: µ B = /3, /4, 4 /5}, µ B = /3 + /4 + 4 /5.

ystém řezů fuzzy množiny Definice: Nechť A FX), α 0,. Pak α-hladina angl. α-level) fuzzy množiny A je ostrá množina µ A α) = x X : µ A x) = α }. ystém řezů fuzzy množiny A je zobrazení R A : 0, PX), které každému α 0, přiřazuje tzv. α-řez angl. α-cut) R A α) = µ ) A α, = x X : µa x) α }. ystém ostrých řezů je A : 0, PX), kde A α) = µ ) A α, = x X : µa x) > α}. Alternativní značení α-řezu: [A] α, [A] α, α A, α A. Věta o systému řezů RangeA) = α 0, : µ A α) }, ha) = sup α 0, : R A α) }, uppa) = A 0), corea) = R A ), R A 0) = X, A ) =. Věta: Zobrazení M : 0, PX) je systém řezů nějaké fuzzy množiny A FX), právě když R) M0) = X, R) 0 α < β Mα) Mβ), R3) 0 < β Mβ) = Mα). α:α<β Důkaz: : R): M0) = R A 0) = X. R): x Mβ) = R A β) µ A x) β > α x R A α) = Mα). R3) : R) α 0, β) : Mβ) Mα) Mβ) Mα). α:α<β R3) : x α:α<β Mα) = α:α<β R A α) α 0, β) : µ A x) α, µ A x) β x R A β) = Mβ). : Dokážeme, že M = R A, kde µ A x) := sup α 0, : x Mα) }. : x Mβ) µ A x) β x R A β), : x R A β) µ A x) = sup α 0, : x Mα) } β, α 0, β) : x Mα), x Mα) = Mβ). α:α<β. Reprezentace fuzzy množin Horizontální reprezentace: pomocí systému řezů Vertikální reprezentace: pomocí funkce příslušnosti Převod z horizontální do vertikální reprezentace: Věta: Nechť A FX). Pak µ A x) = sup α 0, : x R A α) }. µ A = sup α µ RA α) = sup α µ RA α), α 0, α RangeA)

kde supremum počítáme po bodech, tj..3 Fuzzy inkluze µ A x) = sup α µ RA α)x). α RangeA) Klasická definice A B x A : x B se nehodí, neboť pro fuzzy množiny nemůžeme psát x A, x B Nicméně A B x X : µ A x) µ B x) µ A µ B Pro A, B FX): A B x X : µ A x) µ B x) µ A µ B α 0, : R A α) R B α) Důkaz poslední ekvivalence: : Nechť µ A µ B, x R A α) α µ A x) µ B x), x R B α), tj. R A α) R B α) : Nechť α 0, : R A α) R B α) µ A x) = sup α 0, : x R A α) } sup α 0, : x R B α) } = µ B x).4 Řezová konzistence Vlastnost P fuzzy množin A,..., A n je předpis, který argumentům A,..., A n přiřazuje ostrou pravdivostní hodnotu P A,..., A n ) 0, } predikát ). Vlastnost P fuzzy množiny se nazývá řezově dědičná angl. cutworthy), jestliže P A,..., A n ) α 0, : P R A α),..., R An α))), řezově konzistentní, jestliže 0-řezy záměrně neuvažujeme) P A,..., A n ) α 0, : P R A α),..., R An α))). Příklady řezové dědičnosti a konzistence Inkluze je řezově konzistentní. ilná normalita, x X : µ A x) =, je řezově konzistentní. Ostrost množiny je řezově dědičná, ale není řezově konzistentní. 3 Operace s fuzzy množinami 3. Operace s ostrými množinami množinové operace výrokové operace vztah : PX) PX) : 0, } 0, } A = x X : x A) : PX) PX) : 0, } 0, } A B = x X : x A) x B) : PX) PX) : 0, } 0, } A B = x X : x A) x B) Pomocí charakteristických funkcí: µ A x) = µ A x) µ A B x) = µ A x) µ B x) µ A B x) = µ A x) µ B x) 3

3. Zákony Booleovy algebry α = α, α β = β α, β = β α, α β) γ = α β γ), β) γ = β γ), β γ) = β) γ), α β γ) = α β) α γ), α α = α, α = α, α β) = α, α β) = α, α =, 0 = 0, α 0 = α, = α, α = 0, α α =, β) = α β, α β) = β. 3.3 Fuzzy negace je unární operace. : 0, 0, taková, že α β. β. α, N).. α = α. N) Příklad: tandardní negace: α = α. Vlastnosti fuzzy negací Věta: Každá fuzzy negace. je spojitá, klesající, bijektivní a splňuje okrajové podmínky. = 0,. 0 =. N0) Její graf je symetrický podle osy. a 3. kvadrantu, tj.. =. Důkaz: Prostá: Je-li. α =. β, pak α =.. α =.. β = β. urjektivní na ): Pro každé α 0, existuje β 0, takové, že α =. β, totiž β =. α. spojitost a okrajové podmínky. ymetrie grafu je ekvivalentní s involutivitou N). Věta o reprezentaci fuzzy negací Nutná a postačující podmínka pro to, aby funkce. : 0, 0, byla fuzzy negace, je existence rostoucí bijekce i : 0, 0, generátor fuzzy negace. ) takové, že. = i i, tj.. α = i iα) ). Důkaz: Dle [Nguyen-Walker].) Postačující: N): Předpokládejme α, β 0,, α β. i, i uspořádání zachovávají, obrací: N): iα) iβ) iα) iβ) i iα) ) i iβ) ). α. β.. = i i i i = i i = i i = id, kde id je identita na 0,. 4

Možná konstrukce generátoru fuzzy negace Nutná: Dokážeme, že α +. α iα) = je generátorem fuzzy negace.. i je rostoucí, spojitá, i0) = 0, i) =, tedy i je bijekce na 0,. α +. α α +. α α +. α iα) = = = = α +. α.. α +. α = = = i. α). i =. i, neboli i i =. Generátor fuzzy negace není jednoznačně určen. 3.4 Fuzzy doplněk µ A.x) =. µ A x). Rozlišujeme stejnými indexy, jako u fuzzy negací, například A je standardní doplněk. 3.5 Fuzzy konjunkce trojúhelníková norma, t-norma) angl. triangular norm) je binární operace. : 0, 0, splňující následující axiomy pro všechna α, β, γ 0, :. β = β. α komutativita) T). β. γ) =. β). γ β γ. β. γ. = α asociativita) T) monotonie) T3) okrajová podmínka) T4) Věta:. 0 = 0. Důkaz: Podle T3) a T4) platí:. 0 T3). 0 T4) = 0. Příklady fuzzy konjunkcí tandardní min, Gödelova, Zadehova... ): β = minα, β). oučinová produktová, pravděpodobnostní, Goguenova, angl. algebraic product... ): P β = α β. ukasiewiczova Gilesova, angl. též bold... ): α + β pro α + β > 0, β = 0 jinak. Drastická slabá, angl. weak... ): α pro β =, D β = β pro α =, 0 jinak. 5

Vlastnosti fuzzy konjunkcí Věta: α, β 0, : D β. β β. Důkaz: Je-li α = nebo β =, pak podmínka T4) dává stejný výsledek pro všechny fuzzy konjunkce. Předpokládejme bez újmy na obecnosti) α β <. Pak D β = 0. β. = α = β. Věta: tandardní konjunkce je jediná, která je idempotentní, tj. α 0, :. α = α Důkaz: Předpokládejme α, β 0,, α β. tedy. β = α = β. Totéž pro α > β. Reprezentace fuzzy konjunkcí obecně) α =. α T3). β T3). T4) = α, Věta: Nechť je fuzzy konjunkce a i : 0, 0, rostoucí bijekce. Pak operace : 0, 0, definovaná vzorcem β = i iα) iβ) ) je fuzzy konjunkce. Je-li spojitá, je též spojitá. Důkaz: Komutativita asociativita se dokáže obdobně): Monotonie: Předpokládejme β γ. Okrajová podmínka: β = i iα) iβ)) = i iβ) iα)) = β α iβ) iγ), iα) iβ) iα) iγ), β = i iα) iβ)) i iα) iγ)) = γ. = i iα) i)) = i iα) ) = i iα)) = α. Klasifikace fuzzy konjunkcí pojitá fuzzy konjunkce. je archimédovská, jestliže α 0, ) :. α < α TA) striktní, jestliže α 0, β, γ 0, : β < γ. β <. γ T3+) nilpotentní, jestliže je archimédovská a není striktní. Příklad: oučinová konjunkce je striktní, ukasiewiczova je nilpotentní, standardní a drastická nejsou archimédovské standardní nesplňuje TA), drastická není spojitá). 6

Věta o reprezentaci striktních fuzzy konjunkcí Operace. : 0, 0, je striktní fuzzy konjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, multiplikativní generátor) taková, že. β = i iα) P iβ) ) = i iα) iβ) ). Že je podmínka postačující, jsme již dokázali kromě striktnosti, což je snadné). Důkaz nutnosti je mnohem obtížnější. Multiplikativní generátor striktní fuzzy konjunkce není určen jednoznačně. Věta o reprezentaci nilpotentních fuzzy konjunkcí Operace. : 0, 0, je nilpotentní fuzzy konjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, ukasiewiczův generátor) taková, že. β = i iα) iβ) ). ukasiewiczův generátor nilpotentní fuzzy konjunkce není určen jednoznačně. Věta: Nechť. je nilpotentní fuzzy konjunkce. Pak α 0, ) n N : n k= α = 0. Důkaz: Podle reprezentační věty stačí bez újmy na obecnosti) dokázat větu pro ukasiewiczovu konjunkci. Pro dostatečně velké n dostáváme n n α + α ) 0, k= α = 0. 3.6 Fuzzy průnik je operace na fuzzy množinách definovaná pomocí fuzzy konjunkce: i= µ A. Bx) = µ A x). µ B x) rozlišujeme stejnými indexy jako u příslušných fuzzy konjunkcí) Věta: tandardní průnik je řezově konzistentní. Důkaz:. Řezová dědičnost: R A Bα) = x X : µ A Bx) α} = x X : µ A x) α) µ B x) α)} = x X : µ A x) α} x X : µ B x) α} = R A α) R B α). Řezy R A α) R B α) pro všechna α 0, ) určují jednoznačně fuzzy množinu rovnou A B. 3.7 Fuzzy disjunkce trojúhelníková konorma, t-konorma) je binární operace. : 0, 0, splňující Věta: α. =. Důkaz: α. 3) 0. 4) =. α. β = β. α α. β. γ) = α. β). γ β γ α. β α. γ α. 0 = α komutativita) ) asociativita) ) monotonie) 3) okrajová podmínka) 4) 7

Příklady fuzzy disjunkcí tandardní max, Gödelova, Zadehova... ): α β = maxα, β). oučinová produktová, pravděpodobnostní... ): α P β = α + β α β. ukasiewiczova Gilesova, angl. též bold, bounded sum... ): α + β pro α + β <, α β = jinak. Drastická slabá, angl. weak... ): α pro β = 0, α D β = β pro α = 0, jinak. Einsteinova α E β = α + β + αβ Vlastnosti fuzzy disjunkcí α, β 0, : α β α. β α D β. tandardní disjunkce je jediná, která je idempotentní, tj. α. α = α pro všechna α 0,. Dualita Nechť. je fuzzy negace. A. Je-li. fuzzy konjunkce, pak α. β =.... β) je fuzzy disjunkce duální k. vzhledem k. ). B. Je-li. fuzzy disjunkce, pak. β =.. α.. β) je fuzzy konjunkce duální k. vzhledem k. ). Věta: ukasiewiczovy operace, jsou duální vzhledem ke standardní negaci. oučinové operace P, P jsou duální vzhledem ke standardní negaci. tandardní operace, jsou duální vzhledem k jakékoli fuzzy negaci. Drastické operace D, D jsou duální vzhledem k jakékoli fuzzy negaci. Klasifikace fuzzy disjunkcí pojitá fuzzy disjunkce. je archimédovská, jestliže striktní, jestliže α 0, ) : α. α > α A) α 0, ) β, γ 0, : β < γ α. β < α. γ 3+) nilpotentní, jestliže je archimédovská a není striktní. 8

Věty o reprezentaci fuzzy disjunkcí Věta: Operace. : 0, 0, je striktní fuzzy disjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, taková, že α. β = i iα) P iβ) ). Věta: Operace. : 0, 0, je nilpotentní fuzzy disjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, aditivní generátor) taková, že α. β = i iα) iβ) ) i iα) + iβ) ) pro iα) + iβ) = jinak. 3.8 Fuzzy sjednocení je operace na fuzzy množinách definovaná pomocí fuzzy disjunkce: µ A. B x) = µ A x). µ B x). rozlišujeme stejnými indexy jako u příslušných fuzzy disjunkcí) Věta: tandardní sjednocení je řezově konzistentní. 3.9 Fuzzy výrokové algebry černě vyznačené platí vždy červeně vyznačené platí pro standardní fuzzy operace, ale ne pro některé jiné modře vyznačené platí jen pro některé volby fuzzy operací ne pro standardní).. α = α, α. β = β. α,. β = β. α, α. β). γ = α. β. γ),. β). γ =. β. γ),. β. γ) =. β).. γ), α. β. γ) = α. β). α. γ), α. α = α,. α = α, α.. β) = α,. α. β) = α, α. =,. 0 = 0, α. 0 = α,. = α,.. α = 0, α.. α =,.. β) =. α.. β,. α. β) =... β. 3.0 Fuzzy implikace je jakákoli operace.. : 0, 0,, která se na 0, } shoduje s klasickou implikací. Mohli bychom si přát: α.. β = α β, Ia) α.. β = α β, Ib).. β = β, I).. je nerostoucí v. argumentu a neklesající v. argumentu, I3) α.. β = β.. α, I4) α.. β.. γ) = β.. α.. γ), I5) spojitost. I6) 9

R-implikace reziduovaná fuzzy implikace, reziduum) je operace α R. β = supγ :. γ β} RI) kde. je fuzzy konjunkce je-li. spojitá, lze supremum nahradit maximem) Příklady R-implikací Od standardní konjunkce je odvozena Gödelova implikace α R β = pro α β, β jinak. Je po částech lineární a spojitá s výjimkou bodů α, α), α <. Od ukasiewiczovy konjunkce je odvozena ukasiewiczova implikace α R β = pro α β, α + β jinak. Je po částech lineární a spojitá. Od součinové konjunkce P je odvozena Goguenova též Gainesova) implikace Má jediný bod nespojitosti, 0, 0). Vlastnosti R-implikací α R P β = pro α β, β α jinak. Věta: Nechť. je spojitá fuzzy konjunkce. Pak R-implikace R. splňuje Ia), Ib), I), I3). Důkaz: α. R β = sup Γα, β), kde Γα, β) = γ :. γ β} je interval obsahující nulu. Při spojitosti. navíc uzavřený.) Ia) Je-li α β, pak Γα, β) = 0,, sup Γα, β) =. Ib) Je-li α > β, pak / Γα, β), sup Γα, β) < z uzavřenosti Γα, β)). I):. R β = supγ : γ β} = β. I3): Zvětšujeme-li α, Γα, β) se nezvětšuje. Zvětšujeme-li β, Γα, β) se nezmenšuje. Věta: Reziduovaná fuzzy implikace příslušná spojité fuzzy konjunkci. je spojitá, právě když. je nilpotentní. -implikace je operace α. β = α. β I) kde. je fuzzy disjunkce Příklad: Ze standardní disjunkce dostáváme Kleeneovu Dienesovu implikaci α β = max α, β). 0

Z ukasiewiczovy disjunkce dostáváme ukasiewiczovu implikaci, která se shoduje s ukasiewiczovou reziduovanou implikací R. Všechny požadavky Ia),Ib),I) I6) splňují ze zde probíraných fuzzy implikací pouze reziduované implikace odvozené od nilpotentních fuzzy konjunkcí např. ukasiewiczova implikace). 3. Fuzzy biimplikace ekvivalence) je operace.., obvykle definovaná vztahem α.. β = α.. β). β.. α), kde.. je fuzzy implikace a. je fuzzy konjunkce biimplikaci indexujeme stejně jako odpovídající fuzzy implikaci) Pokud.. splňuje Ia) například pro reziduovanou implikaci), je vždy aspoň jedna ze závorek na pravé straně rovna jedné, takže nezáleží na volbě fuzzy konjunkce.. Příklad: ukasiewiczova biimplikace: α R β = α β. 4 Fuzzy relace 4. Klasické relace Binární relace je R X Y Inverzní relace k R: R Y X: R = y, x) Y X : x, y) R } ložená relace z relací R X Y, Y Z je R X Z: R = x, z) X Z : y Y : x, y) R, y, z) )} Pomocí funkcí příslušnosti: µ R : X Y 0, } µ R y, x) = µ R x, y) µ R x, z) = max µr x, y) µ y, z) ) y Y 4. Fuzzy relace Fuzzy relace je R FX Y ), µ R : X Y 0, Inverzní relace k R je R FY X): x X y Y : µ R y, x) = µ R x, y) -složená relace z relací R FX Y ), FY Z) je R. FX Z): µ R.x, z) = sup µr x, y). µ y, z) ) y Y Věta Inverze fuzzy relací je řezově konzistentní. Věta Je-li Y konečná množina, pak standardní skládání fuzzy relací R FX Y ), FY Z) je řezově konzistentní.

4.3 peciální ostré relace R X X může být: rovnost: E = x, x) : x X }, reflexivní: x X : x, x) R, tj. E R, symetrická: x, y) R y, x) R, tj. R = R, antisymetrická: x, y) R ) y, x) R ) x = y, tj. R R E, tranzitivní: x, y) R ) y, z) R ) x, z) R, tj. R R R, částečné uspořádání: antisymetrická, reflexivní a tranzitivní, ekvivalence: symetrická, reflexivní a tranzitivní. Relaci rovnosti, E X X odpovídá funkce příslušnosti Kroneckerovo delta: pro x = y, µ E x, y) = δx, y) = 0 pro x y. 4.4 peciální fuzzy relace R FX X) může být: reflexivní: E R, symetrická: R = R, -antisymetrická: R. R E, -tranzitivní: R. R R, -částečné uspořádání: -antisymetrická, reflexivní a -tranzitivní, -ekvivalence: symetrická, reflexivní a -tranzitivní. Poslední čtyři pojmy závisí na volbě fuzzy konjunkce.. Věta Následující vlastnosti fuzzy relací jsou řezově konzistentní: reflexivita, symetrie, standardní antisymetrie, standardní tranzitivita, standardní částečné uspořádání, standardní ekvivalence. 4.5 Projekce fuzzy relací evá první) projekce fuzzy relace R FX Y ) je P R) FX): µ PR)x) = sup µ R x, y) y Y Pravá druhá) projekce fuzzy relace R FX Y ) je P R) FY ): Věta Projekce fuzzy relací jsou řezově konzistentní. 4.6 Cylindrické rozšíření µ PR)y) = sup µ R x, y) x X též kartézský součin) fuzzy množin A FX), B FY ) je A B FX Y ): µ A B x, y) = µ A x) µ B y) Je to maximální fuzzy relace R FX Y ) taková, že P R) A a P R) B. Rovnost nastává, právě když ha) = hb). Věta P R) P R) R Věta Cylindrické rozšíření je řezově konzistentní.

5 Princip rozšíření 5. Rozšíření binárních relací na ostré množiny Zobrazení je R X Y : x X!y = rx) Y : x, y) R Zobrazení R X Y odpovídá r : X Y předpisem x, y) R y = rx), R = x, rx) ) : x X } Rozšíření relace R X Y je zobrazení r : PX) PY ): ra) = y Y : x A : x, y) R )} Analogicky rozšíření relace R Y X je zobrazení r : PY ) PX): r B) = x X : y B : x, y) R )} Rozšíření r a r jsou zobrazení, i když původní relace R zobrazení není. Nejsou však navzájem inverzní. Pokud R je navíc zobrazení, pak ra) = rx) : x A } r B) = x X : rx) B } peciálně Pomocí funkcí příslušnosti: r y) = r y}) = x X : rx) = y } µ ra) y) = max µr x, y) µ A x) ) x X µ r B)x) = max µr x, y) µ B y) ) y Y 5. Rozšíření binárních relací na fuzzy množiny Rozšíření relace R X Y je zobrazení r : FX) FY ): µ ra) y) = sup µr x, y) µ A x) ) A FX), y Y ) x X Analogicky rozšíření relace R Y X je zobrazení r : FY ) FX): µ r B)x) = sup µr x, y) µ B y) ) B FY ), x X) y Y R je ostrá relace, takže na volbě fuzzy konjunkce. nezáleží: µ A x) pro µ R x, y) = µ R x, y). µ A x) = 0 pro µ R x, y) = 0 využitím rozšíření r : PX) PY ), r : PY ) PX) relací R, R na ostré množiny lze rozšíření na fuzzy množiny psát Je-li R zobrazení, pak Je-li R zobrazení, pak Věta Je-li pro všechna y Y množina konečná, pak platí rovnost. µ ra) y) = sup µ A x) x r y) µ r B)x) = sup µ B y) y rx) µ r B)x) = µ B rx)) µ ra) y) = µ A r y)) r R A α) ) R ra) α) r y) = x X : x, y) R} 3

5.3 Konvexní fuzzy množiny Nechť je lineární prostor. Ostrá množina A je konvexní, jestliže Pomocí funkcí příslušnosti: x, y A λ 0, ) : λx + λ) y A min µ A x), µ A y) ) µ A λx + λ) y ) Nechť X je ostrá konvexní podmnožina lineárního prostoru. Fuzzy množina A FX) se nazývá konvexní, jestliže x, y X λ 0, ) : µ A λx + λ) y ) µa x) µ A y) Konvexita fuzzy množiny nemá nic společného s konvexitou její funkce příslušnosti! Věta Konvexita je řezově konzistentní vlastnost. peciálně fuzzy množina reálných čísel je konvexní, právě když všechny její neprázdné řezy jsou intervaly. 5.4 Fuzzy čísla a fuzzy intervaly Fuzzy interval je A FR) taková, že: upp A je omezená množina, Pro všechna α 0, je R A α) uzavřený interval, R A ) tj. R A ) je neprázdný uzavřený interval). Je-li navíc R A ) jednobodová množina, nazývá se A fuzzy číslo. Fuzzy intervaly jsou konvexní. Fuzzy interval opačné k fuzzy intervalu A je A FR): µ A x) = µ A x) Princip rozšíření binárních relací uplatněný na unární minus) 5.5 Binární operace s fuzzy intervaly +,,, /} : R R můžeme chápat jako ostrou relaci R R: µ y, z), x ) = R A α) = R A α) pro y z = x, 0 jinde. Tu můžeme rozšířit podle již zavedeného principu rozšíření pro binární relace na operaci FR ) FR), kterou potřebujeme ještě složit s cylindrickým rozšířením FR) FR) FR ). Tím dostáváme binární operaci : FR) FR) FR). A FR), B FR) A B FR R) A B = A B) FR) µ A B x) = µ A B) x) = sup µa B y, z) µ y, z), x )) y,z) R 4

= sup y,z) R,y = sup y,z) R,y µ A B y, z) z=x µa y) µ B z) ) z=x peciálně pro = +: Hledáme supremum z funkce µ A y) µ B z) pro všechna y, z) R taková, že y + z = x. Tj. hledáme supremum z funkce µ A x z) µ B z) pro všechna z R neboť y + z = x y = x z). µ A+B x) = sup µa x z) µ B z) ), z R µ A B x) = sup µa x + z) µ B z) ), z R µ A B x) = sup µ A x/z) µ B z)), x 0, z R, z 0 µ A/B x) = sup µa x z) µ B z) ). z R Jen pro hodnotu µ A B 0) musíme použít původní definici kvůli problémům s dělením nulou. peciálně pro ostré intervaly A = a, b, B = c, d dostaneme intervalovou aritmetiku: a, b + c, d = a + c, b + d, a, b c, d = a d, b c, a, b c, d = minac, ad, bc, bd), maxac, ad, bc, bd), a, b / c, d = mina/c, a/d, b/c, b/d), maxa/c, a/d, b/c, b/d). Poslední rovnost platí pouze pro 0 c, d. µ A B x) = max µ A y) µ B z) : y, z R, y z = x }. V případě dělení předpokládáme navíc µ B 0) = 0.) Věta čítání, odčítání, násobení a dělení fuzzy intervalů je řezově konzistentní dělení za předpokladu, že stupeň příslušnosti nuly k děliteli je nulový). Věta oučet, rozdíl a součin fuzzy čísel resp. fuzzy intervalů) je fuzzy číslo resp. fuzzy interval). Též podíl, pokud uzávěr nosiče dělitele neobsahuje nulu.) ibovolné reálné číslo x R lze považovat za speciální případ fuzzy čísla, reprezentovaného jednobodovou ostrou množinou x}), značíme x. Věta Vlastnosti operací s fuzzy intervaly: 0 + A = A, 0 A = 0, A = A, A + B = B + A, A B = B A, A + B + C) = A + B) + C, A B C) = A B) C, A + B) = A B, A) B = A B) = A B), A) = A, A/B = A /B), A B + C) A B) + A C) Pokud je v posledním vztahu A ostré číslo A = x), pak nastává rovnost. Pro fuzzy intervaly může být: A A 0, A + B) B A, A/A, A/B) B A, A B + C) A B + A C. 5