BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 38 (8) 34 Řízení posuvu poddajných těles vlnovou metodou O. Marek 1, M. Valášek 1 Katedra mechaniky, Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky, Fakulta strojní, ČVUT v Praze, Česká republika Prof. Ing. Michael Valášek, DrSc., ČVUT v Praze, Fakulta strojní, Ústav mechaniky, Karlovo nám. 13, 1135 Praha, tel.: 435 7361 Abstrakt Motivací této práce je řízení poddajných mechanických systémů, konkrétně řízení pohybu jejich pohyblivých částí bez zbytkových vibrací. Jako příklad takovýchto systémů lze uvést pružné rameno robota, který zajišťuje co nejpřesněji polohu nástroje, sloupový jeřáb a polohování jeho břemene, části obráběcích strojů atd. Aktuátory jsou připojeny ke kontinuu v jednom místě, nebo v blízkém okolí určitého bodu. Zbývající hranice kontinua není připojena, je tedy volná. Snahou aktuátorů je polohovat jistý důležitý bod kontinua skrze toto pružné prostředí a co nejvíce eliminovat vibrace v kontinuu jak během pohybu, tak na konci pohybu, což vede k eliminaci nežádoucích zbytkových vibrací důležitého bodu. Byla vyvinuta metoda dopředných a zpětných vln a aplikována na určité typy kontinua. Tento článek ukazuje, jak lze dále rozšířit již publikovanou 1D metodu pro D kontinuum. Článek popisuje, jak lze využít pro řízení pohybu pružných těles vyslaných a odražených vln, jak tyto vlny vypočíst z naměřených hodnot. Pomocí měření odražené vlny a následně její použití jako vyslané vlny lze obecně pohyb vln v kontinuu eliminovat, tzn. dostat všechny body kontinua do klidového stavu. Při použití určité strategie lze vibrace v pružném tělese zastavit právě v požadované poloze, to znamená eliminovat vznik nežádoucích zbytkových vibrací. Existují stále určité nejasnosti, ale pokud platí princip superpozice, lze řídit pohyb v několika směrech současně. Klíčová slova kontinuum; systém se soustředěnými hmotami; mechanické vlny; řízení polohy; vlnové řízení; vyslaná vlna; odražená vlna Abstract in English The motivation for this work is the control of flexible mechanical systems, specifically the position control of the shifting parts without the residual vibrations. These systems are for example long robot arms, gantry cranes, some parts of cutting machines etc. The actuators are coupled to the continuum close to one point. The other boundaries are free. The actuators are attempting to position the important point at the far end through the flexible system and eliminate the vibrations during the motion also at the end of the motion. The wavebased control method was developed. This paper shows how to apply this published 1D method [1] to D continuum. The paper shows how to compute and use the launch and reflected waves for control. If some strategy is used, the flexible system will be transposed to the required position with no residual vibrations. Some ambiguities still exist. If the superposition principle is valid, many motions will be able to control simultaneously. Keywords in English Flexible system; lumped model; mechanical waves; position control; wavebased control; launch wave; reflected wave Úvod Tento článek popisuje vlnovou metodu řízení poddajných těles na 1D příkladu a dále popisuje, jak je možné rozšířit tuto metodu do D pro D objekty. To znamená, že D těleso je připojeno ke dvěma aktuátorům, kde jeden aktuátor je řídí posuv ve směru x, druhý posuv ve směru y. Takto lze omezeně pohybovat s D tělesem v rovině. Obecná snaha je však umožnit tělesu obecný rovinný pohyb. To znamená vytvořit takový řídící systém, který by umožnil řídit dva posuvy a jednu rotaci. Vlny v systému se soustředěnými hmotami Fig. 1 Model 1D systému se soustředěnými hmotami Tento systém je složen jako řetězec pružinahmotapružinahmota... Řízená poloha aktuátoru je označena jako (t), x n (t) je poloha nté hmoty v řetězci. Pro popis metody řízení a objasnění termínu mechanická vlna byl použit právě tento model z důvodu jednoduchosti a zamezení výskytu nepředpovídatelných jevů. Můžeme si ho ve své podstatě představit jako MKP model tyče s možností deformace pouze v jednom směru (osový směr). Dynamika systému je z Fig.1 může být modelována klasickým způsobem, tj. n pohybovými rovnicemi, anebo tzv. vlnovým modelem. Vlnový model obsahuje spojené bloky obsahující přenosové funkce (s) a vhodné okrajové podmínkz. (s) je odvozen pro pouze jednu složku pohybu a předpokládá nekonečný řetězec hmot.
BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 38 (8) 35 Hmotový systém z Fig.1 může být tedy namodelován dle obrázku Fig.. To je příklad vlnového modelu. X (s) A A 1 A (s) (s) (s) A n (s) (t) x 1 (t) m m n B B 1 B B n (s) (s) (s) Fig. Vlnový model systému hmotového systému s n stupni volnosti a Horní větev diagramu modeluje vlnu pohybující se vpravo, která opouští aktuátor směrem do systému. Tato složka je popsána písmenem A, tedy A i (s) nebo a i (t). Spodní větev diagramu modeluje odraženou vlnu pohybující se zpět systémem směrem k aktuátoru. Tato je označena jako B i (s) nebo v časové doméně b i (t). Výchylka X i (s) se získá jako superpozice obou dvou vln, tedy [, 4] X i s = A i s B i s (1) Směr šipek v diagramu znázorňuje tok energie. Hodnoty a i (t) a b i (t) fyzicky neexistují, existuje pouze jejich součet, který je roven poloze určité hmoty x i (t)=a i (t)b i (t). Proto je třeba je nějakým způsobem vypočíst z naměřených reálných hodnot, což je reálný pohyb hmot. Je tedy potřeba najít vztahy, které nám umožní výše uvažované vlny vypočíst. Můžeme psát X s =A s B s () X 1 s = A 1 s B 1 s (3) A 1 =A (4) B 1 =B (5) A = X [ X 1 A ] (6) B = [ X 1 A ] =X A (7) Pro získání vyslané vlny a a odražené vlny b je tedy potřeba znát polohu aktuátoru a polohu první hmoty v řetězci x 1. Schematické znázornění, jak vypočíst vlny a a b, vypadá následovně: b Fig. 3 Schéma výpočtu vln a a b Jak modelovat analogii přenosu v časové doméně? Dle [1,4] lze přenos aproximovat v tomto případě jako funkci jedné proměnné p in produkující výstupní proměnnou p out. p in p out (t) = p in (t) (8) Fig.4 Schéma modelu přenosu Konstantu tlumení není nutno volit zcela přesně, koeficient c lze volit v intervalu (.5; 1). Hmotu také není třeba znát zcela přesně. Pokud by se shrnuly výše uvedené poznatky, vyplyne, že pro výpočet vyslané a odražené vlny v místě aktuátoru je zapotřebí znát hodnotu tuhosti k 1, hmotnost první hmoty a znát polohy a x 1 (poloha aktuátoru a poloha hmoty m1). Není tedy zapotřebí znát velikost ostatních hmot, ani to, kolik hmot řetězec obsahuje. Řízení se tedy obejde bez identifikace mechanické soustavy, je potřeba znát pouze část, která je poblíž aktuátoru. Strategie řízení p out k c (k 1 1 ) Strategií řízení se rozumí, jak využít vypočtených vln a (t) a b (t) pro řízený posuv daného 1D kontinua. Nechť chceme s kontinuem posunout o vzdálenost L. Strategie řízení popisuje, jak řídit polohu aktuátoru (t) a to ve dvou fázích. První fáze je, pokud (t) L/, druhá fáze je, pokud poloha aktuátoru je již za polovinou své požadované dráhy, tedy (t) > L/. V první fázi je strategie taková, že řídíme (t) tak, aby vyslaná vlna a (t) měla tvar rampy. Obecně tedy a (t) bude lineární funkcí času a (t) = K t. Současně je třeba si zaznamenat průběh odražené vlny b (t). V druhé fázi se použije zaznamenaný invertovaný a časově převrácený průběh b (t) z první fáze. Ten se použije jako pokračování vyslané vlny a (t) [3].
BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 38 (8) 36 L =a b L/ a =L/b (t 1 t) b Fig.6 Posuv desky bez řízení (složka x) a t 1 Fig. 4 Průběh mechanických vln při posunu 1D kontinua o vzdálenost L Aplikace metody na D kontinuu Posuv ve D: t y Fig.7 Posuv desky bez řízení (složka y) u u 4 u u3 1 1 3 4 u 1 u u 16 9 5 6 7 8 u15 x1 u 4 9 1 11 1 Fig. 5 Model testovacího D kontinua u 3 Byla namodelována testovací deska metodou MKP s poměrem stran 3: (viz Fig.5). K desce jsou přes tuhosti připojeny aktuátory, jeden ve směru x, jeden ve směru y. Na takovouto desku byla aplikována teorie řízení pro oba směry současně a to tak, aby se zamezilo rotaci desky, to znamená, že výsledná síla od obou by měla směřovat do střediska desky. Tedy požadovaný posuv ve směru y bude roven /3 posuvu x. y konc = /3 x konc (9) Fig.8 Posuv desky s řízením složka x (x = xpoloha aktuátoru, ax = vyslaná vlna do x, bx = odražená vlna x, x1 = xpoloha uzlu 1) y1 Na tomto typu kontinua 1D teorie aplikovaná pro oba směry současně funguje. Výsledky jsou patrné z následujících grafů, kde je vyobrazen průběh výchylky aktuátoru a bodu 1, což je bod na opačném konci desky. Fig.9 Posuv desky s řízením složka y (y = ypoloha aktuátoru, ay = vyslaná vlna do y, by = odražená vlna y, y1 = ypoloha uzlu 1) Čistá rotace, obecný rovinný pohyb Rotace desky bylo dosaženo připojením rotačního aktuátoru k desce přes torzní pružinu analogicky tak, jak byly připojeny předchozí aktuátory. Silový účinek torzního aktuátoru je obecně moment, v tomto případě je jeho účinek v modelu simulován
BULLETIN OF APPLIED MECHANICS 4(13),34 38 (8) 37 silovým zásahem do uzlů a 5 (viz Fig.). Aktuátory pro posuv x a y zůstaly připojeny. Pro testování čisté rotace se nevyužijí, budou ale zapotřebí pro nastavení obecné polohy v rovině. y 5 φ Fig. 1 Zavedení rotace desky Správnost zavedení rotační složky pohybu do modelu desky byla nejprve ověřena pro samotnou rotaci. Na Fig.11 jsou vykresleny výsledky pro pootočení o úhel.7 radiánů. Průběh rotačních vln je analogický s průběhem vln při translaci. Fig. 1 Průběh rotačních vln při současném relativním posuvu x=.4, y=.4 a rotaci o úhel.7 rad Pro řízení byla použita jednodušší teorie, která nepoužívá zaznamenanou odraženou vlnu z první fáze pro nastavení vyslané vlny v druhé fázi. Tato jednodušší teorie říká, že stačí řídit průběh a jako lineární funkci až do hodnoty a =1/ x požadované. [1,4] Fig. 11 Průběh rotačních vln při čisté rotaci o úhel.7 rad Takto připravená deska se zdá být schopna dosáhnout jakékoliv polohy v rovině (x, y, φ). Bylo testováno řízení, které se snaží řídit všechny tři pohyby současně. Posuvy x a y nejsou absolutní, ale relativní, jelikož aktuátory X a Y se natáčí se souřadným systémem desky. Toto bylo učiněno z důvodu, aby vyslaná vlna aktuátorem X se vrátila po odražení zpět k aktuátoru X, i když se deska mezitím pootočí. Při experimentu, který je prozatím ve fázi simulace, je možné si takovýto zásah dovolit. Zamezí se tak složitému přepočítávání vln v každém integračním kroku a vyloučí se možné chyby. Výsledky nejsou prozatím zcela uspokojující. Posuvy v relativních souřadnicích x a y fungují, k uklidnění rotačních kmitů také dojde. Deska ovšem nedosáhne požadovaného úhlu φ, jelikož hodnota odražené vlny se neustálí na hodnotě vyslané vlny, jak teorie předpokládá. Odražená vlna b φ se ustálí na hodnotě, kterou nelze předem předpovědět. Závěr Bylo ukázáno, že teorii odvozenou na 1D kontinuu se soustředěnými hmotami lze použít i na složitější kontinuum a to nejen pro jeden směr. To bylo předvedeno na posuvu desky v obecném směru v rovině. Je vidět, že i v rotační analogii teorie funguje. To, co zůstává stále nefunkční, je provedení rotace a posuvů desky současně. Možná aplikace rotačního aktuátoru a torzní pružiny na kontinuum, ve kterém nejsou žádné rotační prvky (např. natočení uzlů), není zcela správný a neplatí zde princip superpozice. V dalším zkoumání je použití třetího posuvného aktuátoru namísto rotačního, který by vhodným umístěním byl schopen požadovanou rotaci desky zajistit. Další otázkou také zůstává, jak se takto řízený systém vyrovná s vnějším rušením, zda se systém ustálí a zda se ustálí v požadované poloze. Pokud by se však takovouto metodu podařilo dostatečně objasnit a zprovoznit, znamenalo by to veliký pokrok v oblasti řízení mechanických soustav, jelikož by nebylo zapotřebí téměř žádné identifikace systému a stejný řídící algoritmus by fungoval pro různé systémy. Acknowledgments Supported by grant A CR, 11/8/H68. References [1] O Connor, W.J., Wavebased Modelling and Control Of Lumped, Multibody Flexible Systems, Multibody Dynamics 5, ECCOMAS Thematic Conference, 5. [] O Connor, W.J., McKeown D.J., A New Approach to Modal Analysis and Frequency Response of Uniform Chain Systems, Multibody Dynamics 7, ECCOMAS Thematic Conference, 7. [3] O Connor, W.J., Waveecho Position Control of Flexible Systems: Towards an Explanation and Theory, American Control Conference, Boston, 4. [4] O Connor, W.J., Slewing Control of Space Structures With Flexible Joints: A Wavebased Approach, Multibody Dynamics 7, ECCOMAS Thematic Conference, 7.