Termomechanika 11. přednáška Doc. Dr. RNDr. Miroslav Holeček Upozornění: Tato prezentace slouží výhradně pro výukové účely Fakulty strojní Západočeské univerzity v Plzni. Byla sestavena autorem s využitím citovaných zdrojů a veřejně dostupných internetových zdrojů. Využití této prezentace nebo jejich částí pro jiné účely, stejně jako její veřejné šíření je nepřípustné. 1
Teorie podobnosti 1. Experimentátor provádí měření na modelu. 2. Jak přenést výsledky z modelu na reálné dílo? 3. Základní předpoklad: jevy na modelu i na díle jsou popsány stejnými rovnicemi. Zavedeme měřítka Měřítko geometrické: Měřítko času: A podobně dále c l = l M l D c τ = τ M τ D c T = T M T D c w = w M w D 2
Rovnice vedení tepla pro model: T M + T M w τ M x xm + T M w M y ym + T M 2 T M w M z zm = a M 2 M x + M Substituce: T M = c T T D τ M = c τ τ D w M = c w w D a M = c a a D x M = c l x D y M = c l y D z M = c l z D Změna měřítka T D c T τ D c τ + T D c T x D c l w xd c w + T D c T y D c l w yd c w + = a D c a 2 T D c T x D 2 c l 2 + Rovnice vedení tepla pro dílo: T D τ D + T D x D w xd + T D y D w yd + = a D 2 T D x D 2 + 3
Má-li rovnice pro model být identická s rovnicí pro dílo, pak: Porovnáním: Dosazením: Odtud: Podobnostní číslo: c T c τ = c T c w c l c T = c a c T c τ c 2 l a M τ M l D 2 = c a c T c l 2 c a c τ c l 2 a D τ D l M 2 = 1 a M τ M l M 2 = a D τ D l D 2 = 1 a τ = Fo (Fourierovo) l2 4
Podobně: c T c w c l = c a c T c l 2 c T c τ = c T c w c l = c a c T c l 2 c w c l c a = 1 w l a = Pe (Pecletovo) 5
Okrajová podmínka 3. druhu: λ s grad T s = α T s T t λ s dt dx = α T s T t c λs c T c l = c α c T c α c l c λs = 1 α l λ s = Bi (Biotovo) 6
Rovnice přecházení tepla: λ t grad T t = α T s T t c λt c T c l = c α c T α l λ t = Nu (Nusseltovo) 7
Navier-Stokesovy rovnice: w x τ + w x x + 1 3 ν x w x + w x y w x x + w x y + w x z w y + w x z + ν w z = g z 1 ρ 2 w x x 2 + 2 w y y 2 p x + + 2 w z z 2 c w 2 = c w = c c τ c g = c p = c c w l c ρ c ν l c l 2 8
Porovnáním: 1.-2.: c w = c 2 w c τ c l c w c τ c l = 1 2.-3.: 2.-4.: 2.-5.: c w 2 c l c w 2 c w 2 c l c l = c p c ρ c l w τ l = c g = Sh (Strouhal) g l w2 = Fr (Froude) = c c w ν c 2 w l l ν p ρ w2 = Eu (Euler) = Re (Reynolds) 9
Podobnostní čísla bezrozměrné veličiny! Každá bezrozměrná kombinace veličin podobnostní číslo Příklad: 1 V V t p β T podobnostní číslo gl 3 ν2 = Ga Galileo β T gl3 ν2 = Ga Grasshoff Pr = Pe Re = wl a ν wl = ν a Prandtl 10
Kriteriální rovnice Výsledky experimentu na modelu α = f β, T, w, ν, λ t, τ, se zpracují ve formě podob. čísel (kritérií podobnosti): Pro stacionární (ustálený stav): Nu = f Gr, Pr, Re, Fo POZOR! charakteristický rozměr Nu = f Gr, Pr, Re Pro přirozenou konvekci: Nu = f Gr, Pr Pro nucenou konvekci: Nu = f Pr, Re w l ν = Re charakteristická rychlost 11
Kriteriální rovnice Příklad: m n α(x) Nu t,x = C Re t,x Pr t Pr t Pr s 0,25 T t = 1 2 (T s + T t0 ) určovací teplota tekutiny T s teplota stěny Pr = ν a Re = w l ν 12
zahřívaná deska Sdílení tepla Přirozená konvekce v neomezeném prostoru zahřívaná deska 13
Přirozená konvekce v neomezeném prostoru Kolem vodorovného potrubí: Pro 10 3 < Gr t,d Pr t < 10 8 Nu t,d = 0, 50 Gr t,d Pr t 0,25 Pr t Pr s 0,25 Kolem svislé plochy: a) 10 3 < Gr t,h Pr t < 10 9 (lamin. ) 0,25 Pr t Nu t,h = 0, 76 Gr t,h Pr t Pr s b) Gr t,x Pr t > 10 9 (turbul. ) 0,25 Nu t,x = Nu t,h = 0, 15 Gr t,x Pr t 0,33 Pr t Pr s 0,25 14
Přirozená konvekce v omezeném prostoru 1. Tenká štěrbina: pohyb tekutiny silně omezen, přenos tepla uskutečňován převážně vedením 2. Štěrbina o větší tloušťce: přenos tepla můžeme chápat jako přenos vedením (i když jde o kombinaci vedení a proudění!), ale s jakýmsi ekvivalentním součinitelem tepelné vodivosti λ ek, tj. λ λ ek ε k λ ek λ ε k = 0, 18 Gr Pr t,δ 0,25 Q = S λ ek δ T 1 T 2 Pro Gr Pr t,δ < 1000 je ε k = 1 15
16
Přestup tepla při nucené konvekci 1. Deska Pro lokální hodnotu součinitele ve vzdálenosti x od náběžné hrany Nu t,x = 0, 296 Re 0,80 0,43 t,x Pr t Pr t Pr s Pro střední hodnotu součinitele na úseku desky o délce l je-li Re t,l > 4 10 4 Nu t,l = 0, 037 Re 0,80 0,43 t,l Pr t Pr t Pr s 0,25 0,25 Pro laminární proudění, kdy je Re t,l < 4 10 4 Nu t,l = 0, 66Re 0,50 0,43 t,l Pr t Pr t Pr s 0,25 17
2. Potrubí bez přívodu tepla g 18
2. Potrubí Kritické: Re t,d = 2320 = Re kr Pro Re < Re kr laminární Nu t,d = 0, 15 Re 0,33 t,d Pr 0,43 0,1 t Gr Pr t t,d Pr s Pro Re > Re kr turbulentní Nu t,d = 0, 021 Re 0,8 0,43 Pr t t,d Pr t Pr s (není vliv přirozené konvekce) 0,25 0,25 19
2. Potrubí 20
3. Příčně obtékaný válec 21
Výměníky tepla Regenerační: látce se periodicky teplo přivádí a odvádí (např. vyzdívka) Rekuperační: teplo se předává prostupem tepla Směšovací: mísením dvou nebo více tekutin Rekuperační souproudý 22
T T + dt S T T + dt dq T T dt dq = m c dt dq = m c dt = dq kalorimetrická rovnice prostup tepla: dq = k ds T T dq = k ds T T τ d T T = dt dt = 1 m c + 1 m c dq dq M 23
Porovnáním dq = M d T T = k ds T T τ d T T T T ln T T k τ = M ds = k τ M S + C i Pro S = 0: Pro S = S 0 : ln T 1 T 1 ln T 2 T 2 = = k τ M 0 + C i k τ M S 0 + C i ln T 1 T 1 T 2 T 2 = k τ M S 0 24
Odtud: M = k τ S 0 ln T 1 T 1 T 2 T 2 Dosazením M do rovnice dq = M d T T dostaneme: Integrací: dq = k τ S 0 ln T d T T 1 T 1 T 2 T 2 Q = k S 0 T 1 T 1 T 2 T 2 ln T 1 T 1 T 2 T 2 τ 25
Odtud dostaneme vztah pro celkový průtok tepla: Q = k S 0 T 1 T 2 ln T 1 T 2 Průtok tepla můžeme chápat jako prostup tepla pro jakýsi střední teplotní rozdíl, T s Tedy Q = k S 0 T s T s = T 1 T 2 ln T 1 T 2 Toto nazýváme střední logaritmický teplotní spád. 26
Sálání (radiace) Sdílení tepla elektromagnetickým vlněním Q O = Q A + Q R + Q D 1 = Q A Q O + Q R Q O + Q D Q O 1 = A + R + D Pro A = 1 R = 1 D = 1 R = D = 0 dokonale černé A = D = 0 dokonale lesklé, bílé A = R = 0 dokonale průteplivé 27
Základní zákony sálání de 0 = E 0λ d λ teplo vysálané za jednotku času jednotkovým povrchem dokonale černého tělesa E 0λ monochromatická sálavost dokonale černého tělesa Planckův zákon: E 0λ = C 1 λ 5 e C 2 λ T 1 28
Základní zákony sálání Wienův zákon: λ m T = konst = 2, 9 10 3 m K λ m 29
Stefanův Boltzmannův zákon E 0 = E 0λ dλ 0 = 0 C 1 λ 5 e C 2 λ T 1 dλ C 2 λ T = x; λ = C 2 T 1 x ; dλ = C 2 T 1 x2 dx E 0 = C 1 C 2 T 1 0 5 C x3 2 T dx e x 1 = σ 0 T 4 σ 0 = 5, 676 10 8 W m 2 K 4 E 0 = c 0 T 100 4 ; c 0 = 5, 676 W m 2 K 4 30
Šedé těleso poměr monochromatické sálavosti E λ k monochromatické sálavosti dokonale černého tělesa E 0λ je konstantní ve všech vlnových délkách Poměrná sálavost: E = ε E 0 Pak: E = ε c 0 ε = E E 0 T 100 4 Poměrná pohltivost šedého tělesa: A Šedé těleso přijme od černého tělesa za jednotku času na jednotku plochy: q = A E 0 E 31
Kirchhoffův zákon q = A E 0 E Pro T š = T č je q = 0 Pak: E 0 = E A = E 1 A 1 = E 2 A 2 = (poměr sálavosti k pohltivosti je stejný pro všechna šedá tělesa) Odtud také: A = E E 0 ; ε = E E 0 A = ε 32
Konec Děkuji za pozornost 33