33 3 Huygenův-Frenelův princip a odvození difrakčních integrálů 3.1 Huygenův princip 3.2 Huygenův-Frenelův princip 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny 3.4 Frenelovy zóny 3.5 Zonální mřížky 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu Difrakční integrály bývají většinou odvozovány z tzv. Huygenova-Frenelova principu. Někteří autoři nazývají tento princip pouze Huygenovým jménem [1], což je poněkud paradoxní, neboť Huygen, jak e zdá, difrakční jevy vůbec neidentifikoval ([2], tr. 174 177). V jeho lavném Pojednání o větle [3] není o difrakci ani zmínky. Tvrzení, že první interpretace difrakčních jevů prováděl Huygen, nimiž e etkáváme v učebnicové literatuře, jou ai nepravdivá. V názvu Huygenova-Frenelova principu je ovšem Huygenovo jméno právem, jak ukážeme v náledujících dvou odtavcích. 3.1 Huygenův princip Chritiaan Huygen je jitě zakladatelem vlnové optiky. Nebyl však první, kdo považoval větlo za nějaký druh vlnění. Že e větlo alepoň někdy projevuje jako vlnění, vyjádřil již F. M. Grimaldi [4] a také J. M. Marci [5]. Nicméně Huygen byl první, kdo na základě vlnové předtavy kvantitativně vyvětlil šíření větla ve volném protoru, odraz, lom a dvojlom. Používal k tomu tzv. Huygenovy kontrukce, což je ekvivalentní název pro Huygenův princip. Huygenův princip obahuje dvě tvrzení: (i) Každý bod homogenního a izotropního protředí, do něhož dopěje vlnění, tj. každý bod čela vlny, je zdrojem ekundární kulové vlny. (ii) Vlnoplocha v okamžiku t + t je obálkou ekundárních kulových vln, které vyšly z bodů vlnoplochy v předcházejícím okamžiku t. Předtava vyjádřená prvním tvrzením je přijatelná. (Je zajímavé, že toto tvrzení již před Huygenem vylovil Marci [5].) Naproti tomu druhé tvrzení je zřejmě neprávné, neboť odporuje kutečnotem pozorovaným v interferenčních a difrakčních jevech. 3.2 Huygenův-Frenelův princip Augutin Jean Frenel byl prvním, kdo uměl dokonale, tj. do všech tehdy pozorovaných detailů, interpretovat difrakční jevy. Doáhl toho tím, že změnil druhé tvrzení Huygenova principu ([6], tr. 174). V literatuře e čato uvádí, že doplnil Huygenův princip tím, že ekundární vlny polu interferují. To je ice pravda, ale ne celá. Frenel také pecifikoval amplitudu a fázi ekundárních vln. Celou věc ozřejmí matematická formulace Huygenova-Frenelova principu: Nechť všechny zdroje vlnění jou uvnitř protorové oblati V (konečné nebo nekonečné) vymezené plochou S a nechť v bodech M této plochy je známa vlnová funkce ψ 0 (M). Z každého bodu M plochy S vychází do vnější čáti protorové oblati V ekundární vlna ψ(, ϑ) = i λ K(ϑ)ψ 0(M) exp(ik) = k 2π K(ϑ)ψ exp[i(k π/2)] 0(M). (1) Výraz (1) ice nazýváme ekundární vlnou, dokonce ekundární kulovou vlnou, avšak o vlnu ve vlatním mylu toho lova nemuí vůbec jít. Konkrétní tvar funkce K(ϑ) může totiž způobit že výraz (1) není řešením Helmoltzovy rovnice. Jednotlivé faktory výrazu (1) mají tento význam:
34 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 1: K Huygenovu-Frenelovu principu ve Frenelově pojetí (a) a ve tvaru nejčatěji používaném při výpočtech (b). je vzdálenot od bodu M. exp ik je divergentní kulová vlna vycházející z bodu M. ψ 0 (M) je známá hodnota vlnové funkce v bodech M plochy S. Říkáme jí též primární rozruch. Výraz (1) jím vyjadřuje tvrzení, že amplituda ekundárních vln je úměrná primárnímu rozruchu. i λ = k 2π exp( i π 2 ) je faktor, který vyjadřuje kutečnot, že ekundární vlny mají amplitudu nepřímo úměrnou vlnové délce a že jejich fáze předbíhá o čtvrt periody fázi primárního rozruchu (nebo e za ní o tři čtvrtiny periody opožďuje). Proto e faktoru i = exp( i π 2 ) někdy v této ouviloti říká Frenelův fázový předtih. Při heuritické formulaci Huygenova Frenelova principu není původ faktoru i/λ zřejmý. Frenel jej zavedl proto, aby dotal právný výledek pro nerušené šíření vlnění (tj. pro volné šíření za nepřítomnoti jakéhokoli difrakčního tínítka, které by omezovalo nebo nějak modifikovalo dopadající vlnu). V náledujícím odtavci 3.3 ozřejmíme nezbytnot tohoto faktoru. Skutečný původ faktoru i/λ lze nahlédnout teprve při odvozování Kirchhoffova nebo Rayleighova Sommerfeldova difrakčního integrálu (viz odt. 6.4.9, 6.5.2 až 6.5.4 v dalším textu). K(ϑ) je nejproblematičtějším faktorem výrazu (1). Vyjadřuje kutečnot, že amplituda ekundárních vln závií na měru šíření vln a říká e mu faktor klonu. Frenel volil za plochu S vždy vlnoplochu. Pak úhel ϑ byl úhel mezi normálou k vlnoploše v bodě M a měrem určeným pojnicí bodu M a bodu pozorování P (viz obr. 1(a)) a faktor K(ϑ) předpokládal ve tvaru { co ϑ pro ϑ π/2, π/2, K(ϑ) = (2) 0 pro ϑ π/2, 3π/2. (Podmínka (2) zajišťuje, že ekundární vlny e šíří jen ve měru od zdroje vlnění.) Uvidíme později, že přené Rayleighovo Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu (odt. 6.5.3) dává pro faktor klonu týž výraz (2), zatímco matematický rozporné Kirchhoffovo odvození (viz závěr odt. 6.4.2) dává pro faktor klonu funkci K(ϑ) = 1 (1 + co ϑ). (3) 2 Po pravdě řečeno, pro velkou většinu výpočtů není tvar funkce K(ϑ) podtatný. V konkrétních aplikacích Frenel téměř vždy výjimkou jou jen úvahy o umaci přípěvků od Frenelových zón (rov. odt. 3.4) kladl K(ϑ) = 1. (4) Tak e to otatně v intrumentální optice dělá dodne a můžeme tedy pro (1) používat termínu ekundární vlny bez uvozovek. Zdůvodnění toho, proč i při tak necitlivém zacházení faktorem klonu e dotává apoň při výpočtu Frenelových difrakčních jevů obdivuhodně přený ouhla výpočtů experimentem, dává tzv. metoda tacionární fáze polu podmínkami použitelnoti kalární teorie difrakce.
3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny 35 Zbývá ještě e zmínit o ploše S, v jejíchž bodech M je znám primární rozruch ψ 0 (M). Z textu předcházejícího výraz (1) je zřejmé, že nemuí jít o čelo vlny (jako u Huygene) ba ani o vlnoplochu. Z praktických důvodů však není účelné ani možné volit tuto plochu příliš obecně. Uvedli jme již, že Frenel volil za plochu S vždy vlnoplochu vlnění vycházejícího z bodového nebo čárového zdroje, tedy kulovou nebo válcovou plochu. Tak tomu také bývá ve tarších monografiích (viz např. [7], tr. 152, [8], kap. 13, 14). V oučané době e za plochu S volí rovina určená rovinným difrakčním tínítkem (viz obr. 1(b)) a eventuálně uzavřená čátí koule o nekonečném poloměru. Uvidíme v kap. 6 a 7, že pouze v případě, kdy plocha S je rovinou, přetává být Huygenův-Frenelův princip principem ve vlatním mylu toho lova, a lze jej považovat za aproximaci difrakčního integrálu zíkaného matematicky korektním způobem z vlnové rovnice (pouze v případě roviny je znám explicitní tvar Greenovy funkce 6.5(8)). Sekundární vlny mají v tomto případě tvar (viz 6.5(13)) ψ(, ϑ) = ik 2π co ϑ ψ 0(M) exp(ik) ( 1 + i k ). (5) I zde nejde ovšem o vlny ve vlatním mylu toho lova, neboť výraz (5) není řešením Helmholtzovy rovnice 1.7(7). Je zřejmé že pro λ, tj. k 1, je výraz (1), (2), používaný Frenelem, dobrým přiblížením přenému výrazu (5). V případě, že plocha S není vlnoplochou, je otázka, jaký tvar má faktor klonu K(ϑ), neboť měr šíření vlnění nemuí být totožný e měrem normály k ploše S. Jak jme e již zmínili, Rayleighovo-Sommerfeldovo odvození difrakčního integrálu však v případě, že plocha S je rovina, dává faktor klonu K(ϑ) ve tvaru (2) (viz odt. 6.5.3 a 6.5.4). Předtavme i nyní, že vyšetřujeme difrakci na nějakém difrakčním tínítku a že plocha S vyplňuje otvory v difrakčním tínítku. Označme S 0 čát plochy S, která není zatíněna neproputnými čátmi difrakčního tínítka (viz obr. 1). Podle Frenela je vlnová funkce v bodě P vně plochy S dána oučtem všech ekundárních vln vycházejících z bodů plochy S 0, tedy integrálem ψ(p ) = ik 2π S 0 exp(ik) ψ 0 (M) co ϑ ds 0. (6) Tento integrál je matematickým zápiem Huygenova-Frenelova principu. Na integrálu (6) tak jak je napán je nepříjemné, že e ním nedá téměř nic analyticky vypočítat. Použijeme-li ho totiž bez různých aproximací integrandu k výpočtu konkrétních difrakčních jevů, hledáme, že integrace nelze provét nebo že přílušný integrál neexituje. Proto e dělají aproximativní úpravy integrandu. Konkrétně kulová vlna exp(ik) e aproximuje paraxiální aproximací 1.10(6) a co ϑ e položí roven jedné. Tím e však ještě více etře předtava kulových ekundárních vln, která je tolik zdůrazňovaná při recitacích Huygenova-Frenelova principu. Jednou z mála výjimek, kdy integrál (6) lze analyticky vypočítat, je nerušené šíření rovinné vlny. V náledujícím odtavci 3.3 tento příklad propočítáme. Přinee nám to dvojí užitek. Poznáme v náznaku potíže, nimiž e při analytických výpočtech integrálu (6) etkáváme a ozřejmí e důvod, proč muí být v amplitudě ekundárních vln (1) faktor i/λ = ik/2π. 3.3 Příklad. Nerušené šíření rovinné vlny Zvolme měr šíření rovinné vlny za ou z kartézké outavy ouřadnic. V každém bodě protoru má tedy vlnová funkce tvar fázoru exp(ikz). Za plochu S v Huygenově-Frenelově principu zvolme rovinu z = 0 (viz obr. 2), v níž je vlnová funkce ψ 0 (M) = 1. Ve všech bodech P roviny z = kont. je vlnová funkce ψ(p ) = exp(ikz) a tento výledek muíme dotat výpočtem integrálu 3.2(6). Bez újmy na obecnoti zvolíme bod P na oe z. Souřadnice bodů M a P jou M(x M, y M, 0), P (0, 0, z), co ϑ = z/ a integrál 3.2(6) má tvar ψ(p ) = ik 2π Vyjádříme tento integrál v polárních ouřadnicích exp(ik) z dx M dy M. (1) x M = ρ M co ϕ M, y M = ρ M in ϕ M.
36 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 2: Nerušené šíření rovinné vlny. Dotaneme ψ(p ) = ikz 2π 2π 0 0 exp(ik) 2 dϕ M ρ M dρ M. Vzhledem k rotační ymetrii integrandu je integrál podle úhlové proměnné ϕ M roven 2π, takže ψ(p ) = ikz 0 exp(ik) 2 ρ M dρ M. (2) Uvažme, že 2 = z 2 +ρ 2 M a přejděme od integrační proměnné ρ M k integrační proměnné. Vzhledem k tomu, že d = ρ M dρ M přejde integrál (2) do tvaru ψ(p ) = ikz z exp(ik) d. (3) Primitivní funkci integrandu ve (3) nelze jak známo vyjádřit v uzavřeném tvaru, tj. jako oučet konečného počtu elementárních funkcí. Vyjádříme proto integrál (3) protřednictvím integrálního inu Si(x) a integrálního koinu Ci(x): x in t Si(x) = dt, (4) t Ci(x) = x 0 co t t Za tím účelem provedeme v integrálu (3) ubtituci k = t: [ exp(it) ψ(p ) = ikz dt = ikz t kz dt, x > 0. (5) kz co t t = ikz { Ci(kz) + i[si( ) Si(kz)]}. ] in t dt + i dt kz t Pro hodnoty proměnné x 2π je integrální inu a integrální koinu dotatečnou přenotí vyjádřen aymptotickým výrazem Si(x) π 2 co x x, (7) Ci(x) in x x. (8) Doadíme-li tyto aymptotické výrazy do (6), dotaneme { [ in kz π ψ(p ) ikz + i kz 2 π ]} co kz + = 2 kz { } (9) co kz in kz = kz + i = exp(ikz). kz kz Dotali jme tedy již pro kz 2π, tj. z λ, požadovaný výledek. Z výpočtu je zřejmé, že k zíkání výledku (9) bylo nezbytné opatřit amplitudu ekundárních vln 3.2(1) faktorem ik/2π. (6)
3.4 Frenelovy zóny 37 3.4 Frenelovy zóny Po celé 18. toletí dominovala tzv. korpukulární teorie větla připiovaná Newtonovi nad Huygenovou vlnovou teorií. Podle korpukulární teorie jou paprky větla velmi malé čátice vyzařované vítícími látkami ([9], tr. 370). Newton ice vylovil tento názor formou otázky, ale jeho autorita způobila, že byl nekriticky akceptován a ještě v prvním deetiletí 19. toletí byly odmítány Youngovy předtavy o větle jako o vlnění. Teprve Frenel vou teorií difrakce a vými difrakčními experimenty velmi připěl k tomu, že větlo bylo opět (130 let po Huygenovi) považováno za vlnění. Hlavní tehdejší námitkou toupenců korpukulární teorie proti vlnové teorii bylo: Proč e větlo šíří v podtatě přímočaře, když má být vlněním? Frenel na ni reagoval tzv. zonální kontrukci ([6], tr. 208) a zavedl to, čemu dne říkáme Frenelovy zóny. V tomto odtavci podrobně ozřejmíme pojem Frenelových zón, neboť předtava o Frenelových zónách vyvětluje takřka bez počítání mnohé zajímavoti difrakčních jevů, je důležitá při plánování difrakčních experimentů, pro pochopení fokuace záření (např. rentgenového) zonálními (Soretovými) mřížkami a jinde. Předtavme i, že z bodového zdroje P 1 vychází kulová vlna a vybereme jednu z vlnoploch S, tj. kouli o poloměru z 1. Ve vzdálenoti z 1 + z od zdroje P 1 zvolme bod pozorování P (obr. 3). Okolo bodu P opišme Obrázek 3: K odvození výrazu pro poloměr r n n-té Frenelovy zóny. kulové plochy σ 0, σ 1, σ 2,... o poloměrech z, z + λ/2, z + 2λ/2,..., které rozčleňují vlnoplochu S do zón. Označme ψ 1, ψ 2, ψ 3,... oučty ekundárních vln došlých do bodu P z první, druhé, třetí,... zóny. Je zřejmé, že ψ 2 má opačnou fázi ve rovnání ψ 1, ψ 3 má opačnou fázi ve rovnání ψ 2 atd. Protě oučty ψ 2n 1 ekundárních vln od lichých zón mají touž fázi pro všechna n a opačnou ve rovnání e oučty ψ 2n ekundárních vln od udých zón. Vyjádřeme nyní vnější poloměr r n n-té zóny. Z Pythagorovy věty plyne (viz obr. 3) (z 1 ) 2 + r 2 n = z 2 1, (z + ) 2 + r 2 n = (z + nλ/2) 2. Po vyloučení z těchto rovnic a po úpravě dotaneme [ rn 2 = nλz 1z 1 + 1 ( ) nλ z 2 1 + z 1 z z 2 1 z 1 + z 2 2 z 1 z(z 1 + z) 2 Zvolíme-li i pro kvantitativní předtavu hodnoty ( ) 2 nλ 1 2 z 1 (z 1 + z) 1 8 ( ) ] 3 nλ 1. (1) 2 z 1 z(z 1 + z) z 1 = z = 1 m, λ = 5 10 7 m, n = 1, (2)
38 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ nahlédneme, že druhý člen v hranaté závorce je řádu 10 7, třetí řádu 10 14 a čtvrtý řádu 10 21. S vyokou přenotí tedy platí nλz1 z r n = z 1 + z. (3) Z toho plyne, že jednotlivé zóny na vlnoploše S jou velmi dobrým přiblížením rovnoploché: π ( rn 2 rn 1 2 ) λz 1 z = π z 1 + z. (4) Abychom i udělali předtavu o velikoti Frenelových zón, doaďme do (3) a (4) hodnoty (2). Dotaneme r n = n 5 10 4 m, π ( r 2 n r 2 n 1). = 8 10 7 m 2. (5) Průměr prvních Frenelových zón bývá tedy v optice viditelného větla při běžném experimentálním upořádání řádově 1 mm. Z toho, že Frenelovy zóny jou rovnoploché, vyplývá, že oučty ψ i ekundárních vln došlých od jednotlivých zón do bodu pozorování P mají touž abolutní hodnotu. Jetliže tedy proputíme neproputným tínítkem kruhovým otvorem právě dvě první zóny vlnoplochy S, bude vlnová funkce v bodě P nulová, neboť oučty ψ 1 a ψ 2 mají touž abolutní hodnotu a opačnou fázi, takže ψ 1 + ψ 2 = 0. Stejně tomu bude, kdykoli proputíme přeně udý počet ouedících zón. Je tedy intenzita v bodě P rovna nule a tuto kutečnot lze nadno experimentálně ověřit (viz obr. 4). Tento fakt totiž nulovou intenzitu ve tředu difrakčního obrazce na kruhovém otvoru propouštějícím udý počet zón je vhodné velmi zdůraznit. Je to totiž jediný případ, kdy e ve Frenelově difrakci na prázdných otvorech v neproputném tínítku pozoruje nulová intenzita. Nakýtá e otázka, jaká je intenzita v bodě pozorování P, proputíme-li jednu Frenelovu zónu, rep. lichý počet zón. Předtavme i, že rozevíráme kruhový otvor ve tínítku od nulového průměru. Ze způobu kontrukce Frenelových zón vyplývá, že modul amplitudy vlnové funkce, a tedy i intenzita v bodě pozorování vzrůtá a nabývá maximální hodnoty, když je propuštěna právě první zóna. Při dalším zvětšování otvoru kleá až nabude minima, konkrétně nulové hodnoty, když jou propuštěny právě dvě zóny. Potom opět rote a nabývá maximální hodnoty, když jou propuštěny tři zóny, atd. Vidíme tedy, že intenzita v bodě pozorování je maximální, je-li propuštěn lichý počet Frenelových zón. Jaká však je tato maximální intenzita? Odpověď nelze dotat pouhým uvažováním o zónách. V odt. 5.8.1 ji však zjitíme výpočtem: Je-li kruhovým otvorem ve tínítku propuštěn právě lichý počet zón, je intenzita v bodě pozorování čtyřnáobná ve rovnání intenzitou, která by byla v bodě pozorování, kdyby vlnoplochu S nic neomezovalo. Je-li intenzita v bodě pozorování při jedné propuštěné zóně čtyřnáobně větší než při neomezeném šíření vlny, tj. velikot amplitudy je dvojnáobná, znamená to, že kdybychom vlnu proputili přibližně polovinu první zóny, dotali bychom v bodě pozorování P touž intenzitu jako při neomezeném šíření vlny. Tento výledek Frenel vytušil a podpořil úvahou, jejíž nekorektnoti i byl vědom. Sečetl přípěvky ψ i jednotlivých zón takto: ψ(p ) = 1 ( 1 2 ψ 1 + 2 ψ 1 + ψ 2 + 1 ) 2 ψ 3 + + ψ ϑ = 1 2 ψ 1 (6) a polovinu přípěvku polední zóny ψ ϑ = 1 2 ψ n, rep. ψ ϑ = 1 2 ψ n 1 + ψ n zanedbal, což zdůvodnil nulovou hodnotou faktoru klonu K(ϑ) = co ϑ při ϑ = π/2. Protě přípěvek k vlnové funkci od každé udé zóny kompenzoval přípěvky od poloviny ouedních lichých zón. (Tento potup je ovšem nekorektní, neboť bychom tejně oprávněně mohli přípěvek každé udé zóny kompenzovat řekněme deetinou přípěvku nižší liché zóny a devíti deetinami přípěvku vyšší liché zóny a dotali bychom ψ = 0, 9 ψ 1.) V literatuře lze nalézt řadu úvah zjemňujících Frenelův způob umace (viz např. [10], 44, [11], 8.2). Výledek (6), i když byl zíkán matematicky nekorektním způobem, pozoruhodně vytihuje kutečnot. Frenel z toho vyvodil závěr, že pro rozruch ψ v bodě P je rozhodující jen malý kroužek kolem bodu M 0, jehož plocha nepřevyšuje polovinu plochy první zóny, tedy kroužek, který má při hodnotách (2) poloměr 0,3 mm (a tedy plochu 3 10 7 m 2 ). V tom patřoval zdůvodnění toho, že e větlo šíří v podtatě přímočaře. My v tom můžeme patřovat pěknou ilutraci významu okolí bodu M 0 (bod tacionární fáze) pro vlnovou funkci v bodě pozorování P. Výše uvedené výledky, zejména vztah (6) odůvodníme matematicky čitším
3.4 Frenelovy zóny 39 Obrázek 4: Frenelova difrakce na kruhovém otvoru v neproputném tínítku při různém počtu n propuštěných zón. způobem v odt. 5.8.1, v němž e počítá vlnová funkce charakterizující Frenelovu difrakci na kruhovém otvoru v bodech oy rotační ymetrie. Je-li dopadající vlna rovinná, je plocha S rovina (obr. 5) a z Pythagorovy věty plyne pro vnější poloměr r n n té Frenelovy zóny výraz S vyokou přenotí tedy je r n = nλz 1 + nλ 4z. (7) r n = nλz. (8)
40 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 5: Poloměr r n n-té Frenelovy zóny na rovinné vlnoploše S. Zajímavá je ituace ve bíhavé kulové vlně (obr. 6). Opět aplikací Pythagorovy věty lze nalézt, že ať bod pozorování P leží vně nebo uvnitř poloměru M 0 P 1 vlnoplochy S platí vždy nλz 1 z r n = z 1 z. (9) Z toho je vidět, že když e bod pozorování P blíží tředu P 1 bíhavé vlny, tj. když z 1 z 0, rote poloměr r 1 první Frenelovy zóny nade všechny meze (ve kutečnoti je celá vlnoplocha S obažena v první Frenelově zóně). To znamená, že bod M 0 není tacionárním bodem vlnoplochy. Pro vlnovou funkci ve tředu P 1 bíhavé kulové vlny jou všechny body vlnoplochy tejně významné. Jako je exitence tacionárního bodu typickým znakem Frenelovy difrakce, je abence tacionárního bodu, tedy tejná významnot všech bodů vlnoplochy, typickým znakem Fraunhoferovy difrakce. Nulová intenzita uprotřed difrakčního obrazce od kruhového otvoru propouštějícího udý počet zón je jitě doti udivující. Frenelova zonální kontrukce však vyvětluje ještě další paradoxní jev: větlou topu uprotřed Frenelova difrakčního obrazce na neproputné kruhové překážce (tzv. Frenelova-Aragova-Poionova topa, viz obr. 7). Dopadá-li na neproputný kruh kulová vlna e tředem P 1 na oe rotační ymetrie neproputného kruhu (nebo rovinná vlna šířící e ve měru oy), je ve všech bodech P oy rotační ymetrie za tínítkem táž intenzita, jako kdyby nic nebránilo volnému šíření vlny. Výklad tohoto paradoxu lze založit na tom, že Frenelovy zóny začneme kontruovat nikoli od oového bodu, ale od okraje B kruhové překážky (viz obr. 8). Táž argumentace (6) pak vede k závěru, že tejně jako při nerušeném šíření větla, je intenzita v oovém bodě rovna čtvrtině intenzity od první Frenelovy zóny, tedy táž, jako při nerušeném šíření vlny. V odt. 5.9 podložíme tuto kutečnot výpočtem a ukážeme také, že průměr větlé topy uprotřed difrakčního obrazce je nepřímo úměrný průměru kruhové překážky. Světlá topa uprotřed tínu za neproputnou kruhovou překážkou je typický vlnový jev, který ehrál významnou úlohu při proazování vlnové povahy větla. Siméon Deni Poion pouzoval v r. 1818 Frenelovu práci jako oficiální oponent francouzké Akademie a odvodil z ní, že ve všech bodech oy za dikem muí být větlá topa. Spatřoval v tom rozpor experimentem a vůbec e zkušenotí, který vyvrací Frenelovu teorii. Frenelův přítel a ochránce Dominique Françoi Arago však poku provedl a exitenci větlé topy prokázal. Poionova předpověď paradoxního jevu, původně formulovaná jako námitka proti Frenelově vlnové teorii, tak tuto teorii nejen nevyvrátila, ale velmi poílila. (Poku lze poměrně nadno provét, použijeme-li míto diku ložikovou kuličku nalepenou na kleněnou planparalelní detičku.) 3.5 Zonální mřížky Frenel pravděpodobně zonální kontrukce vícekrát nepoužil. Trvalým majetkem vlnové optiky e však tala velmi názorná a užitečná předtava, která tvoří jádro Frenelovy kontrukce: Vlnoplochu férické nebo rovinné vlny lze rozdělit na oblati (zóny), jejichž přípěvky k amplitudě v bodě pozorování jou tejné, avšak třídavě e čítají a odečítají. Zatínění oblatí jednoho druhu (např. lichých zón) tedy způobí vzrůt amplitudy větelné vlny v bodě pozorování. Právě tato úvaha pravděpodobně vedla Rayleigha [12] k návrhu zonální mřížky. Prvním, kdo experiment e zonální mřížkou a jeho interpretaci publikoval, byl J. L. Soret [13] [14], [15] v r. 1875. Zatínil (tj. učinil neproputnými) všechny udé nebo všechny liché zóny (viz obr. 9). Jou-li zatíněny např. všechny udé zóny a liché zůtanou proputné, znamená to, že přípěvky ψ 2n+1 od lichých
3.5 Zonální mřížky 41 Obrázek 6: Poloměr Frenelovy zóny na vlnoploše bíhavé kulové vlny. Obrázek 7: Frenelova-Aragova-Poionova topa ve tředu difrakčního obrazce při Frenelově difrakci na neproputném kruhovém diku.
42 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ Obrázek 8: K výkladu Frenelovy-Aragovy-Poionovy topy. zón nejou kompenzovány přípěvky ψ 2n od udých zón. Poněvadž přicházejí do bodu pozorování e tejnou fází, je amplituda vlnové funkce v bodě pozorování veliká, obdobně jako v obrazu zdroje vlnění vytvořeném čočkou. Zonální mřížky lze tedy používat jako čočky. To má veliký aktuální význam, neboť zonální mřížka může být zobrazovacím prvkem např. pro rentgenové záření, rep. obecně pro záření, pro něž neexituje protředí indexem lomu výrazně různým od jedné, takže nelze vyrobit obvyklý typ čočky. Obrázek 9: Zonální mřížky. Zonální mřížky mají řadu pozoruhodných vlatnotí a aplikací. Pojednává o nich referativní článek [16]. Zde e jen zmíníme o několika z nich. (i) Zonální mřížka má mnoho ohniek. Např. z 3.4(8) vyplývá, že při fokuaci rovinné vlny zonální mřížkou exitují kromě hlavního ohnika ještě vedlejší ohnika ohnikovou vzdálenotí 1/3, 1/5, 1/7,... hlavní ohnikové vzdálenoti. Je to způobeno tím, že při těchto vzdálenotech každé proputné mezikruží mřížky propouští 3, 5, 7,... zón. (ii) V hlavním ohniku zonální mřížky je intenzita 1/π 2. = 0, 1 intenzity v ohniku ideální čočky tejného průměru a tejné ohnikové vzdálenoti. (iii) Rozlišovací chopnot při zobrazení zonální mřížkou je rovna šířce poledního vnějšího proputného mezikruží, tj. λz/(2 n). (iv) Koeficient barevné vady zonálních mřížek má opačné znaménko ve rovnání koeficientem barevné vady kleněných čoček. Zonálních mřížek lze tedy využít ke kompenzaci barevné vady tandardních čoček.
3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu 43 (v) Míto zatiňování zón je možné obracet fázi větla prošlého původně neproputnými zónami [17]. Intenzita v ohniku tím vzrote čtyřikrát, takže je 0, 4 intenzity v ohniku ideální čočky tejného průměru a tejné ohnikové vzdálenoti. Kniha [18] obahuje výběr 74 významných článků o Soretových mřížkách. 3.6 Odvození difrakčních integrálů z Huygenova-Frenelova principu Odvodíme nyní difrakční integrály 2.3(1) pro Fraunhoferovu difrakci a 2.3(2) pro Frenelovu difrakci z Huygenova- Frenelova principu 3.2(6). Uvedli jme již, že za integrační obor S 0 v integrálu 3.2(6) e vždy volí buď nezatíněná čát vlnoplochy nebo roviny difrakčního tínítka, nebo jiné vhodné roviny (viz např. [1], 60). Starší autoři brávali za plochu S 0 čát vlnoplochy, avšak aproximace, jichž při výpočtu integrálu používali, způobily, že hned po počátečních úpravách dotávali vztahy identické těmi, které e zíkají, když e za obor integrace zvolí čát roviny. Budeme tedy za obor integrace S 0 brát čát roviny odpovídající proputným čátem difrakčního tínítka a tuto rovinu zvolíme za ouřadnicovou rovinu z = 0 (viz obr. 10). Dále opět odvoláním na metodu tacionární fáze Obrázek 10: Význam ymbolů v rozvojích (3) a (4). položíme faktor klonu K(ϑ) = 1. Integrál 3.2(6) e tím redukuje do tvaru ψ(p ) = ik exp(ik) ψ 0 (x M, y M ) dx M dy M. (1) 2π S 0 Je zřejmé, že doadíme-li do tohoto integrálu za kulovou vlnu její Frenelovu aproximaci 1.10(6) exp(ik) exp(ikz) z { ik [ exp (x xm ) 2 + (y y M ) 2]} (2) 2z a klademe-li ψ 0 (x M, y M ) = 0 v bodech neproputné čáti tínítka, dotáváme difrakční integrál 2.3(2) pro Frenelovy difrakční jevy: ψ(x, y, z) = ik exp (ikz) 2π z { ik [ ψ 0 (x M, y M ) exp (x xm ) 2 + (y y M ) 2]} dx M dy M. (3) 2z Z tohoto difrakčního integrálu budeme vycházet v kap. 5, při analytickém výpočtu vlnové funkce charakterizující některé typické Frenelovy difrakční jevy. Tyto analytické výpočty nebývají zcela jednoduché, neboť většinou používají peciální funkce (Frenelovy integrály, Beelovy funkce, Lommelovy funkce). Také numerické výpočty difrakčního integrálu (3) nebývají jednoduché, neboť, jak víme, integrand je rychle ocilující funkcí polohy bodu M(x M, y M ) v rovině difrakčního tínítka. Exituje však nadný způob,
44 3 HUYGENSŮV-FRESNELŮV PRINCIP A ODVOZENÍ DIFRAKČNÍCH INTEGRÁLŮ jak vyjádřit difrakční integrál (3) Fourierovým integrálem. K tomu tačí rozvét druhé mocniny v argumentu fázoru, vytknout před integrál fázor nezáviející na integračních proměnných a drobná úprava: ψ(x, y, z) = i k [ exp(ikz) ik ( exp x 2 + y 2)] 2π z 2z ψ 0 (x M, y M ) exp [ ik ( x 2 2z M + ym 2 ) ] exp [ ik ] z (xx M + yy M ) dx M dy M. (4) Vlnová funkce charakterizující Frenelovu difrakci je tak vyjádřena Fourierovou tranformací oučinu vlnové funkce ψ 0 v rovině difrakčního tínítka a fázoru exp[ ik 2z (x2 M + y2 M )]. K numerickému výpočtu Frenelovy difrakce tak lze využít metod vypracovaných pro Fourierovu tranformaci. Je hodno pozoru, že před integrálem je Frenelova aproximace ekundární kulové vlny vycházející z počátku ve Frenelově aproximaci: exp(ik 0 ) exp(ikz) [ ik ( exp x 2 + y 2)]. (5) 0 z 2z Odvození difrakčního integrálu 2.3(1) pro Fraunhoferovu difrakci z Huygenova Frenelova principu není elegantní. Je však v literatuře tak rozšířené (viz např. [10], tr. 153,154, [11], 8.3.3, [19], [20], tr. 1094 1051, [21], [22], [23]), že je uvedeme i zde. (Mnohem jednodušší a přirozenější odvození podáváme v kapitole 7 (rov. vztah 7.3(3), rep. 7.4(1)).) Kulovou vlnu exp(ik)/ v Huygenově Frenelové principu (1) nyní aproximujeme poněkud jiným způobem než Frenelovou aproximací (2). Rozvineme vzdálenot = M P v mocninnou řadu v integračních proměnných x M, y M (viz obr. 10): = (x x M ) 2 + (y y M ) 2 + z 2 = z 2 + x 2 + y 2 2(x x M + y y M ) + x 2 M + y2 M = 2 0 2(x x M + y y M ) + x 2 M + y2 M = 0 1 2 x x M + y y M 2 + x2 M + y2 M 0 2 0 = 0 { 1 x x M + y y M 2 0 + x2 M + y2 M 2 2 0 (x x M + y y M ) 2 2 4 0 = 0 1 0 (x x M + y y M ) + 1 2 0 (x 2 M + y 2 M ) 1 = 0 x M x 0 y M y 0 + 1 2 0 { x 2 M } + 2 3 (x x M + y y M ) 2 + 0 [ ( ) ] [ 2 ( ) ] 2 x y 1 + ym 2 1 0 0 2x M y M x 0 y 0 } + (6) Má-li funkce ψ 0 (x M, y M ) nenulové hodnoty jen v okolí počátku O, jak tomu může být např. v případě prázdných otvorů v neproputném tínítku, konkrétně je-li k ( x 2 M + ) y2 M 2π, tj. x 2 0 2 M + y2 M 2λ 0, (7) max max můžeme v exponenciele kulové vlny zanedbat členy obahující integrační proměnné ve druhé a vyšších mocninách a aproximovat kulovou vlnu výrazem exp(ik) exp(ik [ ( 0) x exp ik x M + y )] y M. (8) 0 0 0 S použitím (8) má difrakční integrál (1) tvar Fourierovy tranformace ψ(p ) = ik [ ( exp(ik 0 ) x ψ 0 (x M, y M ) exp ik x M + y )] y M dx M dy M, (9) 2π 0 0 0 S 0
REFERENCE 45 tentokrát však (narozdíl od (4)) přímo vlnové funkce ψ 0 (x M, y M ) charakterizující vlnění v rovině difrakčního tínítka. Uvážíme-li, že kde (n x, n y, x y = n x, = n y. (10) 0 0 1 n 2 x n 2 y) jou měrové koiny měru OP a že při plnění podmínky (7) je výraz před integrálem (9) kontantní, je vlnová funkce ψ funkcí měrových koinů n x, n y a má tvar 2.3(1): ik exp(ik 0 ) = C, (11) 2π 0 ψ(n x, n y ) = C ψ 0 (x M, y M ) exp [ ik (n x x M + n y y M )] dx M dy M. (12) Vraťme e ještě k podmínce (7). Porovnáme-li ji výrazem 3.4(8) pro poloměry Frenelových zón, hledáme, že Fraunhoferovou difrakcí máme co činit, když lineární rozměry proputné oblati difrakčního tínítka jou velmi malé ve rovnání průměrem dvou (a tedy i jedné) Frenelových zón. V této ouviloti je vhodné uvét definici tzv. Frenelova číla N f = a2 λz, (13) kde a je poloměr kružnice zahrnující oblati kde má difrakční tínítko nenulové hodnoty funkce proputnoti a z je vzdálenot difrakčního tínítka od roviny pozorování. Frenelova číla e používá k odhadům o jaký typ difrakce při určitém experimentálním upořádání jde. Je-li Frenelovo čílo N f 1, jde většinou o Frenelův difrakční jev, je-li N f < 1, nebo raději N f 1, jde většinou o Fraunhoferovu difrakci. (Výjimkou bývají případy, kdy rovinou pozorování je rovina geometrického obrazu zdroje.) V kapitole 7 uvidíme, že vlnová funkce (12) má význam amplitudy rovinné vlny vzniklé difrakcí a šířící e ve měru (n x, n y, 1 n 2 x n 2 y). V příští kapitole vypočteme integrál (12) pro typické Fraunhoferovy difrakční jevy (difrakce na obdélníkovém a na kruhovém otvoru). Reference [1] Landau L. D., Lifšic E. M.: Těorija polja. Izdatěľtvo Nauka, Mokva 1973, 59. [2] Bell A. E.: Chritian Huygen and the developmnent of cience in the eventeenth century. Edward Arnold & Co, London 1947. [3] Huygen Ch.: Traité de la lumière. Leyde 1690. [4] Grimaldi F. M.: Phyico-mathei de lumine, coloribu et iride. Bononiae 1665. [5] Marci J. M.: Thaumantia. Liber de arcu coeleti deque colorum apparentium natura, ortu et caui. Pragae 1648. [6] Frenel J. A.: Œuvre complète d Augutin Frenel, Vol. 1. (H. de Senarmont, É. Verdet, L. Frenel, ed.) Imprimerie Impériale, Pari 1866. [7] Wood R. W.: Phyical Optic. The Macmillan Company, London 1905. [8] Bouae H., Carrière Z.: Diffraction. Libraire Delagrave, Pari 1923. [9] Newton I.: Optick or a Treatie of the Reflection, Refraction, Inflection and Colour of Light. Dover Publication, Inc., New York 1952. [10] Born M.: Optik. Springer Verlag, Berlin 1933. [11] Born M., Wolf E.: Principle of Optic. 7th ed. Cambridge Univerity Pre 1999.
46 REFERENCE [12] Rayleigh J. W.: poznámka z laboratorního deníku z 11. dubna 1871, citovaná v knize: Strutt R. J.: John William Strutt Third Baron Rayleigh. Edward Arnold Co., London 1924, 88. [13] Soret J. L.: Sur le phénomène de diffraction produit par le réeaux circulaire. Arch. Sci. Phy. Natur. 52 (1875), 320 337. [14] Soret J. L.: Ueber die durch Kreigitter erzeugten Diffractionphänomene. Pogg. Ann. 156 (1875), 99-113. Též [18], tr. 11 25. [15] Soret J. L.: Sur le phénomène de diffraction produit par le réeaux circulaire. Compt. Rend. 80 (1875), 483 487. [16] Chmelík R., Komrka J.: Zobrazování zonálními mřížkami. Č. ča. fyz. 42 (1992), 128 145. [17] Wood R. W.: Phae Reveral Zone Plate, and Diffraction Telecope. Philoophical Magazine, Serie 5, 45 (1898), 511 523. Též [18], tr. 26 37. [18] Ojeda Catañeda J., Gómez Reino C. (editor): Selected Paper on Zone Plate. SPIE Optical Engineering Pre, Bellingham, Wahington USA, 1996. [19] Drude P.: Lehrbuch der Optik. Verlag von S. Hirzel, Leipzig 1900, tr. 172 175. [20] Pockel F.: Beugung de Lichte. In: Handbuch der Phyik, Bd. VI. (A. Winkelmann, ed.) Johann Ambroiu Barth, Leipzig 1906, tr. 1032 1119. [21] Laue M. v.: Interferenz und Beugung elektromagneticher Wellen (mit Aunahme der Röntgentrahlen). In: Handbuch der Experimentalphyik, Bd. 18. (W. Wien, F. Harm, ed.) Akademiche Verlaggeellchaft M.B.H., Leipzig 1928, tr. 330 331. [22] Joo G.: Lehrbuch der theoretichen Phyik. 8. Auflage. Akademiche Verlaggeellchaft, Geet & Portig K.-G., Leipzig 1954, tr. 341. [23] Sommerfeld A.: Optik. 2. Auflage. Akademiche Verlaggeellchaft, Geet & Portig K.-G., Leipzig 1959, tr. 182 184.