7. Integrál přes n-rozměrný interval
|
|
- Anna Holubová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme A = (b 1 a 1 )... (b n a n ) objem A. d(a) = (b 1 a 1 ) + + (b n a n ) průměr A. Pro i = 1,..., n buď D i : a i = x () i < x (1) i < < x (mi) i = b i tzv. dělení a i, b i. Pak D = [D 1,..., D n ] se nazývá dělení A. Dále postupujme následovně: 1. Dělení D rozloží A na m = m 1 m n n-rozměrných intervalů A k1,...,k n = x (k1 1) 1, x (k1) 1 x (kn 1) n, x (kn) kde 1 k i m i a i = 1,..., n. Označme tyto intervaly pro zjednodušení A (1),..., A (m).. V každém intervalu A (j) pro j = 1,..., m zvolme bod (tj. reprezentanta intervalu A j ) y j A (j). 3. Položme D = max{d(a (j) ); j = 1,..., m}. D je tzv. norma dělení D. 4. Nyní každému k N přiřaďme dělení D(k) intervalu A. Posloupnost {D(k)} k=1 se nazývá nulová posloupnost, když D(k). 5. Definujme S f (D) = m j=1 f(y j) A (j). Číslo S f (D) se nazývá integrální součet funkce f pro dělení D intervalu A a pro danou volbu reprezentantů y j. n, Definice 7.. Řekneme, že ohraničená funkce f je Riemannovsky integrovatelná na A a číslo a R nazveme n-rozměrný Riemannův integrál funkce f na množině A, když pro každou nulovou posloupnost D(k) dělení intervalu A a pro každou volbu reprezentantů v těchto děleních platí lim S f (D(k)) = a. k Poznámka 7.3. Riemannův n-rozměrný integrál f na A budeme označovat f(x 1,..., x n )dx 1... dx n, nebo také n krát { }} { f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. A A Poznámka 7.4. Speciálně dvojrozměrný a trojrozměrný integrál funkce f na A budeme označovat f(x, y)dxdy a f(x, y, z)dxdydz. A A ÚM FSI VUT v Brně 5
2 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text Poznámka Místo dvojrozměrný a trojrozměrný říkáme rovněž dvojný a trojný.. Historickou motivací k zavedení vícerozměrných integrálů byl výpočet objemů těles. Objasněme podrobněji hlavní myšlenku konstrukce a pro názornost uveďme Obrázek 7.1 pro případ n =. Obr. 7.1: Myšlenka Definice 7.1 pro n = Integrální součet S f (D) přibližně vyjadřuje hodnotu integrálu z f na A. Čím je dělení D jemnější, tím přesněji S f (D) vyjadřuje integrál. Předpoklad konvergence posloupnosti norem dělení k nule znamená, že zjemňování je rozloženo po A rovnoměrně. Číslo S f (D) pak vyjadřuje součet objemů n+1 rozměrných kvádrů nad dělením D s výškami závislými na volbě reprezentantů. Po limitním přechodu pak získáme objem n + 1 rozměrného tělesa nad podstavou A, které je shora ohraničeno grafem funkce f. Definice 7.6. Buď f : R n R, Df ohraničená množina. Funkce definovaná vztahem {, pro x R χ (x) = n, 1, pro x, se nazývá charakteristická funkce množiny. Zřejmě pro ohraničenou množinu vždy existuje n-rozměrný uzavřený interval A tak, že A. Řekneme, že f je Riemannovsky integrovatelná (RI) na, když funkce χ f : R n R je Riemannovsky integrovatelná na A. Pak klademe f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = χ (x 1,..., x n )f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. A Poznámka 7.7. Definice je korektní, protože integrál z funkce f nezávisí na volbě A. 1. Existuje-li dx 1... dx n, pak se nazývá měřitelná v Jordanově smyslu a = dx 1... dx n se nazývá míra.. Pro n = je míra obsah, pro n = 3 objem. ÚM FSI VUT v Brně 6
3 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text Věta Buďte 1, R n měřitelné množiny, které nemají společné vnitřní body. Pak 1 = Buď f spojitá na měřitelné množině. Pak f je Riemannovsky integrovatelná na. 3. Buď f ohraničená na a nechť pro množinu A všech bodů nespojitosti f platí A =. Pak f je Riemannovsky integrovatelná na. 4. Nechť f, g jsou Riemannovsky integrovatelné na a pro každý bod [x 1,..., x n ] platí f(x 1,......, x n ) g(x 1,..., x n ). Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n g(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Speciálně, když pro každé [x 1,..., x n ] platí f(x 1,..., x n ), pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Věta Nechť [x 1,..., x n ] platí c 1 f(x 1,..., x n ) c, kde c 1, c R a f je Riemannovsky integrovatelná na měřitelné množině. Pak c 1 f(x 1,..., x n )dx 1... dx n c.. Buď f spojitá funkce na uzavřené měřitelné množině. Pak uvnitř existuje bod [a 1,..., a n ] tak, že platí f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f(a 1,..., a n ). Číslo f(a 1,..., a n ) se nazývá střední hodnota f na a platí f(a 1,..., a n ) = 1 f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. Věta 7.1. Buďte f i : R n R funkce Riemannovsky integrovatelné na měřitelné množině a c i R libovolné konstanty, kde i = 1,..., m. Pak funkce m c i f i (x 1,..., x n ) je Riemannovsky integrovatelná na a platí i=1 m m c i f i (x 1,..., x n )dx 1... dx n = c i f i (x 1,..., x n )dx 1... dx n. i=1 i=1 ÚM FSI VUT v Brně 7
4 8. Integrál přes elementární oblast Studijní text 8. Integrál přes elementární oblast Definice 8.1. Množina R n se nazývá elementární oblast typu (x 1,..., x n ), když každý bod [x 1,..., x n ] splňuje nerovnosti a 1 x 1 a g 1 (x 1 ) x h 1 (x 1 ) g (x 1, x ) x 3 h (x 1, x ). g n 1 (x 1,..., x n 1 ) x n h n 1 (x 1,..., x n 1 ), kde a 1, a R, a 1 < a a pro každé i = 1,..., n 1 jsou g i, h i : R i R spojité funkce splňující podmínku g i < h i pro vnitřní body. Buď σ permutace množiny {x 1,..., x n }. Pokud v předchozích nerovnostech píšeme σ(x i ) místo x i, pak se nazývá elementární oblast typu ( σ(x 1 ),..., σ(x n ) ). Poznámka Místo elementární se též někdy říká normální.. Tatáž množina může být různých typů. 3. Speciálně n-rozměrný uzavřený interval je elementární oblast všech možných typů. Příklad Kruh = {[x, y] R ; x + y 1} je elementární oblast typu (x, y) ale i typu (y, x). Platí = {[x, y] R ; 1 x 1, 1 x y 1 x } a = {[x, y] R ; 1 y 1, 1 y x 1 y }.. Mezikruží, kde = {[x, y] R ; 1 x + y 4} není elementární oblastí žádného typu, ale lze ji na elementární rozdělit. Definice 8.4. Množina R n se nazývá regulární, je-li sjednocením konečného počtu elementárních oblastí libovolného typu, které mají společné nejvýše svoje hranice. Věta 8.5. Buď R n elementární oblast. Pak je měřitelná. Důsledek. Každá regulární množina je měřitelná. Věta 8.6. Buď = m i=1 i regulární oblast, složená z elementárních oblastí i, které mají společné nejvýše svoje hranice. Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = m i=1 i f(x 1,..., x n )dx 1... dx n. ÚM FSI VUT v Brně 8
5 8. Integrál přes elementární oblast Studijní text Věta 8.7. Fubiniho věta Buď R n elementární oblast typu (x 1,..., x n ) a nechť funkce f je Riemannovsky integrovatelná na. Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = a ( h1(x1) a 1 g 1(x 1) (... ( hn 1(x1,...,xn 1) g n 1(x 1,...,x n 1) f(x 1,..., x n )dx n )... ) dx )dx 1. Pro typ ( σ(x 1 ),..., σ(x n ) ) platí analogické tvrzení. Důsledek. (Dirichletova věta) Buď = a 1, b 1 a n, b n n-rozměrný uzavřený interval a nechť funkce f je Riemannovsky integrovatelná na. Pak f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = b 1 a 1 (... ( bn a n ) ) f(x 1,..., x n )dx n... dx 1. Je-li navíc funkce f(x 1,..., x n ) ve tvaru součinu f(x 1,..., x n ) = f 1 (x 1 ) f n (x n ), pak integrál lze počítat podle vztahu b 1 b n f(x 1,..., x n )dx 1... dx n = f 1 (x 1 )dx 1 f n (x n )dx n. a 1 a n Příklad 8.8. Spočtěte dvojrozměrný integrál x = + sin y. x 3 dxdy, kde je určena vztahy x =, y =, y = π, Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztahy x =, y =, y = π určují přímky, které v rovině spolu s křivkou x = + sin y vymezují obor. Viz Obrázek 8.1. Obr. 8.1: : x =, y =, y = π, x = + sin y Oblast je typu (y, x), ale není typu (x, y). Nerovnosti charakterizující obor jako oblast typu (y, x) jsou tvaru y ( π, x ) + sin y. Aplikujeme Fubiniho větu. π x 3 dxdy = +sin y π x 3 dx [ ] +sin y x dy = 6 dy = 1 π 6 ( + sin y) dy = 1 π 6 (4 + sin y + sin y) dy = ] π [4y 4 cos y + 1 y 14 sin y = 3π. = 1 6 Příklad 8.9. Spočtěte trojrozměrný integrál y dxdydz, kde je určena vztahy x, y, z, x + y + + z 6. Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztahy x =, y =, z =, x + y + z = 6 určují roviny, které v trojrozměrném prostoru vymezují čtyřstěn. Viz Obrázek 8.. ÚM FSI VUT v Brně 9
6 8. Integrál přes elementární oblast Studijní text Obr. 8.: : x, y, z, x + y + z 6 Čtyřstěn je oblast libovolného typu. Provedeme zápis pomocí nerovností. Typ oblasti zvolíme (x, y, z). Platí x 3, y 3 x, z 6 x y. Nyní můžeme aplikovat Fubiniho větu. y dxdydz = 3 ( 3 x 6 x y ( y dz)dy ) 3 3 x [ ] 6 x y 3 ( 3 x dx = ( yz dy)dx = y(6 x y) dy ) dx = 3 = ( 3 x ] 3 = 1 3 [ (3 x)4 4 y(3 x) y dy ) 3 dx = [ y (3 x) y3 3 ] 3 x 3 dx = (3 x) 6 (3 x) 3 6 dx = (3 x) 6 dx = = 7 4. Pro ilustraci rozepíšeme ještě daný čtyřstěn jako oblast typu (y, z, x). Nerovnosti jsou tvaru y 3, z 6 y, x 1 (6 y z). Aplikace Fubiniho věty má pak tvar 3 ( 6 y ( (6 y z)/ y dx)dz ) dy. ÚM FSI VUT v Brně 3
7 9. Transformace integrálů Studijní text 9. Transformace integrálů Definice 9.1. Buď R n uzavřená a ohraničená množina. Pak se nazývá n-rozměrná oblast. Definice 9.. Buď F : R n R n zobrazení, kde F = [f 1,..., f n ], přičemž f i : R n R, i = 1,..., n. Nechť DF je oblast a nechť ke každému bodu [y 1,..., y n ] je rovnicemi x 1 = f 1 (y 1,..., y n ),. x n = f n (y 1,..., y n ) (9.1) přiřazen bod [x 1,..., x n ] = [ f 1 (y 1,..., y n ),..., f n (y 1,..., y n ) ] R n tak, že platí: a) Je-li F ( ) =, pak je oblast v R. b) Zobrazení F je na h( ) injektivní (prosté). c) Je-li 1 oblast, pak F ( 1) je oblast a platí F ( 1). Pak řekneme, že transformační rovnice (9.1) transformují oblast na oblast. Zobrazení F se pak nazývá transformace a determinant f 1 y 1,..., fn y 1 J(y 1,..., y n ) =... f 1 y n,..., fn y n (9.) se nazývá Jakobián transformace F. Věta 9.3. (Věta o transformaci integrálu) Nechť rovnice (9.1) transformují oblast na oblast, f 1,..., f n mají spojité parciální derivace na a pro každý bod [y 1,..., y n ] h( ) platí J(y 1,..., y n ). Dále nechť f je spojitá na oblasti. Pak platí f(x 1,..., x n )dx 1...dx n = ( = f f1 (y 1,..., y n ),..., f n (y 1,..., y n ) ) J(y 1,..., y n )dy 1...dy n. Důsledek. Nechť platí předpoklady Věty 9.3. Potom 1. pro n = platí: Je-li x = f 1 (u, v), y = f (u, v), pak ( f(x, y)dxdy = f f1 (u, v), f (u, v) ) J(u, v)dudv;. pro n = 3 platí: Je-li x = f 1 (u, v, w), y = f (u, v, w), z = f 3 (u, v, w), pak f(x, y, z)dxdydz = f ( f 1 (u, v, w), f (u, v, w), f 3 (u, v, w) ) J(u, v, w)dudvdw. ÚM FSI VUT v Brně 31
8 9. Transformace integrálů Studijní text Definice 9.4. Buď F : R R transformace, která je definovaná rovnicemi x =f 1 (ϱ, ϕ) = ϱ cos ϕ, y =f (ϱ, ϕ) = ϱ sin ϕ, (9.3) přičemž DF =, ), π). Pak F se nazývá transformace do polárních souřadnic. Rovnice transformují R na množinu, ), π). Význam ϱ, ϕ zachycuje následující Obrázek 9.1. Obr. 9.1: Polární souřadnice Věta 9.5. Transformace do polárních souřadnic má Jakobián J = J(ϱ, ϕ) = ϱ. Důkaz: J(ϱ, ϕ) = cos ϕ ϱ sin ϕ sin ϕ ϱ cos ϕ = ϱ(cos ϕ + sin ϕ) = ϱ. Poznámka 9.6. Buďte x, y, a, b R, a, b >. Rovnice x = x + aϱ cos ϕ, y = y + bϱ sin ϕ (9.4) se nazývají transformační rovnice do zobecněných polárních souřadnic. Jakobián této transformace je J = J(ϱ, ϕ) = abϱ. Příklad 9.7. Spočtěte dvojrozměrný integrál x dxdy, kde : x + y x. Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztah x + y x upravíme na tvar (x 1) + y = 1. Odtud je již zřejmé, že oblast je kruh o poloměru 1 se středem v bodě [1, ]. Viz Obrázek 9.. Obr. 9.: Transformace do polárních souřadnic Existuje více postupů, jak daný integrál vypočítat. Ukažme si dva postupy. 1. způsob řešení: V případě, že oblast je kruh nebo jeho část, je výhodné provést transformaci do polárních souřadnic. Rovnice x + y = x hranice oblasti přejde transformací v rovnici ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = ϱ cos ϕ, ÚM FSI VUT v Brně 3
9 9. Transformace integrálů Studijní text tj. ϱ = cos ϕ. Transformací se oblast změní v oblast. Přitom : π ϕ π a ϱ cos ϕ. Viz Obrázek 9.. Použijeme Větu 9.3 o transformaci. Platí x dxdy = ϱ cos ϕ ϱ dϱdϕ = ϱ cos ϕ dϱdϕ. Poslední integrál dopočítáme podle Fubiniho věty. π cos ϕ ϱ ϱ cos ϕ dϱdϕ = cos ϕ dϱ dϕ = = π π π π π [ ] cos ϕ 1 3 ϱ3 cos ϕ 8 3 cos4 ϕ dϕ = 8 [ cos3 x sin x cos x sin x + 3 ] π 8 x π dϕ = = π = π.. způsob řešení: V následujícím řešení nejprve provedeme transformaci, která posune střed kruhu do počátku systému souřadnic. Teprve pak provedeme transformaci do polárních souřadnic. Viz Obrázek 9.3. V tomto případě se vyhneme integrálu z funkce cos 4 x, který vyžaduje delší samostatný výpočet. Obr. 9.3: Posunutí a transformace do polárních souřadnic Chceme, aby se rovnice (x 1) +y = 1 změnila v rovnici u +v = 1. Je zřejmé, že stačí položit u = x 1 a v = y. Odtud plyne, že Jakobián této transformace je x = u + 1, y = v. J(u, v) = 1 1 = 1. Platí x dxdy = (u + 1) dudv = (ϱ cos ϕ + 1) ϱ dϱdϕ = ϱ cos ϕ dϱdϕ + ϱ dϱdϕ = = 1 π ϱ dϱ cos ϕ dϕ + 1 π [ ϱ 3 ϱ dϱ dϕ = 3 ] 1 [sin ϕ] π + [ ϱ ] 1 [ϕ] π = π. Definice 9.8. Buď F : R 3 R 3 transformace, která je definovaná rovnicemi x = f 1 (ϱ, ϕ, z)= ϱ cos ϕ, y = f (ϱ, ϕ, z)= ϱ sin ϕ, z = f 3 (ϱ, ϕ, z)= z, (9.5) přičemž DF =, ), π) R. Pak F se nazývá transformace do válcových (cylindrických) souřadnic. Rovnice transformují R 3 na množinu, ), π) R. Význam ϱ, ϕ, z zachycuje následující Obrázek 9.4. ÚM FSI VUT v Brně 33
10 9. Transformace integrálů Studijní text Obr. 9.4: Válcové souřadnice Věta 9.9. Transformace do válcových souřadnic má Jakobián J = J(ϱ, ϕ, z) = ϱ. Důkaz: J(ϱ, ϕ, z) = cos ϕ sin ϕ ϱ sin ϕ ϱ cos ϕ 1 = ϱ(cos ϕ + sin ϕ) = ϱ. Příklad 9.1. Spočtěte trojrozměrný integrál z x + y dxdydz, kde je určena vztahy x, y, x + y 1, z. Řešení. Nejprve nakreslíme oblast. Vztah x + y 1 určuje válec o poloměru 1. Viz Obrázek 9.5. Výška válce je dána vztahy z. Omezení x, y vyčlení z válce čtvrtinu. Obr. 9.5: Zjištění, že oblast je čtvrtina válce nás vede k nápadu transformovat danou oblast do válcových souřadnic. Zřejmě ϱ, 1, ϕ, π, z,. Tedy transformací se oblast změní v kvádr =, 1, π,. Použijeme Větu 9.3 o transformaci. Platí z x + y dxdydz = z ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ ϱ dϱdϕdz = zϱ dϱdϕdz. Integrační obor je trojrozměrný interval a proto můžeme použít Dirichletovu větu 8. Navíc integrand je ve tvaru součinu a proto použijeme její speciální verzi. zϱ dϱdϕdz = 1 π ϱ dϱ dϕ [ ϱ 3 z dz = 3 ] 1 [ [ϕ] π z ] = 1 3 π = π 3. ÚM FSI VUT v Brně 34
11 9. Transformace integrálů Studijní text Definice Buď F : R 3 R 3 transformace, která je definovaná rovnicemi x = f 1 (ϱ, ϕ, ϑ)= ϱ cos ϕ sin ϑ, y = f (ϱ, ϕ, ϑ)= ϱ sin ϕ sin ϑ, z = f 3 (ϱ, ϕ, ϑ)= ϱ cos ϑ, (9.6) přičemž DF =, ), π), π. Pak F se nazývá transformace do kulových (sférických) souřadnic. Rovnice transformují R 3 na množinu, ), π), π. Význam ϱ, ϕ, ϑ zachycuje následující Obrázek 9.6. Obr. 9.6: Kulové (sférické) souřadnice Věta 9.1. Transformace do kulových souřadnic má Jakobián J = J(ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ sin ϑ. Důkaz: J(ϱ, ϕ, ϑ) = cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ ϱ sin ϕ sin ϑ ϱ cos ϕ sin ϑ ϱ cos ϕ cos ϑ ϱ sin ϕ cos ϑ ϱ sin ϑ = ϱ cos ϕ sin 3 ϑ ϱ sin ϕ cos ϑ sin ϑ ϱ cos ϕ cos ϑ sin ϑ ϱ sin ϕ sin 3 ϑ = = = ϱ sin 3 ϑ(cos ϕ + sin ϕ) ϱ cos ϑ sin ϑ(sin ϕ + cos ϕ) = = ϱ sin 3 ϑ ϱ cos ϑ sin ϑ = ϱ sin ϑ(sin ϑ + cos ϑ) = ϱ sin ϑ. Příklad Spočtěte trojrozměrný integrál x + y + z dxdydz, kde je určena vztahy x + y + + z 1, z. Řešení. Vztah x + y + z 1 určuje kouli o poloměru jedna se středem v počátku. Protože z je polokoule. Je-li oblast částí koule, je výhodné provést transformaci do kulových souřadnic. Zřejmě ϱ, 1, ϕ, π, ϑ, π. Transformací se oblast změní v kvádr =, 1, π, π. Podle Věty 9.3 o transformaci platí x + y + z dxdydz = (ϱ cos ϕ sin ϑ + ϱ sin ϕ sin ϑ + ϱ cos ϑ) ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ. Upravíme integrand a provedeme výpočet. Integrační obor je trojrozměrný interval a proto můžeme použít Dirichletovu větu 8. Navíc po úpravě je integrand ve tvaru součinu a proto použijeme její speciální verzi. Platí ϱ 4 sin ϑ dϱdϕdϑ = 1 π ϱ 4 dϱ dϕ π [ ϱ 5 sin ϑ dϑ = 5 ] 1 [ϕ] π [ cos ϑ] π = π 5. ÚM FSI VUT v Brně 35
12 1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text 1. Aplikace vícerozměrných integrálů Věta 1.1. Buď obsah rovinné oblasti R (obrazce). Pak S() = = dxdy. Věta 1.. Buď objem prostorové oblasti R 3 (tělesa). Pak V () = = dxdy. Věta 1.3. Buď f(x, y) spojitá funkce na oblasti R. Pak objem kolmého válce ohraničeného podstavou v rovině xy a plochou Gf je roven V (, f(x, y) ) = f(x, y)dxdy. Věta 1.4. Buďte f : R R, f x, f y spojité funkce na oblasti R. Pak obsah plochy S = Gf nad oblastí je roven S (, f(x, y) ) = S = 1 + (f x) + (f y) dxdy. Věta 1.5. Buď R oblast, ϱ(x, y) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Nechť m() označuje hmotnost dvojrozměrné oblasti. Pak platí m() = ϱ(x, y)dxdy. Věta 1.6. Buď R 3 oblast, ϱ(x, y, z) hustota v bodě [x, y, z], ϱ spojitá na. Nechť m() označuje hmotnost trojrozměrné oblasti. Pak m() = ϱ(x, y, z)dxdydz. ÚM FSI VUT v Brně 36
13 1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text Věta 1.7. Buď R oblast, ϱ(x, y) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Pak statické momenty rovinné oblasti vzhledem k souřadnicovým osám x, y jsou S x () = yϱ(x, y)dxdy, a pro těžiště T rovinné oblasti platí S y () = xϱ(x, y)dxdy T () = [ Sy () m(), S ] x(). m() Poznámka 1.8. Místo slova těžiště je lépe použít termínu hmotný střed. Uvedené vztahy platí totiž za předpokladu, že tíhové pole je homogenní. Věta 1.9. Buď R 3 oblast, ϱ(x, y, z) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Pak statické momenty oblasti vzhledem k souřadnicovým rovinám xy, xz, yz jsou S xy () = z ϱ(x, y, z)dxdydz, S xz () = y ϱ(x, y, z)dxdydz, S yz () = xϱ(x, y, z)dxdydz a pro těžiště T oblasti platí T () = [ Syz () m(), S xz() m(), S ] xy(). m() Věta 1.1. Buď R oblast, ϱ(x, y) hustota v bodě [x, y], ϱ spojitá na. Pak kvadratické momenty (momenty setrvačnosti) oblasti vzhledem k osám x, y, z jsou I x () = y ϱ(x, y)dxdy, I y () = x ϱ(x, y)dxdy, I z () = I x () + I y (). ÚM FSI VUT v Brně 37
14 1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text Věta Buď R 3 oblast, ϱ(x, y, z) hustota v bodě [x, y, z], ϱ spojitá na. Pak kvadratické momenty (momenty setrvačnosti) vzhledem k osám x, y, z jsou I x () = (y + z )ϱ(x, y, z)dxdydz, I y () = (x + z )ϱ(x, y, z)dxdydz, I z () = (x + y )ϱ(x, y, z)dxdydz. Příklad 1.1. Určete velikost povrchu plochy, která je grafem funkce f(x, y) = 1 x y. Řešení. Grafem funkce f(x, y) je horní polovina kulové plochy. Velikost povrchu Gf vypočteme ze vztahu Gf = 1 + (f x) + (f y) dxdy, kde oblast = Df je kruh x + y 1. Určíme parciální derivace. Platí f x = f y = x 1 x y, y 1 x y. Při výpočtu integrálu provedeme transformaci do polárních souřadnic. Oblast se změní v obdélník =, 1, π. Dostáváme Df = 1 + π = dϕ x 1 x y + y 1 x y dxdy = 1 ϱ dϱ 1 ϱ = t = 1 ϱ ϱdϱ = tdt 1 1 = π 1 1 x y dxdy = 1 1 t dt = π dt = π. t ϱ dϱdϕ 1 ϱ = Příklad Spočtěte souřadnice těžiště tělesa : z 1 (x + y ). Hustota tělesa je konstantní a je rovna 1. Řešení. Těleso je ohraničeno dvěma plochami. Zdola rovinou z = a zhora paraboloidem z = 1 (x +y ). Vzhledem k tvaru tělesa je zřejmé, že x T = a y T =. Dopočítáme z T = Sxy() m(). Oblast transformujeme do válcových souřadnic. Platí ϱ, 1, ϕ, π, z, 1 ϱ. S xy () = z dxdydz = zϱ dϱdϕdz = 1 = ( π 1 ϱ(1 ϱ ) dϕ ) dϱ = π 1 1 ( π ( 1 ϱ ϱ ( 1 ϱ ) dϱ = π 6. zϱ dz ) ) dϕ dϱ = ÚM FSI VUT v Brně 38
15 1. Aplikace vícerozměrných integrálů Studijní text m() = dxdydz = ϱ dϱdϕdz = = 1 ( π ϱ ( 1 ϱ ) ) dϕ dϱ = π 1 Odtud plyne, že těžiště tělesa je bod T = [,, 1 3]. 1 ( π ( 1 ϱ ϱ dz ) ) dϕ dϱ = [ ϱ ϱ(1 ϱ ) dϱ = π ϱ4 4 ] 1 = π. ÚM FSI VUT v Brně 39
12 Trojný integrál - Transformace integrálů
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.
ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE
PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná
Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
y ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,
Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je
1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
11. cvičení z Matematické analýzy 2
11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou
1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných
Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál
Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich
Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
10. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y
2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Integrace funkcí více proměnných, numerické metody
Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více
Plošný integrál funkce
Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou
12. Křivkové integrály
12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ
V. Riemannův(dvojný) integrál
V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál
Veronika Chrastinová, Oto Přibyl
Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2
Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)
Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.
SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
Matematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
Riemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
PŘÍKLADY K MATEMATICE 3
PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,
Matematika pro chemické inženýry
Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných
Matematika III 5. přednáška Lineární programování, integrace funkcí více proměnných Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 10. 2007 Obsah přednášky 1 Lineární programování 2 Integrály
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.
Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a
Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných
Pár informací o integrálním počtu funkcí více proměnných Pavel Řehák (verze 18. října 2016) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k předmětům atematická analýza 5, 6. Jeho cílem není (a ani nemůže
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace
Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y
3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek
OBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Učební text předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E
terminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
VI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše
1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky
MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky
Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
1/15. Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných
1/15 Kapitola 2: Reálné funkce více proměnných Vlastnosti bodových množin 2/15 Definice: ε-ové okolí... O ε (X) = {Y R n ρ(x, Y ) < ε} prstencové ε-ové okolí... P ε (X) = {Y R n 0 < ρ(x, Y ) < ε} Definice:
Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Funkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
X = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: 2, b n = n. n n n.
Písemka matematika 3 s řešením 1. Vypočtěte lim n( 1 + n 2 n), n lim n (( 1 + 1 n e ) n ) n. 1/2, 1/ e 2. Určte hromadné body, limitu superior a limitu inferior posloupností: a n = sin nπ ( 2, b n = n
Veličiny charakterizující geometrii ploch
Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně
1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky