5 Fresnelovy ohybové jevy

Transkript

1 55 5 Fresnelovy ohybové jevy 5. Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru 5. Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 5.5 Fresnelova difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku 5.6 Fresnelova difrakce na pravém úhlu z nepropustného stínítka 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 5.8. Bod pozorování na ose rotační symetrie 5.8. Bod pozorování není osovým bodem 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce Odvodili jsme, že vlnovou funkci charakterizující Fresnelovy difrakční jevy vyjadřuje difrakční integrál 3.63) ψx, y, z) = i k expikz) π z { ik [ ψ 0 x M, y M ) exp xm x) + y M y) ]} dx M dy M. ) z Vyjadřuje vlnovou funkci v bodech P x, y, z) roviny pozorování z = konst. > 0 prostřednictvím vlnové funkce ψ 0 v bodech Mx M, y M, 0) roviny z = 0. Je-li vlna dopadající na stínítko rovinná nebo kulová, lze integrál ) analyticky vypočítat pro dva typy difrakčních stínítek: i) Je-li stínítko sestaveno z obdélníků tak, že všechny obdélníky mají rovnoběžné strany a funkce propustnosti v každém obdélníku je konstantní, lze difrakční integrál ) vyjádřit Fresnelovými integrály. ii) Je-li difrakční stínítko sestaveno z koncentrických mezikruží s konstantní propustností a má-li difrakční jev rotační symetrii tj. zdroj leží na ose rotační symetrie stínítka), lze difrakční integrál ) vyjádřit Lommelovými funkcemi. Bylo by možné provést výpočty pro obecný typ stínítek specifikovaných v i) nebo ii). Je to však nepřehledné pro množství potřebných symbolů a indexů. Proto se omezíme na representativní příklady. Vypočteme vlnovou funkci pro Fresnelovu difrakci na obdélníkovém otvoru. Z ní jako speciální případ získáme vlnovou funkci při difrakci na polorovině, štěrbině, vlákně apod. Dále vypočteme vlnovou funkci pro rotačně symetrickou Fresnelovu difrakci na kruhovém otvoru a kruhové překážce. Informace o používaných speciálních funkcích, tj. o Fresnelových integrálech a o Lommelových funkcích, podávají dodatky B a C. V každém jednotlivém případě se budeme snažit vyjádřit vlnovou funkci ve tvaru ψx, y, z) ψ r x, y, z) = Ix, y, z) exp[iφx, y, z)], ) kde ψ r x, y, z) je vlna, která by byla v bodě P x, y, z), kdyby nebylo žádného difrakčního stínítka, tj. nerušená vlna. V příkladech, které budeme počítat, je to kulová vlna, přesně řečeno Fresnelova aproximace kulové vlny. Ix, y, z) je pak relativní intenzita a φx, y, z) fáze vztažená k fázi vlny ψ r. 5. Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru Obdélníkový otvor v nepropustném stínítku charakterizuje funkce propustnosti {, když a x M b, c y M d, tx M, y M ) = 0, když je tomu jinak. )

2 56 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek : Geometrické uspořádání při Fresnelově difrakci na obdélníkovém otvoru. Dopadá-li na tento otvor kulová vlna, jejíž zdroj je v bodě P x, y, z ), z > 0, je funkce ψ 0 x M, y M ) tvaru ψ 0 x M, y M ) = expikr) tx M, y M ), ) r kde r = x x M ) + y y M ) + z aproximaci kulové vlny ve ) expikr) r expikz ) z viz obr. ). Do difrakčního integrálu 5) dosadíme Fresnelovu { ik [ exp xm x ) + y M y ) ] } z 3) a dvojný integrál 5) se faktorizuje: ψx, y, z) = i k exp[ikz + z)] π z z = i k π b a d c { ik exp exp { ik exp[ikz + z)] I x)i y). z z [ xm x ) + x x M ) ]} dx M z z [ ym y ) + y y M ) ]} dy M z z 4) Věnujme se výpočtu integrálu I x). Rozvinutím druhých mocnin a vytknutím faktoru nezávislého na integrační proměnné před integrál dostaneme [ )] ik x b { [ I x) = exp + x ik exp x M + ) x x M + x )]} dx M. z z a z z z z Fázor v integrandu obsahuje integrační proměnnou ve druhé a v první mocnině. Takový integrál lze vyjádřit Fresnelovým integrálem. Za tím účelem upravíme integrand do tvaru exp[i konst. x M x M,st ) ]: [ ik I x) = exp = exp { ik )] x b + x z z a [ x + x z z z + z z z [ ik exp z + z z z x z + xz z + z Všimněme si geometrického významu výrazu x x z + xz M x M z + z ) ]} b exp a [ ik z + z z z )] dx M x M x ) ] z + xz dx M. z + z x M,st = x z + xz. 6) z + z 5)

3 5. Fresnelova difrakce na obdélníkovém otvoru 57 Obrázek : K výpočtu souřadnice x M,st. x M,st je x-ová souřadnice bodu M st roviny z = 0, který leží na spojnici zdroje P a bodu pozorování P. Je totiž řešením rovnice, která plyne z podobnosti trojúhelníků viz obr. ): x M,st x z = x x M,st. z Fáze integrandu integrálu 5) je v bodě M st stacionární. Upravíme ještě výraz v hranaté závorce v argumentu fázoru před integrálem v 5) x + x z z x z + xz ) z + z)z z = x + x z z = x z = z + z z = x x ) z + z. x z x z z + z)z z + z)z x x z + z ) + x z z + z z x + x x x ) z + z ) x x z + z Platí tedy [ ikx x ) ] [ b ik z + z I x) = exp exp x M x ) ] z + xz dx M. 7) z + z) z z z + z a Abychom vyjádřili I x) prostřednictvím Fresnelových integrálů, zavedeme do 7) substituci konkrétně k z + z x M x ) z + xz = π z z z + z v, k z + z x M x ) z + xz = v. 8) π z z z + z Znaménko mínus na pravé straně rovnice 8) volíme proto, abychom zajistili, že proměnná v roste s rostoucím x. Takže dx M = dv a k z +z π z z [ π z z ikx I x) = k z + z exp x ) ] vb z + z) v a exp i π v) dv, 9)

4 58 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY kde kde k v a = π v b = z + z z z k z + z π z z x z + xz z + z x z + xz z + z Zcela obdobně se vypočte druhý z integrálů ve 4) [ π z z iky I y) = k z + z exp y ) ] ud z + z) Dosadíme-li součin I x)i y) = π k z z z + z exp { k u c = π u d = ik z + z) z + z z z k z + z π z z u c y z + yz z + z y z + yz z + z [ x x ) + y y ) ]} v b ) a, 0) ) b. ) exp i π u) du, ) ) c, 3) ) d. 4) v a exp i π v) dv ud u c exp i π u) du do výrazu 4), dostaneme ψx, y, z) = i vb v a exp i π v) dv exp[ikz + z)] z + z ud u c { ik exp z + z) exp i π u) du [ x x ) + y y ) ]}. 5) Ve shodě s cílem našeho snažení srov. 5)) poznáváme v části výrazu 5) nerušenou vlnu ψ r, která by byla v bodě P x, y, z) za nepřítomnosti jakéhokoli stínítka. Je jí kulová vlna vycházející ze zdroje P x, y, z ) ve Fresnelově aproximaci ψ r x, y, z) = exp[ikz + z)] z + z { exp ik z + z) [ x x ) + y y ) ]} expikr), 6) R kde R = P P = x x ) + y y ) + z + z ) viz obr. ). Podle 5) tedy přepíšeme rovnici 5) do tvaru ψx, y, z) ψ r x, y, z) = Ix, y, z) exp[iφx, y, z)] = i vb exp i π ud v) dv exp i π u) du. 7) Fresnelovy integrály závisejí na souřadnicích x, y, z bodu pozorování P prostřednictvím mezí integrace 0), ), 3), 4).) Při nerušeném šíření vlny musí být ψ/ψ r =, tj. Ix, y, z) =, φx, y, z) = 0. Přesvědčme se o tom. Nekonečně velkému obdélníku odpovídá a =, b =, c =, d =. Podle 0), ), 3), 4) z toho vyplývá, že v a =, v b =, u c =, u d =. Je tedy ψ = i [ exp i π ] ψ r t) dt = i + i) =. Vraťme se k Fresnelově difrakci na obdélníkovém otvoru. Abychom mohli napsat výraz pro intenzitu, musíme integrály v 7) vyjádřit prostřednictvím jejich reálné a imaginární části a tyto části vyjádřit prostřednictvím Fresnelových integrálů Sx) a Cx). Dolní integrační mez v definici Fresnelových integrálů je nula, a proto provedeme tuto úpravu: vb exp i π [ 0 vb ] v a v) dv = + exp i π [ vb va ] v a 0 v) dv = exp i π 0 0 v) dv = 8) = Cv b ) + isv b ) Cv a ) isv a ) = Cv b ) Cv a ) + i [Sv b ) Sv a )]. v a u c

5 5. Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině 59 Podobně ud u c exp i π u) du = Cu d ) Cu c ) + i [Su d ) Su c )]. 9) Dosadíme-li 8) a 9) do 7) a upravíme-li takto vzniklý výraz tak, aby byla oddělena jeho reálná část od imaginární části, dostaneme ψ ψ r = {[Cv b) Cv a )][Su d ) Su c )] + [Sv b ) Sv a )][Cu d ) Cu c )]} + + i {[Sv b) Sv a )][Su d ) Su c )] [Cv b ) Cv a )][Cu d ) Cu c )]}. 0) Odtud součtem čtverců reálné a imaginární části dostaneme relativní intenzitu I = 4 { [Cvb ) Cv a )] [Cu d ) Cu c )] + [Sv b ) Sv a )] [Su d ) Su c )] + + [Cv b ) Cv a )] [Su d ) Su c )] + [Sv b ) Sv a )] [Cu d ) Cu c )] } ) a fázi jako arkustangens podílu imaginární a reálné části φ = Arctg [Sv b) Sv a )][Su d ) Su c )] [Cv b ) Cv a )][Cu d ) Cu c )] [Cv b ) Cv a )][Su d ) Su c )] + [Sv b ) Sv a )][Cu d ) Cu c )]. ) Symbolem Arctg x značíme všechny větve funkce arkustangens. Hlavní větev značíme symbolem arctg x, takže platí Arctg x = arctg x + nπ, n = 0, ±, ±,....) Pomocí vztahu ) by bylo možné vypočítat rozložení intenzity v difrakčních jevech na obr..5. Nebudeme to dělat. Místo toho vypočteme rozložení intenzity a fáze v důležitých speciálních případech, které lze z obdélníku odvodit polorovina, štěrbina atd.), a upozorníme na zajímavosti těchto jevů. 5. Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině Předpokládejme, že okraj nepropustné poloroviny je rovnoběžný s osou y M a že polorovina zastiňuje oblast x M a roviny O, x M, y M ) viz obr. 3). Chceme-li považovat propustnou část roviny O, x M, y M ) za obdélník, musíme položit y M a 0 x M Obrázek 3: Nepropustná polorovina zastiňující část x M < a roviny O, x M, y M ). a = a, b =, c =, d =. ) Podle 5.0) až 5.4) tomu odpovídají proměnné Fresnelových integrálů v a = v a, v b =, u c =, u d =, )

6 60 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY takže Fresnelovy integrály nabývají hodnot Cv a ), Sv a ), Cv b ) = Sv b ) = /, Cu c ) = Su c ) = /, Cu d ) = Su d ) = /. 3) Dosazením výrazů 3) do 5.) a 5.) se dostane rozložení intenzity a fáze ve výsledném tvaru 6) a 7) uvedeném níže. Z cvičných důvodů však dosadíme hodnoty ) do 5.7) a upravíme tak získaný výraz pro vlnovou funkci: ψ ψ r = i = i = i v a va [ 0 exp i π v) dv exp i π v) dv + va [ i + i) + i = = i = exp i π 4 = { [ 0 exp i π u) du = exp i π u) du = ] exp i π ) v) dv + i ] + Cv a ) + isv a ) { [ ]} + Cv a) + i + Sv a) ) = = { [ ]} + Cv a) + i + Sv a) + Cv a) ] [ + + Sv a) ] } = = 4) { [ exp i Arctg + Sv a) + Cv a) π ]}. 5) 4 Rožložení intenzity ve Fresnelově difrakčním jevu na nepropustné polorovině tedy charakterizuje funkce { [ Iv a ) = ] [ ] } + Cv a) + + Sv a), 6) jejíž graf je na obr. 4. Fotografie difrakce na polorovině je na obr. 5. Rozložení fáze v difrakčním jevu charakterizuje funkce φv a ) = Arctg + Sv a) + Cv a) π 4, 7) jejíž graf je na obr. 4.

7 5. Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině 6 Obrázek 4: Relativní intenzita Iv a ) viz 5.6)) a fáze φv a ) viz 5.7)) ve Fresnelově difrakci na nepropustné polorovnině. Obrázek 5: Fotografie Fresnelovy difrakce na nepropustné polorovině z = m, z =,5 m, x = a = 0, λ = 6, m). Ze vztahů 6) a 7) je vidět, že rozložení intenzity i fáze ve Fresnelově difrakčním jevu na nepropustné polorovině závisí na jediném parametru v a. Všechny parametry experimentálního uspořádání k = π λ, x, z, a, x, y, z) totiž podle 5.0) vytvoří jediný parametr v a. Z toho vyplývá, že všechny Fresnelovy difrakční jevy na nepropustné polorovině získané při jakýchkoliv parametrech experimentálního uspořádání jsou si geometricky podobné. Vypočteme-li tedy rozložení intenzity a fáze jako funkci parametru v a, dostaneme ona rozložení jako funkce souřadnice x v rovině pozorovnání z = konst. podle vztahu 5.0), z něhož vyplývá

8 6 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY ) π ) x = v a k z + zz z + a + a x. z Z geometrie uspořádání lze pomocí podobnosti nahlédnout, že geometrickému stínu okraje poloroviny odpovídá hodnota souřadnice x = a + a x ) z/z, tj. v a = 0. Hodnotám v a > 0 odpovídá tedy osvětlená část roviny pozorování, hodnotám v a < 0 zastíněná část. Z obr. 4 je vidět, že v osvětlené části roviny pozorování relativní intenzita I osciluje s klesající amplitudou a rostoucí frekvencí kolem jedné, a fáze φ osciluje obdobným způsobem kolem nuly. Naproti tomu v zastíněné části roviny pozorování relativní intenzita klesá asymptoticky k nule, kdežto fáze neomezeně vzrůstá. Matematicky lze tyto skutečnosti názorně a přitom s dobrým přiblížením vyjádřit elementárními funkcemi: Dosadíme-li do výrazů 6) a 7) asymptotická vyjádření Fresnelových integrálů B.4) a B.43), vypočteme viz B.46) až B.4)), že v osvětlené části roviny pozorování pro v a > s dobrým přiblížením platí srov. obr. 9 a 0 v dodatku B) Iv a ) + [ π sin va )], φv a ) π v a cos π v a [ π va )] 8) a v zastíněné oblasti roviny pozorování je pro v a < srov. obr. 9 a 0 v dodatku B) Iv a ) πv a ), φv a) π va + ). 9) y M a 0 x M Obrázek 6: Nepropustná polorovina zastiňující část x M > a roviny O, x M, y M ). Uvažujme nyní o komplementárním stínítku, tj. o polorovině, která zastiňuje část x M < a roviny O, x M, y M ) viz obr. 6). Označíme-li vlnovou funkci charakterizující Fresnelovu difrakci na takové polorovině ψ compl, musí platit ψ ψ r + ψ compl ψ r =, 0) kde ψ ψ r je vlnová funkce 4) resp. 5) charakterizující difrakci na polorovině podle obr. 3. Rovnice 0) vyjadřuje skutečnost, že součtem difrakčních jevů na opačně orientovaných nepropustných polorovinách se společným okrajem je nerušené šíření vlny. Dosadíme-li do 0) výraz 4), dostaneme

9 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 63 kde = exp ) i π { [ ]} 4 ψ r + Cv a) + i + Sv a) = = exp ) i π [ 4 exp i π ) 4 Cv a) i ] isv a) = ) { [ ]} Cv a) + i Sv a) ψ compl = exp i π 4 = I compl v a ) exp [iφ compl v a )], = ) { [ I compl v a ) = ] [ ] } Cv a) + Sv a), ) φ compl v a ) = Arctg Sv a) Cv a) π 4. 3) Porovnáme-li ) s 6) a 3) se 7) a uvážíme-li, že Fresnelovy integrály Cv a ) a Sv a ) jsou liché funkce, shledáme, že rozložení intenzity i fáze v difrakčních jevech na komplementárních polorovinách jsou zrcadlově symetrická podle přímky geometrického stínu okraje polorovin. To je ovšem výsledek, který je zřejmý z názoru i bez počítání. Fresnelova difrakce na nepropustné polorovině je vůbec prvním precizně interpretovaným difrakčním jevem. Její podrobný popis tvoří podstatnou část slavného Fresnelova Mémoire sur la diffraction de la lumière z r. 88 nazývaného Mémoire couronné viz [], str ), neboť byl v roce 89 oceněn francouzskou Akademií. 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku Předpokládejme, že štěrbina je rovnoběžná s osou y M a že její okraje mají souřadnici x M = a a x M = b viz obr. 7). Považujeme ji za nekonečně dlouhý obdélník a klademe c =, d =. Podle 5.0) až 5.4) tomu odpovídají proměnné Fresnelových integrálů y M a 0 b x M Obrázek 7: Štěrbina v nepropustném stínítku. takže Fresnelovy integrály nabývají hodnot v a = v a, v b = v b, u c =, u d =, )

10 64 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Cv a ), Sv a ), Cv b ), Sv b ), Cu c ) = Su c ) =, Cu d) = Su d ) =. ) Dosazením těchto hodnot do 5.7) dostaneme vlnovou funkci ψ s charakterizující Fresnelovu difrakci na štěrbině: ψ s = i [ )] v b + i ψ r v a [ 0 vb = + i = + i v a + 0 exp i π v) dv = ] exp i π v) dv = [ Cv b ) + i Sv b ) Cv a ) i Sv a ) = exp i 3 4 π) {Cv b ) Cv a ) + i = I s exp i φ s ), ] [ ]} Sv b ) Sv a ) = 3) = kde a I s v a, v b ) = { [ ] [ ] } Cv b ) Cv a ) + Sv b ) Sv a ) 4) φ s v a, v b ) = Arctg Sv b) Sv a ) Cv b ) Cv a ) π 4 představují rozložení intenzity I s a fáze φ s v rovině pozorování. Intenzita I s i fáze φ s závisejí na dvou proměnných v a, v b, které obě mohou nabývat hodnot až. Obě jsou lineárními funkcemi souřadnice x v rovině pozorování z = konst. a tyto lineární funkce se liší pouze absolutními členy. Jejich rozdíl k z + z ) v = v a v b = b a 6) π z z proto nezávisí na souřadnici x a je úměrný šířce b a) štěrbiny. Geometrickému stínu okrajů štěrbiny odpovídají v rovině pozorování souřadnice ) x a = a + zz x b = b Střed difrakčního obrazce má souřadnici x ) + zz x x m = a + b z z, tj. v a = 0, v b = v, z z, tj. v b = 0, v a = v. a proměnné v a a v b nabývají ve středu difrakčního obrazce hodnot 5) ) + zz z x 7) z v a = v, v b = v. 8) Proto se jeví být vhodné vyjádřit intenzitu I s i fázi φ s pomocí proměnné v = v a + v b = k π z ) x x m, 9) zz + z)

11 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 65 jež nabývá nulové hodnoty ve středu difrakčního obrazce a je tedy úměrná vzdálenosti x x m ) od středu difrakčního obrazce) a parametru v = v a v b k z + z b a = π z z, 0) který nezávisí na souřadnici x v rovině pozorování a je tedy pro určitý difrakční jev konstantou. Výrazy 4) a 5) pro intenzitu I s a fázi φ s ve Fresnelově difrakčním jevu na štěrbině v nepropustném stínítku přepíšeme do tvaru I s v, v ) { [ = C v v ) C v + v )] [ + S v v ) S v + v )] }, ) φ s v, v ) = Arctg S v v C v v ) ) S v + v ) ) π C v + v 4. ) Fotografie dvou Fresnelových difrakčních jevů na štěrbině v nepropustném stínítku jsou na obrázku 8. Grafy funkcí ) a ) jsou na obrázcích 9, 0 a. Obrázek 8: Fotografie Fresnelovy difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku.

12 66 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 9: Relativní intenzita I s v, v ) viz 5.3)) Fresnelových difrakčních jevů na štěrbinách různých šířek v nepropustném stínítku. Nuly s indexy v u levého okraje) značí polohy nulové intenzity příslušné křivky. Plné kroužky na křivkách označují relativní intenzitu v geometrickém stínu okrajů stěrbiny.

13 5.3 Fresnelova difrakce na štěrbině v nepropustném stínítku 67 Obrázek 0: Graf funkce I s v, v ) viz 5.3)) udávající relativní intenzitu ve Fresnelově ohybovém jevu na štěrbině v nepropustném stínítku. Křivky v předcházejícím obr. 9 představují řezy plochou I s v, v ) rovinami v = konst.. Geometrický stín okraje štěrbiny je určen podmínkou v = v.

14 68 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek : Graf funkce π φ sv, v ) viz 5.3)) charakterizující fázi ve Fresnelově ohybovém jevu na štěrbině v nepropustném stínítku. Geometrický stín okraje štěrbiny je určen podmínkou v = v.

15 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně Vlnovou funkci ψ f x, y, z) charakterizující Fresnelovou difrakci na nepropustném vlákně lze získat několika způsoby. Z cvičných důvodů uvedeme dva z nich. y M a 0 b x M Obrázek : Nepropustné vlákno. i) Vlákno na obr. je komplementárním stínítkem ke štěrbině na obr. 7. Musí tedy platit Dosadíme-li do ) za ψ s /ψ r výraz 5.33), vypočteme ψ f ψ r + ψ s ψ r =. ) kde ψ f = + i [Cv b ) + i Sv b ) Cv a ) i Sv a )] = ψ r = i { + i + Cv b ) Cv a ) + i [Sv b ) Sv a )]} = ) = exp i π 4 { + Cv b ) Cv a ) + i [ + Sv b ) Sv a )]} = ) = I f v a, v b ) exp iφ f v a, v b )), I f v a, v b ) = { [ + Cv b ) Cv a )] + [ + Sv b ) Sv a )] } 3) a φ f v a, v b ) = Arctg + Sv b) Sv a ) + Cv b ) Cv a ) π 4 4) představují rozložení relativní intenzity I f a fáze φ f ve Fresnelově ohybovém jevu na nepropustném vlákně. ii) Poněkud jiným způsobem lze získat vztahy ) až 4), představíme-li si difrakci na vlákně jako superpozici dvou difrakčních jevů na opačně orientovaných polorovinách překrývajících se o šířku vlákna viz obr. 3). Difrakci na polorovině zastiňující oblast < x M b charakterizuje funkce 5.4), v níž je ovšem třeba nahradit proměnnou v a proměnnou v b, difrakci na polorovině zastiňující oblast a x M < charakterizuje funkce 5.). Jejich součtem dostáváme

16 70 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY a b Obrázek 3: K difrakci na vlákně pojaté jako superpozice dvou difrakčních jevů na polorovinách překrývajících se o šířku vlákna. ψ f = exp ) i π { 4 ψ r + Cv b) + i ) [ ] + Sv b) + [ ]} Cv a) i Sv a) = exp i π 4 { + Cv b ) Cv a ) + i [ + Sv b ) Sv a ) ]}, = což je vlnová funkce ve tvaru ). Vlnová funkce ψ f a tedy i rozložení intenzity I f a fáze ψ f při difrakci na vlákně závisí na dvou parametrech v a, v b. Podobně jako v případě štěrbiny bývá účelné vyjádřit intenzitu i fázi prostřednictvím proměnné v ve tvaru 5.39), jež nabývá nulové hodnoty ve středu difakčního obrazce a parametru v ve tvaru 5.30), jenž nezávisí na souřadnici x v rovině pozorování. Rozložení intenzity 3) a fáze 4) ve Fresnelově difrakčním jevu na nepropustném vlákně tak získá tvar I f v, v ) { [ = + C v v ) C v + v )] [ + + S v v ) S v + v )] }, 5) φ f v, v ) = Arctg + S v v + C v v ) ) S v + v ) ) π C v + v 4. 6) Fotografie dvou Fresnelových difrakčních jevů na nepropustném vlákně jsou na obr. 4. Grafy funkcí 5) a 6) jsou na obrázcích 5, 6 a 7. Přípomínáme také obrázek.c), jenž ukazuje Fresnelův ohybový jev získaný elektrony o vlnové délce λ = 4,33 0 m na vlákně o průměru 4,5 0 7 m při vzdálenostech z = 0,43 m a z = 3,38 0 m.

17 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 7 Obrázek 4: Fotografie Fresnelovy difrakce na nepropustném vlákně.

18 7 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY ) Obrázek 5: Relativní intenzita I f v, v viz 5.45)) ve Fresnelových difrakčních jevech na nepropustných vláknech různých šířek. Nuly s indexy v u levého okraje) značí polohy nulové intenzity příslušné křivky. Plné kroužky na křivkách označují relativní intenzitu v geometrickém stínu okrajů vlákna.

19 5.4 Fresnelova difrakce na nepropustném vlákně 73 Obrázek 6: Graf funkce I f v, v ) viz 5.45)) udávající relativní intenzitu ve Fresnelově ohybovém jevu na v ) rovinami = nepropustném vlákně. Křivky v předcházejícím obr. 5 představují řezy plochou I f v, v konst.. Geometrický stín okraje vlákna je určen podmínkou v = v.

20 74 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 7: Graf funkce π φ f v, v ) viz 5.46)) charakterizující fázi ve Fresnelově ohybovém jevu na nepropustném vlákně. Geometrický stín okraje vlákna je určen podmínkou v = v.

21 5.5 Fresnelova difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku Fresnelova difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku Fresnelova difrakce na dvojštěrbině patří k základním pokusům fyziky. T. Young demonstroval v prvých letech 9. století tímto experimentem [] interferenci světla, a tím ve fyzikálních teoriích zdomácněl pojem interference vlnění. Představa interference... patří od té doby k nejcenějším statkům fyziky. Kdykoli jsou pochyby o nějakém druhu záření, hledíme vyvolat interferenci; podaří-li se to, je tím dokázána vlnová povaha záření [4]. Pro kvantovou mechaniku a její výuku je Fresnelova difrakce na dvojštěrbině významná tím, že jde o jev, který naprosto nelze vysvětlit žádným klasickým způsobem a který v sobě obsahuje podstatu kvantové mechaniky [3]. Není tedy divu, že tento experiment provedený jednotlivými po sobě jdoucími elektrony vybrali v roce 00 čtenáři časopisu Physics World za nejkrásnější experiment [5]. Předpokládejme, že obě štěrbiny jsou rovnoběžné s osou y M a že souřadnice x M okrajů štěrbiny jsou a, a, a 3, a 4 viz obr. 8). y M a a 0 a 3 a 4 x M Obrázek 8: Dvojštěrbina v nepropustném stínítku. Difrakci na dvojštěrbině lze považovat za superpozici dvou difrakčních jevů na jedné štěrbině. Vlnovou funkci tedy získáme součtem dvou vlnových funkcí typu 5.33), tj. ψ = exp i 3 4 π) {Cv a ) Cv a ) + Cv a4 ) Cv a3 ) + i [ Sv a ) Sv a ) + Sv a4 ) Sv a3 ) ]}, ) ψ r kde proměnné v ai souvisejí se souřadnicí x v rovině pozorování lineárními funkcemi typu 5.0). Rozložení intenzity a fáze charakterizují funkce Iv ai ) = { [ ] [ ] } Cv ) Cv ) + Cv ) Cv ) a a a4 a3 + Sv a ) Sv a ) + Sv a4 ) Sv a3 ), ) φv ai ) = Arctg Sv a ) Sv a ) + Sv a4 ) Sv a3 ) Cv a ) Cv a ) + Cv a4 ) Cv a3 ) π 4. 3) Fotografie Fresnelových difrakčních jevů na dvojštěrbinách jsou na obr. 9. Vlnovou funkci ) a ovšem i intenzitu ) a fázi 3) bychom mohli vyjádřit prostřednictvím jediného parametru v závislého na souřadnici x v rovině pozorování a tří parametrů v i na souřadnici x nezávislých, podobně jako v případě štěrbiny srov. 5.3) a )) nebo vlákna srov. 5.45) a 6)). Počet parametrů v i se dokonce zredukuje na dva v případě, kdy se podaří vyrobit tak, že štěrbiny mají stejnou šířku. To se však nemusí vždy podařit, a proto nebudeme výrazy ) až 3) dále upravovat. T. Young ve svém původním experimentu [] vyrobil dvojštěrbinu tak, že do štěrbiny vložil užší vlákno. O více něž 80 let později A. Zeilinger se spolupracovníky [6] studovali difrakci neutronů λ =,845 nm) na dvojštěrbině a vyrobili dvojštěrbinu obdobným způsobem: Do mezery mezi dvěma rovnoběžnými skleněnými stěnami vzdálenými od sebe 47,9 µm vložili drát z bóru o průměru 04, µm a vytvořili dvě štěrbiny o nestejných šířkách,5 µm a,3 µm. Také rozložení intenzity, které pozorovali, má mírně narušenou zrcadlovou symetrii, interferenční proužky jsou však kontrastní a jasně demonstrují interferenci neutronů.

22 76 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 9: Fotografie Fresnelovy difrakce na dvojštěrbině v nepropustném stínítku.

23 5.6 Fresnelova difrakce na pravém úhlu z nepropustného stínítka Fresnelova difrakce na pravém úhlu z nepropustného stínítka Vyšetříme Fresnelovu difrakci na dvou komplementárních stínítkách s pravoúhlým okrajem viz obr. 0a) a b)). a a c y M 0 c 0 y M a) x M x M b) Obrázek 0: Pravoúhlé okraje nepropustného stínítka. Pravoúhlý otvor na obr. 0a) považujeme za rozšíření obdélníka a podle 5.) klademe a = a, b =, c = c, d =. Podle 5.0) až 5.4) tomu odpovídají proměnné Fresnelových integrálů takže v a = v a, v b =, u c = u c, u d =, Cv b ) = Sv b ) = Cu d ) = Su d ) =. Podle 5.0) charakterizuje Fresnelovu difrakci na stínítku s pravým úhlem podle obr. 0a) vlnová funkce ψ a) ve tvaru ψ a) = {[ ] [ ] [ ] [ ]} ψ r + Cv a) + Su c) + + Sv a) + Cu c) + + i {[ ] [ ] [ ] [ ]} + Sv a) + Su c) + Cv a) + Cu c). ) Tuto funkci lze přepsat do faktorizovaného tvaru z faktorizovaného tvaru ostatně pochází srov. 5.7)) ψ a) = i { [ ]} { [ ]} ψ r + Cv a) + i + Sv a) + Cu c) + i + Su c). ) Výraz ) představuje součin dvou vlnových funkcí charakterizujících Fresnelovu difrakci na polorovinách srov. 5.4)). To je samozřejmé, neboť také funkce propustnosti pravoúhlého otvoru na obr. 0a) je součinem dvou funkcí propustnosti nepropustných polorovin: kde tx M, y M ) = stepx M a) stepy M c), step ξ = {, když ξ > 0, 0, když ξ < 0.

24 78 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Z vlnové funkce ) získáme vhodné výrazy pro relativní intenzitu I a) a fázi φ a) : { [ I a) v a, u c ) = ] [ ] } { [ ] [ ] } 4 + Cv a) + + Sv a) + Cu c) + + Su c), 3) φ a) v a, u c ) = π + Arctg + Sv a) + Cv a) + Arctg + Su c) + Cu c). 4) Z ) můžeme vyjádřit fázi také ve formálně jiném tvaru: [ φ a) v a, u c ) = Arctg + Sv a) ] [ + Su c) ] [ + Cv a) ] [ + Cu c) ] [ + Cv a) ] [ + Su c) ] + [ + Sv a) ] [ + Cu ]. 5) c) O ekvivalenci výrazů 4) a 5) se lze přesvědčit manipulací s funkcí arkustangens.) Grafy funkcí 3) a 4), resp. 5) jsou na obr. a. Difrakční stínítka na obr. 0 jsou komplementární. Fresnelovu difrakci na nepropustném stínítku ve tvaru podle obr. 0b) tedy charakterizuje vlnová funkce Dosadíme-li ) do 6) dostaneme ψ b) ψ r = ψ a) ψ r. 6) ψ b) = { [ ] [ ] [ ] [ ]} ψ r + Cv a) + Su c) + Sv a) + Cu c) + + i {[ ] [ ] [ ] [ ]} + Cv a) + Cu c) + Sv a) + Su c). 7) Relativní intenzitu I b) a fázi φ b) lze počítat podle vztahů { I b) v a, u c ) = [ ] [ ] [ ] [ ]} 4 + Cv a) + Su c) + Sv a) + Cu c) + {[ ] [ ] [ ] [ ]} ) + + Cv a) + Cu c) + Sv a) + Su c), 8) φ b) v a, u c ) = Arctg Grafy funkcí I b) v a, u c ) a φ b) v a, u c ) jsou na obr. 3 a 4. [ + Cv a) ] [ + Cu c) ] [ + Sv a) ] [ + Su c) ] [ + Cv a) ] [ + Su c) ] [ + Sv a) ] [ + Cu ]. 9) c) 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π Zajímavým difrakčním jevem je Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi procházející vlny o π. Je-li okraj takové poloroviny rovnoběžný s osou y M a zaujímá-li polorovina oblast x M < a, má funkce propustnosti tvar {, když xm > a, tx M, y M ) =, když x M < a. Vlnová funkce charakterizující Fresnelovu difrakci je v tomto případě součtem ) i) vlnové funkce 5.4), charakterizující Fresnelovu difrakci na nepropustné polorovině na obr. 3, a

25 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 79 Obrázek : Rozložení relativní intenzity I a) v a, u c ) viz 5.63)) ve Fresnelově difrakčním obrazci na pravoúhlovém otovru na obr. 0a). Oblast v a > 0, u c > 0 odpovídá osvětlené oblasti roviny pozorování.

26 80 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek : Graf funkce π φ a)v a, u c ) dané vztahem 5.64) resp. 5.65) a představující rozložení fáze ve Fresnelově difrakčním obrazci na pravoúhlovém otovru na obr. 0a). Oblast v a > 0, u c > 0 odpovídá osvětlené oblasti roviny pozorování.

27 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 8 Obrázek 3: Rozložení relativní intenzity I b) v a, u c ) viz 5.68)) ve Fresnelově difrakčním obrazci od pravoúhlové překážky na obr. 0b). Oblast v a > 0, u c > 0 odpovídá oblasti geometrického stínu.

28 8 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 4: Graf funkce π φ b)v a, u c ) dané vztahem 5.69) a představující rozložení fáze ve Fresnelově difrakčním obrazci na pravoúhlové překážce na obr. 0b). Oblast v a > 0, u c > 0 odpovídá oblasti geometrického stínu.

29 5.7 Fresnelova difrakce na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π 83 Obrázek 5: Rozložení relativní intenzity Iv a ) viz 5.73)) a fáze φv a ) viz 5.74)) ve Fresnelově difrakčním jevu na dokonale transparentní polorovině posouvající fázi o π.

30 84 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY ii) vlnové funkce 5.), charakterizující Fresnelovu difrakci na polorovině na obr. 6, násobené ovšem faktorem ): ψ = exp ) i π {[ ] 4 ψ r + Cv a) = exp i π ) [ Cv a ) + i Sv a ) 4 [ ] [ + i + Sv a) ] ] Cv a) [ ]} i Sv a). ) = Rozložení relativní intenzity Iv a ) v rovině pozorování udává funkce Rozložení fáze φv a ) charakterizuje funkce Iv a ) = [ C v a ) + S v a ) ]. 3) φv a ) = π 4 3π 4 + arctg Sva) Cv a), když v a > 0, + arctg Sva) Cv a), když v a < 0. 4) Grafy těchto funkcí Iv a ) a φv a ) jsou na obr. 5. Intenzita je v tomto difrakčním jevu nulová ve všech bodech přímky v a = 0, je podle této přímky zrcadlově symetrická, a to v každé vzdálenosti z od poloroviny. Znamená to, že intenzita a také ovšem vlnová funkce) je nulová ve všech bodech poloroviny x = a x ) z z +a, z > 0. Nulová intenzita ve všech bodech nějaké čáry, nebo dokonce plochy je u Fresnelovy difrakce výjimečným jevem. Setkáváme se s ním však vždy, když vlnová funkce v rovině z = 0 difrakčního stínítka má pro všechny body M vlastnost ψ 0 M) = ψ 0 M ), kde M je zrcadlově symetrický bod k bodu M podle nějaké přímky zrcadlení. Má-li stínítko dvě na sebe kolmé takové přímky antizrcadlení, má Fresnelův difrakční obrazec ve všech vzdálenostech z > 0 od difrakčního stínítka nulovou intenzitu podél rovin určených těmito přímkami a směrem šíření světla. Fresnelovy difrakční obrazce mají tmavý kříž, který může být v centrální oblasti velmi jemný. Toho lze v praxi využít k vytyčování přímek [7, 8]. Obrázek 6: K vyjádření difrakčního integrálu ve válcových souřadnicích.

31 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku Vyjádříme difrakční integrál 5) ve válcových souřadnicích srov. obr. 6) Za tím účelem vypočteme x M = ρ M cos ϕ M, x = ρ cos ϕ, y M = ρ M sin ϕ M, y = ρ sin ϕ. x M x) =ρ M cos ϕ M ρ cos ϕ) = ρ M cos ϕ M + ρ cos ϕ ρ M ρ cos ϕ M cos ϕ, y M y) =ρ M sin ϕ M ρ sin ϕ) = ρ M sin ϕ M + ρ sin ϕ ρ M ρ sin ϕ M sin ϕ, x M x) + y M y) = ρ M + ρ ρ M ρ cosϕ M ϕ), { ik [ exp xm x) + y M y) ]} { = exp ikρ ik z z exp [ ρ z M ρ M ρ cosϕ M ϕ) ]}. Ve válcových souřadnicích má tedy difrakční integrál 5) tvar [ )] ψρ, ϕ, z) = ik exp ik z + ρ z π z π { ik [ ψ 0 ρ M, ϕ M ) exp ρ z M ρ M ρ cosϕ M ϕ) ]} ρ M dρ M dϕ M. 0 0 Předpokládejme, že primární vlna má rotační symetrii. Konkrétně budeme předpokládat, že kruhový otvor v nepropustném stínítku je osvětlen divergentní kulovou vlnou se zdrojem na ose otvoru a ve vzdálenosti z od stínítka viz obr. 7), tj. ) Obrázek 7: Geometrické uspořádání při rotačně symetrické Fresnelově difrakci na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku. ψ 0 ρ M, ϕ M ) = exp ik z + ρ M z + ρ M ) ρm circ a ), ) kde a je poloměr otvoru. Ve Fresnelově aproximaci má tato primární vlna tvar ψ 0 ρ M, ϕ M ) = expikz ) ) ikρ exp M ρm ) circ. 3) z z a Dosadíme-li výraz 3) do difrakčního integrálu ), dostaneme po úpravě [ )] ψρ, ϕ, z) = ik exp ik z + z + ρ z π z z a 0 exp [ i k z + z ) ρ M ] π 0 [ ] ik exp z ρ M ρ cosϕ M ϕ) dϕ M ρ M dρ M. 4)

32 86 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Vlnovou funkci 4) charakterizující difrakční jev, budeme opět vztahovat k vlnové funkci ψ r ρ, ϕ, z), jež by byla v témž bodě P ρ, ϕ, z), kdyby žádného difrakčního stínítka nebylo. Tato referenční vlna má tvar exp [ik ] z + z) + ρ ψ r ρ, ϕ, z) =, 5) z + z) + ρ tj. ve Fresnelově aproximaci Podělením výrazů 4) a 6) dostáváme ψ r ρ, ϕ, z) = exp [ikz + z)] z + z [ exp ikρ z + z) ]. 6) ψρ, ϕ, z) ψ r ρ, ϕ, z) = ik z + z π z z a 0 exp [ i exp [ i k kρ z )] z + z + ) ] π ρ M z z 0 [ exp i k ] z ρ M ρ cosϕ M ϕ) dϕ M ρ M dρ M. 7) 5.8. Bod pozorování na ose rotační symetrie Vypočteme vlnovou funkci ψ/ψ r v bodech osy rotace kruhového otvoru. Tím ověříme výsledky, k nimž dospěl Fresnel na základě úvah o Fresnelových zónách viz odst. 3.4). Je-li bod pozorování na ose rotační symetrie otvoru, tj. ρ = 0, je v 7) integrál podle ϕ M roven π a difrakční integrál získává tvar ψρ = 0, z) ψ r ρ = 0, z) = ik z + z a [ i exp z z k + ) ] ρ M ρ M dρ M. 8) z z S použitím substituce a označení 0 k + ) ρ z z M = p, a tedy ρ M dρ M = dp, 9) z z kz + z) u = k + ) a 0) z z integrál 8) snadno vypočteme a vlnovou funkci vyjádříme v polárním tvaru: ψρ = 0, z) = i u ) i exp ψ r ρ = 0, z) 0 p dp = [ ) ] i = exp u = ) ) [ ) i i = exp 4 u exp 4 u exp i4 )] u = ) ) i = i exp 4 u sin 4 u = u ) [ u = sin exp i 4 4 π )] = [ = sin 4 k + ) ] [ i a exp z z 4 k + ) a iπ ]. ) z z Relativní intenzita a fáze v bodech osy rotační symetrie otvoru je [ k + 4 z z Iρ = 0, z) = 4 sin u 4 = 4 sin ) a ], φρ = 0, z) = π + 4 u = π + k 4 + ) a. 3) z z

33 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 87 Relativní intenzita tedy nabývá v bodech osy rotační symetrie hodnot mezi nulou a čtyřmi. Extrémních hodnot nabývá, když k + ) a = n π, n =,,.... 4) 4 z z Je zřejmé, že relativní intenzita je rovna čtyřem, když n je liché číslo a nule, když n je sudé číslo. Z podmínky 4) dostáváme výraz pro poloměry otvorů, kdy relativní intenzita nabývá extrémních hodnot a n = nλz z z + z 5) ve shodě s výrazem 3.43) pro poloměry Fresnelových zón. Tím jsme doplnili úvahy o Fresnelových zónách z odst. 3.4 a přijatelným způsobem vypočetli, že uprostřed Fresnelova difrakčního obrazce je při lichém počtu propuštěných zón intenzita čtyřikrát větší, než by byla v témž bodě, kdyby žádného stínítka nebylo a vlnění se šířilo nerušeně. Polohy extrémů relativní intenzity na ose rotační symetrie jsou ve vzdálenostech z n) = a nλ a /z, n a λ z, 6) od difrakčního stínítka Bod pozorování není osovým bodem Integrál podle úhlové proměnné ϕ M v difrakčním integrálu 7) je úměrný Besselově funkci J 0 viz např. [9], vztah B.36)): π [ exp ik ] ) z ρ kρρm M ρ cosϕ M ϕ) dϕ M = πj 0. z 0 Takže ψρ, ϕ, z) ψ r ρ, ϕ, z) = ik + ) [ ] i exp z z k z a [ ik ρ exp + ) ] ) ρ kρρm M J 0 ρ M dρ M. 7) zz + z) 0 z z z Tento integrál vyjádříme pomocí Lommelových funkcí viz dodatek C). Za tím účelem zavedeme substituci ρ M = at, jíž dostaneme integrační interval 0, ): ψρ, ϕ, z) ψ r ρ, ϕ, z) = ik + ) [ ] i a z [ ik exp z z kρ exp + ) ] ) kρa a t J 0 zz + z) 0 z z z t t dt. 8) Označíme-li a použijeme-li toho, že u = k + ) a, z z v = kaρ z 9) kρ z zz + z) = v u, 0) můžeme charakterizovat podíl 8) vlnové funkce a referenční vlny výrazem, jenž závisí na experimentálních parametrech tj. na k, z, z, a, ρ) pouze prostřednictvím dvou proměnných u a v: ψ i = iu exp ψ r v ) ) i exp u 0 ut J 0 vt)t dt. ) Integrací per partes a využitím jistého vztahu mezi Besselovými funkcemi lze integrál v ) vyjádřit Lommelovými funkcemi dvou proměnných U u, v), U u, v) resp. V 0 u, v), V u, v). Je to podrobně provedeno v dodatku C, odst. C.. Výsledkem je viz vztah C.8)) 0 ) i exp ut J 0 vt)t dt = exp i u) [ ] U u, v) iu u, v). u

34 88 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Dosazením tohoto výrazu za integrál ve ) dostáváme [ ψ i = exp ψ r Odtud vyplývá, že relativní intenzita je dána výrazem )] [ u + v U u, v) + iu u, v)]. ) u I = U u, v) + U u, v) 3) a fáze φ = ) u + v + Arctg U u, v) u U u, v). 4) Vyjádříme ještě relativní intenzitu a fázi prostřednictvím funkcí V 0 u, v) a V u, v). Dosadíme-li do ) ze vztahu C.8), dostaneme s použítím C.5)) [ ψ i = exp u + v ψ r u [ i = exp u + v u Z 5) je zřejmé, že )] { [ exp i u + v u )] { V 0 u, v) + cos [ [ I = + V0 u, v) + V u, v) V 0 u, v) cos φ = ) u + v V u, v) sin Arctg u )] } V 0 u, v) + iv u, v) )] [ u + v + iv u, v) i sin u )] [ u + v V u, v) sin u [ V 0 u, v) cos [ )]} u + v. 5) u )] u + v, 6) u )] u + v u )]. 7) u + v u Graf relativní intenzity I ve Fresnelově ohybu na kruhovém otvoru, tj. graf funkce 3), 6), je na obr. 8. Typické difrakční obrazce tohoto typu jsme již uvedli v kap. 3 na obr Graf funkce π φu, v) dané vztahem 4), 7), charakterizující fázi difrakčních jevů uvažovaného typu, je na obr. 9. Chceme-li vypočítat rozložení intenzity Iρ) v difrakčním obrazci v určité rovině pozorování, vypočteme podle 9) pro dané experimentální hodnoty k, a, z, z jednak parametr u, jenž nezávisí na ρ, jednak koeficient úměrnosti α = ka/z mezi veličinou v a ρ. Pak Iρ) = Iu, αρ). Je hodno pozoru, že velikost parametru u je rovna π násobku počtu propuštěných Fresnelových zón. Bývá tedy u v rozmezí 5 až 5 0. Koeficient α mívá při pokusech se světlem hodnoty v rozmezí 0 3 m až 0 5 m.) Výpočet vlnové funkce v bodech osy symetrie v odst jsme předeslali právě vypočítanému obecnějšímu případu, neboť si nevyžadoval použití speciálních funkcí. Výsledek ) resp. 3) dostaneme ovšem i jako speciální případ výrazů ), 5) resp. 3), 4), 6), 7) pro v = 0 viz vztahy C.3) a C.33)). Výrazy ) až 7) se také podstatně zjednoduší v případě u = v, tj. v bodech hranice geometrického stínu, kdy ρ = z+z z a. S použitím vztahů C.36) až C.38) vypočteme z ) resp. 5) ψ ψ r ρ= z +z z a = [ ] J 0 u) expiu) = [ ] expiu) exp iu) J 0 u). 8) Intenzitu a fázi v bodech hranice geometrického stínu tedy charakterizují výrazy Iu, u) = 4 [ ] + J0 sin u u) J 0 u) cos u, φu, u) = u + Arctg J 0 u) cos u. 9)

35 5.8 Fresnelova difrakce na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku 89 Obrázek 8: Graf funkce Iu, v) dané vztahem 5.83) resp. 5.86) a představující relativní intenzitu ve Fresnelových difrakčních jevech na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku. Hranici geometrického stínu odpovídá uhlopříčka u = v nezakresleno). V grafu jsou patrné extrémy intenzity v bodech u = nπ osy u. Odpovídají experimentálnímu uspořádání, kdy otvor propouští n Fresnelových zón.

36 90 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 9: Graf funkce π φu, v) dané vztahem 5.84) resp. 5.87) a charakterizující fázi Fresnelových difrakčních jevů na kruhovém otvoru v nepropustném stínítku. Hranici geometrického stínu odpovídá uhlopříčka u = v nezakresleno). Z porovnání obr. 8 a 9 je vidět, že v bodech, kde je intenzita I nulová viz bod u = 4π, v = 0), je funkce φ mnohoznačná a nabývá všech hodnot z intervalu π/, π/.

37 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce Vlnovou funkci popisující difrakci na nepropustném otvoru získáme nejsnáze z podmínky, že součet vlnové funkce pro difrakci na disku a vlnové funkce charakterizující difrakci na komplementárním kruhovém otvoru musí dát referenční vlnovou funkci ψ r : ψ otvor + ψ disk = ψ r, tj. ψ disk ψ r = ψ otvor ψ r. ) Vlnovou funkci v bodech osy rotační symetrie disku dostaneme, dosadíme-li do ) ze 5.8) ) ) ψ disk ρ = 0, z) i i = + exp ψ r ρ = 0, z) u = exp u = [ ik = exp + ) ] a. z z Z toho je vidět, že podél osy symetrie kruhového disku je relativní intenzita I = ve shodě s Poissonovou námitkou srov. odst. 3.4) a s experimentem viz obr. 3.7). Fáze v bodech osy je φρ = 0, z) = u = k + ) a. z z Vlnovou funkci charakterizující difrakci v obecném bodě dostaneme, dosadíme-li do ) z 5.8). Dostaneme { [ )] } ψ disk i = + exp u + v [U u, v) + iu u, v)] = ψ r u [ )] { [ i = exp u + v exp i )] } 3) u + v + U u, v) + iu u, v). u u Chceme-li vyjádřit vlnovou funkci prostřednictvím Lommelových funkcí V 0 a V, dosadíme do 3) ze vztahu C.8) a s použitím C.5) dostaneme [ )] ψ disk i ρ, ϕ, z) = exp u + v [V 0 u, v) iv u, v)]. 4) ψ r u resp. Pro relativní intenzitu dostáváme ze 4) resp. 3) [ I = + U u, v) + U u, v) U u, v) sin Pro fázi dostáváme ze 4) resp. ze 3) φ = φ = I = V 0 u, v) + V u, v), 5) )] [ u + v + U u, v) cos u ) )] u + v. 6) u ) u + v Arctg V u, v) u V 0 u, v), 7) ) u + v U u, v) sin + Arctg u [ U u, v) + cos [ )] u + v u )]. 8) u + v u Graf relativní intenzity I ve Fresnelově ohybu na kruhové překážce, tj. graf funkce 5), 6), je na obr. 30. Typické difrakční obrazce tohoto typu jsme uvedli již v kap. 3 na obr Graf funkce π φu, v) dané vztahem 7), 8) charakterizující fázi Fresnelových difrakčních jevů na kruhové překážce je na obr. 3. Z grafu na obr. 30 lze nahlédnout, že poloměr ρ 0 světlé stopy uprostřed difrakčního obrazce je nepřímo úměrný poloměru a kruhové překážky: Místa stejné relativní intenzity centrální světlé stopy leží na přímkách

38 9 5 FRESNELOVY OHYBOVÉ JEVY Obrázek 30: Graf funkce Iu, v) dané vztahem 5.95) resp. 5.96) a představující relativní intenzitu ve Fresnelových difrakčních jevech na nepropustné kruhové překážce. Hranici geometrického stínu odpovídá přímka u = v nezakresleno). Z grafu je vidět, že ve středu difrakčního obrazce tj. na ose u) je vždy jednotková relativní intenzita.

39 5.9 Fresnelova difrakce na nepropustné kruhové překážce 93 Obrázek 3: Graf funkce π φu, v) dané vztahem 5.95) resp. 5.96) charakterizující fázi Fresnelových difrakčních jevů na nepropustné kruhové překážce. Hranici geometrického stínu odpovídá přímka u = v nezakresleno).

40 94 REFERENCE rovnoběžných s osou u a minimum relativní intenzity, jež definuje poloměr centrální stopy, má hodnotu. v = v 0 =,4. Z 5.89) pak vyplývá zmíněná nepřímá úměrnost. ρ 0 = z v 0 k a = z λ v 0 πa. 9) Je pozoruhodné, že poloměr ρ 0 centrální stopy nezávisí na vzdálenosti z mezi zdrojem a kruhovou překážkou.) Pro konkrétní představu si můžeme z 9) vypočítat, že pro hodnoty z =,5 m, λ = 6,3 0 7 m, a = 0 3 m vychází průměr centrální světlé stopy ρ 0 =, 0 3 m. Není obtížné se přesvědčit, že výraz ) pro vlnovou funkci v bodech osy rotační symetrie lze získat, položíme-li ve 3) nebo 4) v = 0 viz vztahy C.3) a C.33)). Výraz pro vlnovou funkci v bodech hranice geometrického stínu dostaneme z 3) nebo 4), položíme-li u = v. S použitím vztahů C.36) až C.38) vypočteme ψ ψ r ρ= z +z z a = [ ] + J 0 u) expiu) = [ ] expiu) J 0 u) + exp iu). 0) Takže intenzitu a fázi na hranici geometrického stínu charakterizují výrazy Reference Iu, u) = 4 [ ] + J0 sin u u) + J 0 u) cos u, φu, u) = u Arctg J 0 u) + cos u. ) [] Fresnel J. A.: Œuvres complètes d Augustin Fresnel, Tome. H. de Senarmont, É. Verdet, L. Fresnel, eds.) Imprimerie Impériale, Paris 866. [] Young T.: A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts. A new edition, ed. P. Kelland. Taylor and Walton, London 845. [3] Feynman R. P., Leighton R. B., Sands M.: The Feynman Lectures on Physics, Vol. I, p. 37, Vol. III, p.. Addison Wesley Publ. Co., Reading, Mass Český překlad: Feynmanovy přednášky z fyziky I. Fragment, Praha 000, str [4] Laue M. v.: Dějiny fyziky. Orbis, Praha 959, str. 40. [5] Crease R. P.: The most beautiful experiment, < [cit ]. [6] Zeilinger A., Gähler R., Shull C. G., Treimer W., Mampe W.: Single and double slit diffraction of neutrons. Reviews of Modern Physics ), [7] Betz H. D.: An Asymmetry Method for High Precision Alignment with Laser Light. Applied Optics 8 969), [8] Velechovský K., Komrska J.: Využití Fresnelovy difrakce s nulovou intenzitou ve dvou na sebe kolmých směrech k vytyčování přímek. Jemná mechanika a optika ), [9] Komrska J.: Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze. VUTIUM Brno, 00.