1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

Transkript

1 Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom derivací dostali původní funkci f(). Vzhledem k tomu, že funkce f() je ve svém významu derivací funkce F () a vzpomeneme-li si, že derivací konstanty dostaneme vždy nulu, pak je třeba vždy během integrace k funkci F () i přičíst ještě tzv. integrační konstantu C. Celý proces integrace pak značíme: f() d = F () + C Význam integrační konstanty můžeme ilustrovat např. na Obrázku, kde jsou vyobrazeny primitivní funkce F () k funkci f() = sin s různými hodnotami integračních konstant C. Z obrázku je patrné, že derivací primitivní funkce F () s různými integračními konstantami obdržíme vždy totožnou funkci f(). ii Obrázek : Význam primitivní funkce F () s různou integrační konstantou C. Všechny zobrazené funkce F () + C mají stejnou derivaci ve všech svých bodech (např. v bodech 0 a ) a proto jsou primitivními funkcemi jediné funkce f() a platí f() d = F () + C.. Metody výpočtů neurčitých integrálů.. Přímá integrace funkcí Podobně jako derivace elementárních funkcí jsou tabelované některé integrály elementárních funkcí. Uvádíme zde jejich přehled: konst. d = konst. + C i Někdy taktéž nazývanou primitivní funkcí. ii Derivace f() je totiž vlastně směrnicí F () + C v každém jejím bodě.

2 n d = n+ n + + C pro n d = ln + C e d = e + C a d = a ln a + C pro a > 0 sin d = cos + C cos d = sin + C cos sin d = tan + C d = cot + C Ne každá funkce je ale funkcí elementární a velmi často se setkáme s funkcemi, které jsou součtem/rozdílem, součinem nebo podílem více funkcí. Označíme-li f() a g() funkce a F () a G() jejich primitivní funkce a c libovolnou konstantu, pak platí pro součet a rozdíl integrálů, podobně jako u derivací: c f() d = c f() d = c F () + C () (f() ± g()) d = f() d ± g() d = F () ± G() + C () Součin funkcí se integruje speciálními metodami, které zmíníme níže, podobně je tomu u podílu. Pouze ve speciálním případě, kdy je čitatel zlomku, který integrujeme derivací jmenovatele, tedy integrujeme-li podíl typu f () f(), pak platí: f () d = ln f() + C () f() Nyní přistoupíme k několika řešeným příkladům, které využívají k integraci funkcí výše uvedené vztahy. Příklad. Vypočítejme integrál ( ) + + d Řešení. Jedná se o integrál ze součtu několika elementárních funkcí, které lze upravit na mocninný tvar. S využitím vztahu () máme pak: ( ) + + d = d + d + d = d + d + d Tyto integrály již lze integrovat pomocí pravidla n d = n+ n+ + C:

3 d + d + d = Výsledek pak již pouze upravíme na estetický tvar: + 6 Příklad. Vypočítejme integrál C = C = C d Řešení. Výše uvedený integrál je sice podílem funkcí, nicméně, je snadné jej převodem na mocninný tvar a následným dělením převést na rozdíl tabulkových integrálů: 6 + C ( ) d = d = d d = + + +C = + C Příklad. Vypočítejme integrál ( + ) ( + ) d Řešení. Jedná se o integrál ze součinu dvou funkcí. Takový integrál by se ad hoc řešil velmi těžko. Práci si však značně usnadníme roznásobením závorek a úpravou na mocninný tvar: ( +) ( +) d = ( + + +) d = ( +) d = ( +) d Takový integrál již lehce spočítáme jako integrál součtu dvou elementárních funkcí: ( + ) d = d + Příklad. Vypočítejme integrál ( + + d = C = + + C = + + C + cos Řešení. Uvedený integrál vypadá poměrně nepříjemně, vzhledem k odmocnině z trojčlenu v čitateli zlomku. Nicméně, pokud si všimneme, že pod odmocninou máme klasický vzorec pro druhou mocninu dvojčlenu, konkrétně + + = ( + ), je již následná úprava na součet elementárních funkcí přímočará: ( ) + + ( ) ( + + cos d = ) ( + + cos d = ( ) = + + cos d = d + Tyto integrály jsou již tabulkové a je snadné je vypočítat: ) d d + cos d ) + cos d = d + d + cos d = ln + + sin + C = ln + sin + C

4 Příklad. Vypočítejme integrál tan d Řešení. Přestože se jedná o integrál z elementární funkce, není jeho integrace zcela elementární záležitostí. Využijeme však faktu, že funkce tan je definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus. Převedeme tak integrál na podíl dvou funkcí: tan d = sin cos d Na první pohled to nevypadá jako velký pokrok, nicméně, vzpomeneme-li si na derivace elementárních funkcí a vezmeme-li v úvahu platnost vztahu (), můžeme dojít k překvapivě přímočarému řešení. Derivací funkce cos je funkce sin. A pokud je čitatel integrovaného zlomku roven derivaci jmenovatele, pak je integrál jednoduše vypočitatelný dle (). Proto si v čitateli vyrobíme funkci sin a dále integrujeme: sin cos d = Příklad 6. Vypočítejme integrál sin cos + cos d d = ln cos + C Řešení. Integrál je nejprve třeba upravit na takový tvar, abychom mohli využít pravidla pro integrování elementárních goniometrických funkcí. Využijeme vlastnosti cos = cos sin a rovněž sin + cos = a zlomek v integrálu upravíme: + cos d = + cos sin d = cos d Tento integrál je již tabulkový a snadno jej vypočteme: cos d = cos d = tan + C Příklad 7. Vypočítejme integrál e e d Řešení. Jedná se o integrál z podílu funkcí, který by se těžko přímo integroval. Pokusíme se ale o rozklad kvadratického dvojčlenu v čitateli a zlomek tak upravíme: e (e e d = + ) (e ) e d = (e + ) d Tento integrál je již součtem elementárních integrálů: (e + ) d = e d + d = e + + C.. Metoda integrace per partes V případě, že máme vypočítat integrál, který je součinem dvou funkcí, který nelze vhodně upravit na tabulkové integrály uvedené v předchozím tetu, je v mnohých případech výhodně použít metodu integrace per partes.

5 Tato metoda integrace využívá de facto integrované formy vztahu pro derivaci součinu. Pro připomenutí, pro derivaci součinu dvou funkcí u() a v() platí (u() v()) = u () v() + u() v (). Zintegrujeme-li tento vztah, máme z (u() v()) nederivovaný součin u() v() a můžeme psát: u() v() = u () v() d + u() v () d Pro výpočet integrálu ze součinu funkcí tak můžeme odvodit totožné vztahy: u () v() d = u() v() u() v () d u() v () d = u() v() u () v() d () Může se zdát, že se jedná o převod integrálu na jiný integrál. Je tomu tak. V původním integrálu ze součinu dvou funkcí si vždy zvolíme jednu funkci, kterou prohlásíme za derivaci u () (nebo v ()), kterou musíme umět integrovat a druhou v() (nebo u()) kterou musíme umět derivovat. iii Volíme tyto funkce tak, abychom po úpravě obdrželi jednodušší integrál. Jak vhodně tyto funkce volit si ukážeme na následujících příkladech a následně se pokusíme o vyslovení několika pravidel, která by nám mohla pomoci s výpočty integrálů pomocí této metody. Je ještě nutné podotknout, že metoda per partes se při výpočtu při mnoha případech používá i opakovaně. Příklad 8. Vypočítejme integrál e d Řešení. Jedná se o integrál, který ani sebelepší úpravou nemůžeme převést na integrál tabulkový. Jedná se ale evidentně o součin dvou funkcí. Využijeme proto metody integrace per partes. Máme součin dvou funkcí a e. Jednu z nich musíme zvolit jako derivaci a druhou jako funkci nederivovanou. Vzhledem k tomu, že ve vztahu () je na pravé straně integrál z funkcí se zaměněnou derivací, zvolíme v původním integrálu funkce u() a v () tak, aby integrál ze součinu u () v() byl jednodušší. Toho docílíme tak, že jako nederivovanou funkci u() zvolíme funkci, protože její derivace je rovna jedničce a z integrálu na pravé straně tak zmizí. Jako funkci v () zvolíme e, funkce v() na pravé straně () pak bude v() = v () d = e d = e. Celý tento proces zapíšeme takto: u() e v () u() = u d = () = v () = e v() = e = e u() v() u () e v() Vidíme, že se nám původní integrál zjednodušil na prostý součin e a tabulkový integrál z funkce e. Tento výraz už jen zintegrujeme a upravíme: e e d = e e + C d Příklad 9. Vypočítejme integrál ( + ) cos d Řešení. Opět se jedná o integrál, který je součinem funkcí a nelze jej upravit na integrály z elementárních funkcí. Využijeme proto metodu per partes. Jedná se o součet polynomu a goniometrické funkce. Derivací polynomu obdržíme polynom o stupeň nižší. Dvojnásobnou derivací polynomu bychom tak mohli obdržet v upraveném integrálu () pouze goniometrickou funkci. To iii To nebývá problém.

6 znamená dvojnásobné využití metody per partes. Zvolíme si tedy polynom + jako nederivovanou funkci u(), její derivace u () =. Naopak jako derivovanou funkci v () = cos, potom v() = cos d = sin. Celý proces prvního kroku tak můžeme zapsat jako: ( + ) cos }{{ } u() v () u() = d = + v () = cos u () = v() = sin = ( + ) sin u() v() u () sin v() d Na integrál na pravé straně pak ještě jednou uplatníme metodu per partes a tak se zbavíme výrazu před goniometrickou funkcí v integrálu. Zvolíme-li tedy znovu u() =, pak je u () = a podobně zvolíme v () = sin a pak v() = sin d = cos. Můžeme tak psát: ( + ) sin u() sin v () = ( + ) sin ( cos ) u() v() u() = u d = () = v () = sin v() = cos = d u () Tím jsme obdrželi elementární integrál a výsledek již jen upravíme: ( cos ) v() ( ( +) sin ( cos ) ) ( cos ) d = ( +) sin + cos cos d = = ( + ) sin + cos sin + C = ( ) sin + cos + C Abychom nemuseli vždy složitě vymýšlet, kterou funkci během integrace per partes zvolit jako derivovanou a kterou jako nederivovanou, je možné shrnout jednotlivé případy, se kterými se pravděpodobně setkáme, do následující tabulky: iv Tabulka : Volba funkce u() a v () pro různé typy součinů funkcí. Integrovaná funkce u() v () P () e P () e P () sin P () sin P () cos P () cos P () ln ln P () Příklad 0. Vypočítejme integrál ln d Řešení. Jedná se o integrál ze součinu polynomu a přirozeného logaritmu a proto využijeme nápovědy z Tabulky a jako funkci u() zvolíme ln, pak její derivace u () je derivací složené(!) funkce, tedy u () = ln. Za funkci v () zvolíme a tedy v() = d =. Pomocí () tak obdržíme: iv P () je obecně polynom. 6

7 ln u() = ln d = u () = ln v () = v() = = ln ln d = ln Jak je vidět, tak výsledek obsahuje znovu integrál, který je součinem dvou funkcí, z čehož jedna je přirozený logaritmus (tentokráte již ne v mocnině) a polynom. Použijeme tedy ještě jednou metodu per partes se stejnou taktikou jako v prvním kroku: ln ln d = = ln u() = ln u () = v () = v() = = ln ( ln ) d = ln ) (ln d = ln + + C ln d Příklad. Vypočítejme integrál ( + )e d Řešení. Jedná se o integrál ze součinu polynomu a eponenciální funkce. Proto použijeme metodu per partes a to tak, že jako nederivovanou funkci zvolíme u() = + a jako derivovanou v () = e (dle Tabulky ). Dostaneme tak rozvoj: ( + )e u() = d = + u () = v () = e v() = e = ( + )e e d Vidíme, že došlo ke zjednodušení polynomu v integrálu o jeden stupeň. Použijeme tedy ještě jednou metodu per partes a to se stejnou taktikou, kterou již znázorníme jen matematickou symbolikou: ( + )e e u() = u d = () = v () = e v() = e = ( + )e ( e ) e d = = ( + )e e + e d = ( + )e e + e + C = ( + )e + C.. Metoda integrace substitucí Metoda integrace substitucí se s výhodou využívá, má-li funkce, která má být integrována, neelementární argument. Tedy např. v případě funkce f() = e je argument eponenciály z hlediska výpočtu integrálu elementární. Nicméně, již pro funkci f() = e + argument + není z hlediska integrace elementární a je třeba jej nahradit elementárním argumentem novou proměnnou. Postup výpočtu substitucí využívá věty o derivaci složené funkce. Připomeňme, že funkce f(g()) má derivaci (f(g())) = f (g()) g (). Označíme-li primitivní funkci f(g()) jako F (g()), pak můžeme psát (F (g())) = F (g()) g () = f(g()) g (). Integrací této relace obdržíme: f(g()) g () d = F (g()) + C Zavedeme-li za argument funkce f, tedy za g() novou proměnnou t a za g () d analogicky dt, pak dostaneme integrál z elementární funkce z nové proměnné t: 7

8 f(g()) g () d = f(t) dt f(t) dt = F (g()) +C () F (t) Je třeba podotknout, že v novém integrálu f(t) dt se po substituci nesmí vyskytovat žádná původní proměnná, tedy nový integrál musí představovat integrál pouze z funkce obsahující proměnnou t a nikoliv! Postup bude nejlepší ilustrovat na příkladu: Příklad. Vypočítejme integrál sin( π) d Řešení. Vidíme, že v integrálu je vyskytuje znepříjemňující argument π, který nám nedovoluje počítat integrál jako klasický tabulkový. Zvolíme proto tento argument jako novou proměnnou. Tedy položíme g() = π = t. V integrálu () je vidět, že nová integrační proměnná dt se vypočte jako dt = g () d. Derivace g () je g () = ( π) =. Proto vidíme, že dt = d a tedy v původním integrálu můžeme d nahradit dt. Tak původní integrál přejde na elementární integrál z proměnné t: π = t sin( π) d = dt = d dt = ( π) d d = dt = sin t dt = sin t dt To je již integrál z elementární funkce. Je ale třeba po provedení integrace znovu dosadit za t původní proměnnou, tedy provést transformaci t = π. Výsledný integrál je pak: sin t dt = cos t + C = cos( π) + C Příklad. Vypočítejme integrál e Řešení. Snadno nahlédneme, že eponenciální funkce obsahuje z hlediska integrace nepříjemný argument. Budeme se tedy snažit tohoto argumentu zbavit. Provedeme to tak, že zavedeme novou proměnnou t =. V takovém případě bude dt = ( ) d, tedy po úpravě dt = d. Z tohoto výrazu vyjádříme d, což vede k výrazu d = dt. Dosazením do původního integrálu v obdržíme: e d = = t dt = ( ) / d = dt = d d = dt ( e t ) / dt = Všimněme si, prosím, že po vhodné substituci dojde k transformaci veškerých proměnných na novou proměnnou t. Úpravu výrazu, který obsahoval obě proměnné jsme uzavřeli do lomených závorek, vzhledem k tomu, že se nejedná o korektní matematický výraz. Nyní už pokračujeme přímočarou integrací podle t a nahrazením proměnné t zpět výrazem t = : e t dt = et + C = e + C Příklad. Vypočítejme integrál cos sin v Po dosazení uvádíme integrál v uvozovkách, protože není v korektním tvaru jsou v něm jak proměnné, tak proměnné t, což je nepřípustné! d e t dt 8

9 Řešení. Jedná se o integrál z podílu dvou goniometrických funkcí. Ve jmenovateli se však vyskytuje funkce sinus ve čtvrté mocnině, což je neintegrovatelný výraz. Využijeme proto metodu substituce, ve které provedeme transformaci sin = t. V takovém případě nabude integrál po substituci tvaru: cos sin d = sin = t dt = (sin) d = dt = cos d d = cos dt / cos t / cos dt = t dt Tento integrál je již tabulkový a lze jej po úpravě na mocninný tvar snadno integrovat. Nakonec opět provedeme zpět transformaci t = sin na původní proměnnou : t dt = t dt = t + C = t + C = sin + C Příklad. Vypočítejme integrál d + 6 d Řešení. Integrál před výpočtem upravíme tak, že ve jmenovateli integrovaného zlomku upravíme vzorec pro třetí mocninu dvojčlenu + 6 = ( ) a konstantu z čitatele vytkneme před integrál, obdržíme tak: d + 6 d = ( ) d Tento integrál budeme řešit metodou substituce. Ve jmenovateli zlomku, který máme integrovat je třetí mocnina výrazu, proto za vhodnou substituci zvolíme t =. Provedeme-li transformaci proměnných, jak je obvyklé, obdržíme integrál: ( ) d = = t dt = ( ) d dt = d d = dt = / ( t ) / dt = t dt To je již elementární integrál, který upravíme na mocninný tvar a integrujeme. Nakonec provedeme zpětnou transformaci proměnných t = a obdržíme výsledek. t dt = t dt = t + C = t + C = ( ) + C. Příklady k procvičení neurčitého integrálu. Vypočtete následující integrály: (a) (b) (c) ( + ) d + d sin sin cos ] C ] + C d cos + C] 9

10 (d) (e) (f) d 0 d ln 0 ] + d ] 8 + C ln + C ] (g) cot d ln sin + C] (h) + d. Vypočtete následující integrály metodou per partes: ( + ) ] ln + C (a) ( ) sin d sin cos + cos + C] (b) (c) (d) (e) (f) ( ) e d + ln d 6 ln + e ( + ) + C ] ln 8 ] + C sin + cos d ( + ) sin + ( ) cos + C] 0 ln 0 d ln d 0 ] 0 ln C ( ln ) + C ] (g) cos d sin + cos 6 sin 6 cos + C ] (h) ( ) e d e ( + ) + C ]. Vypočtete následující integrály metodou substituce: (a) e d ] e + C 0

11 (b) (c) e 7 e + 7 d sin cos d 7 ln e ] C ] cos + C (d) ( ) sin( ) d cos( ) + C ] (e) (f) (g) d 6 ] ( ) 7 + C 6 ( 7) 0 d e sin cos d ] 77 ( 7) + C e sin + C ] (h) ] + d + + C. Vypočtete následující integrály vhodným postupem: (a) (b) sin( ) d e ( ) d sin( ) ] cos( ) + C e + C ] (c) tan + cot d ln sin ln cos + C] (d) (e) (f) tan d 8 cos 8 d ln d ] + tan + ln cos + C sin(8) + 8 cos(8) + C ] ] 8 ( ln ln ) + C

12 . Určitý integrál Význam určitého integrálu dané funkce f() v intervalu od a do b ilustruje Obrázek. Je zde patrné, že určitým integrálem z funkce f() na intervalu od a do b rozumíme plochu pod grafem této funkce. vi Výpočet určitého integrálu je jednoduchý. Nejprve určíme primitivní funkci F () k funkci f() a určitý integrál na intervalu (a; b) je pak roven rozdílu funkčních hodnot F (b) F (a). Zapsáno rovnicí: b a f() d = F ()] b a = F (b) F (a) (6) Obrázek : Význam určitého integrálu funkce f() od a do b. Spojitost s primitivní funkcí a jejími hodnotami je znázorněna vpravo. Výpočet určitého integrálu tedy provedeme tak, že si nejdříve určíme primitivní funkci F () k zadané funkci f(), do funkce F () si pak dosadíme horní mez b a dolní mez a a tyto funkční hodnoty od sebe odečteme a obdržíme kýžený výsledek určitého integrálu. Pro ilustraci uvedeme několik příkladů. Podmínkou je, že funkce musí být na celém intervalu (a; b) definována! V opačném případě určitý integrál neeistuje. Příklad 6. Vypočítejme určitý integrál ( ) d Řešení. Funkcí, kterou máme integrovat je f() =. Podle pravidel pro integrování, která jsme uvedli výše tuto funkci zintegrujeme. Obdržíme tak F () = ( ) d =. Do této primitivní funkce dosadíme hodnoty horní meze b = a dolní meze a = a podle vztahu (6) dostaneme přímočaře výsledek: vi Je na místě podotknout, že plochu pod osou integrál bere jako zápornou a plochu nad osou jako kladnou.

13 ] ( ( ) ) d = = F ()] b F (b) a Příklad 7. Vypočítejme určitý integrál ( ) + d ( () ) () } {{ } F (a) Řešení. Určíme nejprve primitivní funkci k funkci f() = +. Upravíme si první sčítanec na mocninný tvar a integrujeme. Následně dosadíme integrační meze a určitý integrál vyčíslíme: ( ) + d = ( ) = + ln Příklad 8. Vypočítejme určitý integrál ( ) + ( 7 + ln d = ) = + ln ] + ln Řešení. Jedná se o integrál, který budeme řešit substituční metodou. Položíme t =. Postup je identický s integrací jako u neurčitého integrálu. Výhodou však je, že nemusíme funkci zpět z proměnné t transformovat do, pokud při substituci transformujeme integrační meze (které jsou uvedeny pro proměnnou ) také do proměnné t. V našem případě, jak jsme již řekli, použijeme substituci t =, proto integrační mez přejde na t = = (tedy ) a obdobně 7. Pak můžeme k výpočtu hodnot primitivní funkce použít přímo proměnné t. Substitucí tedy obdržíme (včetně integračních mezí): 7 = = t dt = ( ) d dt = d d = dt 7 = / = 6 = / t dt = t Tento integrál integrujeme a po integraci podle t můžeme přímo dosadit transformované integrační meze: Příklad 9. Vypočítejme určitý integrál π t = ln t ] = (ln ln ) = ln π cos d Řešení. Jedná se o integrál, jehož primitivní funkci F () k funkci f() = cos budeme hledat metodou per partes. Nejprve si touto metodou vypočteme primitivní funkci F (): u() = u F () = f() d = cos d = () = v () = cos v() = sin = = sin sin d = sin + cos

14 Pro určitý integrál ale platí b a f() d = F ()]b a = F (b) F (a) a máme-li zjištěnu primitivní funkci F (), můžeme rovnou do tohoto vztahu vypočtenou primitivní funkci vložit, dosadit integrační meze a počítat: π π cos d = sin + cos ] π π = ( π ( π ) ( π )) sin + cos (π sin(π)+cos(π)) = + π. Příklady k procvičení určitého integrálu. Vypočítejte neurčité integrály vhodnými metodami: (a) (b) (c) (d) (e) e 6 0 d + d ] 9 0 ] e + 00 d 99 + e ee ] + 9 d ] 9 ln ( ) ( ) ( ) d 6]. Vypočítejte neurčité integrály vhodnými metodami: (a) (b) (c) (d) (e) 0 0 e d π 0 0 ] (e ) sin cos d ] sin(π π) d + d ] π 7 d 6 ln ] 9 (6 ] )