Odhad střední chyby výměry parcely Lubomír Soukup Ústav teorie informace a automatizace Akademie věd České republiky Pod vodárenskou věží 4 18 08 Praha 8 tel: 66 05 551 e mail: soukup@utia.cas.cz 1 Výpočet obsahu mnohoúhelníka Je dána parcela tvaru mnohoúhelníka. Vrcholy tohoto mnohoúhelníka jsou dány kartézskými souřadnicemi X i, Y i. Obsah P tohoto mnohoúhelníka výměru dané parcely lze určit pomocí l Huillierova vzorce viz např. [], kap. 4.1..: kde P 1 n X i Y i1 X i1 Y i, 1 i1 X i, Y i... souřadnice i-tého vrcholu mnohoúhelníka, i {0, 1,..., n1} při vzestupném číslování ve směru orientace souřadnicových os, tj. tak, aby při obcházení parcely ve směru číslování vrcholů ležela parcela stále po levé ruce pro matematický souřadnicový systém, n... počet všech vrcholů mnohoúhelníka. Přitom pro číslování bodů platí konvence: X 0 X n, Y 0 Y n, X 1 X n1, Y 1 Y n1. Formulace problému Je třeba odhadnout střední chybu obsahu 1 mnohoúhelníka v závislosti na poloze a přesnosti jeho vrcholů. Přitom se předpokládá, že souřadnice X i, Y i vrcholů mnohoúhelníka jsou nezávislé náhodné veličiny s konečným rozptylem. 1
Dáno: souřadnice ˆx i, ŷ i vrcholů mnohoúhelníka, které jsou středními hodnotami náhodných veličin X i, Y i, i {1,..., n}, střední chyby X,i, Y,i souřadnic X i, Y i, i {1,..., n}. Hledá se: Střední chyba P obsahu P daného vzorcem 1. 3 Odvození střední chyby obsahu mnohoúhelníka Souřadnice X i, Y i vrcholů mnohoúhelníka jsou náhodné veličiny, a proto i jeho obsah P je náhodná veličina. Střední chyba obecné náhodné veličiny U je definována vztahem U : varu. 3 Variance náhodné veličiny U je definována pomocí operátoru střední hodnoty... E viz. např. [1], str. 14. varu : EU EU EU EU. 4 Podobně je definován obecnější pojem, kovariance dvou náhodných veličin U, V viz. např. [1], str. 7: covu, V : EU EUV EV EUV EUEV. 5 Z definic 4, 5 je vidět, že platí Nejdříve určíme varianci dvojnásobku obsahu P varu covu, U. 6 Q : P. S využitím definice 4 a linearity operátoru E tudíž platí: viz též např. [1], str. 14. Pak bude varq 4 varp P 1 varq 7
3.1 Variance dvojnásobku obsahu mnohoúhelníka Vhodný vzorec pro výpočet dvojnásobku obsahu mnohoúhelníka dostaneme úpravou 1. kde Q P S m,i, 8 z n mod, S m,i : 1 a W a,i W 1 a,i1, a : i 1 m mod, 9 W 0,j : X j mod n, W 1,j : Y j mod n. Poslední dva vztahy zobecňují konvenci. Infixový operátor mod představuje zbytek po dělení levého operandu pravým operandem, tj. Potom varq x mod y : x y max{ k Z k y x }. var S m,i vars m,i vars m,i ji1 covs m,i, S m,i1 covs m,i, S m,j. 10 Při předchozích úpravách jsme postupně použili vztah 6 spolu s linearitou operátoru E příp. přímo vzorec 17 na str. 9 v [1] a rovnosti covs m,i, S m,j 0 pro j > i 1, která je přímým důsledkem definice 9. Pro pokračování odvozování 10 je nutné rozepsat výrazy vars m,i, covs m,i, S m,i1. K tomu nám poslouží vzorce 3
vart U vart varu vart EU varuet, 11 covt U, UV ET EV varu, 1 které lze snadno odvodit z definic 4, 5 s využitím linearity operátoru E. Aplikujeme-li nyní vzorce 11, 1 na součiny T U S m,i 1 m W m,i W 1 m,i1, UV S 1 m,i1 1 m W 1 m,i1 W m,i a zavedeme-li úspornější označení dostáváme další pokračování odvození 10: a,i : varw a,i, 13 ŵ a,i : EW a,i, 14 varq m,i 1 m,i1 m,iŵ 1 m,i1 1 m,i1ŵ m,i 1 m,i1ŵm,iŵm,i m,i 1 m,i1 m,iŵ 1 m,i1 1 m,i1 ŵ m,i ŵ m,i ŵ m,i m,i 1 m,i1 m,iŵ 1 m,i1 m,i ŵ 1 m,i 1 ŵ 1 m,i 1 ŵ 1 m,i1 m,i 1 m,i1 m,i ŵ 1 m,i 1 ŵ 1 m,i 1 ŵ 1 m,i1 ŵ 1 m,i1 4
m,i 1 m,i1 m,i ŵ 1 m,i 1 ŵ 1 m,i1 n X,i Y,i 1 Y,i1 Y,i x i1 x i 1 X,i y i1 y i 1. i1 3. Střední chyba obsahu mnohoúhelníka Nyní již můžeme díky 7 rovnou psát výsledný vzorec pro střední chybu obsahu mnohoúhelníka. P 1 n X,i Y,i 1 Y,i1 Y,i ˆx i1 ˆx i 1 X,i ŷ i1 ŷ i 1 i1 15 Předpokládáme-li, že přesnost určení polohy všech vrcholů mnohoúhelníka je stejná a nezávislá na poloze souřadnicových os, vzorec 15 se zjednoduší na konečný, prakticky použitelný tvar 17. V něm je symbol XY střední souřadnicovou chybou, neboť předpokládáme P XY XY : X,i Y,i pro i {1,..., n}. 16 n XY přičemž pro číslování bodů platí vztahy: n ˆx i1 ˆx i 1 ŷ i1 ŷ i 1, 17 i1 ˆx 0 ˆx n, ŷ 0 ŷ n, ˆx 1 ˆx n1, ŷ 1 ŷ n1. 18 4 Závěr Za předpokladu, že souřadnice ˆx i, ŷ i lomových bodů parcely vrcholů mnohoúhelníka byly určeny stejně přesně viz 16 a vzájemně nezávisle, platí pro střední chybu výměry parcely P vzorec 17. 5
Použitá literatura [1] Jiří Anděl. Matematická statistika. SNTL, Praha, 1978. [] Hans-Jochen Bartsch. Matematické vzorce. SNTL, Praha, 1987. 6