0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UIVA ZE SŠ as e studiu apitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této apitoly budete umt použít záladní pojmy ombinatoriy vztahy pro výpoet ombinatoricých úloh - 6 -
0.1 Kombinatoria co to je? Kombinatoria je vstupní branou do teorie pravdpodobnosti. Zabývá se rznými zpsoby výbru prv z daného souboru. Už jste si vzpomnli? Jde pece o souást stedošolsé matematiy. Ale protože opaování je matou moudrosti, jdeme na to... Nejdíve si ujasnme s jaými výbry se v praxi mžeme setat. Prvním ritériem je uspoádanost výbru. A. Uspoádaný výbr ( Variace) je taový výbr, pi nmž záleží na poadí vybraných prv. P.: Koli trojciferných ísel lze sestavit z ísel 1; 3; 8; 9? íslo 139 a íslo 391 považujeme za dv rzné variace výbru. B. Neúspoádaný výbr ( Kombinace) je oproti tomu výbrem, pi terém na poadí vybraných prv nezáleží. P.: Koli je možností ja vsadit Sportu? 7 ísel ze 49 nap. ombinace {1;2;3;4;5;6;7} je totožná s ombinací {2;3;1;6;7;4;5} nezáleží na tom v jaém poadí jsme ísla zašrtali. Druhým ritériem je sutenost, zda se prvy po výbru do pvodní množiny vracejí i nioliv. Podle toho se výbry rozlišují na: A. Výbry s opaováním tj. vybrané prvy se vracejí do pvodní množiny P.: Z množiny {1;3;8;9} lze mimo jiné vytvoit trojíslí {131; 188; 888; 119; 139...} B. Výbry bez opaování tj. vybrané prvy se do pvodní množiny nevracejí Matematicy je jednodušší popis výbr s opaováním, avša v praxi se astji setáte s výbry bez opaování (test není možno opaovat, nap. tažnost truby mžete testovat pouze jednou, pro další test je zapotebí použít novou trubu) 0.2 Uspoádané výbry (variace) Znovu si pipomeme, že u variací záleží na poadí vybíraných prv. 0.2.1 Variace -té tídy bez opaování Nech M je libovolná množina n prv. Každá uspoádaná -tice (supina prv) z navzájem rzných prv množiny M se nazývá variace -té tídy z množiny M bez opaování a znaíme ji V (n) varianí íslo. - 7 -
Poet variací V (n) se uruje podle vztahu: V ( n) n.( n 1).( n 2)..( n + 1) ( n )! ešený pílad: Z dvacetilenného zastupitelstva (8 z ODS, 6 z SSD, 4 z KDU-SL, 2 ze SZ) se musí zvolit ptilenné pedsednictvo (pedseda, místopedseda, 3 lenové). Kolia rznými zpsoby lze pedsednictvo sestavit: a) nejsou-li na výbr funcí žádná další omezení b) je-li stanoveno, že pedseda a místopedseda musí být ze dvou nejsilnjších stran ešení: a) Nejsou-li stanovena žádná omezení pro výbr pedsednictva, jde o typicý pílad variací páté tídy bez opaování: 20! 20! V5 (20) 20.19.18.17.16 1860480 (20 5)! 15! V tomto pípad tedy existuje 1860480 možností ja sestavit pedsednictvo zastupitelstva. b) V tomto pípad je stanoveno, že pedseda a místopedseda musí být ze dvou nejsilnjších stran (není eeno, že pedseda musí být z nejsilnjší strany). Možností ja zvolit pedsedu a místopedsedu je tedy: 8.6 + 6.8 96 Zbylá ti místa v pedsednictvu mohou obsadit libovolní ti lidé ze zbývajících osmnácti (bez ohledu na stranicou píslušnost). Taových možností je: 18! 18! V3 (18) 18.17.16 4896 (18 3)! 15! Celových možností ja v pípad taovýchto požadav sestavit pedsednictvo je 470016 ( 96. 4896). - 8 -
Výlad: Výše uvedenému postupu se íá ombinatoricé pravidlo o souinu. Je-li výbr tvoen m postupnými nezávislými roy s n 1, n 2... n m možnostmi, pa poet všech variant výbru je dán souinem hodnot n 1. n 2..... n m. V pípad, že veliost výbru je totožná s rozsahem množiny M (n) používáme pro tento typ variací název permutace. U permutací ta nejde v podstat o výbr, nýbrž o rzná uspoádání téže množiny (pesmyy). 0.2.2 Permutace bez opaování Permutace množiny M (bez opaování) jsou všechna navzájem rzná uspoádání množiny M. Poet permutací n prvové množiny stanovíme na zálad vztahu: P( n) Vn ( n) ( n n)! ešený pílad: Vrame se opt volb pedsednictva zastupitelstva. Pedpoládejme vša, že pedsednictvo je už zvoleno a je pouze teba rozdlit si funce. Koli je možností, ja si funce rozdlit? ešení: Je zejmé, že jde o permutace (pesmyy) 5-ti lenné množiny: P ( 5) 5! 5.4.3.2.1 120 Pedsednictvo si tedy mže rozdlit funce 120-ti zpsoby. Výlad: Definujme si opt M jao libovolnou n-prvovou množinu. - 9 -
0.2.3 Variace -té tídy s opaováním ta nazýváme aždou uspoádanou -tici prv z množiny M, v níž se jednotlivé prvy mohou opaovat. Poet variací -té tídy s opaováním uruje výraz V (n) V ( n) n, ešený pílad: Urete oli je možností ja sestavit 6-ti místné telefonní íslo. ešení: Zvolme si množinu M. M{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Potebujeme obsadit 6 míst. Je zejmé, že existuje celem možností ja uspoádat 10 íslic do šestice., V 6 ( 10) 10 6 V tuto chvíli si musíme uvdomit, že telefonní íslo nemže zaínat 0, proto musíme tyto možnosti od celového potu odeíst. 0 V 5(10) V 5( 10) 10 5 Mezi všemi 6-ti místnými ísly je 10 5 ísel zaínajících 0. Existuje tedy 990 000 (10 6 10 5 ) možností ja vytvoit 6-ti místné telefonní íslo. - 10 -
Výlad: 0.2.4 Permutace s opaováním Mjme uspoádanou n-tici rzných prv, v níž se jednotlivé prvy n i (i 1, 2,..., ) rát opaují. Permutace s opaováním vzniají rzným uspoádáním pvodní n-tice. Platí: ni i 1 n Poet permutací s opaováním je dán vztahem: ' P( n) Pn 1, n2,, n P ( n ). P( n ).. P( n ) n!. n!.. n! 1 2 1 2 ešený pílad: Na plaátovací plochu o apacit 10 míst se mají vylepit relamní plaáty 4 spoleností. Spolenost ARMA si pedplatila 3 plaáty, spolenost BRUNO 2 plaáty, spolenost CEKO 1 plaát a spolenost DINA 4 plaáty. Urete olia rznými zpsoby lze ploch porýt. ešení: Pedpoládáme-li, že aždá spolenost dodala pouze jediný druh plaátu, pa jednotlivé varianty polepení tvoí permutace s opaováním: 10! 10.9.8.7.6.5 3!.2!.1!.4! 3.2.2 ' 43,2,1,4 Plaátovací plochu lze polepit 12600 rznými zpsoby. P 12600 Výlad: 0.3 Neuspoádané výbry (ombinace) Kombinace se používají v pípadech, dy se ze supiny prv vybírá menší podsupina, jejíž prvy nemají specificou roli, tj. jsou vzájemn zamnitelné (nezáleží na poadí vybraných prv). - 11 -
Píladem taovéto podsupiny je závodní družstvo mladších žá pro bh na 1500 metr (reprezentujících jistou ZŠ). Definujme si znovu M jao libovolnou n prvovou množinu. 0.3.1 Kombinace -té tídy bez opaování pa nazvme aždou prvovou podmnožinu sestavenou z navzájem rzných prv množiny M. Poet rzných ombinací C (n) se urí na zálad vzorce: Hodnota C (n) se nazývá ombinaní íslo. C n ( n) ( n )!.! ešený pílad: Ve tvrtém roníu ZŠ studuje 30 chlapc a 50 dvat. Pro reprezentaci roníu v lehé atletice je teba sestavit smíšené 10-ti lenné družstvo (5 chlapc, 5 díve). Koli je možností ja taovéto družstvo sestavit? ešení: Pro výpoet použijeme ombinatoricé pravidlo o souinu: Celový poet možností ja sestavit družstvo (n) je dán souinem potu možností ja vybrat 5 chlapc ze 30-ti (n 1 ) a 5 díve z 50-ti (n 2 ). Poet možností ja vybrat 5 chlapc ze 30-ti je zejm: (30) 30 30! 30.29.28.27.26 n C5 5 (30 5)!.5! 5.4.3.2.1 1 Poet možností ja vybrat 5 díve z 50-ti je zejm 142506 50 50! 50.49.48.47.46 n C5(50) 5 (50 5)!.5! 5.4.3.2.1 2 A celový poet možností ja sestavit družstvo je tedy: 2118760 n n n 142506.2118760 301.936012560, tj. tém 302 miliard. 1. 2-12 -
Výlad: 0.3.2 Kombinace -té tídy s opaováním nazvme aždou -lennou supinu sestavenou z prv množiny M ta, že se prvy ve supin mohou opaovat a pitom nezáleží na jejich poadí. Poet ombinací -té tídy s opaováním je dán vztahem: n + 1 ( n + 1)! C ( n) C ( n + 1) ( n 1)!.! ešený pílad: Kvalita výrobu se rozlišuje temi stupni jaosti: A, B, C. a) Urete oli rzných výsled mže mít výstupní ontrola výroby, testuje-li se valita 10-ti náhodn vybraných vzor. b) Koli rzných výsled nebude obsahovat ani jeden výrobe vality C? ešení: a) Testovaný vzore je 10-ti prvová supina složená z výrob tí typu jaosti. Poet rzných výsled ontroly je tedy dán vztahem: 3 + 10 1 (12)! 12.11 C (3) 10 (12 10)!.10! 2.1 10 Existuje 66 rzných výsled ontroly vality 10-ti výrob. 66 b) Chceme-li zjistit, oli výbr 10-ti výrob neobsahuje výrobe vality C, musíme omezit poet povolených tíd ve vzoru na 2 (A, B). 2 + 10 1 (11)! 11 C (2) 10 (2 1)!.10! 1 10 11 V 11-ti rzných výsledcích ontroly vality nenajdeme výrobe vality C. - 13 -
Shrnutí: Uspoádané výbry Neuspoádané výbry Bez opaování S opaováním Bez opaování S opaováním Variace bez V ( n) n.( n 1).( n 2)..( n + 1) ( n )! opaování Permutace bez P( n) Vn ( n) ( n n)! opaování, Variace s V ( n) n opaováním Permutace s ' P( n) Pn 1, n2,, n P opaováním ( n1 ). P( n2 ).. P( n ) n1!. n2!.. Kombinace bez n C ( n) opaování ( n )!.! Kombinace s n + 1 ( n + 1)! C ( n) C ( n + 1) opaováním ( n 1)!.! Kombinatoricé pravidlo o souinu Je-li výbr tvoen m postupnými nezávislými roy s n 1, n 2... n m možnostmi, pa poet všech variant výbru je dán souinem hodnot n 1. n 2..... n m. - 14 -
Otázy 1. Co je to ombinatoria? 2. Jaá ritéria rozlišení výbru v ombinatorice znáte? 3. Definujte: a) variace bez opaování b) variace s opaováním c) permutace bez opaování d) permutace s opaováním e) ombinace bez opaování f) ombinace s opaováním - 15 -
Úlohy ešení Z olia prv lze vytvoit 90 variací druhé tídy (bez opaování)? 2. Z olia prv lze vytvoit 55 ombinací druhé tídy (bez opaování)? Zmenší-li se poet prv o dva, zmenší se poet permutací (bez opaování) tyicetdvarát. Urete poet prv. Z olia prv lze vytvoit padesátrát více variací tetí tídy (bez opaování) než variací druhé tídy (bez opaování)? V prodejn si mžete vybrat ze sedmi druh pohlednic. Kolia zpsoby lze oupit: a) 10 pohlednic, b) 5 pohlednic, c) 5 rzných pohlednic V nihupectví prodávají 10 titul nižních novine. Kolia zpsoby lze oupit 4 nižní noviny, 5 rzných nižních novine? 7. Na hoejovém turnaji, terého se úastní 8 družstev, sehraje aždý tým s ostatními práv 1 utání. Koli zápas bude celem sehráno? 8. Z 5 bílých a 4 ervených ulie tvoíme trojice ta, aby v aždé trojici byly vždy 2 bílé a 1 ervená ulia. Koli trojic splujících tuto podmíny lze vytvoit? 9. Hoejový tým odjel na OH s 23 hrái, a to s 12 útoníy, 8 obránci a 3 branái. Koli rzných sestav mže trenér teoreticy vytvoit? 10. Kolia pímami lze spojit 7 bod v rovin, jestliže: a) žádné ti z nich neleží v pímce, b) ti z nich leží v jedné pímce? 11. Koli ružnic je ureno 10 body v rovin, jestliže žádné ti z nich neleží na pímce a žádné tyi z nich neleží na ružnici? Koli rzných hod mžeme provést a) dvmi, temi rznobarevnými ostami? 13. Koli rzných znae teoreticy existuje v Morseov abeced, sestavují-li se tey a áry ve supiny po jedné až pti? - 16 -
14. Koli prv obsahuje množina všech pticiferných pirozených ísel? 15. Deset pátel si vzájemn poslalo pohlednice z prázdnin. Koli pohlednic celem rozeslali? 16. Kolirát více je variací -té tídy z n prv než ombinací -té tídy z tchto prv (bez opaování)? 17. V pln obsazené lavici sedí 6 žá a, b, c, d, e, f. a) Kolia zpsoby je lze pesadit? b) Kolia zpsoby je lze pesadit ta, aby žáci a, b sedli vedle sebe? c) Kolia zpsoby je lze pesadit ta, aby žá c sedl na raji? d) Kolia zpsoby je lze pesadit ta, aby žá c sedl na raji a žáci a, b sedli vedle sebe? 18. Student má v nihovn 4 rzné uebnice pružnosti, 3 rzné uebnice matematiy a 2 rzné uebnice anglitiny. Kolia zpsoby je lze seadit, mají-li zstat uebnice jednotlivých obor vedle sebe? Kolia zpsoby lze rozdlit 8 úastní finále v bhu na 100 m do 8 drah? 20. Koli rzných permutací lze vytvoit použitím všech písmen slova a) statistia, b) matematia? 21. eta vojá má vyslat na stráž 4 muže. Koli muž má eta, je-li možno úol splnit 210 zpsoby? 22. Koli úhlopíe má onvexní n-úhelní? 23. V zásobníu je 7 ostrých a 3 slepé náboje. Urete, olia zpsoby lze namátou ze zásobníu vyjmout 5 náboj, z nichž alespo 3 jsou ostré. 24. Kolia zpsoby je možno na tvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole ta, aby všechna ti pole nemla stejnou barvu? 25. Kolia zpsoby je možno na šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole ta, aby všechna neležela v jednom sloupci? - 17 -
ešení: 1. n 10 2. n 11 3. n 7 4. n 52 5. a) 8 008 možností b) 462 možností c) 21 možností 6. a) 210 možností b) 252 možností 7. 28 zápas 8. 40 možností 9. 18 480 možností 10. a) 21 pímami b) 19 pímami 11. 120 ružnic 12. a) 36 rzných hod b) 216 rzných hod 13. 62 rzných znae 14. 90 000 ísel 15. 90 pohled 16. Variací je! rát více než ombinací 17. a) 720 možností b) 240 možností c) 240 možností d) 24 možností 18. 1728 zpsob 19. 40 320 zpsob - 18 -
20. a) 75 600 pesmye b) 151 200 pesmye 21. 10 vojá 22. n ( n 3) úhlopíe 2 23. 231 možností 24. 31 744 možností 25. 41 216 možností - 19 -