Aplikace multifraktální geometrie na finančních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská ČVUT, Praha 1. 9. 2011
Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie
Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie
Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie
Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie
Úvod náhodné procesy - důležitá součást modelování nejrůznějších problémů v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownův pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobře modelovat chování komplexních systémů naším cílem je nalézt zobecnění Brownova pohybu, které lépe odpovídají realitě společné vlastnosti na první pohled různých procesů - (multi)-fraktální geometrie
Konkrétní příklad - finanční trhy lem [2008 01 02/2008 12 31] Last 0.03 60 50 40 30 20 10 0 400 Volume (millions): 6,557,000 300 200 100 0 20 15 Volatility() : 0.482 10 5 0 I 02 2008 III 03 2008 V 01 2008 VII 01 2008 IX 02 2008 XI 03 2008 XII 31 2008
Konkrétní příklad vývoj akcií Lehman brothers - prudký pokles před začátkem finanční krize v modelu s náhodnou procházkou krajně nepravděpodobné mnohonásobně překonána směrodatná odchylka modelu potřeba jiných procesů - modelování extrémních situací
Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení
Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení
Brownův pohyb - Definice klasická náhodná procházka: p - pravděpodobnost kroku doprava q - pravděpodobnost kroku doleva n - počet kroků po n krocích je pravděpodobnost chodce na pozici m: p(m, n) = n! p n+m ( n+m n m 2 )!( 2 )! 2 (1 p) n m 2 limita pro n : podle Centrální limitní věty dostáváme Gaussovo rozdělení
Náhodná procházka pro n=1000
Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!
Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!
Wienerův proces - spojitá náhodná procházka Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veličin parametrizována parametrem t (často čas) stochastický proces W (t) se nazývá Wienerův, právě když: 1 W (0) = 0 skoro jistě, 2 funkce t W (t) je skoro jistě spojitá, 3 pro všechna t, s: W (t) W (s) N(0, t s ) 4 W (t) má nezávislé přírůstky na t Wienerův proces není skoro nikde diferencovatelný!
ukázka Wienerova procesu
Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení
Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení
Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení
Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení
Lévyho rozdělení - definice stabilní rozdělení - takové že: p(a 1 x + b 1 ) p(a 2 x + b 2 ) = p(ax + b) Věta: stabilní rozdělení jsou limitní rozdělení nekonečných sum nezávislých náhodných proměnných obecný tvar stabilního rozdělení ve Fourierově obraze (Lévy, Kchintchin): ln L αβ (k) = ick γ k α (1 + iβsgn(k)ω(k, α)) kde: 0 < α 2, 1 β 1, γ 0, c R, { tan(πα/2) if α 1 ω(k, α) = 2 ln k if α = 1. π Pro x : L α (x) 1 x 1+α pro α < 2 je rozptyl nekonečný - třída α-stabilních Lévyho rozdělení
Lévyho rozdělení
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se vnitřní strukturu, která zůstává i při změně měřítka neformální definice: fraktál = soběpodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel fraktální dimenze - zobecnění topologické dimenze i na jiné objekty než variety možný způsob výpočtu dimenze: N δ (F) - minimální počet koulí o poloměru δ, které pokryjí fraktál F pro variety s dimenzí n: N δ (F ) cδ n Mřížková (Box counting) dimenze: dim B F = lim δ 0 ln N δ (F) ln 1 δ formální definice fraktálu: fraktální dimenze je větší než topologická
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v různých místech objektu Zavádí se na F pomocí nějaké dané míry µ, přičemž µ(f) = 1, U i - minimální pokrytí F koulemi o poloměru δ. N δ,α (F) = #{U i µ(u i ) δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: f (α) = lim δ 0 lim ɛ 0 log(n δ,α+ɛ (F) N δ,α ɛ (F)) log δ multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α 0, pro které f (α 0 ) = 0 platí, že f (α 0 ) = dim B (F )
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wienerův proces lze zapsat jako t 1/2 W, kde W N(0, 1). Pak t 1/2 1 W + t 1/2 2 W = d (t 1 + t 2 ) 1/2 W kritérium striktní α-stability: t 1/α 1 Y + t 1/α 2 Y d = (t 1 + t 2 ) 1/α Y clévyho α-stabilní proces: 1 L α (0) = 0 skoro jistě 2 L α (t) má nezávislé přírůstky na t 3 L α (t) je striktně α-stabilní proces
Wienerův proces - ukázka 400 300 200 100 100 100 200 300 400
Lévyho proces - ukázka 300 200 100 100 100 200 300 100 200 300
Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }
Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }
Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }
Fraktální dimenze Lévyho procesů reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru R n (n 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru R n (n 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t W (t) má dimenzi 3 2 graf náhodné funkce t L α (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 1 α }
Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = 1 2 - Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem
Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = 1 2 - Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem
Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = 1 2 - Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem
Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = 1 2 - Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem
Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = 1 2 - Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem
Frakční Brownův pohyb proces W H (t) se nazývá frakční brownův pohyb (fbm), když: 1 W H (0) = 0 s.j., 2 W H (t) má nezávislé přírůstky na t 3 W H (t) W H (s) N(0, t s 2H ) H se nazývá Hurstův exponent Pro H = 1 2 - Wienerův proces korelace není nula: E(W H (t)w H (s)) = 1 [ 2 t 2H + s 2H t s 2H] fbm vnáší do náhodné procházky "pamět " graf náhodné funkce t W H (t) má dimenzi 2 H -analog s Lévyho procesem
ukázka fbm 60 50 40 30 20 10 60 50 40 30 20 10 10 60 50 40 30 20 10 500 1000 1500 2000 10 60 50 40 30 20 10 500 1000 1500 2000 10 500 1000 1500 2000 10 500 1000 1500 2000 fbm pro H = 0, 3; 0, 5; 0, 6 a 0, 7
Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)
Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...)
Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na čase
Reálné chování finančních trhů Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace Pamět odlišné chování v různých obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesů s parametry závislými na čase Příklad:vývoj indexu S&P 500 v letech 1985-2010
2.0 1.9 1.8 1.7 index S&P 500 denní výnosy 0.8 0.7 0.6 1.6 1.5 0.5 0.4 1985 1990 1995 2000 2005 2010 α parametr 1990 1995 2000 2005 2010 Hurstův exponent
Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů
Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů
Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů
Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů
Generování procesů s proměnným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) volatilita jako náhodná veličina s daným rozdělením (superstatistika) čas jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader s time"a "clock time" velké množství obchodů se uskuteční hned po otevření burzy a před koncem Náhlé ztráty způsobují velké výprodeje (černé dny na burze..) Objem se velmi různí generování multifraktálního času pomocí brownovských vzorů
Wienerovský fraktální vzor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.Iniciátor
Wienerovský fraktální vzor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2.Generátor t = x 2 x = { 2 3, 1 3, 2 3 }, t = { 4 9, 1 9, 4 9 }
Wienerovský fraktální vzor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 3.Rekurzivní iterování
Wienerovský fraktální vzor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4.Fraktální struktura
Multifraktální vzor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 jiný generátor, náhodná volba mezi generátory při každé iteraci t = x H(t)
Multifraktální vzor 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Multifraktální vzor
Čas jako multifraktál 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Wienerův vzor generuje čas na trzích Multifraktální vzor generuje čas mimo trhy posunutí příslušných bodů v čase generuje jejich vzájemnou závislost
Čas jako multifraktál 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 rozdíl časů 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 závislost časů
Procesy generované multifraktálními vzory Wienerův proces 1.025 multifraktální proces 1.005 1.020 1.000 1.015 1.010 0.995 1.005 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.000 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 40 2 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 20 2 40 4 Můžeme generovat procesy z pohledu tržního času a pak je transformovat do běžného času 60
Procesy generované multifraktálními vzory 0.7 0.6 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Hurstův exponent
Procesy generované multifraktálními vzory 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 Multifraktální spektrum
Závěr Brownovský pohyb je jednoduchý proces, ne vždy dobře popisuje složité systémy lepší popis - Lévyho proces, frakční Brownův pohyb... společné vlastnosti různých procesů - fraktální geometrie Multifraktální procesy - jednoduché modelování složitých procesů
Kenneth Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, Inc., 1990. Benoit B. Mandelbrot. Self-affine fractals and fractal dimension. Physica Scripta, 32:257 260, 1985. Benoit B. Mandelbrot. Fractal financial fluctuations; do the threaten sustainability? In Science for Survival and Sustainable Development. Pontificia Academia Scientiarum, 1999. Rosario N. Mantegna and H. Eugene Stanley. An Introduction to Econophysics. CUP, Cambridge, 2000. Wolfgang Paul and Jörg Baschangel. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, Berlin, 1999. Děkuji za pozornost.