Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK Určení prostorových posunů stavebního objektu Zadání : Zjistěte posun bodu P do P, umístěného na horní terase Stavební fakulty. Základna je dána dvěma body A, B (obr. 1), které jsou umístěny na chodníku u Chemicko-technologické fakulty. Obrazec ABP je zhruba rovnoramenný trojúhelník (10, 10, 70 m). Předpokládaná velikost posunů je p 0 mm. Mezní odchylka posunu δ Mp 4.0 mm, δ Mh.0 mm. Na obr. 1 je zobrazena situace A B +Y α β α β A, B body pozorovací P, P - body pozorované H bod kontrolní (výškový) p posun bodu P H γ p γ P P +X Obr. 1 Postup měření : Délky stran d a, d b jsou přibližně 10 m, délka základny z je přibližně 70 m. Bod H je zajišťovací výškový bod.na bodech A, B, a P, P se měří vrcholové vodorovné úhly (vnitřní) a zenitové úhly ve třech skupinách. Stanoviska A, B jsou po celou dobu měření stabilní. Stanoviska P a P jsou stabilní v příslušné etapě. Měří se současně třemi teodolity, jeden je umístěn na střeše, zbývající na chodníku (základna AB obr. 1). Cílové body na teodolitech jsou signalizovány kužely upevněnými na nosičích Theo 010B. Současně se měří úhly α, β, a γ v základní etapě a úhly α 1
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008, β, a γ v i-té etapě. Protože záměra mezi základnou AB a pozorovaným bodem P (P ) je poměrně strmá, zavádí se oprava z nesvislosti točné osy alhidády (oprava z libely). Čtou se oba konce bubliny trubicové libely a vypočte se oprava o l. n f o l. ( li pi ).cot ζ (1) 4n i 1 kde f je citlivost libely pro Theo 010 B je 6 mgon, n je počet skupin, ζ je zenitový úhel v gonech, l,p je čtení levého a pravého konce bubliny. Vybočení konce bubliny vně velkých rysek má znaménko +, dovnitř -. Současně s vodorovnými směry se čtou zenitové úhly, které se měří na hroty kuželů. Proto se musí určit ještě převýšení mezi točnou osou dalekohledu a špičkou kuželu. Zenitové úhly se opravují o zakřivení Země o ζ d. ρ d R 00 kde d je délka v metrech, o ζ je oprava zenitového úhlu v mgon. Na začátku a konci základní a i-té etapy se měří zenitové úhly na kontrolní (výškový) bod H v jedné skupině (v obou polohách dalekohledu). Převýšení mezi točnou osou dalekohledu a špičkou kuželu se určuje současně pro všechny tři soupravy. Teodolity se postaví tak, aby tvořily zhruba rovnostranný trojúhelník a horizonty přístrojů byly zhruba stejně vysoko. Potom se měří vždy mezi dvěma teodolity, které se na sebe vzájemně zacílí (na kolimátor). Změří se délka mezi červenými tečkami na nosnících, které jsou v točné ose dalekohledu. Na tyto body a hroty kuželů se určí zenitové úhly. Z vodorovné vzdálenosti mezi sousedními body točné osy dalekohledu a zenitových úhlů na tyto body se vypočtou x převýšení. Z těchto převýšení (s vyrovnáním výškového pořadu) se vypočtou relativní výšky všech tří bodů. Z těchto bodů se vypočte x relativní výška hrotů kuželů a dále výška vlastních kuželů. Výškový rozdíl mezi body A, B je určen v příznivějších podmínkách a v dvojnásobném počtu. Proto se považuje za relativně bezchybný a výška bodu P (P ) se vyrovná průměrem z hodnot z bodů A a B.
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 Vypočtou se trojúhelníkové uzávěry a odchylka se vyrovná na každý úhel. Protínáním vpřed se vypočtou souřadnice bodů P a P. Souřadnicová soustava se volí podle náčrtu situace. Z pravoúhlých souřadnic P a P se vypočtou polární souřadnice posunu tj. směr a velikost, které se porovnají s hodnotou určenou milimetrovým měřítkem přímým měřením na přípravku. Výškový posun, tj. rozdíl výšek horizontu přístroje v základní (P) a i-té etapě (P ) se porovná s výškovým rozdílem zjištěným při zaměření kontrolního (výškového) bodu H v základní a i-té etapě. Rozbory přesnosti : Přesnost měřených veličin : platí Jestliže je vodorovný úhel měřen ve dvou polohách, pak pro THEO 010 B 0,7 mgon. () Jelikož tyto úhly budou v měřeném trojúhelníku vyrovnány, vypočte se směrodatná odchylka vyrovnaného úhlu ν. 0,57mgon 3. (3) Směrodatná odchylka zenitového úhlu ve dvou polohách je 0,7mgon ζ 0,5mgon. (4) Měření posunů je relativní (vztažené k základní etapě), postačí tedy určit délku základny s poměrně malou přesností. Pro délku základny z 70 m, předpokládaný posun p 0 mm a směrodatnou odchylku posunu např. P 0. mm, je směrodatná odchylka měření délky základny z z. P / p 0.7 m. Této přesnosti lze dosáhnout tachymetrickým měřením délek, kde platí d d 0, 5m 300. Avšak pro dosažení shodných výsledků výšek H P, (H P ) ve zvoleném relativním systému ze stanoviska A a B s přesností 0,001 m je nutno délku základny měřit přesněji podle následujícího odvození h z. cotg ζ ; po derivaci rovnice podle dvou proměnných (převod na skutečné chyby) bude ε h ε z. cotg ζ z. ε ζ /(ς. sin ζ) Přejdeme-li na směrodatné odchylky h z. cotg ζ + z. ζ/(ς. sin 4 ζ) Druhý výraz pro z 70000 mm 3
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 ζ 0,5/ 6 0, mgon ζ 97,8 gon (10, gon) dosahuje hodnot 0,048 mm a lze jej zanedbat. Řešením rovnice h z. cotgζ dostáváme, že z 0,0145 m. Rozbor přesnosti před měřením poloha : δ Mp 4,0 Txy 1, 13mm, (5).,5.1,4 u p kde Txy je zadaná směrodatná souřadnicová odchylka, δ Mp - mezní polohová odchylka posunu, u p - koeficient spolehlivosti pro dvourozměrnou chybu P 90%, - dvě etapy měření a pro rovnoramenný trojúhelník platí vzorec ν d. Txy, (6) ρ.sin kde d je délka strany - úhel při základně - směrodatná odchylka vyrovnaného úhlu. v ϖ Pro obecný trojúhelník platí Txy ( d + d ) ρ. A B.sin 1. ( α + β ). Z rovnice (6) a směrodatné souřadnicové odchylky lze vypočítat směrodatnou odchylku vyrovnaného vodorovného úhlu Txy. ρ.sin (7) d ν T Např. pro d 10 m, z 70 m a α (β) 81 gon je v Tϖ 0,33 mgon. Z této hodnoty se vypočte směrodatná odchylka měřeného úhlu v jedné skupině 4
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 3 0,33 0,81 ν T T 0,41mgon.. (8) Počet opakování n je 0,7 n,9 3. (9) 0,41 Vodorovné úhly se měří ve třech skupinách. Rozbor přesnosti před měřením výška. Přesnost základní a i-té etapy je stejná, potom směrodatná odchylka převýšení měřeného v i-té etapě je δ Mh Th 0,71mm,..1,4 (10) u p kde P je kde - vyplývá z rozdílu dvou etap (základní a i-té). Převýšení mezi horizonty přístroje na základně A(B) a určovaným bodem h p d.cotg ζ - k, d je vodorovná vzdálenost ζ - zenitový úhel na hrot kuželu (jedna skupina), k - převýšení mezi hrotem kuželu a točnou osou dalekohledu na cílovém bodě. Směrodatná odchylka převýšení vypočtená ze zenitového úhlu měřeného ve třech skupinách d. 5 ζ 1,.10.0,50 h + k + 0, 0, 64mm 4 3..sin 1,7.6,4.10.0,90. (11) ρ ζ Mezní rozdíl mezi měřením tam a zpět je δ,5..,3mm. (1) M h Mezní výškový uzávěr v trojúhelníku 5 h
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 kde δ 3 MUh,5.,0mm. h (13) 3 znamená tři strany měřené tam a zpět. Rozbor přesnosti při měření : Testují se tři rozdíly mezi dvěma skupinami vodorovného a zenitového úhlu. Vzhledem k tomu, že měření provádí studenti, je vhodné volit koeficient spolehlivosti u p,5, tj. p 99%. Testují se rozdíly mezi skupinami 1-, 1-3 a -3. Mezní rozdíl vodorovného úhlu (rov. 3) je δ M,5..0,57,0mgon. Mezní rozdíl zenitového úhlu (rov. 4) je δ Mζ,5..0,5 1,8 mgon. Rozbor přesnosti po měření : Testují se trojúhelníkové uzávěry : Mezní uzávěr úhlový (rov. 8) δ MUϖ,5. 3.0,4 1,7 mgon. Mezní uzávěr výškový (rov. 11) δ MUh,5. 3.0,64,8mm. Vzhledem ke studentským měřením se volí u p,5 (p 99%). Určení převýšení mezi točnou osou dalekohledu a špičkou kuželu h k. H špička kužele h k ζ H ζ B točná osa d dalekohledu A d š točná osa dalekohledu B Obr. h k d.(cotgζ H - cotgζ B ), (14) kde d je vodorovná vzdálenost, 6
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 ζ, ζ - zenitové úhly ( ζ 100 gon). H B Směrodatná odchylka převýšení bodů B, H (h H ), za předpokladu, že zenitové úhly jsou zhruba 100 gon, bude k d. ζ.. (15) Pro d 6 m, ζ,0 mgon a převýšení h měřené tam a zpět je k 0, mm. (viz rov. 11). Protože hodnota k se určuje ze všech tří kužílků, je vhodné toto měření provádět současně u všech tří kužílků, propojené do uzavřeného výškového trojúhelníku. Tím se dostává kontrola měření 0,. 3 0,35mm. (16) ku Postup měření v praxi. V praxi je tento postup nereálný, neboť body P jsou upevněny na objektu a jsou nepřístupné. Řeší se to tak, že pozorovacích bodů je více (např. A, B, C). Protože jejich poloha může být ovlivněna posunem sledovaného objektu, volí se další systém bodů (ověřovacích např. 1,). P A 7
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 C B 1 Obr. 3 Nezávislá kontrola určení posunů. Polohová : Bod P a P jsou trvale stabilizované a jejich vzájemná poloha je známa. Výšková : Z bodu P (P ) se zaměří výškově bod H v obou etapách. Výškový rozdíl je potom výškový posun. Seznam přístrojů a pomůcek : Pozn.: Je uveden seznam pro zaměření úlohy jednou četou. Potřebný min. počet studentů v jedné četě je x 3 6. teodolit ZEISS Theo 010 B ( s mostem přes vidlici) 3 ks stativ ZEISS skládací 3 ks cílový kužel k zašroubování do mostu 3 ks tachymetrická lať (stačí díl m dlouhý) 1 ks deštník (základna je ve stínu) 1 ks pásmo ocelové 1 ks přípravek pro simulaci posunů 1 ks zápisník pro měření vodorovných úhlů ve 3 skupinách 3 ks 8
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 podložka pod zápisník psací potřeby kalkulačka 9
Václav Čech, ČVUT v Praze, Fakulta stavební, 008 Úloha č. 1 : TROJÚHELNÍK - dodatek Rozbory přesnosti : Přesnost měřených veličin : platí Jestliže je vodorovný úhel měřen ve dvou polohách, pak pro THEO 010 B 0,7 mgon. () Jelikož tyto úhly budou v měřeném trojúhelníku vyrovnány, vypočte se směrodatná odchylka vyrovnaného úhlu ν. 0,57mgon 3. (3) Směrodatná odchylka zenitového úhlu ve dvou polohách je 0,7mgon ζ 0,5mgon. (4) Měření posunů je relativní (vztažené k základní etapě), postačí tedy určit délku základny s poměrně malou přesností. Pro délku základny z 70 m, předpokládaný posun p 0 mm a směrodatnou odchylku posunu např. P 0. mm, je směrodatná odchylka měření délky základny z z. P / p 0.7 m. Této přesnosti lze dosáhnout tachymetrickým měřením délek, kde platí d d 0, 5m 300. Avšak pro dosažení shodných výsledků výšek H P, (H P ) ve zvoleném relativním systému ze stanoviska A a B s přesností 0,001 m je nutno délku základny měřit přesněji podle následujícího odvození h z. cotg ζ ; po derivaci rovnice podle dvou proměnných (převod na skutečné chyby) bude ε h ε z. cotg ζ z. ε ζ /(ς. sin ζ) Přejdeme-li na směrodatné odchylky h z. cotg ζ + z. ζ/(ς. sin 4 ζ) Druhý výraz pro z 70000 mm ζ 0,5/ 6 0, mgon ζ 97,8 gon (10, gon) dosahuje hodnot 0,048 mm a lze jej zanedbat. Řešením rovnice h z. cotgζ dostáváme, že z 0,0145 m.