3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové souřadnice v bodě M je definována výrazem M ω = r ds, M0 kde r...absolutní vzdálenost pólu B od tečny ke střednici, ds...diferenciál délky střednice měřené od bodu M 0. Geometrický význam lze chápat jako dvojnásobek orientované plochy výseče omezené úsekem střednice M 0 M a dvojicí průvodičů BM 0 a BM (viz obr.), přičemž kladný smysl je takový, když výsečovou souřadnici čteme od počátečního průvodiče BM 0 proti smyslu chodu hodinových ručiček. Obr. Výsečová souřadnice Úlohu lze snadno diskretizovat pro průřez složený z přímých stěn, a to užitím výrazu ω = r i si, kde s i...délka střednice i-tého přímého úseku, r i...rameno konstantní pro všechny body střednice příslušného úseku. Je třeba si uvědomit, že pro součiny r i s i platí přijatá znaménková konvence, kterou dále rozebereme. 1
Dva jednoduché případy čtení výsečových souřadnic A) Máme část průřezu složenou ze přímých úseků (viz obr.), hledáme výsečovou souřadnici v bodě M podle vztahu ω = r i s i = ± r1 s1 ± r s. Obr. Čtení se shodným znaménkem Počátek čtení je v bodě M 0 v něm je výsečová souřadnice nulová. Nejprve čteme na úseku č. 1 na jeho konci (v bodě M 1 ) je výsečová souřadnice dána součinem r 1 s 1. Otočení počátečního průvodiče BM 0 do přechodového průvodiče BM 1 jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r 1 s 1 má tedy kladné znaménko. Pokračujeme čtením na úseku č. na jeho konci (v bodě M ) přičítáme součin r s k výsečové souřadnici bodu M 1. Otočení přechodového průvodiče BM 1 do koncového průvodiče BM jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r s má tedy opět kladné znaménko. V daném případě ω = r i s i = + r1 s1 + r s. Hodnoty výsečových souřadnic vynášíme podél střednice průřezu, viz obr. Lze snadno ověřit, že na přímých úsecích je jejich průběh lineární.
B) Máme jiný případ části průřezu složené rovněž ze přímých úseků (viz obr.), hledáme opět výsečovou souřadnici v bodě M podle vztahu ω = r i s i = ± r1 s1 ± r s. Obr. Čtení s měnícím se znaménkem Počátek čtení je nadále v bodě M 0. Čtení opět zahájíme na úseku č. 1 na jeho konci (v bodě M 1 ) je výsečová souřadnice dána součinem r 1 s 1. Otočení počátečního průvodiče BM 0 do přechodového průvodiče BM 1 jde proti smyslu chodu hodinových ručiček, součin r 1 s 1 má tedy (obdobně jako v předchozím případě) kladné znaménko. Pokračujeme opět čtením na úseku č. na jeho konci (v bodě M ) přičítáme součin r s k výsečové souřadnici bodu M 1. Otočení přechodového průvodiče BM 1 do koncového průvodiče BM jde tentokrát po smyslu chodu hodinových ručiček, součin r s má potom záporné znaménko. V daném případě ω = r i s i = + r1 s1 r s. Hodnoty výsečových souřadnic opět vyneseme podél střednice průřezu, viz obr. Příklad Zadání. Určete výsečové souřadnice nesymetrického průřezu vztažené k definovanému pólu a výsečovému počátku podle obr. 3
Řešení Průřez rozložíme na dílčí přímé úseky, jež dále očíslujeme; délky střednic s i, jakož i jejich ramena r i stanovíme podle kót v obr. Čtení výsečových souřadnic začíná ve výsečovém počátku M 0 v něm ω = 0. 4
Nejprve vyšetříme úseky č. 1 a. Čtení po obou úsecích provádíme po smyslu chodu hodinových ručiček, tedy v záporném smyslu přijaté konvence. Na konci úseku č. 1 ω = r 1 s 1 = 100 50 = 5000 mm, na konci úseku č. ω = 5000 r s = 5000 50 40 = 7000 mm. Dále vyšetříme úseky č. 3 a 4. Po úseku č. 3 čteme proti smyslu chodu hodinových ručiček (tedy v kladném smyslu), po úseku č. 4 je smysl čtení opačný, tj. čteme po smyslu chodu hodinových ručiček (tedy v záporném smyslu). Na konci úseku č. 3 ω = + r 3 s 3 = + 100 70 = + 7000 mm, na konci úseku č. 4 ω = + 7000 r 4 s 4 = + 7000 70 40 = + 400 mm. Nakonec vyšetříme úseky č. 5 a 6. Zřejmě vzdálenost pólu B od střednice úseku č. 5 je nulová, tedy ω = r 5 s 5 = 0 100 = 0. Rovněž vzdálenost pólu B od střednice úseku č. 6 je nulová, takže i na jeho konci ω = 0 + r 6 s 6 = 0 + 0 30 = 0. Hodnoty výsečových souřadnic vyneseme podél střednice průřezu, viz obr. 5
K výsečovým veličinám Příklad Zadání. Stanovte výsečové charakteristiky průřezu tvaru U z minulého cvičení. Z předchozího výpočtu přebíráme hodnoty průřezových veličin A =,40 10 3 mm, 7 mm 4 I =1,60 10, y 6 mm 4 I z =,50 10. Rovněž zachováme číslování dílčích částí, tj. č. 1 horní vodorovná stěna, č. svislá stěna, č. 3 dolní vodorovná stěna. Řešení Úlohu rozdělíme do několika po sobě jdoucích kroků 1) určíme polohu středu smyku C s, ) ověříme polohu hlavního nulového bodu M 0, 3) stanovíme výsečový moment setrvačnosti I ω. 1) Polohu středu smyku C s určíme pomocí výsečového deviačního momentu zavedeme tudíž pomocné výsečové souřadnice. Pól B 1 volíme na konci stěny č. 3, výsečový počátek M 0,1 volíme na počátku stěny č. 1, viz obr. 6
Hodnoty výsečových souřadnic stanovíme jednak v koncových bodech střednic dílčích částí: v počátku stěny č. 1 (tj. ve výsečovém počátku) ω = 0, na konci stěny č. 1 ω = + r1 s1 = 00 100 = 0 000 mm, na konci stěny č. ω = 0 000 + r s = 0 000 + 100 00 = 40 000 mm, na konci stěny č. 3 ω = 40 000 + r3 s3 = 40 000 + 0 100 = 40 000 mm, a dále ve středových bodech dílčích částí: uprostřed stěny č. 1 0 000 ω = = 10 000 mm, uprostřed stěny č. 0 000 + 40 000 ω = = 30 000 mm, uprostřed stěny č. 3 ω = 40 000 mm. 7
Vzhledem k symetrii úlohy zřejmě střed smyku leží na ose symetrie, takže hledáme jen jeho vodorovnou souřadnici Dω 1y ys = yb +, 1 I y kde y = 75 mm... y-ová souřadnice pólu B 1, B 1 7 mm 4 I y =1,60 10... moment setrvačnosti k ose y, Dω 1 y... výsečový deviační moment k ose y a k pólu B 1. Výsečový deviační moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( ωb, i ωa, i )( zb, i za, i ) D ω y = Ai + ωc, i z 1 c, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, ω c,i, z c,i... výsečová a z-ová souřadnice středu i-té stěny, ω a,i, z a,i... výsečová a z-ová souřadnice (zvoleného) počátku střednice i-té stěny, ω b,i, z b,i... výsečová a z-ová souřadnice (zbývajícího) konce střednice i-té stěny. Tedy ( 0 000 0)( 100 + 100) D ω = 600 + 10 000 ( 100) + 1y 1 ( 40 000 0 000)( 100 + 100) + 100 + 30 000 0 + 1 ( 40 000 40 000)( 100 100) 5 + 600 + 40 000 100 = +,0 10 9 mm 1. 8
Souřadnice středu smyku 9,0 10 y s = 75 + = + 6,5 mm. 7 1,60 10 Poznámka Kladná hodnota značí vzdálenost od osy z vynášenou po smyslu osy y. ) Hlavní nulový bod zřejmě také leží na ose symetrie protože se jedná o bod na střednici průřezu, jeho poloha je dána průsečíkem střednice s osou symetrie. Polohu hlavního nulového bodu ověříme, a to pomocí výsečového statického momentu zavedeme tudíž hlavní výsečové souřadnice, viz obr. Hodnoty hlavních výsečových souřadnic stanovíme jednak v koncových bodech střednic dílčích částí: v počátku stěny č. ω = + r sa = 37,5 100 = 3750 mm, v počátku stěny č. 1 ω = 3750 r1 s1 = 3750 100 100 = 650 mm, na konci stěny č. ω = r sb = 37,5 100 = 3750 mm, na konci stěny č. 3 ω = 3750 + r3 s3 = 3750 + 100 100 = 650 mm, 9
a dále ve středových bodech dílčích částí: uprostřed stěny č. 1 3750 650 ω = = 150 mm, uprostřed stěny č. (tj. v hlavním nulovém bodě) ω = 0, uprostřed stěny č. 3 3750 + 650 ω = = + 150 mm. Výsečový statický moment stanovíme pomocí diskrétního vztahu S ω = A i ωc, i, kde A i...plocha i-té stěny, ω c,i...výsečová souřadnice středu i-té stěny. Tedy S 600 150 + 100 0 + 600 150 =. = ω ( ) 0 3) Výsečový moment setrvačnosti stanovíme pomocí diskrétního vztahu ( ω ) b, i ωa, i Iω = A i + ωc, i, 1 kde A i... plocha i-té stěny, ω a,i, ω b,i, ω c,i... výsečové souřadnice počátku, konce a středu střednice i-té stěny. Tedy ( 3750 + 650) ( ) ( 3750 3750) I ω = 600 + 150 + 100 + 0 + 1 1 ( 650 + 3750) 10 6 + 600 + 150 = 1,75 10 mm. 1 Doplňující poznámka K vyčíslení výsečových veličin lze použít rovněž vztahy představující aplikaci Vereščaginova pravidla pro násobení lineárních obrazců (tj. určitý integrál součinu dvou funkcí, z nichž alespoň jedna je lineární, je dán součinem plochy jednoho z obrazců (je-li jeden nelineární, pak tohoto) a pořadnice druhého obrazce v místě, kde má předešlý své těžiště). Tedy t i A S ω = ω, i, D ω y = ti Aω, i zcω, i, D ω z = ti Aω, i ycω, i, I ω = t i Aω, i ω cω, i, 10
kde t i... tloušťka stěny v i-tém dílčím úseku průřezu, A ω,i... plocha obrazce výsečové souřadnice v i-tém úseku, z cω,i, y cω,i... souřadnice průmětu těžiště výsečové plochy A ω,i do střednice průřezu v i-tém úseku, ω cω,i... výsečová souřadnice v místě těžiště výsečové plochy A ω,i i-tého úseku. Odpověď na častou otázku K čemu je to dobré? Statické veličiny průřezu Plochu A používáme v technické teorii prutů tažených (tlačených). Slouží jednak ke stanovení trakční tuhosti EA (kde E je Youngův modul), a dále k určení velikosti normálových napětí v průřezu σ N x = A, kde N je normálová síla. Momenty setrvačnosti I y, I z používáme v technické teorii prutů ohýbaných. Slouží jednak ke stanovení ohybové tuhosti EI, a dále k určení průběhu normálových napětí po průřezu M y M z σ x = z, resp. σ x = y, I y I z kde M y, M z... ohybový moment k ose y, resp. z, z, y... z-ová, resp. y-ová souřadnice vyšetřovaného bodu průřezu. Výsečový moment setrvačnosti I ω používáme v technické teorii prutů kroucených. Slouží jednak ke stanovení výsečové tuhosti EI ω, a dále k určení průběhu normálových napětí po průřezu B σ = ω I x, ω kde B...bimoment, ω...výsečová souřadnice vyšetřovaného bodu na střednici průřezu. Hlavní vztažná soustava K těžišti C g vztahujeme působiště vnějších sil na prutu taženém (tlačeném). Nemá-li nastat (přídavné) namáhání ohybem, musí výslednice vnějších sil procházet právě těžištěm. 11
K hlavním setrvačným osám y, z vztahujeme paprsek vnějších sil na prutu ohýbaném. Má-li nastat pouze rovinný ohyb (tj. nemá-li dojít k prostorovému ohybu), musí být výslednice vnějších sil rovnoběžná s některou z hlavních os setrvačnosti. Ke středu smyku C s vztahujeme působiště vnějších sil na prutu ohýbaném. Nemáli nastat (přídavné) namáhání kroucením, musí výslednice vnějších sil procházet právě středem smyku. K hlavnímu nulovému bodu M 0 vztahujeme působiště vnějších sil na prutu taženém (tlačeném). Nemá-li nastat (přídavné) namáhání kroucením, musí vnější síly procházet právě hlavním nulovým bodem. 1