Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Transkript

1 Stavební mechanika 2 (K132SM02) Přednáší: doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K132 místnost D matej.leps@fsv.cvut.cz konzultační hodiny budou upřesněny později

2 Podklady

3 Organizace předmětu SM02 Získat ze zápočtového testu alespoň 10 bodů ze 20 možných lespoň 6 z 9 povinných příkladů (domácích úkolů) správně vyřešit do termínu stanoveného individuálně pro každý domácí úkol. Současně v písemné formě v kvalitní grafické úpravě vypracovaný úkol odevzdat na následujícím cvičení cvičícímu. Správně vyřešit 9 povinných příkladů (domácích úloh) do stanoveného termínu (neděle :00). Splnění doplňujících požadavků cvičícího.

4 Organizace předmětu SM02

5 Grafická úprava Řešení zadaných příkladů vypracovat na papírech formátu 4. Obrázky, text a výpočty psát obyčejnou tužkou (v případě chyby se totiž může gumovat) pouze na jednu stranu papíru. Každou stránku očíslujte! Každý domácí úkol opatřit na titulní straně tabulkou, která bude narýsována nebo vytištěna na počítači a ve které se uvede příjmení, jméno, paralelka, studijní skupina (do které student chodí na cvičení), pořadové číslo domácího úkolu. Na začátku řešení se uvede zadání domácí úlohy (stačí výtisk zadání úlohy z internetu, ve kterém budou doplněny konkrétní číselné hodnoty pro studentovo osobní zadání).

6 Organizace předmětu SM02 Termín řádného zápočtového testu je pondělí , 14:00, C215 Řádný termín pro udělení zápočtu je poslední den zápočtového týdne pátek Poslední možný termín pro zapsání zápočtu je pátek Pravděpodobný termín opravného zápočtového testu je pondělí (páteční výuka!). Přihlášení na zkoušku podmíněno zápisem zápočtu v KOS.

7 Statická určitost/neurčitost Nezbytné znalosti ze SM01

8 Výpočet reakcí Nezbytné znalosti ze SM01

9 Literatura

10 Výpočet vnitřních sil Komerční SCI, ID Nexis, Feat, Fine, Existují studentské verze Statický software Volně dostupné Komplexní, např. EduBeam Dílčí Výpočet průřezových charakteristik Komerční Volně dostupné Např.

11 1.VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 1.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší zatížení do vazeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

12 Prut: konstrukční prvek, jehož jeden rozměr (délka) převládá nad ostatními. h l >> h l >> b l b Průřez: příčný řez prutu Střednice: čára tvořená těžišti průřezů prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

13 Prostorový prut - střednice je prostorová křivka nebo lomená čára Rovinný prut - střednice je rovinná křivka nebo lomená čára Prizmatický prut - přímý prut konstantního průřezu osa Obecný prut - zakřivený, proměnného průřezu

14 Nosník = podepřený prut Př: Prostý nosník Prostý nosník s převislými konci Konzolový nosník, konzola, krakorec

15 Nosníky přímé obloukové lomené prutové soustavy

16 1.2 Vnitřní síly prutu bychom mohli popsat, jak prut přenáší zatížení po celé své délce, t.j. jak jsou namáhány jednotlivé průřezy prutu, zavádíme veličiny... vnitřní síly prutu.

17 Vnitřní síly prutu L Prut v rovnováze (reakce a zatížení... rovnovážná soustava sil) P rozdělíme fiktivním řezem na 2 části L a P by každá část byla v rovnováze, musí v řezu působit síly a momenty: F P, M P... účinek části P na L, uvádí část L do rovnováhy F L, M L... účinek části L na P, uvádí část P do rovnováhy L kce a reakce: L P P L P P = - L P = - L

18 M y y V y V z N P x T=M x Ve zkoumaném řezu zavedeme lokální souřadnicový systém x-y-z; osa x tečna ke střednici, y, z normály P z M z Vntiřní síly prutu Vektory P a P rozložíme do složek: F Px = N... normálová síla [N] F Py = V y... posouvající síla [N] F Pz = V z... posouvající síla [N] M Px = T = M x... kroutící moment [Nm] M Py = M y... ohybový moment [Nm] M Pz = M z... ohybový moment [Nm]

19 Kladná orientace vnitřních sil Záporně orientovaný průřez (vidíme ze směru záporné poloosy x) P = - L P = - L P M z M y y V y V z N T x T N V z P M y P z M z Kladně orientovaný průřez (vidíme ze směru kladné poloosy x) kladné vnitřní síly orientované shodně se souřadnicovými osami L y V y z kladné vnitřní síly orientované opačně než souřadnicové osy x

20 Rovinný prut zatížený v rovině x g z g zjednodušení vnitřních sil: N x y V Pokud: 1) střednice - rovinná křivka 2) vnější síly (zatížení a reakce) - rovnovážná soustava v rovině střednice V y = 0 T = M z = 0 z podmínek rovnováhy oddělené části Vnitřní síly: N... normálová síla [N] V z = V... posouvající síla [N] M y = M... ohybový moment [Nm] z

21 Vnitřní síly prutu - roštové konstrukce: Obecně platí Nenulové jsou pouze tři vnitřní síly V z 0 ; T 0 ; M y 0 ; Zbývající tři jsou vždy nulové N = 0 ; V y = 0 ; M z = 0 ; M y T x y V z z

22 Kladná orientace vnitřních sil x g z g z M V N x N V M z x Kladně orientovaný průřez (vidíme ze směru kladné poloosy x) Záporně orientovaný průřez (vidíme ze směru záporné poloosy x)

23 Příklad 1: Určete vnitřní síly v průřezu rovinného nosníku. (kn, m) (kn, m)

24 (kn, m)

25 Příklad 2: Určete vnitřní síly v průřezu prostorového nosníku. (kn, m) (kn, m)

26 (kn, m)

27 (kn, m)

28 1.3 Sřednicový model rovinného prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

29 Zatížení prutu/nosníku Pruty modelujeme jejich střednicí veškeré síly působící na konstrukci (zatížení i reakce) redukujeme ke střednici Příklady: h h 2 F h/2 h/2 h B osamělé v síly/reakce redukujeme k těžišti průřezu, ve F z h kterém působí F F x x 2 v h B

30 f z x z f x f x d x z m= f x d spojité momentové zatížení [Nm/m]

31 f f z = f sin f x = f cos d x z f x = f cos f z = f sin m= f cos d

32 F F z F x d 1 d 1 zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku d 2 d 2 F z F x M 2 = F z d 2 M 1 = F x d 1

33 f F= f d 2 zatížení působící v této oblasti redukujeme ke styčníku d 2 d 2 F= f d 2 M s =F

34 Orientace lokálního souřadnicového systému (rovinná kce.) osa x... vždy tečná ke střednici prutu osa z... preferujeme ve směru zemské tíže (shora dolu) nebo zleva doprava x-z pravotočivá soustava souřadnic x x z x x x z z x z z x x z z x někdy též z z z x * "spodní" vlákna (stranu) prutů označujeme čárkovanou čarou

35 Poznámka: Vztah volby spodních vláken a znaménka ohybových momentů (viz další přednáška) F F F F L + +

36 1.4 Výpočet vnitřních sil v daném průřezu prutu (rovinná složená sousava) Určete vnitřní síly v průřezu. F f 1 1) Prut vyjmeme ze soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (zatížení a reakce) F F R1 f 2 h v B h B v

37 2) Prut rozdělíme řezem na části L a P a do řezu zavedeme neznámé vnitřní síly. h v F F R1 h v F L M V N N M V F R1 P B h B h B v B v 3) Pro výpočet vnitřních sil můžeme uvážit rovnováhu nebo ekvivalenci vnějších a vnitřních sil.

38 3a) Rovnováha: Vnitřní síly interpretujeme jako síly uvádějící do rovnováhy oddělenou část prutu. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P: V h v F F R1 h v F L M V N N M F R1 P Bv B h L: h, v, F, N, V, M... musí být v rovnováze Bv B h P: B h, B v, F R1, N, V, M... musí být v rovnováze * ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce) kontrola výsledku!

39 3b) Ekvivalence: Vnitřní síly interpretujeme jako síly vyjadřující účinek jedné oddělené části prutu na druhou. Vnitřní síly v řezu určíme z podmínek ekvivalence všech sil působících na opačné straně průřezu: V F R1 F F M M N h h v L v N L P L V P B h h, v, F jsou ekvivalentní N, V, M působícím na P B v B h, B v, F R1 jsou ekvivalentní N, V, M působícím na L * ť použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, V, M musí vyjít stejně (akce a reakce) kontrola výsledku!

40 Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řezech, B, C dané konstrukce. F 2 = 2 kn F 1 = 8 kn B f = 1,5 kn/m C (m) Reakce: (kn) 9

41 Průřez : Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva" M V N 5 0 N 5kN 8 N (m, kn) V V 4kN M M 0kNm

42 Průřez : Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zprava" V 2 1,5 4 4 N M 3 N N 5kN 2 2 V 4 0 V 4kN (m, kn) M M 0kNm

43 Průřez : Výpočet z ekvivalence vnitřních sil a sil působících na opačné straně průřezu (zleva) V 8 M N 5kN N (m, kn) V M kN kNm Pozn.: oproti výpočtu z rovnováhy není třeba hledané vnitř síly převádět na druhou stranu rovnice... rychlejší výpočet

44 Průřez B: Výpočet z rovnováhy oddělené části prutu "zleva" 2 B M B N B N N 4kN B B 8 8 V B V V 3kN B B M M 0kNm B B 5 (m, kn)

45 Průřez B: Rovnováha ve styčníku V 2 N V B M B B N N B V 0 NB V 4kN B VB N 2 0 VB N 2 3kN M (m, kn) M M 0 M M 0kNm B B

46 Průřez C: 2 1,5 2 C M C N C V C N N 4kN C C (m, kn) V V 0kN C M M 3kNm C C C

47 Průřez C: (alternativní výpočet): N B V B 1,5 2 C M C N C M B 2 V C (m, kn) N N 0 N N 4kN C B C B V V 3 0 V V 3 0kN C B C B M M V M 3kN C B B C

48 2.5 Vnitřní síly v průřezu vs. vnitřní síly v bodě střednice V bodech, kde se mění tvar střednice (a) stýká více prutů (e) působí osamělá síla či moment (b, c) je umístěna vazba (d) mohou mít vnitřní síly nespojitost. V takovýchto bodech je třeba vypočítat vnitřní síly ve všech přilehlých průřezech. a b c d e

49 Viz předchozí příklad: Určete vnitřní síly v bodě a. V bodě a zleva průřez V bodě a zprava průřez B 8 2 a N M 8 V 8 2 B M B V B N B (m, kn) N V M 5 5kN 4kN 0kNm N V B M B 5 4kN 3kN B 0kNm

50 Př.: Spočtěte vnitřní síly v podporách, koncích nosníku a pod silami 10 kn 10 kn 2 m 2 m 5 kn 5 kn 10 kn 10 kn 1 m 2 m 1 m 20 kn 20 kn 10 kn 10 kn 1 m 1 m 1 m 10 kn 1 m 1 m 1 m 10 kn 10 kn 10 kn 10 kn

51 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Při přípravě této přednášky byla použita řada materiálů laskavě poskytnutých doc. Vítem Šmilauerem, Ph.D., prof. Ing. Michalem Polákem, CSc. a prof. Ing. Petrem Kabelem, Ph.D., ze Stavební fakulty ČVUT. Ostatní zdroje jsou ocitovány v místě použití. Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na matej.leps@fsv.cvut.cz. Datum poslední revize: Matěj Lepš 2016