PARAMETRICKÁ STUDIE VÝPOČTU KOMBINACE JEDNOKOMPONENTNÍCH ÚČINKŮ ZATÍŽENÍ Ing. David KUDLÁČEK, Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TUO, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Poruba, tel.: 59 732 1384, e-mail: scipio@volny.cz Ing. Martin KREJSA, Ph.D., Katedra stavební mechaniky, Fakulta stavební, VŠB TUO, Ludvíka Podéště 1875, 708 33 Ostrava Poruba, tel.:59 7321303, e-mail:martin.krejsa@vsb.cz Abstrakt Following study compares results of load effect combinations taken from the part of the study [1] with results obtained from algorithm based on direct determined probabilistic solution. 1. ÚVOD Předpisy pro stanovení kombinací zatížení jsou obsaženy v normách pro navrhování stavebních konstrukcí, které jsou založeny na deterministické metodě dílčích součinitelů. Přesto, že vycházejí ze stejné podstaty výpočtu, často se v přístupu k vzájemnému kombinování jednokomponentních účinků zatížení liší. Srovnáme-li konečné kombinační hodnoty vypočtené podle různých národních norem, dojdeme v mnoha případech ke značně rozdílným výsledkům. Pravidla pro kombinování vícekomponentních účinků zatížení v nich navíc chybí úplně. Následující studie porovnává výsledky kombinování účinků zatížení dle jednotlivých v současné době platných norem, s hodnotami získanými pravděpodobnostním výpočtem metodou SBRA s algoritmem přímého determinovaného pravděpodobnostního výpočtu a simulační technikou Monte Carlo [4]. Při výpočtu se předpokládá, že charakteristické hodnoty zatížení vnesené do výpočtů jsou shodné, používají se však součinitele spolehlivosti zatížení a pravidla pro vytváření kombinací příslušné jednotlivým normám. 2. METODY VÝPOČTU KOMBINACÍ ZATÍŽENÍ Kromě v praxi dobře známých a používaných deterministických metod výpočtu kombinací zatížení, se v poslední době objevují metody, jimiž by bylo možno určit kombinace účinků zatížení přesněji. Vhodnou alternativou je metoda SBRA, která pro stanovování kombinací účinků zatížení využívá pravděpodobnostního výpočtu založeného na generátoru pseudonáhodných čísel. V uvedené metodě jednotlivé vstupní hodnoty zatížení nevstupují do výpočtu jako konstanty, ale jsou vyjádřeny ve formě histogramů, které lépe vystihují chování daného zatížení v čase jeho působení na nosnou konstrukci. Bližší podrobnosti o aplikování metody SBRA, využívající pro výpočet jednokomponentních účinků zatížení simulační techniku Monte Carlo jsou uvedeny např. v [1]. Vhodná alternativa simulační techniky Monte Carlo se v rámci metody SBRA jeví přímý determinovaný pravděpodobnostní výpočet (dále jen PDPV). Metoda PDPV je založena na přímém výpočtu pravděpodobnosti vzájemným numerickým kombinováním jednotlivých intervalů v histogramech vstupních zatížení a vychází s klasické teorie pravděpodobnosti. Podrobnosti a principy výpočtu dle této metody jsou uvedeny např. [2] a [3]. Histogramy vstupních hodnot využívané v metodě SBRA mohou být vytvořeny pro spojité nebo diskrétní veličiny. Veličiny, vstupující do statických výpočtů (zatížení, materiálové charakteristiky, průřezové charakteristiky), lze považovat jejich povahou jako veličiny spojité. Hlavní rozdíly při interpretaci obou typů histogramů v pravděpodobnostních výpočtech jsou nejvíce zřejmé z obr.1 a 2.
Obr.1: Histogram spojité veličiny Obr.2: Histogram diskrétní veličiny S histogramy je možno provádět základní matematické operace, zmíněné např. v [2]. V případě kombinování zatížení se z těchto matematických úkonů využívá pouze sčítání histogramů jednotlivých typů zatížení. Při řešení následující studie bylo využito programu ProbabilityAxBx [5], který využívá pro výpočet matematických operací s histogramy algoritmu PDPV. Program byl vytvořen v programovacím prostředí Borland Delphi a ukázka výstupního formuláře je uvedena na obr.3. Je v něm zobrazen průběh výpočtu, při kterém byly načteny histogramy, vyjadřující proměnlivost stálého a dlouhodobého nahodilého zatížení, které byly vynásobeny charakteristickou hodnotou daného zatížení a součinitelem spolehlivosti příslušným dané kombinaci. Sčítání obou histogramů probíhá v programových cyklech, kdy se postupně sčítají hodnoty zatížení (vodorovná osa) a jejich pravděpodobnosti se vynásobí a přičtou do odpovídajícího intervalu výsledného histogramu. Princip takového numerického řešení je nejlépe patrný z obr.4.
Obr.3: Ukázka programu Probability AxBx Obr.4: Princip výpočtu kombinace stálého a nahodilého dlouhodobého zatížení
Algoritmus PDPV aplikovaný v metodě SBRA [4] se dá obecně využít k relativně velmi přesnému určení kombinací i poměrně složitějších účinků zatížení. Příspěvek navazuje na obdobnou parametrickou studii publikovanou v [1]. Byly použity stejné kombinace účinků zatížení, vypočtené dle jednotlivých národních norem, a výsledné hodnoty srovnány s přímým determinovaným pravděpodobnostním výpočtem. Pro výpočet kombinací metodou PDPV bylo použito stejných vstupních histogramů jako ve studii [1]. 3. VÝPOČET Hodnoty kombinací jednokomponentních účinků zatížení, které byly získané výpočtem dle jednotlivých norem deterministicky jsou uvedeny v tabulce 1 v odpovídajících řádcích. Výsledné kombinace účinků zatížení vypočtené metodou SBRA s využitím simulační techniky Monte Carlo jsou uvedeny v řádcích s kvantilem 0.990, 0.995 a 0.999 pro maximální hodnoty kombinací a 0.001, 0.005 a 0.01 pro hodnoty minimální. Sloupce označené jako PDPV obsahují výsledky získané přímým determinovaným pravděpodobnostním výpočtem. Rozdíly mezi jednotlivými výsledky jsou nejlépe patrné z grafické interpretace získaných hodnot na obr.5 a 6. Tabulka 1: Druh zatížení Nominální hodnoty [kn] Minimum Maximum 4. ZÁVĚR Kombinace 1. 1.PDPV 2. 2.PDPV 3. 3.PDPV D 100 100 85 85 70 70 LL 15 15 15 15 SL 15 15 SN W E p=0,001 90,78431 90,80400 79,10784 79,43623 65,60392 65,73856 p=0,005 92,54902 92,56800 81,71569 81,88461 67,88235 67,80851 p=0,01 93,52941 93,74400 83,01961 83,20297 68,85882 68,93757 LRFD 90,00 76,50 63,00 CAN 85,00 72,25 59,50 EUR 100,00 85,00 70,00 DIN 100,00 85,00 70,00 p=0,999 139,01960 139,02000 133,35098 133,20647 118,98431 118,89847 p=0,995 134,50980 134,31600 127,87450 127,27385 113,12549 113,25317 p=0,99 128,43137 128,63200 121,87647 121,34123 110,52156 110,71279 LRFD 140,00 126,00 115,50 CAN 125,00 128,75 119,00 EUR 135,00 137,25 132,75 DIN 135,00 137,25 135,00 Výpočet kombinace zatížení přímým determinovaným pravděpodobnostním výpočtem se jeví velmi vhodný pro poměrně vysokou rychlost výpočtu a dosaženou přesnost. Ze získaných
Druh zatížení Nominální hodnoty [kn] Minimum Maximum Kombinace 4. 4.PDPV 5. 5.PDPV 6. 6.PDPV D 55 55 40 40 25 25 LL 15 15 15 15 15 15 SL 15 15 15 15 15 15 SN 15 15 15 15 15 15 W 15 15 15 15 E 15 15 p=0,001 51,84118 51,94573 26,26078 26,92152 10,27255 10,98563 p=0,005 53,40196 53,69945 31,91176 32,50818 16,29216 16,51921 p=0,01 54,57255 54,57632 34,99412 35,68242 19,30196 19,78260 LRFD 49,50 16,50 3,00 CAN 46,75 11,50-1,25 EUR 55,00 17,50 2,50 DIN 55,00 17,50 2,50 p=0,999 109,20000 108,35720 94,07255 94,34242 78,89608 78,38177 p=0,995 101,00588 100,46544 86,36667 86,34333 70,46863 70,29423 p=0,99 97,49412 97,34770 82,77059 82,91515 66,85686 66,88895 LRFD 97,50 84,00 66,00 CAN 109,25 104,00 85,25 EUR 126,00 119,25 99,00 DIN 135,00 135,00 114,75 120,000 100,000 80,000 Zatížení [kn] - minimální hodnoty 0,999 0,995 0,990 LRFD CAN EUR DIN 60,000 40,000 20,000 0,000-20,000 1 2 3 4 5 6 Obr.5: Graf minimálních hodnot kombinací jednokomponentních účinků zatížení
Zatížení [kn] - maximální hodnoty 160,000 140,000 120,000 100,000 80,000 60,000 40,000 20,000 0,000 0,999 0,995 0,990 LRFD CAN EUR DIN 1 2 3 4 5 6 Obr.6: Graf maximálních hodnot kombinací jednokomponentních účinků zatížení výsledků je patrné, že hodnoty kombinací účinků zatížení získané metodou SBRA u obou variant (Monte Carlo a PDPV) jsou srovnatelné. Rozdíly jsou ve všech případech velmi malé a z praktického hlediska zanedbatelné. Výsledky získané deterministicky se liší již výrazně a jsou často konzervativnější než u pravděpodobnostních výpočtů. Rozdíly hodnot získaných výpočtem dle jednotlivých normových předpisů ukazují na značnou nejednotnost výpočtu kombinací jednokomponentních účinků zatížení. 5. LITERATURA [1] KREJSA, M., MAREK, P.: Ověření spolehlivosti ocelové konstrukce pravděpodobnostním výpočtem, Část 2, Kombinace jednokomponentních účinků zatížení, článek v časopise Stavební obzor, roč.7, č.1, s. 17-23, 1998, Praha, ISSN:1210-4027. [2] JANAS, P., KREJSA, M.: Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů při posuzování spolehlivosti konstrukcí, sborník vědeckých prací VŠB-TUO, ročník II (2002), č.1, str. 47-58, ISBN: 80-248-0397-6, ISSN 1213-1962. [3] JANAS, P., KREJSA, M.: Numerický výpočet pravděpodobnosti užitím useknutých histogramů, III. ročník celostátní konference Spolehlivost konstrukcí na téma: Cesty k uplatnění pravděpodobnostního posudku bezpečnosti, provozuschopnosti a trvanlivosti konstrukcí v normativních předpisech a v projekční praxi, 10.4.2002, Dům techniky Ostrava, str. 33-38, ISBN 80-02-01489-8. [4] TeReCo: Probabilistic Assessment of Structures using Monte Carlo Simulation - 2nd edition, Background, Exercises and Software, Ed.: Marek, P., Brozzetti, J., Guštar, M., Tikalsky, P., ÚTAM AV ČR, Praha 2003, ISBN 80-86246-19-1. [5] JANAS, P., KREJSA, M.: ProbabilityAxBx, programové vybavení.