České vysoké učení echncké v Paze Fakula elekoechncká Kaea říící echnky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Pokočlé fekvenční meoy návhu PID eguláoů Veoucí áce: Ing.Pe Hušek, Ph.D. Vyacoval: Tomáš Baěk Paha 9
Pohlášení Pohlašuj, že jsem svou bakalářskou ác vyacoval samosaně a oužl jsem ouze oklay (leauu, ojeky, SW a.) uveené v oužém seznamu. V Paze ne:.6.9... os 3
Poěkování Rá bych oěkoval veoucímu mé bakalářské áce, Ing.Peu Huškov, Ph.D., za veení mé áce, oboné konzulace a ělvos. 4
Anoace Cílem éo bakalářské áce je vyvoření soubou oceu v osřeí ATLAB, keé umožní gafcký návh PID eguláoů zaučujících nejvyšší ovolené ezonanční řevýšení clvosní funkce. Po leší možnos výběu z množny eguláoů, keé yo oceuy oskynou, je áce ozšířena o oobnou meou návhu PID eguláoů zaučujících nejvyšší ovolené ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce. Poé jsou nalezeny eguláoy, keé zajsí obě omínky současně. V ác jsou efnovány záklaní ojmy zěnovazebního řízení, ále jsou uveeny záklaní ožaavky na řízení, osána meoa návhu a její ouží na říklaech. Annoaon The objecve of hs bachelo hess s ceae se of oceues n neface ATLAB ha ae o be use fo gahcal esgn of PID conolles wh secfcaon of sensvy magn. In effo bee oon fom famly of acque conolles hs hess s exene o smla meho of esgn PID conolles wh secfcaon of comlemenay sensvy magn. Then conolles ha ensue boh magns cuenly ae choose. Basc conces of feeback conol ae efne, hen basc equemens fo conol ae noce, meho of esgn an s usng fo examles s escbe n hs hess. 5
Obsah Úvo... 7 Požaavky na řízení... 9. Chování v časové oblas...9.. Rychlos oezvy...9.. Kvala oezvy.... Chování ve fekvenční oblas..... Šířka řenášeného ásma..... Amluová a fázová bezečnos.....3 Komlemenání clvosní funkce...4..4 Clvosní funkce...5.3 Rezonanční řevýšení clvosních funkcí...6 3 Posu návhu eguláou... 3. Rezonanční řevýšení clvosní funkce... 3. Rezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce...4 4 Příklay... 5 4. Sysém 3.řáu...5 4. Kmavý sysém 3.řáu...3 4.3 Sysém 4.řáu...33 5 Závě... 36 Leaua... 37 Přílohy... 38 6
Úvo Říící echnka je v nešní obě všuyříomným oboem. Vyskyuje se všue kolem nás a využíváme j v kažoenním žvoě. Úkolem řízení je ří výsuní velčnu (nebo velčny) y řízeného sysému G ole ožaované efeence. V eálním říaě by měl mí výsuní sgnál sejný ůběh jako efeenční. To ovšem není ealzovaelné a uíž se omocí ůzných meo navhují říící sysémy, keé se snaží výsuní sgnál co nejvhonějším zůsobem alesoň řblíž efeenčnímu. Nejoužívanějším zůsobem řízení je řízení zěnovazební (vz.ob..). Jeho výhoou je, že okáže komenzova vlv ouchy a neučos moelu, umožňuje leší řechoové chování a řesnější usálené chování. Dokáže sablzova nesablní sousavu. G c (s) L(s) e u y + + + G (s) + n + ob.. Zěnovazební řízení uzavřená smyčka Na ob.. je uveeno schéma zěnovazebního řízení, ke je efeenční sgnál, e je ochylka výsuní velčny y o efeence a je vsuem o eguláou G c ( s), jehož výsuem je akční zásah u veený o egulované sousavy G ( s ). Ta voří solečně s eguláoem řenos oevřené smyčky (vz.ob..) L ( s ) G ( s ) G ( s ) =. (.) c 7
Výsuem z egulované sousavy je výsuní velčna y, keá je ovlvněna chybou. Výsuní velčna je měřena senzoem, ve věšně říaů s řenosem, keý ovlvňuje měření výsuní velčny vysokofekvenčním šumem n. Komě řenosu oevřené smyčky jsou v uzavřené smyčce efnovány alší řenosové funkce. Je o řeevším komlemenání clvosní funkce, keá uává řenos efeenčního sgnálu na výsu y : T ( s ) Y = R ( s ) ( s) L = + ( s) L( s). (.) Další, neméně ůležá, je clvosní funkce, keá uává řenos efeenčního sgnálu na ochylku e a záoveň řesavuje vlv ouchy na výsuní velčnu y : S ( s) E = R ( s) ( s ) Y = D s ( s ) = ( ) + L( s). (.3) ez clvosní funkcí a komlemenání clvosní funkcí laí vzah ( s) + T ( s) = S. (.4) 8
Požaavky na řízení Jak bylo uveeno v řechozí kaole, eální řízení, ey akové keé zajsí, že výsuní velčna bue shoná s efeencí, nelze ealzova. Pomocí návhů řízení ůzným meoam se mu ale můžeme více č méně řblíž. Návh musí sln učé ožaavky, keé jsou nuné o sávnou funkčnos. Př návhu říících sysému je ey řeba s uč, co bueme o výsleného sysému ožaova. Hlavním ožaavkem je, aby výslený sysém byl sablní, řčemž musíme ve sablě uvažova učou ezevu, jelkož musíme vzí v oaz neučos a ouchy, keé se mohou v ané sousavě vyskynou. Vhoným řízením můžeme sablzova nesablní sysém. Dalším neméně ůležým ožaavkem je chování výsleného sysému, což je vlasně hlavním ůvoem řízení. Požaavky na chování je možno secfkova ůzným zůsoby, řčemž nejčasější secfkace jsou na chování v časové oblas. Dále můžeme secfkova chování ve fekvenční oblas, ke učujeme, jak má vyaa výslená fekvenční chaakeska řízeného sysému. Přesože solu yo secfkace úzce souvsí, je něky vhonější řsou k oblému buď z jené, nebo z uhé sany. Kažá má svou výhonos ouží.. Chování v časové oblas Secfkace v časové oblas jsou ožaavky na řechoový ěj a na usálený sav. ůžeme je ozěl na secfkace ychlos oezvy a kvaly oezvy... Rychlos oezvy Tyckým secfkacem ychlos oezvy jsou oba náběhu (se me vz.ob..) a oba usálení s (selng me vz.ob..) řechoové 9
chaakesky. Přechoová chaakeska je eakce výsuní velčny y na jenokový skok efeence. Doba náběhu je čas, za keý se řechoová chaakeska změní z honoy,y s na honou,9ys, ke y s je usálená honoa výsuu. Doba usálení je čas, za keý se řechoová chaakeska řblíží usálené honoě, ycky s ochylkou %. Tao ochylka může bý ovšem ána jnou honoou (časo %, 3%, 5%, a.)..4 ymax ys. s Se Resonse Amlue.8.6.4. 4 6 8 Tme (sec) ob.. Přechoová chaakeska Další secfkací, keá se objevuje v souvslos se sysémy vyšších řáů, je okamžk vého maxma (eak me vz.ob..), což je čas, za keý řechoová chaakeska vně osáhne maxmální honoy... Kvala oezvy Komě secfkací ychlos oezvy exsují secfkace kvaly oezvy. Tou hlavní je řekm řechoové chaakesky % OS (oveshoo), obvykle vyjářený v ocenech, což je omě maxma k usálené honoě. S řekmem souvsí ojem oměu úlumu, což je omě vního řekmu k uhému řekmu.
Jenou z hlavních secfkací je aké usálená ochylka e ( ) (vz.ob..). Je o ozíl výsuní velčny v usáleném savu o ožaované honoy. Obvykle ožaujeme, aby usálená ochylka byla malá nebo nulová. Se Resonse efeence.8 bez ochylky e( ) Amlue.6 s ochylkou.4. 3 4 5 6 7 8 9 Tme (sec) ob.. Usálená ochylka řechoové chaakesky. Chování ve fekvenční oblas Kažý lneání sysém je obře osán svou fekvenční chaakeskou a ř hleání vhoného eguláou můžeme vyjí ávě z jeho fekvenční chaakesky fekvenční meoy návhu eguláou. Pořebujeme nají akový eguláo, aby fekvenční chaakeska uzavřené smyčky měla učý ožaovaný va. To je os složé, ale někeé vlasnos fekvenční chaakesky uzavřené smyčky se ají ozna z fekvenční chaakesky oevřené smyčky a na om jsou založeny klascké fekvenční meoy. Navhujeme ey fekvenční chaakesku oevřené smyčky ak, abychom osáhl ožaované chaakesky uzavřené smyčky.
.. Šířka řenášeného ásma ω BW Přozenou fekvenční secfkací je šířka řenášeného ásma (vz.ob..3), což je maxmální fekvence, ř keé výsu ozumně sleuje snusový vsu. Z fekvenční chaakesky komlemenání clvosní funkce je vě, že neřenáší vysoké fekvence a má ey chaake olní ásmové ous (vz.ob..3). Šířka ásma je ána fekvencí, ke výsu má olovční eneg než vsu, j. amluová fekvenční chaakeska oklesne o 3B. Šší ousné ásmo znamená ychlejší oezvu sysému, ey kaší obu náběhu, což ukazuje svázanos s ožaavky o časovou oblas. Záoveň ale znamená věší clvos na ouchy. Boe Dagam 8 6 4 agnue (B) - -4 ω BW -6-8 - Fequency (a/sec) ob..3 Amluová fekvenční chaakeska komlemenání clvosní funkce.. Amluová a fázová bezečnos Nyqusovo kéum sably říká, že je-l sysém oevřené smyčky sablní, je sablní sysém uzavřené smyčky ávě ehy, kyž Nyqusův gaf oevřené smyčky neobkouží kcký bo { }. V éo souvslos se efnují ojmy bezečnos sably, keých se časo využívá ř návzích
eguláoů. Jsou o amluová a fázová bezečnos. Ty učují maxmální možnos změny zesílení a fáze oevřené smyčky, ř keé její ůběh osáhne meze sably, j.oje kckým boem { }. Pojem amluová bezečnos G (gan magn znázoněno na ob..4) je efnován jako maxmální změna zesílení, ř keé se ůběh oevřené smyčky na fáz 8 osane na mez sably, j. oje kckým boem { }, a uává ak mez o keé se sabla nezaí. Sejně ak ojem fázová bezečnos P (hase magn znázoněno na ob..4) je efnován jako maxmální změna fáze, ř keé se ůběh oevřené smyčky s amluou osane na mez sably, j. oje kckým boem { }, a uává ak mez o keé se sabla nezaí. Fázová bezečnos má ve věšně říaů vlv na ezonanční řevýšení fekvenční chaakesky uzavřené smyčky, oažmo na řekm řechoové chaakesky. Po sysémy.řáu je vzah mez fázovou bezečnosí a řekmem án exakně, ovšem o složější sysémy jž yo vzahy neexsují. Nyqus Dagam.8.6.4 Im a g n a y A x s. -. -.4 P /G -.6 -.8 - - -.8 -.6 -.4 -...4.6.8 Real Axs ob..4 Amluová a fázová bezečnos oevřené smyčky 3
Fekvence, na keé je fáze oevřené smyčky ovna 8, a fekvence, na keé je zesílení oevřené smyčky ovné, se nazývá řechoová fekvence ω G a ω P (vz.ob..5). Boe Dagam 5 agnue (B) -5 ω P G - -5-9 -35 P Phase (eg) -8-5 ω G -7 - - 3 Fequency (a/sec) ob..5 Fekvenční chaakeska oevřené smyčky..3 Komlemenání clvosní funkce Jak bylo uveeno v řechozí kaole, komlemenání clvosní funkce je efnována jako řenos efeenčního sgnálu na výsu y : T ( s ) Y = R ( s ) ( s) L = + ( s) L( s). (.) Pomocí éo funkce můžeme ovlvn ůběh řechoové chaakesky. Rezonanční řevýšení éo funkce je svázáno s řekmem řechoové chaakesky a šířka řenášeného ásma, jak bylo uveeno v čás.., ovlvňuje obu náběhu řechoové chaakesky a vlv vysokofekvenčních šumů n senzou výsuní velčny y. 4
..4 Clvosní funkce Jak bylo uveeno v řechozí kaole, clvosní funkce je efnována jako řenos efeenčního sgnálu na ochylku e a záoveň řesavuje vlv ouchy na výsuní velčnu y : S ( s) E = R ( s) ( s ) Y = D s ( s ) = ( ) + L( s). (.) Tvaováním fekvenční chaakesky clvosní funkce můžeme ey ovlvn řeevším vlv ouch na sousavu. Sejně jako u komlemenání clvosní funkce ze exsuje učé ásmo ooušěných fekvencí (vz.ob..6). Lée řečeno exsuje učé ásmo neooušěných fekvencí. Z fekvenční chaakesky víme, že clvosní funkce neřenáší nízké fekvence a má ey ůběh honí ásmové ous. Čím věší bue fekvence ω s, na keé osáhne ůběh amluové fekvenční chaakesky honoy o 3B menší než honoa na vysokých fekvencích, ím menší bue vlv ouch více nžších fekvencí nebue oušěno. Boe Dagam 8 6 4 agnue (B) - -4-6 -8 - ω s Fequency (a/sec) ob..6 Amluová fekvenční chaakeska clvosní funkce 5
.3 Rezonanční řevýšení clvosních funkcí Amluová bezečnos má význam ehy, kyž je neučos v zesílení. Sejně ak fázová bezečnos má význam ehy, kyž je neučos ve fáz. Poku ovšem yo neučos nasanou současně, ak nám amluová a fázová bezečnos sablu nezajsí. V omo říaě je leší ouží meou, keá zajsí učou vzálenos ůběhu oevřené smyčky o kckého bou { }. Tuo vzálenos můžeme zajs ak, že žáný bo Nyqusovy chaakesky oevřené smyčky nebue leže v oblas vymezené kužncí o oloměu a se sřeem v boě { }, jak je znázoněno na ob..7. Záoveň má ao vzálenos souvslos s ezonančním řevýšením clvosní funkce. Na fekvenc, na keé je ao vzálenos nejmenší, bue leže maxmum ezonančního řevýšení s (vz.ob..8) clvosní funkce o velkos s =, (.3) l ke l je vzálenos nejblžšího bou Nyqusovy chaakesky oevřené smyčky o kckého bou { }. Im - Re L(jω) ob..7 Nyqusova chaakeska oevřené smyčky 6
Sejně ak ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce souvsí s Nyqusovou chaakeskou oevřené smyčky. Jeho maxmum (vz.ob..8) je na fekvenc, ke se na Nyqusově chaakesce nachází bo, keý leží na kužnc o oloměu = (.4) a se sřeem v boě =. (.5) Boe Dagam 5 agnue (B) 5-5 s - -5 - - Fequency (a/sec) ob..8 Amluová fekvenční chaakeska clvosní a komlemenání clvosní funkce Pomocí maxmálního ezonančního řevýšení clvosní komlemenání clvosní funkce nám slní ožaavky na yo honoy. Vhonou volbou s a můžeme navhnou eguláoy, keé s můžeme zajs učou mnmální amluovou a fázovou bezečnos, lée řečeno najeme (vz.ob..9). s akové, keé nám jejch ožaované honoy zajsí 7
Im ξ - Re ob..9 Zajšění mnmální amluové a fázové bezečnos Př návhu učíme maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce s. Půběh oevřené smyčky ak musíme vyvaova ak, aby se vyhnul kužnc se sřeem v kckém boě { } a oloměem =. (.6) s V omo říaě máme zaučenou mnmální amluovou bezečnos G s mn = = =, (.7) ke je znázoněno na ob..9. s Sejně ak máme zaučenou mnmální fázovou bezečnos P = ξ = acsn acsn, (.8) mn = ke úhel ξ je znázoněn na ob..9. s Poobně ř učení maxmálního ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce musíme ůběh oevřené smyčky vyvaova ak, aby se vyhnul kužnc se sřeem v boě ole ovnce (.5) a o oloměu ole ovnce (.4), což nám zaučí mnmální amluovou bezečnos 8
G = = =. (.9) mn = + + Sejně ak máme zaučenou fázovou bezečnos P mn = ξ = acsn. (.) Rovnce (.) je shoná, až na oměnnou, s ovncí (.8), jelkož kužnce se sřeem v boě ole ovnce (.5) a o oloměu ole ovnce (.4) má shoný ůsečík s jenokouvou kužncí, jako kužnce o oloměu ole ovnce (.6) a se sřeem v boě { }. Využí ěcho secfkací je velce výhoné o návh eguláoů, jelkož umožňují jak slnění ožaavků na řechoový ěj, ak mají možnos vlvu na říané ouchy, a záoveň lze jm zauč ožaavky na bezečnos. 9
3 Posu návhu eguláou Posu bue sočíva v nalezení množny všech PID eguláoů, keé na učé fekvenc buou zajšťova ané maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce, což bue mí vlv na olačení ouch, a ále nalezení množny všech PID eguláoů, keé na jné učé fekvenc buou zajšťova ané maxmální ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce, což bue mí vlv na řekm řechoové chaakesky, jelkož en je svázán s ezonančním řevýšením fekvenční chaakesky. Z ěcho vou množn oé můžeme vyba eguláoy, keé buou zajšťova oba ožaavky. V říaě, že akovéo eguláoy nebuou exsova, je řeba vzájemně uav ožaavky na jenolvá ezonanční řevýšení. 3. Rezonanční řevýšení clvosní funkce Po řenos j ( ω ) ( jω ) ( ω ) e φ G =, (3.) ke ( ω ) a ( ω ) φ jsou amlua a fáze fekvenční chaakesky ocesu, hleáme vhonou množnu PID eguláoů s řenosem G ke k =, (3.) s ( s ) k + k s c + k, k a k jsou ooconální, negační a evační konsany PID eguláou. Po výoče aných aameů eguláoů oužjeme obnou subsuc φ ( ω ) φ ( ω ) π = (3.3) o ovnce (3.), keá nám usnaní oenac, jelkož se ohybujeme hlavně ve III.kvaanu komlexní ovny. Rovnce o vyjáření ůběhu oevřené smyčky bue oom vyaa ako: j ( φ ( ω ) π ) k L( jω ) = G ( jω ) Gc ( jω ) = ( ω ) e k + j kω. (3.4) ω
Jak bylo uveeno v řechozí kaole, o získání aného maxmálního ezonančního řevýšení clvosní funkce s se musí ůběh Nyqusovy chaakesky oevřené smyčky vyhnou kuhu vymezeného kužncí, se sřeem v kckém boě { } a oloměem =. (3.5) s Im - θ A Re L(jω) ob.3. Půběh Nyqusovy chaakesky oevřené smyčky Přeokláejme, že křvka se oýká kužnce ečně v boě A. Pomínku, že smyčka řenosové funkce ímo boem ochází můžeme s obnou úavou ole [] zasa ako: j ( π ) k k + j kω = + cosθ j sn θ ω, (3.6) φ ( ω ) ( ω ) e ke a θ jsou efnovány na ob.3. a je sře vymezující kužnce, v omo říaě =. Rozělením eálné a magnání čás éo ovnce získáme: ( ω ) k ( ω ) cosφ ( ω ) k sn φ ( ω ) ω ( ω ) sn φ ( ω ) cosθ ω k + = + (3.7) k ( ω ) φ ( ω ) ( ω ) sn + k cosφ ω ( ω ) k ω ( ω ) cosφ ( ω ) = sn θ. (3.8)
Směnc ečny k ůběhu získáme evací řenosu oevřené smyčky v učém boě o učou fekvenc: ( jω ) L ω = ( ) ( ) ( ) ( ) j φ ω π ω ω e k ( ω ) + j k φ ke ( ω ) a ( ω ) o ( ω ) k + kω ω k k ω φ ω ( ω ) ( ω ) + k ( ω ) + k + ω, (3.9) φ jsou evace amluy řenosu a fáze řenosu osunué π. V říaě, že chceme, aby ao ečna byla ečnou k výše zmňované kužnc, ak ole [] ( jω ) L ag ω φ ( ω ) π = θ, j. (3.) ( ω ) k φ π + acan k + k ( ω ) ( ω ) Rovnc (3.) můžeme zjenouš na ( ω ) ( ω ) k ω + k ω k k ω φ ω ( ω ) k + ω π = θ. (3.) ak bk + ck = (3.) ke + ( ω ) ( ω ) a = φ ( ω ) coan ( θ + φ ( ω )) (3.3) ( ω ) ( ω ) ( ω ) φ b = coan( θ + φ ( ω )) (3.4) ω ω ω ( ω ) ( ω ) ω c = + + ωφ ( ω ) coan( θ + φ ( ω )). (3.5) Tím jsme získal ř ovnce (3.7), (3.8) a (3.) o ě neznámých k, k, k, θ a ω. Dvě z ěcho neznámých můžeme ouží jako oměnné, za keé bueme osazova, čímž získáme ř ovnce o řech neznámých. Nejvhonější bue ouží jenu z konsan eguláou jako aame ěcho ovnc a zbylé vě konsany bueme hlea jako funkc oměnné fekvence ω. Po učou honou fekvence ω získáme učou honou zbylých vou konsan eguláou. Na éo fekvenc oje k ečnému
konaku Nyqusovy chaakesky s kužncí o oloměu a k ezonančnímu řevýšení fekvenční chaakesky o velkos s. Jako oměnný aame zvolíme konsanu evační složky k a bueme hlea vojce ooconálních a negačních konsan k a k. Z ovnc (3.7) a (3.8) můžeme vyjář k a k jako funkc k sn θ : sn φ cosφ cosφ = sn θ sn θ (3.6) ( ω ) ( ω ) ( ω ) ω cosφ ω sn φ ω sn φ k + = sn θ sn θ kω. (3.7) ( ω ) ( ω ) ( ω ) Př osazení ovnc (3.3), (3.4), (3.5), (3.6) a (3.7) o ovnce (3.) získáme o úavách ovnc ve vau: 4 3 Asn θ + Bsn θ + C sn θ + Dsn θ + E =, (3.8) ke A, B, C, D a E jsou o učou fekvenc ω konsany: ( ω ) A = (3.9) B = ω + C = ω D = E = + + 3 ( ) ω ( ω ) cosφ ( ω ) ( ω ) φ ( ω ) cos φ ( ω ) sn φ ( ω ) 4k ( ω ) sn φ ( ω ) cosφ ( ω )( ( ω ) ω ( ω )) ( ω ) ( ω )( sn φ ( ω ) cos φ ( ω )) + ( ω )( ω φ ( ) + ω ωφ ( ω ) sn φ ( ω ) cosφ ( ω )) + ( ω ) sn φ ( ω )( ) ω ( ω ) ( ω ) sn φ ( ω ) + ω + 4k ω 3 ( ω ) 4 kω ( ω ) sn φ ( ω ) + ( ω ) ( ω ) φ ( ω ) cosφ ( ω ) + k ( ω ) + ( ω ) sn φ ( ω ) ( )+ ω ( ω ) φ ( ω )( ( ω ) φ ( ω ) ω sn ( ω )) + 3 + ( ω )( ω ( ω ) sn φ ( ω ) cosφ ( ω ) ( ω ) sn φ ( ω ) cosφ ( ω )) + 4k ω ( ω ) φ ( ω )( ( ω ) φ ( ω ) + ω cos sn ( ω )) 4 ( )( ( ω ) sn φ ( ω ) + ω ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) sn φ ( ω )) + 4k ω ( ω ) sn φ ( ω )( ω ( ω ) k ω ( ω ) sn φ ( ω )) + + 4 k ω 3 3 ( ω ) sn φ ( ω ). + + + (3.) (3.) (3.) (3.3) 3
Př řešení našeho oblému omezíme úhel θ ouze na ozsah ; π, o znamená, že o vyřešení ovnce (3.8) využjeme ouze eálné kořeny sn θ v ozsahu ;. Pomocí ěcho kořenů vyočeme ole (3.6) a (3.7) vojce ooconálních a negačních konsan k a k o anou fekvenc ω a aný oměnný aame evační konsany k. Z ěcho vojc využjeme ouze y, jejchž honoy jsou věší nebo ovny nule. Z ěcho výsleků vyneseme gaf závslosí k na k o jenolvá k. V říaě, že jena nebo vě z konsan k, k a k buou ovny nule, jená se o říslušný eguláo yu PI, PD, P, I nebo D. 3. Rezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce V říaě zajšění učého maxmálního ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce je aké řeba vyvaova Nyqusovu chaakesku oevřené smyčky ak, aby se vyhnula kužnc, keá je ovšem oo řechozímu říau učena ole [] sřeem = (3.4) a oloměem =, (3.5) ke je velkos ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce na učé fekvenc ω. Sejně jako v řechozím říaě získáme gaf závslosí k na k o jenolvá k. Př sojení s gafem z řechozí čás můžeme ak nají eguláoy slňující ožaavky na s a záoveň. Z nch oom můžeme vyba eguláo, keý na řízenou sousavu oužjeme. 4
4 Příklay 4. Sysém 3.řáu Nechť řenos egulovaného sysému je G ( s ) =. (4.) s ( + ) 3 Po hleání vhoného eguláou zvolíme maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce = a maxmální ezonanční řevýšení s komlemenání clvosní funkce =. Po hleání množny všech eguláoů musíme ješě zvol aame k. Zvolíme nař. ř honoy, o keé bueme hlea honoy k a k, k = { ;,3;,8 }. Použím naogamovaného algomu osuu návhu v ATLABU získáme gaf (vz.ob.4.)..6.4. s o k= s o k=,3 s o k=,8 o k= o k=,3 o k=,8 k.8.6.4..5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 k ob.4. Gaf závslos k na k 5
Na ob.4. je znázoněna závslos k na k o jenolvá k. Plnou čaou jsou znázoněny eguláoy, keé zajšťují maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce s. Přeušovanou čaou jsou znázoněny eguláoy, keé zajšťují maxmální ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce. Jak je vě z gafu, o aný řenos ( s ) neexsuje žáný eguláo, keý by zajsl oba yo ožaavky najenou. Je oo řeba yo ožaavky uav ak, aby je bylo možné sln. Změníme honou maxmálního ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce na =, 5, čímž získáme nový gaf (vz.ob.4.). G s.4. s o k= s o k=,3 s o k=,8 o k= o k=,3 o k=,8.8 k.6.4..5.5.5 3 3.5 4 k ob.4. - Gaf závslos k na k Na ob.4. víme, že o změně ožaavku na se oařlo nají několk eguláoů, keé ožaavky zajšťují. Na gafu je vě několk eguláoů v mísech ke se lné a řeušované čáy jenolvých baev oínají. Jsou o va eguláoy yu PI, ey o k =, a va eguláoy yu PID o k =, 3. 6
Reguláoy PI mají konsany k =, 464, k =, 534, a uhý k =,686, k =, 67. Nalezené PID eguláoy s konsanou k =, 3 mají osaní konsany k =, 37, k =, 39, a uhý k =, 95, k =,867. Z ěcho eguláoů vybeeme y, keé mají nejvěší negační složku. Použjeme ey eguláo PI s konsanam k =, 686, k =, 67, a eguláo PID s konsanam k =, 95, k =, 867 a k =, 3.Chování sysému s jejch oužím ozkoumáme..8 Nyqus Dagam 4 B B B - B -4 B.6 kužnce zajšťující 6 B -6 B.4 B - B Imagnay Axs. -. kužnce zajšťující s B - B -.4 -.6 -.8 -.5 - -.5 - -.5 Real Axs ob.4.3 Nyqusova chaakeska oevřené smyčky Jak je vě na ob.4.3, oba vybané eguláoy zajšťují omínku vyvaova ůběh Nyqusovy chaakesky ak, aby se vyhnul kužnc zajšťující maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce a záoveň kužnc zajšťující maxmální ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce. 7
4 3 PI PID Boe Dagam agnue (B) - - -3-4 -5 - Fequency (a/sec) ob.4.4 Amluová fekvenční chaakeska komlemenání clvosní funkce Na ob.4.4 je vě, že eguláoy zajsl žáané maxmální ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce = 3,5B, 5, a že PID eguláo zajsl věší šířku řenášeného ásma než PI eguláo. Sejně ak na ob.4.5 je vě, že eguláoy zajsl žáané maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce = 6B, a že PID eguláo zajsl věší šířku ásma neřenášených fekvencí. Z ěcho oznaků víme, že vhonějším o řízení sysému bue zvolený PID eguláo, než PI eguláo. PID eguláo zajšťuje věší šířku řenášeného ásma komlemenání clvosní funkce a uíž ychlejší oezvu sysému, což ovzuje řechoová chaakeska (vz.ob.4.6). Sejně ak PID eguláo má věší šířku ásma olačených fekvencí clvosní funkce a okáže ey více olač ouchy. s 8
s 5 Boe Dagam PI PID agnue (B) -5 - -5 - - Fequency (a/sec) ob.4.5 Amluová fekvenční chaakeska clvosní funkce.4 Se Resonse. Amlue.8.6 PI PID.4. 5 5 5 3 Tme (sec) ob.4.6 Přechoová chaakeska Z řechoové chaakesky (vz.ob.4.6) je vě, jak jž bylo řečeno, že PID eguláo zajsl leší oezvu, ey kaší obu náběhu a obu usálení, sejně jako menší řekm řechoové chaakesky. 9
Se Resonse.8.6 Amlue.4. PI PID -. -.4 5 5 5 3 Tme (sec) ob.4.7 Reakce sysému na ouchu Z éo řechoové chaakesky vychází eakce sysému na ouchu (vz.ob.4.7). Z ní je vě, že leší olačení ouch zajšťuje PID eguláo. Polačení zajsí v kaší obě a s menším řekmem. 4. Kmavý sysém 3.řáu Nechť řenos egulovaného sysému je G =. (4.) ( s ) ( s + )( s + s + ) Honoy ezonančních řevýšení onecháme sejné, jako v řechozím říklaě, ey s = a =, 5. Paame k ozšíříme oo řechozímu říklau o honou k =,. Použím algomu osaneme gaf na ob.4.8. 3
.4. s o k= s o k=,3 s o k=,8 s o k=, o k= o k=,3 o k=,8 o k=,.8 k.6.4..5.5.5 k ob.4.8 - Gaf závslos k na k Z gafu (vz.ob.4.8) získáme ouze jeen PID eguláo, jehož konsany jsou k =, 438, k =, 864 a k =, 8. Boe Dagam 6 4 agnue (B) - -4-6 -8 komlemenání clvosní funkce T(s) clvosní funkce S(s) - - Fequency (a/sec) ob.4.9 Amluová fekvenční chaakeska clvosních funkcí 3
Na fekvenčních chaakeskách komlemenání clvosní funkce a clvosní funkce (vz.ob.4.9) víme, že ožaavky na obě honoy jsou slněny. Po zajímavos, ješě ůběh řechoové chaakesky (vz.ob.4.) a eakce sysému na ouchu (vz.ob.4.)..4 Se Resonse. Amlue.8.6.4. 5 5 5 Tme (sec) ob.4. Přechoová chaakeska. Se Resonse.8 Amlue.6.4. -. 5 5 5 Tme (sec) ob.4. Reakce sysému na ouchu 3
4.3 Sysém 4.řáu Nechť řenos egulovaného sysému je 5 G =. (4.3) ( s ) ( s + )( s + )( s + 4)( s + ) Honoy ezonančních řevýšení oě onecháme sejné = a =,5. Paamey algomu osaneme gaf na ob.4.. k lehce ozměníme na k = { ;,3;,5;, } s. Použím 5 4.5 4 3.5 3 s o k= s o k=,3 s o k=,5 s o k=, o k= o k=,3 o k=,5 o k=, k.5.5.5 3 4 5 6 7 k ob.4. - Gaf závslos k na k Z gafu na ob.4. je ané, že eguláoů se nabízí hne několk. Vybeeme ř eguláoy, keé mají nejvěší negační složku. Pvní eguláo má konsany k = 3, 37, k =, 593, k =, 3, uhý eguláo má konsany k = 4, 67, k =, 756, k =, 5, a řeí eguláo k = 5,87, k =, 548, k =,. Na fekvenčních chaakeskách (vz.ob.4.3 a ob.4.4) víme, že všechny eguláoy zajšťují ožaované honoy. Z hleska ásma 33
ooušěných a neooušěných fekvencí se jeví jako nejvhonější řeí eguláo, ey s nejvěší evační složkou. 4 3 Boe Dagam.eguláo.eguláo 3.eguláo agnue (B) - - -3-4 -5 Fequency (a/sec) ob.4.3 Amluová fekvenční chaakeska komlemenání clvosní funkce Boe Dagam 6 4.eguláo.eguláo 3.eguláo agnue (B) - -4-6 -8 - Fequency (a/sec) ob.4.4 Amluová fekvenční chaakeska clvosní funkce 34
.4 Se Resonse. Amlue.8.6.4.eguláo.eguláo 3.eguláo. 3 4 5 6 7 8 9 Tme (sec) ob.4.5 Přechoová chaakeska.8 Se Resonse.eguláo.eguláo 3.eguláo.6.4 Amlue. -. -.4 4 6 8 Tme (sec) ob.4.6 Reakce sysému na ouchu Z řechoové chaakesky víme, že oba náběhu řekm jsou nejkaší o řeí eguláo. Leší obu usálení má ovšem uhý eguláo, ovšem ozíl je zanebaelný. I v říaě ouchy, má nejleší eakc řeí eguláo. 35
5 Závě Cílem éo áce bylo vyvoření oceu v osřeí ATLAB, keé umožní gafcký návh PID eguláoů zajšťující nejvyšší ovolené ezonanční řevýšení clvosní funkce. Tao meoa nám oskyla množnu všech eguláoů, keé oo ané maxmální řevýšení zajšťují. Po učení vhoného eguláou z éo množny, byla ao meoa ozšířena o učení nejvyššího ovoleného ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce. Tím jsme získal alší množnu všech eguláoů, keé zajsl oo řevýšení. Z ěcho množn jsme vybal eguláoy, keé zajsl ao řevýšení současně. Po yo jenolvé eguláoy nám fekvenční chaakesky clvosních a komlemenáních clvosních funkcí a řechoové chaakesky oskyly nfomace o jejch vlvech na egulovaný sysém (ychlos a kvala oezvy, ásmo olačovaných fekvencí clvosní funkce, a.). Pole nch je možné vyba nejvhonější eguláo. Výhonos ouží éo meoy je v řesném učení maxmálních ezonančních řevýšení, keé eguláoy zajsí. Paameem o clvosní funkc učujeme vlv ouch na sousavu a aameem o komlemenání clvosní funkc ůběh oezvy sysému. Nevýhoou může bý ořeba aameu jené z konsan eguláou. Použím vhoného ozšřujícího algomu by ovšem bylo možné ohlea věší množsví eguláoů a uo nevýhou ak osan. 36
Leaua [] K.J.Asöm, T.Hägglun: PID Conolles: Theoy, Desgn an Tunng ISA The Insumenaon, Sysém, an Auomaon Socey, 995 [] J.L.Guzman, K.J.Asöm, S.Domo, T.Hägglun,.Beenguel, Y.Pgue: Oboný článek Ineacve Leanng oules fo PID Conol IEEE Conol Sysems agazne, 8 [3] G.F.Fankln, J.D.Powell, A.Emam-Naen: Feeback Conol of Dynamc Sysems Pence Hall, 6 [4].Šebek: Slajy řenášek řeměu Sysémy a řízení X35SRI.Šebek ČVUT, 7 37
Přílohy Obsah řloženého CD: b_9_baek_omas.f ex áce v elekoncké oobě Poceuy osřeí ATLAB: caelmag.m vací veko olynomu magnání čás čaele řenosu o úavě na eálný jmenovael.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu caeleal.m vací veko olynomu eálné čás čaele řenosu o úavě na eálný jmenovael.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu fekvenceange.m vací sloucový veko fekvencí velkos, o keé buou očíány konsany eguláoů, le aameů se učí ozsah ohleávaných fekvencí, veko má lneání ůběh.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame honoa maxmálního ezonančního řevýšení jené z clvosních funkcí gemagnue.m vací sloucový veko zesílení o jenolvé fekvence.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame veko fekvencí, o keé hleáme zesílení 38
gemagnueevaon.m vací sloucový veko evací zesílení o jenolvé fekvence.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame veko fekvencí, o keé hleáme evace zesílení gehase.m vací sloucový veko fází o jenolvé fekvence.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame veko fekvencí, o keé hleáme fáze gehaseevaon.m vací sloucový veko evací fází o jenolvé fekvence.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame veko fekvencí, o keé hleáme evace fází honoy.m vací mac konsan o jenolvé fekvence ořebných k výoču konsan eguláou (fekvence, zesílení na fekvenc, fáze na fekvenc, evace zesílení na fekvenc, evace fáze na fekvenc, snus fáze na fekvenc osunué o π, cosnus fáze na fekvenc osunué o π).aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame honoa maxmálního ezonančního řevýšení jené z clvosních funkcí jmenovael.m vací veko olynomu jmenovaele řenosu o úavě na eálný jmenovael.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 39
olyevace.m vací veko olynomu evace olynomu v aameu.aame veko evovaného olynomu un.m oceua o sušění výočů konsan eguláoů a vykeslení solečného gafu, nevací žáný objek.aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame honoa maxmálního ezonančního řevýšení clvosní funkce 4.aame honoa maxmálního ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce 5.aame veko aameů evačních konsan eguláou vyocekonsans.m oceua o výoče konsan eguláoů zajšťujících maxmální ezonanční řevýšení clvosní funkce a vykeslení gafu závslos negačních konsan na ooconálních o jenolvé aamey evační konsany eguláou, vací mac konsan eguláou se slouc (ooconální, negační, evační).aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame honoa maxmálního ezonančního řevýšení clvosní funkce 4.aame veko aameů evačních konsan eguláou 4
vyocekonsant.m oceua o výoče konsan eguláoů zajšťujících maxmální ezonanční řevýšení komlemenání clvosní funkce a vykeslení gafu závslos negačních konsan na ooconálních o jenolvé aamey evační konsany eguláou, vací mac konsan eguláou se slouc (ooconální, negační, evační).aame veko olynomu čaele řenosu.aame veko olynomu jmenovaele řenosu 3.aame honoa maxmálního ezonančního řevýšení komlemenání clvosní funkce 4.aame veko aameů evačních konsan eguláou 4