Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Bc. Eva Nevoralová. technických rezerv

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Eva Nevoralová Rizikové marže při výpočtech technických rezerv Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Studijní program: Studijní obor: Mgr. Zdeněk Roubal Matematika Finanční a pojistná matematika Praha 2012

V úvodu bych chtěla poděkovat Mgr. Zdeňku Roubalovi za vedení práce, věcné připomínky a čas, který mi věnoval při konzultacích. Dále bych chtěla poděkovat RNDr. Michalu Peštovi, Ph.D. za cenné rady.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracovala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne 1.4.2012 Podpis autora

Název práce: Rizikové marže při výpočtech technických rezerv Autor: Bc. Eva Nevoralová Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Mgr. Zdeněk Roubal, KPMG Česká republika s.r.o. Abstrakt: Tato práce se zaměřuje na srovnání metod pro výpočet rizikové marže v neživotním pojištění. Nejdříve popisujeme současnou situaci na evropském pojistném trhu a možné výpočty a přístupy k rizikovým maržím. Dále se zaměřujeme na metodu nákladů na kapitál a simulační přístup k metodě Value at Risk. Kromě teoretických postupů výpočtu jsou v práci uvedeny i praktické výpočty na datech, která mají charakter odpovídající některým odvětvím pojišťoven českého trhu. V závěru uvádíme srovnání výsledků obou metod a pro srovnání navíc uvádíme ještě hodnoty dosažené metodou Tail Value at Risk. Součástí práce je výpočetní pomůcka na výpočet rizikových marží. Klíčová slova: Sovency II, riziková marže, náklady na kapitál, Value at Risk Title: Risk margins within the technical reserves calculations. Author: Bc. Eva Nevoralová Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: Mgr. Zdeněk Roubal, KPMG Czech Republic s.r.o. Abstract: This thesis focuses on the comparison of the non-life insurance risk margin calculation methods. At first, the current situation on the European insurance market is described as well as possible approaches of the risk margin calculations. Next the paper deals with the cost of capital method and Value at Risk simulation approach. Apart from theoretical description of the methods there are also practical calculations based on data, which correspond to the character of some insurance lines on the Czech market, mentioned in this paper. In the final part comparison of both methods results is described and, in addition to that, the results of the Tail Value at Risk method are also mentioned. A computational tool for the risk margins is also included in the thesis. Keywords: Solvency II, Risk Margin, Cost Of Capital, Value at Risk

Obsah Úvod 3 1 Aktuální situace na evropském pojistném trhu 5 1.1 Solvency II.............................. 6 1.2 IFRS 4 - pojistné smlouvy...................... 8 2 Riziková marže 9 2.1 Charakteristika rizikových marží................... 9 2.2 Metody výpočtu rizikových marží.................. 12 2.2.1 Explicitní předpoklady.................... 13 2.2.2 Metody spojené s diskontováním.............. 14 2.2.3 Kvantilové metody...................... 14 2.2.4 Metoda nákladů na kapitál.................. 17 2.3 Riziková marže v konceptu Solvency II............... 18 2.4 Riziková marže v konceptu IFRS 4 - pojistné smlouvy....... 19 3 Matematické nástroje 20 3.1 Metoda Chain-ladder......................... 20 3.1.1 Test předpokladů metody Chain-ladder........... 23 3.1.2 Směrodatná odchylka metody Chain-ladder........ 26 3.2 Bootstrapping............................. 27 3.3 Zobecněný lineární model...................... 28 4 Metody výpočtu rizikových marží 31 4.1 Metoda nákladů na kapitál...................... 31 4.2 Simulační metoda odhadu škodních rezerv............. 35 4.2.1 Simulace s užitím metody Chain-ladder........... 36 4.2.2 Simulace využívající GLM.................. 39 4.2.3 Chyba predikce simulační metody.............. 43 4.2.4 TVaR............................. 44 1

5 Příklad 45 5.1 Srovnání jednoho odvětví více pojišťoven.............. 46 5.2 Srovnání tří odvětví jedné pojišťovny................ 50 Závěr 54 Seznam použité literatury 56 Seznam použitých zkratek 58 A Vstupní trojúhelníky 60 B Grafy testů předpokladů metody Chain-ladder 64 C Výsledky jednotlivých pojišťoven a odvětví 77 2

Úvod Základním kamenem pojišťovnictví je pojistná smlouva, která pojištěnému zajišťuje vyplacení pojistného plnění při vzniku pojistné události. Pojistné plnění nemusí být vždy vyplaceno ihned po vzniku pojistné události, a tak pojišťovna musí tvořit technické rezervy na krytí závazků, které budou vypořádány v budoucnu. Tyto závazky jsou spojeny s nejistotou jak výše, tak doby vypořádání. Z tohoto důvodu je v technických rezervách kromě odhadu výše budoucích závazků zahrnuta i riziková marže, která nejistotu spojenou s výší budoucích toků vyjadřuje. Rizikové marže se nevyskytují pouze v pojišťovnictví, ale obecně ve finančním sektoru. Objevují se vždy, kdy jedna strana přebírá riziko strany druhé, ať už jde o úvěr či třeba životní pojištění. Pro výpočet rizikových marží v pojišťovnictví existuje mnoho postupů a i interpretace jejich významu může být různá. Jelikož není určeno, jakým přístupem by se pojišťovny měly řídit, metoda výpočtu se společnost od společnosti liší. Přístup k rizikovým maržím i jejich výpočet sjednocuje koncept Solvency II, který je v současnosti připravován a který si klade za cíl zkvalitnění řízení rizik v pojišťovnictví na území Evropské unie. Solvency II interpretuje rizikovou marži jako cenu za vystavení se riziku a pro výpočet určuje metodu nákladů na kapitál. Podmínky na výpočet rizikových marží však kromě Solvency II klade i mezinárodní účetní standard IFRS 4 - pojistné smlouvy. Druhá fáze tohoto standardu je v současnosti také ve stavu příprav a jejím cílem je sjednocení a zprůhlednění účtování o pojistných rizicích. Postupy pro výpočet rizikových marží pro účetní výkaznictví nejsou v současném znění návrhu specifikovány. V návrhu je však uvedeno, že ať bude riziková marže počítána jakýmkoliv způsobem, k výsledkům 3

by měly být zveřejněny další informace umožňující srovnání s výsledky ostatních metod jako například dosažená hladina Value at Risk spočtené marže. Vzhledem k těmto skutečnostem jsme se rozhodli porovnat výsledky metod navrhovaných ve standardech a zhodnotit, do jaké míry jednotlivé metody odráží rozdílné charakteristiky vypořádání škod. Přístupy k výpočtu rizikových marží pro životní a neživotní pojištění se výrazně liší. Z tohoto důvodu jsme práci omezili pouze na výpočet pro neživotní pojištění. 4

Kapitola 1 Aktuální situace na evropském pojistném trhu Abychom mohli vysvětlit roli rizikových marží v pojišťovnictví, popíšeme nejdříve základní myšlenku pojistné smlouvy a aktuální situaci na evropském pojistném trhu. Jak uvádí Mezinárodní aktuárská organizace (IAA) v [11], v pojistné smlouvě se pojistitel zavazuje, výměnou za platbu pojistného, k poskytnutí sady benefitů pojištěnému, které jsou závislé na výskytu nějaké náhodné specifikované situace ovlivňující život nebo majetek pojištěného. Z pohledu pojištěného jde tedy o transfer rizika, jemuž dotyčný nechce nebo nemůže sám čelit, a při kterém uvažuje subjektivní ohodnocení nákladů a plnění vyplývajících ze smlouvy. Pojistitel má možnost spravovat tato rizika pojištěných pomocí různých technik, jako například pomocí diverzifikace rizik, zajištění nebo sekuritizace. Dokud není převzatý závazek vypořádán, pojistitel nese tzv. současnou hodnotu obligace. Tato obligace je v regulatorním i finančním výkaznictví považována za závazek, který se skládá z očekávané současné hodnoty budoucích finančních toků a rizikové marže. Riziková marže odráží nejistotu spojenou s očekávanými finančními toky. Základní veličinou, se kterou pojistitel pracuje, je tedy pojistné riziko, které zákon o pojistné smlouvě [17] definuje jako míru pravděpodobnosti vzniku pojistné události. Pojistná událost je dále definována jako nahodilá skutečnost blíže označená v pojistné smlouvě, se kterou je spojen vznik povinnosti pojistitele poskytnout 5

pojistné plnění. U pojistné události pozorujeme kromě pravděpodobnosti vzniku také pravděpodobnost její výše a dobu jejího vypořádání. Vznik pojistné události, výše škody i doba jejího vypořádání jsou náhodné veličiny. Vzhledem ke specifické charakteristice pojistného rizika je v současné době snaha o sjednocení postupů při řízení rizik pojišťovny a kontroly pojistného trhu na mezinárodní úrovni. Tuto regulaci pojistného trhu upravují například standardy Solvency II a IFRS 4 - pojistné smlouvy. 1.1 Solvency II Koncept Solvency II je systém regulatorních požadavků na společnosti zabývající se pojištěním nebo zajištěním. Jejím cílem je zkvalitnění řízení rizik v pojišťovnictví, sjednocení systému dohledu nad pojišťovnami, nastavení podmínek solventnosti pojišťoven a sjednocení požadavků na výkaznictví pojišťoven v zemích Evropské unie. Koncept je založen na třech pilířích, které upravují kvantitativní požadavky, kvalitativní požadavky a zveřejňování informací. Součástí systému je takzvaný standardní vzorec, jímž jsou dány postupy výpočtu kapitálových požadavků, které jsou pro pojišťovny, které nemají svůj interní model, závazné. Uveďme si nyní rozdělení kapitálu pojišťovny dle Solvency II a význam jednotlivých částí. Rozdělení kapitálu pojišťovny Výpočty pro určení solventnosti pojistitele budou dány standardním vzorcem. Ten bude závazný pro všechny pojistitele, kteří si nevytvoří úplný nebo částečný interní model, pomocí kterého by řídili rizika a počítali kapitálovou vybavenost. Jaký dopad mají výpočetní postupy standardního vzorce na kapitál pojišťoven se zjišťuje pomocí kvantitativních dopadových studií. Dosud proběhlo 5 kvantitativních studií, přičemž poslední studie (QIS5) proběhla na podzim roku 2010. Kapitál, který podle Solvency II budou muset pojišťovny držet, je rozdělen do 6

několika částí. Pojišťovny budou muset tvořit technické rezervy ve výši součtu nejlepšího odhadu budoucích závazků a rizikové marže. Nejlepší odhad pokryje očekávané výplaty pojistných plnění při běžném škodním průběhu. Riziková marže zajistí, že i při mírně nepříznivém škodním průběhu budou technické rezervy dostačující. Dále bude nutné držet kapitál ve výši takzvaného solventnostního kapitálového požadavku (SCR). Ten společně s technickými rezervami zajistí, že i při nepříznivém škodním průběhu bude pojišťovna schopna dostát svým závazkům. Výše SCR je stanovena tak, aby pojišťovna byla v horizontu jednoho roku schopna dostát všem svým závazkům s pravděpodobností 99,5%. Tato pravděpodobnost odpovídá pravděpodobnosti úpadku společnosti s ratingem BBB během jednoho roku. Hladina 99,5% je stejná pro všechny pojistitele nezávisle na jejich skutečném ratingu. Schéma rozdělení kapitálu pojišťovny je uvedeno v obrázku (1.1). Volný kapitál 99,5% VaR Solventnostní kapitálový požadavek Aktiva Riziková marže Nejlepší odhad závazků Technické rezervy Obrázek 1.1: Kapitál pojišťovny Celý koncept Solvency II by měl vstoupit v platnost l. ledna 2014. 7

1.2 IFRS 4 - pojistné smlouvy Kromě snahy o sjednocení řízení pojistných rizik konceptem Solvency II, je na evropském pojistném trhu také snaha o sjednocení postupů účtování o pojistných rizicích. Pojistné riziko, které je podstatou pojistné smlouvy, není obvykle v současných účetních systémech dostatečně zachyceno. Jak uvádí Mezinárodní výbor pro účetní standardy (IASB) v [9], ze současných finančních výkazů pojišťoven je velice složité určit jejich finanční pozici a chování. IASB proto připravuje v rámci mezinárodních finančních a účetních standardů (IFRS) standard pro pojistné smlouvy, který by zavedl jednotný a přehledný účetní systém pro účtování pojistných závazků. 8

Kapitola 2 Riziková marže 2.1 Charakteristika rizikových marží V této kapitole přiblížíme povahu rizikových marží. Vysvětlíme různé pohledy na jejich interpretaci, popíšeme vlastnosti, které by rizikové marže měly mít, a zmíníme se také o způsobu stanovení jejich výše. Interpretace rizikových marží Již víme, že rizikové marže představují část finančních prostředků pojistitele, které jsou spojeny s nejistotou budoucího vývoje pojistných rizik. Tyto prostředky tedy kryjí část závazků při nepříznivém vývoji situace, kdy objem výplat pojistných plnění překročí očekávanou hodnotu těchto výplat. Na rizikové marže se ale můžeme podívat z různých úhlů. Buď je můžeme uvažovat v kontextu ochrany pojištěnců, nebo jako odměnu pojistiteli za vystavení se riziku a nebo jako odměnu pojistiteli za náklady spojené s držením požadovaného kapitálu. Při pohledu, kdy rizikové marže uvažujeme jako jeden z prvků ochrany pojištěných, slouží rizikové marže jako finanční prostředek ke krytí nepříznivých výchylek 9

výplat pojistných plnění od očekávané hodnoty. Riziková přirážka tedy do určité míry zvyšuje pravděpodobnost, že finanční prostředky ke krytí pojistných plnění pojištěným budou dostatečné a že dojde k výplatě pojistných plnění i v případě nepříznivého vývoje, kdy pojistná plnění přesáhnou očekávanou výši. Věnujme se nyní pohledu, kdy uvažujeme rizikové marže jako odměnu pojistiteli za vystavení se riziku. Tento přístup je v současnosti uveden jako základní interpretace rizikových marží jak v konceptu Solvency II, tak v připravovaném znění účetního standardu o pojistných smlouvách. IASB definuje rizikovou marži v [10] jako kompenzaci, kterou pojistitel požaduje, za přijmutí nejistoty plynoucí z budoucích finančních toků, které vzniknou při plnění závazků pojistné smlouvy. Tato definice je dále upřesněna příkladem, že riziková marže měří kompenzaci, kterou by pojistitel požadoval, aby vyrovnal rozdíl mezi plněním závazku plynoucího z pojistné smlouvy, který může dosahovat různé výše, a plněním fixního závazku, který má stejnou očekávanou současnou hodnotu budoucích finančních toků jako závazek zmíněné pojistné smlouvy. Posledním pohledem, který vysvětlíme, je odměna za náklady spojené s držením regulatorního kapitálu. Aby pojistitel mohl provozovat svoji činnost, musí mít kapitál v určité požadované výši. Při udržování tohoto kapitálu vznikají nezbytné náklady a riziková marže je v tomto pohledu uvažována jako kompenzace za tyto náklady. Její výše je tedy dána výší těchto nezbytných nákladů. Uveďme ještě, co se děje s rizikovou marží, není-li v daném období využita. Pokud se tak stane, tvoří její výše zisk, který je rozdělen mezi případné investory jako odměna za ochotu podstoupit pojistné riziko. Pokud je škodní průběh v daném období nepříznivý a výplaty pojistných plnění přesáhly celkovou výši technických rezerv, pak riziková marže snižuje hodnotu ztráty. Vlastnosti rizikových marží Jak jsme již zmínili, výše rizikové marže by měla odrážet povahu pojistného závazku. Mezinárodní asociace pojistných dozorů (IAIS), IAA a IASB proto stanovily pět základních charakteristik, které jsou po rizikových maržích požadovány. 1. Čím méně víme o současném odhadu budoucích závazků a jeho trendu, tím vyšší by riziková marže měla být. 10

2. Riziko s nízkou frekvencí a vysokými nároky by mělo mít vyšší rizikovou marži než riziko s vysokou frekvencí a nízkými nároky. 3. Srovnatelná rizika s různým časovým horizontem by měla mít různé rizikové marže, a to tak, že riziko s delším horizontem by mělo mít rizikovou marži vyšší. 4. Riziková marže rizik s vysokým variačním koeficientem (podílem směrodatné odchylky a střední hodnoty) bude vyšší než riziková marže rizik s nízkým variačním koeficientem. 5. S přibývajícími zkušenostmi klesá nejistota, což sníží i rizikovou přirážku a naopak. Podle [11] pracovní skupina pro rizikové marže při IAA má na vlastnosti rizikové marže ještě další požadavky, kterými jsou transparentnost, prověřitelnost, jednoduchost výpočtu a konzistentnost s účetními požadavky. Stanovení výše rizikových marží K ocenění závazků jsou všeobecně za nejlepší hodnotící metody považovány tržně konzistentní metody, které se při stanovení hodnoty řídí očekávaným přístupem a požadavky účastníků trhu. Bohužel až na výjimky jako katastrofické riziko nebo riziko dlouhověkosti, neexistuje sekundární trh s pojistnými riziky. Navíc ani trh pro tato rizika není příliš likvidní. Proto jsou pojistná rizika považována za nezajistitelná 1. V případě, že by existoval trh s pojistnými závazky, bylo by možné pozorovat vypořádací hodnotu, která by odpovídala ceně závazku. Tato vypořádací hodnota by přirozeně obsahovala odměnu za vystavení se riziku dané pojistné smlouvy. U některých typů rizik je možné replikovat finanční toky plynoucí z pojistného závazku pomocí finančních instrumentů obchodovaných na trhu. V tom případě cena pojistného závazku odpovídá ceně daného finančního instrumentu. Problém, který ovšem v tomto případě nastává, je, že nejsme schopni rozpoznat jednotlivé komponenty, tedy rizikovou marži a současný odhad. 1 V tomto případě uvažujeme slovo nezajistitelná jako český ekvivalent k anglickému nonhedgeable. 11

Podle IAA v [11] IAIS navrhla, aby se cena pojistných závazků počítala pomocí tzv. tříblokové metody. Touto metodou je cena závazku určena jako součet nejlepšího odhadu budoucích finančních toků plynoucích z pojistné smlouvy, diskontu hodnoty dle časové hodnoty peněz a rizikové marže. IASB převzala od IAIS schéma tříblokové metody a pro potřeby finančního výkaznictví připojila ještě čtvrtý blok nazvaný reziduální marže. Ta umožňuje vykazování zisku místo na začátku pojištění až v jeho průběhu. Jak uvádí IASB v [10], reziduální marže vzniká v případě, že současná hodnota budoucích výdajů společně s rizikovou marží bude nižší než současná hodnota budoucích příjmů. Reziduální marže je pak rozpouštěna postupně během pojistné doby podle změn v odhadech peněžních toků. Metod, kterými je možné rizikové marže počítat, je mnoho. Jejich dělení a popis uvedeme v následující kapitole. 2.2 Metody výpočtu rizikových marží Přístupy k výpočtu rizikových marží můžeme rozdělit podle toho, zda rizikovou marži určují explicitně nebo implicitně. V implicitních metodách je riziková marže spočtena jako součást jiné části pojistného závazku. Takovou metodou je například replikace portfolia pojistných smluv portfoliem finančních instrumentů, kdy je riziková marže součástí tržní hodnoty těchto instrumentů. Explicitní metody využívají výše zmíněné tříblokové metody a určují výši rizikové marže samostatným výpočtem. Jelikož naším cílem je porovnání metod výpočtu rizikových marží, budeme se dále zabývat pouze metodami s explicitním výpočtem. Přístupy k výpočtu rizikových marží se dají rozdělit do skupin podle toho, jaké matematické prostředky využívají. Explicitní předpoklady Metody spojené s diskontováním Kvantilové metody 12

Metody nákladů na kapitál Podrobněji se budeme zabývat hlavně posledními dvěma metodami z důvodu jejich využití v současných pojistně-matematických výpočtech. Vhodnost výpočetních metod rizikových marží budeme posuzovat podle toho, jak zohledňují rozdělení pravděpodobností výše škody a dobu jejího vypořádání. Pravděpodobnostní rozdělení udává pravděpodobnosti, se kterými náhodná veličina nabyde jednotlivých hodnot. Podíl směrodatné odchylky a střední hodnoty rozdělení je tzv. variační koeficient (CV), pomocí kterého můžeme porovnávat relativní rozptyl rozdělení. Doba vypořádání rizika je čas, který uběhne mezi vznikem škody a okamžikem vyplacení pojistného plnění. Doba vypořádání může souviset s charakterem rozdělení. Obecně rizika s delší dobou vypořádání mají větší variační koeficient a většinou i vyšší koeficient šikmosti. 2.2.1 Explicitní předpoklady Jak uvádí IAA v [11], za rizikovou marži danou explicitními předpoklady považujeme takovou rizikovou marži, jejíž výše je dána výpočtem, ale individuální rizika nejsou řešena odděleně. Do těchto metod můžeme zařadit například metodu, která k určení výše rizikové marže používá pevnou sazbu. Ta se liší podle pojistných odvětví a stanoví, kolika procentům nejlepšího odhadu se bude výše rizikové marže rovnat. Další metoda, která je používána v životním pojištění, využívá k určení výše rizikové marže specifické úmrtnostní tabulky. Hodnoty těchto tabulek jsou upraveny tak, aby odrážely riziko nejistoty budoucích finančních toků. Tedy například u pojištění smrti by byly hodnoty tabulek upraveny kladným koeficientem a v případě vyplácení anuit záporným koeficientem. Uvedené příklady jsou v některých zemích aktuálně používány ve výkaznictví pro pojistný dohled. První příklad s pevně stanovenou sazbou je dokonce jedno z možných zjednodušení výpočtu rizikové marže v konceptu Solvency II pro pojistitele 13

s pouze jedním pojistným odvětvím. 2.2.2 Metody spojené s diskontováním Metody spojené s diskontováním diskontují budoucí finanční toky podle toho, jakému riziku jsou vystaveny. Diskontování je prováděno bezrizikovou úrokovou sazbou sníženou o rizikový faktor, který může být stanoven podle odvětví, doby vypořádání škod, nebo jiných vlastností, které mají vliv na rozdělení rizika. Jak uvádí IAA v [11] Metody jsou využívány především ve Spojených státech, kde je rizikový faktor roven přímo bezrizikové úrokové míře. Ve výsledku tedy vůbec nedochází k diskontování pojistných závazků. To ale znamená, že riziková marže závisí pouze na všeobecné výši úrokových měr, které často nemají s pojišťovnictvím mnoho společného. V uvedeném příkladu je tedy výše rizikové marže rovna rozdílu nediskontované a diskontované hodnoty pojistného závazku. Výraznou nevýhodou těchto metod je, že berou v úvahu pouze časové rozložení finančních toků. Například povinnému ručení a katastrofickému pojištění, která budou mít stejné časové rozložení finančních toků, přiřadí metoda stejnou rizikovou marži, přestože katastrofické riziko bude mít obvykle výrazně vyšší variační koeficient a šikmější pravděpodobnostní rozdělení. Dalším příkladem je dlouhodobé životní pojištění, které bude mít díky charakteru finančních toků rizikovou marži zdaleka nejvyšší, přestože variační koeficient pravděpodobnostního rozdělení rizika životních pojištění bývá nejmenší. Abychom v metodě zahrnuli i tvar rozdělení, museli bychom jednotlivým rizikům přiřadit různé rizikové faktory. 2.2.3 Kvantilové metody Kvantilové metody stanovují rizikovou marži na základě kvantilů rozdělení výše škod. Mezi nejčastěji používané kvantilové metody patří metoda Value at Risk (VaR) a metoda Tail Value at Risk (TVaR). Dále v této skupině uvedeme ještě metodu expertního odhadu na intervalu. 14

Value at Risk Nejčastější kvantilovou metodou je stanovení intervalů spolehlivosti. Interval spolehlivosti na hladině α pro dané riziko je takový interval, kdy skutečná hodnota rizika nepřekročí hranice tohoto intervalu s pravděpodobností α. Vzhledem k tomu, že řešíme situaci, kdy se skutečné výplaty vychýlí od střední hodnoty směrem nahoru, bude nás zajímat pouze jednostranný interval. V takovém případě nám hranice intervalu, která se také nazývá hodnota v riziku (VaR, z anglického Value at Risk), zaručí, že s danou pravděpodobností α budou vytvořené rezervy dostatečné. Riziková marže je pak právě ta hodnota, o kterou zvyšujeme očekávanou hodnotu budoucích závazků, abychom dosáhli požadovaného intervalu spolehlivosti. Tedy a P (X V ar α (X)) = α RM = V ar α (X) BE(X), (2.1) kde RM... riziková marže, spočtená kvantilovou metodou, V ar α (X)... hodnota v riziku na hladině α, BE(X)... nejlepší odhad budoucích závazků. Rovnost (2.1) platí za předpokladu, že nejlepší odhad budoucích závazků byl sestrojen jako nestranný odhad střední hodnoty budoucích závazků. Pokud jsme určovali výši rezervy na hladině spolehlivosti α, budeme příslušnou rizikovou marži nazývat rizikovou marží na hladině α. Výsledné hodnoty rizikové marže se někdy uvádějí v násobcích směrodatné odchylky. To umožňuje porovnání rizikových marží u rizik s různým tvarem a šikmostí rozdělení. Jak uvádí IAA v [11] Metoda Value at Risk se k určení výše rizikových marží používá například v Austrálii, kde je výše rizikové marže pro obecné pojištění stanovena na hladině spolehlivosti 75%, tedy ve výši V ar 0,75 a je ohraničena minimální hodnotou rovnou 1/2 směrodatné odchylky. 15

Tail Value at Risk Další metodou v této skupině je takzvaná podmíněná hodnota v riziku (TVaR z anglického Tail Value at Risk). Někdy je tato metoda také označována jako CTE (Conditional Tail Expectation). Tato metoda určuje výši rezerv jako střední hodnotu případů, které přesáhnou hodnotu VaR na určité hladině. Neboli T V ar α (X) = E(X X V ar α (X)), (2.2) kde T V ar α (X)... podmíněná hodnota v riziku na hladině α a riziková marže se spočte ze vzorce (2.1), kde za V ar α (X) dosadíme T V ar α (X). Pokud bychom porovnali výsledky z výpočtů pomocí VaR a TVaR, zjistili bychom, že pro rizika, jejichž rozdělení není příliš šikmé, dosahují obě metody srovnatelných výsledků. U rizik, jejichž rozdělení je výrazně zešikmeno je pak výsledná riziková marže spočtená metodou TVaR vyšší než riziková marže spočtená metodou VaR. Expertní odhad na intervalu Poslední metodou, kterou si zde uvedeme, je expertní odhad na intervalu. V této metodě není riziková marže určena výpočtem, ale je dáno rozpětí, ve kterém by se hodnota rizikové marže měla nacházet. Výsledná hodnota je pak stanovena odpovědným pojistným matematikem. Ten ji odhadne na základě odpovědí na otázky o pojistném kmeni a celkovém obchodu pojišťovny uvedené v příslušném pojistném standardu. Všechny uvažované předpoklady, výsledná marže a příslušná odůvodnění jsou následně předkládána pojistnému dozoru. Přestože je tato metoda aktuálně využívána v Kanadě, její rozšíření na mezinárodní úroveň by bylo problematické. IAA v [11] uvádí hned tři důvody, proč by tato metoda nemohla být na mezinárodní úrovni využívána. Za prvé, výše rizika se stát od státu liší a proto by bylo nutné stanovit různá rozpětí pro jednotlivé státy, čímž by zanikla možnost kontroly konzistence metod společným pojistným dohledem. Za druhé, výsledná výše rizikové marže může být chápána jako výsledek vyjednávání mezi pojistitelem a pojistným dohledem. To by znamenalo, že výsledek by již nebyl pouze zodpovědností pojistitele, jak by mohlo být požadováno 16

v účetním standardu IFRS. A za třetí, rozdíly mezi členy mezinárodních skupin pojistitelů by činily problémy v použití jednotných účetních postupů v rámci skupiny. Jeden z největších nedostatků kvantilových metod je, že neuvažují časové rozložení finančních toků daného rizika. Jinak řečeno, rizikové marže spočtené kvantilovými metodami uvedenými výše nesplňují třetí požadavek na vlastnosti rizikových marží uvedený v kapitole 2.1. Pokud chceme, aby kvantilové metody časovou hodnotu zohledňovaly, musíme ji do výpočtu zahrnout explicitně. Abychom požadavek na zahrnutí časového rozlišení splnili, budeme kvantilové metody aplikovat na diskontované hodnoty. 2.2.4 Metoda nákladů na kapitál Metoda nákladů na kapitál se používá v mnoha odvětvích pojišťovnictví a financí. Abychom mohli vysvětlit, co náklady na kapitál znamenají, popíšeme nejdřív výnosovou míru investora. Investor, který investuje svůj kapitál, požaduje za investované peníze výnos, který je určen výnosovou mírou. Výnosová míra je složena z bezrizikové úrokové sazby a takzvané prémie za riziko, která vyjadřuje postoj investora k riziku spojenému s nejistotou budoucích finančních toků. Pokud se na výnos investora podíváme z pohledu společnosti, která investici přijímá, pak je právě prémie za riziko nákladem na kapitál této společnosti. Je to tedy sazba, kterou musí společnost zaplatit investorovi nad rámec bezrizikové úrokové míry za to, že je ochotný vystavit se danému riziku. V konceptu rizikových marží představuje metoda nákladů na kapitál přístup přes cenu za vystavení se riziku. Riziková marže tedy kompenzuje pojistitele za tu část rizika pojistné smlouvy, která přesahuje riziko fixního závazku se stejnou současnou hodnotou. Výše rizikové marže je v metodě nákladů na kapitál počítána jako součet jednotlivých kapitálových požadavků, které bude nutné v budoucích obdobích držet, diskontovaných do současnosti a vynásobených sazbou nákladů na kapitál. Hodnotíme-li metodu z pohledu kritérií IASB, jak spočtená riziková marže splňuje 17

požadavky uvedené v kapitole 2.1, vyjde nám ze všech uvedených metod nejlépe. Díky výpočtu budoucích kapitálových požadavků je ve výpočtu zahrnuto pravděpodobnostní rozdělení výše škod a diskontováním vstoupí do výpočtu i časové rozložení finančních toků. V následujících dvou podkapitolách přiblížíme, jak k rizikovým maržím přistupují již zmíněné standardy Solvency II a IFRS 4 - pojistné smlouvy. 2.3 Riziková marže v konceptu Solvency II Jak jsme již uvedli v kapitole 2.1, riziková marže bude v konceptu Solvency II uvažována jako cena za vystavení se riziku a bude se počítat metodou nákladů na kapitál. Věnujme se nyní scénáři, podle kterého byly metody zvoleny. Jak uvádí EIOPA v [6], pro určení výše rizikové marže je použit přístup převodu portfolia na jiného, tzv. referenčního pojistitele. Na tohoto pojistitele jsou kladeny stejné podmínky jako na pojistitele původního. To znamená, že referenční pojistitel musí ihned po převodu a pak i v následujících letech, dokud nebude portfolio vypořádáno, držet kapitál v hodnotě solventnostního kapitálového požadavku. Referenční pojistitel proto očekává, že při převodu dostane společně s nejlepším odhadem budoucích závazků portfolia i rizikovou marži ve výši nákladů, které vynaloží na tvorbu takového kapitálu. Z tohoto důvodu je riziková marže počítána metodou nákladů na kapitál ve výši budoucích SCR. Sazba nákladů na kapitál byla zvolena ve výši 6% a odpovídá nákladům na kapitál společnosti s ratingem BBB. Sazba nebere v úvahu vlastní kreditní postavení pojistitele a její výše je tedy závazná pro všechny pojistitele. Důvodem je právě to, že metoda nákladů na kapitál se řídí scénářem transferu portfolia. Výsledné náklady na kapitál tedy nejsou náklady pojistitele, který je počítá, ale náklady referenčního pojistitele, který by portfolio závazků převzal. 18

2.4 Riziková marže v konceptu IFRS 4 - pojistné smlouvy V konceptu standardu IFRS 4 - pojistné smlouvy je výpočet rizikové marže součástí již zmíněného čtyřblokového výpočtu výše pojistného závazku. IASB navrhuje, aby k výpočtu rizikových marží mohla být použita jakákoliv metoda, která odráží jejich charakteristiku. Jako příklady vhodných metod uvádí metodu nákladů na kapitál, metodu Value at Risk (VaR) a metodu Tail Value at Risk (TVaR). V připravovaném znění standardu je řečeno, že by pojistitel měl ke svým finančním výkazům přikládat vysvětlení, co jednotlivé položky znamenají a jak jich bylo dosaženo. Standard navrhuje, aby společně s použitou metodou výpočtu rizikové marže byla ve výkazech uvedena i dosažená hladina Value at Risk a další informace umožňující srovnání hodnot s výsledky ostatních metod. Tento postup by měl zjednodušit situaci uživatelům finančních výkazů, kteří pak budou moci snáze odhadnout povahu finančních toků vyplývajících z pojistné smlouvy. 19

Kapitola 3 Matematické nástroje V této kapitole uvedeme matematické nástroje, které využijeme při výpočtu rizikových marží. Nejdřív uvedeme metodu Chain-ladder. Popíšeme postup výpočtu, testy předpokladů metody a směrodatnou odchylkou, pomocí které budeme hodnotit přesnost a vhodnost simulační metody VaR pro výpočet rizikové marže. Dále uvedeme metodu bootstrappingu a základní princip zobecněných lineárních modelů. 3.1 Metoda Chain-ladder Metoda Chain-ladder je metoda, která na základě pozorování uplynulého vývoje škod odhaduje budoucí vývoj. Je velice často využívána k odhadu rezerv v neživotním pojištění. Důvodem je především její jednoduchá aplikace. V následujícím textu budeme vycházet z publikace T. Macka [12]. Označme C ij kumulované výplaty plnění, na které vnikl nárok v roce i a byly vyplaceny do vývojového roku j (j udává zpoždění platby od roku vzniku škody). Pozorované hodnoty C ij pak tvoří trojúhelník pro i = 1,..., N a j = 1,..., N i+1, kde N je počet vývojových let. Takový trojúhelník je znázorněn v tabulce 3.1. 20

1 2 N 1 N 1 C 11 C 12 C 1N 1 C 1N 2 C 21 C 22 C 2N 1... N 1 C N 1 1 C N 1 2 N C N1 Tabulka 3.1: Vývojový trojúhelník kumulativních škod Základním předpokladem metody Chain-ladder je nezávislost výplat z jednotlivých let vzniku. Za platnosti tohoto předpokladu jsou tedy {C i1, C i2,..., C in } a {C k1, C k2,..., C kn } pro i k nezávislé. Dalším předpokladem metody je existence koeficientů f j, pro které platí, že kde i = 1,.., N, j = 1,..., N 1.... E(C ij+1 C i1,..., C ij ) = C ij f j, (3.1) Odhady f j těchto koeficientů pro j = 1,..., N 1 získáme ze vzorce f j = N j i=1 C ij+1 N j i=1 C ij. (3.2) Posledním předpokladem metody Chain-ladder je existence koeficientů σj 2 takových, že V ar(c ij+1 C i1,..., C ij ) = C ij σj 2. (3.3) Za platnosti předpokladů metody jsou odhady f j nekorelované a nestranné. Z nekorelovanosti těchto odhadů navíc plyne nezávislost odhadů budoucích plnění. Jelikož metoda Chain-ladder není hlavním předmětem této práce, ale jen součástí výpočtu, nebudeme zde důkaz nestrannosti a nekorelovanosti uvádět. Důkaz je uveden například v [12]. Pomocí odhadů faktorů f j dále získáme odhady budoucích plateb C ij jako kde i = 2... N, j = N i + 2,..., N. Ĉ ij = C in i+1 f N i+1... f j 1, 21

Tímto postupem pro všechny přípustné kombinace i a j doplníme původní trojúhelník pozorovaných hodnot na čtverec. Abychom dostali odhad všech budoucích plateb za škody z roků i, musíme od posledního sloupce odečíst hodnoty na diagonále, na které jsou hodnoty z posledního pozorovaného období. Tedy odhad rezerv na budoucí plnění pro jednotlivé roky vzniku škod bude tvaru kde i = 2,..., N R i = ĈiN C in i+1, a celkový odhad rezervy pro všechny roky vzniku bude R = N (ĈiN C in i+1 ). i=2 Uveďme ještě vzorec pro odhad rezerv v budoucích obdobích, který využijeme později. Označme zpoždění roku, pro který odhad budoucích závazků počítáme, od posledního roku, pro který máme pozorovaná data jako t. Odhad rezerv R(t) v jednotlivých budoucích obdobích t = 0, 1,... je pak tvaru R(t) = N i=t+2 Ĉ in C in i+1+t. (3.4) Z předchozího odstavce plyne, že R ve vzorci (??) odpovídá R(0). Pro úplnost ještě definujme inkrementální hodnoty vývojového trojúhelníku. Inkrementální hodnoty I ij udávají objem výplat plnění za škody, které vznikly v roce i a byly vypořádány právě se zpožděním j let. Tyto hodnoty dostaneme z kumulativního trojúhelníku škod rozdílem hodnot dvou po sobě jdoucích vývojových období. Tedy { C I ij = ij, j = 1 C ij C ij 1, j 2 Zaveďme nyní definici pro horní a dolní trojúhelník. Horním trojúhelníkem budeme nazývat vývojový trojúhelník pozorovaných dat s prvky C ij, kde i+j N +1. Dolním trojúhelníkem pak vývojový trojúhelník odhadů budoucích dat, tedy trojúhelník s prvky Ĉij, kde i + j N + 2. 22

3.1.1 Test předpokladů metody Chain-ladder Jak jsme uvedli v úvodu této kapitoly, použití metody Chain-ladder je podmíněno splněním předpokladů o vstupních hodnotách. Předpoklady metody jsou tři, nezávislost řádků vývojového trojúhelníku, existence koeficientů f j ze vzorce (3.1) a existence koeficientů σ 2 j ze vzorce (3.2). Jak uvádí [16], při testování hypotéz nemůžeme s jistotou říci, zda je hypotéza skutečně pravdivá. Omezujeme se pouze na testování, že daná hypotéza nebyla porušena. V našem případě tedy budeme zjišťovat, zda nebyly porušeny předpoklady metody Chain-ladder. Pokud testy ukáží, že předpoklady nebyly porušeny, budeme je považovat za splněné. Testy předpokladů jsou uvedeny např. v [13]. Věnujme se nejdřív předpokladu nezávislosti řádků vstupního trojúhelníku. Jak jsme již uvedli, metoda Chain-ladder předpokládá, že pro i k jsou {C i1, C i2,..., C in } a {C k1, C k2,..., C kn } nezávislé. Nezávislost jednotlivých období může být narušena nějakou změnou s významným jednorázovým efektem. Tím může být například změna způsobu likvidace škodních událostí, změna zákona nebo výrazná změna inflace. Pokud taková změna proběhne, ovlivní hodnoty na celé diagonále odpovídající danému kalendářnímu roku a promítne se do všech období vzniku i. Řekněme, že v roce j došlo ke změně způsobu vypořádání škod. Pak čím vyšší jsou hodnoty prvků diagonály D j = {C j1, C j 1 2,..., C 1j }, tím vyšší jsou prvky diagonály koeficientů A j 1 = {C j 1 2 /C j 1 1,..., C 1j /C 1 j 1 }, a tím nižší jsou prvky diagonály koeficientů A j = {C j2 /C j1,..., C 1 j+1 /C 1j }. Test nezávislosti řádků tedy založíme na pozorování hodnot koeficientů na diagonálách. Vytvoříme horní trojúhelník koeficientů f ij, pro i = 1,..., N 1 a j = 1..., N i, kde f ij = C ij+1 /C ij, a tyto koeficienty rozdělíme do dvou skupin podle jejich velikosti. Pokud nedošlo k žádné změně, která by ovlivňovala nezávislost řádků, pak by na každé diagonále měl být přibližně stejný počet koeficientů z obou skupin. Vytvoříme množiny F j = {C ij+1 /C ij, i = 1,..., N j} a prvky každé množiny rozdělíme do skupin MF j a V F j podle toho, zda jsou menší nebo větší než me- 23

dián množiny F j. Pokud je v množině lichý počet prvků, pak prvek rovnající se mediánu zůstane nezařazen a nebudeme ho zahrnovat do dalších výpočtů. Každý prvek trojúhelníku tedy bude zařazen do skupiny M = MF 1... MF N 2 nebo do skupiny V = V F 1... V F N 2 a nebo bude jakožto medián skupiny vyřazen. Označme M k a V k počty nižších a vyšších prvků na diagonále k. Pokud v k-tém roce nedošlo ke změně ovlivňující nezávislost řádků, pak by M k a V k měly být přibližně stejně velké, a tedy Z k = min(m k, V k ) by se nemělo výrazně lišit od (M k + V k )/2. Abychom mohli testovat výskyt změny, potřebujeme znát první dva momenty rozdělení náhodné veličiny Z k. Každý prvek z množin F j, j = 1,..., N 1, má 50% pravděpodobnost, že bude zařazen do skupiny M. Z toho vyplývá, že počet prvků množiny M k má binomické rozdělení s parametry n a p, kde n je počet prvků na diagonále a p = 0, 5. Střední hodnota a rozptyl rozdělení Z k jsou pak dány vztahem E(Z k ) = n ( ) n 1 n 2 m 2, n V ar(z k ) = n(n 1) 4 kde m = (n 1)/2, n...počet prvků na diagonále. ( ) n 1 n(n 1) + EZ m 2 n k (EZ k ) 2, Aby nedošlo ke kumulaci náhodné chyby, doporučuje Mack v [13] neuvažovat každou diagonálu zvlášť, ale testovat Z = Z 2 +... + Z N 1. Budeme tedy testovat nulovou hypotézu, že v období pozorovaných let nenastala žádná změna, která by narušila nezávislost řádků trojúhelníku, oproti alternativní hypotéze, že taková změna nastala. Za platnosti H 0 můžeme předpokládat, že Z k, k = 2,..., N 1 jsou nekorelované a tedy že E(Z) = E(Z 2 )+...+E(Z N 1 ) a V ar(z) = V ar(z 2 )+... + V ar(z N 1 ). Z centrální limitní věty pak plyne, že rozdělení veličiny Z lze aproximovat normálním rozdělením. To znamená, že za platnosti nulové hypotézy je splněna nerovnost E(Z) 1, 96 V ar(z) < Z < E(Z) + 1, 96 V ar(z). Pokud tato nerovnost neplatí, pak zamítáme nulovou hypotézu na hladině 5% a tvrdíme, že nezávislost řádků není zachována a předpoklad metody Chain-Ladder není splněn. 24

Věnujme se nyní předpokladům existence koeficientů f j a σ 2 j. Metoda předpokládá, že existují koeficienty f j, j = 1,..., N 1, pro které platí rovnost (3.1). Abychom mohli ověřit platnost tohoto předpokladu, převedeme výpočet koeficientů f j na lineární regresi a k testování použijeme regresní analýzu. Uvažujme nyní sloupec vývojového trojúhelníku X ij, kde i = 1,..., N. Prvky tohoto sloupce jsou dané nenáhodné veličiny a rovnice (3.1) může být uvažována jako Y i = c + b X i + ɛ i, kde c, b...regresní koeficienty, ɛ...náhodná chyba, kde E(ɛ) = 0. V našem případě je koeficient c = 0, b = f j, X i = C ij a Y i = C ij+1, kde i = 1,..., N j. Tím jsme výpočet koeficientu f j převedli na lineární regresi a můžeme jej odhadnout pomocí metody vážených nejmenších čtverců, kde za váhy zvolíme C ij σj 2. Tyto váhy volíme z toho důvodu, abychom zachovali i poslední předpoklad metody o úměrnosti rozptylu C ij+1 hodnotě prvku C ij, neboli o existenci koeficientů σj 2, pro které platí vzorec (3.3). Jelikož při odhadu f j je index j konstantní, můžeme ve vahách zanedbat σj 2 a vážit nejmenší čtverce pouze pomocí C ij. Budeme tedy minimalizovat čímž dostaneme vztah f j = N j i=1 N j i=1 (C ij+1 C ij f j ) 2 C ij, C ij N j k=1 C kj Cij+1 C ij, který odpovídá vztahu pro odhad koeficientů f j z rovnice (3.2). Díky transformaci odhadu koeficientů na lineární regresi, můžeme nyní otestovat předpoklady metody analýzou grafů dat a reziduí. Nejprve si zobrazíme graf C ij+1 vzhledem k C ij, i = 1,..., N j. Pokud platí předpoklad (3.1), pak jsou všechny body rozloženy podél přímky procházející počátkem se směrnicí f j. 25

Dále si zobrazíme graf residuí ((C ij+1 C ij f j )/ C ij ), jejichž kvadráty byly minimalizovány a zkoumáme, zda jsou residua náhodná a nevykazují nějaký trend. Vzhledem k tomu, že pro vyšší hodnoty k je v trojúhelníku jen minimum hodnot, budeme testovat pouze sloupce s šesti a více pozorováními. Pokud tedy všechny grafy splňují požadavky, lze předpokládat, že vstupní trojúhelník neporušuje předpoklady (3.1) a (3.2) metody Chain-Ladder. 3.1.2 Směrodatná odchylka metody Chain-ladder Jelikož směrodatnou odchylku metody Chain-ladder použijeme pouze k porovnání vhodnosti jednotlivých metod k výpočtu rizikové marže, uvedeme zde jen nejdůležitější kroky výpočtu Mackovy metody bez důkazů. Důkazy jsou uvedeny například v [12]. Nejprve uvedeme výpočet směrodatné odchylky odhadu rezerv R i pro jednotlivé roky vzniku a poté vzorec pro výpočet směrodatné odchylky odhadu celkové rezervy R. Abychom mohli určit směrodatnou odchylku odhadu rezerv R i, musíme nejprve určit střední kvadratickou chybu odhadu konečných výší výplat ĈiN. Ta je počítána jako podmíněná střední kvadratická chyba za podmínky, že známe hodnoty horního trojúhelníku H. mse(ĉin) = E((ĈiN C in ) 2 H). Jelikož mse(ĉin) je podmíněna znalostí horního trojúhelníku pozorovaných hodnot a tedy odchylka ĈiN od C in je dána pouze nahodilostí budoucích plateb, můžeme říci, že se tato střední kvadratická chyba rovná střední kvadratické chybě odhadu rezerv R i. Tedy mse( R i ) = E(( R i R i ) 2 H) = E((ĈiN C in ) 2 H) = mse(ĉin). Jsou-li splněny všechny předpoklady metody Chain-ladder, pak je odhad střední kvadratické chyby rezervy na pojistná plnění mse( R i ) dán vztahem mse( R i ) = Ĉ2 in N 1 j=n+1 i σ 2 j f 2 j 26 ( 1Ĉij + ) 1 N j k=1 C kj,

kde σ 2 j...odhady koeficientů σ 2 j. Abychom mohli tento odhad spočítat, potřebujeme znát odhady koeficientů σ 2 j. Tyto odhady jsou pro j = 1,..., N 2 dány vztahem σ 2 j = N j ( 1 Ci,j+1 C ij N j 1 C ij i=1 f j ) 2. Zbývá nám ještě určit odhad posledního parametru σ 2 N 1. Pokud σ N 3 σ N 2, pak předpokládáme, že σ N 3 / σ N 2 = σ N 2 / σ N 1. V případě, že předpoklad neplatí, volíme menší z hodnot σ N 3 a σ N 2. Tedy σ 2 N 1 získáme ze vzorce σ 2 N 1 = min( σ 4 N 2/ σ 2 N 3, min( σ 2 N 3, σ 2 N 2)). Odhad střední kvadratické chyby odhadu celkové rezervy R = R 2 +... + R N je pak za platnosti předpokladů spočten ze vzorce mse( R) = N mse( R N N 1 i ) + ĈiN Ĉ kn i=2 k=i+1 l=n+1 i 2 σ l 2 / f l 2 N l n=1 C nl. Směrodatnou odchylku odhadů R a R i získáme jako druhou odmocninu z odhadu střední kvadratické chyby těchto odhadů. Tedy = mse( σ R R), = mse( R σ Ri i ). 3.2 Bootstrapping Metodu bootstrappingu využijeme v simulační metodě VaR, kde pro výpočet dosažené hladiny VaR rizikové marže potřebujeme znát úplné rozdělení rezerv na budoucí výplaty pojistných plnění. To klasickým použitím metody Chain-ladder pro odhad rezerv nezískáme, a proto využijeme metodu bootstrappingu. Bootstrapping je metoda, která umožňuje stanovit nebo upřesnit odhady charakteristik pravděpodobnostních rozdělení i při malém množství dat. Jak uvádí Prášková v [14], metoda bootstrappingu umožňuje aproximaci rozdělení, která 27

není omezena počtem dostupných pozorování...nejčastěji používaná verze bootstrappingu je postup využívající metody Monte Carlo. Vysvětleme nejdříve základní princip bootstrappingu. Mějme nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny X 1,..., X n s neznámou distribuční funkcí F. Pokud n není dostatečně velké, nejsme schopni z daných dat určit charakteristiky pravděpodobnostního rozdělení těchto veličin. Právě v tomto případě je vhodné použít metodu bootstrappingu. Odhadneme funkci F empirickou distribuční funkcí F n (x), která je tvaru F n (x) = 1 n I [X i x], n i=1 kde I [Z]... indikátor množiny Z a vytváříme velký počet náhodných výběrů X 1,..., X n z rozdělení daného touto distribuční funkcí. Při každé iteraci odhadneme z náhodného výběru požadované charakteristiky rozdělení. Průměrem takto získaných odhadů pak dostaneme výsledný odhad charakteristik daného rozdělení. V našem případě, kdy potřebujeme znát rozdělení rezerv, vytvoříme v každé iteraci bootstrappingu nový horní trojúhelník, ze kterého odhadneme výši budoucích výplat pojistných plnění. Dostatečným počtem opakování tak získáme empirické rozdělení rezerv na budoucí výplaty škod. 3.3 Zobecněný lineární model Zobecněný lineární model (GLM z anglického Generalized Linear Model) využijeme v simulační metodě VaR místo metody Chain-ladder v případě, kdy vstupní trojúhelník nebude splňovat předpoklady metody Chain-ladder. GLM jsou regresní modely, které rozšiřují využití klasických lineárních modelů i na případy, kdy nejsou splněny předpoklady lineárních modelů a vztah mezi závislou proměnnou a vysvětlujícími proměnnými není přímo lineární kombinace, ale nějaká její funkce. 28

Uveďme nejdříve rozdíl GLM od klasického lineárního modelu. GLM je stejně jako lineární model založen na vyjádření vztahu mezi náhodnou veličinou Y a sadou vysvětlujících proměnných X 1,..., X n. Oba modely předpokládají nezávislost náhodné veličiny Y, avšak zatímco lineární modely předpokládají, že náhodná veličina Y pochází z normálního rozdělení s jednotným rozptylem, u GLM se předpokládá, že veličina Y pochází z rozdělení patřícího do exponenciální rodiny rozdělení a její rozptyl se může měnit v závislosti na střední hodnotě. Do exponenciální rodiny rozdělení patří rozdělení, jejichž hustota se dá zapsat ve tvaru { } yi θ i b(θ i ) f i (y i ; θ i, τ) = exp + c(y i, τ) a i (τ) kde a i (τ), b(θ i ), c(y i, τ)...známé funkce, θ i, τ...tzv. kanonický a škálový parametr. Všechna rozdělení z exponenciální rodiny jsou plně určena střední hodnotou a rozptylem. Patří sem například Poissonovo rozdělení, gamma nebo exponenciální rozdělení. Jejich první dva momenty můžeme zapsat ve tvaru a kde V (m i )...funkce střední hodnoty, w i...váha i-tého pozorování. E(Y i ) = m i V ar(y i ) = τ.v (m i) w i, (3.5) GLM se snaží vyjádřit pozorování náhodné veličiny Y i pomocí lineárního prediktoru η i, který je lineární kombinací vysvětlujících proměnných X i1,..., X in. η i = j X ij.β j. Pozorování Y i je spojeno s lineárním prediktorem η i takzvanou spojovací funkcí g, která je monotónní a diferencovatelná. Vztah pozorování Y i a lineárního prediktoru můžeme zapsat ve tvaru E(Y i ) = g 1 (η i ). 29

Stejně jako u lineárního modelu pak hledáme odhady parametrů β j tak, aby nám model co nejlépe vystihoval skutečná data. V případě GLM jsou odhady koeficientů β j získány maximalizací věrohodnostní funkce. Při použití GLM ve výpočtech je důležité správně určit předpokládané rozdělení pozorovaných hodnot a zvolit vhodnou spojovací funkci. Dále bychom měli ověřit nezávislost náhodné veličiny Y. 30

Kapitola 4 Metody výpočtu rizikových marží V této kapitole podrobněji vysvětlíme metody výpočtu rizikových marží, které jsou uvedeny v již zmíněných standardech Solvency II a IFRS 4 - pojistné smlouvy. Uvedeme metodu nákladů na kapitál, která bude použita k výpočtu rizikových marží v konceptu Solvency II. Dále popíšeme simulační přístup k metodě Value at Risk, pomocí kterého zjistíme, jaké hladiny VaR riziková marže spočtená metodou nákladů na kapitál dosahuje. Na závěr ještě uvedeme výpočet hodnoty TVaR. 4.1 Metoda nákladů na kapitál Metoda nákladů na kapitál je v Solvency II stanovena jako základní metoda pro výpočet rizikové marže. Následující postup výpočtu rizikových marži je určen pro pojistitele, jejichž výpočetní postupy se řídí standardním vzorcem konceptu Solvency II. Pojistitelé s vlastním interním modelem se řídí standardním vzorcem při výpočtu rizikové marže z kapitálového požadavku, ale výši kapitálu SCR počítají pomocí svého interního modelu. Jak jsme uvedli v kapitole 2.3, k rizikovým maržím se v Solvency II přistupuje z pohledu referenčního pojistitele. Riziková marže se tedy spočte ze vzorce (4.1) jako současná hodnota budoucích kapitálových požadavků, které by referenční 31

pojistitel musel vytvořit, vynásobená sazbou nákladů na kapitál. CoCM = CoC t 0 SCR(t) (1 + r t ) t, (4.1) kde CoCM... riziková marže spočtená metodou nákladů na kapitál, CoC... sazba nákladů na kapitál, SCR(t)... solventnostní kapitálový požadavek v čase t, r t... spotová bezriziková úroková sazba. K diskontování budoucích kapitálových požadavků je použita spotová bezriziková úroková míra. Ve výpočetních pomůckách pro QIS5 jsou pro úročení a diskontování uvedeny bezrizikové úrokové míry podle měny, ve které jsou hodnoty uváděny. Stanovení výše sazby nákladů na kapitál ve výši 6% jsme uvedli již v kapitole 2.3. Sazbu nákladů na kapitál i bezrizikovou úrokovou míru tedy známe a zbývá určit jednotlivé kapitálové požadavky v časových okamžicích t 0. Výpočet SCR uvedený v [6] uvažuje celý pojistný kmen pojistitele a všechna rizika spojená s pojistným obchodem. SCR se skládá ze základního solventnostního kapitálového požadavku (BSCR), operačního rizika a z takzvané úpravy o absorpční schopnost odložených daní. V BSCR je kromě upisovacího rizika životního a neživotního pojištění zahrnuto také nevyhnutelné tržní riziko aktiv použitých ke krytí závazků a kreditní riziko spojené s poskytovatelem zajištění a účelově založenými společnostmi (SPV). Abychom mohli porovnat, jak metody výpočtu rizikových marží odráží riziko rezerv neživotního pojištění, budeme ve výpočtech uvažovat pojišťovnu s pouze jedním odvětvím neživotního pojištění, bez katastrofického rizika a rizika storen. Jelikož vstupní hodnoty pro výpočet máme v brutto částkách, které nejsou očištěny o zajištění, nebudeme ve výpočtu uvažovat ani kreditní riziko. Dále budeme předpokládat, že pojistitel má vždy možnost minimalizovat tržní riziko investicemi do bezrizikových finančních instrumentů typu státních dluhopisů. Z tohoto důvodu tržní riziko ve výpočtu zanedbáme. Ve výpočtu BSCR tedy budeme uvažovat pouze riziko rezerv neživotního pojištění. Do výpočtu dále nebudeme zahrnovat úpravy o absorpční schopnost odložených daní, jelikož tato úprava s rizikem rezerv přímo nesouvisí. Do solventnostního ka- 32