Historie matematiky a informatiky Cvičení 2



Podobné dokumenty
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška

Matematika pro informatiku 10

Historie matematiky a informatiky Cvičení 1

Historie matematiky a informatiky Cvičení 4

Zbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

Historie matematiky a informatiky 2 8. přednáška

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. lorencz@fel.cvut.cz

Jak funguje asymetrické šifrování?

Kongruence na množině celých čísel

MPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Algebra Struktury s jednou operací

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions

Fibonacciho čísla na střední škole

Ekvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5

Trocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA

Matematika pro informatiku 4

Aritmetické funkce. Pepa Svoboda

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

Matematika pro informatiku 12

Řešení rekurentních rovnic 2. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 11

64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A

Pomocný text. Polynomy

O dělitelnosti čísel celých

Řetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve

Hlubší věty o počítání modulo

Nechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace

Diskrétní matematika 1. týden

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů

Neurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, pp

Moravské gymnázium Brno s.r.o.

1 Vektorové prostory.

Lineární algebra : Polynomy

Úlohy krajského kola kategorie A

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Posloupnosti a jejich limity

Obsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Hlubší věty o počítání modulo

Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta.

HL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

)(x 2 + 3x + 4),

Matematika pro informatiku 2

Algoritmus pro hledání vlastních čísel kvaternionových matic

Základy elementární teorie čísel

Algebra 2 Teorie čísel. Michal Bulant

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Čínská věta o zbytcích RSA

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

RSA. Matematické algoritmy (11MA) Miroslav Vlček, Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. čtvrtek 21.

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Relace a kongruence modulo

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Polynomiální interpolace

FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

RSA. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. verze: :01

Úvod do kryptologie. 6. března L. Balková (FJFI ČVUT v Praze) Primality Testing and Factorization 6. března / 41

1 Soustavy lineárních rovnic

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

Aplikovaná numerická matematika

Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

4 Počítání modulo polynom

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

MATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Historie matematiky a informatiky

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

Základy elementární teorie čísel

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Lineární algebra : Lineární prostor

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Matematika IV - 3. přednáška Rozklady grup

Relativní Eulerova funkce

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Jazyk matematiky Matematická logika Množinové operace Zobrazení Rozšířená číslená osa

Transkript:

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová

Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic Functions) Součet a počet dělitelů (The Sum and Number of Divisiors) Möbiova funkce (The Möbius inversion formula) Celá část čísla (The Greatest Integer Function) Eulerova funkce (Euler s Phi-Function) August Ferdinand Möbius, Leonhard Euler Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 2

Součet a počet dělitelů Definice: Je dáno kladné celé číslo n, označíme τ (n) počet kladných dělitelů čísla n a σ(n) součet těchto dělitelů. Příklad: n = 12. Má tyto kladné dělitele {1, 2, 3, 4, 6, 12}, tedy τ (12) = 6, σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 Určete funkce τ (n) a σ(n) pro prvních několik n! Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 3

Součet a počet dělitelů Věta: τ (n) = 2 právě tehdy, když n je prvočíslo. Věta: σ(n) = n + 1 právě tehdy, když n je prvočíslo. Obě funkce jsou multiplikativní, tj. τ (mn) = τ (m) τ (n) σ(mn) = σ(m) σ(n), pro libovolná vzájemně nesoudělná m, n. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 4

Möbiova funkce August Ferdinand Möbius Definice: Pro kladné celé číslo n definujeme 1 je-li n = 1 funkci μ (n) = 0 je-li p 2 n pro nějaké prvočíslo p (-1) r je-li n = p 1 p 2 p r, kde p i jsou různá prvočísla. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 5

Vlastnosti Möbiovy funkce Příklad: μ(30) = μ (2. 3. 5) = (-1) 3 = -1 μ(1) = 1, μ(2) = -1, μ(3) = -1, μ(4) = 0, μ(5) = -1, μ(6) = 1. Věta: Funkce μ je multiplikativní funkce. Zkuste samostatně dokázat. Aplikace najdeme v teorii čísel, kombinatorice, fyzice apod. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 6

Funkce celá část čísla The Greatest Integer Function, Bracket Function Definice: Pro libovolné reálné číslo x, označíme [x] nejbližší celé číslo menší než x, tedy x splňuje podmínku x 1 < [x] < x. Příklady: [-3/2] = -2, [ 2] = 1, [1/3] = 0, [π] = 3 [-π] = 4 Věta: [x] = x právě tehdy, když x je celé číslo. Libovolné reálné číslo lze zapsat ve tvaru x = [x] + θ, kde 0 θ < 1. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 7

Eulerova funkce Definice: (Euler s Phi-Function) Pro n 1 (n) označuje počet kladných celých čísel nesoudělných s n a menších nebo rovných než n. Příklad: (30) = 8 {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, (1) = 1, (2) = 1, (3) = 2, (4) = 2, (5) = 4, (6) = 2, (7) = 6 Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 8

Některé vlastnosti funkce Věta: Je-li n prvočíslo, pak každé celé číslo menší než n je nesoudělné s n, tedy (n) = n 1 Věta: Je-li n > 1 složené, pak má n dělitele d takové, že jsou v intervalu 1 < d < n. To znamená, že nejméně dvě čísla mezi 1, 2, 3,, n nejsou soudělná s n, totiž d a n, tj. (n) n 2 Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 9

Některé vlastnosti funkce Věta: Jestliže p je prvočíslo a k > 0, pak (p k ) = p k - p k 1 = p k (1 1/p) Příklad: (9) = (3 2 ) = 3 2 3 = 6 {1, 2, 4, 5, 7, 8} (16) = (2 4 ) = 2 4 2 3 = 16 8 = 8 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} Věta: Funkce je multiplikativní, tj. (m.n)= (m). (n), kde m a n jsou nesoudělná. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 10 =

Gaussova věta Pro každé kladné celé číslo n 1 platí n = d n (d) (sčítá se přes všechny kladné dělitele d čísla n). Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 11

Příklad Nechť je n = 10. Čísla mezi 0 a n rozdělíme do tříd podle d. Je-li d kladný dělitel čísla n, uložíme celé číslo m mezi prvky třídy S d, jestliže platí nsd(m,n) = d S d = {m nsd (m,n) = d, 1 m n}. S 1 = {1, 3, 7, 9} S 2 = {2, 4, 6, 8} S 5 = {5} S 10 = {10} (10) = 4, (5) = 4, (2) = 1, (1) = 1 d 10 (d) = (10) + (5) + (2) + (1) = 4 + 4 + 1 + 1 = 10 Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 12

Teorie kongruencí (The Theory of Congruences) Carl Friedrich Gauss Základní vlastnosti kongruencí Lineární kongruence Čínská věta o zbytcích Kvadratická kongruence Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 13

Základní vlastnosti kongruencí Definice: Nechť n je kladné celé číslo. Dvě čísla a a b jsou kongruentní podle modulu n a b (mod n), jestliže n dělí rozdíl a b, tedy a b = kn pro k celé. Kongruence je zobecněná forma ekvivalence. Věta: Nechť n > 1, a,b, c, d jsou libovolná celá čísla. Pak platí a) a a (mod n) b) Je-li a b (mod n), pak b a (mod n) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 14

Základní vlastnosti kongruencí Věta: c) Je-li a b (mod n) a b c (mod n), pak a c (mod n). d) a b (mod n) a c d (mod n), pak a + b c + d (mod n) a ac bd (mod n). e) Je-li a b (mod n), pak a + c b + c (mod n) a ac bc (mod n). f) Je-li a b (mod n), pak a k b k (mod n), pro libovolné kladné k. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 15

Příklad - kongruence Ukažte, že 41 dělí 20 20 1 Začneme tím, že 2 5-9 (mod 41), jinak také 2 20 81. 81 (mod 41) Ale 81-1 (mod 41), a tedy 81. 81 1 (mod 41). Podle vlastností kongruence pokračujeme: 2 20-1 81. 81-1 1 1 0 (mod 41), tedy 41 dělí 20 20 1. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 16

Příklad - kongruence Chceme najít zbytek po dělení součtu 1! + 2! + 3! + 4! + + 99! + 100! číslem 12. Zahájíme zjištěním, že 4! 24 (mod 12), takže Pro k 4 platí k! 4! + 5. 6 k 0. 5. 6 k 0 (mod 12) Takto dostaneme 1! + 2! + 3! + 4! + + 99! + 100! 1! + 2! + 3! + 0 + + 0 9 (mod 12) Odtud součet dává zbytek 9 při dělení 12. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 17

Další vlastnosti Věta: Je-li ca pak a cb (mod n), c (mod n/d), kde d = nsd (c,n). Důsledek: Je-li ca cb (mod n) a nsd(c,n) = 1, pak a b (mod n). Důsledek: Je-li ca cb (mod p), a p nedělí c, kde p je prvočíslo, pak a b (mod p). Důkaz: Podmínky: p nedělí c a p je prvočíslo implikují nsd(c, p) = 1. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 18

Příklady Uvažujme o kongruenci 33 15 (mod 9), tj. 3. 11 3. 5 (mod 9). Protože nsd (3, 9) = 3 podle předcházející věty můžeme psát 11 5 (mod 3). Jinou kongruenci -35 45 (mod 8) můžeme rozložit stejným způsobem na 5 (-7) 5. 9 (mod 8). Čísla 5 a 8 jsou nesoudělná, proto upravíme na -7 9 (mod 8). Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 19

Čínská věta o zbytcích The Chinese Remainder Theorem Věta: Nechť n 1, n 2,, n r kladná celá čísla taková, že nsd (n i, n j ) = 1 pro i j. Pak soustava lineárních kongruencí x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 )... x a r (mod n r ) má jedno řešení x modulo n, kde n = n 1, n 2,, n r. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 20

Příklad Problém Sun-Tsu (Sun Zi) Vyřešte soustavu kongruencí x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7) Řešení: n = 3. 5. 7 = 105 N 1 = n/3 = 35, N 2 = n/5 = 21 N 3 = n/7 = 15 Sestavíme lineární kongruence: 35x 1 (mod 3), 21x 1 (mod 5), 15x 1 (mod 7), které dávají řešení pro x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 1 x = 2. 35. 2 + 3. 21. 1 + 2. 15. 1 = 233 Pro mod (105) dostáváme jediné řešení: x = 233 23 (mod 105). Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 21

Zákon kvadratické reciprocity (The Quadratic Reciprocity Law) Eulerovo kriterium (The Euler Criterion) Legendrův symbol (The Legendre Symbol) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 22

Kvadratické reziduum Definice: Nechť p je liché prvočíslo a nsd (a,p) = 1. Má-li kvadratická kongruence x 2 a (mod p) řešení x, pak řekneme, že a je kvadratické reziduum čísla p. Jestliže žádné takové x neexistuje, nazývá se a kvadratické nereziduum čísla p. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 23

Příklad kvadratického rezidua pro n=13 Určíme čtverce všech zbytkových tříd (mod 13): 1 2 12 2 1 2 2 11 2 4 3 2 10 2 9 4 2 9 2 3 5 2 8 2 12 6 2 7 2 10 Kvadratická rezidua čísla 13 jsou: 1,3,4,9,10,12. Kvadratická nerezidua čísla 13 jsou: 2,5,6,7,8,11. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 24

Eulerovo kriterium Euler s Criterion Věta: Nechť p je liché prvočíslo a platí nsd(a,p) = 1, pak číslo a je kvadratické reziduum prvočísla p právě tehdy, když a (p-1)/2 1 (mod p) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 25

Legendrův symbol a jeho vlastnosti Definice: Nechť p je liché prvočíslo a nechť nsd (a, p) = 1. Legendrův symbol (a/p) je definován takto: (a/p) = 1 je-li a kvadratické reziduum p -1 je-li a kvadratické nereziduum p Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 26

Příklady Příklad: Nechť p = 13. Použijeme-li Legendrův symbol, pak mohou být výsledky zaznamenány takto: 1 = (1/13) = (3/13) = (4/13) = (9/13) = = (10/13) = (12/13) -1 = (2/13) = (5/13) = (6/13) = (7/13) = (8/13) = (11/13) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 27

Vlastnosti Legendrova symbolu Nechť p je liché prvočíslo a nechť celá čísla a a b jsou nesoudělná s p. Potom (a) Jestliže a b (mod p), pak (a/p)=(b/p). (b) (a 2 /p) = 1. (c) (a/p) a (p-1)/2 (mod p). (d) (ab/p) = (a/p)(b/p). (e) (1/p) = 1 a (-1/p) = (-1) (p-1)/2. Příklad: Existuje nějaké řešení kongruence x 2 46 (mod 17)? (-46/17) = (-1/17) (46/17) = (-1) 8 (12/17) = (3.2 2 /17) = = (3/17) (2 2 /17) = (3/17) 3 8 81 2 (-4) 2 = -1 NEEX. Nebo jinak: (-46/17) = (5/17) 5 8 25 4 8 4 64 2 13 2-1 Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 28

Zákon kvadratické reciprocity Quadratic Reciprocity Law Theorema aureum Věta: Jsou-li p a q různá lichá čísla, pak (p/q) (q/p) = (-1)(p-1)/2. (q-1)/2 Důsledek: Jsou-li p a q různá lichá čísla, pak (q/p), je-li p 1 (mod 4) nebo q 1 (mod 4) (p/q) = -(q/p), je-li p q 3 (mod 4) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 29

Příklad Uvažujme o Legendrově symbolu (29/53) Protože 29 1 (mod 4) a 53 1 (mod 4), můžeme upravit (29/53) = (53/29) = (24/29) = (2/29) (3/29) (4/29) = (2/29) (3/29). (2/29) = -1, druhý LS invertujeme (3/29) = (29/3) = (2/3) = -1, dále použijeme kongruenci. 29 2 (mod 3) a dostaneme (29/53) = (2/29) (3/29) = (-1)(-1) = 1. Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 30

Pokračování Zákon kvadratické reciprocity dává odpověď na nalezení prvočísel p 3, pro něž je 3 kvadratické reziduum. Protože 3 3 (mod 4) z důsledku Zákona kvadratické reciprocity plyne: (3/p) = (p/3), je-li p 1 (mod 4), nebo -(p/3), je-li p 3 (mod 4). Dále probereme p 1 (mod 3) nebo p 1 (mod 4). Podle věty o vlastnostech LS platí: (p/3)= 1, je-li p 1 (mod 3), nebo -1, je-li p 2 (mod 3). Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 31

Pokračování 2 Odtud plyne (3/p) = 1 právě tehdy, když p 1 (mod 4) a p 1 (mod 3) nebo p 3 (mod 4) a p 2 (mod 3). Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 32

Lámejte si hlavu L3 Najděte všechna řešení kvadratické kongruence x 2 196 (mod 1357) Alena Šolcová, FIT CVUT v Praze 33