Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8].

1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině A.Pakdvojici A(α i i I)nazveme algebrou. Příklad. AlgebrytvořínapříkladZ(+),Z(+, ),Z(+,,0,1).Je-liTtěleso,pak jealgebrout(+, )čit(+,,,0,1),provektorovýprostor V nadt,jealgebrou V(+, t t T). Definice.Buď α n-árníoperacena A.Řekneme,žepodmnožina B Ajeuzavřená naoperaci α,pokud α(a 1,...,a n ) Bprovšechna a 1,...,a n B.Řekneme,že B Ajepodalgebraalgebry A(α i i I),pokudje Buzavřenánavšechnyoperace α i, i I. Označíme-li β i = α i B nomezení n-árníoperace α i na B n,potompropodalgebru Bležívšechnyhodnotyzobrazení β i opětvb.zobrazení β i tedymůžemechápat jakooperacenamnožině Batakdostávámestrukturualgebry B(β i i I)na každé podalgebře B. Příklad.(1)Je-li A(α i i I)algebra,pak Azřejmětvoříjejípodalgebru.Pokud navícžádnázoperací α i nenínulární,potom jepodalgebroualgebry A(α i i I). (2) Uvažujeme-li algebru Z(+, ), pak pro každé celé n tvoří množina všech násobků nz={nz z Z}podalgebru. (3) Každý podprostor vektorového prostoru V nad tělesem T, je podalgebrou algebry V(+, t,t T). Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. Definice. Nechť symbol α označuje n-ární operaci na množině A. Řekneme, že zobrazení f: A Bjeslučitelnésα,pokud f(α(a 1,...,a n ))=α(f(a 1 ),...,f(a n )). Řekneme,žealgebry A(α i i I)aB(α i i I)jsoustejnéhotypu,pokud α i označujenamnožině Ainamnožině B dvěoperacestejnéarity.zobrazení f : A Bmezidvěmaalgebramistejnéhotypubudemeříkathomomorfismus, pokudjeslučitelnésevšemioperacemi α i, i I.Bijektivníhomomorfismusbudeme nazývat izomorfismus. Příklad. (1)Zobrazení π:z Z n definovanépředpisem π(z)=(z)mod nje homomorfismusalgebryz(+, )doz n (+, ). (2)Nechť Ua V jsoudvavektorovéprostorynadtělesem T.Potomkaždýhomomorfismus vektorových prostorů je homomorfismem algeber U(+, t t T) a V(+, t t T). (3)Označme M n (T)množinuvšechčtvercovýchmaticnadtělesem Ta budiž symbolem násobení matic. Potom zobrazení, které každé matici přiřadí její determinant,jehomomorfismemalgebry M n (T)( )do T( ). Poznámka1.2. Buď A(α i i I), B(α i i I)aC(α i i I)algebrystejného typu.jsou-lizobrazení f : A B a g : B C homomorfismy,pakigf je homomorfismus.je-linavíc fbijekce,je f 1 takéhomomorfismus. 1

2 Důkaz. Viz[D, 2.2]. V případě, že nemůže dojít k omylu nebo jednotlivé operace na algebře nepotřebujeme uvažovat, budeme v následujícím označiovat algebru jen její nosnou množinou. Poznámka1.3. Buď AaBdvěalgebrystejnéhotypuabuď f: A Bhomomorfismus.Je-li C podalgebraalgebry AaDpodalgebraalgebry B,pak f(c)je podalgebrou Ba f 1 (D)jepodalgebrou A. Důkaz. Viz[D, 2.3]. Připomeňme, že relací na množině A rozumíme libovolnou podmnožinu A A. Nechť ρ je relace na A, označme: - ρ 1 = {(b,a) (a,b) ρ}(opačnárelace), - ρ + = {(a,b) a=a 0,a 1,...,a n 1,a n = b A;(a i,a i+1 ) ρ}(tranzitivní obal), - id={(a,a) a A}(identita). Řekneme,žerelace ρjesymetrická,pokud ρ 1 ρ,tranzitívní,pokud ρ + ρ, a reflexivní, pokud id ρ. Ekvivalencí budeme nazývat každou symetrickou, tranzitívní a reflexivní relaci. Definice. Nechť ρ je ekvivalence na množině A. Definujme faktor množiny(často seříkátakékvocient) Apodlerelace ρjakomnožinu A/ρ={[a] ρ a A},kde [a] ρ = {b A (a,b) ρ}. Poznámka1.4.(1)Je-li ρekvivalencena A,pak A/ρ={[a] ρ a A}tvořírozklad množiny A. (2)Je-li {B i i I}rozkladmnožiny A,pakrelace ρurčenápodmínkou:(a,b) ρ i I: a,b B i jeekvivalencíaa/ρ={b i i I}. Důkaz.(1) Viz[D, 1.7],(2) zřejmé. Definice. Je-li f : A Bzobrazení,rozumímejehojádrem ker f relacidanou předpisem:(a,b) ker f f(a)=f(b).mějmena Aekvivalenci ρ.přirozenou projekcínazvemezobrazení π ρ : A A/ρdanépředpisem π ρ (a)=[a] ρ. Poznámka1.5.Nechť f: A Bjezobrazeníaρekvivalencenamnožině A.Pak platí: (1) ker f je ekvivalence, (2) ker f= id,právěkdyžje fprostézobrazení, (3) ker π ρ = ρ, (4)Zobrazení g:a/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = f existujeprávětehdy, když ρ ker f. Důkaz.(1)(a,a) ker f,neboť f(a)=f(a);pokud(a,b) ker f,pak f(a)=f(b), tedy(b,a) ker f;je-li f(a)=f(b)=f(c),potomzřejmě(a,c) ker f. (2),(3) Plyne přímo z definice. (4) Viz[D, 1.10]. Definice.Nechť ρjerelaceaαje n-árníoperacenamnožině A.Řekneme,že ρje slučitelnásα,pokudprokaždýsystémprvků a 1,...,a n,b 1...,b n A,prokteré a i ρb i, i=1,...,n,platí,že α(a 1,...,a n )ρα(b 1,...,b n ).

3 Je-li A(α i i I)algebraaρekvivalencenamnožině A,pak ρnazvemekongruencí,pokudje ρslučitelnásevšemioperacemi α i, i I. Příklad.(1) id a A A jsou kongruence na libovolné algebře A. (2)Vezměmepřirozenéčíslo n 2aoznačme n relacinamnožiněcelýchčísel Zdanoupředpisem: a n b n/(a b).potomje n kongruencenaalgebře Z(+,, ). (3) Každá ekvivalence je slučitekná s libovolnou nulární operací. Poznámka 1.6. Nechť AaB jsoudvěalgebrystejnéhotypuaf : A B je homomorfismus. Pak ker f je kongruence na algebře A. Důkaz. Viz[D, 2.5]. Definice. Nechť ρjeekvivalenceaαje n-árníoperacenamnožině A.Pokud je ρslučitelnásαdefinujemeoperaci αna A/ρnásledovně: α([a 1 ] ρ,...,[a n ] ρ )= [α(a 1,...,a n )] ρ.je-li ρkongruencenaalgebře A,pakstejnýmzpůsobemdefinujeme na A/ρ strukturu algebry. Věta 1.7. Je-li ρ kongruence na algebře A, pak je definice algebry A/ρ korektní, jdeoalgebrustejnéhotypujako Aapřirozenáprojekce π ρ : A A/ρjehomomorfismus. Důkaz. Viz[D, 2.6]. Definice. Algebru G( ) s jednou binární operací nazýváme grupoid. Neutrálním prvkemgrupoidu G( )(nebooperace )rozumímetakovýprvek e G,že g e= e g= gprovšechna g G.Algebru G(,e)nazvememonoidem,pokudjeoperace asociativní a e je neutrální prvek operace. Podgrupoidem(podmonoidem) nazveme každou podalgebru grupoidu(monoidu). Poznámka 1.8. Každý grupoid obsahuje nejvýše jeden neutrální prvek. Důkaz.Jsou-li e,fdvaneutrálníprvky,pak e=e f= f. Příklad. Je-li X aspoň dvouprvková množina a definujeme-li na X binární operaci předpisem x y= x,jeoperace asociativní,ale Xneobsahuježádnýneutrální prvek. Přitom dokonce každý prvek X splňuje první z rovností, kterou je neutrální prvek definován. Příklad. (1)Nechť X jeneprázdnámnožinapísmenam(x)jemnožinavšech slov, tj. všech konečných posloupností písmen. Zaveďme na této množině operaci skládání : x 1...x n y 1...y m = x 1...x n y 1...y m adáleoznačme λprázdnéslovo. Potom M(X)(, λ) tvoří(tzv. slovní) monoid. (2) Buď X nějaká neprázdná množina a označme T(X) množinu všech zobrazení množiny Xdosebe.Potom T(X)(,Id)tvoří(soperacískládání )(tzv.transformační) monoid. (3)Čtvercovématice M n (T)nadtělesem T stupně nspolusnásobenímajednotkovoumaticí M n (T)(,Id)tvořímonoid. Poznámka1.9. Buď S(,1)monoidaa,b,c S.Pokudplatí,že a b=c a=1, potom b=c. Důkaz. c=c 1=c (a b)=(c a) b=1 b.

4 Příklad. Uvažujme transformační monoid T(N) na množině všech přirozených číselanechť α(k)=2kaβ(k)=[ k 2 ].Pak βα=idaαβ Id. Definice.Nechť S(,1)jemonoid.Řekneme,žeprvek s Sjeinvertibilní,pokud existujetakovýprvek s 1 S,že s 1 s=s s 1 =1.Prvek s 1 nazvemeinverzním prvkemkprvku s. Poznámka 1.10. Množina všech invertibilních prvků monidu S(, 1) tvoří jeho podmonoid.navíc,je-li sinvertibilníprvek,pakis 1 jeinvertibilní. Důkaz. Viz[D, 2.16]. Definice. Algebra G(, 1,1)jegrupa,pokud G(,1)jemonoida 1 jeunární operace, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní, je-li operace komutativní, mluvíme o komutativní(abelově) grupě. Podgrupou budeme rozumět každoupodalgebrualgebry G(, 1,1).Normálnípodgrupajekaždápodgrupa H grupy Gsplňujícínavícpodmínku ghg 1 Hprokaždé g Gah H. Poznámka 1.11. Nechť S(,1)jemonoidaS označujejehopodmonoidvšech invertibilníchprvků.označme S restrikci S S operace namnožinu S S adefinujemeunárníoperaci 1 tak,že a 1 jeinverzníprvekprolibovolné a S. Pak S ( S, 1,1)jegrupa. Příklad.(1) Grupa invertibilních prvků(podle Poznámky 1.11) slovního monoidu M(X)(, λ) obsahuje pouze neutrální prvek e. (2) Grupu invertibilních prvků transformačního monoidu T(X)(, Id) tvoří právě všechny bijekce S(X) na množině X (mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací). (3)Grupuinvertibilníchprvkůmonoidučtvercovýchmatic M n (T)(,Id)stupně n tvoří právě všechny regulární matice stupně n. Poznámka 1.12. Všechny podgrupy komutativní grupy jsou normální. Věta1.13. Nechť G(, 1,1)jegrupaaρrelacena G.Pak ρjekongruencena G(, 1,1)právětehdy,když[1] ρ jenormálnípodgrupa Ga(g,h) ρ g 1 h [1] ρ. Důkaz. Viz[D, 6.10]. 2. Uzávěrové systémy na algebře Definice. Nechť AjemnožinaaC P(A)jenějakýsystémpodmnožinmnožiny A.Řekneme,že Cjeuzávěrovýmsystémemnad A,pokud (1) A C, (2) prokaždýpodsystém {B i i I} C,je {B i i I} C. Pro uzávěrový systém C na množině A a každou podmnožinu B C definujme uzávěr Bv Cjakomnožinu cl C B= {C C B C}. Zobrazení α: P(A) P(A) nazýváme uzávěrovým operátorem, pokud (1) B α(b),provšechna B P(A), (2) α(α(b))=α(b),provšechna B P(A), (3) α(b) α(c),provšechna B C A.

5 Příklad. Mějme nějaký vektorový prostor V a označme C množinu všech podprostorů V. Pak C je uzávěrový systém(platnost obou axiomů uzávěrového systému byla dokázána na přednášce lineární algebry). Prostor generovaný množinou X V jeuzávěrem Xv Cazobrazení,kterékaždépodmnožině X V přiřadípodprostor generovaný množinou X, je uzávěrovým operátorem. Poznámka 2.1. Nechť A(α i i I)jealgebra.Pakvšechnypodalgebryalgebry A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A. Důkaz.Plynepřímoz1.1azfaktu,že Ajeuzavřenánalibovolnouoperacina A. Věta2.2. (1)Je-li Cuzávěrovýsystémnad A,pak cl C tvoříuzávěrovýoperátor. (2)Je-li αuzávěrovýoperátorna A,pakmnožina C= {C A α(c)=c}tvoří uzávěrovýsystémnad Aaα=cl C. Důkaz. Viz[D, 1.1]. Poznámka 2.3. Všechny uzávěrové systémy nad množinou A tvoří uzávěrový systém nad P(A). Důkaz. Viz[D, 1.2]. Poznámka2.4.Nechť AaBjsoutakovédvauzávěrovésystémynad A,že A B, anechť C D A.Potom cl B (C) cl A (D). Důkaz. Viz[D, 1.3]. Poznámka 2.5. Všechny symetrické(tranzitívní, reflexivní) relace i ekvivalence namnožině Atvoříuzávěrovýsystémna A A. Důkaz. Důkaz, že symetrické(tranzitívní, reflexivní) relace tvoří uzávěrový systém viz[d, 1.4]. Ekvivalence jsou průnikem všech symetrických, tranzitívních a reflexivních relací, proto tvoří uzávěrový systém podle 2.3 Poznámka2.6. Všechnykongruencenaalgebře A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A A. Důkaz. Viz[D, 2.4]. Poznámka 2.7. Nechť ρjerelacenamnožině A.Pokudje ρreflexivní(resp. symetrická)relace,pakiρ + i ρ ρ 1 jereflexivní(resp.symetrická). Důkaz. Viz[D, 1.5]. Věta2.8.Buď ρrelacenamnožině A.Potom((ρ id) (ρ Id) 1 ) + =(ρ ρ 1 id) + jenejmenšíekvivalencena Aobsahujícírelaci ρ. Důkaz. Viz[D, 1.6]. Definice. Buď A algebra a X A. Označme A uzávěrový systém všech podalgeber A.Potombudemeříkat,že Xgeneruje(podalgebru) cl A (X). Poznámka 2.9. Buď f,g : A B dvahomomorfismyalgeberstejnéhotypua nechť X Agenerujealgebru A.Jestliže f(x)=g(x)provšechna x X,potom f= g. Důkaz. Viz[D, 3.3].

6 Příklad.UvažujmegrupucelýchčíselZ(+,,0)aG(+,,0)nějakádalšíalgebra sjednoubinárníoperací+,unárníoperací anulárníoperací0.nechť f,g:z G je homomorfismus. Uvědomme si, že nejmenší podgrupa obsahující prvek 1 je už rovnacelémuz.podlepředchozípoznámkyjsoutedy fa gshodné,pokud f(1)= g(1). 3. Izomorfismy algeber Připomeňme, že izomorfismus je bijektivní homomorfismus dvou algeber. Pokud mezidvěmaalgebrami AaBexistujeizomorfismus,říkáme,že AaBjsouizomorfní (píšeme A = B).Dálepoznamenejme,ženalibovolnémnožiněalgeberstejného typu Mjerelace =ekvivalencí(viz1.2). Definice. Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Definujmerelaci σ/ρna A/ρ následovně:([a] ρ,[b] ρ ) σ/ρ (a,b) σ. Poznámka3.1. (1)Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Pak σ/ρjedobře definovaná ekvivalence na A/ρ. (2)Nechť ρjeekvivalencenamnožině Aaηjeekvivalencena A/ρ.Potom existujeprávějednaekvivalence σna A,proníž η= σ/ρ. Důkaz.(1)viz[D,1.8]a(2)viz[D,1.9]. Poznámka3.2. Buď ρkongruencenaalgebře Aaσekvivalencena Aobsahující ρ.pakje σkongruencenaalgebře Aprávětehdy,kdyžje σ/ρkongruencenaalgebře A/ρ. Důkaz. Viz[D, 3.4]. Poznámka3.3. (Větaohomomorfismu)Buď f : A Bhomomorfismusdvou algeberstejnéhotypuanechť ρjekongruencenaalgebře A.Pakexistujehomomorfismus g: A/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = fprávětehdy,když ρ ker f. Navíc,pokud gexistuje,je gizomorfismus,právěkdyž fjenaaker f= ρ. Důkaz. Viz[D, 3.7]. Věta3.4(1.větaoizomorfismu).Nechť f: A Bjehomomorfismusdvoualgeber stejnéhotypu.pak f(a)jepodalgebra B(tedyalgebrastejnéhotypu)aA/ker fje izomorfní f(a). Důkaz. Viz[D, 3.9]. Příklad.Mějmehomomorfismus f n :Z Z n grupycelýchčíselz(+,,0)agrupy Z n (+,,0)spočítánímmodulo ndanýpředpisem f n (k)=(k)mod n.pakpodle 1.větyoizomorfismujeZ/ker f n =Zn,navícjezjevně(a b) ker f n,právě když n/(a b). Věta3.5(2.větaoizomorfismu).Nechť ρ σjsoudvěkongruencenaalgebře A. Pak algebra A/σ je izomorfní algebře(a/ρ)/(σ/ρ). Důkaz. Viz[D, 3.10].

7 4. Svazy Definice. Relaci na množině M budeme říkat uspořádání, pokud je to reflexivní atranzitivnírelace,pronížplatípodmínka a b, b a a=bprokaždé a,b M(tj.jdeoslaběantisymetrickourelaci). Příklad. Následující relace jsou uspořádáním: - namnožiněvšechpodmnožin P(X)množiny X, - / na množině všech přirozených čísel N, - na množině všech celých(reálných, racionálních) čísel Z(R, Q), - Id na libovolné neprázdné množině M. Definice. Nechť jeuspořádánínamnožině Ma A M.Řekneme,že m A jenejmenší(resp.největší)prvekmnožiny A,pokud m a(resp. a m)pro všechna a A. Supremem(resp. infimem) množiny A budeme rozumět nejmenší prvekmnožiny {n M a A: a n}(resp.největšíprvekmnožiny {n M a A: n a}),supremumznačíme sup ainfimum inf.dvojici(m, ) budemeříkatsvaz,pokudprokaždédvaprvky a,b Aexistujesupremuma infimum množiny {a, b}. Svaz(M, ) je úplným svazem, existuje-li supremum a infimum každé podmnožiny M. Příklad. Snadno nahlédneme, že svazem jsou následující dvojice -(P(X), ),kde sup (A,B)=A Ba inf (A,B)=A B, -(N,/),kde sup / (n,m)=nsn(n,m)ainf / (a,b)=nsd(n,m), -(Z, ),(R, ),(Q, ),kde sup (a,b)=max(a,b)ainf (a,b)=min(a,b). Příklad. (P(X), )jedokonceúplnýsvaz,kde sup (B)= Bainf (B)= B pro každou podmnožinu B P(X). Definice.Nechť(M, )jesvaz.prokaždédvaprvky m,n Moznačme m n= sup ({m,n})am n=inf ({m,n}).potombinárníoperaci nazvemespojení a průsek. Poznámka4.1. Buď(M, )svaz.pakprovšechna a,b,c Mplatí: (S1) a b=b a, a b=b a, (S2) a a=a=a a, (S3) a (b c)=(a b) c, a (b c)=(a b) c, (S4) a (b a)=a=a (b a). Důkaz. Viz[D, s.29]. Poznámka 4.2. Nechť M(, ) je algebra s dvěma binárními operacemi, které splňujípodmínky(s1) (S4).Definujmena M relaci předpisem: a b b= a b.pak(m, )jesvaz,kde sup ({m,n})=m nainf ({m,n})=m n. Důkaz. Viz[D, s.29]. Předchozí dvě poznámky ukazují vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi svazy a algebrami M(, ) splňujícími podmínky(s1) (S4). Proto budeme svazem nazývatialgebru M(, )anamnožině Mbudemezároveňpoužívatoperace a i odpovídající relaci. Příklad. U uvedených příkladů svazů máme tedy dva způsoby jak na svaz nahlížet: -(P(X), ) odpovídá algebře P(X)(, ),

8 -(N,/)odpovídáalgebřeN(NSD,nsn), -(Z, )(respektive(r, ),(Q, )) odpovídá algebře Z(min, max)(respektive R(min, max), Q(min, max)). Věta4.3.Nechť Cjeuzávěrovýsystém.Pak(C, )tvoříúplnýsvaz,kde sup (B)= cl C ( B)ainf (B)= B. Důkaz. Viz[D, 4.2]. Příklad. Podle předchozí věty je systém všech podalgeber i systém všech kongruencí na algebře spolu s inkluzí svazem. Poznámka 4.4. Nechť M(, )jesvaz.pakim(, )tvořísvaz(mluvíme o opačném svazu s opačným uspořádáním ). Důkaz. Zřejmé. Definice.Nechť(M, )jesvazaa,b,c M.Řekneme,žeprvek bpokrýváprvek a (píšeme a < b),pokud a b, a baa c b c=anebo c=b.nechť e M jenejmenší(resp. f M největší)prveksvazu(m, ).Prvek a M nazveme atomem(resp. koatomem), pokud a pokrývá e(resp. f pokrývá a). Hasseovým diagramem svazu(m, ) rozumíme graf, jehož vrcholy tvoří prvky množinymaajesbspojentakovouhranou,že bsenacházívýšenež a,pokud b pokrývá a. Poznámka4.5. Nechť M(, )jesvaz, a,b,c Ma a c.potom a (b c) (a b) c. Důkaz. Viz[D, 14.1]. Definice.Osvazu M(, )řekneme,žejemodulární,pokudprokaždé a,b,c M takové,že a cplatí,že a (b c)=(a b) c. Příklad.(1) Svaz všech podprostorů vektorového prostoru je modulární. (2)Svaz(A, ),kde A={0,1,a,b,c},danýrelacemi:0< a< c< 1, 0 < b < 1(tzv.pentagon)nenímodulární. Definice. Nechť f: A Bjezobrazenía(A, )a(b, )jsousvazy.řekneme, že ϕjemonotónnízobrazení,platí-liimplikace a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Poznámka 4.6. Homomorfismus svazů je monotónní zobrazení. Důkaz. Viz[D, 4.3]. Příklad.Uvažujmesvazy(S 1, )a(s 2, ),kde S 1 = {0,1,a,b}, S 2 = {0,1,A,B} adanýrelacemi:0< a< 1,0< b< 1a0< A< B< 1.Potomzobrazení f(0)=0, f(1)=1, f(a)=a, f(b)=bjemonotónní,alenenítohomomorfismus svazů(f(a b)=f(0)=0 A=f(a) f(b)). Věta4.7. Bijekcesvazů f jeizomorfismus,právěkdyž f i f 1 jsoumonotónní zobrazení. Důkaz. Viz[D, 4.4]. Poznámka 4.8. Buď C uzávěrový systém obsažený v systému všech ekvivalencí na množině A.Nechť N P(A)ae Atak,žeplatí: (a) [e] ρ N prokaždé ρ C,

9 (b)prokaždé N N existujetakové ρ C,že N=[e] ρ, (c) prokaždé ρ,η Cplatí,že[e] ρ [e] η ρ η. Pak N je uzávěrový systém na A (a tedy svaz) a zobrazení ϕ : C N dané předpisem ϕ(ρ)=[e] ρ jeizomorfismussvazů. Důkaz. Viz[D, 4.7]. Věta 4.9. Všechny normální podgrupy libovolné grupy G tvoří svaz izomorfní svazu všech kongruencí na grupě G. Důkaz. Podle[D, 1.13] systém všech kongruencí C a systém všech normálních podgrup N grupy G(, 1,1)spoluse=1splňujepředpokladyPoznámky4.8.Závěr tedy plyne ze 4.8. Příklad(Galoisova korespondence). Nechť A a B jsou množiny. Dvojici zobrazení α:p(a) P(B)aβ: P(B) P(A)seříkáGaloisovakorespondence,jsou-lipro každé A 1,A 2 P(A)aB 1,B 2 P(B)splněnynásledujícípodmínky: (i) A 1 A 2 α(a 2 ) α(a 1 )ab 1 B 2 β(b 1 ) β(b 2 ), (ii) A 1 βα(a 1 )ab 1 αβ(b 1 ). Galoisova korespondence má následující vlastnosti(důkaz viz[d, 4.9]): Tvrzení. Buď α:p(a) P(B)aβ: P(B) P(A)Galoisovakorespondence. Potom jsou zobrazení βα a αβ uzávěrové operátory. Označme A a B uzávěrové systémypříslušnéuzávěrovýmoperátorům βαaαβ.pak α(a) Baβ(B) A. Označíme-li α : A Baβ : B Apříslušnérestrikcezobrazení αaβ,pak α a β jsoubijekceaα =(β ) 1.Navícprokaždé A 1,A 2 AaB 1,B 2 Bplatí,že A 1 A 2 α(a 2 ) α(a 1 )ab 1 B 2 β(b 2 ) β(b 1 ). Nechť O je množina objektů a V množina vlastností, které mohou mít objekty. Definujme ρ O V tak,že(o,v) ρ,právěkdyžobjekt omávlastnost v.dále definujme α ρ (O 1 )={v V (o,v) ρ o O 1 }(tj.vezmemevšechnyvlastnosti, kterémajívšechnyobjektyzo 1 )aβ ρ (V 1 )={v A (o,v) ρ v V 1 }(tj. vezmemevšechnyobjektysplňujícívšechnyvlastnostizv 1 ).Potom α ρ : P(O) P(V)aβ ρ : P(V) P(O)tvoříGaloisovukorespondenci. 5. Grupy Poznámka5.1.Nechť G(, 1,1)aH(, 1,1)jsougrupyaf: G Hjezobrazení slučitelné s operací. Pak je f homomorfismus grup. Důkaz. Viz[D, 6.1]. Definice.Nechť Ha Kjsoudvěpodmnožinygrupy G(, 1,1)ag G.Definujme množiny HK= {h k h H, k K}, gh= {g}ha Hg= H{g}.Je-li Hpodgrupa G,definujmena Grelaci rmod H(resp. lmod H)podmínkou:(a,b) rmod H(resp. (a,b) lmod H) a b 1 H(resp. a 1 b H). Poznámka5.2. Nechť G(, 1,1)jegrupaaH jejípodgrupa.potomprokaždé a,b Gplatí: (1) rmod Hi lmod Hjsouekvivalencena G, (2) (a,b) rmod H (a 1,b 1 ) lmod H,

10 (3) card(g/rmod H) = card(g/lmod H), (4) [a] rmod H = Haa[a] lmod H = ah, (5) card([a] rmod H )=card([a] lmod H )=card(h). Důkaz.(1)a(2)viz[D,6.6].Podle(2)jezobrazení[a] rmod H [a 1 ] lmod H korektnědefinovanoubijekcí,tedyplatí(3).body(4)a(5)viz[d,6.7]. Definice. Buď H podgrupagrupy G.Potomčíslu[G:H]=card(G/rmod H) budemeříkatindexpodgrupy Hvgrupě Gačíslu G =card(g)budemeříkatřád grupy G. Věta5.3(Lagrange). Je-li Hpodgrupagrupy G(, 1,1),pak G =[G:H] H. Důkaz. Viz[D, 6.8]. Důsledek 5.4. Je-li G konečná grupa, potom řád každé její podgrupy dělí řád grupy G. Definice. Nechť G(, 1,1)jegrupaaa G.Definujmeindukcí: a 0 =1, a n = a n 1 aprokaždé n >0, a n =(a 1 ) n aprokaždé n <0. Poznámka 5.5. Nechť G(, 1,1)jegrupa a G.Zobrazení ϕ:z Gdané předpisem ϕ(n)=a n jehomomorfismusgrupyz(+,,0)dogrupy G(, 1,1)a ϕ(z)= a ={a n n Z}. Důkaz. Viz[D, 6.3]. Důsledek5.6. Nechť G(, 1,1)jegrupa a G.Potomprokaždé n,m Zplatí, že a n =(a n ) 1 a(a n ) m = a nm. Důkaz.Podle5.1a[D,6.4]. Definice. Buď G(, 1,1)grupa.Označme a nejmenšípodgrupugrupy Gobsahující prvek a G. Řekneme, že G je cyklická grupa, pokud existuje takový prvek g G,že g =G. Příklad.(1)Z(+,,0)jecyklickágrupa,kdeZ= 1 = 1. (2)Z n (+,,0)jeprokaždépřirozené ncyklickágrupasoperacemidefinovanými modulo n,kdez n = a,pokud NSD(a,n)=1. Prokaždépřirozené k(resp. k Z n )označujme kz= k ={kz z Z}(resp. kz n = k ={k z z Z n }) Poznámka5.7. (1)Je-li A Z,pak AjepodgrupaZ,právěkdyžexistuje k 0 tak,že A=kZ. (2)Je-li A Z n,pak AjepodgrupaZ n,právěkdyžexistuje k Z n tak,že kje buď0nebo kdělí naa=kz n. Důkaz. Viz[D, 8.1]. Věta5.8. Buď G(, 1,1)cyklickágrupa. (1)Je-li Gnekonečná,pak G(, 1,1) =Z(+,,0). (2)Je-li n= G konečné,pak G(, 1,1) =Z n (+,,0). Důkaz. Viz[D, 8.2].

11 Důsledek 5.9. Podgrupa i faktorová grupa každé cyklické grupy je opět cyklická. Důkaz. Viz[D, 8.3]. Důsledek5.10. Buď G(, 1,1)konečnágrupa.Potom g G =1prokaždýprvek g G. Důkaz. g jecyklickágrupařádu n,tedyjepodle5.8izomorfníz n (+,,0),proto g n =1.Podle5.4 n/ G,tedy g G =(g n ) G n =1 G n =1 Věta5.11. Nechť G(, 1,1)jekonečnácyklickágrupa.Pakprokaždépřirozené k,kterédělířádgrupy G,existujeprávějednapodgrupagrupy Gřádu k. Důkaz. Viz[D, 8.4]. Poznámka5.12. Nechť n Naa Z n {0}. (1)Nechť k=nsd(a,n),pak az n = kz n, (2) az n =Z n (tj. ajegenerujez n ),právěkdyž NSD(a,n)=1. Důkaz. Viz[D, 8.7]. Definice. Funkci ϕ:n Ndanoupředpisem ϕ(n)= {0 < k < n NSD(k,n)= 1} nazveme Eulerovou funkcí. Poznámka5.13. Je-li n N,pakčíslo ϕ(n)udávápočetprvků,kterégenerují grupuz n (+,,0)apočetinvertibilníchprvkůZ n (,1). Důkaz. Důsledek 5.12(2). Věta 5.14 (MaláFermatovavěta). Pronesoudělnákladnáceláčísla a < nje (a ϕ(n) )mod n=1. Důkaz. Viz[D, 8.13]. Definice. Nech A j (α i i I), j k jsoualgebrystejnéhotypu.definujmena k j=1 A jstrukturualgebryalgebrystejnéhotypupředpisem α i ((a 11,...,a k1 ), (a 12,...,a k2 ),...,(a 1n,...,a kn ))= =(α i (a 11,...,a 1n ),α i (a 21,...,a 2n ),...,α i (a k1,...,a kn )) prokaždou n-árníoperaci α i. Poznámka5.15(Čínskávětaozbytcích). Nechť n 1,n 2,...,n k jsoupodvounesoudělnákladnáceláčíslaan=n 1 n 2 n k,potomzobrazení f:z n k i=1 Z n i danépředpisem f(x)=(x mod n 1, x mod n 2,...,x mod n k )jeizomorfismusalgeberz n (+,,0,,1)a k i=1 Z n i (+,,0,,1). Důkaz. Přímo z definice snadno vidíme, že je f zobrazení slučitelné se všemi operacemi.zbývánahlédnout,žejdeobijekci.protožejsouz n a k i=1 Z n i stejněvelké konečnémnožiny,stačínahlédnout,žeje fprosté.nechťpro a b Z n platí,že f(a)=f(b).potom f(b a)=0,tedy n i /b aprovšechna i=1,...,k.protože jsou n i podvounesoudělnáa0 b a n 1,mámein/b a,tudíž b=a. Poznámka 5.16. (1)Pokud namjsoudvěnesoudělnákladnáceláčísla,pak ϕ(n m)=ϕ(n) ϕ(m). (2)Pokudje pprvočísloarkladnéceléčíslo,pak ϕ(p r )=(p 1) p r 1.

12 Důkaz.(1)[D,8.9]a(2)viz[D,8.10]. Věta5.17. Buď p 1 < p 2 < < p k prvočíslaar 1,r 2,...,r k kladnáceláčísla. Potom ϕ(p r1 1 pr2 2...pr k k )=p r1 1 1 p r2 1 2...p r k 1 k (p 1 1)(p 2 1)...(p k 1). Důkaz. Indukční důsledek 5.13. Následující věta bude dokázána až v příštím semestru: Věta5.18. Nechť T(+, )jetělesoanechť Gjekonečnápodgrupamultiplikativní grupy T \ {0}(, 1,1).Potom Gjecyklickágrupa. 6.Okruhyaideály Definice. Okruhem budeme nazývat každou takovou algebru R(+,,, 0, 1), že R(+,,0)jekomutativnígrupa, R(,1)jemonoidaprokaždé a,b,c Rplatí,že a (b+c)=a b+a ca(a+b) c=a c+b c. R(+,,,0,1)jekomutativní okruhem, pokud je operace komutativní. Příklad.(1)Z(+,,,0,1)jekomutativníokruh. (2)Z n (+,,,0,1)jeprokaždépřirozené nkomutativníokruhsoperacemidefinovanými modulo n. (3)Je-li T tělesoam n (T)značímnožinuvšechčtvercovýchmaticnad T řádu n,pak M n (T)(+,,,0 n,i n )jeokruh. (4) Nechť V je vektorový prostor. Označme End(V) množinu všech homomorfismů prostoru V do sebe(tzv. endomorfismů). Na této množině můžeme definovat sčítáníaopačnýprvekpředpisem[f+ g](v)=f(v)+g(v)a[ f](v)= f(v) prokaždév V.Označíme-linulovýhomomorfismussymbolem0 V a označuje skládání,pak End(V)(+,,,0 V,Id)jeokruh. Poznámka6.1. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Pakprokaždé a,b Rplatí: (1) 0 a=a 0=0, (2) ( a) b=a ( b)= (a b), (3) ( 1) a=a ( 1)= a, (4) ( a) ( b)=a b, (5) 1 0,právěkdyž card(r) >1(tj.Rjenetriviálníokruh). Důkaz.Viz[D,7.2]a[D,7.3]. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Řekneme,žemnožina I Rjepravý (resp.levý)ideálokruhu R,pokud I jepodgrupagrupy R(+,,0)aprokaždé i Ia r Rplatí,že i r I(resp. r i I).Množinu Inazvemeideálem,pokud je pravým a zároveň levým ideálem. Příklad.(1) {0} a R jsou(tzv. triviálními) ideály každého okruhu R. (2)Množiny ar={a r r R}(resp. Ra={r a r R})jsou(tzv.hlavní) pravé(resp.levé)ideályokruhu Rprokaždé a R. (3)IdeályokruhucelýchčíselZ(+,,,0,1)jsouprávětvaru kz. (4)IdeályokruhuZ n (+,,,0,1)jsouprávětvaru kz n,kde k < nje0nebo dělitel čísla n. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.O(levém,pravém)ideálu Iřekneme,že jevlastní,pokud I {0}aI R.

13 Věta 6.2. Nechť R(+,,,0,1) je okruh. Všechny ideály okruhu R tvoří uzávěrovýsystémazobrazení ρ [0] ρ jeizomorfismussvazuvšechkongruencína R(+,,,0,1)asvazuvšechideálůokruhu R.Navíc ρjekongruencenaokruhu R, právěkdyž[0] ρ jeideála(a,b) ρ a b [0] ρ. Důkaz. Viz[D, 7.4]. Faktor okruhu R podle kongruence jednoznačně odpovídající ideálu I budeme značit(obdobně jako v případu faktorizace grup podle normálních podgrup) R/I. Definice. Řekneme,žeprvekokruhu R(+,,,0,1)jeinvertibilní,jedná-liseo invertibilní prvek monoidu R(, 1). Řekneme, že okruh R je tělesem, pokud jsou všechny prvky množiny R \ {0} invertibilní. Konečně ideál okruhu R(+,,, 0, 1) je maximální, pokud je to koatom svazu všech ideálů okruhu R. Věta6.3. Vnetriviálnímokruhu R(+,,,0,1)jeekvivalentní: (1) Rjetěleso, (2) R neobsahuje žádné vlastní pravé ideály, (3) R neobsahuje žádné vlastní levé ideály. Důkaz.Viz[D,7.11]a[D,7.13]. Věta6.4. Nechť R(+,,,0,1)jekomutativníokruh.Potom R/Ijetělesoprávě tehdy, když I je maximální ideál. Důkaz. Viz[D, 7.14]. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Definujmeprokaždé n Z: 0 a=0, n a=((n 1) a)+aprokaždé n >0, n a= n ( a)prokaždé n <0. Poznámka6.5. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Definujmezobrazení ϕ:z R předpisem ϕ(n) = n 1.Pak ϕjehomomorfismusokruhůaϕ(z)jenejmenší podokruh Robsahujícíprvek1.Navíc(Kerϕ=) {n Z ϕ(n)=0}=pzpro jednoznačněurčenécelé p 0. Důkaz. Viz[D, 7.18]. Definice. Jednoznačně určné číslo p z Poznámky 6.5 se nazývá charakteristika okruhu R. Poznámka6.6(Binomickávěta).Buď R(+,,,0,1)komutativníokruh, a,b R a n N.Potom(a+b) n = n i=0 ( n i) (ai b n i ) Důkaz. Viz[D, 7.20]. Důsledek 6.7. Nechť R je komutativní okruh prvočíselné charakteristiky p. Pak zobrazení a a p jeokruhovýhomomorfismus(jdeotzv.frobeniůvendomorfismus). Důkaz. Viz[D, 7.21]. Definice. Komutativní okruh R(+,,, 0, 1) nazveme oborem integrity, platí-li, že a b=0implikuje a=0nebo b=0

14 Příklad.(1) Každé komutativní těleso je oborem integrity. (2)Z(+,,,0,1)jeoboremintegrity. (3)OkruhreálnýchpolynomůR[x](+,,,0,1)jeoborintegrity. Uvažujmeoborintegrity R(+,,,0,1),adefinujmealgebru F(+,,,0,1),kde F = R (R {0})soperacemi:(a,b) (c,d) = (a c,b d),(a,b)+(c,d) = (a d+b c,b d), (a,b)=( a,b),0=(0,1)a1=(1,1).naalgebře F(+,,,0,1) konečnědefinujmerelaci předpisem(a,b) (c,d) a d=b c. Poznámka6.8. Proalgebru F(+,,,0,1)platí: (1) F(+,0)aF(,1)jsoukomutativnímonoidy, (2) jekongruencena F(+,,,0,1), (3) (0,a) 0a(a,a) 1prokaždé a R \ {0}, (4) F/ je komutativní těleso. (5)Zobrazení σ: R F/ danépředpisem σ(r)=[(r,1)] jeprostýokruhový homomorfismus. Důkaz.(1)viz[D,9.2],(2)viz[D,9.3],(3)viz[D,9.4],(4)viz[D,9.5]a(5)viz[D, 9.7]. Definice. Komutativní těleso F/ budeme nazývat podílovým tělesem okruhu R ajehoprvkybudemeznačit a b =[(a,b)]. Příklad. Těleso racionálních čísel Q(+,,, 0, 1) je podílovým tělesem okruhu celýchčíselz(+,,,0,1). [D]- odkazuje na skripta docenta Drápala na adrese http://www.karlin.mff.cuni.cz/ drapal/skripta/