1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli

Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním elektrickém poli 1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli 1.4 Smykové tření 1.5 Valivé tření (= valivý odpor) 2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory 2.1 Netlumený 2.2 Tlumený 2.3 Buzený 2.4 Vázané oscilátory 3. Problém dvou těles 4. Pohyb v poli centrální síly 4.1 Keplerova úloha 4.2 Kosmické rychlosti 4.3 Keplerovy zákony 5. Matematická odvození 5.1 Řešení Keplerovy úlohy 5.2 Rovnice kuželosečky 5.3 Třetí Keplerův zákon 5.4 Kruhová rychlost 5.5 Druhá kosmická rychlost c Kateřina Šebková, 2009 1

Přehled vzorců a rovnic obsah 1. Pohyb v odporujícím prostředí základní rovnice: řešení: 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa F v : F v 2 : m dvx dt = 6πrηv x v x (t) = v 0 e bt m dvx dt = 1 2 CρSv2 x v x (t) = v 0 1+ bv 0 t (pro v x > 0) 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním elektrickém poli m d v dt = q E pro E = konst. pohyb s konstantním zrychlením 1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli m d v dt = q v B pro B = konst. pohyb po kružnici nebo po šroubovici 1.4 Smykové tření F t = ff N 1.5 Valivé tření (= valivý odpor) F v = ξ F N R 2

Přehled vzorců a rovnic obsah 2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory základní rovnice: řešení: 2.1 Netlumený ẍ + ω0x 2 = 0 x(t) = A cos (ω 0 t + ϕ 0 ) 2.2 Tlumený ẍ + 2δẋ + ω0x 2 = 0 1. δ < ω 0 : tlumený harmonický kmit x(t) = Ae δt cos (ωt + ϕ 0 ) ; ω = ω0 2 δ2 2. δ = ω 0 : mezní aperiodický pohyb x(t) = (A + Bt)e δt 3. δ > ω 0 : aperiodický pohyb x(t) = C 1 e α1t + C 2 e α2t ; α 1,2 < 0 2.3 Buzený ẍ + 2δẋ + ω 2 0 x = S cos Ωt x(t) = C 1e α 1t + C 2 e α 2t + Ae iωt (resp. = Se iωt ) Ω r = ω 2 0 2δ2... rezonanční frekvence 2.4 Vázané oscilátory mẍ 1 = kx 1 +k v (x 2 x 1 ) mẍ 2 = kx 2 k v (x 2 x 1 ) x = x 1 +x 2 = x 0 cos(ω 0 t+ϕ 0 ) ; ω 2 0 = k m ξ = x 2 x 1 = ξ 0 cos(ωt+ϕ) ; ω 2 = k+2kv m 3. Problém dvou těles m 1 r1 = F e 1 + F 12 µ r = F 21, r = r 2 r 1 m 2 r2 = F e 2 + F 21 µ = m 1m 2 m 1 +m 2 ( F e... vnější síly ; F 21 = F 12 )... redukovaná hmotnost 3

Přehled vzorců a rovnic obsah 4. Pohyb v poli centrální síly 4.1 Keplerova úloha Řešení pohybu hmotného bodu v centrálním gravitačním poli. 4.2 Kosmické rychlosti Kruhová rychlost v k = κm Z R První kosmická rychlost v I. = 7, 9 km s 1 Druhá kosmická rychlost v II = 2v I. = 11, 2 km s 1 4.3 Keplerovy zákony 1. Keplerův zákon Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž jednom ohnisku leží Slunce. S 2. Keplerův zákon t = 1 L 2 r v = 2m = konst. ( ) 2 ( ) 3 3. Keplerův zákon T1 T 2 = a1 a 2 4

1. Pohyb v odporujícím prostředí obsah 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa - pohyb tělesa v kapalném nebo plynném prostředí lze přibližně při malých rychlostech popsat viskózní silou F v = k v v... rychlost pohybu tělesa k... konstanta (k > 0) F v : platí v tekutinách při malých rychlostech Pohybová rovnice: - při malých rychlostech na těleso působí Stokesova síla F = 6πrηv (1) r... rozměr tělesa η... viskozita prostředí v... rychlost pohybu tělesa - jednorozměrný případ (pohyb ve směru osy x): 2. Newtonův zákon + (1) Řešení: rovnici (2) upravíme: dvx dt označení: b = 6πrη m dvx dt m dv x dt = 6πrηv x (2) = ( 6πrη m )v x = bv x upravenou rovnici integrujeme: dv x v x = b dt (separace proměnných) ln v x = bt + c (c... konstanta) označíme: e c = v 0 (význam: v 0 = v x (0)) v x (t) = v 0 e bt x(t) = v x dt x(t) = v 0 b e bt + x 0 5

1. Pohyb v odporujícím prostředí obsah F v 2 : platí přibližně v plynech v určitém rozsahu rychlostí Pohybová rovnice: - na těleso působí síla, kterou popisuje Newtonův vztah F = 1 2 CρSv2 (3) C... součinitel odporu ρ... hustota prostředí S... obsah průřezu tělesa kolmého ke směru rychlosti tělesa v... rychlost pohybu tělesa - jednorozměrný případ (pohyb ve směru osy x ; v x > 0): 2. Newtonův zákon + (3) m dv x dt = 1 2 CρSv2 x (4) Řešení: rovnici (4) upravíme: dvx dt označení: b = CρS 2m dvx dt = CρSv2 x 2m (v x 0) = bv 2 x upravenou rovnici integrujeme: dv x v 2 x = b dt (separace proměnných) 1 v x = bt k (k... konstanta) v x = 1 bt+k v x = 1 k bt k +1 označíme: 1 k = v 0 (význam: v 0 = v x (0)) v x (t) = v 0 1+ bv 0 t x(t) = v x dt x(t) = 1 b ln 1 + bv 0 t + x 0 (platí pro t > 1 bv0 ) 6

1. Pohyb v odporujícím prostředí obsah 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním elektrickém poli Pohybová rovnice: - na hmotný bod s nábojem q v homogenním elektrickém poli ( E = konst.) působí síla F = q E (5) 2. Newtonův zákon + (5) Řešení: m d v dt = q E (6) rovnici (6) vydělíme m a integrujeme v = q Et m + v 0 integrujeme po druhé r = q Et 2 2m + v 0t + r 0 pro E = (E, 0, 0): x(t) = qet2 2m + v 0xt + x 0 y(t) = v 0y t + y 0 z(t) = v 0z t + z 0 Hmotný bod se pohybuje s konstantní zrychlením a jeho trajektorie má tvar paraboly. Pro v 0y = 0, v 0z = 0 jde o pohyb rovnoměrně zrychlený. 7

1. Pohyb v odporujícím prostředí obsah 1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli Pohybová rovnice: - na hmotný bod s nábojem q v homogenním magnetickém poli ( B = konst.) působí Lorentzova síla F = q v B (7) 2. Newtonův zákon + (7) Řešení: m d v dt = q v B (8) označíme: v = (v x, v y, v z ) B = (0, 0, B) ; (osu z volíme ve směru B ) v B = (v y B, v x B, 0) dosazením do (8) a získáme tři rovnice: integrujeme rovnici (11) z(t) = v 0 t + z 0 m dv x dt = Bv yq (9) m dv y dt = Bv xq (10) m dv z dt = 0 (11) Ve směru osy z se bod pohybuje rovnoměřně. rovnici (9) zderivujeme podle času a vydělíme m d2 v x = ( qb dt 2 m ) dvy dt z rovnice (10) sem dosadíme dvy dt = qb m v x d2 v x + ( qb dt 2 m )2 v x = 0 v x = V cos( qb m t) ; (ev. s fázovým posunutím, pro jednoduchost volíme ϕ = 0) z rovnice (9) v y = m qb dv x dt = V sin( qb m t) ; (V 2 = v 2 x + v 2 y) označíme: ω = qb m v x = V cos(ωt) x(t) = V ω sin(ωt + ϕ 0) + x 0 v y = V sin(ωt) y(t) = V ω cos(ωt + ϕ 0) + y 0 zřejmě platí x 2 + y 2 = ( V ω )2 = R 2 V rovině xy se bod pohybuje po kružnici. 8

1. Pohyb v odporujícím prostředí obsah 1.4 Smykové tření - vzniká při posouvání jednoho tělesa po jiném tělese - jejich silové působení popisuje třecí síla F t působí proti pohybu její velikost je dána vztahem F t = ff N f... součinitel smykového tření (závisí na druhu smýkajících se ploch) F N... tlaková síla Při uvádění tělesa do pohybu (z klidu) je zapotřebí větší tažné síly, než při pohybu rovnoměrném. vždy je f s > f f s... statický součinitel smykového tření 9

1. Pohyb v odporujícím prostředí obsah 1.5 Valivé tření (= valivý odpor) - vzniká při pohybu (rotačně symetrického) tělesa po jiném tělese (podložka) = brzdící síla F v působící proti pohybu tělesa F v = ξ F N R ξ... součinitel valivého tření (závisí na druhu povrchu těles; má rozměr délky) R... poloměr tělesa F N... tlaková síla Za stejných podmínek platí: F v < F t (využití např. kuličková ložiska - převedení smykového pohybu na valivý) 10

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah 2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory = hmotný bod (těleso), který koná harmonický (sinusový) kmitavý pohyb - uvažujeme jen jednorozměrný případ (lineární oscilátor) 2.1 Netlumený = oscilátor, na který nepůsobí žádná tlumící (odporová) síla, tj. oscilátor stále kmitá Pohybová rovnice: - elastická síla F e způsobuje kmitání hmotného bodu (např. kulička na pružince) síla F e působí ve směru osy x... F ex = kx (12) k = konst., k > 0, x... výchylka Síla F e je úměrná výchylce x, ale míří proti ní. 2. Newtonův zákon + (12) mẍ = kx ẍ + k m x = 0 k označení: m = ω2 0, tedy ω k 0 = m ; ω 0... vlastní úhlová frekvence oscilátoru ẍ + ω 2 0x = 0 (13) Řešení: (13) je lineární diferenciální rovnice, řešení hledáme ve tvaru x(t) = e αt, α = konst. dosazením x(t) do (13) získáme charakteristickou rovnici: α 2 + ω0 2 = 0 α = ±iω 0 2 lineárně nezávislá řešení: x 1 (t) = e iω0t, x 2 (t) = e iω 0t obecné řešení je jejich lineární kombinací: x(t) = A 1 x 1 (t) + A 2 x 2 (t) ; A 1, A 2 = konst. x(t) = A 1 e iω 0t + A 2 e iω 0t e iω 0t = cos (ω 0 t) + i sin (ω 0 t) 11

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah řešení lze zapsat ve tvaru pomocí funkcí sin, cos: x(t) = (A 1 + A 2 ) cos (ω 0 t) + (A 1 A 2 )i sin (ω 0 t) x(t) = B 1 cos (ω 0 t) + B 2 sin (ω 0 t) B 1, B 2 = konst. nebo také: x(t) = A cos (ω 0 t + ϕ 0 ) cos (ω 0 t + ϕ 0 ) = cos (ω 0 t) cos ϕ 0 sin (ω 0 t) sin ϕ 0 A... amplituda (= maximální výchylka) ϕ 0... počáteční fáze 12

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah 2.2 Tlumený = oscilátor, na který působí odporová síla celková mechanická energie i amplituda výchylky tlumených kmitů se s časem snižuje Pohybová rovnice: - nejjednodušší případ: na oscilátor působí síla F ex = kx (12) a odporová síla F ox = bv = bẋ (14) b = konst., b > 0 Síla F o je úměrná velikosti rychlosti v, její směr je opačný. 2. Newtonův zákon + (12) + (14) mẍ = kx bẋ ẍ + b mẋ + k m x = 0 k označení: m = ω2 0 ; b m = 2δ ; δ... součinitel tlumení Řešení: ẍ + 2δẋ + ω 2 0x = 0 (15) (15) je lineární diferenciální rovnice, řešení hledáme ve tvaru x(t) = e αt, α = konst. dosazením x(t) do (15) získáme charakterickou rovnici: α 2 + 2δα + ω 2 0 = 0 1. δ < ω 0 : tlumený harmonický kmit (malé tlumení) α 1,2 = δ ± iω ; ω = ω 2 0 δ2 ; ω... úhlová frekvence (ω < ω 0 ) 2 lineárně nezávislá řešení: x 1 (t) = e δt+iωt, x 2 (t) = e δt iωt obecné řešení je jejich lineární kombinací: x(t) = C 1 e δt+iωt + C 2 e δt iωt = e δt (C 1 e iωt + C 2 e iωt ) x(t) = Ae δt cos (ωt + ϕ 0 ) C 1, C 2, A, ϕ 0 = konst. (určeny počátečními podmínkami) x 0 t Amplituda výchylky se exponenciálně zmenšuje. Oscilátor projde nekonečněkrát rovnovážnou polohou. 13

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah 2. δ = ω 0 : mezní aperiodický pohyb α 1,2 = δ 2 lineárně nezávislá řešení: x 1 (t) = e δt, x 2 (t) = te δt obecné řešení je jejich lineární kombinací: x(t) = (A + Bt)e δt A, B = konst. (určeny počátečními podmínkami) Oscilátor projde rovnovážnou polohou pro t = A. B x 0 t 3. δ > ω 0 : aperiodický pohyb(velké tlumení) α 1,2 = δ ± δ 2 ω0 2 2 lineárně nezávislá řešení: x 1 (t) = e α1t, x 2 (t) = e α 2t obecné řešení je jejich lineární kombinací: x(t) = C 1 e α1t + C 2 e α 2t C 1, C 2 = konst. (určeny počátečními podmínkami) x 0 t 14

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah 2.3 Buzený = oscilátor na který vedle síly elastické a odporové působí časově proměnná vnější síla tzv.budící síla Pohybová rovnice: - na oscilátor působí: F ex = kx (12) ; F ox = bv (14) a harmonicky proměnná budící síla F bx = F 0 cos Ωt (16) Ω... úhlová frekvence budící síly 2. Newtonův zákon + (12) + (14) + (16) mẍ = kx bẋ + F 0 cos Ωt označení: k m = ω2 0 ; b m = 2δ ; F 0 m = S ẍ + 2δẋ + ω 2 0x = S cos Ωt (17) Řešení: rovnici (17) řešíme komplexní symbolikou harmonický kmit S cos Ωt nahradíme Se iωt řešíme rovnici ẍ + 2δẋ + ω 2 0x = Se iωt (18) (18) je lineární diferenciální rovnice, řešení hledáme ve tvaru x(t) = C 1 e α1t + C 2 e α 2t + Ae } {{ } } {{ iωt } viz rovnice (13) x p x p... partikulární řešení ; C 1, C 2, α 1,2 = konst. x p zderivujeme a dosadíme do rovnice (18), upravíme a získáme vztah pro amplitudu výchylky A = S ω 2 0 Ω2 +2δΩi v ustáleném stavu lze zanedbat vliv výrazu C 1 e α1t + C 2 e α 2t řešení rovnice (18) je x(t) = x p (t) (s časem jde k nule) velikost amplitudy: A = S ω 2 0 Ω2 +2δΩi = S (ω 2 0 Ω 2 ) 2 +4δ 2 Ω 2 z rovnice pro amplitudu výchylky A : Ω ω 0 δ... malé A... velké Jev, kdy při kmitání malá budící veličina způsobí velkou odezvu jiné veličiny se nazývá rezonance. (zde rezonance výchylky způsobená budící sílou) 15

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah maximum amplitudy: d A dω = 0 Ω r = ω 2 0 2δ2 Ω r... rezonanční frekvence Rezonanční křivky pro dvě různá tlumení: A S δ 1 δ 1 < δ 2 δ 2 0 Ω r Ω A = A e iϕ x p (t) = A e i(ωt+ϕ) ; Re(x p (t)) = A cos (Ωt + ϕ) chceme určit ϕ ( = fázové posunutí výchylky vzhledem k budící síle): upravíme: A = S ω 2 0 Ω2 +2δΩi ω 2 0 Ω2 + 2δΩi = S A = S A e iϕ = S A e iϕ = S A (cos ϕ i sin ϕ) z poměru reálné a imaginární složky z předchozího řádku tan ϕ = 2σΩ ω 2 0 Ω2 Ω 0 ϕ. = 0 (kmity ve fázi) Ω ϕ. = π (kmity v protifázi) Ω = ω 0 ϕ = π 2 16

2. Lineární harmonický oscilátor; vázané oscilátory obsah 2.4 Vázané oscilátory = oscilátory, jejichž kmity jsou navzájem závislé, protože mezi nimi působí pružné (elastické) vazby tj. síly závisející na vzájemných polohách oscilátorů Pohybové rovnice: - pohybové rovnice oscilátorů (bez pružné vazby): mẍ 1,2 = kx 1,2 (12) - mezi oscilátory působí pružná vazba: F v = ±k v (x 2 x 1 ) F v1... oscilátor 2 působí na 1 F v2... oscilátor 1 působí na 2 x 1, x 2... výchylky z rovnovážných poloh oscilátorů k v = konst., k v > 0 - výsledné pohybové rovnice oscilátorů: Řešení: mẍ 1 = kx 1 + k v (x 2 x 1 ) (19) mẍ 2 = kx 2 k v (x 2 x 1 ) (20) (19) a (20) tvoří soustavu dvou diferenciálních rovnic pro neznámé x 1 (t), x 2 (t) rovnice sečteme a označíme x = x 1 + x 2 ẍ + k m x = 0, k m = ω2 0 x = x 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) rovnice odečteme a označíme ξ = x 2 x 1 ξ + ( k+2kv m )ξ = 0, k+2k v m ξ = ξ 0 cos(ωt + ϕ) x 1 (t) = 1 2 x 1 2 ξ x 1(t) = 1 2 (x 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) ξ 0 cos(ωt + ϕ)) = ω2 x 2 (t) = 1 2 x + 1 2 ξ x 2(t) = 1 2 (x 0 cos(ω 0 t + ϕ 0 ) + ξ 0 cos(ωt + ϕ)) Speciální případ - rázy: Je-li vazba slabá tj. k v k jsou frekvence ω 0 a ω blízké periodické zesilování a zeslabování výsledkých kmitů viz graf níže x 0 t 17

3.Problém dvou těles obsah 3. Problém dvou těles = určení pohybů dvou hmotných bodů, které na sebe vzájemně působí centrální silou Pohybové rovnice: - hmotné body m 1, m 2, které se nacházejí v poloze r 1, r 2, na sebe působí silou (viz obrázek) F 12... síla, kterou působí 2. bod na 1. F 21... síla, kterou působí 1. bod na 2. F 1 e, F 2 e... vnější působící síly z 2. Newtonova zákona získáme pohybové rovnice: Řešení: m 1 r1 = F e 1 + F 12 (21) m 2 r2 = F e 2 + F 21 (22) (21) + (22) m 1 r1 + m 2 r2 = F e 1 + F e 2 poloha hmotného středu soustavy hmotných bodů: r s = m 1 r 1 +m 2 r 2 m 1 +m 2 spojením těchto rovnic získáme (m 1 + m 2 ) r s = F e celk. ; ( F e celk. = F e 1 + F e 2 ) Rovnice popisuje pohyb hmotného středu soustavy. pro izolovanou soustavu: F e 1 = 0 ; F e 2 = 0, tedy z rovnic (21) a (22) r 1 = 1 m 1 F21 r 2 = 1 m 2 F21 odečtením upravených rovnic získáme r 2 r 1 = ( 1 m 1 + 1 m 2 )( F 21 ) označení: r = r 2 r 1 r = ( 1 m 1 + 1 m 2 ) F 21 1 µ = 1 m 1 + 1 m 2 µ = m 1m 2 m 1 +m 2 ; µ... redukovaná hmotnost µ r = F 21 Tím jsme problém dvou těles převedli na problém jednoho tělesa v poli centrální síly. 18

4. Pohyb v poli centrální síly obsah 4. Pohyb v poli centrální síly - pro pohyb hmotného bodu platí, že moment hybnosti bodu vzhledem ke středu centrální síly se nemění ( L = r p = konst.) platí zákon zachování momentu hybnosti pohyb probíhá v rovině, v níž leží vektory r, p - platí zákon zachování energie (T + V = E celk. ) 4.1 Keplerova úloha - jak se pohybuje hmotný bod o hmotnosti m (planeta) v gravitačním silovém poli hmotného bodu o hmotnosti M (Slunce) - v inerciálním systému, v němž úlohu řešíme, je M v klidu r = r... vzdálenost od středu centrální síly (tj. počátek souřadnic) F ( r) = dv dr r r Řešení: potenciální energie: V = κmm r kinetická energie: T = 1 2 mv2 v = v r + v ϕ v r = ṙ... rychlost vzdalování od centra v ϕ = r ϕ... rychlost ve směru kolmém na spojnici k centru moment hybnosti: L = r p = m r v r v = r v } {{ } r + r v ϕ r v = rv ϕ = r2 ϕ } {{ } =0 r v ϕ L = mr 2 ϕ ϕ = L mr 2 dosadíme do vztahu T + V = E celk. a postupnými úpravami dostaneme: 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) κmm r = E 19

4. Pohyb v poli centrální síly obsah (řešení viz 5.1 Řešení Keplerovy úlohy) 1 2 mṙ2 + ( L2 2mr 2 κmm ) = E (23) } {{ r } V ef (r) V ef (r)... efektivní potenciál - závisí na L 1 2 mṙ2 + V ef (r) = E 1 2 mṙ2 1 = E V ef (r) ; 2 mṙ2 0 E V ef (r) V ef 0 r min r max r E E k Výsledná trajektorie: E k... energie kruhového pohybu E = E k... kružnice E < 0... elipsa E > 0... hyperbola E = 0... parabola 20

4. Pohyb v poli centrální síly obsah 4.2 Kosmické rychlosti Kruhová rychlost = rychlost tělesa, jehož trajektorií je kružnice se středem v gravitačním středu Země (touto rychlostí se pohybují umělé družice Země na kruhových orbitách) - velikost kruhové rychlosti (odvození viz 5.4 Kruhová rychlost): v k = κmz R (24). M Z... hmotnost Země (M Z = 5, 97 10 24 kg). R Z... poloměr Země (R Z = 6, 38 10 6 m) κ... gravitační konstanta (κ =. 6, 67 10 11 m 3 kg 1 s 2 ) První kosmická rychlost: - kruhová rychlost při R = R Z - dosadíme M Z, R Z, κ do (24) v I. = 7, 9 km s 1 Druhá kosmická rychlost (= parabolická rychlost = úniková rychlost): = rychlost, kterou musí těleso získat, aby jeho trajektorií byla parabola = minimální rychlost potřebná k tomu, aby těleso uniklo z dosahu gravitačního pole Země - velikost druhé kosmické rychlosti: v II = 2v I. = 11, 2 km s 1 (odvození viz 5.5 Druhá kosmická rychlost) 21

4. Pohyb v poli centrální síly obsah 4.3 Keplerovy zákony 1. Keplerův zákon Planety obíhají kolem Slunce po elipsách, v jejichž jednom ohnisku leží Slunce. 2. Keplerův zákon Průvodič spojující Slunce s planetou opisuje stejné plochy za stejné časové intervaly. S t = 1 L r v = 2 2m (25) S t... plošná rychlost - nejkratší průvodič má planeta v periheliu (přísluní) - nejdelší průvodič má planeta v aféliu (odsluní) v P > v > v A Pohyb planety je nerovnoměrný. 3. Keplerův zákon Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet je roven poměru třetích mocnin velkých poloos jejich trajektorií. ( T1 ) 2 = ( a1 ) 3 (26) T 2 a 2 T 1, T 2... oběžné doby planet a 1, a 2... hlavní poloosy trajektorií planet (odvození viz 5.3 Třetí Keplerův zákon) 22

5. Matematická odvození obsah 5. Matematická odvození 5.1 Řešení Keplerovy úlohy Při řešení navážeme na rovnici (23). 1 2 mṙ2 + ( L2 κmm ) = E ṙ 2 = + 2κM 2mr 2 r m r ṙ = dr = ± + 2κM dt m r L2 m 2 r 2 L2 m 2 r 2 +... vzdalování od Slunce... přibližování ke Slunci Hledáme: r = r(ϕ) dr = dr dt dϕ dt = dr dt dϕ dϕ dt = m + 2κM L2 r m 2 r 2 L dr mr 2 dϕ = m + 2κM r L mr 2 L2 m 2 r 2 separace proměnných: L mr 2 dr = dϕ m + 2κM r L2 m 2 r 2 zvlášt upravíme pravou (PS) a levou (LS) stranu získané rovnice: LS: substituce: ξ(r) = L mr dξ = L mr 2 dr L mr 2 dr m + 2κM L2 r m = dξ m + 2κMm m 2 r 2 = dξ (ξ κmm L substituce: τ(ξ) = dξ m + κ2 M 2 m 2 L 2 1 )2 +( κmm m (ξ2 2ξ κmm κmm +( L = dξ L ξ ξ2 L = dξ L )2 ξ κmm L m + κ2 M 2 m 2 m + κ2 M 2 m 2 L 2 1 dτ = dτ dξ = dξ L 2 ξ κmm L m + κ2 M 2 m 2 L 2 1 τ 2 2 = dτ ξ κmm L m + κ2 M 2 m 2 L 2 = arccos τ 2 dξ m + κ2 M 2 m 2 L 2 )2 )+( κmm L )2 = 23

5. Matematická odvození obsah PS: dϕ = ϕ + c, c... konstanta tedy ϕ + c = arccos τ cos (ϕ + c) = τ c... otáčí soustavu souřadnic, zvolíme c = 0 cos ϕ = τ = + κ2 M 2 m 2 m L 2 + κ2 M 2 m 2 m L 2 L 2 + 1 cos ϕ = κ 2 M 2 m 3 1 + cos ϕ = ξ κmm L cos ϕ = L mr κmm L... rovnici vynásobíme L κmm L 2 + 1 cos ϕ = κ 2 M 2 m 3 L2 1 1 κmm 2 r L označení: ε = 2 + 1 κ 2 M 2 m 3 p = L2 κmm 2 L2 1 κmm 2 r ξ κmm L m + κ2 M 2 m 2 L 2 postupnými úpravami jsme získali rovnici 1 + ε cos ϕ = p r r = p 1 + ε cos ϕ (27) Jde o rovnici kuželosečky v polárním tvaru. Přesvědčíme se o tom v následující kapitole. 5.2 Rovnice kuželosečky rovnici (27) upravíme na tvar r(1 + ε cos ϕ) = p r + εr cos ϕ = p z obrázku níže plyne x = r cos ϕ r = p εx... rovnici umocníme a dosadíme r 2 = x 2 + y 2 (1 ε 2 )x 2 + 2pεx + y 2 = p 2 24

5. Matematická odvození obsah 1. pro ε = 1 (rovnice paraboly): 2px = p 2 y 2 x = p 2 1 2p y2 2. pro ε < 1 (rovnice elipsy): (1 ε 2 )x 2 + 2pεx + p2 ε 2 + y 2 = p 2 + p2 ε 2 = p2 1 ε 2 1 ε 2 1 ε 2 (x 1 ε 2 + pε 1 ε 2 ) 2 + y 2 = (x+ pε 1 ε 2 )2 + y2 p 2 p 2 (1 ε 2 ) 2 1 ε 2 = 1 označení: a = 1 ε 2 b = p 1 ε 2 x 0 = pε = aε 1 ε 2 p p2 1 ε 2 (rovnici vynásobíme 1 ε2 p 2 ) (x x 0) 2 a 2 + y2 b 2 = 1 3. pro ε > 1 (rovnice hyperboly): (ε 2 1)x 2 2pεx y 2 = p 2 (x ε 2 1 pε ε 2 1 )2 y 2 = (x pε ε 2 1 )2 y2 p 2 p 2 (ε 2 1) 2 ε 2 1 = 1 p2 ε 2 1 (rovnici vynásobíme ε2 1 p 2 ) označení: a = b = x 0 = p ε 2 1 p ε 2 1 pε ε 2 1 = aε (x x 0) 2 a 2 y2 b 2 = 1 4. pro ε = 0 (rovnice kružnice): x 2 + y 2 = p 2 x2 p 2 + y2 p 2 = 1 25

5. Matematická odvození obsah 5.3 Třetí Keplerův zákon Vyjdeme z 2. Keplerova zákona: T... doba oběhu (perioda) S e = πab... plocha elipsy S t... plošná rychlost ( S t = konst.) S e = S T = L T T = πab t 2m L 2m p ; b = p 1 ε 2 1 ε 2 = a p ; (viz odvození 5.2 Rovnice kuželosečky) do rovnice pro periodu T dosadíme a = p = L2 κmm 2 T = 2πa 3 2 κm T 2 a 3 = 4π2 κm = konst. Pokud hmotnost m 1 obíhajícího tělesa není zanedbatelná vůči hmotnosti m 2 centrálního tělesa, je třeba dosadit za M = m 1 + m 2. (viz kapitola 3. Problém dvou těles) 26

5. Matematická odvození obsah 5.4 Kruhová rychlost na těleso o hmotnosti m, pohybující se kolem Země M Z ve vzdálenosti R od středu Země, působí gravitační síla F g = κ mm Z R 2 gravitační síla působící do středu Země je dostředivou silou F d = mv2 k R (pro rovnoměrný pohyb po kružnici: F d = mv2 r ) F g = F d κ mm Z R 2 = mv2 k κm v R k = Z R první kosmická rychlost: κm R = R Z v I = Z R Z =. gr Z = 7, 9 km s 1 5.5 Druhá kosmická rychlost 1 v centrálním gravitačním poli: 2 mv2 κ mm Z R parabolická dráha nebo hod svisle vzhůru, aby těleso nespadlo zpět: E = 0 1 2 mv2 κ mm Z = 0 v = 2κM Z R R R = R Z v II = = E 2κM Z R Z = 2gR Z. = 11,2 km s 1 27