Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný násobek) - jmenovatele opíšeme a čitatele sečteme - pokud je to možné, zkrátíme výsledek na základní tvar a pokud je čitatel větší než jmenovatel, převedeme výsledek na smíšené číslo Příklady: + 3 = 2 + 24 = 49 = 1 9 8 40 40 40 40 (v tomto případě byli jmenovatelé nesoudělná čísla, nejmenší jejich společný násobek je jejich součin * 8 = 40 první zlomek jsme rozšířili, druhý zlomek 8) + 7 = + 21 = 26 = 13 = 12 4 12 12 12 6 21 6 (12 a 4 jsou soudělná čísla, existuje proto menší společný násobek než jejich součin; nejmenší společný násobek je číslo 12 první zlomek jsme tedy rozšiřovat nemuseli, druhý jsme rozšířili třemi) b. smíšených čísel 1. varianta: - sečteme celé části čísel a k nim přičteme součet zlomkových částí jejich součet spočítáme stejným způsobem jako v bodě 1a. 2 3 4 + 32 = (2 + 3) + (3 4 + 2 ) = + (1 20 + 8 20 ) = + 23 20 = 20 2. varianta: - převedeme všechny smíšená čísla na zlomky a pak postupujeme jako v bodě 1a. 2 3 4 + 32 = 11 + 17 = +68 = 123 = 4 20 20 20 (po úpravě na společného jmenovatele můžeme psát zlomky na společnou zlomkovou čáru)
2. Odčítání a. zlomků Příklady: - postup je stejný jako při sčítání, pouze po úpravě všech zlomků na společného jmenovatele čitatele od sebe odečteme 3 = 2 24 = 2 24 = 1 8 40 40 40 40 (jmenovatelé jsou nesoudělní, jejich nejmenší společný násobek je jejich součin) 7 = 21 = 16 = 4 = 4 12 12 12 12 3 11 3 (oba jmenovatelé byli soudělní, společný jmenovatel je 12; po výpočtu jsme ještě krátili čtyřmi a výsledek převedli na smíšené číslo) b. smíšených čísel - i zde postupujeme stejně jako při sčítání a můžeme využít obě varianty, v případě, že pracujeme podle 1. varianty, musíme si dát pozor, aby zlomková část menšence (1. zlomku) byla větší než zlomková část menšitele (2. zlomku), abychom se při odčítání nedostali do záporu pokud tato situace nastane, převedeme 1 jednotku z celé části prvního čísla na zlomek a přidáme ho k části zlomkové např. 2 8 = 113 8 (1 jednotku z celé části jsme převedli na 8 8 zlomkové části čísla a přidali ke Příklady: 1. varianta odčítáme celé a zlomkové části a výsledky pak sečteme: 3 1 3 = (6 3) + ( 1 ) = 3 + 3 2 = 3 1 10 10 10 10 4 2 2 3 = 4 37 2 3 = (3 2) + 4 (7 3 28 1 ) =1 + 4 20 = 1 13 20!!! POZOR na to, že celé části čísla od sebe odčítáme, zlomkové části od sebe odčítáme, ale oba výsledky pak spolu sečteme!!! 2. varianta převod na zlomky: 3 1 = 63 16 = 63 32 = 31 = 3 1 10 10 10 10 10
3. Násobení a. zlomku přirozeným číslem - přirozené číslo si můžeme představit jako zlomek se jmenovatelem jedna: = 1 - čísla násobíme tak, že čitatele mezi sebou vynásobíme a jmenovatele také, v tomto případě vlastně opíšeme jmenovatele u zadaného zlomku, protože násobením jedničkou se jeho hodnota nezmění a * c = a c b b * 3 = 3 = 3 = 1 = 3 = 10 1 10 10 10 2 11 2 v tomto jsme mohli před vlastním násobením vykrátit a 10 a teprve pak násobit: * 3 10 = 1 3 10 = 1 1 3 2 = 3 2 = 11 2 POZOR!!! KRÁCENÍ PŘI NÁSOBENÍ: Při násobení mohu krátit čitatele se soudělným jmenovatelem i napříč zlomky (mohu totiž všechny zlomky napsat na společnou zlomkovou čáru a díky komutativnosti násobení (a * b = b * a) přehodit pořadí čitatelů či jmenovatelů.!!! TENTO POSTUP NEPLATÍ ANI PRO SČÍTÁNÍ, ANI PRO ODČÍTÁNÍ b. zlomku zlomkem - vhodně vykrátíme (pokud je to možné) - vynásobíme čitatele mezi sebou a vynásobíme jmenovatele mezi sebou - případně převedeme na smíšené číslo 1 4 * 16 = 3 1 * 4 1 = 12 (krátíme 1 a pěti, dále krátíme 16 a 4 čtyřmi) 12 * 1 * 60 = 3 * 1 * 60 = 3 * 3 * 60 = 3 * 3 * 12 = 3 * 3 * 1 = 9 = 2 16 24 2 4 24 4 24 1 4 24 1 4 2 8 11 8 (v příkladu jsou rozepsány dílčí stavy příkladu po jednotlivých kráceních na pořadí krácení nezáleží, pokud neudělám chybu, musí vždy vyjít stejný výsledek) 12 a 16 čtyřmi, 1 a 2 pěti, 60 a pěti, 12 a 24 dvanácti POZOR: nesmíme krátit dva čitatele nebo dva jmenovatele mezi sebou.
c. smíšeného čísla přirozeným číslem 1. varianta převod smíšeného čísla na zlomek - převedeme smíšené číslo na zlomek - postupujeme jako v typu 3a násobení zlomku přirozeným číslem - pokud před vlastním násobením můžeme krátit, vykrátíme * 4 = 63 * 4 = 63 * 2 = 63 2 10 10 = 126 = 21 (10 a 4 můžeme krátit dvěma) 2. varianta roznásobení smíšeného čísla číslem přirozeným - vynásobíme přirozeným číslem celou část čísla - vynásobíme přirozeným číslem zlomkovou část čísla - oba výsledky sečteme (a + b) * c = a*c + b*c * 4 = (6 + 3 ) * 4 = 6 * 4 + 3 3 2 * 4 = 24 + = 10 10 10 246 = 21 d. smíšeného čísla zlomkem 1. varianta převod smíšeného čísla na zlomek - převedeme smíšené číslo na zlomek - dále postupujeme jako při násobení dvou zlomků typ 3b) 4 2 * 8 = 22 * 8 = 11 1 * 1 4 = 11 4 = 23 4 (po převodu smíšeného čísla na zlomek zkontrolujeme, zda se nedá krátit v našem případě jsme mohli vykrátit s pěti a 22 s 8 dvěma, pak standardně násobíme čitatele s čitatelem a jmenovatele s jmenovatelem) 2. varianta roznásobení smíšeného čísla zlomkem - vynásobíme nejprve zlomkem celou část smíšeného čísla (podle typu 3a), pak vynásobíme zlomkem zlomkovou část smíšeného čísla (podle typu 3b) - oba výsledky sečteme
4 2 * 8 = (4 + 2 )* 8 = 4 * 8 + 2 8 = 1 * 2 + 1 1 1 4 = 2 + 1 4 = 10+1 = 2 3 4 4 = 11 4 (při roznásobení nám vznikla třikrát možnost krátit 4 s 8 čtyřmi, s pěti a 2 s 8 dvěma, pro sečtení obou součinu jsme museli upravit zlomky na společného jmenovatele což bylo v tomto případě číslo 4 první zlomek jsme rozšířili dvěma) e. smíšeného čísla smíšeným číslem 1. varianta převod smíšeného čísla na zlomek - převedeme obě smíšená čísla na zlomek a pak postupujeme jako u typu 3b 4 3 8 * 24 = 3 8 * 14 = 7 4 * 7 1 = 7 7 4 1 = 49 4 = 121 4 2. varianta roznásobení smíšených čísel jako dvojčlenů - roznásobíme obě smíšená čísla podle tohoto vzorečku: (a + b) * (c + d) = a*c + a*d + b*c + b*d tedy každý člen prvního čísla s každým členem druhého čísla - dílčí součiny pak sečteme - POZNÁMKA: Tento postup se nám zatím může zdát složitý a budeme radši používat v této chvíli variantu 1, ale v budoucnu se nám bude toto pravidlo hodit 4 3 8 * 24 = (4 + 3 8 ) * (2 + 4 ) = 4 * 2 + 4 * 4 + 3 8 2 + 3 8 4 = 8 + 16 + 3 + 3 = 8 + 64+1+6 = 8 + 8 = 8 + 17 = 8 + 4 10 20 20 4 41 = 4 121 4 (roznásobili jsme podle vzorečku a vznikly 4 součiny v nich jsme mohli několikrát krátit, což je naznačeno v zápisu; vzniklé zlomky jsme poté sečetli podle pravidla 1a společným násobkem, 4 a 10 je číslo 20; po sečtení zlomků a po vykrácení na základní tvar jsme přičetli výsledné číslo k číslu 8, které vzniklo při roznásobování jako součin celých částí čísel.
4. Dělení - využijeme zkušenosti s tím, že když číslo dělíme zlomkem, získáme stejný výsledek, jako když to samé číslo násobíme zlomkem převráceným tím předejdeme problémům, které by vznikaly při dělení nesoudělných čísel b. zlomku přirozeným číslem - přirozené číslo si můžeme představit jako zlomek s jmenovatelem 1, např. 3 6 = 6 1 - zlomek převrácený ke zlomku má vyměněné čitatele a jmenovatele, např. zlomek převrácený ke zlomku 6 1 je 1 6 - zlomek tedy vynásobíme zlomkem převráceným k přirozenému číslu 4 : 6 = 3 4 * 1 6 = 1 4 * 1 2 = 1 8 (před vlastním násobením zkontrolujeme, zda není možno krátit v našem případě jsme krátili 3 a 6 třemi) c. zlomku zlomkem - zlomek vynásobíme zlomkem převráceným 12 : 21 = 12 20 = 4 4 = 4 4 = 16 2 20 2 21 7 7 3 (po převodu na násobení krátíme, sami snad poznáte, co s čím) d. smíšeného čísla zlomkem - smíšené číslo převedeme na zlomek a pak převedeme příklad na násobení zlomkem převráceným 4 3 8 : 4 = 3 8 * 4 = 7 2 * 1 1 = 7 1 2 1 = 7 2 = 31 2 e. smíšeného čísla smíšeným číslem - smíšená čísla převedeme na zlomek a pak převedeme příklad na násobení zlomkem převráceným 4 3 : 8 23 = 3 : 11 = 3 * 4 = 3 * 1 = 3 1 = 3 = 4 8 4 8 11 2 11 2 11 22 113 22