ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 Základní poznatky z matematiky Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Základní poznatky z matematiky 3 Obsah Číselné obory 1... 7 Přirozená čísla... 7 Celá čísla... 9 Racionální čísla... 10 Reálná čísla... 12 Číselná osa... 14 Číselné obory 1... 15 Varianta A... 15 Číselné obory 1... 17 Varianta B... 17 Číselné obory 1... 19 Varianta C... 19 Číselné obory 2... 21 Druhá odmocnina... 21 Třetí odmocnina... 22 Absolutní hodnota reálného čísla... 23 Číselné obory 2... 24 Varianta A... 24 Číselné obory 2... 26 Varianta B... 26 Číselné obory 2... 28 Varianta C... 28 Pravoúhlý trojúhelník... 30 Pythagorova věta... 30 Goniometrické funkce pravého úhlu... 31 Pravoúhlý trojúhelník... 33

4 Základní poznatky z matematiky Varianta A... 33 Pravoúhlý trojúhelník... 35 Varianta B... 35 Pravoúhlý trojúhelník... 37 Varianta C... 37 Mocniny s přirozeným mocnitelem... 39 Mocniny s celým mocnitelem... 41 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem... 42 Varianta A... 42 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem... 44 Varianta B... 44 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem... 46 Varianta C... 46 Základní množinové pojmy... 48 Intervaly... 51 Zobrazení... 52 Množiny a zobrazení... 53 Varianta A... 53 Množiny a zobrazení... 55 Varianta B... 55 Množiny a zobrazení... 57 Varianta C... 57 Výrazy... 59 Mnohočleny... 60 Mnohočleny... 62 Varianta A... 62 Mnohočleny... 64

Základní poznatky z matematiky 5 Varianta B... 64 Mnohočleny... 66 Varianta C... 66 Lomené výrazy... 68 Krácení a rozšiřování lomených výrazů... 68 Sčítání a násobení lomených výrazů... 69 Dělení lomených výrazů... 70 Složený lomený výraz... 71 Lomené výrazy... 72 Varianta A... 72 Lomené výrazy... 74 Varianta B... 74 Lomené výrazy... 77 Varianta C... 77 Elementární teorie čísel... 80 Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla... 80 Znaky dělitelnosti... 82 Prvočísla a čísla složená... 84 Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek... 85 Elementární teorie čísel... 86 Varianta A... 86 Elementární teorie čísel... 88 Varianta B... 88 Elementární teorie čísel... 90 Varianta C... 90 Výroky... 92 Výrok a jeho negace... 92

6 Základní poznatky z matematiky Složené výroky... 94 Důkazy matematických vět... 97 Výroky... 98 Varianta A... 98 Výroky... 100 Varianta B... 100 Výroky... 102 Varianta C... 102

Základní poznatky z matematiky 7 Číselné obory 1 Přirozená čísla Slouží k vyjádření počtu, označení-, { } Pro každá tři přirozená čísla platí: 1.) Součet je přirozené číslo (U) Součin je přirozené číslo 2.) (K) 3.) ( ) ( ) (A) ( ) ( ) 4.) (N) 5.) ( ) (D) Všimněte si nápadné obdoby vlastností sčítání a násobení zapsaných v prvních šesti řádcích. Označení v posledním sloupci znamená: (U) věty o uzavřenosti oboru vzhledem ke sčítání a násobení (součtem a stejně tak součinem libovolných přirozených čísel je vždy přirozené číslo) (K) věty o komutativnosti sčítání a násobení (pořadí sčítanců při součtu, resp. pořadí činitelů při násobení můžeme zaměnit) (A) věty o asociativnosti sčítání a násobení (sčítance při součtu, resp. činitele při násobení můžeme libovolně sdružovat) (N) věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení (číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k operaci násobení přirozených čísel) (D) věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání (násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance)

8 Základní poznatky z matematiky Rozdíl dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, pro které platí. Podíl dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, pro které platí. Mocnina dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, které je součinem činitelů rovnajících se číslu.

Základní poznatky z matematiky 9 Celá čísla Vyjadřují změny počtů (přírůstky, úbytky). Označení-, { } Pro každá tři celá čísla platí: 1.) Součet je celé číslo (U) Součin je celé číslo 2.) (K) 3.) ( ) ( ) (A) ( ) ( ) 4.) (N) 5.) ( ) (D) Ke každému celému číslu existuje takové celé číslo ( ), že platí ( ). Čísla a ( ) se nazývají čísla navzájem opačná. Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné. Opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné. Opačné číslo k číslu nula je číslo nula. Při počítání s opačnými čísly postupujeme podle těchto pravidel: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání neutrální prvek vzhledem k operaci násobení

10 Základní poznatky z matematiky Racionální čísla Používají se k vyjádření dílů, částí. Označení { }. Jsou to všechna čísla, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku, kde je číslo celé a je číslo přirozené. Zlomek je v základním tvaru, pokud jsou nesoudělná čísla. Pro každá tři racionální čísla platí: 1.) Součet je racionální číslo Součin je racionální číslo 2.) Rozdíl je racionální číslo (U) Podíl, kde, je racionální číslo 3.) (K) 4.) ( ) ( ) (A) ( ) ( ) 5.) (N) 6.) ( ) (D) Obor racionálních čísel je uzavřený vzhledem ke sčítání, odčítání, násobení a dělení (s výjimkou dělení nulou). Racionální čísla zapsaná zlomky v základním tvaru porovnáváme na základě srovnání součinů :, právě když,, právě když,, právě když.

Základní poznatky z matematiky 11 Pro libovolná dvě racionální čísla platí:, kde Racionální čísla můžeme zapisovat ve tvaru - Zlomku - Desetinného čísla - Nekonečného periodického desetinného rozvoje s vyznačenou periodou Desetinným číslem se rozumí racionální číslo, které lze zapsat zlomkem, kde je celé číslo a je přirozené číslo. Je to tedy číslo s konečným desetinným rozvojem. Periodická čísla: perioda předperioda; perioda Smíšené číslo je zápis pro čísla větší než 1 např. (jedna celá a dvě třetiny),,

12 Základní poznatky z matematiky Reálná čísla Reálnými čísly nazýváme čísla, která jsou velikostmi úseček (při zvolené jednotkové úsečce), čísla k nim opačná a nulu. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla. Označení- iracionální čísla Iracionální čísla nelze zapsat ve tvaru, kde je číslo celé a je číslo přirozené. Lze je charakterizovat typickou vlastností jejich zápisu v desítkové soustavě. Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem, který je nekonečný a neperiodický. Zaokrouhlování čísel: Číslo zaokrouhlíme na místo daného řádu tak, že vynecháme všechny číslice, které jsou vpravo od číslice na místě daného řádu, a je-li první z vynechaných číslic a) menší než 5, pak všechny ponechané číslice se nemění, b) rovna nebo větší než 5, pak číslu tvořenému ponechanými číslicemi přičteme jednu jednotku nejmenšího ponechaného řádu. Čísla zaokrouhlujeme na místa určitého řádu nebo na daný počet platných číslic. Platné číslice daného reálného čísla jsou všechny číslice v zápisu tohoto čísla od první nenulové číslice zleva až po poslední zapsanou číslici vpravo. Např. čísla: mají tři platné číslice mají dvě platné číslice mají jednu platnou číslici.

Základní poznatky z matematiky 13 Pro každá tři reálná čísla platí: Jestliže a zároveň, pak. Jestliže a zároveň, pak. Jestliže a zároveň, pak. Jestliže a je libovolné reálné číslo, pak. Pro každá čtyři reálná čísla platí: Jestliže a zároveň, pak. V průběhu studia matematiky se setkáváme se zápisy: množina všech celých nezáporných čísel, tj. množina všech přirozených čísel sjednocena s množinou { } množina všech celých záporných čísel, tj. množina { } množina všech kladných reálných čísel množina všech nezáporných reálných čísel, tj. množina všech kladných reálných čísel sjednocena s množinou { }

14 Základní poznatky z matematiky Číselná osa Číselná osa je přímka, na které zvolen počátek a jednotka. Na číselnou osu zobrazujeme obrazy reálných čísel. Každému reálnému číslu odpovídá na číselné ose právě jeden bod a naopak.

Základní poznatky z matematiky 15 Číselné obory 1 Varianta A Příklad: Vypočtěte s využitím matematických zákonů a pravidel: a) b) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) Řešení: a) ( ) ( ) b) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

16 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 2) Seřaďte daná čísla od nejmenšího k největšímu: a) b) 3) Vypočítejte a výsledek zapište desetinným číslem: a) ( ) b) ( ) ( ) 4) Pro která čísla je součin ( ) roven nule? Výsledek řešení: 1.) a), b), c), d) 2) a), b) 3.) a), b) 4.)

Základní poznatky z matematiky 17 Číselné obory 1 Varianta B Příklad: Uspořádejte vzestupně racionální čísla. Řešení: a) 1. způsob- daná čísla vyjádříme desetinnými rozvoji rozhoduje počet setin rozhoduje počet tisícin Závěr: b) 2. způsob- daná čísla vyjádříme zlomky ; Porovnáme a :, to znamená, že Porovnáme a :, to znamená, že Závěr: Některá racionální čísla (větší než jedna nebo menší než minus jedna) zapisujeme jako smíšená čísla. Například číslo, které je zapsáno zlomkem v základním tvaru, můžeme zapsat jako smíšené číslo (čteme: dvě a tři třináctiny, nikoli dvě krát tři třináctiny). Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

18 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) a) Zapište smíšená čísla a jako zlomky. b) Zapište zlomky a jako smíšená čísla. 2) Daná racionální čísla zapište zlomkem v základním tvaru: a) b) 3) Uspořádejte daná racionální čísla od nejmenšího k největšímu: a) b) 4) Uspořádejte daná racionální čísla od nejmenšího k největšímu: a) b) Výsledek řešení: 1.) a), b) 2.) a), b) 3.) a), b) 4.) a), b)

Základní poznatky z matematiky 19 Číselné obory 1 Varianta C Příklad: Rozhodněte, které z čísel π a je větší. Řešení: Napíšeme desetinná čísla, kterými nahradíme daná iracionální čísla. π Číslo má větší počet desetitisícin než číslo π, je tedy větší. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

20 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte podle velikosti daná reálná čísla: a) b) 2) Převráceným číslem k reálnému číslu se nazývá reálné číslo, pro něž platí. Rozhodněte, zda existuje ke každému reálnému číslu číslo převrácené. Určete převrácená čísla k číslům: 3) Vypočtěte a výsledek zapište jako desetinné číslo: a) ( ) ( ) b) ( ) 4) Vypočtěte co nejúsporněji a výsledek vyjádřete desetinným číslem: a) [( ) ( )] b) [( ) ( )] Výsledek řešení: 1.) a), b) 2.) Existuje ke každému reálnému číslu s výjimkou nuly 3.) a), b) 4.) a), b) neexistuje;

Základní poznatky z matematiky 21 Číselné obory 2 Druhá odmocnina Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla Věta: K jeho označení užíváme symbol. je takové nezáporné číslo, pro které platí Pro každá dvě nezáporná reálná čísla platí:, pro Druhá odmocnina je definována pouze z nezáporného reálného čísla. Jinak řečeno, druhé odmocniny ze záporných čísel (např. apod.) nejsou definovány v oboru reálných čísel. Později tuto definici rozšíříme zavedením čísel komplexních. Druhá odmocnina z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo, např., i když, a rovněž ( ). Symbol musí být jednoznačný, tj. musí označovat právě jedno číslo. Stručně lze zapsat: pro každé je.

22 Základní poznatky z matematiky Třetí odmocnina Třetí odmocnina z nezáporného reálného čísla. K jeho označení užíváme symbol. je takové nezáporné číslo, pro něž platí Věta: Pro každá dvě nezáporná reálná čísla platí:, pro Usměrňování zlomků: Usměrnit zlomek znamená odstranit odmocniny ze jmenovatele zlomku.

Základní poznatky z matematiky 23 Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnotu reálného čísla definujeme takto: Je-li, pak, Je-li, pak. Věta: 1.) Pro každé reálné číslo platí. 2.) Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku. 3.) Vzdálenost obrazů reálných čísel na číselné ose je rovna. 4.) Pro platí Geometrická interpretace absolutní hodnoty

24 Základní poznatky z matematiky Číselné obory 2 Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) b) c) d) Řešení: e) f) a) b) c) d) e) f) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 25 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte zpaměti druhé odmocniny z čísel: a) ) b) c) 2) Rozhodněte, zda platí následující rovnosti. Své rozhodnutí zdůvodněte: a) b) c) ( ) 3) Rozhodněte, zda platí (své rozhodnutí zdůvodněte): a) b) c) 4) Vypočtěte: a) b) c) Výsledek řešení: 1.) a), b), c) 2) a) platí, a je nezáporné číslo, b) neplatí, c) neplatí. Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo. 3.) a) platí, a je nezáporné číslo, b) neplatí, třetí odmocnina je vždy nezáporné číslo, c) platí, a i jsou nezáporná čísla 4.) a) 0,09, b) 0,2, c) 3

26 Základní poznatky z matematiky Číselné obory 2 Varianta B Příklad: Usměrněte zlomky: a) b) c) Řešení: a) b) ( ) ( ) c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 27 Příklady k procvičení: 1) Usměrněte zlomky: a) b) 2) Upravte výrazy: a) b) 3) Usměrněte zlomky: a) b) 4) Usměrněte zlomky: a) b) Výsledek řešení: 1.) a), b) 2.) a), b) 3.) a), b) 4.) a), b)

28 Základní poznatky z matematiky Číselné obory 2 Varianta C Příklad: Na číselné ose znázorněte obrazy všech reálných čísel, pro která platí: a) b) c) d) Řešení: Zápis znamená, že máme na číselné ose najít obrazy čísel x, pro něž je vzdálenost od obrazu čísla 3 rovna 2. (Tj. 3-2=1, 3+2=5) a) { } b) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 29 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: a) ( ) b) ( ) c) 2) Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí: a) b) c) 3) Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí: a) b) c) 4) Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí: a) b) c) Výsledek řešení: 1.) a), b), c) 2.), b), c) taková čísla neexistují 3.) a) úsečka určená body -3 a 3 bez těchto krajních bodů, b) všechna reálná čísla s výjimkou čísel ležících mezi čísly -1 a 1(dvě polopřímky), c) všechna reálná čísla s výjimkou nuly 4.) a), b), c) všechna reálná čísla s výjimkou čísel a všech čísel ležících mezi těmito čísly

30 Základní poznatky z matematiky Pravoúhlý trojúhelník Pythagorova věta Pravoúhlý trojúhelník je každý trojúhelník, který má jeden úhel pravý a zbývající dva ostré. odvěsny přepona pravý úhel Pythagorova věta: V každém pravoúhlém trojúhelníku platí Kde je délka přepony, jsou délky jeho odvěsen. Platí-li pro délky stran trojúhelníku vztah, je trojúhelník pravoúhlý s pravým úhlem proti straně, která je tedy jeho přeponou, zbývající dvě strany jsou odvěsnami.

Základní poznatky z matematiky 31 Goniometrické funkce pravého úhlu Definice: Sinus úhlu α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého trojúhelníku. Kosinus úhlu α je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu α a délky přepony. Tangens úhlu α je poměr délek protilehlé odvěsny k úhlu α a přilehlé odvěsny. Kotangens úhlu α je poměr délek přilehlé odvěsny k úhlu α a protilehlé odvěsny.

32 Základní poznatky z matematiky Vztahy mezi goniometrickými funkcemi: a) ( ), podobně b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) f) g) h) ( ) ( ) Některé hodnoty goniometrických funkcí: Sinus Kosinus Tangens Kotangens

Základní poznatky z matematiky 33 Pravoúhlý trojúhelník Varianta A Příklad: Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 4cm a 7cm. Trojúhelník sestrojte z daných údajů, změřte jeho přeponu a výsledek porovnejte se svým výpočtem. Řešení: Pro délku přepony platí ( ), takže. Délka přepony je přibližně 8,06cm. Narýsujeme si dvě kolmé polopřímky se společným počátkem, od něhož naneseme na jednu polopřímku 4cm, na druhou 7cm. Koncové body určují spolu se společným bodem obou polopřímek pravoúhlý trojúhelník. Délka jeho přepony by se neměla při pečlivém rýsování a měření lišit od hodnoty 8,1cm o více než 1mm. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

34 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Žebřík délky 6m je opřen o zeď tak, že pata žebříku je od zdi vzdálena 2m. V jaké výšce nad zemí je druhý konec žebříku? 2) Vypočítejte délku druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, je-li dána délka jedné odvěsny a délka přepony: a) b) 3) Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku, který má délky stran: a) b) 4) Rovnoramenný trojúhelník má ramena délky, a základnu délky ; výška k základně má délku. Vypočtěte zbývající údaj, je-li dáno: a) b) Výsledek řešení: 1.), tj. asi 5,66m 2) a) 40cm, b) 12cm 3.) a) 25,6cm, b) 45,3cm 4.) a) 10,3cm, b) 11,5cm

Základní poznatky z matematiky 35 Pravoúhlý trojúhelník Varianta B Příklad: V kružnici s poloměrem 3,5cm jsou sestrojeny dvě rovnoběžné tětivy, jejichž délky jsou 4,2cm a 6,4cm. Vypočítejte vzdálenost těchto tětiv. Řešení: ( ) ( ) Vzdálenost tětiv je. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

36 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky hranolu, který má rozměry. 2) Vypočítejte obsah štítu domu, který má tvar rovnoramenného trojúhelníku se základnou délky12m a rameny délek 6,5m. 3) V trojúhelníku je dáno, délka těžnice. Vypočítejte. 4) Z kmene stromu, jehož nejmenší průměr je 25cm, se má zhotovit trám čtvercového průřezu. Vypočítejte délku strany největšího možného trámu s přesností na centimetry. Výsledek řešení: 1.) 20,7cm 2.) 3.) 11,7cm 4.) 17cm

Základní poznatky z matematiky 37 Pravoúhlý trojúhelník Varianta C Příklad: Určete velikost úhlu α, který svírá tělesová a stěnová úhlopříčka krychle. Řešení: Označíme-li délku hrany krychle, je délka stěnové úhlopříčky, délka tělesové úhlopříčky je. Z pravoúhlého trojúhelníku o stranách plyne, že, takže. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

38 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) V pravoúhlém trojúhelníku má přepona délku, jeden jeho ostrý úhel má velikost. Určete délky odvěsen. 2) Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku mají délky 5cm a 12cm. Určete velikosti jeho ostrých úhlů. 3) Hrany kvádru mají délky 3cm, 4cm a 12cm. Určete velikosti úhlů, jež svírají stěnové úhlopříčky téže stěny, a velikosti úhlů, jež svírá tělesová úhlopříčka se stěnovými úhlopříčkami. 4) Rotační kužel má výšku, poloměr podstavy je. Jaký úhel svírají strany a) s rovinou podstavy, b) s osou kužele? Co platí o součtu velikostí těchto dvou úhlů? Výsledek řešení: 1.), 2.) 3.) 4.)

Základní poznatky z matematiky 39 Mocniny s přirozeným mocnitelem Definice: Pro každé reálné číslo a každé přirozené číslo je, kde v součinu na pravé straně je n činitelů. Výraz se nazývá mocnina, je základ mocniny(mocněnec), je mocnitel(exponent). Z definice vyplývá, že a) pro každé reálné číslo platí, b) pro každé přirozené číslo platí a. Věta 1: Pro každé a pro každé platí: a) je-li, pak, b) je-li, pak, c) je-li, pak. Věta 2: Pro každá dvě reálná čísla a pro každá přirozená čísla platí: ( ) ( ) ( )

40 Základní poznatky z matematiky V matematice, přírodních a technických vědách často pracujeme s velkými čísly, která zpravidla zapisujeme pomocí mocnin se základem 10, tj. ve tvaru, kde. Exponent čísla zapsaného ve tvaru určíme tak, že zjistíme řád první platné číslice zapisovaného čísla Např..

Základní poznatky z matematiky 41 Mocniny s celým mocnitelem Věta: Pro každé reálné číslo platí. Pozn.: Věta o dělení mocnin se stejným základem platí pro, proto výraz není definován. Věta: Pro každé reálné číslo a pro každé celé číslo platí. Věta: Pro každá dvě reálná čísla a pro libovolná celá čísla platí: ( ) ( ) ( )

42 Základní poznatky z matematiky Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Varianta A Příklad: Vypočítejte: a) b) ( ) c) ( ) d) e) f) ( ) Řešení: a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) d) e) f) ( ), (mocnitel je liché číslo) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 43 Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhlete na dvě platné číslice a vyjádřete ve tvaru, kde : a) b) c) d) 2) Vypočítejte: a) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) [( ) ( )] 3) Dané výrazy vyjádřete jako mocniny se základem 2 nebo 3 a bez použití kalkulačky vypočítejte: a) ( ) ( ) b) c) 4) Vypočítejte: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 1.) a), b), c), d) 2) a), b), c) 3.) a), b), c) 4.) a), b), c)

44 Základní poznatky z matematiky Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Varianta B Příklad: Za předpokladu, že a) b) jsou nenulová reálná čísla, vypočítejte: ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) e) Řešení: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) e) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 45 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: a) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2) Vypočítejte: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 3) Vyjádřete v co nejjednodušším tvaru: a) ( ) b) ( ) 4) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 1.) a), b) 367 2.) a), b) 0 3.) a), b) 4.) a), b)

46 Základní poznatky z matematiky Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Varianta C Příklad: Za předpokladu, že a) jsou nenulová reálná čísla, vypočítejte: [ ( ) ] ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) [ ( ) ( ) ] [( ) ( ) ] Řešení: a) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) [ ( ) ( ) ] [( ) ( ) ] ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( )

Základní poznatky z matematiky 47 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: a) b) 2) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: a) ( ) ( ) b) ( )( ) 3) Vypočtěte: a) ( ) b) ( ) ( ) ( ) 4) Vypočtěte co nejúsporněji: [ ( ) ] 5) Upravte daný výraz tak, aby obsahoval pouze kladné exponenty, a pak určete, kdy má zlomek smysl: 1.) a), b) 2.) a), b) 3.) a), b) 4.) a), 5)

48 Základní poznatky z matematiky Základní množinové pojmy Definice množiny: Skupina prvků, které mají společnou charakteristickou vlastnost. Prvek množiny je dále nedělitelný prvek; např., pan Novák. Označení množin- Prvky množin- je prvkem množiny není prvkem množiny Prázdná množina- množina, která neobsahuje žádný prvek. Např. studenti třídy 1.E na GJW. Značíme: {}. Každou množinu lze určit dvěma způsoby: a) Výčtem prvků- pouze u konečných množin { } b) Určením charakteristické vlastnosti- u konečných i nekonečných množin { } Definice: Podmnožinou množiny nazveme každou takovou množinu, jejíž všechny prvky jsou současně i prvky množiny. Zápis: ( ). Definice: Rovnost množin: Množiny se sobě rovnají(píšeme = ) právě tehdy, když každý prvek množiny je prvkem množiny a naopak, každý prvek množiny je prvkem množiny. = právě tehdy, když.

Základní poznatky z matematiky 49 Definice: Nechť. Doplňkem množiny v množině (píšeme ) je množina, která obsahuje takové prvky, které patří do množiny, ale nepatří do množiny. Definice: Průnikem množin a nazýváme takovou množinu (značíme ), která obsahuje takové prvky, které patří současně do množiny i.

50 Základní poznatky z matematiky Definice: Sjednocením množin a nazveme takovou množinu (značíme ), která obsahuje všechny prvky, které patří buď do množiny nebo do množiny (Může patřit i do obou současně). Definice: Rozdílem množin a (v daném pořadí) je taková množina (značíme ), která obsahuje ty prvky, které patří do množiny, ale nepatří do množiny.

Základní poznatky z matematiky 51 Intervaly Omezené intervaly jsou takové podmnožiny množiny všech reálných čísel, které lze na číselné ose znázornit úsečkou. Podle toho, zda k úsečce patří oba krajní body nebo jen jeden nebo žádný, rozdělujeme omezené intervaly na uzavřené, polouzavřené a otevřené. Přehled omezených intervalů s krajními body ( ) je uveden v následující tabulce: Zápis charakteristické Zápis intervalu Znázornění na reálné Název intervalu vlastnosti ose Uzavřený interval Polouzavřený interval ( (zleva otevřený a zprava uzavřený) Polouzavřený interval ) (zleva uzavřený a zprava otevřený) Otevřený interval ( )

52 Základní poznatky z matematiky Zobrazení Definice: Zobrazení množiny do množiny je předpis, který každému prvku jednoznačně přiřadí nějaký prvek. Prvek se nazývá vzor prvku, prvek je obraz prvku. Označíme-li zobrazení φ, píšeme ( ). Množina je definiční obor zobrazení, množina všech prvků tvaru ( ), kde, se značí ( ), a nazývá se obrazem množiny v zobrazení. Podle definice je ( ). Je-li ( ), říkáme, že je zobrazením množiny na množinu. Zobrazením množiny do množiny, které přiřazuje různým prvkům množiny různé prvky množiny, se nazývá prosté. Inverzní zobrazení: Je-li zobrazení množiny na množinu, existuje ke každému aspoň jeden prvek tak, že ( ). Je-li navíc prosté, existuje takové právě jedno. Říkáme, že je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny na množinu. Přiřadíme-li prvku právě ten prvek, pro který je ( ), dostaneme zobrazení množiny na množinu. Toto zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení a značíme.

Základní poznatky z matematiky 53 Množiny a zobrazení Varianta A Příklad: Jsou dány množiny Určete: a) Doplněk množiny B v A b) c) d) Všechny podmnožiny množiny B { } { } Řešení: a) { } b) { } c) { } d) {},{ } { } { } { } { } { } { } Pozn.: Pro libovolnou množinu platí: 1.) 2.) {}. 3.) Obsahuje-li množina prvků, je počet všech jejich podmnožin určen číslem. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

54 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Určete průnik a sjednocení množin: a) { } { } b) { } { } c) { } { } 2) Najděte a pro množiny určené v předchozím příkladu. 3) Určete doplněk množiny B v množině A, jestliže: a) { } { } b) { } { } c) { } 4) Určete průnik a sjednocení množin, jestliže: a) { } { } b) { } { } 1.) a) { }, { } b) { } { }; c) { }; { } 2) a) { } { } b) { } { } c) { } 3.) a) { }, b) { }, c) 4.) a) { }; { }, b) { }; { }

Základní poznatky z matematiky 55 Množiny a zobrazení Varianta B Příklad: Určete sjednocení a průnik intervalů: a) b) c) ( ) d) ( ) Řešení: Dané intervaly zobrazíme nad číselnou osou a na ní znázorníme jejich sjednocení a průnik: a) b) { } c) ( ) ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

56 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny: a) { } b) { } c) { } 2) Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny: a) { } b) { } c) { } 3) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: a) { } b) { } c) { } 4) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: a) { } b) { } c) { } 1.) a), b) (, c) ) 2.) a) ( ), b) ( ), c) ( 3.) a) není, b) není, c) není 4.) a) ), b) není, c) není

Základní poznatky z matematiky 57 Množiny a zobrazení Varianta C Příklad: Znázorněte na číselné ose dané množiny reálných čísel a zapište pomocí intervalů: a) { } b) { } c) { } Řešení: a) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

58 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: a) { } b) { } c) { } 2) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: a) { } b) { } c) { } 3) Určete sjednocení a průnik intervalů: a) b) ) ) c) ( ) ( 4) Určete sjednocení a průnik intervalů: a) ( ) ) b) ( ) ) c) ( ) 1.) a), b) není, c) ( ) 2.) a) ( ), b), c) ( ) 3.) a), b) ), c) ( ) ( 4.) a) ( ) ), b) ( ) ), c) ( ) { }

Základní poznatky z matematiky 59 Výrazy Výraz je zápis skládající se z čísel a písmen označujících proměnné, které jsou spojeny matematickými znaky (např. ). Pro proměnné je třeba stanovit obory proměnných, což jsou množiny čísel, která můžeme dosazovat za proměnné tak, že má daný výraz smysl. Hodnota výrazu je číslo, které dostaneme po dosazení za všechny proměnné z jejich oborů a provedení všech početních operací. Algebraické výrazy jsou výrazy, jejichž každá proměnná má za svůj obor číselnou množinu. Pozn.: Obvykle poznáme ze souvislostí, zda jde o algebraický výraz a slovo algebraický vynecháváme.

60 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Mnohočlen (polynom) s jednou proměnnou je výraz, který lze napsat ve tvaru, kde jsou reálná čísla, celé nezáporné číslo a proměnná; je-li, tj. když koeficient u proměnné s největším exponentem je nenulový, jde o mnohočlen tého stupně. Čísla se nazývají koeficienty mnohočlenu, jeho jednotliví sčítanci, tj. výrazy, kde, se nazývají členy mnohočlenu. Koeficient se nazývá absolutní člen, člen lineární člen a člen se nazývá kvadratický člen mnohočlenu. Podle počtu členů mnohočlenu mluvíme o jednočlenu, dvojčlenu, trojčlenu atd. Mnohočlen 1. Stupně (zapisuje se obvykle místo ) se nazývá lineární, mnohočlen 2. Stupně (zapisuje se obyčejně ve tvaru ) se nazývá kvadratický, mnohočlen 3. stupně se nazývá kubický. Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky; např. dvojčlen je opačný k dvojčlenu, trojčlen je opačný k trojčlenu apod. Součtem obou mnohočlenů je nulový mnohočlen ( ) ( ). Pozn.: mnohočlen nultého stupně nulový mnohočlen Definice: Říkáme, že: a) mnohočlen je uspořádán sestupně b) mnohočlen je uspořádán vzestupně

Základní poznatky z matematiky 61 Věta: Pro libovolná platí 1.) ( ) 2.) ( ) 3.) ( )( ) 4.) ( )( ) 5.) ( )( ) Definice: Rozkladem mnohočlenu na součin rozumíme jeho vyjádření ve tvaru součinu několika mnohočlenů, které už se zpravidla nedají dále rozložit. Rozklad provádíme 2 způsoby: a) vytýkáním b) užitím vzorců Kvadratický trojčlen můžeme zapsat ve tvaru ( )( ); kde, jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Pozn.: Nemá-li kvadratická rovnice řešení, tak se trojčlen nedá rozložit na součin.

62 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Varianta A Příklad: Zjistěte, pro které hodnoty jednotlivých proměnných má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných: a) b) c) ( ) Řešení: a) Výraz má smysl pro všechna, pro něž je, tj. pro všechna. Jeho hodnota pro je. b) Aby měl daný výraz smysl, musí platit tj. a zároveň a. Hodnota daného výrazu pro je c) Aby měl daný výraz smysl, musí zároveň platit: ; První z těchto podmínek je splněna pro každé, druhá pro všechny a třetí pro všechna, pro něž je, tj. pro a. Hodnota daného výrazu pro je ( ). Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 63 Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, kdy má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných: a) ( )( ) b) 2) Zjistěte, kdy má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných: a) ( ) b) 3) Určete součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel, jestliže: a) nejmenší je rovno b) největší je rovno 4) Pomocí zvolených proměnných zapište: a) druhou odmocninu ze součtu druhých odmocnin dvou reálných čísel; b) druhou odmocninu podílu součtu druhých odmocnin dvou reálných čísel a druhé odmocniny součtu těchto čísel; c) součet podílu druhých odmocnin dvou reálných čísel a druhé odmocniny podílu těchto čísel. 1.) a), b) 2) a), b), 3.) a), b) 4.) a), b), c)

64 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Varianta B Příklad: Určete podíl ( ) ( ) Řešení: Uspořádáme oba mnohočleny sestupně. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jednočlen -1 v posledním řádku je mnohočlen nultého stupně, tj. mnohočlen stupně nižšího, než je stupeň dělitele, takže v dělení dále nepokračujeme. Jednočlen -1 představuje zbytek; mnohočlenu se říká neúplný podíl. Dostali jsme tedy, že pro všechna, pro něž je, platí: ( ) ( ) Je vidět, že v tomto případě podílem daných mnohočlenů není mnohočlen. O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou: ( ) ( ). Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 65 Příklady k procvičení: 1) Určete podíl: ( ) ( ) 2) Určete podíl mnohočlenů: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 3) Určete podíl mnohočlenů: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 4) Výraz vyjádřete jako mnohočlen s proměnnou, který je uspořádaný sestupně, jeli: a) b) 1.) 2.) a), b) 3.) a), b) 4.) a), b)

66 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Varianta C Příklad: Rozložte následující mnohočleny: a) b) c) Rozložte kvadratický trojčlen v součin lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty d) Rozložte kvadratický trojčlen v součin lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty Řešení: Způsob, kterým nalezneme požadovaný rozklad, je bezprostředně patrný z výpočtu: a) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) b) ( ) ( ) ( )( ) c) Pro celá čísla, pro něž je ( )( ), musí platit: a. Je ihned vidět, že jsou to čísla -6 a -4, takže dostáváme výsledek: ( )( ) Nepodaří-li se nám tato čísla určit zpaměti, vypíšeme si všechny způsoby, jimiž lze číslo 24 vyjádřit jako součin dvou celých čísel, dostaneme tak ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ze všech těchto čísel jedině čísla -4, -6 dají součet -10. d) Platí: ( ) ( ) ( ) ( ) ; a protože je též dostaneme požadovaný rozklad: ( )( )

Základní poznatky z matematiky 67 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Rozložte mnohočleny: a) b) ( ) ( ) 2) Rozložte mnohočleny: a) ( ) ( ) b) ( ) 3) Rozložte kvadratické trojčleny: a) b) c) d) 4) Určete nejvhodnější společný násobek daných výrazů: a) b) 1.) a) ( )( ), b) ( ) 2.) a) ( ), b) ( )( ) 3.) a) ( )( ), b) ( )( ), c) ( )( ), d) ( )( ) 4.) a) 9( )( ), b) ( ) ( )

68 Základní poznatky z matematiky Lomené výrazy Krácení a rozšiřování lomených výrazů Lomené výrazy jsou výrazy zapsané ve tvaru zlomku. Definice: Krátit lomený výraz znamená dělit čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Rozšířit lomený výraz znamená násobit čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Krácení a rozšiřování lze zapsat symbolicky: Pro libovolné výrazy platí: a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je Krácení Rozšiřování

Základní poznatky z matematiky 69 Sčítání a násobení lomených výrazů Definice: Dva lomené výrazy násobíme tak, že násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem, předtím se snažíme co nejvíce zkrátit. Sečíst dva lomené výrazy znamená upravit je na společného jmenovatele a sečíst čitatele. Lze zapsat symbolicky: Sčítání Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je,, platí: Násobení Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je,, platí: Pozn.: Při násobení jednotlivé výrazy neroznásobujeme, naopak, snažíme se je vhodně rozložit a podle možnosti i krátit. Tato zásada platí ostatně obecně, nejen pro násobení. Umocňování Pro libovolné výrazy a libovolné přirozené číslo a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je, platí: ( )

70 Základní poznatky z matematiky Dělení lomených výrazů Definice: Dělit lomeným výrazem znamená násobit výrazem k němu převráceným. Lze zapsat symbolicky: Dělení Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je,,, platí:

Základní poznatky z matematiky 71 Složený lomený výraz Složený lomený výraz je lomený výraz, který má v čitateli i jmenovateli zlomek. Zjednodušení složeného lomeného výrazu Pro libovolné výrazy a pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je,,, platí:

72 Základní poznatky z matematiky Lomené výrazy Varianta A Příklad: Kraťte lomené výrazy: a) b) c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Řešení: a) Daný výraz má smysl pro všechna. Za těchto předpokladů platí: Daný lomený výraz jsme krátili jednočlenem, což je společný dělitel mnohočlenů. Uvědomte si ještě, že rovnost mezi původním výrazem a výrazem, který jsme dostali krácením, platí pro ty hodnoty proměnných, pro něž mají smysl oba tyto výrazy, tj. pro ; nestačí jen požadavek, který je nutný k tomu, aby měl smysl upravený výraz. b) Daný výraz má smysl pro všechna. Za těchto předpokladů platí: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) Daný zlomek jsme krátili výrazem ( )( ), což je společný dělitel mnohočlenů ( ) ( ), ( )( ). c) Daný výraz je definován pro všechna a ; nelze jej však krácením zjednodušit.

Základní poznatky z matematiky 73 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Kraťte lomené výrazy a uveďte, kdy má tato úprava smysl: a) ( ) b) 2) Kraťte lomené výrazy a uveďte, kdy má tato úprava smysl: a) b) ( ) 3) Zjednodušte krácením: a) b) 4) Vyjádřete daný zlomek tak, aby v jeho jmenovateli nebylo iracionální číslo: a) b) 1.) a), b) 2) a), b) ( ) 3.) a), b) 4.) a) ( ), b)

74 Základní poznatky z matematiky Lomené výrazy Varianta B Příklad: a) Sečtěte lomené výrazy a b) Určete součin ( ) Řešení: a) První příklad: Společným jmenovatelem je ( ) ( )( ); je tedy ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ; ( ) ( )( ) Rovnost mezi původním a výsledným výrazem platí jen za předpokladu,. Druhý příklad: Společný jmenovatel všech tří lomených výrazů je výraz ( ); platí tedy ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tato rovnost platí pro všechna. ;

Základní poznatky z matematiky 75 b) Postup je patrný z výpočtu: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Což platí pro všechna. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

76 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Vypočtěte: a) b) 2) Vypočtěte: a) b) 3) Proveďte: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 4) Vypočtěte: a) b) ( ) ( ) 1.) a), b) 2.) a) ( ), b) 3.) a), b) 4.) a), b)

Základní poznatky z matematiky 77 Lomené výrazy Varianta C Příklad: a) Určete b) Zjednodušte výraz ( ) c) Vyjádřete ze vzorce ( )

78 Základní poznatky z matematiky a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Což platí pro všechna. b) ( ) ( ) ( )( ) Což platí pro všechna, pro něž je. c) Proměnnou považujeme v rovnici ( ) za neznámou, ostatní proměnné bereme jako konstanty. Vynásobením této rovnice výrazem a úpravou pravé strany dostaneme ; rovnici upravíme tak, aby výrazy s neznámou byly na levé straně a zbývající výrazy na pravé straně rovnice; po úpravě dostaneme ( ) ( ), odtud již snadno neznámou vyjádříme: ( ) ( ) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 79 Příklady k procvičení: 1) Určete: a) b) ( ) ( ) 2) Určete: a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) 3) Zjednodušte složený zlomek: a) ( )( ) ( ) 4) Zjednodušte složený zlomek: a) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )( ) 1.) a) ( ) ( ), b) 2.) a), b) ( ) 3.) a) 4.) a) 1

80 Základní poznatky z matematiky Elementární teorie čísel Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla Zápis přirozených čísel: a) Ciferný (zkrácený): 34125 b) Rozvinutý: Obecně: abcd= Definice: Číslo je násobek čísla (číslo je dělitelem čísla ), právě když existuje přirozené číslo takové, že. Zapisujeme, čteme dělí nebo je dělitelem. Věta: Pro každé platí 1 dělí. Společným dělitelem čísel nazveme takové číslo, pro které platí:. Pozn.: Každá dvě čísla mají alespoň jednoho společného dělitele a tím je číslo 1. Definice: Čísla 1. nazveme nesoudělná právě když, jejich jediným společným dělitelem je číslo Pozn.: Každá dvě čísla, která nejsou nesoudělná nazveme soudělná. Této vlastnosti využíváme např. při krácení zlomků. Věta: Každé přirozené číslo lze pomocí přirozeného čísla vyjádřit jedním z výrazů ( ), kde ; stručněji, kde, { }.

Základní poznatky z matematiky 81 Zápis čísel pomocí násobků přirozených čísel a zbytků. Např.

82 Základní poznatky z matematiky Znaky dělitelnosti Věta: Pro a) právě když je poslední cifra z množiny { } b) právě když ciferný součet je dělitelný třemi Pozn.: Navíc platí, že jaký zbytek dostaneme při dělení ciferného součtu, takový zbytek dostaneme při dělení původního čísla. c) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné d) právě když poslední cifra je z množiny { } e) právě když 2/n 3/n f) právě když 7/ Ciferný zápis: Př.: 7/46 126 899? Pozn.: Platí i pro zbytky. g) právě když poslední trojčíslí je dělitelné 8 h) právě když je ciferný součet dělitelný 9 i) právě když poslední cifra je 0 j) právě když, kde Př.: není dělitelné 11? je dělitelné 11

Základní poznatky z matematiky 83 k) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné 20 l) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné 25 m) právě když poslední dvojčíslí je dělitelné 50 n) právě když poslední dvě cifry jsou 0 o) právě když poslední trojčíslí je dělitelné 125 p) právě když

84 Základní poznatky z matematiky Prvočísla a čísla složená Definice: Prvočíslem nazveme každé takové, které je dělitelné pouze číslem 1 a číslem. Složeným číslem nazveme každé takové, které má alespoň tři různé dělitele. Věta: Každé složené číslo je dělitelné aspoň jedním prvočíslem, pro které platí. Základní věta aritmetiky: Každé přirozené číslo lze zapsat jediným způsobem ve tvaru, kde jsou prvočísla a jsou přirozená čísla. Pozn.: Prvočíselná dvojčata jsou prvočísla, mezi kterými leží jediné přirozené číslo. Např.: 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13

Základní poznatky z matematiky 85 Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek Definice: Největší společný dělitel čísel je součin mocnin těch prvočísel, která se vyskytují současně ve všech prvočíselných rozkladech čísel ; přitom exponent každého prvočísla je nejmenší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v rozkladech čísel. Označení ( ). Definice: Nejmenší společný násobek čísel je součin mocnin všech prvočísel, která se vyskytují aspoň v jednom prvočíselném rozkladu čísel přitom exponent každého prvočísla je největší exponent vyskytující se u tohoto prvočísla v rozkladech čísel. Označení ( ).

86 Základní poznatky z matematiky Elementární teorie čísel Varianta A Příklad: Dokažte, že pro každé přirozené číslo je číslo dělitelné šesti. Řešení: Výraz vytknutím a užitím vzorce pro rozdíl druhých mocnin rozložíme na součin: ( ) ( )( ) ( ) ( ) Dostali jsme součin tří za sebou následujících přirozených čísel. Aspoň jedno z těchto čísel je dělitelné dvěma, právě jedno z nich je dělitelné třemi, proto jejich součin je dělitelný šesti. Ne vždy se nám podaří rozložit výraz na součin několika za sebou následujících přirozených čísel. V takových případech zpravidla použijeme zápis přirozeného čísla ve tvaru, kde { }. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 87 Příklady k procvičení: 1) Upravte dané zlomky na základní tvar: a) b) c) 2) Pomocí proměnné, kde, vyjádřete: a) libovolné přirozené číslo, které je násobkem šesti b) libovolné přirozené číslo, které při dělení třemi dá zbytek 2 c) libovolné liché přirozené číslo d) libovolné přirozené číslo, které při dělení osmi dá zbytek 4 3) Uveďte všechny zápisy, které využívají násobky šesti a slouží k vyjádření libovolného přirozeného čísla. 4) První z dvou čísel vyjádřete jako součet co největšího násobku druhého čísla a zbytku: a) b) c) 1.) a), b), c) 2) a), b), c), d) 3.) kde 4.) a), b), c)

88 Základní poznatky z matematiky Elementární teorie čísel Varianta B Příklad: Rozhodněte, zda čísla 1032 a 672534 jsou dělitelná třemi či devíti. Poté proveďte prvočíselný rozklad čísla 1032. Řešení: Ciferný součet čísla 1032 je číslo 6. Číslo 6 je dělitelné třemi, proto číslo 1032 je dělitelné třemi. Číslo 6 není dělitelné devíti, proto číslo 1032 není dělitelné devíti. Ciferný součet čísla 672534 je 27, což je číslo dělitelné třemi i devíti. Proto číslo 672534 je dělitelné třemi i devíti. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 89 Příklady k procvičení: 1) Proveďte zápis prvočíselného rozkladu čísel: a) b) 2) Proveďte zápis prvočíselného rozkladu čísel: a) b) 3) Upravte dané zlomky na základní tvar: a) b) 4) Upravte dané zlomky na základní tvar: a) b) 1.) a), b) 2.) a), b) 3.) a), b) 4.) a), b)

90 Základní poznatky z matematiky Elementární teorie čísel Varianta C Příklad: Určete největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek čísel 756 a 11760. Řešení: ( ) ( ) Součin 756 11760=8890560. Součin ( ) ( ) V obou případech nám vyšel stejný výsledek. Je to náhoda, nebo pro všechna přirozená čísla platí ( ) ( )? Všimněme si pozorně prvočíselných rozkladů daných čísel, ( ) a ( ). Vyskytuje-li se mocnina prvočísla v obou prvočíselných rozkladech daných čísel, uplatníme vždy menší mocninu každého prvočísla v největším společném děliteli a větší mocninu každého prvočísla v nejmenším společném násobku. Vyskytuje-li se mocnina prvočísla jen v prvočíselném rozkladu jednoho čísla, uplatníme ji v nejmenším společném násobku. To platí pro libovolná dvě přirozená čísla. To znamená, že každá mocnina prvočísla z rozkladu dvou čísel se vyskytuje v součinu ( ) ( ). Pozor, pro tři a více čísel obdobná věta neplatí! Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 91 Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete dané zlomky v základním tvaru: a) b) 2) Najděte nejmenší společný násobek čísel 6, 21, 28. 3) Najděte největšího společného dělitele čísel 36, 48, 60. 4) V krabici tvaru kvádru jsou ve čtyřech vrstvách uloženy čtyři druhy krychlí. V první vrstvě jsou krychle s hranou délky 12cm. V každé následující vrstvě je délka hrany krychle o 2cm menší než délka hrany krychle v přecházející vrstvě. Za předpokladu, že mezi stěnami krabice a krychlemi i mezi krychlemi navzájem nejsou žádné mezery, vypočítejte a) jaké jsou nejmenší možné vnitřní rozměry krabice b) kolik krychlí jednotlivých druhů je v této nejmenší možné krabici 1.) a), b) 2.) 84 3.) 12 4.) a) 120cm, 120cm, 36cm, b)

92 Základní poznatky z matematiky Výroky Výrok a jeho negace Definice: Výrok je tvrzení, o němž má smysl tvrdit, zda je nebo není pravdivé (nastává právě jedna z těchto možností). Např.: Úhlopříčky čtverce jsou navzájem kolmé. Číslo 5 je liché. Praha je hlavní město Slovenska. Označení: a,b,v,.. nebo: A,B,V,... Definice: Negací výroku. rozumíme výrok ve tvaru Není pravda, že. Negaci značíme Pozn. 1: Je-li pravdivý, pak je nepravdivá. Je-li nepravdivý, pak je pravdivá. Pozn. 2: Negace výroků lze tvořit i jiným způsobem. a) : Trojúhelník ABC není ostroúhlý.(tzn. je pravoúhlý nebo tupoúhlý) b) Trojúhelník ABC je ostroúhlý. Pozn. 3: V negaci musí být obsaženy všechny ostatní možnosti, které mohou nastat. Zvláštním způsobem tvoříme negace tvrzení ve tvaru: alespoň, nejvýše. Množina M má alespoň prvků. Množina M ná nejvýše prvků. Množina M má nejvýše Množina M má alespoň prvků. prvlů.

Základní poznatky z matematiky 93 Kvantifikované výroky jsou takové výroky, u nichž blíže specifikujeme jejich platnost nebo neplatnost pro určitý počet prvků, podmínek. Negace kvantifikovaných výroků: 1) Pro každý prvek z množiny M platí, že má danou vlastnost. Existuje aspoň jeden prvek z množiny M, který danou vlastnost nemá. 2) Existuje aspoň jeden prvek z množiny M, který má danou vlastnost. Pro každý prvek z množiny M platí, že nemají danou vlastnost.

94 Základní poznatky z matematiky Složené výroky Definice: Konjunkce libovolných výroků je výrok, který vznikne spojením těchto výroků spojkou a, resp. a zároveň; zapisujeme ji a čteme: a resp. a zároveň. Definice: Disjunkce libovolných výroků je výrok, který vznikne spojením těchto výroků spojkou nebo; zapisujeme ji a čteme: nebo. Definice: Implikace je výrok typu jestliže, pak, kde jsou libovolné výroky; výrok jestliže, pak zapisujeme a čteme: jestliže, pak nebo z plyne nebo implikuje nebo též platí-li, platí. V této implikaci se výrok obvykle nazývá předpoklad, výrok závěr. Definice: Ekvivalence dvou libovolných výroků je konjunkce implikace a obrácené implikace, tj. výrok ( ) ( ); zapisujeme ji a čteme: je ekvivalentní s, resp. právě tehdy, když nebo též je nutná a postačující podmínka pro. Zápis napovídá, že jde o implikace a. Tabulka pravdivostních hodnot: 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1

Základní poznatky z matematiky 95 Výrok je pravdivý - má hodnotu 1. Výrok je nepravdivý - má hodnotu 0. ( ) ( ) 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Z tabulky je vidět, že ( ) ( ). Implikace se nazývá obměněná implikace Definiční podmínky pravdivosti základních složených výroků: Složený výrok Podmínky jeho pravdivosti Je pravdivý výrok, právě když je nepravdivý Je pravdivý výrok, právě když výroky jsou oba zároveň pravdivé Je pravdivý výrok, právě když alespoň jeden z výroků je pravdivý Je pravdivý výrok, právě když nenastává případ, že výrok je pravdivý a zároveň výrok je nepravdivý Je pravdivý výrok, právě když výroky jsou oba zároveň pravdivé, anebo oba zároveň nepravdivé

96 Základní poznatky z matematiky Negace složených výroků: Složený výrok Jeho negace ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =( ) ( )

Základní poznatky z matematiky 97 Důkazy matematických vět Přímý důkaz implikace dokazované implikace. čili spočívá v tom, že sestavíme řetězec pravdivých implikací, z čehož plyne platnost Nepřímý důkaz implikace spočívá v přímém důkazu její obměny, která je s ní ekvivalentní. Důkaz sporem výroku (např. implikace ) vychází z předpokladu vlastnosti jeho negace : sestavíme řetězec pravdivých implikací čili, kde výrok neplatí (říkáme, že jsme dospěli ke sporu), odtud vyplývá, že neplatí výrok, a tedy platí dokazovaný výrok.

98 Základní poznatky z matematiky Výroky Varianta A Příklad: Negujte výroky a to bez použití záporu: a) Trojúhelník ABC je ostroúhlý. b). c) Délka úhlopříčky jednotkového čtverce je číslo racionální. d) Přijde Petr nebo Pavel. e) Jestliže přijde Michal, přijde Jan. Řešení: a) Trojúhelník ABC je tupoúhlý nebo pravoúhlý. b). c) Délka úhlopříčky jednotkového čtverce je číslo iracionální. d) Petr nepřijde a Pavel nepřijde. e) Michal přijde a Jan nepřijde. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 99 Příklady k procvičení: 1) Negujte výroky: a) Karel přijde právě tehdy, když Josef přijde. b) Přijde Anna a Hana. 2) Vyjádřete stručně pomocí složených výroků negace těchto výroků: a) Máme pivo a minerálky, b) Osvěžíme se čajem nebo kávou, c) Jestliže budu obědvat vepřové, budu pít pivo. 3) Vyjádřete stručně pomocí složených výroků negace těchto výroků: a) Nemám hlad a nemám žízeň, b) Bude-li ke koupi čerstvé ovoce, nekoupím kompot, c) Grapefruity koupím právě tehdy, nebudou-li citrony. 4) Negujte následující tvrzení: a) Žádný učený z nebe nespadl, b) Nic nového pod sluncem, c) Bez práce nejsou koláče. 1.) a) (Buď) Karel přijde a Josef nepřijde, nebo Karel nepřijde a Josef přijde. b) Anna nepřijde nebo Hana nepřijde. 2) a) Nemáme pivo nebo nemáme minerálky. b) Neosvěžíme se čajem a neosvěžíme se kávou. c) Budu obědvat vepřové nebudu pít pivo. 3.) a) Mám hlad nebo mám žízeň. b) Bude čerstvé ovoce a koupím kompot. c) Budou citrony a koupím grapefruity nebo nekoupím grapefruity a nebudou citrony. 4.) a) Aspoň jeden učený spadl z nebe. b) Pod sluncem je aspoň jedna věc nová. c) Aspoň jeden koláč je bez práce.