M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Bezrzková míra ze státních dluhopsů: přednost a úskalí Svenssonovy metody Mchal Dvořák * Úvod Určování bezrzkových výnosových měr dostává v odborné lteratuře nemalý prostor (Damodaran 8, Dvořák 4, Mařík et al., Maříková Mařík ). Tradční metoda použtí výnosu do doby splatnost dlouhodobého vládního dluhopsu (ke dn ocenění) jako bezrzkové míry pro všechny budoucí výnosové toky z oceňovaného aktva se dostává do stále větší defenzvy. Je totž vhodné, aby každý výnosový tok byl porovnán s výnosností alternatvní nvestce se stejnou dobou splatnost. Například dvdenda nastávající za roky by měla být porovnána s nstrumentem přnášejícím výnos za roky. Tím pádem potřebujeme nkol jednu bezrzkovou míru, nýbrž celou sér bezrzkových měr, které budou přřazovány jednotlvým výnosovým tokům podle jejch splatnost. Jednou z možností je místo jedného dluhopsu využít sér dluhopsů dané entty, lšící se pouze splatností. Například výnosy do doby splatnost všech amerckých dluhopsů, které jsou aktuálně obchodovány. Drtvá většna dluhopsů je ovšem kupónová, tj. perodcky vyplácí kupón a ve splatnost ještě jmenovtou hodnotu. Pak není zcela korektní použít výnos do doby splatnost např. 3letého dluhopsu k dskontování výnosového toku nastávajícího za 3 roky, protože dluhops na rozdíl od výnosového toku vyplácí kupóny koncem prvního a druhého roku (Mařík et al, s. 84-89): jedná se tak o z časového hledska odlšné nvestce. Řešení spočívá v rozdělení všech na trhu obchodovaných dluhopsů na jednotlvé platby kupónů a jmenovté hodnoty pomocí metody zvané bootstrappng (Mařík et al., s. 9-95). Ta umožní stanovt výnosovou míru pro splatnost odpovídající každé z těchto plateb. Leč postup funguje pouze, pokud pro každý termín v budoucnu, kdy dojde k platbě kupónu č jmenovté hodnoty, exstuje (alespoň jeden) dluhops, který v příslušném okamžku termnuje. Protože dluhopsů se obchoduje omezený počet, je skoro jsté, že tato podmínka nebude splněna pro jné než učebncové příklady. Abychom pak dokázal pomocí na trhu obchodovaných dluhopsů sestavt korektní výnosnost pro každou splatnost (dále budeme tuto výnosnost nazývat spotovou mírou), je nezbytné přjmout předpoklad o chování úrokových měr. Přjetí takového předpokladu je tedy jednou možností, jak dospět k dferencovaným bezrzkovým mírám ze státních dluhopsů! V tomto článku bude tímto předpokladem Svenssonova funkce. Funkce byla vyvnuta ke studu úrokových měr pro měnovou poltku centrálních bank. Pro oceňovací účely je * Ing. Mchal Dvořák, Katedra měnové teore a poltky, Fakulta fnancí a účetnctví, Vysoká škola ekonomcká v Praze a Česká národní banka. Kontaktní emal: mchal@mchaldvorak.eu. Článek je zpracován jako jeden z výstupů výzkumného projektu IGA VŠE F/5/4 Fnanční a hospodářský cyklus. Tento postup ale přesto můžeme hodnott jako výrazně lepší oprot v prax zřejmě převažujícímu používání hstorckého průměru výnosností dluhopsů. O tom, jak jsou údaje z let např. 98-4 relevantní pro ocenění k..4, nechť s udělá čtenář představu sám. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 3
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů doporučována v Německu (IDW 8). Metoda je rovněž popularzována v Maříková Mařík (), kteří naznačují možnost používat postup pro český trh. Pro praktcké užvatele postup přnáší potřebné bezrzkové míry pro lbovolný horzont. Postup ovšem může působt dojmem mysterózní černé skříňky. V tomto článku bude proto metoda blíže popsána a ukážeme její koncepční přednost a nedostatky. Posoudíme možnost přejímat parametry modelu vyvnuté na německých datech pro české prostředí a budeme dskutovat schopnost Svenssonovy funkce vhodně prokládat česká bezrzková data. Dvojí použtí Svenssonovy funkce Svenssonova funkce slouží k prokládání dat. Je názorné rozlšt dvě využtí takového prokládání. Jednodušší stuace nastává v případě, že známe data, která chceme proložt. Komplkovanějším případem je stuace, data k prokládání nemáme k dspozc a naopak je pomocí Svenssonovy funkce potřebujeme nejprve zkonstruovat.. Prokládání známých dat V jednodušším z obou stuací máme k dspozc sér datových bodů: řekněme, že body představují spotové míry (označované jako S m ) ) pro příslušné horzonty splatností (označované jako m ). Formálně řečeno, spotové míry jsou takové výnosnost, které za m let zúročí dnešní jstnu P na hodnotu P, tj. m P P S( m).[] V případě oceňování by se S (m) použla pro dskontování výnosového toku nastávajícího za m let. Zádrhelem je, že známe S (m) pouze pro některá konkrétní m a nkol pro všechna možná. Naším cílem je proto vybudovat předps, který dá hodnotu S (m) pro lbovolnou splatnost m. Ilustrováno Obr., chceme z 3 zolovaných černých bodů m, S m ) ] vytvořt souvslou křvku, abychom měl spotovou míru pro 6,5 č 5 let. [ ( Nabízí se proložt známé míry spojtou křvkou tak, aby pro každou splatnost exstovala výsledná míra. Můžeme použít například lneární křvku (zde s optmálním parametry,55 % pro horzontální posun a,934 % pro sklon), ale je jasné, že lneární proložení není přílš dobré. Dalo by se expermentovat s různým prokládacím funkcem a zkoumat, která danou kombnac bodů proloží co nejvhodněj. 3 Jednodušším řešením by ale bylo používat jeden typ funkce, který funguje velm dobře v šroké škále stuací. Svensson (994) pro tyto případy navrhuje funkc v obecném tvaru [] 4. ( Abychom zdůraznl, že Svenssonem (994) navržený postup je pouze jednou z možných varant obecného přístupu k utváření výnosové křvky ze státních dluhopsů, budeme dále mluvt o Svenssonově funkc a nkol Svenssonově metodě. 3 Nejvhodněj ale neznamená, že by nutně musela přesně procházet všem body. To není obtížné zařídt; stačlo by použít prokládací funkc, co má dostatečný počet parametrů (např. polynom dostatečně vysokého stupně). Daní za to by ale bylo podvné chování prokládací funkce (různé hrby) mmo tyto body. Proto se klade požadavek, aby se prokládací funkce nejen jednotlvým bodům přílš nevzdalovala, ale aby zároveň byla dostatečně hladká. K tomu exstují numercká krtéra (vzte např. Greene,, s. 8-84). 4 Svensson (994) stavěl na starší metodě Nelson Segel (987). Jeho vylepšení spočívá v zahrnutí posledního členu, tedy přdání dalších parametrů, které mají přspívat k lepšímu proložení křvky. Arnold Lahmann 4 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů m m exp exp ~ m S ( m) exp m m m exp m 3 exp m [] ~ kde spotová míra S ( m ) pro horzont m let je stanovena pomocí 6 parametrů:,,, 3 a,. Interpretace parametrů je uvedena v Tab.. Obr. : Proložení dat funkcem Zdroj dat: Patra (4), korunové swapové sazby z 3.7.4. Parametry se ekonometrcky odhadují pomocí dat, která máme k dspozc. V Obr. tedy pomocí 3 známých spotových měr. Optmální parametry jsou voleny tak, aby součet druhých mocnn odchylek známých spotových měr od jejch funkcí vyrovnaných hodnot, tj. výraz n S m ) S ~ ( m ) (, [3] Schwetzler () ukazují, že rozdíl v přesnost může být značný, zejména na horzontech delších než rok, což je pro oceňovatele podnků nejdůležtější. Stude Schch (997) Svensson (994) rozdíl nedentfkují až tak výrazný, byť Svenssonova funkce vychází vždy lépe. Na českých datech za necelých posledních let, užtých v kaptole 5, je Svenssonova funkce v proložení v průměru přblžně 3x přesnější. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 5
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů byl co nejmenší 5. Jsou-l vstupní data ve tvaru desetnných čísel, pak optmální hodnoty parametrů pro případ z Obr. jsou uvedeny v Tab.. Tab. : Interpretace parametrů Svenssonovy funkce Parametr Interpretace Asymptotcká hodnota spotové míry pro nekonečný horzont ~ S ( ) ), tj. ultradlouhá spotová míra ( Rozdíl mez asymptotckou hodnotou spotové míry pro nekonečný horzont a spotovou mírou pro horzont blížící se nule ~ S ( ) S( ) ), tj. sklon spotové výnosové křvky ( Intenzta ohnutí křvky kolem splatnost (v absolutní hodnotě vyšší číslo značí výraznější prohnutí, kladné číslo znamená prohnutí směrem vzhůru, záporné prohnutí směrem dolů) (v absolutní hodnotě vyšší číslo značí výraznější prohnutí, kladné číslo znamená prohnutí směrem vzhůru, záporné prohnutí směrem dolů) 3 Intenzta ohnutí křvky kolem splatnost Jedno místo prohnutí křvky (třetí člen rovnce [] má nejvyšší výchylku pro m,79, což lze vnímat jako střed prohnutí 6 ) Druhé místo prohnutí křvky (poslední člen rovnce [] má nejvyšší výchylku pro m,79, což lze vnímat jako střed prohnutí), obě prohnutí jsou na sobě nezávslá Zdroj: Autor. Vložením číselných hodnot těchto 6 parametrů do rovnce [] máme k dspozc funkční předps, do kterého dosazením lbovolného horzontu m přímo získáme spotovou míru pro požadovanou splatnost. 7 Tvar tohoto předpsu je ukázán v Obr.. Je vdět, že Svenssonova funkce vyrovnala body v našem příkladu velm přesně a mnohem lépe než funkce lneární. 5 Metoda se nazývá nelneární metodou nejmenších čtverců. Exstují ovšem další odhadovací procedury (Svensson 994, Verbeek ) a jejch modfkace, například vážt odchylky na různých splatnostních segmentech různě. Je třeba zdůraznt, že každá metoda odhadu bude produkovat mírně odlšné hodnoty parametrů a nelze obecně říc, která odhadovací metoda je nejlepší. 6 Ze vztahu [] vyplývá, že třetí a čtvrtý člen jsou pro nulovou a nekonečnou splatnost nulové, a mez těmto hodnotam je umístěn vždy jeden hrb. Jeho umístění je charakterzováno parametrem, resp. a jeho ampltuda parametrem 3, resp. 4. 7 V závslost na tom, jak byly parametry v rovnc [] stanoveny, jsou výsledky buďto v % p.a. nebo ve formě desetnných čísel. Převod mez oběma formam rovnce je snadný: má-l např. rovnce produkovat desetnná čísla místo procent, je třeba vydělt všechny parametry stem. 6 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Tab. : Interpretace parametrů Svenssonovy funkce Parametr 3 Optmální hodnota,6 -,67 375,5-378,,646,649 Zdroj: Autor. Výše uvedený případ, kdy známe některé spotové míry, a chceme vypočítat spotové míry pro zbylé horzonty, je spíše hypotetcký. 8 Daleko častějším případem by mohlo být užtí uvedeného postupu tak, že bychom jako zdrojová data používal nkol spotové míry, ale výnosy do doby splatnost státních dluhopsů (např. ty z Obr. ), kde jejch splatnost (nebo případně jejch durace), m by byly na trhu známé swapové sazby, ~ a výsledná funkce S ( m ) by reprezentovala výnosy do doby splatnost č swapové sazby s lbovolným horzontem. Jejch účel by pak byl následující. Funkcí získané výnosy do doby splatnost státních dluhopsů by byly použty jako bezrzková míra pro příslušný horzont. Toto řešení není samozřejmě zcela preczní (vzte kaptolu ), protože výnos do doby splatnost kupónového dluhopsu není spotovou mírou. Řešení však alespoň poskytuje možnost dskontovat každý výnosový tok z oceňovaného aktva výnosem do splatnost dluhopsu se stejnou splatností (nebo durací), když takový dluhops na trhu není obchodován. Funkcí získané swapové sazby by s určtou nepřesností mohly být použty jako bezrzková míra pro příslušný horzont. Případně by se z nch dala extrahovat sére swapových sazeb pro např.,, 3 až letou splatnost a následně dopočítat spotové míry podle Mařík et al (, s. 95-3) 9. V obou případech je však alespoň pro český trh jednoznačně lepší použít výpočetní postup uvedený v Dvořák (4). Na závěr uveďme, že Svenssonův model je zvyklý pracovat se spojtým úročením. To znamená, že př zadávání vstupních dat se obvykle místo úrokové míry s ročním úročením do vstupních dat zadá míra se spojtým úročením ln( ), například místo,3% by se zadala míra ln(,3), 395 %, a následně ~ výsledná míra S ( m ) se pak převede zpět na míru s ročním úročením pomocí vztahu ~ e S ( m ) ~ ~, tj. např. S (), 3 (),3 % by se převedlo na e S e, 37 %. 8 Tato stuace by mohla nastat například tehdy, pokud bychom získal spotové míry z bezkupónových dluhopsů. 9 Autoř zde používají k dopočtu swapových sazeb pro chybějící splatnost swapů proložení polynomem. Použít místo polynomu neznámého řádu Svenssonovu funkc by vedlo k zpřehlednění odhadovací procedury a výraznému zvýšení přesnost odhadu. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 7
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Na výsledek má ale transformace většnou zcela zanedbatelný vlv a není nutné j provádět. Může však být zdrojem nterpretačních omylů (leč kvanttatvně malých) v momentu, kdy celý odhad provádí přednastavený skrpt.. Konstrukce dat V mnulé kaptole představené vyrovnávání známých dat Svenssonovou funkcí bylo spíše lustratvním úvodem do problematky. V reálu totž oceňovatelé užívající státní dluhopsy nemají k dspozc jž přpravené spotové míry, ale pouze údaje o dluhopsech v následující struktuře: cena dluhopsu (obvykle čstá, tedy po odečtení alkvótního úrokového výnosu), kupónová sazba, datum splatnost, frekvence výplaty kupónu. Tyto nformace postačují k vytvoření výplatního kalendáře pro všechny dluhopsy. Je třeba říc, že ne vždy jsou potřebné údaje k dspozc v dané struktuře vždy a jednoduše, jak se lze přesvědčt na Obr.. Abychom převedl údaje o kupónových dluhopsech na spotové míry, nabízí se bootstrappng rozparcelování dluhopsů do jednotlvých plateb. Podmínka bootstrappngu, aby ke každému okamžku, kdy z některého dluhopsu je vyplácen kupón, exstoval dluhops, který je v daném okamžku splacen, takřka vždy nebude splněna. To je případ dat o českých státních dluhopsech z 9.7.4 (Obr. ). Důsledkem toho bootstrapng povede k soustavě 7 rovnc (máme 7 dluhopsů s fxním úročením) s výrazně vyšším počtem neznámých (spotové míry pro každý z termínů výplat kuponů). To lze demonstrovat na následujícím příkladu. Pro úsporu místa použjeme pouze první 3 dluhopsy s fxním úročením z Obr.. Jmenovtá hodnota každého z nch je Kč. Předpokládejme, že den ocenění je 9.7.4. Např. proložení z Obr. je bez transformace. Například v programu MATLAB reportuje zabudovaná procedura IRFunctonCurve.FtSvensson spotové míry ve spojtém úročení; je tedy nutné je převést zpět na standardní roční úročení, nebo používat spojté úročení př dskontování výnosových toků. Opět zdůrazněme, že pokud by dluhopsy byly bezkupónové, jejch výnos do splatnost by byl dentcký spotovým mírám pro danou splatnost. Bohužel se ale státní bezkupónové dluhopsy s delší splatností takřka nevyskytují. 8 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Obr. : Příklad tabulky kótací českých státních dluhopsů (9.7.4) Zdroj: Patra (4a) Poznámka: Cena dluhopsu je v procentech z nomnální hodnoty po odečtení alkvótního úrokového výnosu (AÚV). Kupónová sazba je uvedena ve sloupc Název před lomítkem (v procentech), je-l uvedeno VAR, jedná se o proměnlvé úročení a tyto dluhopsy dále nepoužíváme, stejně jako eurové dluhopsy. Rok splatnost je uveden ve sloupc Název po lomítku, den splatnost uveden až po proklku. Frekvence výplaty je u všech dluhopsů s výjmkou proměnlvě úročených jednou ročně, nformace rovněž uvedena až v proklku. Tab. 3: Údaje o vybraných dluhopsech pro bootstrappng Cena včetně AÚV (Kč) 3 Kupónová platba (Kč) 4 Datum výplat kupónů před splatností (roky) Datum splatnost (roky) ST. DLUHOP. 3,8/5 367,6 38 -.4.5 (,73) ST. DLUHOP. 3,4/5 669, 34 ST. DLUHOP. 6,95/6 358,6 695 Zdroj dat: Patra (4a)..9.4 (,) 6..5 (,5).9.5 (,) 6..6 (,5) 3 Vypočtena jako nomnální hodnota krát průměr z ceny nákup a prodej (ceny v Obr. jsou uvedeny v procentech z nomnále) a k výsledku je přpočten alkvótní úrokový výnos (tj. velkost kupónu vynásobená poměrem uplynulého času od poslední výplaty kupónu vůč celému období mez výplatam kupónu). 4 Vypočtena jako nomnální hodnota vynásobená kupónovou sazbou číslem před lomítkem v prvním sloupc Obr. (údaj je v procentech). Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 9
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Bootstrappng povede k následujícím rovncím (vzte Mařík et al.,, s. 9-95): 38 367,6, [4] S(,73), 73 34 34 669,, [5] S(,), S(, ), 695 695 358,6, [6] S(,5),5 S(,5 ), 5 kde neznámým jsou spotové míry S (,), S (,5), S (,73), S (,), S (,5). Z této soustavy lze vypočítat pouze S (,73), na 4 další proměnné máme pouze zbývající rovnce. Tím pádem soustava nemá pro tyto spotové míry jednoznačné řešení. Protože pro každý termín výplat kupónu neexstuje dluhops, který v daném momentu termnuje, nejsme schopn získat spotovou míru z nstrumentů, kterým zbývá do splatnost více než kupón. Přdání dalších dluhopsů z Obr. problém nevyřeší: měl bychom sce více rovnc, ale rovněž více okamžků výplat kupónů, tedy více neznámých. Jak z problému ven? Nabízí se možnost vyjít z předpokladu, že spotové míry S (m) nejsou zolované body, ale leží na určtým způsobem charakterzované obecné křvce. Tento předpoklad umožní převést úlohu z hledání řešení soustavy rovnc na hledání optmálních hodnot parametrů obecné křvky, což je problém, se kterým s statstcké metody dokáží poradt. Jako zmíněnou obecnou křvku můžeme volt ledacos, například lneární funkc nebo polynom. Jako v mnulé kaptole ovšem zvolíme Svenssonovu funkc []. Způsob výpočtu ovšem není zdaleka jednoduchý. Sestává ze dvou propojených kroků: odhadování Svenssonových parametrů a testování, jak z nch vyplývající spotové míry odpovídají známým cenám a výnosům obchodovaných dluhopsů. Konkrétní postup podle Schch (997) používaný Deutsche Bundesbank je následující 5. Snažíme se mnmalzovat rozdíly mez pozorovaným výnosy a předpovězeným výnosy 6 dluhopsů, tj. výraz [7] n y y ˆ, [7] kde je označení dluhopsu (z celkových n, které máme k dspozc). skutečný výnos do doby splatnost, tedy číslo, které je řešením rovnce [8] y je jeho P c N..., [8] t t, t k y y y,, c N c N N 5 Nejedná se ovšem o jedný možný způsob odhadování; vzte Svensson (994) a Hladíková Radová (). 6 Schch (997) doporučuje tento postup oprot postupu, který mnmalzuje rozdíly tržních a ze spotových měr vyplývajících cen dluhopsů (tj. rozdíly mez tržní cenou P a výrazem na pravé straně rovnce [9]). Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů kde P je tržní cena dluhopsu (včetně alkvótního úrokového výnosu), c kupónová sazba a t časová vzdálenost okamžků výplat kupónů ode dneška. hodnota, jsou známa pro všechny obchodované dluhopsy 7. N jeho Oprot tomu ŷ je modelem odhadnutý výnos do doby splatnost -tého dluhopsu. Odhad je takové číslo ŷ, které řeší rovnc c N t, t, t, yˆ yˆ yˆ c N c N c N N... c N ~ t, ~ t, ~ t, k S ( t ) S ( t ) S ( t ),,... k c N N kde každé S ~ ( ), které představuje spotovou míru se splatností příslušného kupónu t,l t, l, odpovídá předpsu Svenssonovy funkce podle rovnce []. 6 parametrů rovnce [] je přtom jedným neznámým celého výpočtu. Poté, co je těchto 6 parametrů (tj.,,, 3 a, ) nastaveno tak, že mez jejch všem možným hodnotam mnmalzují výraz [7], získáme předps pro spotovou míru pro lbovolný horzont. Tím máme hotovo: do předpsu můžeme dosadt lbovolný splatnostní horzont, který v oceňování potřebujeme a obdržíme příslušnou bezrzkovou míru. 8 Máme-l 6 a více tržně obchodovaných dluhopsů, uvedený postup funguje vždy. Netřeba ale dodávat, že výpočetní postup je mmořádně složtý a nelze jej provádět bez pokročlého programového vybavení. 9 To je dle mého názoru největší překážkou šršího rozšíření Svenssonova postupu v oceňování. Závěrem opět uveďme, že se vstupní data běžně transformují na spojté úročení a výstupní data zpět na roční úročení, jak bylo zmíněno v kaptole... Prokládání funkcí a tržní ocenění Poté, co jsme představl fungování svenssonovského prokládání, je vhodné dskutovat, zda je podobný metodologcký postup slučtelný s tržním oceněním. Tržní ocenění totž předpokládá, že budou co nejvíce používána data pocházející přímo z trhu bez vnášení subjektvního názoru oceňovatele. Cílem tržního ocenění je posoudt, jak by se na oceňovaný nstrument díval trh, byl-l by tržně obchodován, a nkol říkat trhu, jak má na samotné tržně obchodované nstrumenty nahlížet. Otázka, jak se zachovat v momentu, kdy jsou tržní, k [9] y 7 Výnosy do doby splatnost jsou velm často explctně uváděny v kurzovních lístcích, jak se lze přesvědčt ze sloupce Y-T-M v Obr.. 8 V kaptole. jsme v. kroku získal z tržních dat spotové míry pro vybrané horzonty (byť tuto část za nás jž udělal někdo jný) a ve. kroku jsme tyto spotové míry proložl, abychom získal spotové míry pro obecný horzont. V kaptole. máme celý výpočet proveden v jednom kroku. 9 Například v programu MATLAB exstuje předdefnovaná procedura (IRFunctonCurve.FtSvensson), do které se dosadí současný okamžk, tržní kurzy obchodovaných dluhopsů, jejch data splatnost, kupónové sazby a frekvence výplat a procedura přnese 6 odhadovaných Svenssonových parametrů. Požadavek se v anglckém názvosloví nazývá požadavkem tržní neutralty. Například, oceňujeme-l zlaté hodnky a podobné se na trhu prodávají za, jejch tržní cena je bez ohledu na to, zda s myslíme, že trh se zlatým hodnkam je v současné době nadhodnocený č podhodnocený. Otázkou ovšem je, Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
Úroková míra Úroková míra M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů sazby nepřměřené ve vztahu k ekonomckým fundamentům, je velm relevantní v současné době, charakterzované z dlouhodobého pohledu možná až neudržtelně nízkým úrokovým sazbam. Dskuze této otázky přesahuje náplň článku a nemusí vést k jednoznačným závěrům ohledně toho, za jakých podmínek je vhodné se od tržních dat odchýlt. Proto zde od tohoto aspektu odhlédneme a budeme dskutovat Svenssonův přístup pohledem výše zmíněné strktní defnce tržního ocenění. Strktně vzato, postup prokládání funkce nevyužívá tržní data v maxmální možné míře. V kaptole. bylo ukázáno, že Svenssonova funkce pozorovaným spotovým měram neprochází. V kaptole. bylo cílem mnmalzovat rozdíl mez skutečným výnosem do splatnost dluhopsů a výnosem do splatnost dluhopsů v případě používání výsledných spotových měr (výraz [7]). Mnmalzace ovšem neznamená nulovost a odchylky budou nutně nastávat. a sce Názorně ukázáno v Obr. 3, exstují koncepčně způsoby tvorby výnosových křvek, Metoda založená na proložení dat (panel A Obr. 3) ve smyslu například regresní analýzy), kdy předpokládáme, že každé pozorování je zatíženo náhodnou chybou, tudíž proložením dostaneme správné hodnoty. Metoda založená na spojování (nterpolování, panel B Obr. 3) dat, kdy získané datové body bereme jako správné, a cílem je odhadnout hodnoty v mezdobí č před prvním a za posledním časovým pozorováním. Nejjednodušším způsobem je pak spojení sousedících bodů lneární křvkou; lze ovšem přjít s důmyslnějším spojncem. Obr. 3: Rozdíl mez proložením a spojováním dat A B Splatnost Splatnost Zdroj: Autor Jako zcela konformní s tržním oceněním lze dle mého názoru považovat pouze přístup u panelu B. Přístup z panelu A flozofcky tenduje spíše k hledání vntřní hodnoty ( ntrnsc value ), kdy je snaha elmnovat z ocenění přechodné vlvy a získat správnou hodnotu, ke které bude tržní hodnota směrovat ve střednědobém horzontu (ASA 9, s. 9). Rozdíl mez co dělat v okamžku, kdy tržní ocenění povede ke zcela zjevně pochybné hodnotě, např. v stuac cenové bublny. Požadavek držet se za každých okolností tržních cen tak může být mnohým vnímán jako extrémní. V anglčně se tento přístup nazývá arbtrage-free, tedy vylučujícím arbtráž na základě dskrepance mez tržním a modelem predkovaným hodnotam (Dobáš 8). Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů vntřní hodnotou a tržní hodnotou přtom nemusí být malý, navíc představy různých analytků ohledně správné vntřní hodnoty se mohou dametrálně lšt. Svenssonovské prokládání je jasně příkladem prokládání dat z panelu A. Postupy z mnulé kaptoly se tak strktně řečeno hodí spíše pro výpočet vntřní hodnoty. To deklaruje Schch (997, s. 3), který tvrdí, že výsledky [svenssonovského] odhadu úrokových měr jsou relatvně nezávslé na jednotlvých pozorováních. Přes tento flozofcký nesoulad lze doporučt postup pro tržní ocenění, pokud se ukáže, že rozdíly mez skutečností a Svenssonovým proložením jsou poměrně nevýznamné. 3 To bude předmětem zkoumání v kaptole 5. Pokud by se ukázalo, že Svenssonova funkce není př prokládání přílš úspěšná, stálo by za to se poohlédnout po jné odhadní funkc, než je rovnce []. Svensson totž není zdaleka jedným možným způsobem prokládání křvek a lze přjít s přístupem fungujícím na prncpu nterpolace (tj. panel B Obr. 3). 4 3 Přejímání německých dat Jak bylo ukázáno, provedení výpočtů pro Svenssonovo proložení není jednoduché. V Německu mají ovšem oceňovatelé stuac ulehčenou. Německá centrální banka (Deutsche Bundesbank) totž denně odhaduje výnosovou křvku spočtenou z německých státních dluhopsů postupem z část. a výsledky dává k dspozc jak v podobě výsledných spotových měr (Deutsche Bundesbank 4a), tak ve formě Svenssonových parametrů (Deutsche Bundesbank 4b). Pro německého oceňovatele je tím pádem používání metody pro výpočet spotových měr snadné. Otázkou ovšem je, jak postupovat pro český trh, pro který takovýto servs k dspozc není. Nejjednodušším se jeví převzít německé míry. Tuto cestu mplctně doporučuje Insttut oceňování majetku VŠE 5, který sám publkuje forwardové míry pro nejčastější splatnost, vypočtené na základě parametrů od Bundesbank. Přejímání německých dat může mít dvojí důvod. Plánovté přejímání německé bezrzkové míry, protože v CAPM modelu hodláme používat další komponenty modelu (beta faktor a ekvtní prém) z německého trhu. 6 Náhradní postup, kdy používáme německá data k bezrzkové míře proto, že pro český trh svenssonovské (an jné) spotové míry z dluhopsů neexstují. A od proložení např. lneární č polynomální funkcí se lší pouze výrazně vyšší dokonalostí proložení, nkol koncepčně. 3 V takovém případě by dokonce šlo odchylky Svenssonova proložení od skutečnost považovat za korekc náhodných vlvů nevyhnutelně spojených s technkou obchodováním dluhopsů, v důsledku kterého je tržní výnosová křvka poněkud kostrbatá, jak by bylo vdět po propojení bodů například v Obr. 4. 4 Z tohoto důvodu doporučuj u převodu swapových sazeb na spotové míry, u nchž je stuace podstatně jednodušší než u dluhopsů, nepoužívat Svenssonovo prokládání, ale používat postup uvedený v Dvořák (4). Ten je () zcela slučtelný s tržním oceňováním, () výpočetně daleko jednodušší a (3) srozumtelnější. 5 IOM VŠE (3). 6 Důvodem pro to může být nemožnost tyto komponenty brát s českého trhu, kde se obchoduje velm omezený počet akcových ttulů. Proto nelze smysluplně počítat beta faktor a prém za tržní rzko (Dvořák, 4a). Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 3
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Posouzení přejímání zahrančních dat pro českou dskontní míru přesahuje záměr tohoto textu a necháme jej stranou. 7 Posoudíme ale smysluplnost náhradního postupu. Jž bylo řečeno a v kaptole 5 se dále ukáže, že výsledné spotové míry vznklé Svenssonovým proložením jsou velm slně odvslé od užtých zdrojových dat. Proto je užtí modelu vyvnutého na německých datech pro český trh oprávněné pouze tedy, pokud se výnosové podmínky na českém a německém trhu přílš nelší. Tato podmínka bohužel v prax není zdaleka splněna. Například, srovnáme-l výnosy do splatnost německých a českých státních dluhopsů pro 8.7.4, výnosnost českých dluhopsů je pro všechny horzonty vyšší (Obr. 4). Obr. 4: Srovnání výnosů do doby splatnost českých a německých státních dluhopsů (8.7.4) Zdroj dat: Patra (4a), Deutsche Bundesbank (4). Pokud údaje o těchto dluhopsech použjeme k odhadu spotových měr pomocí Svenssonovy funkce, získáme rovněž odlšné spotové míry, přčemž rozdíl mez výnosovým měram není zanedbatelný (Obr. 5). Důvod pro tuto odlšnost je dvojí. Odlšná vnímaná rzkovost vlád. Měřeno hodnocením ratngových agentur (ČNB 3, Standard&Poor s 3), trhem vnímanou pravděpodobností nesplácení státních dluhopsů cenou pojštění se prot tomuto rzku, vychází německé vládní dluhopsy jako výrazně bezpečnější nvestce (Obr. 6). Investoř do německých státních dluhopsů se proto spokojí s nžší výnosností než nvestoř do českých. Odlšná očekávání o budoucích úrokových sazbách. Protože v ČR a Německu se používá odlšná měna, mohou být očekávání o budoucích úrokových sazbách mírně odlšné: to souvsí např. s poltkou centrálních bank, ale dalším faktory. 7 Osobně se přkláním k použtí lokální bezrzkové míry a přejímání pouze beta faktoru a korgované préme za ekvtní rzko. 4 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Porovnáme-l swapové sazby na koruny a eura (Tab. 4), ukazuje se, že obvykle nebývá očekáván shodný vývoj na obou trzích (swapová sazba totž do určté míry reprezentuje odhad trhu o průměrné úrokové sazbě na mezbankovním trhu za dobu trvání kontraktu). 8 Obr. 5: Srovnání spotových měr pro český a německý trh získaných pomocí Svenssonovy funkce (8.7.4) Zdroj dat: Patra (4a), Deutsche Bundesbank (4). Obr. 6: CDS spready a z nch vyplývající pravděpodobnost úpadku české a německé vlády Zdroj: Deutsche Bank (3), data od Bloomberg. Poznámka: CDS spread je procentní velkost jstny, kterou musí subjekt platt, aby mu protstrana kompenzovala ztrátu v případě úpadku vlády. Vyšší spread znamená vyšší vnímané rzko úpadku. Pravděpodobnost selhání vypočtena z CDS spreadů za předpokladu 45% návratnost v případě selhání. 8 Swapové sazby jsou výrazně méně ovlvněny kredtním rzkem než dluhopsy, protože se v nch obchodují pouze úrokové platby a nkol samotné nomnále (Dvořák 4, Kladívko ). Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 5
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Tab. 4: Rozdíly mez swapovým sazbam na CZK a na EUR v procentních bodech Splatnost 3 4 5 6 7 8 9 5 8..4,,7,9,8,6,3,,9,6,4,3, -,.4.3,5,9,5, -,6 -,4 -,9 -,5 -,9 -,34 -,39 -,4 -,4.9.,4,35,6,6,6 -, -,8 -, -,5 -,7 -, -,6 -,9 7.6. -,55 -,8 -,35 -,34 -,35 -,43 -,39 -,4 -,4 -,38 -,38 -,38 -,38.6.,9,3,,,,5, -,4 -,6 -,6 -,6 -, -,4 3.8.9,7,73,6,65,54,45,35,5,3,,7,, 3.6.8 -,86 -,85 -,75 -,63 -,5 -,44 -,38 -,33 -,3 -,8 -, -,6 -, 4.8.7 -,8 -,7 -,59 -,53 -,48 -,43 -,38 -,35 -,3 -,6 -,3 -, -,6 8.3.6 -,74 -,66 -,5 -,45 -,4 -,37 -,34 -,3 -,9 -,7 -,3 -, -,7 3.6.5 -,43 -,3 -, -,5 -, -,8 -,8 -,7 -,5 -,6 -,6 -,7 -,8 5..4,6,9, NA NA,9 NA,9 NA,9, NA,8 Zdroj dat: Patra (4). Poznámka: Zvýrazněny jsou vyšší než % odchylky od českých swapových sazeb. Kladná čísla znamenají, že české swapové sazby jsou vyšší, tj. že se očekávají v budoucnu vyšší úrokové sazby na korunu než na euro. Konkrétní den v každém roce byl vybrán náhodně. Ukazuje se tedy, že mez českým a německým trhem exstují nezanedbatelné rozdíly. Pokud přímo užjeme svenssonovské odhady z německého trhu jako aproxmac české bezrzkové míry, dopouštíme se koncepční, a v mnohých případech kvanttatvně nezanedbatelné, nepřesnost 9. Řešením může být kompenzace německých spotových měr o vyšší rzko české vlády. Jak ale rozdíl ve výnosech do doby splatnost dluhopsů na Obr. 4 naznačuje, rzko není v rámc splatností konstantní a jeho kompenzace proto nebude trvální. Druhou možností je použtí dat o českých dluhopsech. Ve zbytku článku se podíváme na možnost užívat data z českého trhu. Data o českých státních dluhopsech jsou k dspozc například na Patra (4a) č v systémech Bloomberg a Reuters. 4 Podmínky kladené na datovou základnu Pokud chceme odhadnout Svenssonovu funkc na dluhopsových datech z českého trhu, stojí za to nejprve posoudt, jaké požadavky musí vstupní data splňovat, aby výsledek byl smysluplný. Obecně lze na datovou základnu klást 3 požadavky. 9 Přesnou velkost způsobené chyby lze posoudt až se znalostí konkrétního okamžku (dne) oceňování. 6 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Počet dat. Je potřeba alespoň 6 známých datových bodů (obchodovaných splatností dluhopsů), aby bylo vůbec možné metodu použít. 3 Vyšší počet dluhopsů je pochoptelně výhodnější než nžší. Rozložení dat. Je třeba, aby datové body (zbytkové splatnost dluhopsů) ležely v rozumných rozestupech od sebe. V opačném případě je kvalta odhadu snížena relatvním nedostatkem datových bodů na některém splatnostním horzontu. To je demonstrováno na Obr. 7: rozložení dat v panelu B je příhodnější než rozložení dat v panelu A, přčemž u státních dluhopsů se budeme spíše setkávat ze stuací podobnou panelu A. Kvalta dat. Spolehlvost jednotlvých datových bodů je dána tím, že obchodované nstrumenty jsou podloženy reálným transakcem (tj. že dluhopsový trh je lkvdní). Lze se domnívat, že Svenssonovo prokládání může vyrovnáním dat částečně potlačt tyto nedokonalost. 3 Nekvalta dat ale obecně snžuje přesnost odhadu a v případě značné nelkvdty se tržní data stávají magnárním hodnotam. Obr. 7: Příhodnější a méně příhodné rozložení datových bodů Zdroj: Autor Jak s v těchto ohledech vede český dluhopsový trh, zejména v porovnání s německým trhem, na kterém je Svenssonův postup schválen pro oceňovací účely? Počet a rozložení dat. Jak je ukázáno na Obr. 8, na trhu exstuje výrazně vyšší počet německých státních dluhopsů než českých (6 oprot 7 po vyloučení ndexovaných dluhopsů a dluhopsů s proměnlvým kupónem, které se oceňují odlšně). Přesto však se českých dluhopsů se splatností do let obchoduje dostatečný počet a jsou k dspozc 4 dluhopsy se splatností nad let. V porovnání s korunovým úrokovým swapy, které se běžně kótují pro, až let a dále, 5 a let, vyznívá dluhopsová datová základna jako srovnatelně rozsáhlá a dostatečná k bezproblémovému používání metody. 3 Protože potřebujeme odhadnout 6 Svenssonových parametrů. 3 Doplňkové smulace na prostředí českého trhu (výsledky k dspozc od autora) ukázaly, že pro typcké tvary výnosových křvek (lneárně rostoucí a S-křvka) přnáší Svenssonovo proložení zlepšení přesnost odhadu, jsou-l vstupní data spojena s určtým náhodným nepřesnostm (např. způsobeným právě nžší lkvdtou trhu). Pro méně typcké složtější tvary jako například výnosová křvka s velkým hrbem č nepravdelné tvary výnosové křvky však Svenssonovo proložení nemusí znamenat zlepšení odhadu. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 7
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Obr. 8: Počet německých a českých státních dluhopsů obchodovaných k 8.7.4 Zdroj dat: DBB (4) a Patra (4a). Kvalta dat. Lkvdtu jednotlvých dluhopsových nstrumentů nelze bez další analýzy posoudt. Můžeme se však domnívat, že vzhledem k poměrně dobré meznárodní reputac české vlády, stablnímu makroekonomckému prostředí a vysokému objemu volných prostředků, které české banky potřebují bezpečně nvestovat, je o české vládní dluhopsy dostatečný zájem, což je projeví v odpovídající lkvdtě jejch trhu. 3 Zdá se tedy, že český trh se státním dluhopsy dává prostor k použtí Svenssonova postupu. V další kaptole tuto myšlenku dále rozvedeme, když budeme sledovat kvaltu Svenssonova prokládání v stuac podobné stávajícímu českému dluhopsovému trhu. 5 Kvalta proložení u českých dat V této část provedeme jednoduchou kvanttatvní analýzu Svenssonova prokládání. Zaměříme se na stabltu Svenssonových parametrů v čase (kaptola 5.) a schopnost prokládat skutečná tržní data o výnosnostech (kaptola 5.). Protože cílem bude zejména posoudt smysluplnost odhadování na datech pro český trh, vyjdeme z českých dat. Nejlepší by bylo použít data o dluhopsech; ty však, jak bylo ukázáno v kaptole, dokážeme převést na spotové míry pouze za pomoc Svenssonova (nebo jného) vyrovnávání. Tím by se analýza dostala do bludného kruhu. Proto použjeme náhradní řešení využjeme spotové míry získané z korunových swapů z datového souboru Dvořák (4b) 33. Abychom co nejlépe kopíroval zbytkovou splatnostní strukturu českých státních dluhopsů (Obr. 8), použjeme spotové míry pro,, 3 až let a dále, 5 a let, 3 V této souvslost lze uvést, že používáme-l výnos do splatnost dlouhodobého státního dluhopsu jako bezrzkovou míru, rovněž spoléháme na dostatečnou lkvdtu daného nstrumentu. 33 Od září 4 je datový soubor k dspozc na stránkách IOM VŠE (http://om.vse.cz/odbornacnnost/bezrzkova-vynosnost-z-urokovych-swapu/). 8 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů přčemž hodnotu pro, 3 a 5 let použjeme dvakrát 34. Tato data proložíme Svenssonovou funkcí a změříme, jak přesné toto proložení je. 35 5. Stablta parametrů Nejprve posoudíme, zda svenssonovské parametry v rovnc [] mají tendenc být v čase stablní, nebo ve velm krátkodobém horzontu fluktuují. K tomu byla spočtena průměrná mezdenní odchylka (v absolutní hodnotě) a varační koefcent (směrodatná odchylka dělená průměrem absolutních hodnot parametru) jak u denních odhadů vycházejících z korunových swapů, tak pro srovnání u odhadů publkovaných Bundesbank pro rozvnutý německý trh. Mezdenní změnu parametrů s vynucuje v rozhodující míře vývoj tržních cen dluhopsů. Ty se ale mez sousedním dny obvykle přílš slně nemění. 36 Výsledky uvedené v Tab. 5 ukazují, že odhady jednotlvých parametrů se každodenně lší, a to mnohdy velm výrazně. České parametry kolísají daleko více než německé, protože () menší počet dat na českém trhu znamená užší svázání parametrů s daty v každém dnu, () Bundesbank omezuje přípustné hodnoty parametrů a zřejmě (3) parametry odhaduje propracovanějším způsobem. I německé parametry ovšem kolísají značně: např. průměrnou mezdenní změnu lze nterpretovat tak, že dlouhodobá rovnovážná míra se mezdenně lší průměrně o,7 procentního bodu, což je z ekonomckého pohledu nereálně mnoho. Tab. 5: Stálost parametrů odhadu Svenssonova modelu pro česká a německá data Český trh 3 Varační koefcent parametru,94 3,859,93 3,48,876,643 Průměrná absolutní mezdenní odchylka 3,6,78 7,48 39,88 6,746 5,9 Průměrná absolutní velkost parametru 9,569 76,4 5,94,3 9,64 9,98 Německý trh Varační koefcent parametru,33,56,55,374,3,3 Průměrná absolutní mezdenní odchylka,,94,5,44,75,43 Průměrná absolutní velkost parametru 6,399 4,494 4,6 5, 4,775,948 Zdroj dat: Deutsche Bundesbank (4a), Dvořák (4b). Poznámka: Denní data za období.9.4-8.7.4 (český trh) a 7..4 4.7.4 (německý trh). Uvedené parametry př použtí v rovnc [] přnášejí výsledky v % p.a. 34 Kvaltatvní výsledky by se však nezměnly, pokud bychom všechna data použl pouze jednou. 35 Složtějším přístupem by bylo nasmulovat teoretckou spotovou výnosovou křvku, na základě ní stanovt ceny dluhopsů se splatnostm odpovídajícím tržně obchodovaným nstrumentům a v dalším kroku posoudt soulad spotové křvky získané Svenssonovým proložením s teoretckou. 36 Dále se mírně mění doba do splatnost jednotlvých výplat a v mez některým dny dochází ke změně díky vydání nového dluhopsu č splacení kupónů/nomnále některého z dluhopsů. To jsou ale v celkovém součtu velm málo četné okamžky. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 9
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Kolísavost parametrů je dána tvarem rovnce []. Ten v mnohých případech vede k tomu, že různé kombnace parametrů produkují podobně dobré proložení dat (Kladívko, s. 36), čímž malá varace vstupních dat podstatným způsobem změní optmální hodnoty parametrů. 37 To ale naštěstí neznamená, že by stejně kolísavé byly výsledky modelu, tj. spotové míry. Parametry funkce tedy nelze vnímat jako dlouhodobě stablní hodnoty. Proto není přílš vhodné používat funkc odvozenou pro jný den, než pro den, na jehož datech byla odhadnuta. Nutnost výsledky každodenně aktualzovat není vzhledem ke komplkovanost odhadovacího postupu dvakrát povzbudvá. 5. Kvalta proložení Přestože odhady parametrů se v mnulé kaptole ukázaly jako problematcké, parametry jsou pouze technckou záležtostí. Jedné, na čem záleží, je, aby získané výnosové míry dobře kopírovaly tržní data, jnak by nebylo možné metodu propagovat k užtí pro oceňovací účely. To bude prozkoumáno v této kaptole. Použjeme spotové míry z korunových swapových sazeb z dat Dvořák (4b) za posledních necelých let. Vycházíme tím jednak ze skutečných tvarů české výnosové křvky, a dále dlouhodobostí souboru redukujeme vlv náhodnost př výběru konkrétního dne, tj. výběru konkrétního tvaru výnosové křvky. Budeme zkoumat:. celkovou kvaltu proložení, tj. rozdíl (v absolutní hodnotě) mez tržní spotovou mírou a Svenssonem mplkovanou spotovou mírou pro horzonty, v nchž exstuje tržní spotová míra,. zda některé splatnostní horzonty trpí obecně horší kvaltou proložení než jné. Celková kvalta proložení. Obr. 9 ukazuje velkost chyby vyrovnání pro nejlepší a nejhorší den. Nejhorší z 577 pozorování má nejvyšší chybu 83 bazckých bodů (tj.,83 procentního bodu) 38. V nejlepším dn se chyby pohybují v řádu kolem desetny bazckého bodu. Průměrná hodnota je mez těmto extrémy daleko blíže nejlepšího výsledku. Velkost průměrné odchylky je v řádu jednotek bazckých bodů a chyba vyšší než 4 bazcké body je značně neobvyklá (Obr. ). Můžeme proto konstatovat, že Svenssonova funkce vyrovnává česká výnosová data velm obstojně. 37 Nebo, ještě hůře, optmalzační procedura přnáší různé hodnoty optmálních parametrů podle toho, od jakých úvodních hodnot parametrů vychází. Blíže Gll Grosse Schumann (). 38 Velká chyba nastalá nejhoršího dne je zapříčněna mmořádně významným jednoletým zubem ve spotové výnosové křvce. Taková stuace je na trhu zcela výjmečná. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Obr. 9: Přesnost proložení pro nejhorší, průměrný a nejlepší den v souboru Zdroj dat: Dvořák (4b), data o swapových sazbách z Reuters. 577 denních pozorování v období.9.4-8.7.4. Poznámka: Parametry odhadnuty na spotových mírách pro splatnost,, 3 až let, dále, 5 a let, přčemž pozorování pro, 3 a 5 let byly užty dvakrát, aby se zdrojová data přblížla splatnostní stuac na českém dluhopsovém trhu. Nejlepší den (6..5) a nejhorší den (7.6.5) odkazují na součet čtverců mez tržní a vyrovnanou hodnotou pro všechny výše popsané splatnost. Průměrný den značí průměrnou absolutní odchylku pro každou splatnost. Obr. : Ukazatele přesnost proložení pro jednotlvé splatnost Zdroj dat: Dvořák (4b), data o swapových sazbách z Reuters. 577 denních pozorování v období.9.4-8.7.4. Poznámka: Parametry odhadnuty na spotových mírách pro splatnost,, 3 až let, dále, 5 a let, přčemž pozorování pro, 3 a 5 let byly užty dvakrát, aby se zdrojová data přblížla splatnostní stuac na českém dluhopsovém trhu. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů Kvalta proložení na různých splatnostních horzontech. Z Obr. je patrné, že nejhorší vyrovnávání nastává pro horzonty nad let. To je zapříčněno zejména tím, že ve vstupních datech (a ostatně na dluhopsovém trhu) máme pro odhad pouze 3 splatnost, díky čemuž () se Svenssonova funkce nemůže adaptovat k chybějícím datům a () kvůl menšímu počtu bodů není odchylka na tomto segmentu penalzována tak slně. 39 Pokud bychom měl data rozložená vhodněj například znal spotovou míru pro všechny celé roky až do dvacátého (srov. Obr. 7) 4, vyrovnávání na horzontu nad let by bylo srovnatelné s ostatním horzonty (Obr. ). Obr. : Vlv chybějících splatností na přesnost proložení Zdroj dat: Dvořák (4b), data o swapových sazbách z Reuters. 577 denních pozorování v období.9.4-8.7.4. Poznámka: Odhad ze všech splatností používá pozorování spotových měr pro, až let. Odhad z dluhopsových splatností používá pozorování spotových měr pro splatnost,, 3 až let, dále, 5 a let, přčemž pozorování pro, 3 a 5 let byly užty dvakrát, aby se zdrojová data přblížla splatnostní stuac na českém dluhopsovém trhu. Lze říc, že () s výjmkou horzontu nad let nepozorujeme významné rozdíly v kvaltě proložení podle splatností, () proložení nejdelšího konce (tj. let) je vynkající 4 a (3) pro nejméně dobrý horzont kolem 5 let není chyba vznklá použtím Svenssonovy funkce njak dramatcká stále se pohybujeme kolem cca bazckých bodů. 39 Do výrazu [3], který Svenssonovy parametry mnmalzují, přspívá proložení horzontů nad let pouze třem členy: pro, 5 a let, kdežto proložení horzontů do let třnáct členy. 4 Zde využíváme faktu, že z dat Dvořák (4b) známe spotové míry pro všechny splatnost. 4 To je příjemným překvapením. Ve statstce je totž známým faktem, že regresní proložení bývá nejdokonalejší ve středu pole a krajní hodnoty jsou odhadovány méně přesně (Hndls et al 7, s. 8, Greene, s. ). Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů 5.3 Svenssonova funkce v období za nejdelší splatností 4 Posledním problémem, který zde prozkoumáme, bude chování Svenssonovy funkce za horzontem nejdelší splatnost, kterou jsme použl ve vývoj modelu. Do rovnce [] totž lze dosahovat splatnost lbovolně dlouhé; otázkou je, zda je takový postup nejen možný, ale vhodný. Schch (997, s. 3) a Tab. ukazuje, že dlouhodobé míry ve Svenssonově funkc konvergují k hodnotě. Nabízí se možnost j považovat za odhad velm dlouhodobé rovnovážné míry. Tato nterpretace je však extrémně nedoporučeníhodná, a to z 5 důvodů. Svenssonova funkce je optmalzována výhradně na základě exstujících bodů (srov. výraz [3] nebo [7]) a chování funkce za horzontem posledního bodu není nčím korgováno. Konvergence je mmořádně pomalá: může trvat desítky let, než se hodnota funkce přblíží hodnotě a velkost měr se v tomto průběhu může zněkolkanásobt. Parametr může nabývat hodnot, které jsou coby dlouhodobá rovnovážná hodnota ekonomcky zcela nesmyslné (vzte záporné nebo vysoké kladné hodnoty v Obr. ). Odhad parametru velm fluktuuje v krátkém období (Obr. ), což by nemělo být vlastností rovnovážného stavu. Jak jž bylo řečeno, technky pro odhad parametrů nejsou dokonalé a různé kombnace parametrů mohou dát stejně dobré proložení bodů (Kladívko, Gll Grosse Schumann ). To nehraje velkou rol př prokládání uvntř souboru. Plně se to však projeví, pokud nás zajímá konkrétní hodnota parametru. Některé z těchto námtek by techncky bylo možné překonat nastavením různých omezení na hodnotu parametru (např. aby byl kladný, což je omezení, které používá Bundesbank, ale šlo by jít ještě dále a kupříkladu stanovt 4% na základě hstorckých průměrů 43 ). Tím dojde k určté stablzac parametru. Daní za to ovšem je horší prokládání dat uvntř souboru a zejména možný koncepční nesoulad s tržním oceněním (kap..3), protože volba hodnot dlouhodobé rovnováhy je poměrně subjektvní záležtostí. Proto nelze doporučt dosazování (výrazně) delších splatností, než je nejdelší splatnost užtá př výstavbě modelu, v čem se shodujeme s Maříková Mařík (, s. 68). Pro stanovení spotové míry pro delší horzonty ( S T ) je zřejmě nejvhodnější vyjít z roční termínové míry pro poslední rok, tj. pokud máme poslední datový bod let od současnost, pak pro vzdálenější roky použít výraz 4 Chování na dlouhém konc výnosové křvky je důležté skrze nutnost stanovt bezrzkovou míru pro výpočet pokračující (č extové) hodnoty, která obvykle tvoří podstatnou část celkové hodnoty podnku. Naopak bezrzkové míry s ultrakrátkou splatností nejsou pro oceňování podnků přílš relevantní. Proto zde kvůl úspoře místa nebudeme studovat chování Svenssonovy funkce pro horzonty kratší než je nejkratší splatnost vstupních dat. Lze však konstatovat, že použtí Svenssona pro tento horzont nelze přílš doporučt. 43 Na druhou stranu toto může být řešením v stuac, kdy na trhu panují extrémně nízké (č naopak extrémně vysoké) úrokové sazby pro nejdelší obchodované splatnost a oceňovatel chce zdůraznt, že ve velm dlouhém období se sazby musí navrátt k normálním hodnotám. Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 3
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů ~ ~ S () S () ~ S (9) T S T T, [] 9 ~ ~ kde S (9) a S () jsou Svenssonovy odhady 9 a leté spotové míry a T. Na českém trhu ovšem exstuje státní dluhops s momentálně více než 3 letou splatností, tudíž tento problém není přílš palčvý. Obr. : Počty denních pozorování s příslušným hodnotam dlouhodobé úrokové míry Svenssonovy funkce Zdroj dat: Deutsche Bundesbank (4a), Dvořák (4b). Denní data za období.9.4-8.7.4 (český trh) a 7..4 4.7.4 (německý trh). 6 Závěr Svenssonova funkce je koncept, který umožňuje vhodně prokládat datové body. Přestože může být použt pro lbovolné velčny, hodí se zejména pro konstrukc spotových výnosových křvek vycházejících ze státních dluhopsů. Toho lze využít př stanovení bezrzkových měr v oceňování. Svenssonova funkce nebo některá z jeho alternatv jsou nutnou podmínkou užívání bezrzkové míry ze státních dluhopsů, chceme-l mít bezrzkové míry dferencované podle splatnost, což nejpokročlejší přístupy k dskontní míře požadují. Postup založený na Svenssonově funkc, nazývaný jako Svenssonova metoda, je popularzován pro svou užvatelskou jednoduchost a schopnost přnést bezrzkové míry pro celé kontnuum splatností. Užvatelská jednoduchost je však získána za cenu charakteru černé skříňky, tedy že oceňovatelé užívají jž odhadnuté výsledné míry (tj. z Deutsche Bundesbank 4a nebo IOM 3) nebo jž odhadnuté hodnoty parametrů. Takový přístup s vyžádala extrémní výpočetní složtost modelu, pro kterou nelze požadovat, aby s model každý oceňovatel mplementoval sám. Daní za to ovšem je snížená schopnost užvatelů model přpomínkovat a modfkovat pro své potřeby. V rámc posouzení Svenssonova postupu jsme konstatoval, že podobné modely založené na prokládání dat nejsou flozofcky zcela konzstentní s tržním oceněním, protože neužívají 4 Oceňování, roč. 7, č. 3, 4
M. Dvořák: Bezrzková míra ze státních dluhopsů tržní data v maxmální možné míře. Svenssonova funkce ovšem dokáže velm dobře prokládat tržní data, včetně skutečných spotových měr z českého úrokového trhu: chyby se pohybují v řádech několka setn procent. Z toho důvodu lze model bez výhrad doporučt pro konstrukc bezrzkových měr z českých dluhopsů, a to pro ocenění tržní. Je však třeba mít na pamět omezení modelu. Zaprvé, není vhodné do výsledné funkce dosazovat splatnostní horzonty delší než je splatnost nejdelšího nstrumentu užtého pro výstavbu modelu, protože na těchto horzontech je Svenssonova funkce fkcí bez těsného vztahu k trhu. Zejména pak užívání nekonečného horzontu jako odhadu dlouhodobé rovnovážné úrokové míry může vést ke katastrofálním výsledkům. Zadruhé, model je extrémně ctlvý na vstupní data. Jeho parametry proto nereprezentují setrvalý stav. Z tohoto důvodu je není vhodné používat pro jné dny, než na kterých byly parametry odhadnuty. Ještě méně je vhodné je používat pro jné trhy, než odkud parametry pochází. Konkrétně v případě užívání německých parametrů pro aproxmac parametrů bezrzkové míry na českém trhu vnášíme mnohdy nemalou chybu vznklou odlšnou rzkovostí státních dluhopsů, odlšným podmínkam na peněžním trhu a odlšným očekáváním ohledně vývoje úrokových měr. Není proto možné s parametry z německého trhu jednoduše vypůjčt. Jednou schůdnou možností je převzít celý CAPM model např. z německého trhu včetně bezrzkové míry sestrojené Svenssonovou funkcí na německých státních dluhopsech a CAPM posléze adaptovat pro český trh. Druhou možností, ke které se osobně přkláním, je vyvnout Svenssonův model na českých dluhopsových datech. Na okraj lze konstatovat, že Svenssonova funkce s arbtrárně stanovenou dlouhodobou úrokovou mírou může být způsobem, jak modelovat přechod od současných mmořádně nízkých tržních sazeb k dlouhodobě rovnovážným hodnotám. Lteratura: [] Amercan Socety of Apprasers (9). ASA Busness Valuaton Standards. [ct. 8.7.3] Dostupné na http://www.apprasers.org/fles/professonal%standards/bvstandards.pdf. [] Arnold, S. Lahmann, A. Schwetzler, B. () A note on usng the Svensson procedure to estmate the rsk free rate n corporate valuaton. Lepzg Graduate School of Management, Fnexpert. [3] Česká národní banka (3). Ratng agences: Foregn Currency Long-Term Soveregn Debt Ratngs. Dostupné z http://www.cnb.cz/en/about_cnb/nternatonal_relatons/ratng/ [4] Damodaran, A. (3). Annual Returns on Stock, T.Bonds and T.Blls: 98 - Current. [ct. 5.7.3]. Dostupné z http://people.stern.nyu.edu/adamodar/new_home_page/datafle/hstretsp.html [5] Damodaran, A. (8). What s the rskfree rate? A Search for the Basc Buldng Block. Stern School of Busness, New York Unversty. [ct. 7.7.3] Dostupné z: http://people.stern.nyu.edu/adamodar/pdfles/papers/rskfreerate.pdf. [6] Deutsche Bank (3). Soveregn default probabltes onlne. [ct. 7.7.3]. Dostupné z http://www.dbresearch.com/servlet/reweb.reweb?rwnode=dbr_internet_en- PROD$NAVIGATION&rwobj=CDS.calas&rwste=DBR_INTERNET_EN-PROD Oceňování, roč. 7, č. 3, 4 5