5.2.6 Tabulkové řešení metod CPM a PERT

5.2.6 Tabulkové řešení metod CPM a PERT Tabulkové řešení umožňuje algoritmizovat postupy jednotlivých metod, algoritmy realizovat programově s použitím běžného tabulkového procesoru nebo databázového prostředí. Pro realizaci analýzy je nutno zpracovat strukturu síťového grafu do podoby tabulek, ve kterých jsou údaje potřebné pro řešení. Pro metodu CPM jsou to údaje podle tabulky Tab. 5.4, pro metodu PERT pak v Tab. 5.6. Matematická formulace výpočtu Pro jednotlivé charakteristiky byly použity vztahy předchozího textu (5.4) až (5.16): Pro metodu PERT je použita metoda Monte Carlo, kde pro určení náhodného čísla n z intervalu <d,h>je použit vztah podle [Kvoch,15] pro rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti: (( h d + ) RND d ) n = Int 1. + (5.20) kde: Int() celá část čísla RND pseudonáhodné číslo v intervalu <0,1> Algoritmizace a tvorba modelu Požadavkem úspěšné algoritmizace je předpoklad, že orientace činnosti je od uzlu s nižším číslem k uzlu s číslem vyšším. V případě změny struktury musí dojít k přečíslování uzlů. Časovou analýzu lze rozdělit do čtyř kroků: 1) výpočet charakteristik ZM a KM; (přímý průchod) 2) výpočet charakteristik ZP a KP (zpětný průchod); ) výpočet rezerv RC, RV, RN, a charakteristik uzlů TM a TP 4) určení kritické cesty. Postup řešení CPM ad 1): V tomto kroku se postupuje od počátečního uzlu síťového grafu směrem ke koncovému, proto seznam činností musí být seřazen podle označení počátečního uzlu (uk_vych). Pak je možno postupně počítat charakteristiky jednotlivých činností podle vztahů (5.4 5.6). Je nutné ošetřit výpočet u výchozího uzlu síťového grafu. Tab. 5.6 Vstupní údaje pro metodu PERT c_hrany pop_hrany uz_vych uz_konc a b 0 Uvolnění závěsů 1 2 1 1 Vývaz dvojkolí 2 2 4 2 Demont. nápr. převodovky 5 5 Demont. lož. domků 4 4 6 4 Kont. ložisek 4 11 5 7

c_hrany pop_hrany uz_vych uz_konc a b 5 Kont. náprav 4 10 6 8 6 Kont. pružnic 6 8 7 7 Měření char. pružnic 8 15 8 10 8 Vývaz TM 5 11 Kont. TM 10 10 12 10 Kont. nápr. převodovek 1 11 1 11 Odstrojení brz. výstroje 2 7 12 14 12 Oprava mech. části brz. 7 12 1 15 1 Kont. vzd. potrubí 7 17 14 16 14 Oprava brz. válců 7 16 15 17 15 Mont. mech. části brzdy 12 17 14 16 16 Mont. brz. válců 16 17 1 15 17 Složení náprav a TM 10 1 12 14 18 Kompletace nápr. 1 18 11 1 převodovek 1 Složení lož. domků 11 14 10 12 20 Mont. pružnic 15 18 11 21 Mont. lož. domků 14 18 8 10 22 Závaz dvojkolí 18 1 7 2 Mont. uchycení dvojkolí 1 20 6 8 24 Zkouška fce brzdy 20 21 5 7 25 Záběh podvozku 21 22 4 6 26 Demont. pružnic 6 5 102 Složení brz. 17 18 2 4 Vysvětlivky: c_hrany číslo hrany a optimistický odhad doby trvání pop_hrany popis hrany činnost b pesimisticky odhad doby trvání uz_vych číslo výchozího uzlu hrany uz_konc číslo koncového uzlu hrany ad 2): Postup v tomto kroku je od koncového uzlu síťového grafu směrem k počátečnímu. Proto seznam musí být seřazen podle označení koncových uzlů činností (uz_konc). Při výpočtu je opět nutno ošetřit výpočet charakteristik (5.7 5.) pro činnosti končící v posledním uzlu síťového grafu. ad ):

V tomto kroku není pořadí činností v tabulce rozhodující. Postupně pro všechny činnosti probíhá výpočet podle vztahů (5.7 5.16). ad 4): Pro činnosti ležící na kritické cestě platí: RC i;j = RV i;j = RN i;j = 0 (5.21) Podle této podmínky se vyberou záznamy s činnostmi v tabulce, které tvoří kritickou cestu. Tato skutečnost znamená, že tyto činnosti nemají žádnou časovou rezervu a nedodržení daných časů znamená prodloužení celkového času T n. Algoritmus výpočtu charakteristik CPM ve formě vývojového diagramu pro tvorbu zdrojového kódu je na obrázku Obr. 5.. Zdrojový text rutiny výpočtu parametrů vytvořený pro databázový systém FoxPro je na obrázku Obr. 5.10. Základem výpočtu charakteristik je tabulka databáze. Její struktura je zobrazena v Tab. 5.7. Tato tabulka je indexována podle položky uz_vych jako index č. 1, podle položky uz_konc jako index č. 2. Tato indexace je pak použita pro třídění v rámci výpočtů. Ř.1 - setřídění vzestupně podle čísel výchozích uzlů činnosti a nastavení na 1. záznam. Ř. 4 15 cyklus pro výpočet kroku 1). Ř.5 - ošetření na výpočty pro činnosti vycházející z počátečního uzlu SG. Ř.8 12 výpočet a záznam ZM a KM. Ř.16, 17 seřazení sestupně podle čísla koncových uzlů. Ř.20 0 cyklus výpočtu etapy 2), průběh výpočtu je obdobný jako u kroku 1). Ř.4 47 cyklus výpočtů parametrů kroku ). Ř.6 40 výpočet proměnných pro určení parametrů TM a TP uzlů. Ř.41 4 výpočet hodnot rezerv. Ř.44, 46 zápis vypočtených parametrů do záznamů činnosti.

Obr. 5.: Vývojový diagram metody CPM.

** VYPOCET NEJDRIVE MOZNYCH HODNOT 1 SET ORDE TO 1 2 GO TOP UZ_0 = UZ_VYCH 4 DO WHILE.NOT. EOF() 5 IF UZ_VYCH = UZ_0 6 REPLA ZM WITH 0, KM WITH ZM+T_IJ 7 ELSE 8 ZAZN=RECNO() UZ_V=UZ_VYCH 10 CALCULATE MAX(KM)TO ZM_HODN FOR UZ_KONC=UZ_V 11 GO ZAZN 12 REPLA ZM WITH ZM_HODN,KM WITH ZM+T_IJ 1 ENDIF 14 SKIP 15 ENDDO ** VYPOCET NEJPOZDEJI PRIPUSTNYCH HODNOT 16 SET ORDER TO 2 17 GO TOP 18 UZ_0 = UZ_KONC 1 DO WHILE NOT EOF() 20 IF UZ_KONC = UZ_0 21 REPLA KP WITH KM, ZP WITH KP-T_IJ 22 ELSE 2 ZAZN=RECNO() 24 UZ_V=UZ_KONC 25 CALCULATE MIN(ZP)TO ZM_HODN FOR UZ_VYCH=UZ_V 26 GO ZAZN 27 REPLA KP WITH ZM_HODN,ZP WITH KP-T_IJ 28 ENDIF 2 SKIP 0 ENDDO ** VYPOCET REZERV 1 GO TOP 2 DO WHILE NOT EOF() ZAZN=RECNO() 4 UZ_K=UZ_KONC 5 UZ_V=UZ_VYCH 6 CALCULATE MAX(KM)TO TM_J FOR UZ_KONC=UZ_K 7 CALCULATE MIN(ZP)TO TP_I FOR UZ_VYCH=UZ_V 8 CALCULATE MAX(KM)TO TM_I FOR UZ_KONC=UZ_V CALCULATE MIN(ZP)TO TP_J FOR UZ_VYCH=UZ_K 40 GO ZAZN 41 RC_H=KP-KM && CELKOVA REZERVA 42 RV_H=TM_J-TM_I-T_IJ && VOLNA REZERVA 4 RN_H=MAX(TM_J-TP_I-T_IJ,0) && NEZAVISLA REZERVA 44 REPLA RC WITH RC_H, RV WITH RV_H, RN WITH RN_H 45 REPLA TM_JJ WITH TM_J, TP_JJ WITH TP_J, TM_II WITH TM_I, TP_II WITH TP_I 46 SKIP 47 ENDDO Obr. 5.10: Zdrojový text výpočtu charakteristik CPM. (čísla řádku nejsou součástí textu, jsou pouze pro orientaci)

Tab. 5.7: Struktura tabulky databáze modelu CPM. Pole Název pole Typ Délka Des. Index Třídit Null 1 C_HRANY Numeric Ne 2 POP_HRANY Character 0 Ne UZ_VYCH Character Vzestupně CZECH Ne 4 UZ_KONC Character Sestupně CZECH Ne 5 T_IJ Numeric 5 1 Ne 6 ZM Numeric 5 1 Ne 7 KM Numeric 5 1 Ne 8 ZP Numeric 5 1 Ne KP Numeric 5 1 Ne 10 RC Numeric 5 1 Ne 11 RV Numeric 5 1 Ne 12 RN Numeric 5 1 Ne 1 TM_JJ Numeric 5 1 Ne 14 TP_II Numeric 5 1 Ne 15 TM_II Numeric 5 1 Ne 16 TP_JJ Numeric 5 1 Ne Metoda PERT Metoda PERT je řešena postupem nazývaným Monte Carlo, kdy ohodnocení hran je stochastické. Jejich hodnota je při jednotlivých průchodech přiřazena jako náhodná hodnota z intervalu <a i,b i >, což odpovídá rovnoměrnému rozdělení pravděpodobnosti. Tento interval je součástí vstupní tabulky. Výpočet parametrů činností při průchodu je obdobný jako v kroku 1) až ) u metody CPM. Jediná změna je v kroku 1), kde dochází k přiřazení náhodné doby trvání činnosti zpracovávané činnosti. Vypočtené parametry se ukládají a dochází k dalšímu průchodu. Počet cyklů ovlivňuje přesnost konečných výsledků. Konečnou fází je statistické zpracování parametrů jednotlivých činností a určení kritické cesty podle podmínky (5.21). Na tomto základě je realizován vývojový diagram podle obrázku Obr 5.11 jako podklad pro zdrojový kód modelu (Obr. 5.12) obdobně jako u metody CPM.

Obr. 5.11: Vývojový diagram metody PERT.

Základem výpočtu je tabulka databáze. Její struktura je v tabulce Tab. 5.8. Tato tabulka s činnostmi je indexována podle položky uz_vych jako index č. 1, podle položky uz_konc jako index č. 2. Tato indexace je pak použita pro třídění v rámci výpočtů. Tab. 5.8 Struktura tabulky databáze modelu PERT. Pole Název pole Typ Délka Des. Index Třídit Null 1 C_HRANY Numeric Ne 2 POP_HRANY Character 0 Ne UZ_VYCH Character Vzestupně CZECH Ne 4 UZ_KONC Character Sestupně CZECH Ne 5 A Numeric 5 1 Ne 6 B Numeric 5 1 Ne 7 T_IJ Numeric 5 1 Ne 8 ZM Numeric 5 1 Ne KM Numeric 5 1 Ne 10 ZP Numeric 5 1 Ne 11 KP Numeric 5 1 Ne 12 RC Numeric 5 1 Ne 1 RV Numeric 5 1 Ne 14 RN Numeric 5 1 Ne 15 TM_JJ Numeric 5 1 Ne 16 TP_II Numeric 5 1 Ne 17 TM_II Numeric 5 1 Ne 18 TP_JJ Numeric 5 1 Ne Ř.1 otevření souboru s popisem SG. Ř.2 57 řídící cyklus průchodů pro metodu Monte Carlo. Ř.4 54 výpočet obdobný jako u metody CPM. Ř.10 přiřazení náhodné hodnoty ohodnocení činnosti pomocí uživatelské funkce definované na ř. 58-60. Ř.57 přidání vypočtených parametrů do pomocné tabulky databáze pro další statistické zpracování. Výstupy modelu CPM jsou v tabulce Tab. 5..

1 FOR I=1 TO 15 2 ** VYPOCET NEJDRIVE MOZNYCH HODNOT SELE PERT1 4 SET ORDE TO 1 5 REPLA ALL ZM WITH 0, KM WITH 0, ZP WITH 0, KP WITH 0 6 GO TOP 7 UZ_0 = UZ_VYCH 8 DO WHILE.NOT. EOF() REPLA T_IJ WITH CAS(A,B) 10 IF UZ_VYCH = UZ_0 11 REPLA ZM WITH 0, KM WITH ZM+T_IJ 12 ELSE 1 ZAZN=RECNO() 14 UZ_V=UZ_VYCH 15 CALCULATE MAX(KM)TO ZM_HODN FOR UZ_KONC=UZ_V 16 GO ZAZN 17 REPLA ZM WITH ZM_HODN,KM WITH ZM+T_IJ 18 ENDIF 1 SKIP 20 ENDDO 21 ** VYPOCET NEJPOZDEJI PRIPUSTNYCH HODNOT 22 SET ORDER TO 2 2 GO TOP 24 UZ_0 = UZ_KONC 25 DO WHILE NOT EOF() 26 IF UZ_KONC = UZ_0 27 REPLA KP WITH KM, ZP WITH KP-T_IJ 28 ELSE 2 ZAZN=RECNO() 0 UZ_V=UZ_KONC 1 CALCULATE MIN(ZP)TO ZM_HODN FOR UZ_VYCH=UZ_V 2 GO ZAZN REPLA KP WITH ZM_HODN,ZP WITH KP-T_IJ 4 ENDIF 5 SKIP 6 ENDDO 7 ** VYPOCET REZERV A CASU UZLU 8 GO TOP DO WHILE NOT EOF() 40 ZAZN=RECNO() 41 UZ_K=UZ_KONC 42 UZ_V=UZ_VYCH 4 CALCULATE MAX(KM)TO TM_J FOR UZ_KONC=UZ_K 44 CALCULATE MIN(ZP)TO TP_I FOR UZ_VYCH=UZ_V 45 CALCULATE MAX(KM)TO TM_I FOR UZ_KONC=UZ_V 46 CALCULATE MIN(ZP)TO TP_J FOR UZ_VYCH=UZ_K 47 GO ZAZN 48 RC_H=KP-KM && CELKOVA REZERVA 4 RV_H=TM_J-TM_I-T_IJ && VOLNA REZERVA 50 RN_H=MAX(TM_J-TP_I-T_IJ,0) && NEZAVISLA REZERVA 51 REPLA RC WITH RC_H, RV WITH RV_H, RN WITH RN_H 52 REPLA TM_JJ WITH TM_J, TP_JJ WITH TP_J, TM_II WITH TM_I, TP_II WITH TP_I 5 SKIP 54 ENDDO 55 SELE PERT2 56 APPE FROM PERT1 57 ENDFOR 58 FUNCTION CAS && NAHODNE CISLO PRO MONTE CARLO 5 PARA AA,BB 60 RETU INT((BB-AA+1)*RAND(-1)+AA) Obr. 5.12: Zdrojový text výpočtu charakteristik PERT. (čísla řádku nejsou součástí textu, jsou pouze pro orientaci)

Tab. 5. Výstupní parametry modelu CPM c_hrany pop_hrany uz_ uz_ t_ij zm km zp kp rc rv rn tm_ii tp_ii tm_jj tp_jj vyc h kon c 0 Uvolnění závěsů 1 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 Vývaz dvojkolí 2 2 1 1 0 0 0 1 1 2 Demont. nápr. převodovky 5 6 6 0 0 0 6 6 Demont. lož. domků 4 4 7 15 1 12 0 0 7 1 4 Kont. ložisek 4 11 5 7 12 25 0 18 0 0 7 1 12 0 5 Kont. náprav 4 10 6 7 1 1 25 12 12 0 7 1 25 25 6 Kont. pružnic 6 8 7 6 1 24 1 18 0 0 6 24 1 1 7 Měření char. pružnic 8 15 8 1 21 1 18 0 0 1 1 21 8 Vývaz TM 5 6 15 6 15 0 0 0 6 6 15 15 Kont. TM 10 10 15 25 15 25 0 0 0 15 15 25 25 10 Kont. nápr. převodovek 1 11 15 26 26 7 11 11 11 15 15 7 7 11 Odstrojení brz. výstroje 2 7 12 1 1 6 18 5 0 0 1 1 1 18 12 Oprava mech. části brz. 7 12 1 1 26 1 2 6 0 0 1 18 26 2 1 Kont. vzd. potrubí 7 17 14 1 27 2 46 1 14 1 18 41 46 14 Oprava brz. válců 7 16 15 1 28 18 5 0 0 1 18 28 15 Mont. mech. části brzdy 12 17 14 26 40 2 46 6 1 0 26 2 41 46 16 Mont. brz. válců 16 17 1 28 41 46 5 0 0 28 41 46 17 Složení náprav a TM 10 1 12 25 7 25 7 0 0 0 25 25 7 7 18 Kompletace nápr. 1 18 11 7 48 7 48 0 0 0 7 7 48 48 převodovek 1 Složení lož. domků 11 14 10 12 22 0 40 18 0 0 12 0 22 40 20 Mont. pružnic 15 18 21 0 48 18 18 0 21 48 48 21 Mont. lož. domků 14 18 8 22 0 40 48 18 18 0 22 40 48 48 22 Závaz dvojkolí 18 1 7 48 55 48 55 0 0 0 48 48 55 55 2 Mont. uchycení dvojkolí 1 20 6 55 61 55 61 0 0 0 55 55 61 61 24 Zkouška fce brzdy 20 21 5 61 66 61 66 0 0 0 61 61 66 66 25 Záběh podvozku 21 22 4 66 70 66 70 0 0 0 66 66 70 70 26 Demont. pružnic 6 6 21 24 18 0 0 6 24 102 Složení brz. 17 18 2 41 4 46 48 5 5 0 41 46 48 48 Činnosti kritický cesty jsou sestaveny v tabulce Tab. 5.10.

Tab. 5.10: Kritická cesta určená modelem CPM. c_hrany uz_vych uz_konc t_ij zm km zp kp rc rv rn tm_ii tp_ii tm_jj tp_jj 0 1 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 1 1 2 5 6 6 0 0 0 6 6 8 5 6 15 6 15 0 0 0 6 6 15 15 10 10 15 25 15 25 0 0 0 15 15 25 25 17 10 1 12 25 7 25 7 0 0 0 25 25 7 7 18 1 18 11 7 48 7 48 0 0 0 7 7 48 48 22 18 1 7 48 55 48 55 0 0 0 48 48 55 55 2 1 20 6 55 61 55 61 0 0 0 55 55 61 61 24 20 21 5 61 66 61 66 0 0 0 61 61 66 66 25 21 22 4 66 70 66 70 0 0 0 66 66 70 70 Model PERT je aplikován na vstupní údaje o stejné topologii jako u metody CPM. Vstupní hodnoty odhadů doby činnosti jsou v tabulce Tab. 5.6. Pro ukázkový výpočet byl zvolen počet průchodů roven 0. Při praktickém použití je počet průchodů omezen pouze požadovanou přesností a očekávanou dobou trvání výpočtu. Výstupy modelu jsou v tabulkách Tab. 5.11 Střední hodnoty parametrů, Tab. 5.12 Rozptyl parametrů a Tab. 5.1 Směrodatná odchylka parametrů. Kritická cesta je označena zvýrazněním záznamů kritických činností. Tab. 5.11: Výstupní parametry modelu PERT (střední hodnota parametrů). c_hrany t_ij zm km zp kp rc rv rn tm_ii tp_ii tm_jj tp_jj 0 1, 0,000 1, 0,000 1, 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1, 1, 1,0 1, 4,67 1, 4,67 0,000 0,000 0,000 1, 1, 4,67 4,67 2,867 4,67 8,8 4,67 8,8 0,000 0,000 0,000 4,67 4,67 8,8 8,8 5,000 4,67,67 17,7 22,7 12,767 0,000 0,000 4,67 4,67,67 22,7 4 5,67,67 15, 28,867 4,8 18,00 0,000 0,000,67 22,7 15, 4,8 5 7,067,67 17,0 22,7 2,800 12,767 12,767 0,000,67 22,7 2,800 2,800 6 8,0,0 17,067 28,1 6,167 1,100 0,000 0,000,0 28,1 17,067 6,167 7 8,800 17,067 25,867 6,167 44,67 1,100 0,000 0,000 17,067 6,167 25,867 44,67 8 10,167 8,8 1,000 8,8 1,000 0,000 0,000 0,000 8,8 8,8 1,000 1,000 10,800 1,000 2,800 1,000 2,800 0,000 0,000 0,000 1,000 1,000 2,800 2,800 10 12,000 1,000 1,000 0,800 42,800 11,800 11,800 11,800 1,000 1,000 42,800 42,800 11 12,67 1, 14,00 8,767 21,7 6,8 0,000 0,000 1, 1, 14,00 21,7 12 1,67 14,00 28,867 22, 6,00 8,0 0,000 0,000 14,00 21,7 28,867 6,00 1 15,1 14,00 0,0 6,800 51, 21,00 15,067 8,2 14,00 21,7 45,100 51, 14 15,00 14,00 0,800 21,00 7,800 7,000 0,000 0,000 14,00 21,7 0,800 7,800

15 15,0 28,867 4,00 6,00 51, 8,0 1,200 0,000 28,867 6,00 45,100 51, 16 14,1 0,800 44, 7,800 51, 7,000 0,167 0,000 0,800 7,800 45,100 51, 17 1,000 2,800 42,800 2,800 42,800 0,000 0,000 0,000 2,800 2,800 42,800 42,800 18 12,2 42,800 55,0 42,800 55,0 0,000 0,000 0,000 42,800 42,800 55,0 55,0 1 11,067 15, 27,000 4,8 45,00 18,00 0,000 0,000 15, 4,8 27,000 45,00 20 10,067 25,867 5, 44,67 55,0 1,100 1,100 0,000 25,867 44,67 55,0 55,0 21,1 27,000 6,1 45,00 55,0 18,00 18,00 0,000 27,000 45,00 55,0 55,0 22 8,0 55,0 6,067 55,0 6,067 0,000 0,000 0,000 55,0 55,0 6,067 6,067 2 7,0 6,067 70,100 6,067 70,100 0,000 0,000 0,000 6,067 6,067 70,100 70,100 24 6,100 70,100 76,200 70,100 76,200 0,000 0,000 0,000 70,100 70,100 76,200 76,200 25 5,100 76,200 81,00 76,200 81,00 0,000 0,000 0,000 76,200 76,200 81,00 81,00 26 4,067 4,67,0 24,067 28,1 1,100 0,000 0,000 4,67 4,67,0 28,1 102,100 45,100 48,200 51, 55,0 6,8 6,8 0,000 45,100 51, 55,0 55,0 Tab. 5.12: Výstupní parametry modelu PERT (rozptyl). c_hrany t_ij zm km zp kp rc rv rn tm_ii tp_ii tm_jj tp_jj 0 0,56 0,000 0,56 0,000 0,56 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,56 0,56 1 0,6 0,56 0,82 0,56 0,82 0,000 0,000 0,000 0,56 0,56 0,82 0,82 2 0,716 0,82 1,806 0,82 1,806 0,000 0,000 0,000 0,82 0,82 1,806 1,806 0,600 0,82 1,8 1,6 1,72 1,7 0,000 0,000 0,82 0,82 1,8 1,72 4 0,62 1,8 1,6 8,24 5,272 5,157 0,000 0,000 1,8 1,72 1,6 5,272 5 0,52 1,8 2,4 1,72 1,827 1,7 1,7 0,000 1,8 1,72 1,827 1,827 6 0,566 1,166 1,2 10,82 7, 8,80 0,000 0,000 1,166 10,82 1,2 7, 7 0,6 1,2 1,82 7, 5,0 8,80 0,000 0,000 1,2 7, 1,82 5,0 8 0,472 1,806 1,467 1,806 1,467 0,000 0,000 0,000 1,806 1,806 1,467 1,467 0,6 1,467 1,827 1,467 1,827 0,000 0,000 0,000 1,467 1,467 1,827 1,827 10 0,7 1,467 2,7 1,760 2,227 1,227 1,227 1,227 1,467 1,467 2,227 2,227 11 0,766 0,56 0,62 5,7,2,872 0,000 0,000 0,56 0,56 0,62,2 12 0,6 0,62 1,182,56 2,42 4,66 0,000 0,000 0,62,2 1,182 2,42 1 0,716 0,62 1,02 4,227,6 4,157 0,662 4,12 0,62,2 0,57,6 14 0,62 0,62 0,60,57,827,800 0,000 0,000 0,62,2 0,60,827 15 0,6 1,182 2,57 2,42,6 4,66 1,8 0,000 1,182 2,42 0,57,6 16 0,716 0,60 0,6,827,6,800 0,206 0,000 0,60,827 0,57,6 17 0,600 1,827 2,227 1,827 2,227 0,000 0,000 0,000 1,827 1,827 2,227 2,227 18 0,712 2,227,8 2,227,8 0,000 0,000 0,000 2,227 2,227,8,8 1 0,662 1,6 1,7 5,272,80 5,157 0,000 0,000 1,6 5,272 1,7,80 20 0,76 1,82 2,52 5,0,8 8,80 8,80 0,000 1,82 5,0,8,8 21 0,716 1,7,44,80,8 5,157 5,157 0,000 1,7,80,8,8 22 0,566,8,52,8,52 0,000 0,000 0,000,8,8,52,52

c_hrany t_ij zm km zp kp rc rv rn tm_ii tp_ii tm_jj tp_jj 2 0,62,52,22,52,22 0,000 0,000 0,000,52,52,22,22 24 0,557,22 4,0,22 4,0 0,000 0,000 0,000,22,22 4,0 4,0 25 0,62 4,0 5,010 4,0 5,010 0,000 0,000 0,000 4,0 4,0 5,010 5,010 26 0,56 0,82 1,166 12,72 10,82 8,80 0,000 0,000 0,82 0,82 1,166 10,82 102 0,62 0,57 1,60,6,8,872,872 0,000 0,57,6,8,8 Tab. 5.1: Výstupní parametry modelu PERT (směrodatná odchylka). c_hrany t_ij zm km zp kp rc rv rn tm_ii tp_ii tm_jj tp_jj 0 0,772 0,000 0,772 0,000 0,772 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,772 0,772 1 0,86 0,772 0,12 0,772 0,12 0,000 0,000 0,000 0,772 0,772 0,12 0,12 2 0,846 0,12 1,44 0,12 1,44 0,000 0,000 0,000 0,12 0,12 1,44 1,44 0,775 0,12 1,78 1,41 1,15 1,407 0,000 0,000 0,12 0,12 1,78 1,15 4 0,75 1,78 1,181 2,872 2,26 2,271 0,000 0,000 1,78 1,15 1,181 2,26 5 0,727 1,78 1,581 1,15 1,52 1,407 1,407 0,000 1,78 1,15 1,52 1,52 6 0,752 1,080 1,15,222 2,70 2,82 0,000 0,000 1,080,222 1,15 2,70 7 0,8 1,15 1,408 2,70 2,258 2,82 0,000 0,000 1,15 2,70 1,408 2,258 8 0,687 1,44 1,211 1,44 1,211 0,000 0,000 0,000 1,44 1,44 1,211 1,211 0,8 1,211 1,52 1,211 1,52 0,000 0,000 0,000 1,211 1,211 1,52 1,52 10 0,856 1,211 1,65 1,27 1,42 1,108 1,108 1,108 1,211 1,211 1,42 1,42 11 0,875 0,772 0,70 2,1 1,82 1,68 0,000 0,000 0,772 0,772 0,70 1,82 12 0,86 0,70 1,087 1,86 1,557 2,08 0,000 0,000 0,70 1,82 1,087 1,557 1 0,846 0,70 1,016 2,056 1,84 2,0 0,814 2,216 0,70 1,82 0,78 1,84 14 0,70 0,70 0,600 1,8 1,56 1,4 0,000 0,000 0,70 1,82 0,600 1,56 15 0,86 1,087 1,55 1,557 1,84 2,08 1,76 0,000 1,087 1,557 0,78 1,84 16 0,846 0,600 0,8 1,56 1,84 1,4 0,45 0,000 0,600 1,56 0,78 1,84 17 0,775 1,52 1,42 1,52 1,42 0,000 0,000 0,000 1,52 1,52 1,42 1,42 18 0,844 1,42 1,75 1,42 1,75 0,000 0,000 0,000 1,42 1,42 1,75 1,75 1 0,814 1,181 1,17 2,26 1,72 2,271 0,000 0,000 1,181 2,26 1,17 1,72 20 0,82 1,408 1,50 2,258 1,75 2,82 2,82 0,000 1,408 2,258 1,75 1,75 21 0,846 1,17 1,857 1,72 1,75 2,271 2,271 0,000 1,17 1,72 1,75 1,75 22 0,752 1,75 1,87 1,75 1,87 0,000 0,000 0,000 1,75 1,75 1,87 1,87 2 0,75 1,87 1,75 1,87 1,75 0,000 0,000 0,000 1,87 1,87 1,75 1,75 24 0,746 1,75 2,02 1,75 2,02 0,000 0,000 0,000 1,75 1,75 2,02 2,02 25 0,70 2,02 2,28 2,02 2,28 0,000 0,000 0,000 2,02 2,02 2,28 2,28 26 0,772 0,12 1,080,568,222 2,82 0,000 0,000 0,12 0,12 1,080,222 102 0,70 0,78 1,400 1,84 1,75 1,68 1,68 0,000 0,78 1,84 1,75 1,75 Řešení slouží jako základní část zdrojového kódu programů pro řízení projektů. Může sloužit zároveň i pro postoptimalizační analýzu a řízení neopakujících se činností.

5.2.4 Grafické řešení analýzy CPM Grafické znázornění sítě pro analýzu CPM vychází z obrázku Obr. 5.5. V tomto zobrazení hrany jsou popsány označením a ohodnocením. Uzly jsou označeny svým pořadovým číslem a dalšími parametry podle obrázku Obr. 5.4a. Jedná se o hodnotu nejdříve možného termínu realizace uzlu TM, uvedenou v levém dolním poli a hodnotu nejpozději možného termínu realizace uzlu TP uvedenou v pravém dolním poli symbolu uzlu. Pro označení charakteristik činnosti se v grafickém zobrazení používá grafických symbolů podle obrázku Obr. 5.4b. i ZM ij t ij hij KM ij TM i TP i ZP ij KP ij a) b) Obr. 5.4: Označení a popis uzlu a hrany v zobrazení CPM. (označení charakteristik odpovídá předchozímu textu) Hledání kritické cesty se provádí ve dvou průchodech v síťovém grafu. Při přímém průchodu sítí získáme nejdříve možné začátky a nejdříve možné konce jednotlivých činností, při zpětném průchodu pak nejpozději přípustné začátky a konce. Pokud vztáhneme relativní čas ke konkrétní časové škále, získáme kalendářní plán provádění jednotlivých činností, a to je účel řešení. Ohodnocení j-tého uzlu při přímém průchodu vzniká podle Dantzigova vztahu, kdy postupujeme od počátečního uzlu k uzlu koncovému: j ( TM t ) TM = max + (5.1) kde: TM j TM i t i;j i ij nejdříve možný termín realizace uzlu j nejdříve možný termín realizace počátečních uzlů i činností končících v uzlu j ohodnocení (doba trvání) činností končících v uzlu j Parametry uzlu TM j je možno stanovit v okamžiku, kdy jsou k dispozici hodnoty KM i;j všech vstupujících činností do uzlu (konjunktivita uzlu). Po vypočtení parametrů uzlu vypočítáváme parametry ZM j;k a KM j;k pro všechny činnosti vycházející z tohoto uzlu. Analogický výpočet provádíme při zpětném průchodu sítí. V tomto případě postupujeme od koncového uzlu k uzlu počátečnímu. Pro koncový uzel k grafu platí: TP k = TM k (5.2) pak pro nejpozději přípustný termín realizace uzlu j TP j platí: ( TP t ) TP j min k j; k kde: TP j = (5.) nejpozději přípustný termín realizace uzlu j

TP k t j;k nejpozději přípustný termín realizace koncových uzlů k činností začínajících v uzlu j ohodnocení (doba trvání) činností začínajících v uzlu j Při takto ohodnocených uzlech je možné vyjádřit i jednotlivé rezervy jednotlivých činností. Celková rezerva RC i;j činnosti i; j se dá vyjádřit vztahem (5.10) Volná rezerva RV i;j činnosti i ;j je počet časových jednotek, o které je možné posunout nebo prodloužit činnost tak, aniž by se posunul nejdříve možný začátek všech bezprostředně následujících činností, tj. aniž by byla překročena hodnota TP j konečného uzlu činnosti. Stanoví se podle vztahu (5.11). Volná rezerva vzniká pouze v případě, kdy do některého uzlu ústí ještě alespoň jedna hrana. Nezávislá rezerva RN i;j činnosti i; j je počet časových jednotek, o které lze nejvýše prodloužit nebo posunout začátek činnosti, aniž se změní nejdříve možný začátek všech bezprostředně následujících činností a nejpozději přípustný konec činností, které bezprostředně předcházejí. Stanoví se podle vztahu (5.12). Pro výpočet kritické cesty je podstatná pouze celková rezerva, ostatní rezervy se využívají především při algoritmech přerozdělování a optimalizaci zdrojů na síťových grafech. Matematická formulace charakteristik CPM: Pro jednotlivé charakteristiky činností a uzlů využíváme následující vztahy: ZM i;j KM i;j KP i;j ZP i;j RC i;j RV i;j RN i;j TM j TP j nejdříve možný počátek činnosti (i,j) ZM 1;2 = T 0 = 0 pro činnost vycházející z prvého uzlu, (5.4) ZM i;j = max(km h i ) pro ostatní činnosti, h označuje bezprostředně předcházející činnost (5.5) nejdříve možný konec činnosti (i,j) KM i;j = ZM i;j + t i;j pro všechny činnosti (5.6) nejpozději přípustný konec činnosti (i,j) KP i;j = T n = max(km j;k ) pro činnost končící v posledním uzlu k, (5.7) KP i;j = min(zp j;k ) pro ostatní činnosti (5.8) nejpozději přípustný konec činnosti (i,j) ZP i;j = KP i;j t i;j pro všechny činnosti (5.) celková rezerva činnosti (i,j) RC i;j = TP j TM i - t i;j = KP i;j KM i;j (5.10) volná rezerva činnosti (i,j) RV i;j = TM j TM i t i;j = max(km j ) - max(km i ) - t i;j (5.11) nezávislá rezerva činnosti (i,j) RN i;j = max(tm j - TP i - t i;j ; 0) = max(max(km j ) min(zp i ) - t i;j ; 0) (5.12) nejdříve možný termín realizace uzlu j TM i = max(km h;i ) (5.1) TM j = max(k i;j ) (5.14) nejpozději možný termín realizace uzlu j TP i = min(zp h;i ) (5.15)

TP j = min(zp i;j ) (5.16) Příklad řešení metodou CPM Úkolem příkladu je zpracovat analýzu pro provádění oprav ŽKV. Jedná se modelový příklad opravy podvozku hnacího vozidla. Tento projekt je rozdělen na jednotlivé činnosti, jejichž charakteristické vlastnosti jsou popsány. Ze specifikace zadání vyplývá jako nejvhodnější princip řešení použití síťové analýzy. Opravy vozidel jsou opakující se činností, proto pro analýzu je vhodné použít metodu CPM. Pro realizaci analýzy je nutno zpracovat vstupní informace v podobě hranově ohodnoceného síťového grafu. Informace má podobu tabulky, ve které jsou údaje potřebné pro řešení. Pro metodu CPM jsou to údaje podle tabulky Tab. 5.4. Grafické zobrazení síťového grafu této analýzy je na obrázku Obr. 5.5. 11 1 10 14 4 5 1 0 2 1 1 2 2 4 5 4 8 5 6 10 10 11 17 12 1 21 8 18 11 18 22 1 2 20 24 21 25 22 7 6 5 4 26 20 11 12 6 6 7 8 7 8 15 102 2 7 12 1 14 15 1 14 12 15 14 16 1 17 16 Obr. 5.5: Síťový graf daného projektu. (horní část popisu činnosti charakterizuje označení činnosti, dolní hodnota popisuje dobu trvání t i;j ) Tab. 5.4: Vstupní údaje pro metodu CPM. c_hrany pop_hrany uz_vych uz_konc t_ij 0 Uvolnění závěsů 1 2 1 1 Vývaz dvojkolí 2 2 2 Demont. nápr. převodovky 5

c_hrany pop_hrany uz_vych uz_konc t_ij Demont. lož. domků 4 4 4 Kont. ložisek 4 11 5 5 Kont. náprav 4 10 6 6 Kont. pružnic 6 8 7 7 Měření char. pružnic 8 15 8 8 Vývaz TM 5 Kont. TM 10 10 10 Kont. nápr. převodovek 1 11 11 Odstrojení brz. výstroje 2 7 12 12 Oprava mech. části brz. 7 12 1 1 Kont. vzd. potrubí 7 17 14 14 Oprava brz. válců 7 16 15 15 Mont. mech. části brzdy 12 17 14 16 Mont. brz. válců 16 17 1 17 Složení náprav a TM 10 1 12 18 Kompletace nápr.převodovek 1 18 11 1 Složení lož. domků 11 14 10 20 Mont. pružnic 15 18 21 Mont. lož. domků 14 18 8 22 Závaz dvojkolí 18 1 7 2 Mont. uchycení dvojkolí 1 20 6 24 Zkouška fce brzdy 20 21 5 25 Záběh podvozku 21 22 4 26 Demon. pružnic 6 102 Složení brz. 17 18 2 Vysvětlivky záhlaví: c_hrany číslo hrany uz_konc číslo koncového uzlu hrany pop_hrany popis hrany činnost t_ij doba trvání činnosti hrany uz_vych číslo výchozího uzlu hrany Postup stanovení parametrů při přímém průchodu pro několik vybraných uzlů a činností je zobrazen na obrázku Obr. 5.6. Charakteristiky jsou vypočteny následovně: Pro činnost 1 podle (5.7) a (5.6) ( 1) 1 ZM max( ) 2 = KM i 2 = max = KM 2 = ZM 2 + t2 = 1+ 2 = Pro uzel podle (5.1) ( KM ) = max( ) TM = max i = Pro činnost 2 podle (5.2) a (5.6)

( ) ZM ;5 = max( KM i; ) = max = KM ;5 = ZM ;5 + t;5 = + = 6 Pro činnosti 26,, 8, 5,, 10 postupuje výpočet analogicky. Pro uzly 4, 5, postupujeme podobně výpočtu pro uzel.. Postup výpočtu pro uzel 10 podle (5.1) ( KM ) = max( 1;25) 25 TM 10 = max i; 10 = Charakteristiky pro činnost 17 se stanoví podle (5.5) a (5.6) ( 1;25) 25 ZM 10 ;1 = max( KM i; 10 ) = max = KM 10 ;1 = ZM10;1 + t10;1 = 25 + 12 = 7 Zpětný průchod se řeší analogicky k průchodu přímému. Postup stanovení parametrů při zpětném průchodu pro několik vybraných uzlů a činností je zobrazen na obrázku Obr. S.22. Postupujeme od koncového uzlu k uzlu počátečnímu (směr postupu je naznačen na obrázku šipkami). 7 5 12 4 7 6 1 4 7 4 7 _ 5 25 12 7 17 1 2 1 _ 5 6 _ 15 10 25 15 10 25 1 7 7 11 48 18 26 6 2 15 11 26 10 6 15 8 Obr. 5.6: Postup výpočtu CPM přímý krok. Charakteristiky jsou vypočteny následovně: Pro činnost 18 podle vztahu (5.8): ZP1 ;18 = KP1; j t1;18 = 48 11 = 7 Pro uzel 1 se stanoví charakteristika TP podle vztahu (5.15): ( ZP ) = min ( 7) 7 TP 1 = min 1; j = Pro uzel se stanoví charakteristika TP podle vztahu (5.15): ( ZP ) = min( 26;15) 15 TP = min ; j =

Pro činnosti 10,, 8, 5, 4,, 2, 26, 1 postupuje výpočet analogicky. Pro uzly 10, 5, 4, postupujeme podobně. 7 5 12 4 25 0* 7 6 1 4 7 15 1 4 7 1 5 1 25 25 12 7 17 25 7 1 2 1 1 5 6 6 15 10 25 15 25 15 15 10 25 25 1 7 7 7 11 48 18 7 48* 6 26 21 24* 6 2 6 15 11 26 10 26 7 6 15 8 6 15 Obr. 5.7: Postup výpočtu CPM zpětný krok. Označené uzly a činnosti jsou součástí kritické cesty Hodnoty označené * jsou vypočteny ze zbylé části SG V dalším kroku pro všechny činnosti stanovíme jednotlivé rezervy podle vztahů (5.10) až (5.12). Ukázkový výpočet pro činnost 18 a 10 je následující: Pro činnost 18 se vypočítá: RC RV RN 1;18 1;18 1;18 = KP = TM 1;18 18 = max KM TM = 18 48 = 0 = 48 7 11 = 0 ( TP TP t ;0) = max( 48 7 11;0) = 0 18 1 1;18 t 1 1;18 1;18 Pro činnost 10 je výpočet rezerv následující: RC RV RN ;1 ;1 ;1 = KP = TM ;1 1 = max KM TM = 7 26 = 11 = 7 15 11= 11 ( TP TP t ;0) = max( 7 15 11;0 ) = 11 1 ;1 t ;1 ;1 Z výsledků výpočtů rezerv vyplývá, že činnost 18 je součástí kritické cesty, protože hodnota RC je rovna nule. U činnosti 10 je hodnota volné rezervy RC>0, proto tato činnost není součástí kritické cesty v tomto síťovém grafu. V obrázku Obr. 5.7 jsou uzly a činnosti, které jsou součástí kritické cesty, zvýrazněny. Hodnoty charakteristik pro ostatní uzly a činnosti jsou v tabulce Tab. 5.5. Tab. 5.5. Výsledky výpočtu charakteristik CPM metody.

h ij Popis činnosti uzel uzel t i;j ZM KM ZP KP RC RV RN i j 0 Uvolnění závěsů 1 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 Vývaz dvojkolí 2 2 1 1 0 0 0 2 Demont. nápr. převodovky 5 6 6 0 0 0 Demont. lož. domků 4 4 7 15 1 12 0 0 4 Kont. ložisek 4 11 5 7 12 25 0 18 0 0 5 Kont. náprav 4 10 6 7 1 1 25 12 12 0 6 Kont. pružnic 6 8 7 6 1 24 1 18 0 0 7 Měření char. pružnic 8 15 8 1 21 1 18 0 0 8 Vývaz TM 5 6 15 6 15 0 0 0 Kont. TM 10 10 15 25 15 25 0 0 0 10 Kont. nápr. převodovek 1 11 15 26 26 7 11 11 11 11 Odstrojení brz. výstroje 2 7 12 1 1 6 18 5 0 0 12 Oprava mech. části brz. 7 12 1 1 26 1 2 6 0 0 1 Kont. vzd. potrubí 7 17 14 1 27 2 46 1 14 14 Oprava brz. válců 7 16 15 1 28 18 5 0 0 15 Mont. mech. části brzdy 12 17 14 26 40 2 46 6 1 0 16 Mont. brz. válců 16 17 1 28 41 46 5 0 0 17 Složení náprav a TM 10 1 12 25 7 25 7 0 0 0 18 Kompletace nápr. 1 18 11 7 48 7 48 0 0 0 převodovek 1 Složení lož. domků 11 14 10 12 22 0 40 18 0 0 20 Mont. pružnic 15 18 21 0 48 18 18 0 21 Mont. lož. domků 14 18 8 22 0 40 48 18 18 0 22 Závaz dvojkolí 18 1 7 48 55 48 55 0 0 0 2 Mont. uchycení dvojkolí 1 20 6 55 61 55 61 0 0 0 24 Zkouška fce brzdy 20 21 5 61 66 61 66 0 0 0 25 Záběh podvozku 21 22 4 66 70 66 70 0 0 0 26 Demont. pružnic 6 6 21 24 18 0 0 102 Složení brz. 17 18 2 41 4 46 48 5 5 0 Výsledek analýzy CPM je graficky zobrazen na obrázku Obr. 5.8. Celá kritická cesta je zvýrazněna.

4 11 120 1 14 2240 4 7 1 5 21 26 20 11 6 6 24 6 7 8 1 1 15 21 102 7 118 1 12 15 12 262 14 16 17 4146 16 28 Obr. 5.8: Výsledný síťový graf zpracovaný metodou CPM. 5.2.5 Metoda PERT Analýzu metodou PERT používáme tam, kde jsou činnosti neopakovatelné a nelze dobu trvání činnosti změřit předem. Nejčastěji se používá při řízení vývoje nového zařízení. Tato metoda pracuje s hranově definovaným síťovým grafem. Trvání činnosti se považuje za náhodnou veličinu s určeným rozdělením pravděpodobnosti. Tento typ analýzy se používá pro návrhy projektů, u kterých nejsme schopni deterministicky definovat ohodnocení činností. Při praktickém řešení se používá tří odhadů ohodnocení činnosti s označením: optimistický odhad (a) nejpravděpodobnější odhad (m) pesimistický odhad (b) Časovou analýzu typu PERT je možno provádět dvojím způsobem: metodou Monte Carlo - modelováním realizací síťového grafu převodem pravděpodobnosti na model s hodnotami hodnocení činnosti určené náhodným výběrem z intervalu <a, b> podle určeného pravděpodobnostního rozdělení. převodem na deterministický model - činnostem přiřadíme ohodnocení popsané očekávanou dobou trvání t o, používá se proložení polynomem 2. řádu: a + 4m + b t o =, (5.17) 6

pro rozptyl trvání platí: ( ) ( a b) t 2 + D ij =, (5.18) 6 a směrodatná odchylka se vypočítá: ( t ) D ij b a = (5.1) 6 a model běžně řešíme postupem známým pro CPM.