Fyzikální a matematické základy hudby

Konzervatoř P. J. Vejvanovského Kroměříž Materiály pro výuku IKT v hudbě (01/016) Fyzikální a matematické základy hudby Adam Šiška 1 Stojaté vlnění na struně Již staří Babyloňané, Sumerové a Číňané1 desítky století př. n. l. znali zákonitosti mezi tónem a délkou struny, která ho vydává. Nelze si nepovšimnout zvláštní podobnosti tónů vydávaných strunami, z nichž jedna má poloviční délku než druhá (toho nejsnáze docílíme tak, že delší strunu uprostřed přidržíme). Tyto tóny dnes pojmenováváme stejně, liší se o oktávu. Dalšími libozvučnými intervaly jsou kvinta a kvarta, na nichž je založeno pythagorejské ladění. Ukazuje se, že jednoduché poměry délek strun dávají jednoduché (čisté, přirozené) souzvuky, z těchto poznatků vychází didymické ladění. V novověku a moderní době se ukazuje komplexnost vlnění struny v podobě vyšších harmonických frekvencí, nebo symetrie Chladniho 4 obrazců vytvářených vlněním desky. Pro frekvenci f kmitání struny délky l platí: f = n F l ρ F je síla napnutí struny, ρ je hustota materiálu struny a n je parametr vyšší harmonické frekvence. Pro základní frekvenci bereme n = 1. 1 např. Lihui Yang and Deming An, with Jessica Anderson Turner, Handbook of Chinese Mythology. Santa Barbara, California: ABC CLIO, 00, strana. 7 (viz heslo Ling Lung v encyklopedii Wikipedia). Pythagoras ze Samu řec. Πυθαγόρας ο Σάμιος (70 10 př. n. l) Didymos řec. Δίδυμος (1. stol. př. n. l.) 4 Ernst Chladni (176 17) 1

Zjednodušeně vidíme nepřímou úměru mezi délkou struny a frekvencí tónu, který vydává: f 1 l Dále vidíme, že struna nekmitá pouze s jednou frekvencí, ale jako součet mnoha různých kmitání (tzv. alikvotních tónů, vyšších harmonických frekvencí), které jsou n-násobky základní frekvence. Například pro základní frekvenci 110 Hz dostáváme frekvence: 110 Hz, 0 Hz, 0 Hz, 440 Hz, 0 Hz, 660 Hz, 770 Hz, 0 Hz, atd... Což jsou alikvotní tóny od A, tj. postupně: A, a, e, a, cis, e, g, a, atd... Chladniho vzorce Stojaté vlnění je charakteristické přítomností nehybných sedlových bodů. V případě chvějících se ploch tyto sedlové body tvoří nejrůznější křivky. Obrazce vytvářené těmito křivkami lze vytvořit právě díky nehybnosti určitých částí plochy (např. na zadní stěně kytary), protože pouze v těchto místech bude mít možnost udržet se jemný prášek, kterým plochu před daným kmitáním posypeme. Je vhodné plochu rozeznívat digitálním tónovým generátorem, než smyčcem jako v případě původního Chladniho experimentu. Kromě toho že touto metodou jistým způsobem vizualizujeme zvuk, lze ji například využít ke kontrole správného chování částí hudebních nástrojů při jejich výrobě. Obrázek 1: Obrazce (angl. patterns nebo figures) jsou překvapivě složité a přitom symetrické a pravidelné. Die Akustik. Lepzig 10. http://vlp.mpiwg-berlin.mpg.de/library/data/lit44/index html (cit. 4.10.01)

Efekt chybějícího základního tónu Při reproduczi zvuku lze velmi vhodně využít faktu, že lidské ucho vnímá sadu alikvótních tónů (i když v nich některé chybí) jako tón určité barvy o základní (nejnižší) frekvenci. Většina nástrojů umožňuje ovlivňovat zastoupení alikvót v tónu pomocí různých technik a barvu tónu tak upravovat. Digitálně lze ale vytvořit zvuk sestavený z libovolných alikvót, třeba bez první (nejnižší).to jak hluboký tón může reproduktor generovat je dáno mimo jiné i jeho průměrem. V úvodu zmíněná výhoda pak spočívá v tom, že lze sestavit reproduktor o malém průměru a pro generování hlubokých tónů používat modifikované tóny bez základní frekvence, které lidské ucho vnímá jako tón o základní frekvenci (i když opravdu není mezi produkovanými frekvencemi zastoupena 6 ). Kvintové (pythagorejské) ladění Po oktávě : 1 je nejčistším souzvukem kvinta :. Obrácená kvinta, tj. kvinta sestupná, je pak intervalem kvarty 4 :. Po kvintách a kvartách projdeme postupně všechny tóny. Nejdříve odvodíme durovou diatoniku, poté základní mollovou diatoniku a po dopočítání zbývajících tónů chromatické stupnice dojdeme k tzv. pythagorejskému komatu. První stupeň označený I je pro nás základní tón s poměrem 1 : 1. Poslední stupeň označený VIII je se základním tónem v poměru oktávy, tj. : 1. Od prvního stupně je o kvintu vzdálený pátý (V) stupeň, jeho poměr k základnímu tónu je tedy :. Další kvintou nahoru dostaneme druhý stupeň stupnice v druhé oktávě, proto musíme poměr ( : ) ( : ) = : 4 snížit o oktávu, tj. podělit dvěma. Druhý (II) stupěn diatoniky je tedy se základním tónem v poměru :. Následně můžeme pokračovat kvintou od druhého stupně. Získáme tak poměr šestého stupně k základnímu tónu ( : ) ( : ) = 7 : 16. Další kvintou se opět přesouváme do druhé oktávy, výsledný poměr tedy musíme dvakrát zmenšit. Třetí stupeň durové diatoniky (III) má tedy poměr k základnímu tónu 1 : 64, což je polovina z (7 : 16) ( : ) = 1 :. Od třetího stupně získáme pomocí kvinty sedmý stupeň (VII) v téže oktávě: (1 : 64) ( : ) = 4 : 1. Do osmi tónů durové diatoniky nám schází pouze čtvrtý stupeň. Ten nezískáme, pokud budeme postupovat tímto směrem. Jak už bylo řečeno, čtvrý stupeň s osmým svírají spolu interval kvinty (kvarta je sestupná kvinta). Poměr čtvrtého stupně (IV) tedy získáme dělením : ( : ) = 4 :. Všechny stupně jsou 6 V angličtině se hovoří o Missing fundamental. http://homepage.ntu.edu.tw/ karchung/phonetics II page thirteen.htm (cit. 4.10.01)

znázorněny v tabulce. I II III IV V VI VII VIII 1 : 1 : 64 4 : : 7 : 16 4 : 1 Tabulka 1: Poměry tónů v durové diatonice. Pro základní mollovou stupnici potřebujeme odvodit snížený třetí, šestý a sedmý stupeň durové diatoniky. Pokud budeme postupovat po kvintách od čtvrtého stupně durové stupnice sestupně, dostáváme: (4 : ) : ( : ) = :. Tento poměr je pod základním tónem, jeho zvýšením o oktávu získáme sedmý stupeň (VII ) v poměru k základnímu tónu 16 :. O další kvintu níže dostáváme třetí stupeň (III ) v poměru (16 : ) : ( : ) = : 7. Pokud postupujeme dále dostáváme pro šestý stupeň (VI ) poměr 1 : 1 jako dvojnásobek poměru ( : 7) : ( : ) = 64 : 1. I II III IV V VI VII VIII 1 : : 7 4 : : 1 : 1 16 : Tabulka : Poměry tónů v mollové diatonice. K odvození chromatické stupnice nám tedy zbývají dva tóny, snížený druhý a pátý stupeň. Pokračováním v odvozování mollové diatoniky dostáváme stupeň II jako (1 : 1) : ( : ) = 6 : 4. Dále stupeň V jako dvojnásobek poměru (6 : 4) : ( : ) = 1 : 7, tedy 104 : 7. Pokud se vrátíme k postupu po kvintách nahoru a poslednímu odvozenému stupni, tj. VII stupeň durové diatoniky s poměrem 4 : 1, měli bychom jako následující dostat stupeň IV s poměrem 7 : 1, což je polovina z poměru (4 : 1) ( : ) = 7 : 6. Stupeň IV je enharmonicky totožný se stupněm V. Ale jejich poměry totožné nejsou. Poměr mezi odvozenými stupni IV a V nazýváme pythagorejské koma. Přesně se jedná o číslo: 7 1 104 7 = 7 7 1 104 = 1441 = 1, 0164... 4 Chromatická stupnice v pythagorejském ladění je tedy nutně nejednoznačný pojem. Přesto podáváme tabulky odvozených stupňů. 4

I II II III III IV V /IV V VI VI VII VII VIII 1 1 1 7 1 64 4 104 7 7 1 1 1 7 16 1 16 4 1 Tabulka : Poměry tónů v pythagorejské chromatice. Čisté (didymické) ladění Druhé čisté ladění, které v tomto textu představíme, vychází z alikvotních tónů. Budou nás vždy zajímat poměry sousedních alikvotních tónů, jež určují čisté intervaly. Z první části textu víme, že četnost kmitání jednotlivých tónů získáme jako násobky základního tónu. Poměr mezi druhým alikvotním tónem a základním tónem je tedy : 1 a tento interval označíme jako čistou oktávu. Poměr mezi třetím a druhým alikvotním tónem je :, označíme jej jako čistou kvintu. Mezi třetím a čtvrtým alikvotním tónem je interval čisté kvarty, její poměr je 4 :. Další dva poměry : 4 a 6 : při výčtu alikvotních tónů odpovídají (čisté) velké a (čisté) malé tercii. Následuje sedmý alikvotní tón, který v odvozování přeskočíme a pokračujeme osmým až desátým alikvotním tónem. Jak mezi osmým a devátým, tak mezi devátým a desátým alikvotním tónem je rozsah celého tónu. V didymickém ladění uvažujeme oba tyto poměry : a 10 : a označíme je jako velký a malý celý tón. Interval jednoho půltónu nakonec získáme jako poměr šestnáctého a patnáctého alikvotního tónu, (čistý) půltón je tedy určen poměrem 16 : 1. Alikvota Průběh tónu Interval n = 1 4 6 7 } oktáva } kvinta } kvarta } v. tercie } m. tercie } celý tón Tabulka 4: Prvních devět alikvotních tónů a odvozené intervaly. Při konstrukci didymického ladění vyjdeme od čisté oktávy, přidáme kvintu a kvartu, druhý stupeň jako velký celý tón. Podle tónorodu (dur, moll) doplníme velkou nebo malou tercii. Zbývá získat šestý a sedmý stupeň durové diatoniky,

které spočítáme pomocí velké tercie od čtvrtého a pátého stupně. Šestý stupeň má tedy poměr (4 : ) ( : 4) = : a sedmý stupeň má poměr ( : ) ( : 4) = 1 :. Poměry všech stupňů durové diatoniky v čistém (didymickém) ladění jsou v následující tabulce. I II III IV V VI VII VIII 1 : : 4 4 : : : 1 : Tabulka : Poměry tónů v durové diatonice. Při odvození mollové diatoniky postupujeme obdobně. Šestý stupeň získáme jako malou tercii od čtvrtého stupně (4 : ) (6 : ) = :. Sedmý stupeň mollové diatoniky je jeden (velký) celý tón pod oktávou ( : 1) : ( : ) = 16 :. Ladění mollové diatoniky shrnuje následující tabulka. I II III IV V VI VII VIII 1 : 6 : 4 : : : 16 : Tabulka 6: Poměry tónů v mollové diatonice. Pokud spočítáme poměry sousedních tónů v durové nebo mollové diatonice, vyjdou tři různé vzdálenosti a to velký celý tón, malý celý tón a půltón. V didymickém ladění lze zkonstruovat i chromatickou stupnici. Chybí nám snížený druhý stupeň a snížený pátý stupeň (teoreticky lépe zvýšený první a čtvrtý stupeň). Snížený druhý stupeň je od základního tónu stupnice vzdálený o čistý půltón 16 : 1. Stupeň mezi kvartou a kvintou získáme jako velkou tercii od druhého stupně, tj. ( : ) ( : 4) = 4 :. Tento poměr v hudbě označovaný jako tritón je nejméně znělým intervalem didymického ladění (nejde o jednoduchý poměr malých čísel, srv. s pythagorejským laděním). Poměry všech tónů chromatické stupnice ukazuje tabulka. I I II III III IV IV V VI VI VII VII VIII 1 16 1 6 4 4 4 16 1 Tabulka 7: Poměry tónů v didymické chromatice. Pokud spočítáme poměry sousedních tónů v chromatické stupnici, získáme tři různé půltónové vzdálenosti a to čistý půltón a dva chromatické půltóny, velký 1 : 1 a malý : 4. Narozdíl od pythagorejského ladění nejsou v didymickém ladění všechny kvinty čisté. Tyto tzv. vlčí intervaly významně komplikují, ne-li znemožňují, hru v různých tóninách bez přeladění nástroje. 6

4 Rovnoměrné (temperované) ladění Ukazuje se, že pomocí čistých intervalů nelze vytvořit ladění, ve kterém nebudou změněny vzdálenosti mezi tóny v různých tóninách. Tento problém je způsoben tím, že žádný čistý interval nelze rozdělit přesně na polovinu tak, aby bylo možné tuto polovinu vyjádřit jako poměr dvou celých čísel (zlomek, racionální číslo). Pro úplnost výkladu si tento fakt prokážeme. Věta: není racionální. Důkaz: (Sporem) Předpokládejme opak dokazovaného tvrzení, tedy je racionální. Předpokládáme, že odmocninu ze dvou lze vyjádřit jako poměr dvou nesoudělných čísel (zlomek v základním tvaru): = p q. Umocněním obou stran rovnice dostáváme: = ( ) p = p q q Po jednoduché úpravě lze vidět, že p a tedy i p jsou sudá čísla. Prokázání faktu, že mocnina sudého (resp. lichého) čísla je vždy číslo sudé (resp. liché) ponecháváme čtenáři. p = q Jelikož je číslo p sudé, lze ho vyjádřit jako dvojnásobek jiného čísla, tj. p = r. Po dosazení do předchozí rovnice dostáváme: ( r) = q 4 r = q r = q Z poslední odvozené rovnice vidíme, že i číslo q, a tedy i q jsou čísla sudá. Máme tedy, že p i q jsou sudá čísla, to je ale ve sporu s předpokladem, že to jsou čísla nesoudělná (v poměru tvoří zlomek v základním tvaru). Podle principu důkazu sporem tedy dostáváme platnost dokazovaného tvrzení, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Lze tedy vidět, že nelze vytvořit ladění splňující požadavek na čistotu všech intervalů v různých tóninách. V další textu tedy slevíme z nároku na dokonalou čistotu souzvuků vycházející z vyšších harmonických frekvencí. Nové ladění odvodíme přímo z hudební teorie dvanáctitónové chromatické stupnice, složené ze stupňů oddělených vždy stejně velkým intervalem půltónu (a platí, že složením dvou půltónů dostáváme celý tón). Princip rovnoměrného ladění tedy vychází z jednoduché úvahy. Jediný čistý interval v ladění je oktáva (poměr :1), která je rozdělena na dvanáct stejných 7

částí. Formálně lze tento fakt vyjádřit následující rovnicí (půltónový interval označíme x): x 1 = Odmocněním dostáváme, že velikost jednoho půltónu je: x = 1 1, 046... Rovnoměrnou kvintu od nějakého základního tónu tedy dostaneme pokud přinásobíme získané číslo x sedm krát. Přesně jde o hodnotu: ( x 7 = 1 ) 7 = 7 1 = 1, 407... Jak je vidět z příkladu, rovnoměrná kvinta a čistá kvinta (tj. : = 1, ) se nepatrně liší. Abychom mohli tyto rozdíly nějak názorně vyjádřit, zavedeme v další části jednotku cent. Pro názornost také uvádíme frekvence tónů diatonické durové stupnice od tzv. komorního A, které má stanovenu frekcenci 440 Hz 7. A H C D E F G A 440 4, 4, 7 7, 6, 6 7, 0, 61 0 Tabulka : Frekvence tónů (v Hz) v diatonice A dur. Zbývá doplnit, odkud se v názvu kapitoly (a potažmo ladění) vzalo slovo temperované. Tento termín vznikl historicky díky vývoji, kterým ladění od pozdího středověku do novověku procházelo. Dávno před vynálezem klavíru bylo naprosto zřejmé, že k uplatnění různých tónin v hudbě (která začala nově podstatně záviset na rozlišení velké a malé tercie a odtud tónorodu dur, moll) přirozené čisté ladění nestačí. Na úvahu s dvanáctou odmocninou oktávy pro určení půltónu ale bylo také brzo. V případě didymického ladění jsme viděli, že disonantních intervalů není v základním ladění mnoho. První pokusy jak vyladit komplikovanější nástroje, tak vycházely z jemného upravování (temperování) těchto vlčích intervalů, aby se dosáhlo nejlepšího kompromisu pro všechny tóniny. Takto vzniklo mnoho nejrůznější přístupů, např. ladění Parejovo, Schlickovo, Grammateovo nebo nejrozšířenější středotónové ladění (viz encyklopedii Wikipedia). Měření intervalů v centech Pro měření a porovnávání intervalů je vhodné zavést logaritmickou jednotku cent. Označení (podobně jako u některých měn) plyne z rozdělení jednoho 7 Od konference ISO v Londýně v roce 1, dnes ISO 16:17. Fortepiano, Bartolomeo Cristofori di Francesco, začátek 1. století.

půltónu jako základní vzdálenosti v rovnoměrném ladění na sto stejných částí. Jeden cent je setina půltónu, sto centů je půltón. Celý tón má velikost 00 centů, rovnoměrná kvarta 00 centů, rovnoměrná kvinta 700 centů. Oktáva 100 centů, jelikož ji tvoří 1 půltónů. Vyvstává otázka, jak určit rozsah intervalu (reálného čísla) v centech obecně a následně pak určit o kolik centů se například liší čistá a rovnoměrná kvinta. Bez dalšího vysvětlení (připomeneme pouze, že díky násobení intervalů se jedná o logaritmickou škálu podobně jako v případě decibelu [db]) uvádíme vzorec pro výpočet centů z poměru frekvencí f /f 1 : ( ) f v = 100 log f 1 Poslední tabulka uvádí v centech rozměry intervalů různých ladění představených v tomto textu. Ladění Kvinta Kvarta Velká tercie Malá tercie Celý tón Pythagorejské 701,6 4,04 407, 4,1 0,1 Didymické 701,6 4,04 6,1 1,64 0,1 Rovnoměrné 700 00 400 00 00 Tabulka : Velikosti intervalů v centech. 6 Dvakrát hlasitěji? Na závěr textu uvedeme pár zajímavých experimentu osvětlujících problém skládání (interference) zvuků. Představme si zástup stovky flétnistů 10, kteří čekají na povel k hraní, zatím je ticho (zde je vhodné upozornit na pojem práh sluchu). Rozdíl mezi tichem a tím, když kterýkoliv jeden z flétnistů nasadí libovolný tón je markantní. Když necháme nastoupit druhou flétnu na stejném tónu, je výsledný zvuk dvakrát silnější (nebo hlasitější)? Při postupném přidávání dalších fléten do souzvuku tvořeného stejnými tóny je stále jasnější, že o dvojnásobné, trojnásobné, atd. hlasitosti se mluvit nedá. Když začne hrát stý flétnista, rozdíl stěží poznáme. Přitom sám by dokázal způsobit stejnou změnu jako první v tomto pokusu. Nechceme ted primárně cílit na problematiku měření akustické hladiny tlaku v decibelech a třeba hygienické limitu hluku. Uvedeme logický a patřičně vědecky zvláštní příklad z akustiky 11. Je třeba také upozornit na to, že do objevení Při použití běžného kalkulátoru nedisponujícího obecnou funkcí logaritmování je potřeba znát metodu výpočtu, zde: log (x) = log(x)/log() pro libovolný jiný logaritmus. 10 Powell, J. Jak funguje hudba? Praha: Dokořán, 01, str.. 11 anglicky Active Noise Control

elektřiny nelze tento jev simulovat, či nějak uplatnit, což radikálně mění dnešní digitální technika z názvu předmětu toho času informační a komunikační technika (IKT/ICT). Komorní A má (jak bylo uvedeno výše) frekvenci 440 Hz. To znamená, že 440 krát za sekundu tlak vzduchu stoupne, klesne a stoupne na původní hladinu. Průběh tohoto výkyvu (přirozeně velmi složitého) určuje součet jednoduchých kmitání formy: y = A sin(ω x + t) Při poslechu digitálně generovaného komorního A přibližně každou milisekundu probíhá růst a druhou milisekundu klesání tlaku. Zkusme si představit, co by se stalo, pokud bychom stáli v dosahu jiného generátoru, který by byl přesně o milisekundu zpožděný? Bylo by ticho, neslyšeli bychom nic 1. 1 Tohoto nečekaného(?) efektu docílil již roku 16 pomocí obrácené fáze reproduktoru Paul Lueg, jde o U.S. Patent 04416, digitální kopie je dostupná např. na adrese http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-parser?patentnumber=04416 10