Jedenácté cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů OSOVÉ A DEVIAČNÍ MOMENTY SETRVAČNOSTI PLOCH Při výpočtu napětí a deformace při ohybu nosníků, při kroucení nebo řešení vzpěru se ve vzorcích vyskytují veličiny (plošné integrály), závislé pouze na velikosti a tvaru prutu, tzv. momenty setrvačnosti. Osové momenty setrvačnosti se značí Jy, Jz mají jednotku m 4, u reálných profilů jsou momenty setrvačnosti vždy kladné a obecně jsou dány vztahem: J y = z ds; J y = y ds S S Deviační moment setrvačnosti se značí Jyz nebo Dyz má jednotku m 4 a obecně jsou dány vztahem: J yz = zy ds a vyjadřuje odchylku od symetrie. Jeho hodnota může libovolné reálné číslo. S
Polární moment setrvačnosti se značí Jp má jednotku m 4 a obecně jsou dány vztahem: J p = (z + y ) ds = J y + J z S Polární moment setrvačnosti vyjadřuje rozložení plochy vzhledem k počátku souřadnicového systému. Je vždy kladný, nenulový. Pro jednodušší vyčíslení integrálů se používá Steinerova věta, která určuje momenty setrvačnosti k posunutým osám. Prochází-li osy yt a zt těžištěm plochy, potom pro rovnoběžně posunuté osy y a z platí: J y = J yt + a S, J z = J zt + b S, J yz = J yt z T + abs Pokud má průřez alespoň jednu osu symetrie je deviační moment v těžišti roven nule. Povšimněte si také, že pokud počítáme osový moment setrvačnosti k ose y, pak nás zajímají zetové souřadnice a naopak. Pro určení deviačního momentu je důležité si uvědomit, že a nebo b může být i záporné, protože a i b má svůj směr od těžiště,menší plochy do celkového těžiště (viz obrázek, na kterém si povšimněte šipek).
Základní vztahy platící pro momenty setrvačnosti:
MOMENTY SETRVAČNOSTI K OTOČENÝM OSÁM Pro otočené osy platí analogie s Mohrovou kružnicí z minulého cvičení, čili maximální a minimální momenty setrvačnosti vypočítáme dle vztahu (jako hlavní napětí): J min = J y + J z ( J y J z ) + J yz Deviační moment setrvačnosti: J max = J y + J z + ( J y J z ) + J yz J yz = J yt z T + abs Pokud si profil rozdělíme na základní útvary, pak platí: J yz = abs Pro určení deviačního momentu je důležité si uvědomit, že a nebo b může být i záporné, protože a i b má svůj směr od těžiště,menší plochy do celkového těžiště (viz obrázek na straně, na kterém si povšimněte šipek). Poloha os extrémních momentů setrvačnosti (jako poloha hlavních rovin): α = 1 atan J yz J y J z Jestliže je J yz < 0, pak platí, že J min prochází II. a IV kvadrantem a J max prochází I. a III kvadrantem. Platí-li že deviační moment J yz > 0 pak platí, že J min prochází I. a III kvadrantem a J max prochází II. a IV kvadrantem. Jestliže je J y > J z vynášíme úhel alfa v profilu od kladné osy Jy. Jestliže je J y < J z vynášíme úhel alfa v profilu od kladné osy Jz.
Vypočítejte analyticky pro zadané hodnoty: 1) polohu těžiště ) osové momenty setrvačnosti a deviační moment setrvačnosti k těžišti 3) hlavní centrální momenty setrvačnosti a úhel jejich sklonu 4) polohu hlavních centrálních momentů setrvačnosti vyneste do obrázku 5) vypočítané momenty ověřte v programu a doložte č. a b c d e f zádání (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) 85 55 105 15 15 10
1) Poloha těžiště 3 S = S i = S 1 + S + S 3 = a e + (c f e) d + b f = 3 05 mm y T = i=1 S i y Ti 3 = a e e i=1 S i 3 i=1 3 x T = i=1 S i x Ti 3 i=1 S i = a e a + (c f e) d d b f f S = 5,888 mm + (c f e) d (c f e + e) + b f (c f ) = 43,161 mm S
) Osové momenty setrvačnosti a deviační moment setrvačnosti k těžišti J xt = 1 1 a e3 + e a ( e y T) + 1 1 d (c f e)3 + d (c f e) ( c f e + e y T ) + 1 1 b f 3 + b f (c f y T) J xt = 4 34 979,769 mm 4 J yt = 1 1 a3 e + e a ( a x T) + 1 1 d3 (c f e) + d (c f e) ( d x T) + 1 1 b f 3 + b f ( b x T) J yt = 1 687 80,678 mm 4 J xt y T = e a ( a x T) ( e y T) + d (c f e) ( d x T) ( c f e + e y T ) + b f ( b x T) (c f y T) J xt y T = 966 151,86 mm 4 3) hlavní centrální momenty setrvačnosti a úhel jejich sklonu J 1 = J x T + J yt + ( J x T J yt ) + J xt y T = 4 559 979,053 mm 4 J = J x T + J yt ( J x T J yt ) + J xt y T = 1 36 81,394 mm 4 α = atan ( J x T y T ) J xt J yt = 18,59
4) Polohu hlavních centrálních momentů setrvačnosti vyneste do obrázku 5) Vypočítané momenty ověřte v programu a doložte
KROUCENÍ KRUHOVÝCH A MEZIKRUHOVÝCH PRŮŘEZŮ Pro popis kroucení potřebujeme znát tyto veličiny: Smykové napětí v krutu τk τ k = M k I p z Maximální smykové napětí v krutu τmax(z = ± D )pro mezidruhový průřez: τ k = M k D I p = M k D π 3 (D4 d 4 ) = M k π 16 (D 4 d 4 ) D = M k W k, kde W k průřezový modul v krutu [mm 3 ]. Kdybychom chtěli vyjádřit maximální smykové napětí pro kruhový průřez, tak by to vypadalo takto: Zkos γ: τ k = M k D I p = M k D π 3 (D4 ) = M k π γ = τ k G, = M k 16 D3 W k kde G [MPa] je modul pružnosti ve smyku a vypočítá se takto: G = E (1 + μ) μ Poissonovo číslo
Zkrut ϑ (théta): ϑ = M k GJ p Úhel zkoucení φ: φ = M kl GJ p Podmínka pevnosti: τ k τ dov Podmínka tuhosti: φ k φ dov nebo ϑ k ϑ dov